Calculo De Probabilidades D.ccesa007 5b3m6z

Facultad de Ciencias Sociales

Asignatura: Estadística Social II

Prof. Demetrio Ccesa Rayme

CALCULO DE PROBABILIDADES En la interpretación del Concepto de Probabilidad se han seguido dos Escuelas .La primera, Clásica u Objetivista, interpreta la Probabilidad como la frecuencia relativa de la ocurrencia de algún evento o resultado (consecuencia) en el desempeño final o la repetición de un experimento, entendida esta última palabra como una actividad que pudiera conducir a los resultados previstos, sin olvidar que el resultado particular observador en cualquier etapa del experimento también esta generado por el azar. La Escuela Clásica u Objetivista del Siglo XVII, tendría como principal interés determinar la Probabilidad de éxito en los juegos de azar. En este caso, los experimentos en cuestión eran tirar un dado, girar la ruleta, manejar las cartas, etc. Los Matemáticos de ese siglo B. Pascal, P. Fermat y P.S. Laplace, entre otros, fueron los que más contribuyeron a formalizar el concepto de probabilidad. La Segunda Escuela es la Subjetivista o Bayesiana, la cual utiliza los resultados a priori para calcular la probabilidad de ocurrencia de varios estados del universo (también llamado espacio de eventos), en una etapa particular del experimento de que se trata. El conocimiento a priori es la forma en que emergerá la distribución de probabilidades, dado el conocimiento de la naturaleza del experimento que se va a realizar. El Enfoque Subjetivista permite al instigador asignar probabilidades o eventos particulares (algunos posibles resultados del experimento que se esté llevando a cabo). Como mencionamos la Escuela Subjetivista también se conoce como bayesiana ( la etiqueta bayesiana significa deseo de incorporar probabilidades subjetivas en el análisis estadístico),en contraparte con los seguidores de la Escuela Objetivista ,que no desean incorporar presentimientos subjetivos en probabilidad a la estructura formal del análisis estadístico , pues no creen que el concepto de probabilidad pueda aplicarse a la verosimilitud de ocurrencia de varios acontecimientos en un experimento sin repetición. El uso de las probabilidades a posteriori implica la aceptación de la creencia de que ciertas fuerzas que operaron en el pasado causan que un modelo particular de distribución de probabilidad continúe de la misma manera. Como muchos Sistemas Matemáticos, la Teoría de Probabilidad se convierte en un módulo útil cuando sus elementos se relacionan e identifican con cosas particulares; en este caso, los resultados de experimentos reales o conceptuales. De ese modo, la teoría nos permite deducir ciertas proposiciones acerca de la verosimilitud de varios resultados.




Debido a que el observador tiene una ignorancia total o parcial, es decir, una incertidumbre acerca del resultado de una investigación, su actitud será eventualmente inferior a adivinar qué ocurrirá. En un sentido, la probabilidad refleja la incertidumbre acerca del resultado de un experimento, por lo que la probabilidad puede pensarse como el lenguaje matemático de la incertidumbre y esta es igual para el investigador y para el jugador de azar. En los últimos años se ha incrementado el uso de los modelos probabilísticos, debido a que se presentan muchas ventajas al aplicarse a situaciones reales. En los modelos probabilísticos interviene un conjunto de variables aleatorias, las cuales se rigen por algún parámetro, como tiempo o espacio. A los procesos aleatorios también se les conoce como procesos estadísticos. En toda investigación o estudio, una vez que se han recopilado datos empíricos se adopta un modelo teórico (alguna distribución teórica), con el objeto de extraer más información de los datos. Si la adaptación es buena, las propiedades del conjunto de datos pueden aproximarse a las del modelo teórico. De manera similar, a un proceso real que posea la característica de un proceso aleatorio se les podrá adaptar un proceso estocástico. De este modo, el conocimiento de las propiedades y características del proceso estocástico es altamente deseable para una mejor compresión del fenómeno real en estudio. Las incertidumbres asociadas con el comportamiento humano, en diferentes situaciones, se adaptan de una manera adecuada a los modelos probabilísticos y los procesos estocásticos. Estos modelos podrían utilizarse para analizar:     

Movilidad social de los individuos. Movilidad industrial de trabajadores o empleados. Sistemas educativos. Procesos de una enfermedad. Sistemas de información.




SIMBOLOS Y TERMINOLOGIA Experimento. Es cualquier actividad bien definida capaz de repetirse en condiciones esencialmente estables; una situación en la que está presente la incertidumbre. Ejemplo: Lanzamiento de un dado imparcial es un experimento aleatorio, puesto que antes de lanzar no tenemos la seguridad plena acerca de que cara quedara hacia arriba. Espacio Muestral. Es el conjunto que está formado por todos los posibles resultados de un experimento, denotado por Ω. Ejemplo: El espacio muestral para el ejemplo anterior será: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Porque un dado tiene 6 caras, y al lanzar el dado puede quedar hacia arriba cualesquiera de los lados. Punto Muestral. A cada elemento del Espacio Muestral Ω se le llama Punto Muestral, lo que es equivalente a decir, que cada resultado posible del Experimento aleatorio es llamado “Punto Muestral”. Ejemplo: Lanzamiento de dos monedas imparciales.

El Espacio Muestral Ω está formado por 4 puntos muéstrales.




Evento o Suceso. Es un Subconjunto del Espacio Muestral. Si el Subconjunto está formado por más de un resultado posible, se llama evento compuesto; ambos se denotan con una letra mayúscula(A, E, etcétera). Ejemplo: Se lanza un par de dados legales, considerar los siguientes eventos o sucesos: A: Obtener una suma de puntos igual a 9. A= {(4; 5) ;(5;4) ;(6;3) ;(3;6)} B: Obtener 3 en el primer lado. B= {(3; 1) ;(3;2) ;(3;3) ;(3;4) ;(3;5) ;(3;6)} Dado que A y B son subconjuntos del Ω. 1.1 DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD La Definición de Probabilidad fue dada por Laplace y desde entonces se ha repetido en casi todos los libros sobre Teoría de Probabilidades .En su forma primitiva dice: “Probabilidad es la razón del número de casos favorables al número total de casos igualmente posibles”. La Probabilidad se puede estudiar desde dos puntos de vista:  A priori o clásico. A priori significa aquello que se puede deducir usando solo la razón, sin la experiencia. Desde este puntos de vista se define la probabilidad: 𝑃(𝐴) = 𝑁ù𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐴 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 El símbolo P(A) se lee como “la probabilidad de ocurrencia del evento A “.Así, la ecuación establece que la probabilidad de ocurrencia del evento A es igual al número de eventos clasificables como A dividido entre la cantidad de eventos posibles. El número de eventos clasificables como A, es el número de casos favorables y la cantidad total eventos posibles es los números de casos posibles.

P (A) =

𝒏𝑨) 𝒏(𝜴)

=

𝑵ù𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒂 𝑨 𝑵ù𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔




Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que el dado se detenga con un dos hacia arriba? Solución: Como existen seis números posibles y solo uno de ellos es un dos, la probabilidad de un dos en una tirada de un dado es: Posibles resultados: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Casos favorables: A= {2} P(A)= n(A) = 1/6 = 0,1667 n (Ω)

 n (Ω)=6  n(A)=1

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que cuatro en una tirada de un dado? Solución: Ahora existen dos eventos clasificados como A (obtener un cinco o un seis). Así: P(A)=P (5 o 6) 𝑵ù𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒄𝒍𝒂𝒔𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝟓 ò 𝟔 𝟐 = = 𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒆𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 𝟔

 A posteriori. A posteriori significa “después del hecho”; en el contexto de la probabilidad , significa después de reunir algunos datos .Desde el punto de vista a posteriori se define como:

P (A) =

𝑵ù𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝑨 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒊𝒅𝒐 𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒔

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un dos después de lanzar el dado 100 000 veces y que un dos apareció en 16000 ocasiones? Solución: Mientras arrojemos el dado, será mejor. Para este problema:

P (2)=

𝑵ù𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝑨 𝒉𝒂 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒊𝒅𝒐 𝟐 𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒔

=

16 000 100000

= 0,16

Observe que con este punto de vista, es necesario tener el dado real y reunir algunos dados antes de determinar la probabilidad. El punto interesante es que si el dado no está cargado (se dice que es un dado honesto), al tirarlo muchas veces la probabilidad a posteriori se acerca a la probabilidad a priori.




PROPIEDADES: 1. La Probabilidad de un Suceso A, está comprendido entre: 0≤P(A) ≤1 2. Si P(A)=0  A=0, en este caso el suceso es imposible. 3. Si P(A)=1  A= Ω, en este caso el suceso es seguro. 4. La Aplicación del evento contrario o Complemento: P(A) = 1-P (A´) o P(A) + P (A´)= 1 Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola de una urna donde hay 3 bolas rojas, 7 bolas azules, 4 bolas blancas y dos bolas negras; esta no sea roja? Solución: A: evento de extraer una bola que no sea roja. A´: evento de extraer una bola roja. P(A)= 1- P(A´) P(A)=1 -

3 16

rojas disponibles  Total de bolas

P(A)=13/16 Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un sello en el lanzamiento de tres monedas? Solución: A: Evento de obtener al menos un sello; lo cual puede ser un sello, dos sellos o tres sellos. A’: Evento de no sacar ningún sello, es decir, todos los resultados deben ser dos caras. A`= {ccc} = n(A`)=1 P(A)=1-P(A`) P(A)=1- 1/8=7/8=0,875 P(A)=0,875 o 87,5% La Probabilidad de un Suceso A se puede expresar por medio de una fracción ordinario, una fracción decimal en porcentaje. 1.2 REGLAS DE LA PROBABILIDAD La Regla de la Adición




La Regla de la Adición permite determinar la probabilidad de que ocurra alguno de varios eventos posibles. Para comenzar nuestros análisis, supongamos que solo existe dos eventos posibles: A y B. Definición 1. La probabilidad de ocurrencia de A o B es igual a la probabilidad de ocurrencia de A más la probabilidad que ocurra B menos la probabilidad de que ocurra A y B. En forma de ecuación, la regla de suma establece que: P(A o B)= P(A) +P (B) – P(A y B) D e la relación anterior se puede derivar: P (AUB) = P(A) +P (B)-P (A∩B) La función del término P(A∩B) rectifica el doble conteo que se lleva acabo cuando se suma P (A) y P (B). La Regla General de Adición puede extenderse a la Probabilidad de la unión de tres eventos. L a regla general para tres eventos es: P (AUBUC)=P(A) + P (B) +P(C)- P (A∩B)- P (B∩C)- P (A∩B ∩C). Ejemplo: Determinar la probabilidad de elegir al azar un as o un trébol en un extracción de una baraja de cartas ordinarias. Solución: Eventos favorables a A:




Eventos favorables a B:

Eventos favorables a A y B:

P (AUB) =P(A) + P (B) – P (A∩ B) P (AUB) =

4 52

+

13 52

−

1 52

=

16 52

= 0,3077

P (AUB) = 30,77% Definición 2.Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo. Otra forma de decir esto es que dos eventos son mutuamente ocurrentes si la ocurrencia de uno impide la ocurrencia del otro. Si los eventos son mutuamente excluyentes entonces: P(A y B) = 0, luego: P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B) = P(A) + P(B) – 0 P(A o B) = P(A) + P(B) De la relación anterior se tiene que: P(A U B) = P(A) + P(B), si A ∩ B = Ø




La Regla Especial de Adición no tienen el termino P (A∩B), debido a que se aplica a eventos mutuamente excluyentes, ya que en este caso no hay intersección y, por tanto, no hay doble conteo. Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de elegir un dos o un as al extraer una carta de la baraja ordinaria? Solución: Como queremos un 2 o un as y como estos eventos son mutuamente excluyentes, aplicamos la regla anterior. P(A o B) = P(A) + P (B) P (2 o as) = P (2) + P(as) P (2 o as) =

4 52

+

4 52

= 0,1538

P (2 o as) = 15,38% La Regla del Producto La Regla del Producto analiza la ocurrencia conjunta o sucesiva de varios eventos. Observe que la regla del producto analiza con frecuencia lo que ocurre en más de un lanzamiento o extracción, mientras que la Regla de la Adicion estudia solo un lanzamiento o extracción. Definición 1. La probabilidad de la ocurrencia de A y B es igual a la probabilidad de ocurrencia de A por la probabilidad de que B ocurra, dado que A ha ocurrido. En forma de ecuación, la Regla del Producto es: P(A y B) = P(A) P (B/A) Observe que le símbolo P(A/B) se lee como la “probabilidad de que ocurra B dado que A ha ocurrido”. Esto significa B entre A. Definición 2. Dos eventos son independientes si la ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro. Si A y B son independientes, entonces la probabilidad de B no es afectada por A. Por lo tanto, P (B/A) = P (B). Bajo esta condición, la regla del producto se convierte en: P(A y B) = P(A) P (B/A) = P(A) P (B) La igualdad anterior también puede expresarse de la manera siguiente: P (A∩B) = P(A) P(B) Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean ases?




Solución: Como el problema pide un as en la primera y la segunda extracción, podemos aplicar la regla del producto. Sea A un as en la primera extracción y B un as en la segunda. Eventos favorables a A: Eventos favorables de B:

P (A∩B) = P(A) P(B) 𝟒

𝟒

P (A∩B) = ( )( ) P (A∩B) =

𝟓𝟐 𝟓𝟐 𝟏𝟔

𝟐𝟕𝟎𝟒

P (A∩B) = 0,0059 La Regla del Producto para eventos independientes también se aplica en situaciones con más de dos eventos. En tales casos, la probabilidad de la ocurrencia conjunta de los eventos es igual al producto de las probabilidades individuales de cada evento. En forma de ecuación: P(A y B y C y… y Z) = P(A) P (B) P(C)… P (Z) Ejemplo: la población está constituida por 50 hombres y 60 mujeres. El muestreo es de un individuo a la vez, con reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 mujeres y 1 hombre, en ese mismo orden? Solución: Como el problema pide una mujer en la primera, segunda y tercera extracción y un hombre en la cuarta, y como el muestreo es con reemplazo aplicamos la regla del producto para dos eventos independientes; P(A y B y C y D) = P(A) P(B) P(C) P(D) 𝟔𝟎

𝟔𝟎

𝟔𝟎

𝟓𝟎

P(A y B y C y D) = (𝟏𝟏𝟎)(𝟏𝟏𝟎)(𝟏𝟏𝟎)(𝟏𝟏𝟎) P(A y B y C y D) = 0,0738 Definición 3. Cuando A y B son dependientes, la probabilidad de que ocurra B se ve afectado por la ocurrencia de A. en este caso, no podemos simplificar la ecuación para la probabilidad de A y B. Debemos usarla en forma original. Así, si A y B son dependientes: P(A y B) = P(A) P (B/A)




El Muestreo sin reemplazo proporciona una buena ilustración de los eventos dependientes. Ejemplo: extraer dos cartas, una a la vez, sin reemplazo, de una baraja ordinaria. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean ases? Solución: A representar un as en la primera extracción y B representa a un as en la segunda extracción. Como el muestreo es sin reemplazo (la carta obtenida la primera vez se retira de la baraja), la ocurrencia de A realmente afecta la probabilidad de B. A y B son dependientes. Eventos favorables a A: Eventos favorables a B:

P(A y B) = P(A) P (B/A) 4

3

P(A y B) = ( )( ) P(A y B) =

52 51 12

2652

P(A y B) = 0,0045 Como el caso de la regla del producto para eventos independientes, la del producto para evento s de dependientes también se aplican a situaciones de dos eventos. En tales cosas, la ecuación es: P(A y B y C y… y Z) = P(A)P(B/A)P(C/AB)…P(Z/ABC…Z) Ejemplo: en cierto grupo hay 15v estudiantes de música, 24 de historia y 46 de psicología. Se extrae al azar 4 alumnos del grupo. Si el muestreo es de una persona a la vez, sin reemplazo ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4v estudiantes de historia? Solución: Como el problema pide un estudiante a la primera, segunda, tercera y cuarta extracción, y como el muestreo es sin reemplazo aplicamos la regla anterior: P(A y B y C y D) = P(A)P(B/A)P(C/AB)P(D/ABC) 24

23

22

21

85 84 83 255 024

82

= ( )( )( )( ) =

48 594 840

P(A y B y C y D) = 0,0052




1.3 PROBABILIDAD TOTAL Consideramos un Espacio S igual a la unión de los eventos mutuamente excluyentes: E1; E2;…; Ek y un evento cualquiera R en S, como se muestra en el siguiente gráfico:

R: un evento arbitrario a = E 1∩ R b = E2∩R c = E3∩ R… z = Ek∩R La Probabilidad de R es:

Demostración: 1. Del gráfico anterior: R = (E1∩R) U (E2∩R) U (E3∩R) U… U (EK∩R) 2. Debido a que las intersecciones son mutuamente excluyentes (no tienen elemento comunes): R = (E1∩R)+ ( E2∩R)+( E3∩R)+…+( EK∩R) 3. Aplicando la regla de la multiplicación: P(R)= P (E1).P(R/ E1)+ P(E2).P(R/ E2)+ P(E3).P(R/ E3)+…+ P(EK).P(R/ EK) 4. Expresando en forma de sumatoria, se obtiene la formula anterior: P(R) = ∑𝑲 𝒊=𝟏 𝑷(𝑬i) . P(R/Ei) La fórmula anterior recibe el nombre de: Principio de Expansión, Probabilidad Marginal, entre otros.




Ejemplo: en un salón de clase, el 32% de los estudiantes son hombres. Asi mismo, se sabe que el 10% de los estudiantes son de provincia, mientras que el 60% de las mu8ejeres son de Lima. Si de la lista de estudiantes del salón se selecciona al azar uno de ellos, ¿Cuál es la probabilidad de que sea de Lima?. Solución: Evento M: seleccionar estudiante mujer. Evento H: seleccionar estudiante hombre. P (M): 0,68 P (H): 0,32 P (L/H): probabilidad de que un estudiante varón sea de Lima.  P(L/H) = 0,90 P(L/M): porbabilidad de que una estudiante mujer sea de Lima.  P(L/M) = 0,60 Aplicando la formula resulta: P(L) = P(H).P(L/H)+P(M).P(L/M) = (0,32).(0,90)+(0,68).(0,60) = 0,696 1.4 TEOREMA DE BAYES Si los eventos E1, E2, E3,…, Ek forma una partición del espacio S y R un evento cualquiera de S, entonces considerando las condiciones anteriores dadas en la probabilidad total y además siendo P(R) ≠ 0. En efecto se tiene:

P (E1/R) =

𝐏( 𝐄𝟏) (𝐑/ 𝐄𝟏) 𝐏(𝐑)

Ejemplo: considere 18 tiradores clasificados en 4 grupos . En el primer grupo hay 5 tiradores con probabilidad 0,8 de dar en el blanco , en el segundo hay 7 con probabilidad de 0,5 de dar en el blanco . Se elige al azar un tirador, dispara y no da en el blanco . ¿A que grupo es mas probable que pertenezca? Solución :




Evento E1: tirador elegido pertenece al grupo E1. Evento E2: tirador elegido pertenece al grupo E2. Evento E3: tirador elegido pertenece al grupo E3. Evento E4: tirador elegido pertenece al grupo E4. Evento R: al disparar no da en el blanco. Las probabilidades de los eventos Ei son: Evento E1: tirador elegido pertenece al grupo E1. P (E1)=

5

P (E2)=

18

7 18

P (E3)=

4 18

P (E4)=

2 18

Si ocurre E1, entonces P (R/ E1)=0,18 Si ocurre E2, entonces P (R/ E2)=0,7 Si ocurre E3, entonces P (R/ E3)=0,6 Si ocurre E4, entonces P (R/ E1)=0,5 Luego aplicando la fórmula de la Probabilidad Total se tiene:

P(R) =

𝟓 𝟏𝟖

(𝟎, 𝟖) +

𝟕 𝟏𝟖

(𝟎, 𝟕) +

𝟒 𝟏𝟖

(𝟎, 𝟔) +

P(R) =0,683 Calculemos ahora P(EK/R),(K = 1;2;3;4) 5

P( E1) (R/ E1) 18 (0,8) P (E1/R) = = P(R) 0,683

= 0,3252

7

P( E2) (R/E2) 18 (0,7) P (E2/R) = = P(R) 0,683

= 0,3984

4

P( E3) (R/E3) 18 (0,8) P (E3/R) = = P(R) 0,683

= 0,1951

2

P( E4) (R/E4) 18 (0,8) P (E4/R) = = P(R) 0,683

= 0,081

𝟐 𝟏𝟖

(𝟎, 𝟓)




PROBLEMAS RESUELTOS PROB. N° 01: Un experimento consiste en lanzar dos monedas simultáneamente. Escribir. a. Todos los puntos muéstrales del Espacio Muestral Ω. b. Los puntos muéstrales de Ω contenidos en el Evento que salga exactamente una cara. c. Los puntos muéstrales de Ω contenidos en el Suceso que salga al menos una cara. Solución: a. Consideremos C = cara y S = sello A = {C; S} B = {C; S}

Ω = {CC; CS; SC; SS} b. Que salga exactamente un cara: Ω = {CS; SC} c. Que salga al menos una cara: Ω = {CC; CS; SC}




PROB. N° 02: Se lanzan dos dados imparciales simultáneamente. Calcular cuántos elementos tiene el Espacio Muestral. Solución:

A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} → n(A) = 6 B = {1; 2; 3; 4; 5; 6} → n(B) =6 n(A). n (B) = 36

PROB. N° 03: Si se lanza un dado real, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar? Solución: La cantidad de eventos posibles de obtener un número impar es 3 (1; 3 y 5); entonces: P(A) =

𝑛(𝐴)

= 𝑛(𝛺)

3 6

=0,5 = 50%

La Probabilidad de un evento A se puede expresar por medio de una fracción ordinaria, una fracción decimal o en Porcentaje.




PROB. N° 04: Se lanzan dos dados reales. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 6? Solución: A = {(1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (5; 1)} n (A) = 5 Ω = {(1; 1), (1; 2), (1; 3),…, (1; 6), (2; 1),…, (2; 6),…, (6; 6)} n(Ω) = 36 Por lo tanto: P(A) =

𝑛(𝑨) 𝑛(𝜴)

=

5 36

=0,1388

PROB. N° 05: Al lanzar dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado de los dos dados no sea 7? Solución: Aplicamos el evento contrario o complemento. P (A) = 1 – P (A’) P (no sea 7) = 1 – P (sea 7) P (no sea 7) = 1- 1/6 P (no sea 7) = 83,33% PROB. N° 06: Las probabilidades que tiene Alejandro, Benito y Carlos de resolver un mismo problema son: 1/2, 3/5 y 1/6 respectivamente. Si intentan hacerlo los tres, determinar la probabilidad de que se resuelva el problema. Solución: Como P(A), P(B) y P(C) son las probabilidades de resolver el problema, entonces P(A’), P(B’) y P(C’) serán las probabilidades de que no puedan resolver el problema, luego: P (A) = 1 – P (A’) P (A’) = 1 – P(A) → P (A’) = 1 – ½

=½

P (B’) = 1 – P (B) → P (B’) = 1 – 3/5 = 2/5 P (C’) = 1 – P(C) → P (C’) = 1 – 1/6 = 5/6




La Probabilidad de que no puedan resolver el problema los tres juntos será: P (A’ B’ C’) = P(A’) x P(B’) x P(C’) = ½ x 2/5 x 5/6 = 1/6 La Probabilidad de que resuelvan los tres juntos: P (resuelvan los tres juntos) = 1- P(A’ B’ C’) = 1- 1/6 = 5/6 = 83,33% PROB. N° 07: Determinar la probabilidad de elegir al azar un as o un trébol en una extracción de una baraja de cartas ordinarias: Solución: Por enumeración, utilizando la definición básica de probabilidad. Eventos probables A:

P(A) =

𝑛(𝑨) 𝑛(𝜴)

=

16 52

=0,3077

PROB. N° 08: Se lanza un dado no cargado, ¿Cuál es la probabilidad de obtener: a. Un número mayor que tres? b. Un número mayos que seis? Solución:



a. Un número mayor que tres: Eventos favorables a A:

n(A) =3


Eventos posibles a Ω:

n(Ω) = 6

P(A) = n(A)/ n(Ω) = 3/6 = 0,5 = 50%

b. Un número mayor que seis: Eventos posibles a A :

Eventos posibles a Ω:

Ø

n(A) = 0

n(Ω) = 6

P(A) = n(A)/n(Ω) = 0/6 = 0 = 0%.

Porque en el dado no existe ningún número mayor que 6.

PROB. N° 09: Si usted extrae una sola carta de una baraja ordinaria, ¿Cuál es la probabilidad de que sea un 10? Solución:




Eventos favorables a A:

P(A) = n(A)/ n(Ω) = 4/52 = 0,0769 = 7,7%.

PROB. N° 10: Al lanzar un dado que no está cargado una vez, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1 o un número par? Solución: Como los eventos son mutuamente excluyentes y el problema pide uno o un número par: Eventos favorables a A:

n(A) = 1 Eventos favorables a B:

n(B) =3

P(A o B) = P(A) + P(B) P(A o B) = 1/6 + 3/6 P(A o B) = 0,0667




PROB. N° 11: Si usted realiza un muestreo aleatorio , tomando un elemento a la vez, con reemplazo , de una bolsa que contiene ocho cónicas azules , siete canicas rojas y cinco canicas verdes,¿ cuál es la probabilidad de obtener : a) tres canicas azules en tres extracciones de la bolsa. b) una canica roja, una verde y una azul, en ese orden en tres extracciones. Solución: Eventos de A: seleccionar una canica azul. Eventos de B: seleccionar una canica roja. Eventos de C: seleccionar una canica verde. a) Como los eventos son independientes; además el muestreo es con reemplazo aplicamos la regla: P(A y A y A)= P(A) P(A) P(A) = (8/20) (8/20) (8/20) = 512/8000 =0,0640 b) como los eventos son independientes; además el muestreo es con reemplazo aplicamos la regla: P (B y C y A) = P (B) P(C) P(A) P (B y C y A) = (7/20) (5/20) (8/20) P (B y C y A) = 280/8000 P (B y C y A) =0,035

PROB. N° 12: Respondemos la misma pregunta del ejemplo 11, excepto que ahora el muestreo es de una canica a la vez sin reemplazo. Solución: a) Debemos de tener presente que el muestreo es de una canica a la vez sin reemplazo; aplicamos la regla del producto para eventos dependientes. P(A y A y A) = P(A) P(A/A) P(A/AA) P(A y A y A) = (8/20) (7/19) (6/18) P(A y A y A) = 336/6840 P(A y A y A) =0,0491




b) Debemos de tener presentes que el muestreo es de una canica ala vez sin reemplazo; aplicamos la regla del producto para eventos dependientes. P (B y C y A) = P (B) P(C/B) P(A/CB) = (7/20) (5/19) (8/18) =280/6840 =0,0409 PROB. N° 13: ¿Cuál es la probabilidad de que un matrimonio tenga dos hijas mujeres seguidas? Solución: Evento favorable A: primer nacimiento sea mujer. Evento favorable B: segundo nacimiento sea mujer. Luego:

P(A) =1/2= 0,50 P (B) =1/2= 0,50

Por lo tanto, para dos nacimientos se tiene: P (A∩ B) = (1/2) (1/2) =1/4 =0,25 P (A∩ B) = 25%

PROB. N° 14: De 150 pacientes examinados en una clínica, se encontró que 90 tenían retardo mental leve, 50 padecían de gripe y 30 tenían ambas enfermedades, Si se elige un paciente al azar, ¿cuáles es la probabilidad de que tenga una u otra de las enfermedades? Solución: Sean los eventos: A: Pacientes con retardo mental leve. B: Pacientes con gripe. A∩ B: Pacientes con ambas enfermedades. Luego:

Si A =90

 P(A) =90/150 =0,60

Si B =50

 P(B) =50/150 =0,33

Si A∩ B = 30

 P (A∩ B) = 30/150 =0,20

Por lo tanto:

P (AUB) = P(A) +P(B) - P (A∩ B)




P (AUB) = 0,6 +0,33 -0,2 P (AUB) = 0,73 P (AUB) = 73 %

PROB. N° 15: De los pacientes del hospital Carrión, el 40 % son varones y el 9% padecen de gripe desde la infancia. S i se elige un paciente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que padezca de gripe, dado que es varón? Solución: A: pacientes varones. B: pacientes que padezcan de gripe. A∩ B: pacientes varones que padezcan gripe. Según los datos: P(A)= 0,40 P(A∩ B) =0,09

El Problema nos pide:

P (B/A) = P (A∩ B)/P(A) P (B/A) =0,9/0,40 =0,225 P (B/A) =22,5%

Entonces la Probabilidad de que un paciente padezca de gripe, dado que es varón, es de 22, 5%.




GUIA DE ESTUDIOS N° 01 1. ¿Cuál de los siguientes ejemplos son eventos independientes? a. Obtener un 3 y un 4 al lanzar una par de dados honestos. b. Obtener un as y un rey, en ese orden, al extraer dos cartas, sin reemplazo, de una baraja. c. Obtener un as y un rey, en ese orden, al extraer dos cartas, con reemplazo, de una baraja. d. Un cielo nublado seguido de lluvia. e. Una luna llena y comer un queso. 2. ¿Cuáles de los siguientes ejemplos son eventos mutuamente excluyentes? a. Obtener un 4 y un 7 al extraer una carta de una baraja ordinaria. b. Obtener un 3 y un 4 al lanzar dos dados honestos. c. Ser hombre y quedar embarazado. d. Obtener un 1 y un número par en el lanzamiento de un dado honesto. e. Casarse y seguir soltero. 3. Se lanza un par de dados. Escribir: a. Los puntos muéstrales del espacio Ω. b. Los puntos muéstrales contenidos en el suceso: la suma de los puntos sea 9. c. Los puntos muéstrales contenidos en el suceso “obtener 4 en uno de los dados por los menos”. 4. Calcular las siguientes probabilidades para un dado no cargado: a. P(6) b. P(2 ó 4) c. P(2, luego 3, luego 4) 5. Calcular las siguientes probabilidades para un dado no cagado: a. P(5) b. P(5 luego 4) c. P(1 ó 3 ó 4) 6. Supongamos que Ud. Tiene una caja con 100 bolas rojas, 50 azules y 50 verdes. Calcular las probabilidades de sacar al azar las siguientes bolas de la caja: a. P(roja, luego roja, luego verde) sin reemplazo. b. P(roja, luego roja, luego verde) con reemplazo. c. P(azul, luego roja, luego verde) solo con reemplazo de las rojas. 7. Se lanza un dado no cargado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener: a. Un número par? b. Un número mayor que 3? c. Un número mayor que 6? 8. En cierta ciudad la probabilidad de que una pareja de familia tenga cocina a gas es 0,80; que tenga televisión es 0,50 y que tenga ambos artefactos es 0,45. ¿Cuál es la probabilidad de que la pareja de dicha ciudad tenga: a. Televisión o cocina a gas? b. Solo televisión? c. Solo cocina a gas? 9. Usted quiere llamar a una amiga por teléfono. Solo recuerda los tres primeros dígitos de su número telefónico y ha olvidados los últimos cuatro. ¿Cuál es la probabilidad de que marque al azar el número correcto?




10. Usted planea “hacer su agosto” en el hipódromo. En cierta carrera participan siete caballos. Si los caballos están clasificados de la misma manera, ¿cuál es la probabilidad de que elija en forma correcta al ganador y al segundo lugar? 11. Tres ratones X, Y y Z se esconden al azar en dos huecos A y B. ¿Cuál es la probabilidad de que X e Y no se escondan en el mismo hueco? 12. Se escogen al azar dos números de 1 al 19. Si la suma es par, hallas la probabilidad de que ambos números sean impares. 13. Las probabilidades de que tres hombres acierten en el blanco son, respectivamente: 1/6, 1/4 y 1/3, cada uno dispara una vez al blanco. a. Hallar la probabilidad de que exactamente uno de ellos acierte en el blanco. b. Si solamente uno acierta en el blanco, ¿cuál es la probabilidad de que sea el primer hombre? 14. Tres estudiantes se disponen a matricularse simultáneamente en uno de los cinco colegios disponibles. Hallar la probabilidad de que los niños se matriculen en colegios diferentes. 15. Una máquina con gomas de mascar tiene 38 chicles de color naranja, 30 morados y 18 amarillos. La máquina opera de modo que al introducir una moneda, se obtiene goma de mascar. a. Al usar tres monedas, ¿cuál es la probabilidad de obtener 3 gomas de mascar en el orden: naranja, morado, naranja? b. Al utilizar una moneda, ¿cuál es la probabilidad de conseguir una goma de mascar morada o amarilla? c. Al emplear tres monedas, ¿cuál es la probabilidad de que las 3 gomas conseguidas, una sea morada y la otra amarilla.

Nuestras más grandes posesiones no se encuentran en las Riquezas que vemos a nuestro alrededor sino en el potencial Invisible de las Mentes Creativas.

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