Funciones Uno A Uno Y Sus Inversas l301k

TEMA 11: FUNCIONES UNO A UNO Y SUS INVERSAS CURSO: MATEMÁTICA I DOCENTE: M.Sc. Huayllani Miranda Flor de Liz Huancayo Mayo del 2013

TEMA N°11: FUNCIONES UNO A UNO Y SUS INVERSAS 11.1) Función INYECTIVA ó Función Uno a Uno 



Una función es inyectiva ó uno a uno, si a cada elemento del rango le corresponde un único elemento del dominio. Se observa que “ f ” nunca toma el mismo valor dos veces, tienen imágenes diferentes, mientras que “g” toma el mismo valor dos veces.



“ f es inyectiva , si al elegir arbitrariamente dos elementos x1 y x2 del dominio de f, se cumple: x1  x2  f(x1)  f(x2)



TEOREMA:

PRUEBA

DE

LA

RECTA

HORIZONTAL

Una función es inyectiva ó función uno a uno si y sólo si ninguna recta horizontal cruza su gráfica más de una vez. En forma gráfica, si una recta horizontal cruza la gráfica de la función en más de un punto, entonces se puede afirmar que no es una función uno a uno.

 Determinar si las siguientes funciones son uno a uno : a) f(x) = x3 + 1

c) f(x) = x2 + 2x , x  0

b) f(x) = x2 + 2x

d) f(x) = 3x + 4

 Determine si la función es de uno a uno.

Ejemplo: Sea la función f(x) = 3x + 4 decir si es función uno a uno. Partimos: Sabemos que:

f(x1) = f(x2) 3x1 + 4 = 3x2 + 4 3x1 = 3x2 x1 = x2

 Por lo tanto, f es uno a uno.

11.2) INVERSA DE UNA FUNCIÓN 

Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B ; entonces su función inversa “ f-1 ” tiene como dominio B y rango A y está definida por: f-1(y) = x  f(x) = y; para cualquier y en B. Ejemplo:

PROPIEDAD DE LA FUNCIÓN INVERSA

Sea: f una función uno a uno con dominio A y rango B. La función inversa f-1 satisface las sgtes propiedades de cancelación:

f -1(f(x)) = x ; para toda x en A f ( f -1(x)) = x ; para toda x en B Cualquier función f-1 que satisface estas ecuaciones es la inversa de f.



PASOS PARA HALLAR LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN UNO A UNO

Se debe realizar el siguiente procedimiento: 1.-) Reemplace a f(x) por “y” 2.-) Intercambie las variables “x” é “y 3.-) Despejar “y” 4.-) Reemplace a “y” por f -1(x) 5.-) Realizar su comprobación para validar su respuesta.

REGLA DE COMPOSICIÓN DE LA INVERSA Una función “ f ” es uno a uno con función inversa “g” si solo si: f(g(x)) = x ; para toda x en el dominio de g g(f(x)) = x ; para toda x en el dominio de f Ejemplo: Confirme que f y g son inversas, mostrando que f(g(x))=x ; g(f(x))=x ; en las funciones f(x)= 3x-2 ; g(x)= (x+2)/3 a) f(g(x))= f(x-2/ 3) = 3(x+2)/3 - 2 f(g(x))= x

b) g(f(x)= g(3x-2) = [(3x-2)+2]/3 g(f(x) = x