Cuadratura Gauss 4686o

AÑO DE LA CONSOLIDACIÓN ECONÓMICA Y SOCIAL DEL PERÚ.

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN

FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA EN INFORMÁTICA Y SISTEMAS

TEMA

: “CUADRATURA DE GAUSSLEGENDRE”

CURSO

: CÁLCULO NUMÉRICO

DOCENTE : LUIS AMAYA CEDRÓN ALUMNO :  Jesús Cárdenas Musaja TACNA_ PERÚ - 2010 -

08-32465

“UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMAN”

FACI-ESIS

TABLA DE CONTENIDO

I.

INTRODUCCION. ................................................................................................................ 4 1.

FORMULAS DE INTEGACION DE NEWTON-COTES .............................................. 4

2.

REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LA FORMULA DE INTEGRACIÓN DE NEWTON-COTES ....................................................................................................... 5

3.

REGLA DEL TRAPECIO: (Forma cerrada)................................................................. 6

4.

DEMOSTRACION DE LA REGLA DEL TRAPECIO ................................................... 7

5.

GAUSS-LEGENDRE Y LA REGLA DEL TRAPECIO ................................................. 9

6.

MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS ...................................... 10

7.

DESARROLLO DE LA FORMULA DE GAUSS-LEGENDRE ................................... 12

8.

FORMULAS CON MAS PUNTOS: ............................................................................ 15

II. EJEMPLO. ............................................................................................................................ 17 III. ALGORITMO COMPUTACIONAL.(para dos puntos).......................................... 19 IV. CÓDIGO FUENTE .............................................................................................................. 20 V. CONCLUSIONES................................................................................................................ 21 VI. BIBLIOGRAFIA. ................................................................................................................. 21

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FACI-ESIS

CUADRATURA DE GAUSSLEGENDRE

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I.

FACI-ESIS

INTRODUCCION. 1. FORMULAS DE INTEGACION DE NEWTON-COTES Las formulas de Newton-Cotes son los tipos de integración numérica más comunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada por un polinomio de aproximación que es fácil de integrar.

b

b

a

a

I   f ( x)dx  f n ( x)dx

Donde f n (x) es un polinomio de la forma:

f n ( x)  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an1 x n1  an x n n: grado del polinomio.

Por ejemplo en las siguientes figuras se utiliza un polinomio de primer grado (línea recta) como una aproximación, también se emplea una parábola con el mismo propósito. Aunque se puede utilizar polinomios de grado superior.

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2. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LA FORMULA DE INTEGRACIÓN DE NEWTON-COTES

Se utiliza un polinomio de primer grado, (una línea recta).

Se utiliza un polinomio de grado dos, (una parábola).

Existen formas cerradas y abiertas de las formulas de Newton-cotes. Las formas cerradas son aquellas donde se conocen los datos al inicio y al final de los límites de integración. Las formas abiertas tienen límites de integración que se extienden más allá del intervalo de los datos. Por lo general las formulas abiertas no se usan para integración definida, pero se utiliza para evaluar integrales impropias.

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Forma cerrada

FACI-ESIS

Forma abierta

3. REGLA DEL TRAPECIO: (Forma cerrada) La regla del trapecio es la primera de las formulas cerradas de integración de Newton-Cotes. Se basa en obtener el área bajo la línea recta que une los valores de la función en los extremos del intervalo de integración:

Formula de la regla del trapecio

I  (b  a)

f (a)  f (b) 2

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FACI-ESIS

4. DEMOSTRACION DE LA REGLA DEL TRAPECIO

Mediante un razonamiento observando en la figura podemos establecer la siguiente relación:

f1 ( x)  f ( x0 ) f ( x1 )  f ( x0 )  x  x0 x1  x0 f1 ( x)  f ( x0 ) 

f ( x1 )  f ( x0 ) .( x  x0 ) x1  x0

Significa que f1 es un polinomio de interpolación de grado uno. Entonces una línea recta se puede representar como:

f1 ( x)  f ( x0 ) 

f ( x1 )  f ( x0 ) f (b)  f (a) .( x  x0 )  f (a)  ( x  a) x1  x0 ba

Entonces, el área bajo esta línea recta es una aproximación a la integral de f(x) entre los límites [ a, b] . 7

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f (b)  f (a)   I    f (a)  ( x  a)dx ba  a b





1  f (b)  f (a)  b 2 b I   f (a) xa   ( x  a )  a 2 ba  1  f (b)  f (a)  2 2 I  f (a)(b  a)    (b  a)  (a  a) 2 ba   f (b)  f (a)  I  f (a)(b  a)   (b  a) 2   f (b)  f (a)   I  (b  a)  f (a)   2   f (b)  f (a) I  (b  a) Regla del trapecio 2





Así se obtiene la formula de la regla del trapecio.

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5. GAUSS-LEGENDRE Y LA REGLA DEL TRAPECIO LA REGLA DEL TRAPECIO: Se basa en obtener el área bajo la línea recta que une los valores de la función en los extremos del intervalo de integración:

GAUSS-LEGENDRE: Ubica los

puntos en forma inteligente,

definiendo una línea recta que equilibre los errores negativos y positivos.

Se obtiene una mejor estimación de la integral tomando el área bajo la línea recta que pasa por los puntos intermedios. Estos puntos se ubican en forma adecuada, de tal manera que se equilibran los errores positivo y negativo.

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Para deducir la formula de cuadratura de Gauss-Legendre se utiliza el método de los coeficientes indeterminados.

6. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS Regla del trapecio indeterminados:

con

el

método

de

los

coeficientes

Utilizando el método de los coeficientes indeterminados, Se puede obtener la formula de la regla del trapecio. Si

I  (b  a)

f (a)  f (b) 2

Para ilustrar el procedimiento, considere la ecuación:

I  c0 f (a)  c1 f (b)

Donde: Ci: son los constantes

La regla del trapecio deberá dar resultados exactos:

CASO 1: Cuando f ( x)  1 .

Entonces

c0 f (

ba ba )  c1 f ( ) 2 2

ba 2

 1dx



ba 2

ba 2 ba  2

c0 (1)  c1 f (1)  x 

ba ba  2 2 c0  c1  b  a

c0  c1  

ba 2

ba 2

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FACI-ESIS

CASO 2: Cuando f ( x)  x . Entonces

c 0 f (

ba ba )  c1 f ( ) 2 2

ba 2

 xdx



ba 2

ba

ba ba x  2  c0  c1   2 2 2   ba 2



ba 2

2

ba 2

2 2 ba b  a 1  b  a   b  a    c0  c1       2 2 2  2   2   (b  a)(c1  c 0 )  0

c1  c 0

De

c0  c1  b  a  c1  c0

Se obtiene

c0 

ba 2

c1 

ba 2

Sustituyendo:

I  c0 f (a)  c1 f (b) ba ba f (a)  f (b) 2 2 f (a)  f (b) I  (b  a) 2 I

Equivale a la regla del trapecio

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7. DESARROLLO DE LA FORMULA DE GAUSSLEGENDRE Así como en el caso anterior para la obtención de la regla del trapecio, el objetivo de la cuadratura de gauss-legendre es determinar los coeficientes de una ecuación de la forma.

I  c0 f ( x0 )  c1 f ( x1 ) Donde:

xi

: Puntos no fijos.

Ci: son los constantes

De esta manera ahora se tiene cuatro incógnitas que deben evaluarse, en consecuencia se requieren cuatro condiciones para determinarlos con exactitud.

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Suponiendo que la ecuación

FACI-ESIS

I  c0 f ( x0 )  c1 f ( x1 ) ajusta con exactitud la

integral de una constante, una función lineal, una función parabólica y una función cubica, Entonces: 1

CASO 1:

f ( x)  1

c0 f ( x0 )  c1 f ( x1 )   1dx  x 1  2 1

1

1

f ( x)  x

x2  c0 f ( x0 )  c1 f ( x1 )   xdx    0 2  1 1

CASO 3:

f ( x)  x 2

x3  2 2 c0 f ( x0 )  c1 f ( x1 )   x dx    3  1 3 1

CASO 4:

f ( x)  x

1

CASO 2:

1

1

3

1

x4  c0 f ( x0 )  c1 f ( x1 )   x dx    0 4  1 1 1

3

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

c0  c1 f  2 c x  c x  0 0 0 1 1   2  2 2 c x  c x  1 1  0 0 3  3 3  c0 x0  c1 x1  0

Se obtiene las soluciones:

c0  c1  1

1  0,5773503 3 1 x0   0,5773503 3

x0 

Sustituyendo en: I  c0 f ( x0 )  c1 f ( x1 ) Obtenemos

I  c0 f ( x0 )  c1 f ( x1 )  f (

1 1 ) f ( ) 3 3 13

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FACI-ESIS

Así llegamos al interesante resultado de que la suma de los valores de f en 1 1 yx1  y x0   genera una estimación de la integral. 3 3

b

Para la integral de la forma:

I   f ( x)dx a

Hacer un cambio de variable:

x  a0  a1 xd ......[ I ]

Si el límite inferior x=a, corresponde a xd=-1, estos valores se sustituyen en la ecuación anterior.

a  a0  a1 (1)........[ II ] De igual forma al límite superior x=b, corresponde a xd=1.

b  a0  a1 (1)........[ III ]

Restando III -II

Reemplazando

a  a0  a1......[ II ]  b  a0  a1.....[ III ] b  a  2a1 a1 

a1 en III

ba 2 2b  2a0  b  a

b  a0 

b  a  2 a0

ba 2

a0 

ba 2

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Sustituyendo en la ecuación [I]

FACI-ESIS

a0 y a1:

x  a0  a1 xd ......[ I ]

x

b  a  (b  a) xd ba ba  xd  2 2 2

Entonces:

dx 

Ahora

x y dx

ba dxd 2

se pueden sustituir en la ecuación que se habrá de integrar.

Tales sustituciones efectivamente transforman el intervalo de integración sin cambiar el valor de la integral. 8. FORMULAS CON MAS PUNTOS: Aparte de la formula de dos puntos, se pueden desarrollar versiones con más puntos en forma general.

I  c0 f ( x0 )  c1 f ( x1 )  ...  cn1 f ( xn1 ) Donde: n: número de puntos . Los valores de las c y las x para formulas de hasta 6 puntos se resumen en la tabla siguiente.

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Puntos

2

3

4

5

6

FACI-ESIS

Factor de ponderación

Argumentos de la función

Co=1.000000

Xo=-0.577350269

C1=1.000000

X1=0.577350269

Co=0.5555556

Xo=-0.774596669

C1=0.8888889

X1=0.0

C2=0.5555556

x2=0.774596669

Co=0.3478548

X0=-0.861136312

C1=0.6521452

X1=-0.339981044

C2=0.6521452

X2=0.339981044

C3=0.3478548

X3=0.861136312

Co=0.2369269

Xo=-0.906179846

C1=0.4786287

X1=-0.538469310

C2=0.5688889

X2=0.0

C3=0.4786287

X3=0.538469310

C4=0.2369269

X4=0.906179846

Co=0.1713245

X0=-0.932469514

C1=0.3607616

X1=-0.661209386

C2=0.4679139

X2=-0.238619186

C3=0.4679139

X3=0.238619186

C4=0.3607616

X4=0-661209386

C5=0.1713245

X5=0.932469514

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II.

FACI-ESIS

EJEMPLO. Usar el método de Gauss-legendre con dos puntos para aproximar la integral de de la siguiente función:

f ( x)  0.2 + 25x - 200 x 2 + 675x 3 - 900 x 4 + 400 x 5 Entre los límites:

a  0; b  0.8

Valor verdadero I=1.640533 SOUCION: Como el intervalo de integración es a  0; b  0.8y 1 1 x0   0,5773503 x1   0,5773503 3 3

c0  c1  1

Entonces remplazando en b 1 ba ba ba a f ( x)dx 1 f ( 2  2 x d ) 2 dx d ba ba ba f(  x d )dx d  2 1 2 2 1

I

ba ba ba ba ba  c0 f (  x 0 )  c1 f (  x1 )  2  2 2 2 2  0.8  0   0 .8  0 0 . 8  0   0.8  0 0.8  0  I (1) f   (0,5773503)   (1) f   (0,5773503)   2  2 2  2   2 

I

I  0.4 f 0.1690598923  f 0.6309401077 

 0.2 + 25(0.1690598923)   0.2 + 25(0.6309401077)      2 2 200 ( 0 . 1690598923 ) 200 ( 0 . 6309401077 )          I  0.4   675(0.1690598923) 3    + 675(0.6309401077) 3     - 900(0.1690598923) 4   - 900(0.6309401077) 4      5  5    + 400(0.1690598923)   + 400(0.6309401077)  I  0.41.291851362  3.264593082

Obtenemos

I  1.822577778

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FACI-ESIS

Comprobando en matlab los resultados del problema:

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III.

FACI-ESIS

ALGORITMO COMPUTACIONAL.(para dos puntos)

INICIO

leer f ( x), [a, b]

x0  0.577350269 x1  0.577350269 c0  1; c1  1

a0 

ba ba ; a1  2 2

x  a0  a1 x d

I

ba  ba ba ba ba  c0 f (  x0 )  c1 f (  x1 )  2  2 2 2 2 

escribir I

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IV.

FACI-ESIS

CÓDIGO FUENTE f=inline(get(handles.edit3,'string')); a=str2double(get(handles.edit1,'string')); b=str2double(get(handles.edit2,'string')); n=str2double(get(handles.popupmenu1,'string')); x0=-0.577350269; x1=0.577350269; c0=1; c1=1; P=(b-a)/2*x0+(b+a)/2; P1=(b-a)/2*x1+(b+a)/2; I=(b-a)/2*(f(P)+f(P1)); set(handles.edit4,'string',num2str(I)) Para graficar: f=inline(get(handles.edit3,'string')) a=str2double(get(handles.edit1,'string')) b=str2double(get(handles.edit2,'string')) ezplot(f,a,b) Para limpiar: set(handles.edit1,'string',' ') set(handles.edit2,'string',' ') set(handles.edit3,'string',' ') set(handles.edit4,'string',' ') Para cerrar el programa: close(gauss_beta);

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V.

FACI-ESIS

CONCLUSIONES.

 Como conclusión podemos decir que el método de Gauss-legendre aproxima el valor de una integral usando un cambio de variables.  De esta manera hace que los límites de integración sean desde -1 hasta 1, entonces así se estima mejor la integral usando el método de Gausslegendre.

VI.

BIBLIOGRAFIA.

 Métodos numéricos para ingenieros, Chapra-canale, 6ta edición.

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