Ejercicios Resueltos Y Propuestos (analisis No Parametrico) 5k6e2x

EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS 1. La prueba de los signos El director de sistemas de información de GRUPO 7.SAC recomendó la elaboración de un programa de capacitación para gerentes en la planta. El objetivo es aumentar los conocimientos sobre la base de datos de contabilidad, adquisiciones, producción, etc. Algunos gerentes pensaron que el programa valdría la pena, otros se resistieron y dijeron que no tendría ningún caso. A pesar de estas objeciones, se anunció que las sesiones de capacitación iniciarían el día primero del mes. Se seleccionó de forma aleatoria una muestra de 15 gerentes. Un de expertos en bases de datos determino el nivel general de conocimientos de cada gerente respecto del uso de las bases de datos. Su competencia y comprensión se calificaron como sobresalientes, excelentes, buenas, regulares o deficientes. Después del programa de capacitación de tres meses, el mismo de expertos en sistemas de información califico a cada gerente una vez más. Las dos calificaciones (antes y después) aparecen con el signo de la diferencia. Un signo “+” indica una mejora, y un signo “–”, que la competencia del gerente para las bases de datos declino después del programa de capacitación.

Paso 1: Formular nuestra hipótesis nula y alternativa

H : 𝜋 ≤ 0.50

No hay aumento en el conocimiento de los gerentes sobre el uso de base de datos de la empresa como resultado de la capacitación

H : 𝜋 > 0.50

Existe un aumento del conocimiento en el uso de la base de datos de los gerentes después del programa de capacitación

0

1

Paso 2: Elija un nivel de significancia de 0.10 Paso 3: Decidimos sobre el estadístico de prueba: Los signos más “+” que resulten del experimento Desarrollo: 

Como se ve al inicio en el curso se inscribieron 15 gerentes, pero Andy Love no mostro aumento ni reducción después de la capacitación entonces se elimina del estudio por no poder incluirlo en ningún grupo, entonces ahora nos queda n=14



Ahora nos vamos a la tabla de distribución de probabilidad binomial para n=14 y una probabilidad de 0.50

Estos valores los obtenemos de la tabla de distribución de probabilidad binomial con n= 14 y probabilidad de 0.5

Paso 4: tomar una decisión respecto de la hipótesis nula: Se concluye que once de los catorce gerentes del curso de capacitación aumentaron su competencia para las bases de datos. El número once se encuentra en la zona de rechazo que se inicia en diez es por eso que la hipótesis nula, entonces en conclusión el curso de capacitación fue eficaz ya que incremento la competencia de los gerentes

2. Uso de la aproximación normal a la binomial

El departamento de investigación de mercado de Cola, Inc., tiene la tarea de probar una nueva bebida de cola. Se consideran dos versiones de la bebida, un refresco más bien dulce y uno un tanto amargo. La prueba de preferencia que se realizara consiste en una muestra de 64 consumidores. Cada consumidor degustara las dos bebidas de cola, la dulce (con la etiqueta A) y la amarga (con la etiqueta B), e indicara su preferencia. Realice una prueba de hipótesis para determinar si hay una diferencia en la preferencia por el refresco dulce o por el amargo. Utilice un nivel de significancia de 0.05. Paso 1: Formular nuestra hipótesis nula y alternativa H0: 𝜋 = 0.50

No hay preferencias

H1: 𝜋 ≠ 0.50

Si hay preferencias

Paso 2: Seleccionamos un nivel de significancia de 0.05 que nos indica el problema Paso 3: Seleccione el estadístico de prueba

Utilizaremos la tabla para “Áreas debajo de la curva normal” ya que la hipótesis nula y la alternativa no nos muestra dirección En una prueba de dos colas se divide la probabilidad de rechazo a la mitad y se coloca una mitad en cada cola, entonces: 𝛼 = 0.05 𝛼 /2 = 0.05 /2 = 0.025 Ya que sabemos que cada lado representa 0.500 del total entonces: 0.500 − 0.0250 = 0.4750 Buscamos en la tabla de “Áreas debajo de la curva normal” el valor de 0.4750

Entonces el resultado que encontramos es de 1.96, por lo que podemos asegurar que el valor z calculado si se encuentra tanto en el margen izquierdo (-1.96) o como el derecho (1.96) si se encuentra entre estos dos puntos para que la hipótesis nula no se rechace de lo contrario el valor z este fuera de estos dos puntos se acepta la hipótesis alternativa Paso 5: Calculando z La preferencia por el refresco A se le asignó el signo “+” La preferencia por el refresco B se le asignó el signo “-” De las 64 personas de la muestra, 42 prefirieron el sabor dulce, que es el refresco A. Por tanto, hay 42 signos más. Como 42 es mayor que n/2 = 64/2 = 32, aplicamos la formula resaltada con el cuadro rojo

El valor z calculado de 2.38 es mayor que el valor critico de 1.96. Por tanto, se rechaza la hipótesis nula de que no hay diferencia con un nivel de significancia de 0.05. Conclusión: los consumidores prefieren el refresco de cola dulce al otro. 3. Prueba de hipótesis acerca de una mediana Un estudio realizado hace varios años por el departamento de investigación del consumidor de Superior Groceries determino que la cantidad mediana semanal gastada en abarrotes por matrimonios jóvenes era $123. El director ejecutivo quiere repetir el estudio para determinar si cambio la cantidad mediana gastada. La información de la nueva muestra del departamento revelo que, en una muestra aleatoria de 102 matrimonios jóvenes, 60 gastaron más de $123 la semana pasada en abarrotes, 40 gastaron menos y 2 gastaron exactamente $123. Con un nivel de significancia de 0.10, .es razonable concluir que la cantidad mediana gastada no es igual a $123?

Si la mediana es $123, esperamos que casi la mitad de los matrimonios haya gastado más de $123 la última semana, y que casi toda la otra mitad haya gastado menos de $123. Después de eliminar a las dos parejas que gastaron exactamente $123, se esperaría que 50 estén arriba de la mediana y 50 estén debajo de la mediana. ¿Es posible que esta diferencia sea de casualidad, o es la mediana algún valor distinto a $123? La prueba estadística para la mediana ayudara a responder esta pregunta. Paso 1: Formular nuestra hipótesis nula y alternativa H0: Mediana = $ 123 H1: Mediana ≠ $123 Esta es una prueba de dos colas debido a que la hipótesis alternativa no indica una dirección. Es decir, no interesa si la mediana es menor o mayor que $123, solo que si es diferente a $123. La media: nπ = 100(0.50) = 50 La desviación estándar: n(1 – π) = 100(1 – 0.50) = 50 El nivel de significancia es 0.10, por tanto, el área se encuentra en cada cola 𝛼 = 0.10 𝛼 /2 = 0.10/2 = 0.05 Ya que sabemos que cada lado representa 0.500 del total entonces: 0.500 − 0.05 = 0.450 Buscamos en la tabla de “Áreas debajo de la curva normal” el valor de 0.450 Entonces el resultado que encontramos es de 1.65, por lo que podemos asegurar que el valor z calculado si se encuentra tanto en el margen izquierdo (-1.65) o como el derecho (1.65) si se encuentra entre estos dos puntos para que la hipótesis nula no se rechace de lo contrario el valor z este fuera de estos dos puntos se acepta la hipótesis alternativa Paso 5: Calculando z debido a que 60 es mayor que n/2 o (100/2= 50) utilizamos la formula resaltada de rojo

Se rechaza la hipótesis nula debido a que el valor calculado de 1.90 es mayor que el valor critico de 1.65. La evidencia de la muestra indica que la cantidad mediana gastada por semana en abarrotes por parejas jóvenes no es $123.

4. Prueba de rangos con signo de Wilcoxon para muestras dependientes POPEYES es una cadena de restaurantes familiares ubicada sobre todo en REAL PLAZA, que ofrece un menú muy completo, pero su especialidad es el pollo. Hace poco, ANTONIO PUMA, propietario y fundador, elaboro un nuevo sabor con especias para la salsa en la que se cocina el pollo. Antes de reemplazar el sabor actual, quiere realizar algunas pruebas para estar seguro de que a los comensales les gusta más este nuevo sabor. Para iniciar, Antonio selecciona una muestra aleatoria de 15 clientes. A cada cliente de la muestra le da una pieza de pollo actual y le pide que califique su sabor en una escala de 1 a 20. Un valor cercano a 20 indica que al participante le gusto el sabor, en tanto que una calificación cerca de 1 indica que no le gusto el sabor. Luego, a los mismos 15 participantes les da una muestra del pollo con el nuevo sabor a especias y una vez más les pide calificar su sabor en una escala de 1 a 20. Los resultados aparecen en la siguiente tabla. ¿Es razonable concluir que el sabor a especias es el preferido? Utilice un nivel de significancia de 0.05. tabla de los resultados:

Las muestras son dependientes o están relacionadas. Es decir, a los participantes se les pide calificar los dos sabores del pollo. Por tanto, si calcula la diferencia entre la calificación del sabor a especias y la del sabor actual, el valor resultante muestra que la cantidad de participantes favorecen un sabor en comparación con el otro. Si elige restar la calificación del sabor actual a la calificación del sabor a especias, un resultado positivo es la “cantidad” con que los participantes prefieren el sabor a especias. Las diferencias negativas de las calificaciones indican que el participante prefirió el sabor actual. Debido a la naturaleza un tanto subjetiva de las calificaciones, no hay seguridad de que la distribución de las diferencias siga la distribución normal, por lo que conviene utilizar la prueba de rangos con signo de Wilcoxon no paramétrica. Paso 1: Formular nuestra hipótesis nula y alternativa H0: No hay diferencia en las calificaciones de los sabores

H1: Las calificaciones son más altas para el sabor a especias Se trata de una prueba de una cola. ¿Por qué? Porque ANTONIO, propietario de POPEYES, cambiara el sabor del pollo solo si los participantes en la muestra indican que a la población de clientes le gusta más el nuevo sabor. El nivel de significancia para la prueba es de 0.05, como se indicó antes. PASOS PARA REALIZAR LA PRUEBA DE RANGOS CON SIGNOS DE WILCOXON SON: Paso 1: Calculando la diferencia entre la calificación del sabor a especias y la del sabor actual de cada participante. Por ejemplo, la calificación del sabor a especias de Arquette fue de 14, y del sabor actual, de 12, por tanto, la diferencia es 2. Para Jones, la diferencia es –8, determinada mediante 8 – 16, y para Fish es 4, determinada por 6 – 2. Las diferencias de todos los participantes aparecen en la columna 4 de la tabla siguiente . Paso 2: Solo se consideran las diferencias positivas y negativas en el análisis posterior. Es decir, si la diferencia en las calificaciones del sabor es 0, ese participante se elimina y se reduce el numero en la muestra. Hall, el sexto participante, califico al sabor a especias y al actual con 16. Por tanto, Hall se elimina del estudio y se reduce el tamaño útil de la muestra de 15 a 14. Paso 3: Determine las diferencias absolutas para los valores calculados en la columna 4. Recuerde que en una diferencia absoluta se ignora el signo de la diferencia. Las diferencias absolutas se muestran en la columna 5. Paso 4: Luego, ordene las diferencias absolutas de menor a mayor. Arquette, el primer participante, califico al pollo con especias con 14 y al actual con 12. La diferencia de 2 en las dos calificaciones del sabor es la diferencia absoluta menor, por tanto, se le asigna un rango de 1. La siguiente diferencia mayor es 3, de Miller, por tanto, se le asigna un rango de 2. Las otras diferencias se ordenan de manera similar. Hay tres participantes que calificaron la diferencia en el sabor con 8. Es decir, Jones, Badenhop y Sundar tuvieron una diferencia de 8 entre la calificación del sabor a especias y la del sabor actual. Para resolver este problema, promedie estas clasificaciones y anote la clasificación promedio de cada uno. Esta situación comprende las clasificaciones de 5, 6 y 7, de modo que a los tres participantes se les asigna la clasificación de 6. Es la misma situación para los participantes con una diferencia de 9. Las clasificaciones comprendidas son 8, 9 y 10, de manera que a estos participantes se les asigna una clasificación de 9. Paso 5: A cada clasificación asignada en la columna 6 se le da el mismo signo que tenia en la diferencia original, y los resultados se reportan en la columna 7. Por ejemplo, el segundo

participante tiene una diferencia de –8 y un rango de 6. Este valor se coloca en la sección R – de la columna 7. Paso 6: Se obtienen los totales de las columnas R + y R –. La suma de los rangos positivos es 75, y la suma de los rangos negativos es 30. La menor de las dos sumas de los rangos se utiliza como el estadístico de prueba y se conoce como T.

La fila α se utiliza para pruebas de una cola, y la fila 2α, para pruebas de dos colas. El valor en la intersección en la tabla de Wilcoxon es 25, por tanto, el valor critico es 25. La regla de decisión es rechazar la hipótesis nula si el menor de los totales de los rangos (T) es 25 o menor. En este caso, la suma menor del rango es 30, por tanto, la decisión es no rechazar la hipótesis nula debido a que si buscamos el valor en la tabla de Wilcoxon para n=14 y α = 0.05 no se usa la 2α ya que es para prueba de dos colas. No es posible concluir que hay una diferencia en las calificaciones del sabor actual y el sabor a especias. El señor Antonio no demostró que los clientes prefieran el nuevo sabor. Es probable que continúe con el sabor actual del pollo y no cambie al sabor a especias.

5. Prueba de homogeneidad

6. El gerente del banco regional Statewide Financial Bank tiene interés en el índice de movimientos de dinero de las cuentas de cheques personales en cuatro sucursales. (El índice de movimientos es la velocidad a la que el dinero en una cuenta se deposita y se retira; una cuenta extremadamente activa puede tener un índice de 300; si sólo se emiten uno o dos cheques, el índice puede ser de 30, aproximadamente). Los índices de rotación de las muestras seleccionadas de las cuatro sucursales bancarias aparecen en la siguiente tabla. Con un nivel de significancia de 0.01 y la prueba de Kruskal-Wallis, determine si hay una diferencia entre los índices de rotación de las cuentas de cheques personales de las cuatro sucursales. Sucursal Englewood 208 307 199 142 91 296

Sucursal West Side 91 62 86 91 80

Sucursal Great Northern 302 103 319 340 180

Sucursal Sylvania 99 116 189 103 100 131

Solución:

1. Planteamiento de la hipótesis 𝐻0 = Las distribuciones de las poblaciones son idénticas 𝐻1 = Las distribuciones de las poblaciones no son idénticas.

2. Cálculo del estadístico: Sucursal Englewood 208 17 307 20 199 16 142 13 91 5 296 18 𝛴𝑅1 = 89

𝐻=

𝐻=

Sucursal West Side 91 5 62 1 86 3 91 5 80 2 𝛴𝑅2

= 16

Sucursal Great Northern 302 19 103 9.5 319 21 340 22 180 14 𝛴𝑅3

= 85.5

Sucursal Sylvania 99 116 189 103 100 131 𝛴𝑅4

7 11 15 9.5 8 12 = 62.5

12 (𝛴𝑅1 )2 (𝛴𝑅2 )2 (𝛴𝑅3 )2 [ + + ] − 3(𝑛 + 1) 𝑛(𝑛 + 1) 𝑛1 𝑛2 𝑛3

12 (89)2 (16)2 (85.5)2 (62.5)2 [ + + + ] − 3(22 + 1) = 13.635 22(22 + 1) 6 5 5 6

3. Regla de decisión: 

2 Si 𝑋𝑐2 ≥ 𝑋𝑡𝑎𝑏  Se rechaza 𝐻0 y se acepta la hipótesis alterna, de lo contrario se acepta 𝐻0 .

El valor crítico de k - 1 = 4 – 1 = 3 grados de libertad es 11.35, se rechaza la hipótesis nula.

4. Conclusión: Los índices de movimientos no son iguales. 7.

Desean saber si una muestra de debe datos pertenece a una población normalmente distribuida. Los datos (ordenados de menor a mayor) son:

b) Hipótesis Nula: No hay diferencia estadísticamente significativa entre la distribución de la población a que pertenece la muestra y la distribución Normal. Hipótesis Alternativa: Hay diferencia estadísticamente significativa entre la distribución de la población a que pertenece la muestra y la distribución Normal. c) Estadístico de contraste. Obtención del estadístico de contraste: Tipificar la muestra:

Obtener los valores típicos que corresponden a diez intervalos de una distribución Normal: -1.28, -0.84, -0.52, -0.25, 0, 0.25, 0.52, 0.84, 1.28 (Valores que corresponden a los puntos cuya función de distribución Normal estandarizada son 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 y 0.9)

Emparejar las distribuciones tipificadas hipotética (Normal en el ejemplo y observada:

Notas: * F(X) se refiere al límite superior del intervalo. * Los valores en la columna F(X)obs son funciones de la distribución Normal estandarizada y son los que correspondería a las puntuaciones observadas si ajustaran a la distribución Normal, es decir, si la Hipótesis Nula fuera verdadera) D=0.2 e) Significación del estadístico de contraste: De acuerdo con las tablas de la prueba es igual a 0.81 f) Se acepta la Hipótesis Nula por ser mayor la significación del estadístico de contraste que el nivel previamente establecido (alfa= 0.05) 8. El ejemplo típico de esta situación considera un dado, del que se han obtenido 300 tiradas, y cuya perfección, entendida como ausencia de sesgos en los resultados, se pretende contrastar. La partición del espacio de sucesos es clara en este caso, pues consiste en los 6 resultados distintos que pueden observarse. La hipótesis nula Ho recoge en tal caso una distribución de probabilidad uniforme. Es decir, la hipótesis nula es que el dado está, efectivamente, correctamente construido, y, al no tener sesgos, la probabilidad

teórica con que deberíamos observar cada uno de los sucesos posibles: 1, 2, 3, 4, 5 y 6, es de 1/6, lo que aparece en la segunda línea del Cuadro:

Volviendo al ejemplo del lanzamiento del dado, podemos construir el cuadro de ambas funciones de distribución:

con una máxima diferencia de 0,027. En nuestro caso, con n = 300, tenemos, para α = 0,05, un valor crítico de 0,035. Como el valor del estadístico de Kolmogorov-Smirnov que hemos obtenido es inferior a este nivel crítico, no rechazamos la hipótesis nula de que la muestra procede de la población teórica, que asignaba probabilidad 1/6 a cada resultado posible. 3) Supongamos que disponemos de dos muestras, ambas sobre el intervalo [0,1]: Muestra 1: 0,65 0,31 0,42 0,81 0,12 0,91 0,72 0,41 0,94 0,61 0,52 0,21 0,16 0,74 0,65 0,83 0,44 0,42 0,56 0,73 Muestra 2: 0,15 0,94 0,81 0,72 0,21 0,35 0,18 0,74 0,73 0,62 0,85 0,91 0,18 0,23 0,65 a partir de las cuales obtenemos las siguientes distribuciones empíricas sobre intervalos de longitud 0,20:

La máxima diferencia entre ambas funciones de distribución se produce en el segundo intervalo, y es de: 0,20 - 0,40 = -0,20. El valor crítico de las tablas del estadístico de Kolmogorov-Smirnov para estos tamaños muestrales es de 13/30 = 0,433, por lo que no rechazamos la hipótesis nula de igualdad de distribuciones de probabilidad. La aproximación: es, en este caso, igual a raíz de [(n1+n2)/n1n2] es igual a 0,464, no muy diferente del valor de las tablas. Tampoco en esta comparación rechazaríamos la hipótesis de igualdad de distribuciones