Gauss 1c170

Marco Teórico La historia del teorema de Gauss, o teorema de la divergencia, tiene se interés en el sentido de que ni mucho menos es Gauss el único implicado en el enunciado y demostración del mismo. De hecho parece ser que en principio Gauss consideró tres casos particulares (que se preocupó de demostrar) de un teorema más general que enunció y demostró el matemático ruso Mikhail Ostrogradski en un trabajo que presentó a la Academia de Ciencias de París en 1826 (aunque, si nos ponemos estrictos, podemos considerar a Lagrange y Laplace como los verdaderos precursores, gracias a la utilización delTeorema Fundamental del Cálculo). Los matemáticos ses Simeon Denis Poisson y Frederic Sarrus también presentaron, en 1828 y de forma independiente, demostraciones de este resultado. El matemático inglés George Green también tuvo cierta relación con este interesante y útil teorema. Por otra parte, parece que todos los matemáticos que enunciaron y probaron versiones de este teorema estaban interesados en él por razones físicas (aunque en algunos casos demostraran resultados generales): Gauss en teoría de atracción magnética, Ostrogradski en teoría del calor, Green en electricidad y magnetismo, Poisson en cuerpos elásticos y Sarrus en cuerpos flotantes. En casi todos los casos el teorema estaba incluido como herramienta en un trabajo más extenso que tenía una finalidad física.

El Teorema de la divergencia es una analogía, en tres dimensiones, del Teorema de Green en el plano, donde en este caso se establece la relación que existe entre una integral sobre la superficie S y la integral triple de una región sólida B, en la cual la superficie S es su frontera. Relaciona una integral triple extendida a un sólido con una integral de superficie tomada sobre la frontera de dicho sólido. Concretamente, asegura que el flujo de un campo vectorial hacia el exterior de una superficie cerrada es igual a la integral de la divergencia de dicho campo vectorial sobre el volumen encerrado por la superficie. Se trata de un resultado paralelo a los teoremas de Green y Stokes, en el sentido de que vincula una integral sobre un objeto geométrico cerrado (curva o superficie) con otra integral sobre la región contenida (superficie o volumen).

Que viene a decir que toda cantidad que surge o se consume, pues la divergencia equivale a una fuente o a un sumidero, según sea el signo que tenga, en el interior de un volumen, (miembro izquierdo de la igualdad), es igual a la cantidad que atraviesa la frontera de dicho volumen (segundo término). Esto se ve más claro en la imagen siguiente, donde denota el volumen y la superficie que delimita dicho volumen:

El segundo término del teorema de la divergencia define precisamente el flujo de una magnitud a través de una superficie. A la hora de aplicar el teorema de la divergencia hay que notar que tanto la magnitud que está fluyendo como la superficie tienen carácter vectorial. En el caso de la superficie esto puede resultar chocante, pero para tratar una superficie de forma vectorial no tenemos más que definir un vector que tenga como módulo el valor de la superficie y, como dirección y sentido, los dados por la normal que apunta hacia fuera de la superficie: Del lado izquierdo se tiene la integral de superficie del campo vectorial producto punto con el diferencial de superficie, donde aquí se define una dirección del diferencial de S, con el gradiente de la región a la cual está pasando el flujo que puede ser bien una esfera un cilindro o incluso un cubo. Del lado derecho se tiene la integral de volumen de la divergencia del campo vectorial F con la diferencia del volumen, donde la divergencia no es más que el producto punto de nabla con la función. DEMOSTRACIÓN. Sea F = (P,Q,R). Entonces ❑

❑

❑

❑

v

v

v

v

dxdydz ) ∭ ¿ ⃗F dxdydz =∭ ( ∂∂ Px dxdydz )+∭ ( ∂∂ Qy dxdydz )+∭ ( δR δz

Por otra parte:

❑

❑

❑

s

s

s

∬ ⃗F . ⃗n d ⃗s =∬ ( P ´i +Q ⃗j+ R ⃗k ). n⃗ d ⃗s =∬ ( P´i ⃗n +Q ⃗j ⃗n + R ⃗k ⃗n ) d ⃗s Por lo cual se puede establecer las siguientes igualdades: ❑

❑

∬ ( P ´i n⃗ ) d ⃗s =∭ ∂∂ Px dxdydz s v ❑

❑

s

v

❑

❑

s

v

(

∬ (Q ⃗j ⃗n )d ⃗s=∭

)

dxdydz ) ( ∂Q ∂y

dxdydz ) ∬ ( R ⃗k ⃗n ) d ⃗s =∭ ( δR δz Esto demostrará el teorema para todos los sólidos que son proyectables simultáneamente sobre los tres planos coordenados, y también para sólidos descomponibles en recintos proyectables sobre los tres planos. En efecto, el teorema de la divergencia se extiende a estos últimos aplicándolo a cada una de las partes resultantes de la descomposición y teniendo en cuenta que los conjuntos de volumen nulo no contribuyen a la integral triple, mientras que las aportaciones a la integral de superficie de las caras comunes a los recintos adyacentes se cancelan dos a dos porque las normales exteriores tienen sentidos opuestos sobre esas caras.

Interpretación física de la divergencia En un punto P, la divergencia div F(P) es la tasa de flujo neto hacia el exterior en P por unidad de volumen. En efecto, sea Ωρ una bola en R 3 centrada en P, de radio ρ.

El punto P se dice una fuente o un sumidero según que div F(P) > 0 ó div F(P) < 0, ya que en el primer caso la tasa de flujo neto cerca de P se produce hacia el exterior mientras que en el segundo se produce hacia el interior. ❑

∬ ⃗F d ⃗s =0

Si div F = 0 entonces

s

para toda superficie cerrada S,

mostrando que el flujo de F a través de S es nulo. Así pues, si F es el campo de velocidad de un fluido, la cantidad neta de fluido que fluye hacia afuera es nula; esto es, entra la misma cantidad de fluido que sale, por unidad de tiempo. Un fluido con esta propiedad se denomina incompresible. Ejercicios: Ejercicio 5 (Stewart Pág. 1103) 

Mediante el teorema de la divergencia calcule la integral de superficie.

∬ F . ds

; es decir el Flujo de F a través de S.

F ( x , y , z ) =e x sen y ⃗i+ cos y e x ⃗j+ yz2 ⃗k S :superficie limitada por los planos x=0, x=1 ; y=0, y=1 ; z=0, z=2

❑

❑

s

v

∬ ⃗F . d ⃗s =∭ ¿ ⃗F dv ❑

❑

dv ∭ ∇ ⃗F dv=∭ ∂∂Mx + ∂∂ Ny + δP δz v v

(

)

❑

¿∭ 2 yz dv v

z =2 y=1 x=1

∫ ∫ ∫ 2 yz dzdydx

z =0 y=0 x=0

2 1

¿∫ ∫ 2 yz dydz 0 0

2

¿∫ −1

¿2

2

z dz 2

Ejercicio 7 (Stewart Pág. 1103) 

Mediante el teorema de la divergencia calcule la integral de superficie.

∬ F . ds

; es decir el Flujo de F a través de S.

⃗ x e z ⃗j + z 3 ⃗k F ( x , y , z ) =3 x y 2 i+ S :superficie del solido limitado por el paraboloide z 2+ y 2 =1 y el plano x=−1, x=2 ❑

❑

s

v

∬ ⃗F . d ⃗s =∭ ¿ ⃗F dv ❑

❑

dv ∭ ∇ ⃗F dv=∭ ∂∂Mx + ∂∂ Ny + δP δz v v

(

)

❑

¿∭ 3 y 2 +0+ 3 z 2 dv v

❑

¿∭ 3( y 2 + z 2)dxdy dz v

❑

¿∭ 3 dxdy dz v

x=2

y=1

∫ ∫

z= √ 1− y

2

∫

3 dzdydx

x=−1 y=−1 z =− √1− y 2 2

1

¿ 3 ∫ ∫ 2 √ 1− y 2 dydx −1 −1

2

¿ 3 ∫ π dx −1

¿9π

El Teorema de la Divergencia sirve para regiones sólidas simples, pero también se puede demostrar para regiones que son uniones finitas de regiones sólidas simples. El teorema de la divergencia se llama a veces teorema de Gauss en honor al matemático alemán Karl Friedrich Gauss (1777-1855), quien descubrió este teorema durante su investigación sobre electrostática. El teorema nos relaciona con lo que pasa en una superficie cerrada con lo que hay dentro de ella. Si la superficie fuera una cortina opaca que no nos dejara ver que hay dentro, aún podríamos obtener información sobre ese sistema estudiando lo que pasa en la superficie a la que si tenemos . La integral triple de la divergencia de un campo vectorial en un volumen dado es igual al flujo de dicho campo a través de la superficie que encierra dicho volumen, tiene su aplicación práctica en el mundo real (calcular la fuerza con la que un hilo cargado atrae a una carga, por ejemplo).

El teorema de la divergencia define precisamente el flujo de una magnitud a través de una superficie. A la hora de aplicar el teorema de la divergencia hay que notar que tanto la magnitud que está fluyendo como la superficie tienen carácter vectorial. En el caso de la superficie esto puede resultar chocante, pero para tratar una superficie de forma vectorial no tenemos más que definir un vector que tenga como módulo el valor de la superficie y, como dirección y sentido.