Numeros Primos 5n1j43

HISTORIA LOS NÚMEROS PRIMOS ¿QUÉ ES UN NÚMERO PRIMO? "Los números primos son aquellos números enteros que sólo son divisibles por sí mismos y por la unidad". Ejemplos: 1,2,3,5,7,11,13,17,19..., -1,-2,-3,... UN POCO DE HISTORIA DE LOS NÚMEROS PRIMOS Desde muy antiguo los números primos han sido objeto de interés y estudio. Ya en la antigua Grecia aparecen numerosos estudios. Los pitagóricos tuvieron gran interés por ellos debido a que pensaban que los números gobernaban el mundo y tenían propiedades místicas y "mágicas". Los números primos, por su naturaleza indivisible, presentan todas las características para ser "adorados" por los discípulos de Pitágoras. En el libro "Los Elementos" de Euclides (300 a.C.), uno de los tratados más importantes de la historia de las matemáticas, ya aparecen estudios sobre los números primos. El propio Euclides en su libro enuncia un teorema importante sobre números primos:

Teorema.- Hay infinitos números primos. LA PRUEBA DE EUCLIDES Prueba: Veamos que hay infinitos números primos. Lo haremos por el método de reducción al absurdo, es decir, supondremos que hay un número primo p que es el último número primo y veremos que eso es imposible. Vamos allá. Supongamos que p es el número primo más grande y construyamos otro número q:

Resultado de multiplicar todos los números primos hasta el último, p; y después sumarle 1. Evidentemente q no es divisible por ningún primo pues siempre daría como resto 1 luego q es divisible sólo por 1 y por sí mismo, es decir, q es primo. Por otra parte q es mayor que p. Luego p no es el mayor número primo. Por tanto no puede existir un número primo que sea el mayor y con esto verificamos la existencia de infinitos números primos. Hubo, y sigue habiendo muchos intentos para determinar qué números son primos. Uno de los primeros que se conocen es un procedimiento heurístico debido a otro importante matemático griego llamado ERATÓSTENES.

La Criba de Eratóstenes La Criba de Eratóstenes consiste en eliminar los números que no sean primos y que por tanto sean múltiplos de algún número. Para obtener los 150 primeros números primos, en la siguiente tabla, a partir del 2, se van marcando (nosotros los hemos puesto en negritas) todos los números saltando de 2 en 2. A continuación, a partir del 3, todos los números de 3 en 3, y así sucesivamente. Los números que quedan en negritas, son los números primos. Los números en negritas son primos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

LA FACTORIZACIÓN (Ejemplo de uso de los números primos) La factorización de los números naturales consiste en descomponer un número entero cualquiera en producto de números primos. La descomposición de los números de sus factores primos facilita la determinación de su m.c.d. y m.c.m. Ejemplo:

Factorización Una vez realizada la factorización hemos calculado el máximo común divisor (m.c.d.) y el mínimo común múltiplo (m.c.m.). El m.c.d. es aquel número mayor y común que divide a todos ellos. El m.c.m. es aquel número menor y común que es múltiplo a todos ellos. Para calcular el m.c.d. se toman los factores comunes con el menor exponente y se multiplican. Para calcular el m.c.m. se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y se multiplican (La solución del m.c.d. y del m.c.m. está realizado en el ejemplo de arriba).

ACTIVIDADES

En esta sección se trabajará con el concepto de números primos, número compuestos, y algunas propiedades entre estos números. En la primera actividad los alumnos trabajarán con un método sencillo para encontrar números primos, como es lo es la criba de Eratóstenes. Luego se trabajarán algunas propiedades y relaciones que existen entre este tipo de números. Actividad 1 Eratóstenes (276 a. C. - 194 a. C.) nació en Cyrene, hoy Libia. Fue astrónomo, geógrafo, poeta, filósofo griego y matemático. Estudió en Alejandría y Atenas. Alrededor del año 255 a. C. fue el tercer director de la Biblioteca de Alejandría. Trabajó con problemas matemáticos sobre números primos ideando un método para hallar números primos pequeños conocido como Criba de Eratóstenes. Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue la medición de la circunferencia de la Tierra. 1) Investiguen en qué consiste el método utilizado por Eratóstenes para hallar los números primos. R= La criba de Eratóstenes. Eratóstenes fue un sabio griego que vivió en el siglo III a.C. Ideó el primer procedimiento que se conoce para medir el radio de la tierra con gran exactitud. Se destacó como orador, filósofo y poeta. La criba de Eratóstenes, permite determinar los números primos menores de 100. Para construirla, se comienza eliminando de dos en dos todos los números a partir del 4, ya que son múltiplos de dos y, por tanto, no pueden ser primos. A continuación se elimina a partir del seis y de tres en tres todos los números no tachados anteriormente, ya que son múltiplos de tres. Después se hace lo mismo de cinco en cinco y así sucesivamente. Al final de este proceso, solo quedan los números primos 2) A partir de los resultados obtenidos en la investigación, construyan una tabla con las mismas características de la Criba de Eratóstenes. Para ello, utilicen una hoja 3) En la tabla construida, ¿cuales de los números del 2 hasta el 100 son primos? Marquen con un color aquellas celdas que contengan números compuestos y dejen las celdas con números primos sin marcar. 4) ¿Son primos los siguientes números?: 357; 181; 721; 163; 1079; 1111. Actividad 2 1) Observando la tabla construida, determinen si todos los números primos, excepto el 2, son impares. 2) En una hoja, hagan cinco columnas. En cada una anotarán los números terminados en 1, en 3, en 5, en 7 y en 9, respectivamente. Escriban únicamente los números primos impares menores a 500. ¿Cuál es la terminación que menos se repite? ¿Por qué? ¿Y la que más se repite? 3) Debajo o al costado de las columnas, anoten los números capicúas.

La palabra capicúa (del catalán cap i cua, «cabeza y cola») (en matemáticas, número palíndromo) se refiere a cualquier número simétrico que, por ello, se lee igual de arriba abajo que de derecha a izquierda. Ejemplos: 161, 2992, 3003.

Actividad de Cierre 1) Hay parejas de números primos que son números impares consecutivos (3 y 5, 11 y 13, etc.). Estos números se llaman primos gemelos. Marquen las parejas de números primos gemelos que aparecen en la tabla construida por ustedes. ¿Hay algún número primo capicúa entre 200 y 300? ¿Por qué? ¿Y entre 300 y 400? 2) ¿Hay algún número primo capicúa entre 200 y 300? ¿Por qué? ¿Y entre 300 y 400?