الاستمرارية 2016.pdf 4x5f68

‫نهائي رياضيات‬ ‫وعلوم‬

‫‪6102‬‬

‫األستمرارية‬

‫الدرس الثاني‬

‫الكفاءة المستهدفة‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫حساب نهاية منتهية أو غير منتهية لدالة عند الحدود(المنتهية أو غير المنتهية) لمجاالت مجموعة التعريف‪.‬‬ ‫حساب نهاية باستعمال المبرهنات المتعلقة بالعمليات على النهايات أو المقارنة وتركيب دالتين‪.‬‬ ‫دراسة السلوك التقاربي لدالة‬ ‫استعمال مبرهنة القيم المتوسطة إلثبات وجود حلول للمعادلة ‪ k، f ( x)  k‬عدد حقيقي معطى‪.‬‬

‫المكتسبات القبلية‬ ‫‪ ‬حساب النهايات عند اطراف مجموعة التعريف لدوال مالوفة‬ ‫‪ ‬استعمال مبرهنة القيم المتوسطة‬ ‫‪ ‬استعمال المشتقات لحل المشكالت‬

‫األستمرارية‬

‫االستاذ‬

‫ســــــــــــــير الدرس‬ ‫نشاط‬ ‫‪ :1‬مفهوم االستمرارية‬ ‫‪:2‬استمرارية دالة عند عدد‬ ‫‪ :3‬االستمرارية من اليمين واليسار‬ ‫‪ :4‬استمرارية دالة على مجال‬ ‫‪ :5‬خواص االستمرارية‬ ‫‪:6‬مبرهنة القيم المتوسطة‬ ‫‪:7‬الدالة المستمرة والرتيبة‬

‫وثائق التحضير‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫دليل األستاذ‪‬‬ ‫الكتاب المدرسي‪‬‬ ‫المنهاج‬ ‫الهباج في الرياضيات‬ ‫الجديد في الرياضيات‬

‫يوسفي عبد الرمحن‬

‫التوقيت‬ ‫‪:1‬ســـــــا‬ ‫‪:1‬ســـــــا‬ ‫‪:1‬ســـــــا‬ ‫‪:1‬ســـــــا‬ ‫‪:1‬ســـــــا‬ ‫‪:2‬ســـــــا‬

‫الوسائل البيداغوجية‬ ‫‪ ‬السبورة‬ ‫‪ ‬جهاز داتاشو‬

‫نقد ذاتي‬

‫النهابات و األستمرارية‬ ‫املستـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــوى‪:‬‬ ‫مي ـ ـ ـ ـ ـدان التعلم‪:‬‬ ‫الوحدة التعلمية‪:‬‬ ‫موضوع الحصة ‪:‬‬

‫االستاذ‬ ‫املـؤسـسـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــة‪:‬‬ ‫السنة الدراسية‪:‬‬ ‫التاري ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ــخ‪:‬‬ ‫توقيت الح ـصة ‪:‬‬

‫يوسفي عبد الرحمن‬ ‫الثالثة علوم‬ ‫تحليل‬ ‫النهايات والاستمرارية‬ ‫مفهوم الاستمرارية‬

‫المكتسبات القبلية حساب نهاية دالة على مجال تعريفها‬ ‫ حساب نهاية منتهية أو غير منتهية لدالة عند الحدود (المنتهية أو غير المنتهية) لمجاالت مجموعة التعريف‪.‬‬‫األنشطة المقترحة وطبيعتها‬

‫نـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـ ـشاط‬

‫اإلنجاز(س ـ ـ ـ ــير الحصة)‬

‫تعريف‪ :‬نسمي الدالة الجزء الصحيح الدالة المعرفة على‬

‫الصحيح ‪n‬‬

‫التعليمات والتوجيهات‬

‫و التي ترفق بكل عدد حقيقي ‪ x‬العدد‬

‫حيث ‪ n  x  n  1‬و نرمز لها بالرمز ‪ E‬أو‬

‫‪‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ )1‬أحسب ‪  3  ، E  1 ،  2,3‬و ‪. E 11, 01‬‬ ‫‪ )2‬نعتبر الدوال ‪ g ، f‬و ‪ h‬المعرفة على المجال ‪  2;1‬كما يلي‪:‬‬ ‫‪ h  x   x 2  1، g  x   x   x  ، f  x    x ‬و لتكن‬

‫نعرف استمرارية ‪f‬‬ ‫عند ‪ a‬كما يلي‪:‬‬

‫‪C h  ، C g  ، C f ‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫)‪lim f  x   f (a‬‬ ‫‪x a‬‬

‫‪ -‬من خالل دوال‬

‫تمثيالتها البيانية على الترتيب‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫ من أجل كل عدد‬‫حقيقي ‪ a‬غير‬ ‫معزول في مجموعة‬ ‫تعريف الدالة ‪ f‬؛‬

‫أرسم في معالم مختلفة التمثيالت البيانية ‪ C g  ، C f ‬و ‪. C h ‬‬

‫مثل‪x 2 :‬‬

‫‪‬‬

‫هل بإمكانك رسم المنحنيات ‪ C g  ، C f ‬و ‪ C h ‬بدون رفع القلم ( اليد ) ؟‬

‫‪‬‬

‫هل تقبل الدوال ‪ g ، f‬و ‪ h‬نهاية عند ‪ 1‬؟ عند ‪ 0‬؟‬

‫‪‬‬

‫أكتب خالصة‬

‫‪ )1‬أحسب ‪  3  ، E  1 ،  2,3‬و ‪. E 11, 01‬‬ ‫لدينا ‪ 3  2,3 2‬ومنه ‪ 1  3  2 " E  1  1 :  2,3  3‬ومنه‬

‫‪E 11,01  11 :  3   1‬‬ ‫‪ )2‬نعتبر الدوال ‪ g ، f‬و ‪ h‬المعرفة على المجال ‪  2;1‬كما يلي‪:‬‬ ‫‪ h  x   x 2  1، g  x   x   x  ، f  x    x ‬و لتكن‬

‫‪C h  ، C g  ، C f ‬‬

‫تمثيالتها البيانية على الترتيب‪.‬‬

‫‪x،-‬‬

‫‪x‬‬

‫‪،x‬‬

‫‪x‬‬ ‫ ‪x‬‬‫ نجعل التالميذ‬‫يالحظون أن الدالة‬ ‫تكون مستمرة على‬ ‫مجال‪ ،‬عندما يمكن‬ ‫رسم منحنيها البياني‬ ‫على هذا املجال دون‬ ‫رفع القلم‪.‬‬ ‫ تقترح أمثلة لدوال‬‫غير مستمرة مثل‪:‬‬

‫‪ x‬‬ ‫‪x   x , -‬‬

‫‪،x‬‬

‫‪x‬‬

‫مع تمثيلهما بيانيا‪.‬‬

‫حيث يرمز ‪  x ‬إلى‬ ‫الجزء الصحيح‬ ‫للعدد الحقيقي ‪. x‬‬ ‫ كل الدوال املألوفة‬‫املقررة في هذا‬ ‫املستوى مستمرة على‬ ‫كل مجال من‬ ‫مجموعة تعريفها‪.‬‬ ‫ ال تثار مسألة‬‫البحث في إثبات‬ ‫استمرارية‬ ‫دالة إال في حاالت‬ ‫بسيطة‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫مذكرات يوسفي‬

‫‪[email protected]‬‬

‫االستاذ‬

‫يوسفي عبد الرحمن‬ ‫ من أجل كل عدد‬‫حقيقي ‪ a‬غير‬ ‫معزول في مجموعة‬ ‫تعريف الدالة ‪ f‬؛‬

‫النهابات و األستمرارية‬

‫نعرف استمرارية ‪f‬‬ ‫عند ‪ a‬كما يلي‪:‬‬

‫)‪lim f  x   f (a‬‬ ‫‪x a‬‬

‫ من خالل دوال‬‫مثل‪x 2 :‬‬

‫‪x،-‬‬

‫‪x‬‬

‫‪،x‬‬

‫‪x‬‬ ‫ ‪x‬‬‫ نجعل التالميذ‬‫يالحظون أن الدالة‬ ‫تكون مستمرة على‬ ‫مجال‪ ،‬عندما يمكن‬ ‫رسم منحنيها البياني‬ ‫على هذا املجال دون‬ ‫رفع القلم‪.‬‬ ‫ تقترح أمثلة لدوال‬‫غير مستمرة مثل‪:‬‬

‫‪ x‬‬ ‫‪x   x , -‬‬

‫‪،x‬‬

‫‪x‬‬

‫مع تمثيلهما بيانيا‪.‬‬

‫حيث يرمز ‪  x ‬إلى‬ ‫الجزء الصحيح‬ ‫للعدد الحقيقي ‪. x‬‬ ‫ كل الدوال املألوفة‬‫املقررة في هذا‬ ‫املستوى مستمرة على‬ ‫كل مجال من‬ ‫مجموعة تعريفها‪.‬‬ ‫ ال تثار مسألة‬‫البحث في إثبات‬ ‫استمرارية‬ ‫دالة إال في حاالت‬ ‫بسيطة‪.‬‬

‫‪3‬‬

‫مذكرات يوسفي‬

‫‪[email protected]‬‬

‫االستاذ‬

‫يوسفي عبد الرحمن‬ ‫ من أجل كل عدد‬‫حقيقي ‪ a‬غير‬ ‫معزول في مجموعة‬ ‫تعريف الدالة ‪ f‬؛‬

‫النهابات و األستمرارية‬

‫‪1/2‬األستمرارية‬ ‫‪1.1.2.‬استمرار دالة عند‬ ‫مثالعدد‬ ‫تمهيدي ‪:11‬‬ ‫لتكن‬

‫‪ x2  2, x 2,0‬‬ ‫ب‪x ,::::::::::x0,3 :‬‬

‫‪ f‬الدالة املعرفة على ‪ 2,3 :‬‬

‫‪‬‬

‫نعرف استمرارية ‪f‬‬ ‫عند ‪ a‬كما يلي‪:‬‬

‫‪f  x ‬‬

‫)‪lim f  x   f (a‬‬

‫‪-1‬مثل بيانيا الدالة ‪. f‬هل تقبل الدالة ‪ f‬نهاية عند ‪0‬؟‬

‫‪x a‬‬

‫‪ -‬من خالل دوال‬

‫‪ -2‬هل الدالة ‪ f‬مستمرة على املجال ‪  2,3 :‬؟ أذكر مجاال تكون فيه الدالة مستمرة‪.‬‬ ‫الحل‪-1 :‬‬

‫** أنظر الشكل ‪.‬لدينا من جهة ‪lim f  x   2‬‬

‫‪x ‬‬ ‫‪0‬‬

‫مثل‪x 2 :‬‬

‫و من جهة ثانية ‪lim f  x   0‬‬

‫‪x ‬‬ ‫‪0‬‬

‫اذن الدالة ‪ f‬ال تقبل نهاية عند ‪0.‬‬ ‫‪ -2‬الدالة ‪ f‬غير مستمرة عند ‪ 0‬وبالتالي فهي غير مستمرة على‬ ‫املجال ‪.  2,3 :‬‬

‫الدالة ‪ f‬مستمرة مثال على املجال ‪.  0,3 :‬‬

‫‪lim f  x   ‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪ f‬دالة مجموعة تعريفها ‪ I‬و ‪ a‬عدد حقيقي غير معزول من ‪. I‬‬ ‫تعريف‬ ‫القول أن الدالة ‪ f‬مستمرة عند ‪ a‬يعني أن نهاية الدالة ‪ f‬عند ‪ a‬هي ‪f  a ‬‬ ‫‪ f‬مستمرة عند ‪ a‬يعني أن ‪lim f  x   f a ‬‬ ‫‪x a‬‬ ‫مالحظة‪:‬القول أن ‪ f‬مستمرة على مجال ‪ J  I‬يعني أن ‪ f‬مستمرة عند كل عدد حقيقي من ‪. J‬‬ ‫التفسير البياني ‪ :‬تكون الدالة ‪ f‬مستمرة على مجال ‪ J  I‬عندما يمكن رسم منحناها على هذا‬ ‫املجال دون رفع القلم ‪.‬‬

‫مثــــال ‪:11‬‬

‫الجواب ‪ :‬ال لن منحناها متقطع‬

‫مثــــال ‪:12‬‬

‫لتكن ‪ f‬الدالة املعرفة على ‪ 2, 2 :‬ب‪:‬‬ ‫‪x 2 , x 0,2‬‬

‫‪‬‬

‫‪f x  ‬‬

‫‪-1‬مثل بيانيا الدالة ‪. f‬هل تقبل الدالة ‪ f‬نهاية عند ‪0‬؟‬ ‫‪ -2‬هل الدالة ‪ f‬مستمرة على املجال ‪ 2, 2 :‬؟‬ ‫مثال‪:‬‬

‫الدالة ‪ f  x   x 2  1‬مستمرة عند ال `‪ `0‬ألن‪:‬‬ ‫‪ )1‬الدالة ‪ f‬معرفة على‬

‫‪،x‬‬

‫‪x‬‬ ‫ ‪x‬‬‫ نجعل التالميذ‬‫يالحظون أن الدالة‬ ‫تكون مستمرة على‬ ‫مجال‪ ،‬عندما يمكن‬ ‫رسم منحنيها البياني‬ ‫على هذا املجال دون‬ ‫رفع القلم‪.‬‬ ‫ تقترح أمثلة لدوال‬‫غير مستمرة مثل‪:‬‬

‫‪ x‬‬ ‫‪x   x , -‬‬

‫‪،x‬‬

‫‪x‬‬

‫مع تمثيلهما بيانيا‪.‬‬

‫حيث يرمز ‪  x ‬إلى‬ ‫الجزء الصحيح‬ ‫للعدد الحقيقي ‪. x‬‬ ‫ كل الدوال املألوفة‬‫املقررة في هذا‬ ‫املستوى مستمرة على‬ ‫كل مجال من‬ ‫مجموعة تعريفها‪.‬‬ ‫ ال تثار مسألة‬‫البحث في إثبات‬ ‫استمرارية‬ ‫دالة إال في حاالت‬ ‫بسيطة‪.‬‬

‫هل الدالة املمثلة في الشكل مستمرة على املجال ‪  1, 2‬؟‬

‫‪ x , x 2,0‬‬

‫‪x،-‬‬

‫‪x‬‬

‫وهو مجال مفتوح يشمل ال ‪0‬‬

‫‪ f  0   02  1  1 )2‬و ‪lim f  x   1‬‬

‫‪x  0‬‬

‫‪4‬‬

‫مذكرات يوسفي‬

‫‪[email protected]‬‬

‫االستاذ‬

‫يوسفي عبد الرحمن‬

‫النهابات و األستمرارية‬

‫‪:2.2.2.‬استمرار دالة عند عدد‬ ‫‪ :122‬من اليمين‬

‫‪ f‬دالة مجموعة معرفة على ‪  x0 ; a‬و ‪ a 0‬القول أن الدالة‬ ‫تعريف‬ ‫‪ f‬مستمرة عند ‪ a‬من اليمين يعني أن ‪lim f  x   f  a ‬‬ ‫‪x a‬‬

‫مثال نعتبر الدالة ‪ f‬املعرفة على ‪  2; 4‬كما يلي‪:‬‬ ‫‪x   2;1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫; ‪ f  x  x  x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫; ‪ f  x   x 1‬‬

‫‪x  1; 4‬‬

‫‪ )1‬بين انها مستمرة على يمين ال ‪1‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫لدينا ‪ lim f  x   lim x  1 0‬و كذلك ‪ f 1  1  1  0‬الدالة مستمرة على يمين ‪1‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫‪x 1‬‬

‫‪ :222‬من اليسار‬

‫‪ f‬دالة مجموعة معرفة على ‪  x0 ; a‬و ‪ a 0‬القول أن الدالة‬ ‫تعريف‬ ‫‪ f‬مستمرة عند ‪ a‬من اليسار يعني أن ‪lim f  x   f  a ‬‬ ‫‪x a‬‬

‫مثال نعتبر الدالة ‪ f‬املعرفة على ‪  2; 4‬كما يلي‪:‬‬ ‫‪x   2;1‬‬

‫‪x  1; 4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫; ‪ f  x  x  x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫; ‪ f  x   x 1‬‬

‫‪ )1‬بين انها مستمرة على يسار ال ‪1‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫لدينا ‪ lim f  x   lim  x 2  x   2‬و كذلك ‪ f 1  2‬الدالة مستمرة على يسار ‪1‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫‪x 1‬‬

‫مالحظة‪1:‬القول أن ‪ f‬مستمرة على يمين ويسار عدد يعني أن ‪ f‬مستمرة عند هذا العدد والعكس‬

‫مالحظة‪ 2:‬ادا كانت ‪ f‬مستمرة عند ‪ ( a‬على يمين ويسار ) فهي معرفة عنده‬

‫مثال‬

‫‪ :‬لتكن الدالة ‪ f‬المعرفة على‬

‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬

‫كما يلي‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫; ‪ f  x   x  2x  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫; ‪ f  x  x  x  5‬‬

‫‪ )1‬ادرس استمرارية الدالة ‪ f‬عند ‪. 2‬‬ ‫‪ )2‬هل الدالة ‪ f‬مستمرة على‬

‫الحل‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫؟ لماذا؟‬

‫لدينا ‪ lim f  x   lim x 2  2 x  1 1‬و ‪ f  2   1‬الدالة مستمرة على يمين ‪2‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪x2‬‬

‫‪x2‬‬

‫ولدينا ‪ lim f  x   lim x 2  x  5 1‬و ‪ f  2   1‬الدالة مستمرة على يسار ‪2‬‬ ‫‪x2‬‬

‫‪x2‬‬

‫ومنه الدالة مستمرة عند ال ‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫مذكرات يوسفي‬

‫‪[email protected]‬‬

‫االستاذ‬

‫يوسفي عبد الرحمن‬

‫النهابات و األستمرارية‬ ‫‪ :322‬على مجال‬

‫تعريف‬ ‫اذا كانت الدالة ‪ f‬مستمرة عند كل ‪ a‬من ‪ I‬فانها مستمرة على ‪I‬‬ ‫‪ f‬دالة معرفة على مجال مفتوح ‪I‬‬

‫مالحظة‪ 1:‬اذا كانت الدالة ‪ f‬معرفة على املجال ‪  a; b‬و مستمرة على ‪ a; b‬وعلى ‪ a‬من‬ ‫اليمين وعلى ‪ b‬من اليسار‪.‬نقول أنها مستمرة على ‪ a; b‬‬ ‫نتيجة(هندسيا)‪ :‬اذا كانت الدالة ‪ f‬مستمرة على ‪  a; b‬فان تمثيلها البياني هو خط غير‬ ‫منقطع حداه طرفي املجال ينطبق هذا على الدوال كثيرات الحدود‬

‫‪ 2/2‬خواص االستمرارية‬ ‫خواص ‪ (:‬تقبل بدون برهان)‬ ‫نقبل بأن كل الدوال املقررة في هذا املستوى واملحصل عليها بالعمليات على الدوال املألوفة‬ ‫أو بتركيبها مستمرة على كل مجال من مجموعة تعريفها‪.‬‬

‫نتائج‪:‬‬ ‫الدوال املرجعية مستمرة على مجال تعريفها‪.‬‬ ‫الدوال كثيرات الحدود ‪ COS ،SIN ،‬مستمرة على ‪.R‬‬ ‫الدوال الناطقة ( حاصل قسمة كثيري حدود) مستمرة على مجال تعريفها‪.‬‬

‫أمثلة ‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ x ‬مستمرة على ‪.R‬‬ ‫الدالة ‪ x  2x  4 :‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪x  3x  4‬‬ ‫‪ ‬الدالة‬ ‫‪x 1‬‬ ‫تمرين محلول‪ :1‬لتكن ‪ f‬الدالة املعرفة على ‪  2;3‬كما يلي‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ x ‬مستمرة على ‪1, ‬‬

‫‪. ,1‬‬

‫‪ f  x   x 2  2‬إذا كان ‪x   2;0‬‬ ‫‪f x   x‬‬

‫إذا كان ‪x   0;3‬‬

‫‪ .1‬مثل بيانيا الدالة ‪ . f‬هل تقبل الدالة ‪ f‬نهاية عند ‪ 0‬؟‬ ‫‪ .2‬هل الدالة ‪ f‬مستمرة على ‪  2;3‬؟ أذكر مجاال تكون الدالة ‪ f‬مستمرة عليه‪.‬‬

‫الحل‪:‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ lim‬و لدينا‬ ‫‪ .1‬أنظر الشكل املقابل‪ .‬لدينا من جهة ‪f  x   2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪2‬‬

‫من جهة ثانية‬

‫‪ . lim‬إذن ال تقبل الدالة ‪ f‬نهاية عند ‪. 0‬‬ ‫‪f x   0‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x ‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪ .2‬الدالة غير مستمرة عند‪ 0‬و بالتالي فهي غير مستمرة على ‪.  2;3‬‬ ‫نالحظ أنه غير ممكن رسم تمثيلها البياني دون رفع القلم‪.‬‬

‫‪3 x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬

‫الدالة ‪ f‬مستمرة مثال على املجال ‪.  0;3‬‬

‫تمرين منزلي‬ ‫تمرين رقم ‪ 44‬الصفحة ‪22‬‬ ‫تمرين رقم ‪ 44 :‬صفحة ‪22 :‬‬

‫‪6‬‬

‫مذكرات يوسفي‬

‫‪[email protected]‬‬

‫االستاذ‬

‫النهابات و األستمرارية‬

‫تمرين محلول‪ :2‬نعتبر الدالة ‪ f‬املعرفة على املجال‬

‫يوسفي عبد الرحمن‬

‫بـ ‪f  x    x 2  x  1 cos x‬‬

‫بين أن الدالة ‪ f‬مستمرة على ‪.‬‬ ‫الحل‪ :‬الدالتان ‪ x cos x‬و ‪ x x 2  x  1‬مستمرتان على ‪.‬‬ ‫الدالة ‪ f‬هي جداء دالتين مستمرتين على فهي إذن مستمرة على ‪.‬‬ ‫تمرين محلول‪ :3‬نعتبر الدالة ‪ f‬املعرفة على ‪  1; 2‬بـ‪f (x )  xE  x   1 :‬‬

‫حيث الدالة ‪ x E  x ‬هي الدالة الجزء الصحيح ( أنظر النشاط ألاول )‬ ‫‪ .1‬عين عبارة ‪ f  x ‬على كل من املجاالت التالية‪  0;1 ،  1;0 :‬و ‪. 1; 2‬‬ ‫‪ .2‬أرسم في معلم ‪ O ; I , J ‬املنحني املمثل للدالة ‪. f‬‬ ‫‪ .3‬هل الدالة ‪ f‬مستمرة على املجال ‪  1;1‬؟ على املجال ‪  1; 2‬؟‬

‫الحل‬ ‫‪ .1‬من أجل ‪ x   1;0‬لدينا ‪ E  x   1‬ومنه ‪f  x   x  1‬‬ ‫من أجل ‪ x   0;1‬لدينا ‪ E  x   0‬ومنه ‪f  x   1‬‬ ‫من أجل ‪ x  1; 2‬لدينا ‪ E  x   1‬ومنه ‪f  x   x  1‬‬ ‫‪ .2‬انظر الشكل املقابل‪.‬‬ ‫‪ .3‬نعم الدالة ‪ f‬مستمرة على املجال ‪  1;1‬ألنه‬ ‫بإمكاننا رسم جزء املنحني‬ ‫في هذا املجال دون رفع القلم‪.‬‬ ‫الدالة ‪ f‬ليست مستمرة على املجال ‪  1; 2‬ألنها غير‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 x‬‬ ‫مستمرة عند ‪ 1‬كما نالحظ أنه ال يمكن رسم منحنيها‬ ‫البياني دون رفع القلم‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫مذكرات يوسفي‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪[email protected]‬‬

‫االستاذ‬

‫يوسفي عبد الرحمن‬

‫النهابات و األستمرارية‬

‫‪ 3.2‬مبرهنة القيم المتوسطة‬ ‫مبرهنة‬

‫‪ f‬دالة معرفة و مستمرة على مجال ‪. a ; b ‬‬

‫من أجل كل عدد حقيقي ‪ k‬محصور بين ‪ f  a ‬و ‪ ، f b ‬يوجد على ألاقل عدد حقيقي ‪c‬‬

‫محصور بين ‪ a‬و ‪ b‬بحيث ‪. f c   k :‬‬

‫‪1/ 3/2‬التفسير البياني‬

‫‪ f‬دالة معرفة و مستمرة على مجال ‪ a ;b ‬وليكن ‪ L ‬‬ ‫منحنيها البياني في معلم ‪. O ; I , J ‬‬ ‫من أجل كل عدد حقيقي ‪ k‬محصور بين ‪ f  a ‬و ‪، f b ‬‬ ‫املستقيم ‪  D ‬ذو املعادلة ‪ y  k‬يقطع على ألاقل مرة واحدة‬ ‫املنحني ‪  L ‬في نقطة فاصلتها ‪ c‬محصورة بين ‪ a‬و ‪. b‬‬ ‫( بالنسبة للشكل املقابل ‪  D ‬يقطع ‪  L ‬في نقطتين فواصلها‬

‫‪5y‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪k‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪c1‬‬

‫‪c2‬‬

‫‪-2‬‬

‫على الترتيب ‪ c1‬و ‪.) c 2‬‬

‫‪ 2/3/2‬المعادلة ‪f  x   k‬‬

‫إذا كانت ‪ f‬دالة معرفة و مستمرة على مجال ‪ a ; b ‬فإنه من أجل كل عدد حقيقي ‪ k‬محصور‬ ‫بين ‪ f  a ‬و ‪ ، f b ‬املعادلة ‪ f  x   k‬تقبل على ألاقل حال ‪ c‬محصورا بين ‪ a‬و ‪. b‬‬

‫حالة خاصة‪ :‬إذا كانت ‪ f‬دالة مستمرة على مجال ‪a ;b ‬‬ ‫و كان ‪ ( f a   f b   0‬العدد ‪ 0‬محصور بين ‪ f a ‬و ‪b ‬‬

‫‪)f‬‬

‫فإنه يوجد على ألاقل عدد حقيقي ‪ c‬محصور بين ‪ a‬و ‪ b‬بحيث ‪f c   0‬‬ ‫أي أن ‪ f‬تنعدم على ألاقل مرة واحدة على ‪. a ; b ‬‬

‫مالحظة‪ :‬مبرهنة القيم املتوسطة تؤكد فقط وجود حل على ألاقل للمعادلة ‪f  x   k‬‬ ‫أما تعيين الحلول أو قيم مقربة لها فيتم بإتباع خوارزميات مختلفة‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬لتكن ‪ f‬الدالة املعرفة على املجال‬

‫‪0; ‬‬

‫‪y‬‬

‫بـ ‪f  x   x 2  x 1‬‬

‫‪ f‬دالة معرفة و مستمرة على ‪0; ‬‬ ‫لدينا ‪ f 1  1‬و ‪، f  2   3  2‬‬ ‫العدد ‪ 0‬محصور بين ‪ f 1‬و ‪ f  2 ‬ومنه ‪،‬‬ ‫حسب مبرهنة القيم املتوسطة‪ ،‬املعادلة ‪ x   0‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪f‬‬

‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬

‫تقبل على ألاقل حال محصورا بين ‪ 1‬و ‪. 2‬‬ ‫تمرين‪ :‬برهن باستعمال مبرهنة القيم املتوسطة‪،‬‬

‫أن املعادلة ‪ x 3  5x  1  0‬تقبل على ألاقل حال في املجال ‪. 0, 20; 0,19‬‬

‫طريقة‪ :‬إلثبات وجود حلول معادلة على مجال ‪ a ; b ‬باستعمال مبرهنة القيم املتوسطة نتبع الخطوات‬ ‫التالية‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪8‬‬

‫نكتب املعادلة على الشكل ‪. f  x   k‬‬

‫‪‬‬

‫نتحقق من استمرارية الدالة ‪ f‬على املجال ‪. a ; b ‬‬

‫‪‬‬

‫نتحقق من أن العدد ‪ k‬محصور بين ‪ f  a ‬و ‪. f b ‬‬ ‫مذكرات يوسفي‬

‫‪[email protected]‬‬

‫االستاذ‬

‫يوسفي عبد الرحمن‬

‫النهابات و األستمرارية‬

‫الحل‪ :‬يمكن كتابة املعادلة ‪ x 3  5x  1  0‬على الشكل ‪f  x   0‬‬ ‫حيث ‪ f‬هي الدالة املعرفة على‬

‫بـ‪f (x )  x 3  5x  1 :‬‬

‫الدالة ‪ f‬دالة كثير حدود و بالتالي فهي مستمرة على‬

‫و من ثم على املجال ‪. 0, 20; 0,19‬‬

‫لدينا ‪ f  0, 20   0,008‬و ‪ f  0,19   0,04314‬ومنه لدينا‬

‫الدالة ‪ f‬مستمرة على ‪ 0, 20; 0,19‬و ‪f  0, 20   f (0,19)  0‬‬ ‫إذن حسب مبرهنة القيم املتوسطة يوجد عدد ‪ ‬بحيث ‪. f ( )  0‬‬

‫ومنه املعادلة ‪ x 3  5x  1  0‬لها حل ‪ ‬في املجال ‪. 0, 20; 0,19‬‬

‫مالحظة‪ :‬يمكن مراقبة النتيجة باستعمال حاسبة بيانية بحيث يتم‬ ‫تمثيل الدالة ‪ f‬ثم مالحظة تقاطعها مع حامل محور الفواصل‪.‬‬ ‫تمرين تطبيقي‪:‬‬

‫برهـن باستعمال مبرهنة القيم أن املعادلة ‪ x 3  x  1‬تـقبل حال على ألاقـل في املجال ‪.  1;0‬‬

‫الـحـل‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫يمكن كتابة المعادلة ‪ x  x  1‬على ‪ f ( x)  1‬حيث‬

‫‪f‬‬

‫هي الدالة المعرفة على ‪ R‬بـ ‪:‬‬

‫‪. f ( x)  x 3  x‬‬ ‫الدالة ‪ f‬مستمرة على ‪ R‬ألنها دالة كثير حدود فهي مستمرة على ‪.  1;0‬‬ ‫لدينا ‪ f (1)  2‬و ‪f (0)  0‬‬ ‫نالحظ أن العدد )‪ (1‬محصور بين العددين )‪ f (1‬و )‪f (0‬‬ ‫إذن حسب مبرهنة القيم ‪ x 3  x  1‬تـقبل حال على ألاقـل في املجال ‪.  1;0‬‬ ‫املتوسطة ‪ ،‬املعادلة‬

‫‪9‬‬

‫مذكرات يوسفي‬

‫‪[email protected]‬‬

‫االستاذ‬

‫يوسفي عبد الرحمن‬

‫النهابات و األستمرارية‬

‫‪: 4/2‬الدوال المستمرة والرتيبة تماما‬ ‫على مجال‬

‫إذا كانت ‪ f‬دالة مستمرة و رتيبة تماما على مجال ‪ a ; b ‬فإنه من أجل كل‬

‫مبرهنة ‪:‬‬

‫عدد حقيقي ‪ k‬محصور بين‬

‫‪ f  a ‬و ‪ ، f b ‬املعادلة ‪ f  x   k‬تقبل حال وحيدا في املجال ‪. a ; b ‬‬

‫البرهان‪ :‬نفرض أن الدالة ‪ f‬مستمرة و رتيبة تماما على املجال ‪. a ; b ‬‬

‫و ليكن ‪ k‬عدد حقيقي محصور بين ‪ f  a ‬و ‪ . f b ‬ومنه حسب مبرهنة‬ ‫القيم املتوسطة‪ ،‬يوجد على ألاقل عدد حقيقي ‪ c‬محصور بين ‪ a‬و ‪ b‬بحيث ‪. f c   k‬‬ ‫لنفرض أنه يوجد عدد حقيقي آخر ‪ c ‬مختلف عن ‪ ، c‬محصور بين ‪ a‬و ‪ b‬و يحقق ‪. f c    k‬‬

‫يكون لدينا حينئذ ‪ c  c ‬و ‪ f c   f c  ‬و هذا يناقض الرتابة التامة للدالة ‪ f‬على ‪. a ; b ‬‬ ‫و بالتالي يوجد عدد حقيقي وحيد ‪ c‬من ‪ a ; b ‬بحيث ‪ f c   k‬أي أن ‪ c‬هو الحل الوحيد‬ ‫للمعادلة ‪. f  x   k‬‬ ‫مالحظة ‪:1‬‬ ‫إذا كانت الدالة‬

‫‪f‬‬

‫مستمرة ومتزايدة تماما على املجال ‪ a; b‬فإن جدول تغيراتها يأخذ الشكل‪:‬‬

‫‪a‬‬ ‫)‪f (b‬‬

‫‪x0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪b‬‬

‫)‪f (x‬‬

‫‪k‬‬ ‫)‪f (a‬‬ ‫مالحظة ‪:2‬‬ ‫إذا كانت الدالة‬

‫‪f‬‬

‫مستمرة و متناقصة تماما على املجال ‪ a; b‬فإن جدول تغيراتها يأخذ الشكل‪:‬‬

‫‪a‬‬

‫‪x0‬‬

‫‪x‬‬

‫‪b‬‬ ‫)‪f (a‬‬

‫)‪f (x‬‬

‫‪k‬‬ ‫)‪f (b‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫لتكن‬

‫‪ f‬الدالة املعرفة على ‪ ; 2‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3‬‬ ‫بـ‬ ‫‪x 2‬‬ ‫الدالة ‪ f‬مستمرة و متناقصة تماما على ‪ ; 2‬‬ ‫‪f x  ‬‬

‫‪. Lim‬‬ ‫و لدينا ‪ Lim f  x   0‬و ‪f  x   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x ‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪3x‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪-1‬‬

‫إذن من أجل كل عدد حقيقي ‪ k‬من ‪،  ;0‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪11‬‬

‫‪y =k‬‬

‫‪-3‬‬

‫املعادلة ‪ f  x   k‬تقبل حال وحيدا ‪x 0‬‬

‫في املجال ‪.  ; 2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪0‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪-3‬‬

‫‪-4‬‬

‫‪-5‬‬

‫‪-6‬‬

‫‪-7‬‬

‫‪-8‬‬

‫‪-9‬‬

‫‪-4‬‬

‫)‪(C‬‬

‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬

‫مذكرات يوسفي‬

‫‪[email protected]‬‬

‫االستاذ‬

‫يوسفي عبد الرحمن‬

‫النهابات و األستمرارية‬

‫تطبيق‪:‬‬ ‫نعتبر الدالة ‪ g‬املعرفة على املجال بـ ‪g (x )  x 3  1200x  100 :‬‬ ‫‪ .1‬أحسب ) ‪ g (x‬ثم شكل جدول تغيرات الدالة ‪. g‬‬ ‫‪ .2‬أرسم التمثيل البياني للدالة ‪ g‬على شاشة حاسبة بيانية باختيار نافذة مناسبة‪.‬‬ ‫‪ .3‬بين أن املعادلة ‪ g (x )  0‬تقبل حال وحيدا في املجال ‪.  20; 40‬‬ ‫‪ .4‬باستعمال حاسبة بيانية أوجد حصرا لهذا الحل سعته ‪. 102‬‬

‫الحل‪:‬‬ ‫‪ )1‬الدالة ‪ g‬معرفة‪ ،‬مستمرة و قابلة لالشتقاق على‬ ‫ومن أجل كل ‪ x‬من‬

‫‪.‬‬

‫‪ g   x   3  x  20  x  20  ،‬و ‪ g  20   15900‬و‬

‫‪g  20   16100‬‬ ‫و لدينا ‪ Lim g  x   Lim x 3  ‬و ‪Lim g  x   Lim x 3  ‬‬ ‫‪x ‬‬

‫‪‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪+‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪20‬‬

‫‪20‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪x ‬‬

‫‪-‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬

‫‪‬‬

‫‪+‬‬

‫‪x‬‬

‫‪g x ‬‬

‫‪15900‬‬

‫‪g x ‬‬ ‫‪16100‬‬ ‫‪ )3‬على املجال ‪ ،  20; 40‬الدالة ‪ g‬مستمرة و متزايدة تماما ‪.‬‬

‫‪‬‬

‫لدينا ‪ g  20   16100  0‬و ‪ g  40   15900  0‬و بمأن ‪ 16100  0  15900‬أي‬ ‫‪0   g  20  ; g  40 ‬‬

‫إذن حسب مبرهنة القيم املتوسطة يوجد عدد وحيد ‪ c   20; 40‬بحيث ‪g c   0‬‬ ‫‪ )4‬لتعيين حصرا للحل ‪ c‬و باستعمال الحاسبة البيانية و باختيار الخطوة ‪ 0,01‬يظهر الجدول القيم التالية‬ ‫‪ g (34,68)  6, 280768‬و ‪ g (34,69)  17,810709‬و منه نستنتج الحصر التالي‪:‬‬ ‫‪. 34,68  c  34,69‬‬ ‫و هكذا نقرأ ‪c  34,6826.....‬‬

‫تطبيقات‬ ‫تمرين ‪ 45‬ص ‪ 30‬وتمرين ‪ 40‬ص ‪22‬‬

‫تمارين محلولة‬ ‫تمرين ‪:01‬‬ ‫‪ f‬دالة معرفة عل ى‪ R:‬كما يلي ‪x  2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x 2 4‬‬ ‫‪f ( x ) ‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (2)  4‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ (1‬أدرس استمرارية الدالة ‪ f‬عند )‪. (2‬‬ ‫‪ )2‬هل الدالة ‪ f‬مستمرة على ‪ R‬؟‬ ‫الـحـل‪:‬‬

‫)‪x 2  4 ( x  2)( x  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫من أجل كل عدد حقيقي ‪ x‬يختلف عن )‪ (2‬يكون لدينا‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ومنه )‪lim f ( x)  f (2‬‬ ‫ومنه ‪ f ( x)  x  2‬اي ‪lim f ( x)  4‬‬

‫‪: f ( x) ‬‬

‫‪x 2‬‬

‫‪11‬‬

‫‪x 2‬‬

‫مذكرات يوسفي‬

‫‪[email protected]‬‬

‫االستاذ‬

‫يوسفي عبد الرحمن‬

‫النهابات و األستمرارية‬

‫إذن الدالة ‪ f‬مستمرة عند )‪(2‬‬

‫و مستمرة على املجالين ‪  ;2‬و ‪  2;‬ألنها دالة ناطقة والدالة ‪ f‬مستمرة‬

‫‪x2  4‬‬ ‫‪ (2‬الدالة‬ ‫‪x2‬‬ ‫عند )‪ (2‬فهي مستمرة على ‪.R‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x 2 x 6‬‬ ‫‪f ( x ) ‬‬ ‫‪x  3 ,,,, x  3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (3)  5‬‬ ‫‪‬‬

‫تمرين ‪:02‬‬ ‫‪ f‬دالة معرفة على ‪ R‬كما يلي‪:‬‬

‫‪ (1‬أدرس استمرارية الدالة ‪ f‬عند )‪. (3‬‬ ‫‪ )2‬هل الدالة ‪ f‬مستمرة على ‪ R‬؟‬ ‫الـحـل‪:‬‬

‫)‪x 2  x  6 ( x  3)( x  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫من أجل كل عدد ‪ x‬يختلف عن )‪ ، (3‬يكون لدينا‪:‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫‪x3‬‬

‫‪f ( x) ‬‬

‫حقيقي‬ ‫ومنه ‪ f ( x)  x  2‬اي‬

‫‪ lim f ( x)  5‬ومنه )‪lim f ( x)  f (3‬‬ ‫‪x 3‬‬

‫‪x 3‬‬

‫إذن الدالة ‪ f‬مستمرة عند )‪. (3‬‬

‫مستمرة على ‪  ;3‬و ‪  3;‬ألنها دالة ناطقة والدالة ‪ f‬مستمرة‬

‫‪x2  x  6‬‬ ‫‪ x ‬املجالين‬ ‫‪ (2‬الدالة‬ ‫‪x3‬‬ ‫)‪ (3‬فهي مستمرة على ‪.R‬‬

‫تمرين ‪:03‬‬ ‫‪ f‬دالة معرفة على ‪ R‬كما يلي‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x 3 1‬‬ ‫‪f ( x ) ‬‬ ‫‪x  1 :::: x  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( 1)  3‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ (1‬أدرس استمرارية الدالة ‪ f‬عند )‪. (1‬‬ ‫‪ )2‬هل الدالة ‪ f‬مستمرة على ‪ R‬؟‬ ‫الـحـل‪:‬‬ ‫‪ (1‬من أجل كل عدد حقيقي ‪ x‬يختلف عن )‪: (1‬‬

‫)‪x 3  1 (x  1)(x 2  x  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫يكون لدينا ‪ x 2  x  1‬‬ ‫‪ f (x ) ‬اذن‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪x 1‬‬ ‫‪ lim f (x )  3‬ومنه )‪lim f (x )  f (1‬‬ ‫‪x 1‬‬

‫‪x 1‬‬

‫إذن الدالة ‪ f‬مستمرة عند )‪. (1‬‬

‫‪x3 1‬‬ ‫‪  1;‬و ‪  ;1‬مستمرة على املجالين‬ ‫‪x 1‬‬ ‫ألنها دالة ناطقة والدالة مستمرة عند )‪ (1‬فهي مستمرة على ‪.R‬‬

‫‪ x ‬الدالة ( ‪2‬‬

‫تمرين ‪:04‬‬ ‫نعتبر الدالة ‪ f‬املعرفة على ‪ R‬كما يلي ‪f ( x)  (2 x 2  3x  4) cos x :‬‬ ‫ملاذا الدالة ‪ f‬مستمرة على ‪R‬؟‬ ‫الـحـل‪:‬‬ ‫الدالة ‪ x  cos x‬مستمرة على ‪R‬‬ ‫‪12‬‬

‫مذكرات يوسفي‬

‫‪[email protected]‬‬

‫االستاذ‬

‫يوسفي عبد الرحمن‬

‫النهابات و األستمرارية‬ ‫الدالة ‪ x  2 x  3x  4‬مستمرة على ‪ R‬ألنها دالة كثير حدود‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫الدالة ‪ f‬هي جداء دالتين مستمرتين على ‪ R‬فهي مستمرة على ‪.R‬‬

‫تمرين ‪:04‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫نعتبر الدالة ‪ f‬املعرفة على ‪ R‬كما يلي ‪:‬‬ ‫‪x2  3‬‬

‫‪f ( x) ‬‬

‫أدرس استمرارية الدالة ‪. f‬‬ ‫الـحـل‪:‬‬

‫‪ 1 ‬‬ ‫‪f ( x)   2‬‬ ‫من أجل كل عدد حقيقي ‪، x‬لدينا‪(sin x) :‬‬ ‫‪ x 3‬‬ ‫الدالة ‪ x  sin x‬مستمرة على ‪. R‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ x  2‬مستمرة على ‪ R‬ألنها دالة ناطقة معرفة على ‪.R‬‬ ‫الدالة‬ ‫‪x 3‬‬ ‫الدالة ‪ f‬هي جداء دالتين مستمرتين على ‪ R‬فهي مستمرة على ‪.R‬‬

‫تمرين ‪:05‬‬

‫نعتبر الدالة ‪ f‬املعرفة على املجال ‪ 0;2‬كما يلي ‪f ( x)  x  1  E( x) :‬‬ ‫حيث )‪ x  E (x‬هي دالة الجزء الصحيح ‪.‬‬

‫‪ (1‬أكتب ‪ ،‬حسب قيم ‪ ، x‬عبارة )‪f (x‬‬

‫بدون الرمز )‪. E (x‬‬

‫‪ (2‬أرسم املنحنى املمثل للدالة ‪ f‬في معلم متعامد من املستوي ‪.‬‬ ‫‪ (3‬هل الدالة ‪ f‬مستمرة على املجال ‪ 0;2‬؟‬

‫‪ (4‬عين املجاالت التي تكون فيها ‪ f‬مستمرة‪.‬‬

‫الـحـل‪:‬‬ ‫‪ (1‬لدينا‪:‬‬

‫‪ E ( x)  0‬إذا كان ‪0  x  1‬‬ ‫‪ E ( x)  1‬إذا كان ‪1  x  2‬‬ ‫إذن‪:‬‬

‫‪f ( x)  x  1‬‬ ‫‪f ( x)  x  2‬‬

‫إذا كان‬

‫‪0  x 1‬‬ ‫‪1 x  2‬‬

‫إذا كان‬ ‫‪ (2‬رسم املنحنى املمثل للدالة ‪ f‬في معلم متعامد من املستوي‪.‬‬

‫‪ )3‬نالحظ أنه ال يمكن رسم املنحنى املمثل للدالة ‪ f‬في املجال ‪ 0;2‬دون رفع القلم‪.‬‬

‫إذن الدالة ‪ f‬ليست مستمرة على املجال ‪. 0;2‬‬ ‫‪ (4‬الدالة ‪ f‬مستمرة على املجالين ‪ 0;1‬و ‪. 1;2‬‬

‫تمرين ‪:00‬‬ ‫‪f‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x 2 1 1‬‬ ‫‪f ( x ) ‬‬ ‫دالة معرفة على ‪ R‬كما يلي‪, , x  0 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f (0)  0‬‬ ‫‪‬‬

‫أدرس استمرارية الدالة ‪ f‬عند ‪0‬‬

‫‪13‬‬

‫مذكرات يوسفي‬

‫‪[email protected]‬‬

‫االستاذ‬

‫يوسفي عبد الرحمن‬

‫النهابات و األستمرارية‬ ‫الـحـل‪:‬‬ ‫من أجل كل عدد حقيقي ‪ x‬غير معدوم‪،‬لدينا‪:‬‬

‫)‪x 2  1  1 ( x 2  1  1)( x 2  1  1‬‬ ‫‪f (x ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪x ( x 2  1  1‬‬

‫‪x 2  1 1‬‬ ‫)‪x ( x 2  1  1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫إذن‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪x2‬‬ ‫)‪x ( x 2  1  1‬‬

‫‪‬‬

‫‪ f ( x) ‬ومنه ‪lim f (x )  0‬‬

‫‪x2  1  1‬‬ ‫و بما أن )‪ lim f (x )  f (0‬فإن الدالة ‪ f‬مستمرة عند ‪0‬‬ ‫‪x 0‬‬

‫‪.‬‬

‫‪x 0‬‬

‫تمرين ‪:00‬‬ ‫نعتبر الدالة ‪f‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x 2 5 3‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫املعرفة على ‪ R‬بـ ‪, , , x  2 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f ( 2)  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬

‫أدرس استمرارية الدالة ‪ f‬عند )‪. (2‬‬ ‫الـحـل‪:‬‬ ‫من أجل كل عدد حقيقي ‪ x‬يختلف عن )‪ ، (2‬يكون لدينا‪:‬‬

‫)‪x 2  5  3 ( x 2  5  3)( x 2  5  3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x 2‬‬ ‫)‪(x  2)( x 2  5  3‬‬ ‫‪x 2 59‬‬

‫‪x 2 4‬‬

‫‪f (x ) ‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫)‪(x  2)( x 2  5  3) (x  2)( x 2  5  3‬‬ ‫)‪( x  2)( x  2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f ( x) ‬‬ ‫اذن‬ ‫)‪( x  2)( x 2  5  3‬‬ ‫‪x2  5  3‬‬ ‫و بما أن )‪ lim f (x )  f (2‬فإن الدالة ‪ f‬مستمرة عند ‪.  2‬‬ ‫‪x 2‬‬

‫تمرين ‪:02‬‬ ‫نعتبر الدالة ‪ f‬املعرفة على ‪ R‬بـ ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x 3 x 2 9‬‬ ‫‪f ( x ) ‬‬ ‫‪,,, x  0‬‬ ‫‪; ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪f (0)  ‬‬ ‫‪‬‬

‫عين قيمة العدد الحقيقي ‪ α‬حتى تكون الدالة ‪ f‬مستمرة على ‪.R‬‬ ‫الـحـل‪:‬‬

‫‪x  3  x2  9‬‬ ‫الدالة‬ ‫‪x‬‬ ‫إذن حتى تكون ‪ f‬مستمرة على ‪ ،R‬يجب أن تكون مستمرة عند ‪ 0‬أي )‪. lim f (x )  f (0‬‬ ‫*‬

‫‪ x ‬مستمرة على ‪. R‬‬

‫‪x 0‬‬

‫الدالة‬ ‫من أجل كل عدد حقيقي ‪ x‬غير معدوم‪،‬لدينا‪:‬‬

‫)‪x  3  x 2  9 (x  3  x 2  9)(x  3  x 2  9‬‬ ‫‪f (x ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‪x (x  3  x 2  9‬‬ ‫‪14‬‬

‫مذكرات يوسفي‬

‫‪[email protected]‬‬

‫النهابات و األستمرارية‬

‫االستاذ‬

‫‪x  6x  9  x  9‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪‬‬

‫يوسفي عبد الرحمن‬

‫)‪(x  3)  (x  9‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪x (x  3  x 2  9‬‬

‫)‪x (x  3  x 2  9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ f ( x) ‬ومنه ‪lim f (x )  1‬‬ ‫اذن‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪x  3  x2  9‬‬ ‫‪ 6x‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪x( x  3  x 2  9‬‬

‫‪‬‬

‫و بما أن )‪ lim f ( x)  f (0‬فإن ‪. α  1‬‬

‫‪x 0‬‬

‫تمرين ‪:10‬‬ ‫‪f (x )    x 2  3 2 .,,, x  0‬‬ ‫نعتبر الدالة ‪ f‬املعرفة على ‪ R‬بـ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f (x )  2x  3..............x  0‬‬ ‫عين قيم العدد الحقيقي ‪ α‬التي من أجلها تكون الدالة ‪ f‬مستمرة عند ‪. 0‬‬ ‫الـحـل‪:‬‬ ‫حتى تكون الدالة ‪ f‬مستمرة عند ‪ 0‬يجب أن يكون‪ α  0  3α  2  0  3 :‬أي‬ ‫‪2‬‬

‫‪ 3 2  3‬‬ ‫تمرين ‪:11‬‬

‫إذن ‪α  1‬‬

‫‪2‬‬

‫أو ‪α  1‬‬

‫أثبت باستعمال مبرهنة القيم املتوسطة أن املعادلة ‪ 4 x 3  3  0‬تقبل على ألاقل حال في املجال‪.‬‬

‫‪ 1;0‬‬ ‫الـحـل‪:‬‬

‫يمكن كتابة املعادلة ‪ 4 x  3  0‬على الشكل ‪ f ( x)  1‬حيث‬ ‫‪3‬‬

‫‪f‬‬

‫هي الدالة املعرفة على ‪R‬بـ ‪:‬‬

‫‪. f ( x)  4 x  3‬‬ ‫‪3‬‬

‫الدالة ‪ f‬مستمرة على ‪ R‬ألنها دالة كثير حدود فهي مستمرة على املجال ‪.  1;0‬‬ ‫لدينا ‪ f (1)  1‬و ‪f (0)  3‬‬ ‫نالحظ أن العدد ‪ 0‬محصور بين العدديـن )‪ f (1‬و )‪f (0‬‬

‫إذن حسب مبرهنة القيم املتوسطة ‪ ،‬املعادلة ‪ 4 x 3  3  0‬تـقبل حال على ألاقـل في املجال ‪.  1;0‬‬ ‫تمرين ‪:12‬‬

‫أثبت باستعمال مبرهنة القيم املتوسطة أن املعادلة ‪x 3  2 x  1  0‬‬ ‫تقبل على ألاقل حال في املجال ‪...  2;1‬‬ ‫الـحـل‪:‬‬ ‫يمكن كتابة املعادلة ‪ x 3  2 x  1  0‬على الشكل ‪ f ( x)  0‬حيث‪:‬‬

‫‪ f‬هي الدالة املعرفة على ‪ R‬بـ ‪f ( x)  x 3  2 x  1 :‬‬ ‫الدالة‬

‫‪ f‬مستمرة على ‪ R‬ألنها دالة كثير حدود فهي مستمرة على املجال ‪ 2;1‬‬

‫لدينا ‪ f (2)  3‬و ‪f (1)  2‬‬ ‫نالحظ أن العدد ‪ 0‬محصور بين العدديـن )‪ f (2‬و )‪. f (1‬‬ ‫إذن حسب مبرهنة القيم املتوسطة ‪ ،‬املعادلة ‪ x  2 x  1  0‬على ألاقـل في املجال‬ ‫‪3‬‬

‫تـقبل حال ‪.  2;1‬‬ ‫أثبت باستعمال مبرهنة القيم املتوسطة أن املعادلة‬ ‫تمرين ‪:13‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪ x 3  3x 2  3  0‬تقبل على ألاقل حال في املجال ‪. 1; ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪15‬‬

‫مذكرات يوسفي‬

‫‪[email protected]‬‬

‫االستاذ‬

‫يوسفي عبد الرحمن‬

‫النهابات و األستمرارية‬ ‫الـحـل‪:‬‬ ‫يمكن كتابة املعادلة ‪ x  3x  3  0‬على الشكل ‪ f ( x)  0‬حيث ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ f‬هي الدالة املعرفة على ‪ R‬بـ ‪f ( x)  x 3  3x 2  3 :‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫الدالة ‪ f‬مستمرة على ‪ R‬ألنها دالة كثير حدود فهي مستمرة على املجال ‪. 1; ‬‬ ‫‪ 2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫لدينا ‪ f (1)  1‬و ‪f    ‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫نالحظ أن العدد ‪ 0‬محصور بين العدديـن ‪ f  ‬و )‪. f (1‬‬

‫‪ 3‬‬ ‫إذن حسب مبرهنة القيم ‪ x 3  3x 2  3  0‬تـقبل حال على ألاقـل في املجال ‪. 1; ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫املتوسطة ‪ ،‬املعادلة‬ ‫تمرين ‪:14‬‬

‫أثبت باستعمال مبرهنة القيم املتوسطة ‪ x 4  3x  1  0‬تقبل على ألاقل حال في املجال ‪. 0;1‬‬ ‫أن املعادلة‬ ‫الـحـل‪:‬‬ ‫يمكن كتابة املعادلة ‪ x 4  3x  1  0‬على الشكل ‪ f ( x)  0‬حيث‪:‬‬

‫‪ f‬هي الدالة املعرفة على ‪ R‬بـ ‪f ( x)  x 4  3x  1 :‬‬ ‫الدالة ‪ f‬مستمرة على ‪ R‬ألنها دالة كثير حدود فهي مستمرة على املجال ‪. 0;1‬‬ ‫لدينا ‪ f (0)  1‬و ‪f (1)  1‬‬ ‫نالحظ أن العدد ‪ 0‬محصور بين العدديـن )‪ f (1‬و )‪. f (0‬‬

‫إذن حسب مبرهنة القيم املتوسطة ‪ x 4  3x  1  0 ،‬تـقبل حال على ألاقـل في املجال ‪. 0;1‬‬ ‫املعادلة‬ ‫تمرين ‪:14‬‬

‫نعتبر الدالة ‪ f‬املعرفة على املجال ‪ 0;1‬بـ‪f ( x)  x 4  x  0,537 :‬‬

‫‪ (1‬أحسب )‪. f (x‬‬ ‫‪ (2‬ماذا تستنتج بالنسبة للدالة ‪. f‬‬

‫‪ (3‬بين أن املعادلة ‪ f ( x)  0‬تـقبل حال وحيدا في املجال ‪. 0;1‬‬ ‫الـحـل‪:‬‬

‫‪ (1‬الدالة ‪ f‬قابلة لالشتقاق على املجال ‪ ، 0;1‬ولدينا‪f ( x)  4 x 3  1 :‬‬ ‫‪ (2‬من أجل كل عدد حقيقي ‪ x‬من املجال ‪ ، 0;1‬لدينا ‪f ( x)  0 :‬‬ ‫إذن الدالة ‪ f‬متزايدة تماما على املجال ‪. 0;1‬‬ ‫‪ (3‬الدالة ‪ f‬مستمرة على ‪ R‬ألنها دالة كثير حدود فهي مستمرة على املجال ‪. 0;1‬‬ ‫لدينا ‪ f (0)  0,537‬و ‪f (1)  1,463‬‬ ‫نالحظ أن العدد ‪ 0‬محصور بين العدديـن )‪ f (0‬و )‪f (1‬‬ ‫إذن‪ ،‬حسب مبرهنة القيم املتوسطة‪ f ( x)  0 ،‬تقـبل على ألاقـل حال ‪ x 0‬في املجال ‪. 0;1‬‬ ‫املعادلة‬ ‫وبما أن الدالة ‪ f‬متزايدة تماما على املجال ‪ 0;1‬فإن ‪ x 0‬وحيد‪.‬‬ ‫تمرين ‪:15‬‬

‫نعتبر الدالة ‪ f‬املعرفة على املجال‪  2;2‬بـ ‪f ( x)  2 x 3  3x 2  1 :‬‬ ‫‪16‬‬

‫مذكرات يوسفي‬

‫‪[email protected]‬‬

‫االستاذ‬

‫يوسفي عبد الرحمن‬

‫النهابات و األستمرارية‬

‫‪ (1‬أحسب )‪ f (x‬ثم شكل جدول تغيرات الدالة ‪. f‬‬ ‫‪ (2‬بين أن املعادلة ‪ f ( x)  0‬تقـبل حال وحيدا في املجال ‪. 1;2‬‬ ‫الـحـل‪:‬‬

‫‪ (1‬الدالة ‪ f‬قابلة لالشتقاق على املجال ‪  2;2‬ولدينا‪f ( x)  6 x  6 x :‬‬ ‫‪f ( x)  6 xx  1‬‬ ‫أي‬ ‫يكون ‪ f ( x)  0‬إذا كان ‪ x  0‬أو ‪x  1‬‬ ‫‪f (2)  3 ، f (2)  29 ، f (1)  2 ، f (0)  1‬‬ ‫جدول تغيرات الدالة ‪: f‬‬ ‫طريقة التنصيف‬ ‫‪2‬‬

‫طرق حل املعــادلة ‪  0 :‬‬

‫‪f x‬‬

‫)‪1‬طريقة التنصيف )‪: (Halving the interval‬‬

‫‪f x‬‬

‫لنفرض أننا نريد حل املعادلة ‪  0...............1‬‬ ‫و أخذنا القيم التقريبية للحل ‪ x 1 , x 2‬من أجل ذلك ‪ f  x 1  , f  x 2 ‬من إشارتين مختلفتين أي أن‪:‬‬ ‫‪ f  x 1   f  x 2   0‬حيث أن ‪ f  x ‬تابع مستمر في املجال ‪ x 1 ; x 2 ‬‬ ‫لذلك يوجد حل للمعادلة (‪ )1‬ضمن هذا املجال ولنحاول آلان إيجاد القيمة التقريبية ‪x 3‬‬ ‫من أجل ذلك نوجد ‪َ x  x  x‬و ‪f  x   0 .‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫أسهل طريقة الختيار ‪ x 3‬أن نأخذ ‪: x 3  x 2  x 1‬‬ ‫‪2‬‬

‫و لنحسب ‪ ، f  x 3 ‬فإذا كان ‪: f  x 1   f  x 3   0‬‬

‫نختار املجال ‪  x 3 ; x 1 ‬نختار قيمة جديدة ‪ x 4‬بحيث يكون‬

‫‪f x 1  f x 3   0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ ، x 4  x 3  x 1‬أما إذا كان‬

‫فإن ‪ f  x 2   f  x 3   0‬ونختاراملجال ‪  x 3 ; x 2 ‬نختار القيمة ‪.‬‬ ‫و نستمر بنفس الطريقة حتى نحصل على ‪ f  x n ‬بحيث‬ ‫ً‬ ‫تكون إما صغيرة جدا و قريبة من الصفر بالقدر الكافي أو ‪‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x3 x2‬‬

‫‪x4 ‬‬

‫‪ ، : x i 1  x i‬حيث أن ‪ ‬قيمة صغيرة‪.‬‬

‫إن هذه الطريقة تعرف باسم التنصيف أو طريقة تقسيم املجال ‪.‬‬ ‫مثال باستعمال نظرية القيم املتوسطة عين حل للمعادلة ‪ x  3x  3  0‬على املجال ‪1, 2‬‬ ‫الحل‪ :‬الدالة ‪ f‬املعرفة كما يلي ‪f  x   x  3x  3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫معرفة ومستمرة على‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫فهي مستمرة على ‪ 1, 2‬النها دالة كثير حدود‬

‫نعلم ان الدالة تقبل الاشتقاق على املجال ‪ 1, 2‬ودالتها املشتقة ‪ f ` x   3x 2  6x‬تنعدم عند‬ ‫ال‪ 0‬و ‪2‬‬ ‫جدول تغيراتها هو‬

‫‪‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪-‬‬

‫‪+‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪f ` x ‬‬

‫املجال ‪ 1, 2‬الدالة متناقصة تماما اذن هي رتيبة‬ ‫نعلم ان ‪ f 1  13  3 1  3  1‬و ‪ f  2   23  3  2   3  1‬وبالتالي‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪f x 1  f x 2   0‬‬

‫حسب مبرهنة القيم املتوسطة املعادلة ‪ f  x   0‬تقبل حل وحيد ‪‬‬ ‫‪17‬‬

‫مذكرات يوسفي‬

‫‪[email protected]‬‬

‫يوسفي عبد الرحمن‬

‫االستاذ‬ ‫أليجاد الحل نأخذ‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫النهابات و األستمرارية‬ ‫‪ : x 3  1  2‬و بما ان ‪f  x 3   f  3 2   0.375‬‬

‫‪ f  3 2   f 1  0‬نأخذ المجال ‪ 1, 3 ‬ثم باخذ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫و بما ان ‪ f  x 4   f  5 4   0.27‬اذن ‪ f  3 2   f  5 4   0‬نأخذ‬ ‫‪4‬‬

‫وبما أن ‪0‬‬

‫‪118 ‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ f  x 5   f‬فان ‪  118‬‬

‫‪4‬‬

‫‪x4  23‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪x 5  11‬‬

‫طريقة نيوتن – رافسون (املماسات)‪:‬‬ ‫عند اختيار النقط ‪ x 1 , x 2‬بشكل متقارب من بعضهما البعض فإن الخط الواصل ما بين‬ ‫النقطتين‬ ‫‪ P  x 1 , f  x 1   Q  x 2 , f  x 2  ‬يستبدل باملماس عند النقطة ‪ P‬و بالتالي‬

‫فإن ‪x 3  x 2 .f  x 2   x 1.f  x 1  f  x 2   f  x 1 ‬‬

‫و عندما يكون ‪ : x 2  x 1  h‬فإن ‪ f  x 2   f  x 1   hf ` x 1  :‬وبالتالي ‪:‬‬

‫‪ x 1    x 1  h  f  x 1  hf ` x 1 ‬‬ ‫أي إن ‪ : x 3  x 1   f  x 1  f ` x 1  ‬و هذه العالقة يمكن استنتاجها مباشرة و ذلك‬ ‫`‬

‫‪x 3  x 1. f  x 1   hf‬‬

‫بإيجاد نقطة تقاطع مماس التابع‬ ‫‪ y  f  x ‬عند النقطة ‪ x 1‬مع املستقيم ‪y  0 :‬‬ ‫‪f x 2 ‬‬ ‫‪x1  x 2‬‬

‫‪ tan   f ` x 1  ‬وبالتالي ‪: x 2  x 1   f  x 1  f ` x 1  ‬‬

‫و بشكل عام يمكن كتابة العالقة السابقة كما يلي ‪: x n 1  x n   f  x n  f ` x n  ‬‬

‫و هذه الطريقة تعرف باسم نيوتن – رافسون‪.‬‬

‫‪18‬‬

‫مذكرات يوسفي‬

‫‪[email protected]‬‬

‫االستاذ‬

‫يوسفي عبد الرحمن‬

‫النهابات و األستمرارية‬

‫دالة الجزء الصحيح‬ ‫تعريف‪ :‬نسمي الدالة الجزء الصحيح الدالة المعرفة على‬

‫و التي ترفق بكل عدد حقيقي ‪ x‬العدد الصحيح ‪n‬‬

‫حيث ‪ n  x  n  1‬و نرمز لها بالرمز ‪ E‬أو‬

‫‪‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ )1‬أحسب ‪  3  ، E  1 ،  2,3‬و ‪. E 11, 01‬‬ ‫‪ )2‬نعتبر الدوال ‪ g ، f‬و ‪ h‬المعرفة على المجال ‪  2;1‬كما يلي‪:‬‬

‫‪ C h  ، C g  ، C f‬تمثيالتها البيانية على الترتيب‪.‬‬

‫‪ h  x   x 2  1، g  x   x  x  ، f  x    x ‬و لتكن ‪‬‬ ‫‪ ‬أرسم في معالم مختلفة التمثيال كت البيانية ‪ C g  ، C f ‬و ‪. C h ‬‬ ‫‪ ‬هل بإمكانك رسم المنحنيات ‪ C g  ، C f ‬و ‪ C h ‬بدون رفع القلم ( اليد ) ؟‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪19‬‬

‫هل تقبل الدوال ‪ g ، f‬و ‪ h‬نهاية عند ‪ 1‬؟ عند ‪ 0‬؟‬ ‫أكتب خالصة‪.‬‬

‫مذكرات يوسفي‬

‫‪[email protected]‬‬

‫االستاذ‬

‫‪21‬‬

‫يوسفي عبد الرحمن‬

‫النهابات و األستمرارية‬

‫مذكرات يوسفي‬

‫‪[email protected]‬‬

‫االستاذ‬

‫‪21‬‬

‫يوسفي عبد الرحمن‬

‫النهابات و األستمرارية‬

‫مذكرات يوسفي‬

‫‪[email protected]‬‬