Formulas Para Numeros Primos 5d2t6g

Dois modos de escolher os qi 's Pode-se escolher n-uplas q satisfazendo as condições (i) e (ii) de muitos modos. Mostrarei dois.

Primeiro modo Sejam q1, q2,..., qn-1 primos distintos e t > 1 um número natural.

Eric Campos Bastos Guedes

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Lema. Seja p primo, m inteiro positivo e pk ≤ m < pk+1. O expoente da maior potência de p que divide m! é: c

m  m   m   m  1< p ≤ m  m  + + + +  p   p 2   p3   pk  = ∑  pc          c natural  

onde  x  é o maior inteiro menor ou igual a x. Em [4] e em [6] encontramos uma justificativa para o lema. Aplicando-o teremos o expoente inteiro da maior potência do primo qj que divide

( t − 1) ! ,

e também o produto Q dessas potências, donde

qn = ( t − 1) ! Q é um possível valor para o n-ésimo termo de uma n-upla q satisfazendo as condições (i) e (ii). De fato, qn é relativamente primo com q1, q2, ..., qn-1 e no produto q1q2...qn comparecem todos os fatores primos de (t−1)!. Portanto, as condições (i) e (ii) são satisfeitas.

Segundo modo

Faça qn =

( 2n ) ! . Não é difícil verificar que mdc ( ( 2n ) !, ( 2n − 2 ) !3 ) se n = 1 2  qn = 2n − 1 se 2n − 1 é primo 1 nos outros casos 

donde as condições (i) e (ii) ficam satisfeitas. Note que a função g ( n ) = max ( 2, qn ) já é, por si mesma, uma fórmula para primos.

Definindo matrizes adequadas: calculo dos bi ´s Direi que uma matriz A ∈ M m×n ( ) com termos não negativos é adequada quando cada uma de suas colunas tiver exatamente um termo nulo. Seja A = (aij) uma m por n matriz adequada e s = (s1, s2,..., sm) onde si ∈ {−1, 1} para i = 1, 2, 3,..., m. É fácil ver que se


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n

bi = ∏ q j ij para i = 1, 2, ... , m a

j =1

então os inteiros bi’s acima definidos cumprem as condições (iii) e (iv).

A matriz euclidiana Dado um inteiro w qualquer e uma n-upla q, chamar-se-à de matriz euclidiana a matriz em blocos:

w s  1 E =  s2    sm

q1 a11

… qn  … a1n  … a2 n    … amn 

q2 a12

a21 a22 am1 am 2

onde A=(aij) é matriz adequada; si ∈ {1, −1} ; w ∈ ; os qi’s são dois a dois relativamente primos. A função f que nos interessa é dada por n

m

n

j =1

i =1

j =1

f ( E ) = w∏q j + ∑ si ∏q j ij a

onde E é matriz euclidiana. Outra função que apresenta interesse é dada por

 g ( E ) = min  ∩ ∪ n∈∗ 

{

n

 f (E)  

}

Duas fórmulas para primos Se 1 < P = f ( E ) < t 2 (respectivamente 1 < P = g ( E ) < t 2 ) então certamente P é primo. Caso contrário, P pode ou não ser primo. Se 1 < P < t 2 (t é um inteiro tal que em

Πqi comparecem todos os fatores primos menores que t) tome h ( E ) = f ( E )


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(respectivamente h ( E ) = g ( E ) ); se P = 1 ou P ≥ t 2 faça h ( E ) = 2 . Deste modo h ( E ) é sempre um número primo. Eis aí dois exemplos de fórmulas para primos.

Exemplos O conjunto das matrizes euclidianas é o domínio onde está definida nossa função f. Por exemplo: 0 2 3 5 7   f  1 3 2 0 0  = 107 1 0 0 1 1   uma vez que 0×2×3×5×7+23×32×50×70+20×30×51×71=107. Note que t=11 já que escolhemos q1 = 2, q2 = 3, q3 = 5, q4 = 10! ( 283452 ) = 7 , conforme o primeiro modo. Isto significa que no produto q1q2q3q4 comparecem todos os fatores primos menores que t = 11. Como 107 < 112, tem-se que 107 é primo. Outro exemplo é o seguinte  87  1 f  −1   −1

2 3 5 77   7 0 3 0 = 61 2 2 0 2  0 2 1 1

onde q1 = 2, q2 = 3, q3 = 5, q4 = 11! ( 283452 ) = 77 foram escolhidos do primeiro modo.

A infinitude dos primos e as matrizes euclidianas Suponha por absurdo que exista apenas um número finito de primos, sejam eles, p1, p2, ..., pr.

Euclides

chegou

a

uma

contradição

considerando

o

número PE = p1 p2 pr + 1 . De fato, algum primo pi divide PE, pois todo inteiro é divisível por algum primo, logo pi | PE − p1 p2 pi pr ⇒ pi |1 , absurdo. Isto equivale a considerar a matriz euclidiana


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0  E = 1 1 

p1 1 0

p2 1 0

pr  1 p1  1  ou E =  1 0 0 

p2 … 0 …

pr   0 

e concluir que existe um primo diferente de p1, p2, ..., pr, a saber, qualquer fator primo de f(E). Stieltjes usou uma idéia similar. Ele considerou o número PS=m+n onde m,n são inteiros satisfazendo mn = p1 p2 pr . Note que mdc(m, n)=1, logo mdc(mn, m+n) = 1. Portanto existe algum primo diferente de p1, p2, ..., pr, a saber, qualquer fator primo de m+n. Eis o absurdo, pois por hipótese não havia outros primos senão p1, p2, ..., pr. Isto equivale a considerar a matriz euclidiana  0 p1  S =  1 m1 1 n 1 

p2 … pr   m2 … mr  n2 … nr 

onde para cada i = 1, 2, ..., r, ou mi = 1 e ni = 0, ou mi = 0 e ni = 1, isto é, os elementos da matriz adequada correspondente são zeros e uns. Nenhum fator primo de f(S) está na lista p1, p2, ..., pr, e aí reside o absurdo. A demonstração de Métrod para a infinitude dos primos considera matrizes euclidianas com mais de três linhas. Seja N = p1 p2 pr , Qi = N pi e PM = ∑ i =1 Qi . r

Como pi divide Qj (para i ≠ j) e pi não divide Qi, então pi não divide PM. Logo nenhum dos primos p1, p2, ..., pr divide PM: absurdo. Isso equivale a considerar a matriz euclidiana

0  1 1 M = 1   1

p1 0

p2 1

p3 … 1 …

1 1

0 1

1 0

… …

1

1

1

…

pr   1 1  1   0 

em que a diagonal principal é formada por zeros somente e os outros elementos da matriz adequada correspondente são iguais a 1.


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Indícios empíricos e conjecturas

Sejam

N = p1 p2 pr , Qi = N pi , si ∈ {1, −1} e PM′ = ∑ i =1 si Qi . Pode ser r

verificado com um sistema de computação algébrica que para cada r=2,3,4,...,149, existe alguma r-upla ( s1 , s2 ,… , sr ) ∈ {1, −1} tal que PM′ é um número primo. É lícito r

conjecturar, portanto:

 0 p1   ±1 0  ±1 1 f  ±1 1    ±1 1

p2 1

p3 … 1 …

0 1

1 0

… …

1

1

…

pr   1 1  1   0 

é um número primo para cada r > 1 e alguma escolha conveniente entre +1 e -1 na primeira coluna da matriz euclidiana. Ainda com um sistema de computação algébrica pode-se verificar que para r=2,3,4,...,144, é suficiente tomar todas, exceto no máximo duas parcelas do somatório

PM′ = ∑ i =1 si Qi negativas para que PM′ seja um primo. Estes indícios experimentais nos r

levam a uma conjectura mais forte que a anterior: se N é o produto dos n primeiros números primos e Qi = N pi então ou a soma trocarmos o sinal de algum Qi, a soma

∑Q

i

∑Q

i

é um número primo, ou se

a a ser um número primo (isso não

funciona para n=44, 53, 67, 93, 96, 98, 120, 128, 132, 141,...) ou trocando o sinal de dois Qi’s, a soma será um número primo. Por exemplo, para n=2, 2+3=5 é primo; para n = 3, 2×3+2×5+3×5=31 é primo; para n=4, 2×3×5+2×3×7+2×5×7-3×5×7=37 também primo. Para n=44, 53, 67 etc precisamos trocar o sinal de dois Qi’s para obter um primo. As evidências experimentais (verificou-se para 4
pn +1 ≤ p < pn2+1 é fator de alguma f(Bq), onde

q=(p1, p2,..., pn), n > 4 e Bq é uma matriz euclidiana com matriz adequada correspondente formada só por zeros e uns.


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3 Funções que Geram Números Primos Introdução Os números primos fascinam muitos dos que estudam Matemática. Um dos motivos é que o conceito de número primo surge cedo na vida do estudante e, sendo muito fácil definir o que são números primos, é difícil encontrar funções que os gerem. Por outro lado algumas funções que produzem números primos tem sido obtidas por matemáticos como Willans, Ernvall, Sierpinski, Gandhi entre outros. O problema de obter funções que geram números primos já despertou, portanto, o interesse de vários matemáticos. No presente trabalho estudamos funções zm ( n ) que satisfazem

n é primo ⇔ n não divide zm ( n ) A partir daí deduzimos fórmulas para primos e para π ( n ) .

Caracterizando Números Primos Fixado um certo inteiro positivo m, seja

N m = { n ∈ | n ⊥ m !} onde a notação a ⊥ b significa que mdc(a, b) = 1. Seja ainda (ni) a sucessão crescente formada pelos elementos de Nm. Note que n1 = 1 e n2 é o menor número primo maior que m. Será útil definir o mmc de um único inteiro positivo como ele próprio, isto é, mmc(n) = n. Considere a função zm : N m → tal que


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zm ( n j ) = mmc { ni ∈ N m | i ≤ j e ni não é primo} Gostaríamos de provar que nj é primo se e somente se nj não divide zm(nj). Fazendo isso teremos uma caracterização dos números primos que pertencem a Nm. Se nj não é primo é claro que n j ∈ {ni ∈ N m | i ≤ j e ni não é primo} , e portanto nj divide zm(nj). Logo se nj não divide zm(nj) então nj é primo. Mostraremos agora que se nj é primo então nj não divide zm(nj). Suponha que nj é primo. Nesse caso nj não divide nenhum produto de inteiros positivos menores que nj. Como zm(nj) pode ser escrito como um produto de inteiros positivos menores que nj, então nj não divide zm(nj). Logo, se nj é primo então nj não divide zm(nj). Ficou provado que nj é primo se e só se nj não divide zm(nj), e isto caracteriza os números primos que pertencem a Nm. Portanto, se N pode ser fatorado como produto de inteiros menores que nj, então nj é primo se e somente se nj não divide Nzm(nj). Note que i≤j acarreta zm(ni)|zm(nj) pois enquanto zm(ni) é o mmc de um conjunto de números C, zm(nj) é o mmc de um conjunto de inteiros que contém o conjunto C.

O Cálculo de zm(nj) e a caracterização dos primos em Nm Seja

z = zm ( n ) = mmc { s | s ∈ S} ,

S = S ( n, m ) = { s ∈ |1 ≤ s ≤ n e s ⊥ m ! e s não é primo} , n = nj e q = n2 o menor número primo maior que m.

Mostrarei que nenhum primo p satisfazendo pq>n ou p

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ou igual a n < p b +1 . Mas pb divide pb ∈ S , logo pb é a maior potência de p que divide z. De qualquer modo o expoente inteiro da maior potência de p que divide z é log p n  . Isto é, a maior potência de p que divide z é a maior potência de p menor ou igual a n. Portanto q 2 ≤ pq ≤ n

log p n 

zm ( n ) = ∏ p primo p  onde adotamos a convenção

∏

q∈∅

q = 1 (produto vazio). Chegamos ao seguinte

Teorema 1. Sejam m, n inteiros positivos satisfazendo n ⊥ m ! , q o menor número primo maior que m, e N um produto qualquer de inteiros positivos menores que n. São equivalentes: (i)

n é um número primo

(ii)

n não divide N ∏ p primo p 

q 2 ≤ pq ≤ n

 log p n  

onde p 

log p n 

é a maior potência inteira de p menor ou igual a n e Πq∈∅ q = 1.

Corolário 1.1. Sejam l, m, n inteiros positivos satisfazendo n ⊥ m ! e n ≤ l < nq , onde q é o menor número primo maior que m e N um produto qualquer de inteiros positivos menores que n. São equivalentes: (i)

n é um número primo

(ii)

n não divide N ∏ p primo p 

q 2 ≤ pq ≤l

log p l 

De fato, como n ≤ l , zm(n) divide zm(l). Portanto, se n não é um número primo então n divide zm(l). Por outro lado, se n é primo e se n ≤ l < nq então zm(l) é um produto de primos menores que n, donde n não divide zm(l).


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Corolário 1.2. Sejam l, m, n inteiros positivos satisfazendo n ⊥ m ! e n ≤ l < nq , onde q é o menor número primo maior que m. Sejam ainda M um produto qualquer de inteiros positivos menores que n e T um teste de primalidade, um algoritmo que tenha por entrada um inteiro b≥q e diga algo sobre a primalidade de b. Direi que T(b) = 0 se o algoritmo T provar que b é, com certeza, um número composto; e direi que T(b) = 1 nos outros casos. São equivalentes: (i)

n é primo

(ii)

n não divide M ∏ b = q bT ( b ) logb l  l q

A demonstração segue de uma escolha adequada de N no corolário 1.1. Na tabela abaixo vemos que para cada m = 1, 2, 3, 5 e cada i=1,2,...,25, ni é primo se e só se ni não divide zm(ni). Isso exemplifica o Teorema 1 para N = 1.


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m=1

m=2

m=3

m=5

i

ni

z1(ni)

ni

z2(ni)

ni

z3(ni)

ni

z5(ni)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

1

3

1

5

1

7

1

3

3

1

5

1

7

1

11

1

4

4

4

7

1

11

1

13

1

5

5

4

9

9

13

1

17

1

6

6

12

11

9

17

1

19

1

7

7

12

13

9

19

1

23

1

8

8

24

15

45

23

1

29

1

9

9

72

17

45

25

25

31

1

10

10

360

19

45

29

25

37

1

11

11

360

21

315

31

25

41

1

12

12

360

23

315

35

175

43

1

13

13

360

25

1575

37

175

47

1

14

14

2520

27

4725

41

175

49

49

15

15

2520

29

4725

43

175

53

49

16

16

5040

31

4725

47

175

59

49

17

17

5040

33

51975

49

1225

61

49

18

18

5040

35

51975

53

1225

67

49

19

19

5040

37

51975

55

13475

71

49

20

20

5040

39

675675

59

13475

73

49

21

21

5040

41

675675

61

13475

77

539

22

22

55440

43

675675

65

175175

79

539

23

23

55440

45

675675

67

175175

83

539

24

24

55440

47

675675

71

175175

89

539

25

25

277200

49

4729725

73

175175

91

7007

Duas fórmulas

Sejam  x  e  x  o chão e o teto de x, definidos como os únicos inteiros tais que x − 1 <  x  ≤ x ≤  x  < x + 1 . Tomando m=N=1 no teorema 1 tem-se o

corolário 1.3. Seja n um inteiro positivo. Então n é primo se, e só se, n não divide p primo

log p n 

R1 = ∏ p≤ n 2 p 

.

Portanto


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[ A]

 R1   R1  1,  n  −  n  = 0,     

se n é primo caso contrário

Por outro lado, tomando l=n e m=M=T(b)=1 no corolário 1.2, tem-se o

Corolário 1.4. Seja n um inteiro positivo. Então n é primo se e só se n não divide n2

R2 = ∏ b = 2 b 

logb n 

.

Portanto

[ B]

 R2   R2  1,  n  −  n  = 0,     

se n é primo caso contrário

Donde, conforme [A] e [B], para i=1,2 as funções

R  R  fi ( n ) = 2 + ( n − 2 )   i  −  i    n   n  produzem todos os primos e apenas primos. De fato se n não é primo, f(n)=2; mas se n é primo, então f(n)=n.

Um teorema correlato Temos investigado funções z tais que dado n no domínio de z, n é primo se e só se não divide z(n). Examinaremos agora outros exemplos de funções que satisfazem a esta propriedade e as fórmulas correspondentes para π(n) e pn.

Proposição 1. Um inteiro n ≥ 10 é primo se e somente se n não divide  n 2 ! .

Prova. Se n é primo é claro que n não divide  n 2 ! . Suponha que n é composto. Se n pode ser escrito como produto de inteiros distintos maiores que 1 acabou, pois cada um


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desses fatores distintos é menor ou igual a  n 2 , donde n divide  n 2 ! . Se n não pode ser escrito como produto de inteiros distintos maiores que 1 então n = p2 para algum número primo p. Daí e como n ≥ 10 por hipótese, vale 4 < p , donde 2 p < p 2 2 , isto é, 2 p < n 2 , portanto p < 2 p ≤  n 2  e n = p2 divide  n 2 ! .

Proposição 2. Um inteiro positivo n é primo se e somente se n não divide

 n 2 ! + 2δ n 4 + 3δ n 9

Prova. O caso n ≥ 10 é a proposição 1. Para n < 10 a proposição 2 pode ser verificada caso a caso. Portanto para qualquer inteiro positivo j vale:

 R3   R3  1,  j  −  j  = 0,     

se j é primo caso contrário

n  R  R  logo π ( n ) = ∑   3  −  3   j =1   j   j 

Três funções para o n-ésimo primo Seja f(i,n) = max(sgn(n–π(i)), 0). É fácil ver que f(i,n) = 1 se i < pn e f(i,n) = 0 se

i ≥ pn . Se α é uma função que satisfaz α ( n ) ≥ pn para todo inteiro positivo n, por exemplo, α(n)=2+2nlog n, então pn = 1 + ∑i =(1 ) f ( i, n ) , isto é: α n

 2 + 2 n log n 

pn = 1 +

∑ i =1

i   R  i R   max  sgn  n − ∑  t  + ∑  t   , 0    j =1  j  j =1  j     

onde Rt, com t=1,2,3, é dado como anteriormente; pn é o n-ésimo número primo; max(u,v) = (u + v + |u – v|) / 2 é o máximo entre os números u e v.


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4 Quatro Fórmulas Relacionadas que Produzem Números Primos Idéias iniciais

Sejam  x  e  x  o chão e o teto de x respectivamente. Os números  x  e  x  são os únicos inteiros que satisfazem x − 1 <  x  ≤ x ≤  x  < x + 1 . As igualdades

 x  = x =  x  somente ocorrem se x é inteiro. Caso contrário,  x  −  x  = 1 . Logo  k   k  0 se n divide k  n  −  n  = 1 se n não divide k  Também é fácil mostrar que −  x  =  − x 

O produto vazio O produtório

b

∏ (…)

para b < a e qualquer expressão entre parênteses é chamado de

m=a

produto vazio, uma vez que nele não comparecem fatores. Tem-se

b

∏ (…) = 1

pois o

m =a

produto de “número nenhum” tem o hábito de ser =0, como em x0 = 1 ou em 0! = 1. Um bom argumento neste sentido é a série de Taylor para exp(0):

xn 00 01 02 exp ( x ) = ∑ logo, 1 = exp ( 0 ) = + + + … = 00 0! 1! 2! n =0 n ! ∞

Daí, valem as igualdades b

a ≤ m ≤b

m=a

m

∏ (…) = ∏ (…) = ∏ (…) = 1 sempre que b < a .


m∈∅

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Fórmula 1. Seja f a função dada por: 2n  1 f ( n ) = − log 2 ∑ k k = n +1 2 

  k   k  

n

∏   m  −  m   

m =2

então f(n) é o menor número primo maior que n. Além disso, 2n  1 f ( n ) = log1 2 ∑ k k = n +1 2 

Prova. Se n = 1 então

  k   k  

n

∏   m  −  m   

m =2

n

∏ (…) = 1 , portanto m= 2

2  1 f (1) = − log 2 ∑ k k =2 2 

1

  k   k  



∏   m  −  m   = − log 

m= 2

2

1 =2 22 

Assim, para n = 1 a função f retorna o menor primo maior que n, sendo a proposição verdadeira neste caso. Suponha n ≥ 2 . Seja k um inteiro no intervalo

( n, 2n ] . Se k é composto ele tem um divisor

d ∈ [ 2, n] , donde

k  k   d  −  d  = 0 e assim

 k   k 

n

∏   m  −  m   = 0 m =2

Se k é primo, então para todo inteiro m ∈ [ 2, n ] vale:

k  k   m  −  m  = 1 e portanto

n

 k   k 

∏   m  −  m   = 1 m= 2

Ficou provado que se 2 ≤ n < k ≤ 2n então: n   k   k   1 se k é primo g ( k, n) = ∏    −    =   m   0 caso contrário m =2   m 

Em 1845 o matemático francês Bertrand conjecturou que para todo inteiro n > 3, existe algum primo p tal que n < p < 2n − 2 . Esta afirmação ficou conhecida como


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postulado de Bertrand, apesar de não ser um postulado, mas sim um teorema demonstrado por Chebyshev em 1852. Uma proposição mais fraca, porém esteticamente mais interessante, e que as vezes também é chamada de postulado de Bertrand, nos afirma que para todo inteiro n>1, existe algum primo no intervalo ( n, 2n ) . Por maior motivo sempre existe algum número primo no intervalo ( n, 2n ] , qualquer que seja o inteiro positivo n. Seja p o menor primo no intervalo ( n, 2n ] . Então p é o menor primo maior que n. Mostrarei que f(n) = p. Primeiro note: 2n 1 1 1 1 = g p , n ≤ g ( k , n ) = parcelas … + p g ( p, n ) + … parcelas ( ) ∑ p p k 2 2 2 k = n +1 2

por outro lado, pela minimalidade de p tem-se: 2n

2n ∞ 1 1 1 2 g k , n = g k , n < = p ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ k k k k= p 2 2 k = n +1 2 k=p 2 = 0 se k não é primo

logo 2n 1 1 2 ≤ g ( k, n) < p ∑ p k 2 2 k = n +1 2

tomando o logaritmo na base 2 ter-se-á 2n

− p ≤ log 2

1 ∑ k k = n +1 2

n

 k   k 

∏   m  −  m   < 1 − p m= 2 g ( k ,n)

assim 2n  1 − p = log 2 ∑ k k = n +1 2 

n

  k   k  

∏   m  −  m   

m =2

donde 2n  1 f ( n ) = − log 2 ∑ k k = n +1 2 


n

  k   k  

∏   m  −  m   = p m =2

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

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Portanto f(n) = p é o menor primo maior que n. De forma equivalente, aproveitando que − log 2 x  =  − log 2 x  = log1 2 x  , tem-se também 2n  1 f ( n ) = log1 2 ∑ k k = n +1 2 

n

  k   k  

∏   m  −  m   = p m =2



Fórmula 2. Seja g a função dada por n 2n    k   k   g ( n ) =  log 2 ∑ 2k ∏    −      m   k = n +1 m =2   m  

então g(n) é o maior primo menor ou igual a 2n. A prova da fórmula 2 é inteiramente similar à da fórmula 1.


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5 Outras Fórmulas Relacionadas que Produzem Números Primos A função de µ Mobius Ela é definida por

µ (1) = 1 e  0 se existe p primo tal que p 2 divide n µ (n) =  k ( −1) caso n seja o produto de k primos distintos

Fórmula 1. Seja n um inteiro positivo qualquer e n# o produto de todos os números primos no intervalo [1,n]. Então o menor primo maior que n é dado por

 f ( n ) = log1 2 

 1 µ jn #  j j = n +1 2 

 f ( n ) = −  log 2 

1 #  µ jn  j j = n +1 2 

2n

∑

( )

ou, o que é o mesmo, 2n

∑

( )

Prova. Para n = 1 tem-se

 f (1) = log1 2 

2×1

1

∑2

j =1+1

j



 

µ ( j1# )  = log1 2 

1 1   µ ( 2 )  = log1 2 2  = 2 2 2 2   

Isto confirma a fórmula neste caso. Note que 1# = 1, pois 1# = Π x∈∅ x é produto vazio que, como se sabe, é igual a 1. Suponha n > 1 e seja p o menor primo maior que n. Seja ainda


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2n

S=

1 µ ( jn # ) j j = n +1 2

∑

O postulado de Bertrand afirma que existe pelo menos um primo no intervalo

( n, 2n − 2 ) , para todo inteiro n > 3. Esta afirmação é verdadeira de fato e nos garante que p < 2n. Pela minimalidade de p, se n < j < p então j é composto. Como j < p e p < 2n então j < 2n donde j, sendo composto, tem um fator primo q no intervalo [ 2, n ] . Então q | j e q | n # e daí q 2 | jn # , donde µ ( jn # ) = 0 para todo inteiro j ∈ ( n, p ) . Assim 1 <S= 2p

1 1  alguns inversos de  2 µ jn # = 0 +… +0 + p +  <

j 2  potências de 2  2 p j = n +1 2 n< j < p 2n

∑

( )

( )

µ jn # = 0

∴

1 1 < S < p −1 p 2 2

aplicando o logaritmo na base ½ tem-se p − 1 < log1 2 S < p logo log1 2 S  = p isto é

 f ( n ) = log1 2 

 1 µ jn #  j j = n +1 2  2n

∑

( )

Como queríamos demonstrar.


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Fórmula 2. Seja n um inteiro positivo qualquer e n# o produto de todos os números primos no intervalo [1,n]. Então o maior primo menor ou igual a 2n é dado por

 g ( n ) = log 2 

2n



∑ 2 µ ( jn )  j

j = n +1

#



A prova da fórmula 2 é inteiramente análoga à da fórmula 1.


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6 Uma Aplicação da Análise à Teoria dos Números Introdução. Neste trabalho pressuponho que o leitor esteja familiarizado com certos conceitos da Análise, como sucessões, séries e convergência. Alguns teoremas da Análise Real são enunciados à medida que se tornam necessários para a compreensão do texto. Usando definições e teoremas da Análise, caracterizarei os números primos. Com essa caracterização construirei uma função que, dado n, fornece o valor de π(n), isto é, a quantidade de números primos menores ou iguais a n. Também construirei uma função cuja imagem é o conjunto dos números primos. Ora, esses resultados são de interesse da Teoria dos Números. Eles são estudados aqui utilizando-se teoremas e definições da Análise Real. Portanto, este artigo é um exemplo de como dois ramos distintos da Matemática podem relacionar-se.

Seqüências duplas A seguinte definição será muito importante para o desenvolvimento deste trabalho.

Definição 1. De acordo com LIMA (1976, p. 304) “Uma seqüência dupla (xnk) é uma função x : × → que associa a cada par (n, k) de números naturais um número real xnk.” Podemos imaginar os números xnk dispostos numa tabela que se estende infinitamente para a direita e para baixo. Assim, os índices n e k em xnk indicam que esse número real ocupa a n-ésima linha e a k-ésima coluna da tabela.


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Observação Considere a seqüência dupla (xnk) definida por

1 − 1 2n se n = k  xnk = −1 + 1 2n se n + 1 = k 0 nos outros casos  A representação em tabela de (xnk) é a seguinte: 1 2 0

−

1 2 3 4

0 −

3 4 7 8

0

0

0 → 0

0

0

0 → 0

0

0 → 0

7 8 15 16

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

↓ 1 2

↓ 1 4

↓ 1 8

↓ 1 16

−

−

15 0 16 31 31 − 32 32 63 0 64 ↓ 1 32

→ 0 → 0 → 0

↓ 1 64

A soma de cada linha é 0 logo Σ n ( Σ k xnk ) = Σ n 0 = 0 . Por outro lado, a soma dos elementos da k-ésima coluna é 1/2k, logo Σ k ( Σ n xnk ) = Σ k 1 2 k = 1 . Assim, dada uma seqüência dupla (xnk), mesmo que as séries Σ n ( Σ k xnk ) e Σ k ( Σ n xnk ) convirjam, não é necessariamente verdadeiro que Σ n ( Σ k xnk ) = Σ k ( Σ n xnk ) .

Uma certa seqüência dupla Examinemos a seqüência dupla (ynk) definida por:

 x k se n divide k e n ≠ 1 ynk =  0 caso contrário


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Representarei alguns termos dessa seqüência dupla na tabela que se segue:

k n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...

1

2

3

4

5

6

7

8

9

...

0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...

0 x2 0 0 0 0 0 0 0 ...

0 0 x3 0 0 0 0 0 0 ...

0 x4 0 x4 0 0 0 0 0 ...

0 0 0 0 x5 0 0 0 0 ...

0 x6 x6 0 0 x6 0 0 0 ...

0 0 0 0 0 0 x7 0 0 ...

0 x8 0 x8 0 0 0 x8 0 ...

0 0 x9 0 0 0 0 0 x9 ...

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

A primeira linha (n = 1) é só de zeros, logo

∑

k

y1k = 0 . É fácil ver que para a

n-ésima linha, com n > 1, vale:

∑y

nk

= x n + x 2 n + x 3n + x 4 n + … =

k

xn 1− xn

sempre que x ∈ ( −1,1) . Definirei a função L : ( −1,1) → como a soma dos termos da seqüência dupla (ynk) linha por linha, isto é:

  ∞ xn L( x ) = ∑  ∑ y nk  = ∑ n n  k  n=2 1 − x precisamos verificar se a função L está bem definida, ou seja, se a série do lado direito da igualdade converge. Mas antes lembro uma definição: uma série ∑ an é absolutamente convergente quando a série formada pelo valor absoluto de seus termos converge, isto é, a série ∑ an é absolutamente convergente quando ∑ an converge. Lembro também que toda série que converge absolutamente é convergente.

Proposição 1: Se lim n a n < 1 então a série ∑ an converge (absolutamente). n→∞


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Podemos agora mostrar que a série L(x ) = 0 +

x2 x3 x4 + + + 1 − x2 1 − x3 1 − x4

converge (absolutamente). De fato

lim n n→∞

x xn = = x <1 n 1− x lim n 1 − x n n→∞

portanto a função L : ( −1,1) → está bem definida. Definirei agora a função C : ( −1,1) → como a soma dos termos da seqüência dupla (ynk) coluna por coluna, isto é, C ( x ) = ∑ k ( ∑ n ynk ) . Pela observação feita neste artigo, não é evidente que C(x) = L(x). É aí que entra a

Proposição 2. Conforme LIMA (1976, p. 305), “Dada a seqüência dupla (xnk), suponhamos que cada linha determine uma série absolutamente convergente, isto é,

∑ k xnk = an

para

cada

n.

itamos

ainda

que

∑ n an < +∞ .

Então

∑ n ( ∑ k xnk ) = ∑ k ( ∑ n xnk ) .”

Utilizando a proposição 2, vamos provar que C(x) = L(x). A primeira linha da seqüência dupla (ynk) é só de zeros, logo a série determinada por ela converge absolutamente (para zero). Para todo x ∈ ( −1,1) e para cada n = 2, 3, 4, ... é fácil ver que

∑y

= x + x n

nk

2n

+ x

3n

+ x

k

4n

+=

xn 1− xn

portanto, toda linha da seqüência dupla (ynk) determina uma série absolutamente convergente sempre que |x| < 1. Para que as condições da proposição 2 sejam satisfeitas, resta mostrar que ∑ n ∑ k ynk < +∞ . De fato:


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∑∑ y n

∞

nk

(

=∑ x + x n

2n

+ x

3n

+ x

4n

)

xn

n=2

1 − xn

+ = ∑

n= 2

k

∞

= L( x ) < +∞

∴ ∑ ∑ y nk < +∞ n

k

Assim, de acordo com a proposição 2, podemos afirmar que C(x) = L(x). Por outro lado não é difícil ver que C ( x ) = ∑ k ∑ n ynk = Σ ∞k =1 ( d ( k ) − 1) x k , onde d(k) é o número de divisores positivos de k. Como C(x) = L(x), a expansão em série de Taylor de L(x) em torno de x = 0 é Σ ∞k =1 ( d ( k ) − 1) x k . Assim, pela unicidade da série de Taylor, se

a sucessão (cn) satisfaz ∞

xn = c 0 + c1 x + c 2 x 2 + c3 x 3 + … + c k x k + n n=2 1 − x

L( x ) = ∑

para todo x ∈ ( −1,1) , então c0 = 0 e ck = d(k) – 1 para k > 0.

Lema. Se a função g : ( −1,1) → é consistentemente definida por g ( x ) = ∑ an x n , então para cada número natural n a n-ésima derivada de g é obtida pela sucessiva derivação termo a termo da série ∑ an x n .

É fácil ver que L(0) = c0. Aplicando o lema acima, podemos derivar L sucessivamente e obter L’(0) = c1, L’’(0) = 2c2, L’’’(0) = 6c3, L(4)(0) = 24c4, ..., L(k)(0) = k!ck, ..., portanto

L( x ) = L(0) + L ′(0 )x +

1 1 1 L ′′(0 )x 2 + L ′′′(0)x 3 + + L(k ) (0)x k + 2! 3! k!

Assim, os valores de c1, c2, c3, ... ficam determinados a partir dos valores das derivadas sucessivas da função L no ponto 0. Especificamente tem-se que

ck = L( k ) ( 0 ) k ! .


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Caracterizando números primos Sabemos que um número natural k é primo se e só se d(k) = 2; sabemos também que ck = d(k) – 1 e que ck = L(

k)

somente se ck = 1, isto é, se L(

( 0 ) = k ! . Se k for composto então ck > 1 e

k)

( 0)

k ! . Logo, um inteiro positivo k é primo se e L( k ) ( 0 ) > k ! .

Portanto, sendo u  o único número inteiro satisfazendo u  ≤ u < u  + 1 , vale:  1  n  k!    = ∑  (k ) L 0 ( ) k = 2  ck  k =2    n

π (n) = ∑ 

onde π(n) é o número de primos p tais que 2 ≤ p ≤ n . Além disso o conjunto dos números primos é a imagem da função f definida para os inteiros maiores que 1 e dada por  n!  1 f ( n ) = 2 + ( n − 2 )   = 2 + ( n − 2 )  ( n)   cn   L ( 0 ) 


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7 Relacionando Números Primos e Binomiais Introdução Neste artigo o estudo da função g ( n ) = mdc ( Cn ,1 , Cn ,2 ,… Cn ,n −1 ) nos conduzirá à uma fórmula que produz todos os números primos e apenas primos. Provar-se-á que

g ( n ) = 1 se n tiver pelo menos dois fatores primos distintos e g ( n ) = p se n = p m para algum primo p e algum inteiro positivo m. Portanto, o conjunto dos números primos é igual à imagem da função f ( n ) = max ( 2, g ( n ) ) . Aproveitando que Cn ,r = Cn ,n − r mostra-se que o conjunto dos primos coincide, também, com a imagem da função

   2 n + 1   2 n + 1   2n + 1    f ( n ) = max  2, mdc   ,  ,…      1 2 n         A função Λ Von Mangoldt é importante em Teoria dos Números. Ela é definida por

log p, se n é potência do primo p Λ ( n) =  0, caso contrário Uma conseqüência imediata do teorema demonstrado no presente trabalho é que

Λ ( n ) = log g ( n ) .

Uma função útil Todo número racional pode ser escrito como produto de potências de números primos

com

expoentes

inteiros.

Assim,

21 160 = 2−5315−171110130170

e

1 0 77 9 = 203−250711113 170190 As provas das proposições 1 e 2 que se seguem serão


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facilitadas pelo uso da funções ν p : → . O inteiro ν p ( b ) é o expoente do primo p na representação do racional b como produto de potências de números primos. O leitor deve se convencer de que, fixado um primo p qualquer, a função ν p satisfaz as seguintes propriedades para todos os racionais x, y, z, ..., w, todos os inteiros a, b, c,..., n.

(i)

ν p ( xyz w ) = ν p ( x ) +ν p ( y ) +ν p ( z ) + … +ν p ( w )

(ii)

ν p ( pn ) = n

(iii)

ν p ( n ) = 0 se e só se p não divide n

(iv)

ν p ( x y ) = ν p ( x ) −ν p ( y )

(v)

ν p ( mdc ( a, b, c,… , n ) ) = min (ν p ( a ) ,ν p ( b ) ,ν p ( c ) ,…ν p ( n ) )

(vi)

Se ν p ( a ) ≠ ν p ( b ) então ν p ( a ± b ) = min (ν p ( a ) ,ν p ( b ) )

(vii)

ν p ( −a ) = ν p ( a )

(viii)

ν p (a) ≥ 0

(ix)

Se 1 ≤ a < p n então ν p ( a ) < n

(x)

ν p ( a !) = ∑ t > 0  a p t 

onde nesta última igualdade  x  é o maior inteiro menor ou igual a x. No que se segue usar-se-á g ( n ) = mdc ( Cn ,1 , Cn ,2 ,… Cn ,n −1 ) .

Três lemas Lema 1. Seja n um inteiro positivo. Se n tem pelo menos dois fatores primos distintos então g ( n ) = 1 .

Prova. Como g ( n ) divide n = Cn ,1 , todo fator primo de g ( n ) é também fator de n. Para provar que g ( n ) = 1 basta mostrar que g ( n ) não é divisível por nenhum fator


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primo de n. Farei isso tomando um fator primo p genérico de n e mostrando que

ν p ( g ( n ) ) = 0 . Suponhamos que ν p ( n ) = v :

(

)

0 ≤ ν p ( g ( n ) ) = min ν p ( Cn,1 ) ,ν p ( Cn,2 ) ,… ,ν p ( Cn, n −1 ) ≤  p −1 n − u   n ≤ν p  v  =ν p  ∏ v =  u =0 p − u  p    v

v

p −1

=

∑ (ν ( n − u ) −ν ( p p

−u

v

p

u =0

(

p v −1

∑ν

p

u =0

 n−u   v =  p −u 

)) =

p v −1

( ) ) + ∑ (ν ( n − u ) −ν ( p

= ν p ( n ) −ν p p

v

p

p

v

−u

u =1

p v −1

(

)) =

( ( )

))

= ( v − v ) + ∑ min (ν p ( n ) ,ν p ( u ) ) − min ν p p v ,ν p ( u ) = u =1

p v −1

p v −1

=

∑ (ν ( u ) −ν ( u ) ) = ∑ 0 = 0 p

p

u =1

u =1

∴0 ≤ν p ( g ( n)) ≤ 0 ∴ν p ( g ( n ) ) = 0 para cada fator primo p de n. Logo g(n) = 1.

Lema 2. Suponha que n = pv, p primo e v inteiro positivo. Então p divide g(n).

Prova. Como

Cn ,1 = n = p v

então g(n) = ps com s inteiro e 0 ≤ s ≤ v. Seja

r ∈ {1, 2, 3, ..., n – 1}, r = kpt onde p não divide k ∈ e t < v.


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   pv  pv !   = ν =  p v   r − p r ! r !    

νp

(

( )

)

( ( ( p − r ) !) +ν

= ν p pv ! − ν p

v

p

( r !) ) =

v  pv   v  pv − r  v  r   = ∑  t  −  ∑  t  + ∑  t   > p  t =1  p   t =1  p   t =1 

pv  v pv − r v r  −∑ +∑ t  = p t  t =1 pt t =1 p  pv v pv −∑ =0 p t t =1 p t

v

>∑ t =1 v

=∑ t =1

Ficou provado que para cada r = 1, 2, 3, ..., n – 1 vale ν p ( Cn ,r ) ≥ 1 , isto é, p divide Cn ,r . Portanto p divide g(n).

Lema 3. Suponha que n = pv, p primo e v inteiro positivo. Então p2 não divide g(n). Prova.

ν p ( g ( n ) ) = min (ν p ( Cn ,1 ) ,ν p ( Cn ,2 ) ,… ,ν p ( Cn , n −1 ) ) ≤  pv −1 −1 p v − u   n  = ≤ ν p  v −1  = ν p  ∏ v −1  u =0 p − u  p    p v −1 −1

=

∑ u =0

(ν ( p

)

( )

(

− u −ν p p v −1 − u

v

p

(

= v − ( v − 1) +

pv −1 −1

∑ u =1

u =0

p v −1 −1

( min (ν

 pv − u  = p v −1  p −u 

)

(

− u −ν p p v −1 − u

v

p

u =1

pv −1 −1

= 1+

∑ν

)) =

) ∑ (ν ( p

= ν p p v −ν p p v −1 +

pv −1 −1

( p ) ,ν ( u ) ) − min (ν ( p ) ,ν ( u ) ) ) = v −1

v

p

)) =

p

p

p

p v −1 −1

∑ (ν ( u ) −ν ( u ) ) = 1 + ∑ p

u =1

p

0 = 1+ 0 = 1

u =1

∴ν p ( g ( n ) ) ≤ 1 .

Logo p2 não divide g(n).


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Observação 1. Dos lemas 2 e 3 concluímos que g(n) = p sempre que n é potência do primo p.

Proposição. Se n é um inteiro positivo, vale:  n n n  n   p mdc    ,   ,   ,… ,   =   n − 1   1  1  2  3

se p é primo e n = p v , v ∈ * caso contrário

A demonstração segue diretamente do lema 1 e da observação anterior.

Observação 2. Seja m o maior inteiro menor ou igual à metade de n. Desde que dois números binomiais complementares são iguais, isto é

 x  x   =   y  x −

  y 

tem-se

 n  n  n  n   n  n  n  n    mdc  ,  ,  , …    = mdc  ,  ,  , … ,  1 2 3 m 1 2 3 n − 1                    Uma fórmula para os números primos De acordo com a proposição e a observação 2, uma fórmula que produz todos os números primos e apenas primos é: f ( n ) = max ( 2, g ( 2n + 1) )

isto é

   2n + 1  2n + 1  2n + 1  2n + 1   ,  ,  , … ,    f (n ) = max 2, mdc    n     1   2   3   onde a função f está definida no conjunto dos inteiros positivos e assumimos que mdc(a) = a para todo inteiro positivo a. É fácil ver que o conjunto dos números primos


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é a imagem da função f dada acima. De fato, quando 2n+1 ite dois ou mais fatores primos distintos, f(n) = 2; quando 2n+1 é potência de um primo p, f(n) = p.

A função de Von Mangoldt Ela é denotada é definida por:

log p se n = p v , para algum primo p e algum inteiro v ≥ 1 Λ ( n) =  caso contrário 0 onde log é a função logaritmo natural. Conforme a proposição demonstrada, fica claro que:

n  n n  n    Λ (n ) = log mdc  ,  ,  , … ,  1 2 3 n − 1         A função de Von Mangoldt tem propriedades interessantes que as relacionam com outras funções importantes da Teoria dos Números, como a função zeta de Riemann e a função de Chebyshev.


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8 Uma Função que Produz Infinitos Números Primos Introdução Mostrar-se-á no presente artigo que existe b real entre 5 e 5 + ¾, tal que todos os b bb b  , b  , b  ,… são números primos, onde  x  é o maior  

termos da sucessão

inteiro menor ou igual a x. Resultados similares foram obtidos por Mills em 1947 e por Wright em 1951. n Mills mostrou que existe θ real tal que θ 3  é um número primo para todo inteiro  

positivo n. Wright provou que existe um real ω tal que todos os números ω  2ω  2ω  ,  22  ,  2 2   

  ,… são primos. 

A importância deste tipo de resultado está na demonstração da existência de certas constantes e não na obtenção de primos através de fórmulas. De fato, nem as funções de Mills e Wright, nem a função examinada neste artigo provam a primalidade de um número. Pelo contrário, para a determinação das respectivas constantes (θ, ω e b) com precisão suficiente para que qualquer dessas funções retorne um primo p, é necessário constatar a primalidade de p por outros processos. A idéia básica da qual este trabalho se originou é a seguinte: escolhamos um primo x1. É claro que  x1  é primo. Agora escolhamos um real x2 um pouquinho maior de modo que  x2  =  x1  e x2x2 sejam primos. Então  x2  e  x2x2  são primos. Escolhamos um real x3 ainda um pouco maior, mas de modo que  x3  =  x2  =  x1  , x3

 x3x3  =  x2x2  e x3x3

sejam primos, e assim por diante. Se b = lim xn então

b bb b  , b  , b  ,… são todos números primos. Os detalhes da demonstração e o  

resultado principal estão a seguir.


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Uma função que produz infinitos primos Definindo indutivamente z ∗1 = z; z ∗ ( m + 1) = z z ∗m e sendo  z  o maior inteiro menor ou igual a z será demonstrada a existência de um real b tal que para todo inteiro positivo n, b ∗ n  é um número primo. Se f é a função definida no conjunto dos inteiros positivos, dada por f ( n ) = b ∗ n  , ela produzirá infinitos números primos.

Lema 1. Para todo inteiro positivo m e todos números reais u, v com u > v ≥ 3, vale

u ∗ ( m + 1) − v ∗ ( m + 1) >3 u ∗m − v∗m Prova. Seja g(x) = vx com x > 1 e v ≥ 3. Então g’(c) = vc⋅ln(v) > 3 sempre que c > 1.

v a − vb g ( a ) − g ( b ) = = g′ (c) > 3 a −b a −b Como g é contínua, pelo Teorema do valor médio tem-se que para todos a,b>1, vale: para algum c ∈ ( a, b ) . Tomando a = u*m e b = v*m, tem-se que a,b>1 e

v u ∗m − v v∗m >3 u ∗m − v∗m Como u > v, então

u u ∗m − v v∗m >3 u ∗m − v∗m Isto é

u ∗ ( m + 1) − v ∗ ( m + 1) >3 u ∗m − v∗m Como queríamos provar.


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Lema 2. Dado um intervalo I = [r, s], se s/r ≥ 2 e s ≥ 1 então existe um número primo em I.

Prova. Se s/r ≥ 2 e r ≥ 1 então I contém um real maior ou igual a 1 e seu dobro. Porém, conforme o postulado de Bertrand, sempre existe um primo entre esses dois números, de modo que I sempre contém um número primo.

Lema 3. Para todo inteiro positivo n e todo real v ≥ 5, existe u ≥ v satisfazendo:

1 2

(i)

u∗n −v∗n ≤

(ii)

u ∗ ( n + 1) é primo

Prova. Seja v + ∆ o maior valor que podemos atribuir a u de modo que se cumpra a condição (i) acima, isto é, ∆ satisfaz: (v + ∆)*n – v*n = ½ Então

u*(n + 1)

pode

assumir

qualquer

valor

no

intervalo

I = [v*(n + 1), (v + ∆)*(n + 1)]. Considere o quociente:

µ=

( v + ∆ ) ∗ ( n + 1) v ∗ ( n + 1)

Conforme o lema 2, se µ ≥ 2 então existirá algum primo no intervalo I e portanto poder-se-á escolher u satisfazendo (i) e (ii). Resta mostrar que µ ≥ 2. Tem-se:

(v + ∆) ∗ n − v ∗ n =

1 1 ( v +∆ )∗n ( v∗n ) +1 2 ⇔ (v + ∆) ∗ n = (v ∗ n) + ⇔ (v + ∆) = (v + ∆) ⇔ 2 2

⇔ ( v + ∆ ) ∗ ( n + 1) = ( v + ∆ )

( v + ∆ )( ⇔µ= v

( v∗n ) +1 2

v∗n ) +1 2

v ∗n

⇒µ≥

v(

( ) v + ∆ ) ∗ ( n + 1) ( v + ∆ ) ( ⇔ = v ∗ ( n + 1) v ∗ ( n + 1)

v∗n ) +1 2

v

v∗n

v∗n +1 2

⇔

= v1 2 ⇔ µ ≥ v ≥ 5 > 2

∴µ ≥ 2


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e fica provado o lema 3.

Lema 4. Seja (xn) uma sucessão não decrescente de números não menores que 3. Se xn+1*n – xn*n ≤ ½, então xn+1*j – xn*j ≤ 2-13j-n, para j = 1, 2, 3, ..., n.

Prova. O caso xn = xn+1 é trivial. Suponha que 0 < xn+1*n – xn*n ≤ ½. Fazendo, no lema 1, u = xn+1 e v = xn, tem-se

xn +1 ∗ ( m + 1) − xn ∗ ( m + 1) >3 xn +1 ∗ m − xn ∗ m Donde xn +1 ∗ n − xn ∗ n n −1 xn +1 ∗ ( k + 1) − xn ∗ ( k + 1) n −1 =∏ > ∏ 3 = 3n − j xn +1 ∗ j − xn ∗ j k = j xn +1 ∗ k − xn ∗ k k= j Para j = 1, 2, 3, ..., n – 1. Logo:

xn +1 ∗ n − xn ∗ n x ∗ j − xn ∗ j 3 j −n > 3n− j ⇒ n +1 < 3 j − n ⇒ xn+1 ∗ j − xn ∗ j < xn +1 ∗ j − xn ∗ j xn +1 ∗ n − xn ∗ n 2 Como queríamos.

Lema 5. Seja (xn) uma sucessão não decrescente de números não menores que 3. Se xn+1*n – xn*n ≤ ½, então para todos inteiros positivos j, n com j ≤ n vale xj*j ≤ xn*j < ¾ + xj*j.

Prova. O caso j = n é trivial. Suponha j < n. Conforme o lema 4 tem-se as seguintes desigualdades:


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0 ≤ xj+1*j – xj*j ≤ 2-130 0 ≤ xj+2*j – xj+1*j ≤ 2-13-1 0 ≤ xj+3*j – xj+2*j ≤ 2-13-2 ............................................... 0 ≤ xn*j – xn-1*j ≤ 2-13j-n+1 Somando estas desigualdades tem-se: 0 ≤ xn*j – xj*j ≤ 2-130 + 2-13-1 + 2-13-2 + ... + 2-13j-n+1 < ¾ isto é 0≤ xn*j – xj*j < ¾, ou seja xj*j ≤ xn*j ≤ ¾ + xj*j. Fica assim provado o lema 5.

Proposição. Seja (xn) uma sucessão não decrescente com x1 = 5 satisfazendo, para todo inteiro positivo n, as duas condições seguintes: (i)

xn+1*n – xn*n ≤ ½

(ii)

xn+1*(n + 1) é primo

Se b = lim xn então b ∗ n  é um número primo para todo inteiro positivo n.

Prova. O lema 3 garante a existência da sucessão (xn). De fato, como x1 = 5, o lema 3 garante a existência de x2 satisfazendo x2*1 – x1*1 ≤ ½ e x2*2 primo. Assim, dado x1, construímos x2 satisfazendo (i) e (ii) (para n = 1) . Supondo que já construímos x1, x2, ..., xn, o lema 3 garante a existência de xn+1 satisfazendo (i) e (ii). Portanto existe uma sucessão (xn) satisfazendo (i) e (ii) para todo inteiro positivo n. Afirmo que (xn) tem limite. Com efeito, conforme o lema 5, para todo j ≤ n, vale xj*j ≤ xn*j < ¾ + xj*j.

Em

particular,

para

j=1

tem-se

5 = x1 = x1*1 ≤ xn = xn*1 < ¾ + x1*1 = ¾ + 5 para todo n inteiro positivo, isto é, xn ≤ 5 + ¾. Como xn é uma sucessão não decrescente limitada superiormente (por 5 + ¾) então existe b = lim xn. Conforme o lema 5, para todos inteiros n, j com j ≤ n, vale xj*j ≤ xn*j ≤ ¾ + xj*j. Fazendo n tender a infinito tem-se xj*j ≤ b*j ≤ ¾ + xj*j para todo inteiro positivo j.


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Porém xj*j é primo por hipótese, donde b ∗ j  = x j ∗ j é primo para todo inteiro positivo j. Com isso fica provado que existe um número real b, entre 5 e 5+3/4, tal que a b sucessão b  , bb  , bb  ,… é formada apenas por números primos. Então uma função  

que produz infinitos números primos, e apenas primos, é dada por: b  b  f ( n ) = b    ˆ n bes

Perspectivas A prova da proposição acima pode ser modificada para demonstrar a existência de outras funções que produzem infinitos números primos. Portanto, o resultado obtido pode ser estendido para todo um conjunto de funções que satisfizerem determinados critérios. Isto significa que outros problemas semelhantes podem ser resolvidos através da técnica utilizada neste trabalho.


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9 Uma Função para o enésimo Número Primo Introdução Será apresentada uma função f definida recursivamente tal que  f ( n )  = pn , onde  x  é o maior inteiro menor ou igual a x e pn é o n-ésimo número primo.

Frações contínuas Uma fração contínua finita em n variáveis a1, a2, a3, ..., an é denotada e definida por:

[ a1 , a2 , a3 ,… , an ] = a1 +

1 a2 +

1 a3 +

1 1 an

Se os números a2, a3, ..., an são inteiros positivos, a fração contínua acima é dita simples.

Observação O teorema 165 de [8] garante que para toda sucessão (an) de inteiros positivos existe o limite de [a1,a2,a3,...,an], quando n tende a infinito. Designamos esse limite por [a1,a2,a3,...], que é uma fração contínua simples infinita.


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O teorema 168 da mesma referência garante que se x=[a1,a2,a3,...] é uma fração contínua simples infinita então  x  = a1 . Então, se escrevermos ãn para denotar [an,an+1,an+2,...] ter-se-á  an  = an .

Proposição. Seja (an) uma sucessão de inteiros positivos. Definindo recursivamente

 f (1) = [ a1 , a2 , a3 ,…]  1   f ( n + 1) = { f ( n )} para n = 1, 2,3, …  onde {f(n)} é a parte fracionária de f(n), definida por

{ f ( n )} = f ( n ) −  f ( n ) , tem-se

que  f ( n )  = an .

Prova. Afirmo que f(n) = ãn = [an,an+1,...]. A prova será por indução. Para n = 1 tem-se f(1) = [a1,a2,a3,...] = ã1. Logo, a afirmação vale para n = 1. Suponha que vale para n = k, isto é, suponha que f(k) = ãk. Mostrarei que f(k+1) = ãk+1.

1 1 1 1 = ~ = = { f (k )} {a k } {[a k , a k +1 , …]}   1 a k + [a k +1 , a k + 2 , …]  1 1 = = ~ = a~k +1 ∴ f (k + 1) = a~k +1 1 a  1  k +1 a k + ~  a k +1   Logo, se a afirmação vale para n=k, também vale para n=k+1. Ficou provado que f (k + 1) =

f(n)=ãn para todo inteiro positivo n. Conforme a observação anterior, vale  an  = an . Portanto, para todo inteiro positivo n,  f ( n )  = an .

Uma função para o n-ésimo número primo Em particular, definindo recursivamente a função f por


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 f (1) = [2, 3, 5, 7, 11, … , p n , …] = 2,3130367364335829064 …  1   f (n + 1) = { f (n )} para n = 1, 2, 3, …  Vale  f ( n )  = pn .


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10 Números Primos e Séries Formais Introdução Este trabalho aborda as séries formais, mostrando um modo de caracterizar números primos através delas. Também será apresentada uma fórmula para primos cuja base é essa caracterização.

Séries Formais Uma série formal na indeterminada x é uma expressão que pode ser escrita como

p ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x3 +… Todo polinômio pode ser interpretado como uma série formal. Por exemplo:

1 + 3x + 4 x 2 = 1 + 3 x + 4 x 2 + 0 x3 + 0 x 4 + … A soma e o produto de séries formais decorrem de modo natural da soma e produto de polinômios. Somamos e multiplicamos séries formais como se estivéssemos trabalhando

com

polinômios.

Assim,

se

p ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x3 +…

e

q ( x ) = b0 + b1 x + b2 x 2 + b3 x 3 +… , então p ( x ) + q ( x ) = ( a0 + b0 ) + ( a1 + b1 ) x + ( a2 + b2 ) x 2 + ( a3 + b3 ) x3 +… p ( x ) q ( x ) = c0 + c1 x + c2 x 2 + c3 x 3 +… onde


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c0 = a0b0 c1 = a1b0 + a0b1 c2 = a2b0 + a1b1 + a0b2 c3 = a3b0 + a2b1 + a1b2 + a0b3 etc. Séries formais podem ter mais de uma indeterminada:

Q ( x, y ) =

∞

∑ ijx y i

j

= xy + 2 x 2 y + 2 xy 2 + 3x 3 y + 3xy 3 + 4 x 2 y 2 + …

i , j =1

∞

R ( x, y, z ) = ∑ x i y 2i +1 z 3i + 2 = xy 3 z 5 + x 2 y 5 z 8 + x 3 y 7 z11 + … i =1

Além disso, observando que

(1 + 2 x + 4 x

2

+ 8 x 3 + …) (1 − 2 x ) =

= 1 + 2 x − 2 x + 4 x2 − 4 x2 + 8x3 − 8x3 + … = 1 ∴ (1 + 2 x + 4 x 2 + 8 x 3 + …) (1 − 2 x ) = 1 e dividindo a última igualdade por 1 − 2 x tem-se que

1 = 1 + 2 x + 4 x 2 + 8 x3 + … 1 − 2x donde o quociente entre dois polinômios pode ser escrito como uma série formal.

Partições não ordenadas Uma partição de um inteiro positivo n é a decomposição deste inteiro como soma de parcelas inteiras e positivas. Assim, 1+1+3 é uma partição do inteiro 5. Uma partição é não ordenada quando a ordem das parcelas é indiferente, isto é, 1+1+3, 1+3+1 e 3+1+1 representam a mesma partição não ordenada de 5. Note que a partição 1+1+3 tem três parcelas mas apenas dois termos distintos (1 e 3). Do mesmo modo a partição (de 14) 4+4+2+2+2 tem cinco parcelas, mas apenas duas parcelas distintas (4 e 2). A partição 2+2+2 (de 6) tem 3 parcelas, mas apenas um termo (somente o 2).


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Número de partições não ordenadas Denota-se por [xn]p(x) o coeficiente de xn na série formal p(x); por [xnym]p(x, y) o coeficiente de xnym na série formal p(x, y) etc. Seja

p j ( x, y ) = 1 + x j y + x j + j y + x j + j + j y + … = = 1 + x j y + x 2 j y + x3 j y + … = 1 + y =

xj = 1− x j

1 + x j ( y − 1) 1− x j

Afirmo que o número de partições não ordenadas de n com exatamente k termos distintos é:

 x n y k  ∏ p j ( x, y ) j ≥1

Sejam Q ( x, y ) = ∏ p j ( x, y ) e j ≥1

a1 + a2 + … + aα = n b1 + b2 + … + bβ = n

l1 + l2 + … lγ = n todas as partições de n com exatamente k termos distintos. Considere A=[xnyk]Q(x, y) o coeficiente de xnyk em Q(x, y). Digamos que a partição de n com k termos distintos

c1 + c2 + … + cδ = n tenha S1 termos iguais a R1; S2 termos iguais a R2; ... Sk termos iguais Rk. Então a partição c1 + c2 + … + cδ = n corresponde, pela propriedade distributiva, ao termo xnyk obtido ao multiplicarmos


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x R1 + R1 +…+ R1 y = x S1R1 y (termo de pR1 ( x, y ) ) x R2 + R2 +…+ R2 y = x S2 R2 y (termo de pR2 ( x, y ) ) .................................................................. x Rk + Rk +…+ Rk y = x Sk Rk y (termo de pRk ( x, y ) ) 1 = 1 (termo de pT ( x, y ) , T ≠ R1 , R2 ,… Rk ) obtendo x S1R1 + S2 R2 +…Sk Rk y k = x c1 + c2 +…cδ y k = x n y k Portanto, ao desenvolver-se o produto p1 ( x, y ) p2 ( x, y ) p3 ( x, y )… obtém-se, após aplicada a propriedade distributiva, tantos termos xnyk quantas forem as partições não ordenadas de n com exatamente k termos distintos. Logo, o coeficiente de xnyk em Q(x,y) é o número de partições não ordenadas de n com exatamente k termos distintos.

Um caso especial Quando k=1 as partições de n são somas de parcelas iguais. Por exemplo, para n=6 e k=1 temos as seguintes partições: 6 = 1+1+1+1+1+1 6 = 2+2+2 6 = 3+3 6=6 Logo [x6y]Q(x, y) = 4 (4 partições de 6 como soma de parcelas iguais). De modo mais geral,

 x n y  Q ( x, y ) = d ( n ) onde d(n) é o número de divisores de n. Daí, como

 xj  Q ( x, y ) = ∏  1 + y  1− x j  j ≥1  tem-se a seguinte


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Proposição. Se

 xj  f ( n ) =  x n y  ∏ 1 + y  então f(n) é igual ao número de 1− x j  j ≥1 

divisores positivos de n. Em particular n é primo se e só se f(n)=2. Desta proposição decorrem

Duas fórmulas

Será usada, aqui, a notação  r  para designar o maior número real menor ou igual a r.

 xj  Se Q ( x, y ) = ∏ 1 + y  e g é uma função definida no conjunto dos 1− x j  j ≥1    2  , então a imagem de g inteiros positivos e dada por g ( n ) = 2 + ( n − 1)  n +1   x y  Q ( x, y )  é o conjunto de todos os números primos. Além disso,

 2  i i =1   x y  Q ( x, y )     n



π ( n ) = −2 + ∑ 

onde π ( n ) é a quantidade de números primos no intervalo [1, n]


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11 Caracterizando Intervalos de Números Primos através de Polinômios Introdução Sabemos que não existe nenhum polinômio não constante P(x), com coeficientes inteiros, tal que P(n) seja primo para todo inteiro positivo n (veja [13], ou a página 18 da referência [8]). Este resultado, embora negativo, mostra o interesse de se relacionar os números primos aos valores assumidos por um polinômio. Outro resultado neste sentido, porém muito mais surpreendente, diz que o conjunto dos números primos coincide com o dos valores positivos assumidos por um certo polinômio de grau 25, em 26 variáveis, quando estas percorrem o conjunto dos inteiros não negativos (veja capítulo 3.III da referência [4]). Os matemáticos têm-se interessado, portanto, em estabelecer relações entre números primos e polinômios. É neste contexto que se insere o presente trabalho. Seja pn o n-ésimo número primo. Provaremos nesta nota, um teorema que mostra como construir um polinômio Pn, de grau pn − 1 , que caracterizará todos os primos entre pn e pn2+1 . Se o inteiro m, satisfazendo pn < m < pn2+1 , satisfizer a condição adicional de que p1 p2 pn divide Pn ( m ) , então m será primo. Caso contrário, não o será.

Definições preliminares Dois números inteiros são congruentes módulo m quando deixam o mesmo resto na divisão por m. Caso contrário são ditos incongruentes módulo m. Se a e b são congruentes módulo m, denotarei isso escrevendo a ≡ b mod m . Caso contrário, se a e b forem incongruentes mod m, denotarei isto por a ≡/ b mod m . Note que tem-se

a ≡ b mod m se e só se m divide a – b.


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Chama-se sistema completo de restos módulo m (SCR mod m) todo conjunto S ⊂ com m elementos incongruentes módulo m. De outro modo: um sistema

completo de restos módulo m é um conjunto de m números inteiros cujos restos na divisão por m são dois a dois diferentes. Tem-se que S é um SCR módulo m se, e só se, todo número inteiro é congruente módulo m a exatamente um elemento de S. A função ϕ de Euler, definida para todo inteiro positivo n, retorna o número de inteiros positivos ≤ n que são relativamente primos com n. Isto é, ϕ ( n ) é o número de elementos do conjunto { x ∈ :1 ≤ x ≤ n e mdc ( x, n ) = 1} . Um sistema reduzido de restos módulo m (SRR mod m) é um conjunto de ϕ ( m ) inteiros incongruentes módulo m. Seja S um subconjunto qualquer de . Então S é um SRR mod m se, e somente se, todo inteiro relativamente primo com m é congruente a exatamente um elemento de S. Se p é primo então um exemplo de SRR mod p é {1, 2,3,… , p − 1} .

O Resultado principal p −1

Teorema 1. Seja m um inteiro e Pn ( x ) = ∏ i =n1

( x − ai )

um polinômio com raízes

inteiras satisfazendo (i)

Nenhum ai , i = 1, 2,… , pn − 1 , é divisível por nenhum primo p ≤ pn .

(ii)

Para cada primo p ≤ pn , o conjunto a1 , a2 ,… a p

{

n −1

} contém um sistema reduzido

de restos módulo p. (iii)

pn < m < pn2+1 .

p −1

Então o produto p1 p2 pn divide Pn ( m ) = ∏ i =n1 ( m − ai ) se, e somente se, m é um número primo.

Prova. Denotaremos por c # o produto p1 p2 pi , sempre que pi ≤ c < pi +1 .


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Suponha que pn# divide Pn ( m ) . Vamos provar que m é primo. Ora, se m < pn2+1 fosse composto, itiria um fator primo menor ou igual a pn. Basta, portanto, mostrar que nenhum primo p ≤ pn divide m. Seja p um primo tal que p ≤ pn . Como p é fator de p1 p2 pn = pn# e

(

)

pn# | Pn ( m ) , então p | ( m − a1 )( m − a2 ) m − a pn −1 . Logo, para algum i = 1, 2,… , pn − 1 tem-se p | m − ai . Se fosse p | m , teríamos p | ai , o que contradiz (i). Assim, nenhum primo p ≤ pn divide m < pn2+1 e portanto m é primo. Suponha, agora, que m>pn é primo. Vamos provar que pn# divide Pn ( m ) . Para isto, provaremos que cada primo p, satisfazendo p ≤ pn divide Pn ( m ) . Seja p um primo genérico tal que p ≤ pn . Como p e m são relativamente primos, e

{ a , a ,… a } 1

2

pn −1

contém um SRR mod p conforme (ii), tem-se que existe ai , 1 ≤ i ≤ pn − 1 , tal que

m ≡ ai mod p . Daí p | m − ai e assim p | Pn ( m ) . Portanto, todo primo p ≤ pn divide Pn ( m ) , isto é, p1 p2 pn divide Pn ( m ) sempre que m>pn for primo.

A questão da existência O leitor atento deve ter notado que o teorema faz afirmações envolvendo certos inteiros ai 's , mas nada afirma sobre a existência destes ai 's , muito menos mostra como calculá-los. Tudo o que dissemos até agora teria pouco valor se esta questão não fosse resolvida. Felizmente, esse não é um problema difícil. Seja pn o n-ésimo número primo e tome a1 = 1 . Assim, nenhum dos primos p1 , p2 ,… pn divide a1 e {a1} é um SRR mod 2. Agora, para cada inteiro i, 1 < i < pn , faça

ci = mmc ( p1 p2 … pn , i ) , bi =

ci , ai = i + bi i

Seja p ≤ pn primo. Queremos provar que a condição (ii) do teorema se verifica. Para isto, é suficiente mostrar que {a1 , a2 ,… a p −1} é um SRR mod p. Com este propósito


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mostraremos que ai ≡ i mod p , sempre que 1 ≤ i < p . Para i=1 já vimos que

ai ≡ i mod p . Para i = 2,3,… , p − 1 tem-se p | ci e p /| i donde p |

ci , isto é, p | bi . i

Como ai = i + bi , tem-se ai ≡ i mod p e, portanto, a condição (ii) do teorema é satisfeita. Mostraremos, agora, que a condição (i) do teorema se verifica. Seja p ≤ pn um número primo. Se p | i , então a maior potência de p que divide i é a mesma que divide ci e portanto p /| bi . Logo, p não divide ai = i + bi , pois p divide i mas não divide bi. Se

p /| i então, como p | ci , tem-se que p | bi . Portanto, p não divide ai = i + bi , pois p divide bi mas não divide i. Em ambos os casos p não divide ai. Então, nenhum dos primos p1 , p2 ,… , pn divide qualquer ai. Isto é, a condição (i) do teorema também é verificada.

Exemplos Fazendo

a1=1

ci = mmc ( p1 p2 … pn , i ) , bi =

e

utilizando

as

fórmulas

ci , ai = i + bi para 1 < i < pn , tem-se i

P2 ( x ) = ( x − 1)( x − 5) ≡ x 2 − 1 mod 3# Se 3 < x < 52 então x é primo se e só se 3# = 6 divide P2(x)

P3 ( x ) = ( x − 1)( x − 17 )( x − 13)( x − 19 ) ≡ x 4 + 10 x3 − 10 x − 1 mod 5# Se 5 < x < 72 então x é primo se e só se 5# = 30 divide P3(x)

P4 ( x ) = ( x − 1)( x − 107 )( x − 73)( x − 109 )( x − 47 )( x − 41) ≡ ≡ x 6 + 42 x 5 − 63 x 4 − 21x 2 − 42 x + 83 mod 7 # Se 7 < x < 112 então x é primo se e só se 7# = 210 divide P4(x)

Teorema 2. Seja (bij) uma matriz tal que (a)

pj não divide nenhum elemento da j-ésima coluna

(b)

O conjunto dos termos da j-ésima coluna contem um SRR módulo pj


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Se para i = 1, 2,3,… pn − 1 valer

ai ≡ bi1 mod p1  a ≡ b mod p2 [∗]  i i 2  ai ≡ bin mod pn Então as condições (i) e (ii) do Teorema 1 são satisfeitas, isto é, (i)

Nenhum ai , i = 1, 2,… , pn − 1 , é divisível por nenhum primo p ≤ pn .

(ii)

Para cada primo p ≤ pn , o conjunto a1 , a2 ,… a p

{

n −1

} contém um sistema reduzido

de restos módulo p.

Prova. Seja p = p j ≤ pn . Como ai ≡ bij mod p (de [*]) e p /| bij (de (a)) então ai ≡ bij ≡/ 0 mod p donde ai ≡/ 0 mod p , isto é, p /| aij para todo primo p ≤ pn e todo

i = 1, 2,3,… pn − 1 . Logo a condição (i) do teorema 1 é satisfeita.

{ }

Seja p = p j ≤ pn . Conforme (b) existe um SRR mod p contido em bij

{ }

Aproveitando que bij ≡ ai mod p e tomando os elementos de bij

1≤ i < pn

1≤ i < pn

.

módulo p, tem-

se que existe um SRR mod p contido em {ai }1≤i < p . Portanto a condição (ii) também é n

satisfeita e o teorema 2 está demonstrado. Note que conforme o Teorema Chinês do Resto o sistema [*] tem, para cada i, uma única solução módulo p1 p2 pn na incógnita ai. O método de resolução desse sistema pode ser encontrado em livros de Teoria dos Números.


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Um exemplo A matriz

1 1 1 1 2 2 b = ( ij ) −1 −2 −2    − 1 − 1 − 1 satisfaz as condições do teorema 2. Resolvendo os supracitados sistemas [*] correspondentes, tem-se a1 = 1, a2 = 17, a3 = −17, a4 = −1 donde o polinômio procurado é

(

)(

)

P ( x ) = ( x − 1)( x − 17 )( x + 17 )( x + 1) = x 2 − 1 x 2 − 289 ≡

(

)(

)

≡ x 2 − 1 x 2 − 19 ≡ x 4 + 10 x 2 + 19 mod 30 Assim,

se

5 < x < 72

então

x

é

primo

se

e

só

se

5# = 30

divide

x 4 + 10 x 2 + 19 ≡ P ( x ) mod 30

Conclusão Os números primos suscitam várias questões interessantes. Ao contrário do que alguns matemáticos pensam, existe uma fértil diversidade de fórmulas que produzem ou caracterizam primos.


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12 Produzindo Números Primos por Iteração Introdução Conforme o Dicionário Aurélio, Iteração é o “Processo de resolução (de uma equação, de um problema) mediante uma seqüência finita de operações em que o objeto de cada uma é o resultado da que a precede”. O objetivo desta nota é apresentar fórmulas iteradas, ou de caráter iterado, que produzem todos os números primos, e somente primos. Certamente π ( n ) é uma das mais importantes funções da Teoria dos Números. O valor de π ( n ) é, simplesmente, a quantidade de números primos no intervalo [1, n ] . É possível escrever fórmulas elementares para π ( n ) . Mostraremos um meio elegante de fazer isto.

Um aviso Apesar da existência de fórmulas elementares para π ( n ) , os algoritmos conhecidos, incluindo o que será apresentado, são bastante lentos para calcular o valor dessa função. Entende-se por lento um algoritmo que calcula o valor de f(n) num tempo que, para n suficientemente grande, é maior que qualquer potência de log n . Note que

log n é, proporcionalmente, uma aproximação do número de algarismos de n. Por isso o logaritmo surge de modo natural: um cálculo tende a ser tanto mais trabalhoso quantos forem os algarismos dos números envolvidos.


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Fórmulas Em Teoria dos Números é comum representar por n# o produto dos primos que não excedem n. Assim, 2# = 2; 3# = 4# = 6; 5# = 6# = 30; etc. O número n# chama-se o primorial de n, numa alusão ao fatorial. A idéia central é que há uma sucessão ( an ) de inteiros, definida iteradamente, de modo elementar e intuitivo, satisfazendo a1 = a2 = 1 e an +1 = n # , para n > 1 . Basta definir a sucessão ( an ) por

a1 = 1 onde  x  representa o maior inteiro que não excede x.  1 mdc ( a , n )  n  , para n ≥ 1 an +1 = an n  É fácil ver que a2 = 1 e que para n=2, an +1 = n # . Mostrarei que esta igualdade #

também vale para n>2. Suponha, por indução, que an = ( n − 1) para algum inteiro n > 2 . Se n é primo,

mdc ( an , n ) = 1 , donde

1 mdc ( an , n )  = 1

#

an +1 = an n1 = ( n − 1) n = n # . Se n não é primo, então

e portanto

mdc ( an , n ) > 1

donde

#

1 mdc ( an , n )  = 0 , e portanto an +1 = an n 0 = an = ( n − 1) = n # . Em qualquer caso tem#

se an +1 = n # , sempre que an = ( n − 1) . Assim, fica provado por indução que an +1 = n # , para todo inteiro n>1. Logo, as seguintes funções f, g produzem todos os números primos, e somente primos:

 a  n, se n é primo f ( n ) = max  2, n +1  , de modo que f ( n ) =  2, caso contrário  an   g (1) = 2   g ( n ) = max ( g ( n − 1) , an +1 an ) , para n > 1

menor primo maior ou igual a n, se n ≤ 2 sendo g ( n ) =  . maior primo menor ou igual a n, se n > 2


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Além disso, tem-se

1 i , se i é primo ai = , logo ai +1 1, caso contrário

n  ai  0 se i é primo  ai  = π n = n − , daí ( ) ∑  .    1 caso contrário a a = 1 i   i +1   i +1 

Não é razoável calcular números primos nem os valores de π ( n ) usando as fórmulas apresentadas. Há meios mais rápidos de fazer isto. Entretanto, este fato não as desmerece, pois elas têm interesse teórico. São apreciadas pelas relações matemáticas que evidenciam e por sua elegância.


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13 Uma Constante para os Números Primos Um meio de construir fórmulas para primos é escrevê-los de modo codificado sob a forma de números reais. Estes números, muitas vezes, são definidos como limites de sucessões ou como somas infinitas, construídas a partir dos números primos que codificam. Um exemplo disso, longe de ser o único, é o número real η = 0,01101010001010..., onde o n-ésimo dígito a direita da vírgula é 1 se n for primo, e é 0 caso contrário. Como os únicos dígitos de η são 0 e 1, é natural considerá-lo escrito na base 2, de modo que, sendo pn o n-ésimo número primo, tem-se: ∞

η=∑ n =1

1 2

pn

Na base 10 escreve-se η = 0,41468250985111166...

Uma observação Seja  x  o único inteiro tal que x − 1 <  x  ≤ x . Considerando o modo como η é construído, não é difícil ver que:

( ∗)

1 se n é primo  2nη  − 2  2n −1η  =  0 caso contrário

Isso porque a expressão acima produz o n-ésimo algarismo à direita da vírgula de η, quando escrito na base 2. É de fácil verificação que, de modo mais geral, dado um inteiro b>1, e um real positivo r, tem-se:

b n r  − b b n −1r  = rn onde rn é o n-ésimo dígito à direita da vírgula de r quando o escrevemos na base b.


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A função π Os matemáticos denotam a quantidade de números primos menores ou iguais a x, por π(x). A função π (que não deve ser confundida com a célebre constante 3,14159...) é conhecida em língua inglesa como prime counting function, e tem um papel importante em Teoria dos Números. Conforme a igualdade (∗), para todo inteiro positivo n, vale n

(

π ( n ) = ∑  2iη  − 2  2i −1η  i =1

)

Expandindo a soma e simplificando ter-se-á n

π ( n ) = 2  2nη  − ∑  2iη  i =1

Servimo-nos, portanto, do real η para exprimir os valores da função π.

Uma função para os números primos Ainda aproveitando a igualdade (∗), é fácil ver que a seguinte função f, definida para os inteiros positivos, produz todos os números primos, e apenas primos:

(

f ( n ) = 2 + ( n − 2 )  2 nη  − 2  2 n −1η 

)

De fato, se n é primo, então f(n) = n, e portanto, f(n) também é primo (logo f gera todos os primos). Por outro lado, se n não é primo, f(n) = 2. Em qualquer caso, f(n) é primo.

Uma função para o n-ésimo número primo Sebastian Martin Ruiz e Jonathan Sondow observaram que uma conseqüência imediata das desigualdades demonstradas por Rosser e Schoenfeld em 1962 é que


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pn ≤ 2 + 2n log n < p2 n portanto, como

 π ( i )  1 se i < pn 1−  =  n  0 se pn ≤ i < p2 n tem-se

pn = 1 +

p2 n −1

∑ i =1

 2 + 2 n log n    π (i)   π (i )   1 − = 1 +   1 −      ∑ i =1   n    n   2 + 2 n log n 

∑

pn = 3 +  2n log n  −

i =1

π (i )     n 

n

Vimos que π ( n ) = 2  2nη  − ∑  2iη  , então, por simples substituição i =1

 2 + 2 n log n 

pn = 3 +  2n log n  −

∑ i =1

i 1   i j   2 2 η −     ∑  2 η    j =1  n   

Outros reais que codificam primos Uma questão é saber se existe alguma seqüência crescente (qn) de números ∞

1

i =1

2i

primos tal que η q = ∑

q

seja algébrico.

Em caso positivo haveria um modo rápido de produzir primos arbitrariamente grandes, desde que se conhecesse o número algébrico ηq . É uma possibilidade razoável já que existem “muitas” escolhas possíveis para ηq . De fato, para cada sucessão crescente (qn) de números primos, existe um real ηq distinto, e como existe uma quantidade não enumerável de tais sucessões, há também uma infinidade não enumerável de reais ηq . Note que é trivial mostrar que cada ηq é irracional. Basta observar que sua representação binária não é periódica.


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14 Primalidade e Número de Divisores Introdução Seja n um inteiro positivo e d ( n ) o número de inteiros positivos que o dividem. É claro que n é primo se e só se d ( n ) = 2 . Existe, entretanto, um modo menos trivial de estabelecermos a primalidade de n usando d ( n ) . Um inteiro p é primo se, e somente se, 1 d ( n ) −1) pudermos escrevê-lo como p = n ( , para algum inteiro n. Isto é, todo número 1 d ( n ) −1) natural da forma n ( é primo, e todo número primo pode ser escrito deste modo. O

objetivo desta nota é provar isso e apresentar uma fórmula para números primos amparada nessa proposição. Também será apresentada uma fórmula para a função Λ de Von Mangoldt, que é definida por Λ ( n ) = log p se n é potência do primo p e Λ ( n ) = 0 nos outros casos. Seguem-se as

Fórmulas (i)

(ii)

( {

1 d ( n ) −1) Λ ( n ) = log max ∩ 1, n (

( {

1 d ( n ) −1) f ( n ) = max ∩ 2, n (

})

}) = número primo

O leitor deve notar que ambas fundamentam-se na seguinte 1 d n −1 Proposição. Seja n ∈ , n>1. Se g ( n ) = n ( ( ) ) ∈ então g(n) é um número primo.


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Prova. Suponha que n é potência de um número primo p, digamos, n = p k . Então 1 ( ( k +1) −1) 1 d ( n ) −1) d ( n) = k +1 e g ( n) = n ( = pk = pk

( )

( )

1k

= p , donde g ( n ) = p é primo.

Portanto, se n é potência de um número primo p então g ( n ) = p é primo e neste caso a proposição é verdadeira. Mostraremos agora que se n não é potência de primo, então g(n) não é inteiro. Isto é o mesmo que mostrar que se g(n) é inteiro, então n é potência de primo. Assim, ter-se-á g ( n ) ∈ ⇒ n é potência de primo ⇒ g ( n ) é primo , e a proposição estará provada. Suponha por absurdo que exista n ∈ , n>1 tal que g(n) é inteiro e n não é potência de primo. Então existem primos distintos p, q tais que q|n e p|n e portanto p|g(n). Seja p k a maior potência de p que divide n. Como d é função multiplicativa, isto é, d(uv)=d(u)d(v) sempre que u e v forem relativamente primos, então

( )

d ( n ) ≥ d p k d ( q ) = ( k + 1)( 2 ) = 2k + 2 ⇒ d ( n ) ≥ 2k + 2 ⇒ 2k

⇒ d ( n ) − 1 > 2k ⇒ g ( n ) | g ( n )

d ( n ) −1

2k

⇒ g (n) | n

2k

Como p | g ( n ) e g ( n ) | n então p 2 k | n . Eis o absurdo, pois por hipótese p k é a maior potência de p que divide n. Fica, assim, provada a proposição e as fórmulas (i) e (ii) seguem-se trivialmente.


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15 Outras Fórmulas e Conjecturas Não poderia deixar de incluir aqui as duas últimas fórmulas nas quais tenho trabalhado. Com uma ponta de pesar, confesso não tê-las, ainda, lustrado com o devido rigor da demonstração, como convém aos bons trabalhos em Matemática. Não obstante, acredito não estar longe da verdade pois os testes que empreendi com software de computação algébrica (Maple) só fizeram reforçar minha crença. Além disso, se as proposições abaixo enunciadas não são verdadeiras, são pelo menos muitos elegantes e indicam alternativas de pesquisa neste ramo da Matemática.

Uma fórmula otimista Conjectura 1. Existe um número real c > 0 tal que f ( n ) = cn !2  é primo para todo inteiro positivo n, onde n !2 é o quadrado do fatorial de n e  x  é o maior inteiro menor ou igual a x.

Conjectura 2. O menor valor para c que torna a conjectura 1 verdadeira, com 600 algarismos a direita da vírgula, é dado por

c = 2, 811321611523770671312307434400821284264831865562431597127652 046416586423901874748464636222288303235789636697829126440086 848189987904285365047365511634550507895672134720433189832279 689750341055421752958090071609528340588245795276296334013701 648925202734400332662922789939943496564366989682290158979946 718294005449788129649056197463450850352723871460613578585385 986235704571979829149774929603747524163815289710467466667265 998128649483150791182219091215560675438465310257069900405819 866847487633698061095801325578681442858027459630222036432419 164796718341024210817985139058200061754042971659377005529956


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Para este valor de c, os primeiros 20 números primos produzidos pela fórmula f ( n ) = cn !2  da conjectura 1 são:

f ( n ) = cn !2 

n

f ( n ) = cn !2 

n

1

2

11

4479421882434643

2

11

12

645036751070588593

3

101

13

109011210930929472311

4

1619

14

21366197342462176573007

5

40483

15

4807394402053989728926577

6

1457389

16

1230692966925821370605203741

7

71412067

17

355670267441562376104903881179

8

4570372291

18

115237166651066209857988857502039

9

370200155573

19

41600617161034901758733977558236253

10

37020015557311

20

16640246864413960703493591023294501227

Com o valor de c dado pela conjectura 2 pode-se calcular com precisão os primeiros 165 números primos f (1) , f ( 2 ) , f ( 3) ,… , f (165 ) da fórmula supracitada, sendo que

f (165) tem 592 algarismos. Chamo a fórmula f ( n ) = cn !2  de otimista porque precisamos ser realmente bastante otimistas para supor que ela produza infinitos primos. De fato, a demonstração desta fórmula está condicionada a existência de números primos em intervalos bastante estreitos.

Uma fórmula fatorial É fácil mostrar que se j, k, n, p são inteiros positivos satisfazendo 2

p = kn !+ 1 < ( n + 1) então p é necessariamente um número primo. Por outro lado, uma j

tarefa menos trivial é provar a seguinte


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2

Conjectura 3. Todo número primo p < ( n + 1) pode ser escrito como p = kn !+ 1 para j

certos j, k, n inteiros positivos. Alguns exemplos que satisfazem a conjectura 3 são os seguintes:

1

1×1!+ 1 = 2 < 22

1× 5!+ 1 = 11 < 62

8 × 5!+ 1 = 31 < 62

4

2603 × 6!+ 1 = 37 < 7 2

7 × 5!+ 1 = 29 < 62 6

6597367 × 6!+ 1 = 41 < 7 2

Munido de uma calculadora de bolso é bastante fácil escrever todos os primos 2

p < 40 no formato p = kn !+ 1 < ( n + 1) , conforme a conjectura 3. Também é fácil j

construir uma fórmula para primos utilizando a conjectura 3, caso ela seja verdadeira.


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Tábua de Números Primos n

pn

n

pn

n

pn

n

pn

n

pn

n

pn

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160

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