Ejercicios 3l6c5o

Recopilación de Ejercicios Modelos Estocásticos Profesores: Linco Ñanco Mercado / Javiera Silva Arroyo Agosto 2018

Conceptos y Comentes 1. Comente. Las políticas de mantención tiene como objetivo prevenir la falla y asegurar la continuidad operacional. 2. Comente. En los costos totales asociados a una mantención preventiva se deben considerar costos de prevención (que incluye costos de mano de obra, repuestos, entre otros) y de ineciencia por la detención de la máquina sujeta a dicha mantención. 3. Comente. Un proceso de conteo que cumple con incrementos estacionarios implica, en palabras simples, que los eventos ocurren de uno en uno, es decir, la probabilidad de que ocurran dos o más eventos en un intervalo pequeño (tendiendo a cero) es cero. 4. ¾Cuál es la diferencia discutida en clases entre la distribución de Poisson y la distribución exponencial? 5. Comente. Su profesor le entrega dos cajas, una vacía y otra con una cantidad de a bolitas rojas y b bolitas azules. El experimento a realizar consiste en sacar una bolita al azar, anotar su color y dejarla en la caja de al lado. Su profesora le pide estudiar la probabilidad de obtener

k

éxitos en

m

intentos. Como vimos en clases, usted

utilizará la distribución binomial. 6. Comente. La función de masa permite obtener la probabilidad de que una variable continua se encuentre en un intervalo en especíco. 7. Comente. La varianza es el segundo momento de un conjunto de datos. 8. Comente. De acuerdo a lo discutido en clases, en un proceso de Poisson, el tiempo que transcurre hasta el n-ésimo evento sigue una distribución exponencial. 9. Comente. La función cero permite demostrar que en un proceso de poisson posee incrementos estacionarios. 10. Considere un experimento de Bernoulli que es repetido en forma sucesiva. La variable aleatoria que cuenta la cantidad de veces seguidas que este experimento es exitoso hasta que ocurre el primer fracaso sigue una distribución Binomial. 11. Suponga que la cantidad de personas que entran a un Banco en un intervalo de tiempo determinado es aleatoria y distribuye Poisson. El tiempo que transcurre entre la primera y la cuarta llegada es una variable aleatoria que distribuye exponencial. 12. Un proceso de conteo es estrictamente creciente en el tiempo. 13. Explique la utilidad de los modelos de Cadenas de Markov en el contexto del curso de Modelos Estocásticos. 14. Explique qué es un proceso de nacimiento y muerte, y mencione al menos un ejemplo de aplicación de este tipo de modelos. 15. Graque un proceso de Poisson, identicando todos los elementos involucrados en el mismo (variables).

1

16. ¾Qué es una función cero y cuál es la utilidad discutida en clases en el contexto de Procesos de Poisson? 17. Explique qué es una Cadena de Markov de parametro continuo. 18. Describa qué características tiene un sistema M/M/3/20. 19. Comente: desde el punto de vista del tiempo, para un mismo proceso, un sistema M/M/2 siempre tendrá un mejor desempeño que un sistema M/M/1. 20. Comente.

La varianza corresponde al segundo momento de una distribución de probabilidad, siendo una

medida numérica no observable en la gráca de distribución. 21. ¾Qué aspectos cumple un proceso de Poisson? 22. ¾Qué implica el cumplimiento de la condición de orden? 23. En clases, concluímos que para un proceso de Poisson se cumple

P {T 1 > t} = P {N (t) = 0}.

Explique

intuitivamente este resultado. 24. En clases, para el caso de una distribución exponencial, discutimos sobre la probabilidad condicional para esta variable aleatoria:

P {X > s + t|X > t} = P {X > s}.

¾Qué signica este resultado? ¾De dónde proviene?

¾Qué relación tiene con la distribución mencionada? 25. Explique exhaustivamente la propiedad Memoryless. 26. ¾Qué política de mantención recomienda para una unidad con una tasa de falla creciente y costo de emergencia alto? 27. Encuentre la Esperanza de una variable que se distribuye exponencialmente a través de la función generadora de momentos. 28. ¾Cuál es la diferencia entre la distribución binomial y la distribución de Poisson? 29. Explique las propiedades Markovianas. 30. Explique qué es estado estacionario en cadenas de Markov. 31. ¾Qué es la función de renovación? 32. ¾Qué política de mantención recomienza para una unidad con una tasa de falla decreciente y un costo de emergencia bajo? 33. De acuerdo a lo discutido en clase, ¾Cuál es la esperanza en una distribución Gamma de parámetros

(k, λ)?

34. Explique la diferencia entre una función de densidad de probabilidad y una función de distribución, indicando las condiciones que cada una de estas debe cumplir para ser válida. 35. Explique qué es un proceso de Poisson compuesto y dé al menos un ejemplo, argumentando por qué corresponde a un proceso de este tipo. 36. En el contexto de Cadenas de Markov, explique qué es la matriz de probabilidades de transición, y cuál es su rol en este tipo de modelos. 37. Explique en qué consiste un experimento de Bernoulli, y de dos ejemplos de distribuciones de probabilidad derivadas de este. 38. Explique qué es un proceso de nacimiento y muerte, y mencione al menos un ejemplo de aplicación de este tipo de modelos. 39. Explique cómo se ve afectada la elección de una política de mantención según el comportamiento de la tasa de falla en el tiempo (creciente, constante, decreciente, etc.).

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Ejercicio: Solemne 1 1. La probabilidad de que, en este n de semana santo, este viernes llueva es del 50%, de que llueva el sábado es del 50% y de que llueva el domingo es del 50% también. Si la lluvia en cada día es un suceso independiente, ¾Cuál es la probabilidad de que llueva el n de semana santo?

(R:0.875)

2. Un vendedor vende en el mes una cantidad aleatoria de productos (representada por la variable x), y tiene la siguiente función de ingresos: I=250.000+500X. La demanda del producto x sigue una distribución uniforme entre 5.000 y 7.000 unidades. ¾Cuál es el ingreso mensual esperado para nuestro vendedor?

(R:3.250.000)

3. Un ingeniero está haciendo una inspección de calidad en la fórmula de premezcla de pizza en la empresa ELEGIDA. Para esto, selecciona al azar paquetes de premezcla y anota el resultado en su sistema de gestión de calidad. De acuerdo a los datos recopilados, los paquetes de premezcla están bajo de los estándares de la empresa un 15% de las veces y, en esos casos, el producto debe ser reprocesado (suponga que el costo de reprocesamiento estimado por paquete es de $2.300 por uso de máquinas y adición de insumos faltantes). Sabiendo esto: (a) ¾Cuál es la probabilidad de que el segundo saco bajo el estándar aparezca a lo más en la cuarta selección

(R:BinNeg(2,0.15)) (R:6,67) al azar?

(b) ¾En promedio, cuántos sacos deben seleccionarse al azar hasta obtener el primer saco bajo el estándar?

(c) Si se inspeccionan 100 paquetes de producto, ¾Cuál es el costo de ineciencia promedio asociado al incumplimiento de los estándares detectado en la inspección?

(R:34.500)

4. En una urna hay 5 bolas rojas, 7 blancas y 8 verdes. El experimento a realizar consiste en sacar una bolita al azar de la urna, anotando el color y devolviendola a la urna. (a) Suponga que se repite este experimento 20 veces. ¾Cuál es la probabilidad de que en estos intentos, el número de bolas blancas extraídas sea a lo más 3?

(R:0,04437)

(b) ¾Cuántos intentos se necesitarán en promedio para obtener la quinta bolita blanca?

(R:9,29)

5. Un vendedor debe realizar 20 visitas diarias a distintos lugares de santiago y, una vez terminadas estas visitas, puede regresar a su ocina a informar a su supervisor. La experiencia muestra que hay un 40% de probabilidad de que en una visita a un cliente, el vendedor consiga una venta. Sabiendo esto:

(R:0,00003656) (R:0,9964)

(a) ¾Cuál es la probabilidad de que el día termine sin ninguna venta para nuestro vendedor? (b) ¾Cuál es la probabilidad de que el vendedor consiga a lo menos 3 ventas en el día?

(c) Si el vendedor sólo vende bolsas de un kilo de café en grano a $28.000, ¾cuál es la venta diaria promedio?

(R:8)

6. A una pequeña lavanderia los pedidos de lavado de trajes enteros llegan a una tasa de 10 pedidos por hora, de acuerdo a un Proceso de Poisson. (a) ¾Cuál es la probabilidad de que no lleguen trabajos durante el día, suponiendo que el taller está abierto 8 horas al día?

(R:0)

(b) ¾Cuál es la probabilidad de que no lleguen trabajo durando una hora cualquiera del día?

(R:0,0000454)

7. Los autos llegan al azar a una bencinera POPEC. El tiempo promedio entre llegadas es de 0.05 horas. Determine la probabilidad de que el tiempo entre llegadas no exceda 1 minuto (supuesto: distribuye exponencialmente).

(R:0,2835)

el tiempo se

8. Un alumno de Ingenieria Civil Industrial estaciona ilegalmente su auto en el sector de República dos veces al día por el periodo de una hora cada vez. La pasada de los inspectores municipales es un Proceso de Poisson con un promedio de

λ

pasadas por hora. ¾Cuál es la probabilidad de que no le pasen un parte al alumno?

9. Los clientes entran a una tienda de acuerdo a un Proceso de Poisson con intensidad de 10 por hora. De manera independiente, cada cliente compra algo con probabilidad 0,3 o sale de la tienda sin comprar nada. ¾Cuál es la probabilidad de que durante la primera hora 9 personas entren a la tienda y que tres de estas personas compren algo y las otras 6 no?

(R:0,033)

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10. Supongamos que la cantidad de clientes que llegan a una veterinaria se rige por un proceso de Poisson de intensidad 4 por día y que por cada mascota que lleva cada cliente en cada visita se entrega una bolsa de alimento cuyo peso es una variable aleatoria independiente con distribución uniforme continua sSuponga, además, que cada cliente llega con una sola mascota.

U [1, 3].

Se quiere hallar la media de la cantidad

anual de mascotas atendidas y el costo promedio en regalos en dicho plazo, suponiendo que el kilo de alimento cuesta $11.890. Suponga que la veterinaria atiende 8 horas al día de lunes a sábado.

(R:29.677.440)

11. Se recepcionan solicitudes académicas de alumnos de programas vespertinos de las carreras de Ingenieria Civil Industrial (ICI) e Ingenieria Comercial (IC) según un Proceso de Poisson de tasa 10 solicitudes por hora. Las solicitudes proceden de alumnos ICI con probabilidad 0.7. (a) En un intervalo de 10 minutos ¾Cuál es la probabilidad de que los alumnos ICI hayan realizado 9 solicitudes académicas?

(R:0,0000034)

(b) ¾Cuál es la probabilidad de que en 1 hora 10 solicitudes sean realizadas por alumnos ICI y 12 por alumnos IC? 12. Natalia es vendedora en un local de comida chatarra que abrió sus puertas hace poco tiempo.

No es una

buena vendedora, y suele ocupar su tiempo de trabajo en tratar sus propios asuntos. Esto lo hace a pesar de que a la tienda llegan en promedio 5 clientes por hora de acuerdo a un proceso de Poisson. Suponga que ella deja su puesto 2 veces al día, por 60 minutos cada vez. (a) ¾Cuál es la probabilidad de que no pierda ningún cliente en ambas salidas?

(R:0,000045) (R:0,97035)

(b) ¾Cuál es la probabilidad de que pierda 3 o más clientes en la primera salida?

13. El tiempo T requerido para reparar una máquina es una variable aleatoria continua (v.a.c.) exponencialmente distribuida con media 1/2 (horas). (a) ¾Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reparación supere la media hora?

(R:0,3679)

(b) ¾Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reparación requiera al menos 12 horas y media dado que su duración supera las 12 horas?

(R:0,3679)

14. Supongamos que el tiempo de funcionamiento de una ampolleta está exponencialmente distribuida con media 10 horas. Supongamos que una persona entra en una habitación donde hay una ampolleta encendida. ¾Cuál es la probabilidad de que no se funda la ampolleta si la persona desea trabajar 5 horas?

(R:0,6065)

15. Sea X una v.a. representando la duración de una llamada de teléfono. Supongamos que sigue una distribución exponencial con valor esperado 25 minutos. Calcular la probabilidad de, si llevamos 30 minutos, hablemos en total más de 50 minutos.

(R:0,4493)

16. El tiempo de vida de una radio está exponencialmente distribuida con una media de diez años.

Si Jaime

compra una radio que tiene diez años, ¾Cuál es la probabilidad de que siga funcionando durante otros diez años más?

(R:0,3679)

17. Viña Santo Diablo está promocionando su nuevo vino y organizó un concurso en su evento de lanzamiento. Dicho concurso consiste en lanzar una moneda al aire y ganar una de las 20 copas grabadas (claro, con vino para degustar). El tiempo medio de ingreso de concursantes al proceso es de 5 minutos. Con esta información determine: (a) Plantee la probabilidad de que concursen desde 18 personas en la primera media hora. (b) Plantee la probabilidad de que se agoten las copas en una hora. (c) ¾Cuál es el tiempo esperado hasta la llegada del quinto ganador? 18. Suponga que usted es el Jefe a cargo del área de ventas telefónicas de una empresa. En base a su experiencia, usted estima que la probabilidad de realizar exitosamente una venta telefónica es de un 10%. El área opera 20 días en un mes. (a) Si un vendedor realiza 10 llamadas por día, ¾cuál es la probabilidad de que concrete 25 ventas en un mes?

(R:0,044)

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(b) Si la meta de ventas de un vendedor es de 50 ventas por mes, ¾cuál es la probabilidad de que logre cumplir la meta si realiza 300 llamadas en el mes? (c) ¾Cuántas llamadas debe hacer un vendedor, en promedio, para concretar una venta?

(R:10)

19. Suponga que usted se encuentra esperando su turno para ser atendido en una farmacia, y tiene el número 75. Justo en el momento en que comienzan a atiender al cliente que tiene el número 74 (la farmacia atiende sólo a una persona a la vez), usted recuerda que debe comprar algunos productos en una tienda cercana. Considere que el tiempo medio de atención de un cliente en esta farmacia es de 10 minutos. (a) ¾Por cuánto tiempo puede salir de tal forma que la probabilidad de que llamen al número 75 antes de que usted llegue sea de un 10%?

(R:1,053 minutos)

(Hint: recuerde que para despejar Con esto, obtiene

x

en una ecuación de la forma

ex = a,

puede aplicar la función

Ln(∗).

x = Ln(a)).

(b) Si usted estima que se va a demorar 4 minutos en ir, comprar lo que necesita y volver a la farmacia, ¾Cuál es la probabilidad de que pierda su turno?

(R:0,3296)

20. En cierto día, un vendedor en terreno debe realizar 15 visitas. Estas visitas son programadas con antelación, y conrmadas por los clientes (Ej: un vendedor de equipos médicos que visita hospitales). De acuerdo con las estadísticas que maneja, el vendedor estima que cada visita puede transformarse en una venta con un 10% de probabilidad. Considerando esto, responda las siguientes preguntas: (a) ¾Cuál es la probabilidad de que el vendedor concrete 14 ventas?

(R:Bin(15;0,1)

(b) ¾Cuántas visitas debe realizar el vendedor, en promedio, para realizar su primera venta?

(R:10)

(c) Si cada venta reporta un ingreso por $15.000, ¾Cuál debiera ser el ingreso promedio generado por este

(R:22.500) (R:BinNeg(2;0,1)

vendedor?

(d) ¾Cual es la probabilidad de que el vendedor logre hacer 2 ventas habiendo programado como máximo 4 visitas?

21. Suponga que usted istra un servicio web que recibe requerimientos de acuerdo con un Proceso de Poisson cuya intensidad varía a lo largo de un día:

00:00-08:00 08:00-12:00 12:00-24:00

λ=2

requerimientos por hora.

λ = 100

requerimientos por hora.

Periodo nocturno, con Periodo de mañana, Periodo de tarde,

λ = 150

requerimientos por hora.

(a) Usted reconoce que el mejor horario para realizar una mantención del servidor que provee este servicio es el nocturno.

¾Cuál es la duración máxima que debiera tener esta mantención de tal forma que la

probabilidad de que no hayan requerimientos sea de un 50%? (Hint: recuerde que para despejar Con esto, obtiene

x

(R:0,3466)

en una ecuación de la forma

ex = a,

puede aplicar la función

Ln(∗).

x = Ln(a)).

(b) Suponga que cada requerimiento que llega al servidor puede involucrar la descarga de un archivo que se encuentra almacenado en otro servidor, lo que ocurre con un 5% de probabilidad. ¾Cuál es la probabilidad de que durante el periodo de mañana lleguen menos de 10 solicitudes de descarga de archivos a este servidor de archivos? 22. Considere una tienda que vende artículos para el jardín se ha abastecido de 25 maceteros de color verde, 15 azules y 10 rojos (este es su stock). La tienda pronostica que las compras de maceteros para la próxima semana ascenderán a 35. Se conoce además que cuando un cliente compra un macetero, hay una probabilidad de un 30% de que desee uno de color verde, un 30% de color rojo, y un 40% de color azul. (a) Plantee la probabilidad de que la tienda se quede sin stock de maceteros verdes. (b) ¾Cuál es la probabilidad de que las primeras 10 compras sean de maceteros azules? 23. Considere una empresa que vende cierto producto cuya tasa

constante

de producción es de 15 unidades por

día. Los pedidos por este producto llegan según un proceso de Poisson de tasa por mes.

Page 5

(R:0,0000059)

promedio

de 360 unidades

(a) Plantee la probabilidad de que la empresa no pueda abastecer todos los pedidos de un día. (b) ¾Cuál es el tiempo promedio en que transcurre las llegadas de pedidos (en horas)?

(R:0,8333)

24. Suponga que usted se encuentra esperando su turno para ser atendido en una farmacia, y tiene el número 75. La farmacia atiende a una sola persona a la vez, y el tiempo medio de atención es de 5 minutos (distribuido exponencialmente). Esta farmacia funciona todos los días, de 08:00 a 20:00. Adicionalmente, considere que los clientes llegan a esta farmacia de acuerdo con un proceso de Poisson, a una tasa de 10 [clientes/hora]. (a) Si acaban de atender al cliente número 73, cuál es la probabilidad de que usted sea atendido dentro de los próximos 10 minutos? (b) Suponga que en un día particular, la farmacia cuenta con un inventario limitado de Xumadol (P unidades). A partir de información histórica, se ha determinado que hay una probabilidad del 5% de que una persona que entra a la farmacia compre una unidad de Xumadol.

Cuál es la probabilidad de que la farmacia

venda la totalidad del Xumadol disponible? 25. El tiempo entre la llegada de clientes a un puesto de la Fonda Mekuyuy sigue una distribución exponencial con media 15 minutos. El puesto de la tienda ofrece choripanes y anticuchos, cuyo tiempo de cocción sigue una distribución exponencial con media 10 y 20 minutos respectivamente. Adicionalmente, se sabe que cada cliente que llega al puesto tiene una probabilidad de un 15% de solicitar un choripán, un 10% de solicitar un anticucho y un 75% de no comprar nada. Respecto al stock, el puesto cuenta con un stock de 100 choripanes y 120 anticuchos. De acuerdo a dicha información, conteste: (a) El parrillero coloca los choripanes en la parrilla y sale a dar un paseo por la fonda de 15 minutos. ¾Cuál es la probabilidad de que llegue un cliente antes de que vuelva de su paseo?

(R:0,6321)

(b) Suponga que el parrillero coloca simultáneamente 10 choripanes sobre la parrilla, ¾Cuál es la probabilidad de que todos los choripanes estén listos antes de 7 minutos?

(R:0,00104) (R:57)

(c) ¾Cuántos clientes en promedio deben llegar para vender 10 choripanes?

(d) Si se estima que lleguen 500 clientes al puesto, plantee la probabilidad de que el puesto se quede sin stock de choripanes. (e) ¾Cuál es la probabilidad de que un choripán esté listo en al menos 3 minutos más dado que ya lleva 7 minutos en la parrilla?

(R:0,7408)

(f ) Suponga que llegan 10 clientes, ¾Cuál es la probabilidad de que más de 3 de ellos compren un choripan?

(R:0,04996)

26. Dos amigos, Carlos y José Miguel, deciden jugar al tiro al blanco; esto es gracioso para ellos, puesto que ninguno de los dos tiene buena puntería y siempre dejan marcas en la pared, molestando al dueño de la ocina en donde se encuentra el juego instalado. Así, Carlos tiene una probabilidad de acertar de Miguel de

Nc

pj = 0, 05.

pc = 0, 08

y José

Suponga usted que el juego corresponde a lanzar el dardo N veces hasta acertar (siendo

los lanzamientos de Carlos y

Nj

los de José Miguel).

(a) Suponga que Carlos lanza los dardos el doble de veces que José Miguel. ¾Cuántos tiros debe hacer cada uno para tener la misma probabilidad de ganar? (b) Suponga que se mantienen las condiciones obtenidas antes sobre

Nc

y

Nj

. ¾Cuál es la probabilidad de

que Carlos sea el ganador? (HINT: recuerde que para que esto pase José Miguel debe fallar todos sus tiros, y tenga en cuenta que los juegos de ambos son eventos independientes). 27. Una veterinaria ha dejado la consulta donde atendió por mucho tiempo y ha decidido ser una veterinaria a domicilio. En esto, ha decidido ir bien preparada para la atención de sus pacientes, en especial a los delicados erizos de tierra, por lo que quiere estudiar a fondo la ocurrencia de los casos clínicos que enfrentará.

De

las estadísticas observadas por ella mientras trabajó en la consulta, ella concluyó que las consultas en estos amigables animalitos tienen dos orígenes: resequedad de piel entre púas y presencia de ácaros. Ambos males se presentan según procesos de Poisson independientes, de tasa [casos/día para presencia de ácaros.

λr

[casos/día] para resequedad de piel y

λa

Siendo que este estudio se escapa de su área de conocimiento, le ha

solicitado a usted ayuda para responder a lo siguiente:

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(a) ¾Cuál es la probabilidad de tener K casos clínicos, independiente de su origen durante el primer mes? (b) ¾Cuál es la probabilidad de tener J casos sólo de origen de resequedad de piel durante el primer mes? (c) Si durante el primer mes de atención se han reportado F casos, ¾cuál es el número esperado de casos para el segundo mes? 28. La pizzería Mamma Juana ha realizado un estudio de mercado a n de tener mayor conocimiento respecto a sus consumidores. En un principio, se ha concluido que la piña es un ingrediente que se usa en un 10% de las veces. (a) ¾Cuál es la probabilidad de que el primer pedido de pizza sin piña sea antes del décimo pedido? (b) Si cada pizza con piña cuesta 5.000 y las de otro tipo 6.000, ¾Cuál es la probabilidad de que la venta promedio de hoy (en pesos) asociada a las pizzas sin piña sea igual a 500.000? (c) ¾Cuál es el número promedio de pedidos para que se consuman 60 porciones de piña? 29. Considere un sistema compuesto por 4 máquinas que son parte de una línea de producción, a las que denominaremos como: A, B, C y D.

Asuma

2

R(t) = e−(t/100)

para A, B, C y D. Suponga, además, que el componente B es el único que funciona,

y cuando este falla, el componente C es el que lo reemplaza hasta que es reparado. (a) ¾Cuál es la probabilidad de que el sistema falle antes de 15 días? (b) ¾Cuál es la probabilidad de que la falla se deba a la detención de D, dado que sabe que el sistema falló? 30. Un entrenador Pokémon debe atravesar un túnel en el que suelen aparecer Zubat. Suponga que tardará 5 minutos en atravesar el tunel, y que los Zubat aparecen a una tasa de 4 por minuto. (a) ¾Cuál es la probabilidad de que atraviese el túnel sin encontrar Zubats en su camino? (b) ¾Cuá es la probabilidad de que, en los primeros 2 minutos de recorrido, el entrenador encuentre menos de 2 Zubats? (c) Cansado de encontrar Zubats, el entrenador decide utilizar un repelente, que provoca que un 10% de los Zubats que están en las cercanías decidan enfrentar al entrenador, mientras que el resto se aleja. ¾Cuál es la probabilidad de que el entrenador atraviese el túnel sin encontrar Zubats en su camino? 31. Un vendedor planica sus visitas a clientes a n de cumplir con las metas impuestas por su supervisor. Planica 2 visitas al día (suponga que el mes tiene 24 días hábiles) y sabe que la probabilidad de que el cliente envíe una orden de compra en una visita es de un 15%. (a) Cuál es la probabilidad de que la primera orden de compra sea enviada a lo más en la quinta visita? (b) El supervisor ha jado una meta de 32 órdenes de compra en el mes. Plantee la probabilidad de que el vendedor cumpla con dicha meta. 32. Un vendedor telefónico a a los clientes de la base de datos asignada por su supervisor, concretando un promedio de 8 órdenes de compra al mes. (a) Si el supervisor ha jado una meta de 32 órdenes de compra, plantee la probabilidad de que el vendedor no cumpla la meta.

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(b) Cuál debería ser la tasa promedio de cierre de ventas por mes para la probabilidad de que el vendedor cierre al menos dos ventas por mes sea de un 90%? 33. La pizzería Mamma Juana ha realizado un estudio de mercado a n de tener mayor conocimiento respecto a sus consumidores. En un principio, se ha concluido que la piña es un ingrediente que se usa en un 10% de las veces. (a) ¾Cuál es la probabilidad de que el primer pedido de pizza con piña sea antes del décimo pedido? (b) Si cada pizza con piña cuesta 5.000, ¾Cuál es la probabilidad de que la venta promedio de hoy (en pesos) asociada a las pizzas con piña sea igual a 500.000? (c) ¾Cuál es el stock diario promedio de porciones de piña para las pizzas que debe mantener si espera tener 500 pedidos hoy? 34. Considere un sistema compuesto por 4 máquinas que son parte de una línea de producción, a las que denominaremos como: A, B, C y D.

Asuma

2

F (t) = 1 − e−(t/100)

para A, B, C y D. Suponga, además, que el componente B es el único que

funciona, y cuando este falla, el componente C es el que lo reemplaza hasta que es reparado. (a) ¾Cuál es la probabilidad de que el sistema no falle antes de 15 días? (b) ¾Cuál es la probabilidad de que la falla se deba a la detención de A, dado que sabe que el sistema falló? 35. Un entrenador Pokémon debe atravesar un túnel en el que suelen aparecer Zubat. Suponga que tardará 25 minutos en atravesar el tunel, y que los Zubat aparecen, en promedio, cada 4 minutos. (a) ¾Cuál es la probabilidad de que atraviese el túnel sin encontrar Zubats en su camino? (b) ¾Cuá es la probabilidad de que, en los primeros 10 minutos de recorrido, el entrenador encuentre más de 2 Zubats? (c) Suponga que en este tunel además aparecen Dittos, a una tasa de 10 por hora ¾Cuál es la probabilidad de que el entrenador atraviese el túnel sin encontrar Zubats o Dittos en su camino? 36. Un Ingeniero Civil Industrial está estudiando el comportamiento de los ingresos por ventas de una empresa. Hasta el momento, está considerando lo siguiente: hay tres escenarios posibles para los ingresos de la empresa:

•

Optimista: los ingresos por venta son un 20% más altos que en el escenario Normal.

•

Normal: los ingresos por venta ascienden a $20.000.000 en el año.

•

Pesimista: los ingresos por venta son un 20% más bajos que en el escenario Normal.

Si en un año se realiza un escenario en particular, hay un 50% de probabilidad de que al siguiente año esto se repita. Si en un año determinado el escenario es Normal, hay un 20% de probabilidad de que el año siguiente se desarrolle según el escenario Optimista. Si en un año se desarrolla el escenario Optimista, hay un 30% de probabilidad de que el año siguiente sea Normal. Si un año se desarrolla según el escenario Pesimista, hay un 20% de probabilidad de que el año siguiente sea Normal. (a) (2 puntos) En el largo plazo, ¾Cuál es el ingreso anual esperado?

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(b) (2 puntos) Para responder esta pregunta, considere el largo plazo. Si analizamos las ventas de la empresa durante 10 años, ¾Cuál es la probabilidad de que sólo en 3 de estos 10 años se realice el escenario pesimista? (c) (2 puntos) Para responder esta pregunta, considere el largo plazo. ¾Cuál es el número promedio de años requerido para que se dé el primer año Optimista? 37. Suponga que en una empresa se quiere determinar la capacidad requerida para una instalación encargada de reparar los productos defectuosos de una línea de producción. Considere que la tasa de producción de la línea de producción es de

exactamente

20 productos por hora. Según la información recopilada por la empresa,

la probabilidad de que un producto resulte defectuoso es de un 5%. (a) ¾Cuál es la probabilidad de que al cabo de dos horas de iniciada la producción se fabrique el primer producto defectuoso? (b) Si el costo de reparar un producto es de $5.000, ¾Cuál sería costo diario promedio de reparación para esta empresa?. Considere que la línea de producción opera en forma continua (24 horas al día). (c) La instalación encargada de reparar productos no puede operar todo el día y sólo funciona durante 8 horas diarias. ¾Cuál debería ser su tasa de reparación para que, en promedio, se puedan procesar todos los productos defectuosos generados en cada día? 38. Aburrido, en un largo viaje en automóvil, un niño decide empezar a contar los autos de cada color que ve pasar por la pista que va en sentido contrario. Suponga que la tasa a la que ve autos pasar es de 20 automóviles por hora, y que los autos que pasan son de tres colores posibles: rojo, azul o blanco. Considere ademas que un 50% de los autos son de color blanco, y un 30% de color rojo. (a) Si el viaje dura 8 horas, ¾Cuál es la probabilidad de que el niño cuente un total de 25 autos azules durante su viaje? (b) ¾Cuál es la probabilidad de que en una hora cuente cero autos blancos? (c) Habiendo visto un auto de color rojo, ¾Cuál es la probabilidad de que pasen menos de 5 minutos para que vea otro?

Ejercicios: Solemne 2 1. Carolina, la a de una tienda, requiere de su ayuda para analizar ciertos aspectos de su funcionamiento. Hasta el momento, según sus mediciones, ha podido determinar lo siguiente: la tasa media de entrada de clientes es de 20 [clientes/hora]; una cajera de la tienda puede completar el proceso de pago de un cliente en una media de 4 minutos; la probabilidad de que un cliente que entra a la tienda haga una compra es de un 40%. Actualmente la tienda cuenta con una cajera que se encarga del proceso de pago de los clientes que hacen una compra. Considere que esta tienda abre 8 horas al día, y que cuando un cliente compra, el valor promedio de lo que compra es de $5.000. (a) Suponga que han entrado 10 clientes a la tienda. ¾Cuál es la probabilidad de que 9 de ellos hagan una compra? (b) Calcular los ingresos promedio diarios de esta tienda. (c) Calcule el tiempo promedio de espera de un cliente en el sistema, y la cantidad promedio de clientes en la tienda. (d) Carolina sabe que la próxima semana comienza el periodo de compras de navidad, por lo que espera que el ujo de clientes se triplique. Como mínimo, ¾Cuántas cajeras necesitará para que la tienda no colapse? (e) De acuerdo con su respuesta a la pregunta d), calcule el tiempo promedio de espera de un cliente en el sistema, y la cantidad promedio de clientes en la tienda. 2. Carolina, la a de una tienda, requiere de su ayuda para analizar ciertos aspectos de su funcionamiento. Hasta el momento, según sus mediciones, ha podido determinar lo siguiente: la tasa media de entrada de clientes es de 20 [clientes/hora]; una cajera de la tienda puede completar el proceso de pago de un cliente en una media de 4 minutos; la probabilidad de que un cliente que entra a la tienda haga una compra es de un 40%. Actualmente la tienda cuenta con una cajera que se encarga del proceso de pago de los clientes que hacen una compra. Considere que esta tienda abre 8 horas al día, y que cuando un cliente compra, el valor promedio de lo que compra es de $5.000.

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(a) ¾Cuál es la probabilidad de que el décimo cliente que entra a la tienda sea el primero en comprar? (b) Plantee, ¾Cuál es la probabilidad de que los primeros $25.000 pesos en ventas se obtengan con la entrada de 10 o menos clientes? (c) Cuando un cliente quiere comprar, ¾Cuál es su tiempo promedio de espera para ser atendido en caja? (d) Suponga que, para descongestionar la tienda, Carolina decide contratar una segunda cajera. ¾Cuánto mejorará el sistema en términos de la cantidad de personas que están comprando? 3. Suponga que usted debe tomar ciertas decisiones sobre el dimensionamiento de un sistema de atención a clientes. Se sabe que al sistema que está estudiando los clientes llegan según una tasa de Además, se ha estimado que cada módulo de atención a clientes los atiende a una tasa de

λ µ

[clientes/hora]. [clientes/hora].

Responda las siguientes preguntas: (a) Como política de la empresa, se espera que con una probabilidad del 95% el tiempo total de espera de una persona en el sistema sea menor a 30 [minutos]. Encuentre una expresión para el valor mínimo de la tasa de atención

µ

para que esto se cumpla si se cuenta con una sola cajera.

(b) Considere ahora que se necesita más de un módulo de atención para que el sistema no colapse. Encuentre una expresión para la cantidad mínima de módulos de atención requeridos. (c) Suponga que se instalan

s=3

módulos de atención. Determine una expresión para

P {Wq = 0}.

4. Una bomba de bencina ubicada a un costado de la carretera cuenta con una sola bomba y un solo bombero. Se sabe que la máxima cantidad de automóviles que pueden estar en la instalación es 10 (incluido el automóvil que está siendo atendido). Se ha estimado que el tiempo medio entre llegadas de clientes es de 4 [minutos], y que el bombero puede atender a 20 [clientes/hora].

Además, se estima que el valor promedio de una venta a un cliente es de $

15.000. Esta bomba de bencina opera 24 horas al día. (a) En promedio, ¾A cuánto ascienden los ingresos por venta diarios de esta bomba? (b) Calcule el número promedio de clientes esperando atención en la la, y su tiempo de espera promedio en la misma. (c) En promedio, ¾Cuántos clientes son rechazados al día? ¾Cuál es el valor total de las ventas perdidas? 5. Un local de la heladería "Fierissimo" cuenta con una persona encargada de armar y entregar los helados. Esta persona puede hacer 20 [helados/hora], y el tiempo medio entre las llegadas de los acalorados clientes es, en promedio, de 4 [minutos]. El de este local está evaluando la posibilidad de contratar a una segunda persona para armar y entregar los helados, a un costo de $600.000 por mes. Considere además que esta heladería tiene la siguiente política de satisfacción al cliente: si el tiempo de entrega de un helado es mayor a 10 minutos, el helado es bañado en chocolate de forma totalmente gratuita para el cliente, a un costo de $100 para la heladería. El valor promedio de un helado es $1.000, y el local funciona durante 8 horas al día, 20 días por mes. Asumir que cada cliente compra un solo helado. (a) Desde el punto de vista de la cantidad promedio de clientes que esperan recibir sus helados, ¾Cuánto se reduce este número cuando se cuenta con dos heladeros? (b) Para ambas alternativas, ¾Cuál es el tiempo promedio de espera de los clientes? (c) Cuando se cuenta con un solo heladero, ¾Cuál es el costo promedio asociado a la política de satisfacción del cliente? 6. Un restaurante de comida rápida ubicado a un costado de la carretera vende únicamente comida para llevar. Durante el servicio, los clientes no deben descender del vehículo, y deben esperar frente al módulo de atención hasta que reciben su comida y se retiran de la instalación. Se sabe que la máxima cantidad de automóviles que pueden estar en la instalación es 8 (incluido el automóvil que está siendo atendido). Se ha estimado que la tasa media de llegada de clientes a la instalación es de 15 [clientes/hora], y que el módulo de atención puede recibir, procesar y entregar el pedido de un cliente en un promedio de 3 [minutos]. Además, se estima que el valor promedio de una venta a un cliente es de $ 5.000. Este restaurante opera durante 10 horas al día. (a) En promedio, ¾A cuánto ascienden los ingresos por venta diarios de este restaurante?

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(b) Calcule el número promedio de clientes en el sistema, y su tiempo de espera promedio. (c) En promedio, ¾Cuántos clientes son rechazados al día? ¾Cuál es el valor total de las ventas perdidas? 7. Un local de la pizzería "Pizza Sombrero" cuenta con un servicio de entrega a domicilio. local cuenta con un motorista que realiza las entregas.

Actualmente, el

El tiempo de entrega de los pedidos se distribuye

exponencial, con una media de 20 [minutos]. Las llamadas de pedidos a domicilio ocurren a una tasa de 2 [pedidos/hora]. El de este local está evaluando la posibilidad de contratar a un motorista adicional, a un costo de $600.000 por mes. De contratar a este motorista, el le proporcionaría su propia motocicleta para realizar las entregas.

Considere además que esta pizzería tiene la siguiente política de satisfacción al

cliente: si el tiempo de entrega de un pedido es mayor a 30 minutos, el pedido es gratis. El valor promedio de un pedido es $10.000 y el local funciona durante 10 horas al día, 20 días por mes. Asumir que cada motorista puede llevar un sólo pedido en cada viaje. (a) Desde el punto de vista del tiempo de espera de los clientes, ¾Cuánto mejora este tiempo si se cuenta con dos motoristas? (b) Para ambas alternativas, ¾Cuál es el número promedio de pedidos que están en espera para ser entregados? (c) En ambos casos, ¾Cuál es la probabilidad de que un pedido sea entregado gratis? 8. Cada año, durante la temporada de siembra de marzo a septiembre, un jardinero realiza una prueba química para vericar la condición de la tierra. Según el resultado de la prueba, la productividad en la nueva temporada puede ser uno de tres estados: (1) buena, (2) regular y (3) mala.

A lo largo de los años, el jardinero ha

observado que la condición de la tierra del año anterior afecta la productividad del año actual y que la situación se describe mediante la siguiente cadena de Markov:

  0.2 0.5 0.3 P = 0.3 0.2 0.5 0.2 0.1 0.7 Además, se sabe que el jardín necesita dos sacos de fertilizante si la tierra es buena. La cantidad se incrementa en 25% si la tierra es regular, y 60% si la tierra es mala. El costo del fertilizante es de $50 por saco. (a) ¾Cuál es la probabilidad de que en dos años más la tierra sea mala, siendo que actualmente es regular?

(R:75%)

(b) ¾Cuál es la probabilidad de que la tierra sea regular por tres años consecutivos, si se sabe que actualmente se encuentra en dicho estado? (c) Graque cómo cambia la probabilidad de que la tierra esté en cada estado a lo largo de 20 años (utilice Excel e incluya el gráco en su respuesta). Comente. (d) Calcule el vector de probabilidades de estado estacionario (π ) para cada estado de la tierra.

(R:0,2209;0,2093;0,5697)

(e) Calcule el costo promedio de uso de fertilizante en el largo plazo. 9. Un autolavado cuenta con una estación de lavado y 10 estacionamientos para clientes en espera.

Los au-

tomóviles llegan al autolavado a una tasa de 10 por hora. La estación lava un automóvil en un promedio de 5 minutos. Los automóviles que llegan cuando los estacionamientos están llenos son rechazados. Cada lavado deja un benecio de $5.000 al autolavado. El autolavado funciona 10 horas al día. (a) ¾Cuál es el tiempo promedio de uso de un estacionamiento por parte de un ? (b) ¾Cuál es la tasa de utilización del autolavado?

(R:0,8333) (R:2,53) (R:2380 días)

(R:0,3484)

(c) ¾Cuántos automóviles rechaza el autolavado al día?

(d) Se está evaluando ampliar el número de estacionamientos a 12.

El costo de esta ampliación es de

$10.000.000. ¾En cuántos días se recupera la inversión?

10. Considere un minimarket que cuenta con 10 cajas, cada una con una la independiente. Suponga que a cada caja llegan clientes a una tasa de 8 por hora.

Las cajas atienden a los clientes en un tiempo medio de 6

minutos. El dueño de este minimarket está evaluando la posibilidad de establecer una la única para todas las cajas. En este caso, a la la llegarían 80 personas por hora, y los clientes serían atendidos por cualquiera de las 10 cajas. Responda las siguientes preguntas.

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W W L L (R: Para la MM1: 0,5; 0,4; 4; 3,2 y para la MM10 0.12; 0.02; 9,637; 1,637) (R:para MM1 0,13 y para MM10 0)

(a) Calcule

,

q,

y

q para las dos conguraciones del sistema.

(b) Evalue la probabilidad de que un cliente espere más de 1 hora para pasar por caja en cada una de las conguraciones del sistema.

(c) En base a su respuesta anterior, ¾Recomendaría hacer el cambio propuesto? 11. La tasa de llegadas de estudiantes a la biblioteca de su Universidad para solicitar libros es de 10 por hora. La bibliotecaria es muy eciente y conoce a los alumnos que ahí llegan, por lo que es capaz de responder a sus solicitudes a una tasa media de 5 minutos por persona.

Estudie las medidas de desempeño de esta

bibliotecaria (incluyendo medidas temporales y espaciales tanto en sistema como en cola, medidas de ocupación y probabilidades acumuladas hasta n=10) y entregue un breve reporte.

(R:0,865)

12. Suponga que se considera que, por remodelaciones varias, ahora la biblioteca del ejemplo anterior solo puede contener una la de espera de 10 alumnos. ¾Cómo cambian las medidas obtenidas anteriormente? 13. Una gasolinera dispone de un solo surtidor diésel. Las llegadas de autobuses que cargan diésel muestran una distribución que se aproxima a la de Poisson, mientras que el proceso de carga del combustible muestra una distribución exponencial. El promedio de llegadas a la bomba diésel es de 5 buses por hora, mientras que el promedio de servicios del surtidor es de 7 servicios completos por hora. La bomba sirve a los autobuses en orden de llegada a la estación de servicio y no se puede dar servicio a más de un autobús simultáneamente. Encuentre todos los parámetros que describen cuantitativamente a esta bomba diésel, además de la probabilidad de que el tiempo de espera en la cola sea superior a 45 minutos y la probabilidad de que el tiempo total de espera sea superior a una hora. 14. En un telefónico los números de líneas que están siendo utilizadas en los instantes de tiempo 1, 2, . constituyen una cadena de Markov con probabilidades de transición estacionarias. Sea

bi

.

.

el estado en el que

se están utilizando exactamente i líneas en un instante de tiempo determinado (i = 0, 1, 2, 3)



0, 1  0, 5 P =  0, 1 0, 2

0, 2 0, 2 0, 1 0, 3

0, 4 0, 1 0, 4 0, 3

 0, 3 0, 2   0, 4  0, 2

(a) Si las tres líneas están ocupadas en un instante de tiempo concreto, ¾cuál es la probabilidad de que exactamente 2 líneas estén ocupadas en el siguiente instante de tiempo? (b) Si en un instante de tiempo no hay ninguna línea ocupada, ¾cuál es la probabilidad de que al menos una línea esté ocupada en el siguiente instante de tiempo? (c) Si una línea está ocupada en un instante de tiempo concreto, ¾cuál es la probabilidad de que 3 líneas estén ocupadas en 2 instantes de tiempo? 15. Un taller tiene tres maquinas idénticas en operación continua excepto cuando se descomponen.

Como lo

hacen con bastante frecuencia, la tarea con más alta prioridad para la persona de mantenimiento, que trabaja tiempo completo, es repararlas cuando sea necesario. El tiempo que se requiere para reparar una maquina tiene distribución exponencial con media de 1/2 día. Una vez que se termina la reparación, el tiempo que transcurre hasta la siguiente descompostura tiene distribución exponencial con media de un día. Estas distribuciones son independientes. Suponga que las descomposturas no ocurren simultáneamente. Esto quiere decir que, si bien, en algún momento las tres máquinas pueden estar descompuestas, el momento en que cambian de estado no es el mismo. 16. Molino Las pampas desea ampliar sus ventas, por lo que ha optado por disponer de un equipo de vendedores enfocados en las televentas. Los vendedores comienzan a operar a las 8 de la mañana y reciben llamadas de acuerdo a un proceso de Poisson a tasa

λ = 10

[llamadas/hora].

(a) Si no se ha recibido ninguna llamada desde la 9:45 hrs. llamada ocurra antes de las 10:20 hrs.?

(R:0,9971)

¾Cuál es la probabilidad de que la siguiente

(b) ¾Cuál es la probabilidad de que no se reciba ninguna llamada por más de 40 minutos, comenzando a las 9:45 hrs.?

(R:0,0013)

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(c) Si los vendedores trabajan 8 horas en su turno y son 10, ¾cuántas llamadas se recibirán en promedio en un turno?

(R:800)

(d) Un vendedor ha estado muy ocupada durante las primeras 4 horas de su turno y le comenta a su compañero de trabajo en la hora de colación: Este será un día muy ocupado, en la mañana casi no he

(R:0,9999)

podido descansar. Reéranse a la veracidad de dicha armación.

17. El gerente de Ventas de la automotora MEKOLUX ha solicitado a usted ayuda para responder algunas dudas en relación a su proceso de ventas. MEKOLUX es una automotora que vende autos de alta gama o de lujo, siendo el modelo ícono de esta automotora el Mekenne 912x, el cual puede ser de color gris perla, color negro o color gris oscuro y cuyo precio asciende a los $120.000.000. El gerente entrega a usted información relevate respecto a las ventas del modelo Mekenne 912x y al compor-

1 3 de hora entre sus llegadas. Además, se sabe que sólo un 1% de ellos desea efectuar una compra; más aún, se sabe

tamiento de sus clientes. Los clientes que llegan a la automotora lo hacen con un tiempo promedio de

que de cada cliente que compra, el 60% preere un Mekenne de color negro y es equiprobable que deseen un auto de color gris oscuro o claro. La venta de los autos Mekenne está a cargo de un vendedor que gana una comisión del 15% por cada auto vendido. La automotora, que abre 8 horas al día y 5 días a la semana, cuenta con un inventario de 5 autos Mekenne gris claro, 5 gris oscuro y 10 autos negros y este stock se repone sólo cada 6 meses. De acuerdo a la información entregada, se le solicita responder las siguientes preguntas. (a) ¾Cuál es la probabilidad de que, en un día de operación, 2 clientes compren un Mekenne (independiente del color)? (b) ¾Cuál es la probabilidad de que se agote el stock de autos de todos los colores antes de los 6 meses? Deje su respuesta expresada (sin cálculos). (c) ¾Cuál es la probabilidad de que en 2 meses se vendan 2 autos gris oscuro y 3 autos negros? (d) ¾Cuál es la comisión promedio del vendedor en 6 meses?

(Supuesto:

Considere el stock total, sin

diferenciar por colores) (e) Suponga que se realizan 10 compras, ¾Cuál es la probabilidad de a lo más 3 de esas ventas sean autos de color gris claro? (f ) ¾Cuál es la probabilidad de transcurran 5 horas entre la llegada de dos clientes en un día? (g) ¾Cuál es el tiempo promedio que transcurre hasta la llegada del quinto cliente? 18. Novistar, empresa del rubro de la telefonía móvil, busca proyectar su participación de mercado en el futuro. Sus competidores en este mercado son: Oscuro, Lentel y Mow. Novistar ha recopilado la siguiente información relativa a la tasas de captación de clientes nuevos y de la competencia:

Novistar Lentel Novistar Novistar

Novistar

Lentel

Oscuro

Mow

-

2

1.5

1

1

-

1.5

2

1.4

2.1

-

1.7

1.8

1.5

1.9

-

Table 1: Tasas de captación de clientes nuevos y de la competencia [clientes/bimestre] Considere que, actualmente, la participacion de mercado de cada empresa es de 25%. Responda: (a) Bajo estas condiciones ¾Cuál sería la participación de mercado de cada empresa en el largo plazo? 19. Suponga que a una tienda los clientes ingresan a una tasa de 5 clientes por hora y son atendidos por un solo módulo que atiende a una tasa de 7 clientes por hora en un sistema que tiene una capacidad máxima para 3 personas. Modele esta situación utilizando Cadenas de Markov y encuentre las probabilidades de estado estable.

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20. Un estudiante trabaja como encargado de una biblioteca por las noches y es el único en el mostrador durante todo su turno de trabajo (el cual dura 8 horas). Las llegadas al mostrador siguen una distribución de Poisson con una media de 8 por hora. Cada de la biblioteca es atendido de uno en uno, y el tiempo de servicio sigue una distribución exponencial con una media de 5 minutos. (a) ¾Cuál es la probabilidad de que se forme cola? (b) ¾Cuál es la longitud media de la cola? (c) ¾Cuál es el tiempo medio que un cliente pasa en la biblioteca hasta que terminan de atenderle? (d) ¾Cuál es el tiempo medio que un cliente pasa en la cola esperando a que le atiendan? (e) El estudiante pasa su tiempo en que no hay clientes clasicando artículos de revistas. Si puede clasicar 22 chas por hora como media cuando trabaja continuamente, ¾cuántas chas puede ordenar durante su trabajo? 21. Una pequeña sucursal de un banco tiene dos empleados, uno para los pagos y otro para los cobros.

Los

clientes llegan a cada caja siguiendo una distribución de Poisson con una media de 20/hora. (la tasa total de llegada al banco es de 40/hora). El tiempo de servicio de cada empleado se distribuye exponencial de media 2 minutos. El encargado de la sección está pensando hacer un cambio en que los dos operarios puedan hacer tanto pagos como cobros para evitar situaciones en que una cola está llena y la otra parada. Sin embargo, se estima que cuando los empleados se encarguen de las dos cosas el tiempo de servicio aumentará a una media de 2.4 minutos. Compara el sistema que se emplea ahora con el propuesto, calculando el total de gente en el banco, el tiempo medio que pasaría un cliente en el banco hasta que es atendido, la probabilidad de que un cliente espere más de cinco minutos y el tiempo medio que están parados los empleados. 22. La empresa Computadoras Reunidas, que alquila ordenadores, considera necesario revisarlos una vez al año. La primera alternativa, con un coste de $750.000 es hacer un mantenimiento manual en el que cada ordenador necesitaría un tiempo que sigue una distribución exponencial con una media de 6 horas. La segundo opción sería un mantenimiento con máquinas, con un coste de $1.000.000. En este caso el tiempo de mantenimiento es de 3 horas con una distribución exponencial. Para ambas alternativas los ordenadores llegan siguiendo una distribución de Poisson 3 al día. El tiempo en que está parado un ordenador tiene un coste de 150 [$/hora]. ¾Qué alternativa debe elegir la empresa? Se asume que la empresa trabaja 24 horas, 365 días al año. 23. Un pequeño autoservicio de lavado cuenta con un estacionamiento con capacidad para 10 automóviles, incluyendo el que está siendo lavado. Los automóviles que llegan cuando la instalación está llena son rechazados. La empresa ha estimado que los coches llegan siguiendo una distribución de Poisson con una media de 20 coches/hora, el tiempo de servicio sigue una distribución exponencial de 2.5 minutos. La empresa abre durante 10 horas al día. ¾Cuál es la media de coches perdidos cada día debido a las limitaciones de espacio? 24. La empresa Refrigeración Hermanos Pérez debe elegir entre dos tipos de sistema para el mantenimiento de sus camiones. Se estima que los camiones llegarán al puesto de mantenimiento de acuerdo con una distribución exponencial de media 40 minutos y se cree que este ratio de llegada es independiente del sistema que haya. El primer tipo de sistema puede atender a dos camiones en paralelo, y a cada camión se le haría todo el servicio en una media de 30 minutos (el tiempo sigue una distribución exponencial). En el segundo sistema sólo se podría atender a un camión pero el tiempo medio en que se realiza el mantenimiento de un camión es de 15 minutos (distribución exponencial). Para ayudar al encargado de la decisión responda las siguientes preguntas: (a) ¾Cuántos camiones habrá en promedio en cualquiera de los dos sistemas? (b) ¾Cuánto tiempo pasará cada camión en el sistema en cada caso? 25. Carlota, la a de una tienda de mascotas, requiere de su ayuda para analizar ciertos aspectos de su funcionamiento. Hasta el momento, según sus mediciones, ha podido determinar lo siguiente: la tasa media de entrada de clientes es de 20 [clientes/hora]; una cajera de la tienda puede completar el proceso de pago de un cliente en una media de 4 minutos; la probabilidad de que un cliente que entra a la tienda haga una compra es de un 30%. Actualmente la tienda cuenta con una cajera que se encarga del proceso de pago de los clientes que hacen una compra. Considere que esta tienda abre 10 horas al día, y que cuando un cliente compra, el valor promedio de lo que compra es de $10.000. (a) Plantee el funcionamiento del sistema, dibujando el ujo y cada una de las componentes relevantes.

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(b) Suponga que han entrado 10 clientes a la tienda. ¾Cuál es la probabilidad de que 9 de ellos hagan una compra?

(R:0,0001378)

(c) Calcular los ingresos promedio

diarios

de esta tienda.

(R:600.000)

(d) ¾Cuál es la probabilidad de que lleguen 25 clientes en la primera hora de operación?

(R:0,0446) (R:0,7165)

(e) ¾Cuál es la probabilidad de que pase más de 10 minutos entre la llegada de un cliente y otro? (f ) Describa el desempeño promedio del sistema.

(g) Carlota sabe que la próxima semana aumentarán las ventas de artículos para la lluvia y el frío para mascotas (sacos de polar, chalecos, placas calefactoras, etc.), por lo que espera que el ujo de clientes se cuadriplique. Como mínimo, ¾Cuántas cajeras necesitará? ¾Por qué?

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