Ex Pignon Arbre 201px

DIMENSIONNEMENT DES STRUCTURES EXERCICE DE PERFECTIONNEMENT SUR LES BASES DU COMPORTEMENT ELASTIQUE ex-pignon-arbre.doc / version du 01/11/2010/JG

ELEMENTS DE REDUCTION DU TORSEUR DE COHESION : PIGNON ARBRE EN LIAISON PIVOT Un pignon arbré 2 en liaison pivot par rapport à un palier 1 reçoit de la puissance mécanique par l’intermédiaire d’une roue dentée (engrenage à denture hélicoïdale) non représentée ( A). Il la restitue à un organe récepteur grâce à un accouplement au point B données: - l'action mécanique motrice connue en A de la roue dentée sur le pignon arbré 2 est modélisée par le torseur des efforts transmissibles : A = X A X + YA Y + Z A Z {Froue / 2 }A =   M A = 0  A , R avec pour composantes axiale XA<0 , radiale YA<0 et tangentielle ZA>0 - l'action mécanique inconnue en B de l’accouplement de l'arbre récepteur sur le pignon arbré 2 est modélisée par le torseur des efforts B = 0  transmissibles F recept / 2 B =   M B = L B X  B, R Travail demandé : donner l'expression générale du torseur des efforts transmissibles en C de la liaison pivot (action du palier 1 sur le pignon arbré 2) dans le repère global XYZ :

{

Y

C

X

B

Z

A

XA

1

2

YA ZA

}

formuler succinctement les trois étapes pour déterminer les composantes inconnues des torseurs :

calculer littéralement les forces et des moments inconnus, préciser les signes de leurs composantes algébriques, en donner une représentation graphique sur la figure ci-contre et en vérifier ensuite la cohérence mécanique

B H Y

C

X Z

G

A

XA

2

YA ZA

dans la section droite de centre géométrique G située entre la projection du point A sur l’axe de l’arbre et le point C, donner l'expression qualitative du torseur des efforts cohésion, en donner une représentation graphique sur la figure cidessous, après avoir dessiné le repère local r (Gxyz) et ombré la partie conservée du pignon arbré

G

2 Y

X Z

en utilisant les résultats de la théorie des poutres, donner ci-dessous le nom de chaque élément de réduction ainsi que les contraintes engendrées désignation nom contraintes

dans la section droite de centre géométrique H située entre C et B, donner l'expression qualitative du torseur des efforts cohésion, en donner une représentation graphique sur la figure ci-dessous, après avoir dessiné le repère local r (Hxyz) et ombré la partie conservée du pignon arbré

H

2 Y

X Z

CORRECTION torseur des efforts transmissibles au centre géométrique C de la liaison pivot C = X X + Y Y + Z Z C C C {F1 / 2 }C =   M C = M C Y + N C Z  C, R ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- système isolé : pignon arbré 2 bilan des actions mécaniques extérieures C = X X + Y Y + Z Z B = 0  A = X A X + YA Y + Z A Z C C C {F1 / 2 }C =  {Froue / 2 }A =  F recept / 2 B =     M A = 0  A , R M B = L B X  B, R M C = M C Y + N C Z  C, R 6 inconnues algébriques (donc nécessité d’avoir 6 équations) application du principe fondamental de la statique

{

∑ (F ) = A + B = 0 ∑ M (F ) / = CA ∧ A + M

}

ext

ext

on pose

C

C

+MB = 0

CA = CO + OA = OA − OC = ( x A X + y A Y + z A Z) − ( x C X + y C Y + z C Z) = ( x A − x C )X + ( y A − y C )Y = x CA X + y CA Y

forces

moments

 X Y Z   avec CA ∧ A =  x CA y CA 0  = y CA × Z A X − x CA × Z A Y + (x CA × YA − y CA × X A )Z X YA Z A   A  - 6 équations de projections pour déterminer les 6 inconnues algébriques / X : X A + X C = 0 ⇒ X C = −X A / X : L B + y CA × Z A = 0 ⇒ L B = − y CA × Z A / Y : YA + YC = 0 ⇒ YC = −YA / Y : M C − x CA × Z A = 0 ⇒ M C = + x CA × Z A / Z : Z A + ZC = 0 ⇒ Z C = − Z A / Z : N C + x CA × YA − y CA × X A = 0 ⇒ N C = − x CA × YA + y CA × X A

NC avec xCA<0 , yCA>0 , XA<0, YA<0 et ZA>0 XC>0 ; YC>0 ; ZC<0 ; LB<0 ; MC<0 ; NC<0 (cohérence mécanique vérifiée)

ZC

B YC

Y

XC

LC

X Z

C

A

2

MC XA

YA ZA

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- torseur des efforts transmissibles de la roue sur le pignon réduit au centre géométrique G de la section circulaire   F roue / pignon G = G = A  M G = GA ∧ A  G , R

{

}

on pose GA = GO + OA = OA − OG = ( x A − x G )X + ( y A − y G )Y = x GA X + y GA Y

 X Y Z   avec GA ∧ A =  x GA y GA 0  = y GA × Z A X − x GA × Z A Y + (x GA × YA − y GA × X A )Z X YA Z A   A  G = X X + Y Y + Z Z  G = X X + Y Y + Z Z = A  G G G A A A F roue / pignon G =  =   M G = L G X + M G Y + N G Z G ,R M G = y GA × Z A X − x GA × Z A Y + (x GA × YA − y GA × X A )Z G , R

{

}

MG

LG

Y

G

X Z

repère structural ou global R (OXYZ)

XG YG

ZG

NG

- expression générale des éléments de réduction du torseur de cohésion en repère local R G = N x x + T y y + T z z  Cohsup / cons G =  (sup/cons )  M G(sup/cons) = Mt x + Mf y y + Mf z z  G, r - changement de base avec la matrice de age du repère local r vers le repère global R X  X = − x  - 1 0 0   x            Y  =  0 1 0  •  y  ⇒  Y = y    Z  Z = −z    R  0 0 − 1  z  r  

{

}

- après avoir exprimé dans le repère local expression en repère local) et sachant que

{Coh

}

sup/ cons G

{F roue / pignon }G

{Coh

(remplacer les vecteurs unitaires du repère global par leur

} = {F

sup / cons G

}

roue / pignon G

:

R   G (sup/cons ) = −X A x + YA y − Z A z  =  M G (sup/ cons ) = − y GA × Z A x − x GA × Z A y + (− x GA × YA + y GA × X A )z 

G, r

éléments de réduction du torseur de cohésion au point G et dans le repère local r (Gxyz) N x = −X A Mt = − y GA × Z A    Mf y = − x GA × Z A T y = YA  T = − Z Mf z = − x GA × YA + y GA × X A G , r A  z y

Mfy

Mt

z repère local r (Gxyz)

e rti pa

G

c

vée ser n o

Y

X Z

Tz

Nx x

e rti pa

ée r im pp u s

repère structural ou global R (OXYZ)

Ty

Mfz

normale sortante au centre géométrique G de la section droite de la partie conservée

nom de chaque élément de réduction et contraintes engendrées désignation nom contraintes Nx effort normal suivant l’axe x contraintes normales σx (traction σx>0) Ty effort tranchant suivant l’axe y contraintes tangentielles τxy et τxz (cas d’une section circulaire)

Tz

effort tranchant suivant l’axe z

Mt

moment de torsion autour de l’axe x

contraintes tangentielles τ τ = τ xy y + τ xz z

Mfy

moment de flexion autour de l’axe y

contraintes normales σx

Mfz

moment de flexion autour de l’axe z

contraintes normales σx

contraintes tangentielles τxy et τxz (cas d’une section circulaire)

(

)

éléments de réduction du torseur de cohésion au point H et dans le repère local r (Hxyz) repère local y B = 0  r (Hxyz) F recept / 2 B =  Coh sup / cons H = F recept / 2 H  M B = L B X  B, R

{

}

{

X  X = x  1 0 0   x           Y  =  0 1 0 •  y  ⇒  Y = y   Z Z = z 0 0 1  z   r   R    N x = 0 M t = L B    T y = 0 Mf y = 0  T = 0 Mf = 0  z  z  H, r

} {

x

}

H

pa

rti

up es

e mé pri

normale sortante au centre géométrique H de la section droite de la partie conservée

Mt rti pa

ec

e vé ser n o

z repère structural ou global R (OXYZ)

Y

X Z