Bach 1º Matem. I-solucionario Vicensvives-u.02 5f6o1c

Tema 02 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

GUÍA DIDÁCTICA • Orientaciones didácticas • Solucionario • Competencias Clave • Atención a la diversidad – Actividades de Refuerzo – Actividades de Ampliación

• Recursos Didácticos – Navegamos por Tiching

• Libro Digital • Educamos en valores

2-1

30 a 42

1. ECUACIONES POLINÓMICAS / ... / 6. SISTEMAS DE ECUACIONES

Orientaciones didácticas ● En esta primera parte de la unidad se estudian la resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones y su aplicación en la resolución de todo tipo de problemas.

Bibliografía ●

Se distinguirán 5 tipos diferentes de ecuaciones: polinómicas, fraccionarias, irracionales, exponenciales y logarítmicas. En los casos en los que sea necesario se prestará especial atención a la necesidad de comprobar las solcuiones obtenidas.

MEJÍA, F; FERNÁNDEZ, H; Matemáticas ÁLVAREZ, R. previas al cálculo. Universidad De Medellin, 2005. Los dos primeros capítulos de este libro están dedicados a las ecuaciones algebraicas y a los sistemas de ecuaciones y sus aplicaciones.

Seguidamente, se caracterizarán los sistemas de ecuaciones lineales, exponenciales y logarítmicas y se estudiarán los métodos de resolución. En el caso de los sistemas de ecuaciones lineales se darán las herramientas para escalonar cualquier sistema: el método de Gauss.

Contiene ejemplos resueltos y propone gran cantidad de actividades y problemas.

Navegamos por Tiching ● http://www.tiching.com/88641. Ecuaciones irracionales. En esta web se estudian las propiedades de las ecuaciones irracionales. ● http://www.tiching.com/88838. Método de Gauss. Enlace en el que se explica en qué consiste este método y se ofrecen ejemplos de sistemas compatibles determinados, incompatibles y compatibles indeterminados.

7. INECUACIONES / ... / 13. SISTEMAS DE INECUACIONES DE PRIMERA GRADO CON DOS ...

43 a 50

Orientaciones didácticas ● Esta segunda parte de la unidad está dedicada a la resolución de inecuaciones y de sistemas de inecuaciones. Los alumnos trabajarán la resolución de inecuaciones de primera y segundo grado con una incógnita; las de primer grado con dos incógnitas y las que contienen fracciones algebracias con una incógnita. En cuanto a los sistemas, aprenderán a resolver sistemas de inecuaciones con una incógnita y de primer grado con dos incóngitas .

Navegamos por Tiching ● http://www.tiching.com/100455. Sistemas de inecuaciones. En esta página web se muestra una colección de ejercicios de sistemas de inecuaciones. ● http://www.tiching.com/100454. Inecuaciones. Esta web los alumnos y las alumnas encontrarán un tutorial que trabaja los procedimientos básicos de las inecuaciones. ● http://www.tiching.com/44608. Programación lineal. Material didáctico para el estudio de la programación lineal, sistemas de inecuaciones e inecuaciones lineales. Todos los temas tratados vienen con actividades a realizar.

2-2

Bibliografía ●

ANSALONI, A, PENSIERI, F. Matemáticas preuniversitarias. Inecuaciones, Editorial Reverté Venezonalana, Caracas, 1982

●

ENGLER, A; MÜLLER, D VRANCKEN, S; HECKLEIN, M. Álgebra, Univ. Nacional del Litoral, Santa Fe, 2005 El capítulo 2 de este libro está dedicado al estudio de los sistemas de inecuaciones. Contiene problemas de aplicación y autoevaluaciones.

Soluciones de las actividades

Página 31 1. Si a = 0 y b ≠ 0, no tiene solución. Si a = 0 y b = 0, tiene infinitas soluciones.

9 ± 81 − 72 9 ± 9 9 ± 3 = = 6 6 6

b) z =

z1 =

9 + 3 12 = = 2 → x1 = 2 , x2 = − 2 6 6

z2 =

9−3 6 = = 1 → x3 = 1, x4 = −1 6 6

Si a ≠ 0, tiene una única solución, x = -b / a. 2. a) 20 − 5x = x + 8;

6x = 12;

x = 12 / 6 = 2 b) 12x + 18 = 12 − x;

13x = −6;

x = −6 / 13

25 ± 625 − 576 25 ± 49 25 ± 7 = = 2 2 2

c) z =

z1 =

25 + 7 32 = = 16 → x1 = 4, x2 = −4 2 2

z2 =

25 − 7 18 = = 9 → x3 = 3, x4 = −3 2 2

3. a) mcm (4, 2) = 4 → (x − 1) + 2 (3x − 11) = 4x + 4 7x − 23 = 4x + 4;

x = 27 / 3 = 9

b) mcm (7, 4) = 28 → 12 (x − 2) − 7 (x + 1) = 28 (9 − x) 5x − 31 = 252 − 28x;

x = 283 / 33

Página 32 10 ± 100 − 84 10 ± 16 10 ± 4 = = =5±2 2 2 2

4. a) x =

d) z =

z1 =

15 + 17 32 = = 16 → x1 = 4, x2 = −4 2 2

z2 =

15 − 17 −2 = = −1 → No hay más soluciones 2 2

x1 = 5 + 2 = 7, x2 = 5 − 2 = 3 b) x2 − x + 5 = 0;

x=

1 ± 1 − 20 1 ± − 19 = → No tiene solución 2 2

9 ± 81 − 80 9 ± 1 9 ± 1 = = 20 20 20 9 + 1 10 1 9−1 8 2 = = , x2 = = = x1 = 20 20 2 20 20 5

c) x =

− 0,4 ± 0,16 − 0,12 − 0,4 ± 0,04 = = d) x = 2 2 −0,4 ± 0,2 = 2 −0,4 + 0,2 0,2 =− = −0,1 x1 = 2 2 −0,4 − 0,2 −0,6 = = −0,3 x2 = 2 2 5. a) Δ = 64 − 64 = 0 → Dos soluciones iguales b) Δ = 256 + 144 = 400 > 0 → Dos soluciones distintas c) Δ = 9 − 28 = −19 < 0 → No tiene solución real d) 2x2 − 3x + 1 = 0 Δ = 9 − 8 = 1 > 0 → Dos soluciones distintas 6. a) z =

26 ± 676 − 100 26 ± 576 26 ± 24 = = 2 2 2

15 ± 225 + 64 15 ± 289 15 ±17 = = 2 2 2

e) z =

1 ± 1 + 48 1 ± 49 1 ± 7 = = 2 2 2

z1 =

1+ 7 8 = = 4 → x1 = 2, x2 = −2 2 2

z2 =

1− 7 − 6 = = −3 → No hay más soluciones 2 2

f) x4 − 14x2 + 45 = 0

z=

14 ± 196 − 180 14 ± 16 14 ± 4 = = 2 2 2

z1 =

14 + 4 18 = = 9 → x1 = 3, x2 = −3 2 2

z2 =

14 − 4 10 = = 5 → x3 = 5 , x4 = − 5 2 2

Página 33 7. a) z =

17 ± 289 − 64 17 ± 225 17 ±15 = = 2 2 2

z1 =

17 + 15 32 = = 16 → x1 = 2, x2 = −2 2 2

z2 =

17 − 15 2 = = 1 → x3 =1, x4 = −1 2 2

b) z =

33 ± 1089 − 128 33 ± 961 33 ± 31 = = 2 2 2

z1 =

26 + 24 5 0 = = 25 → x1 = 5, x2 = −5 2 2

z1 =

33 + 31 64 = = 32 → x1 = 2 2 2

z2 =

26 − 24 2 = = 1 → x3 = 1, x4 = −1 2 2

z2 =

33 − 31 2 = = 1 → x2 =1 2 2 2-3

c) z = =

215 ± 46225 + 864 215 ± 47089 = = 16 16

12 12  9  20 ⋅  − = −9 + = −9 +  + 20 9 3 /4     5 ⋅ −  + 3  20 

215 ± 217 16

+ 16 = 7 → x = −9 / 20 es solución de la ecuación c) mcm (5, x) = 5x;

215 + 217 432 = = 27 → x1 = 3 z1 = 16 16 z2 = d) z =

5x2 − 5 = 24x;

215 − 217 − 2 − 1 → x2 = −1 / 2 = = 16 16 8

x=

− 7 ± 49 + 3200 − 7 ± 3249 − 7 ± 57 = = 32 32 32

z1 =

5 − 1 / 5 = 25 / 5 − 1 / 5 = 24 / 5 → x = 5 es solución de la ecuación −1 / 5 − 1 / (−1 / 5) = −1 / 5 + 5 = 24 / 5 → x = −1 / / 5 es solución de la ecuación d) mcm (2 − x, 2 + x) = (2 − x) (2 + x) = 4 − x2;

8. a) x1 = 1, x2 = −5, x3 = −7 c) x1 = 6, x2 = −6, x3 = −4

9 (2 − x) + 7 (x + 2) = 10 (4 − x2);

d) x1 = 17, x2 = 0, x3 = −5

18 − 9x + 7x + 14 = 40 − 10x2;

9. a) x1 = −2, x2 = −3, x3 = 3

10x2 − 2x − 8 = 0;

b) x1 = −1, x2 = −2, x3 = 5 c) x1 = −1, x2 = 1, x3 = 8

x=

d) x1 = 9

2 − 18 −16 4 2 + 18 2 0 = = 1 , x2 = = =− 20 20 5 20 20 Comprobación:

f) x1 = 1, x2 = 1 / 2, x3 = −5

9 7 9 7 + = + = 3 + 7 = 10 → x = 1 es solu2 +1 2 −1 3 1 ción de la ecuación

Página 34

9 7 9 7 + = + = 2 + (−4 / 5) 2 − (−4 / 5) 6 / 5 14 / 5

10. a) mcm (8, x, x2) = 8x2

8x − 16 = x2;

x2 − 8x + 16 = 0;

8 ± 64 − 64 8 ± 0 x= = =4 2 2 Comprobación: 2

1 / 4 − 2 / 4 = 1 / 4 − 2 / 16 = 1 / 8 → x = 4 es solución doble de la ecuación b) 20x (5x + 3) + 12 = 7 (5x + 3); 100x2 + 60x + 12 = 35x + 21;

15 35 + = 10 → x = −4 / 5 es solución de la 2 14 ecuación =

11. x +

x=

mcm (2, x) = 2x; 2x2 − 5x + 2 = 0;

5 ± 25 − 16 5 ± 9 5 ± 3 = = 4 4 4

5−3 2 1 5+3 8 = = 2 , x2 = = = 4 4 2 4 4 Las dos soluciones son en realidad la misma pues el inverso de 2 es 1 / 2 y viceversa. Comprobación: 1 4 1 5 2 + = + = → El número que buscamos es x = 2 2 2 2 = 2 o bien x = 1 / 2.

x1 =

− 25 ± 625 + 3.600 − 25 ± 65 x= = 200 200

40 1 −25 + 65 = = 200 200 5

−25 − 65 −9 0 9 = =− 200 200 20 Comprobación: 1 12 12 + 20 ⋅ =4+ =4+3=7→ x = 1 / 5 1 5 4 5⋅ + 3 5 es solución de la ecuación

1 5 = x 2

2x2 + 2 = 5x;

100x2 + 25x − 9 = 0;

x2 =

2-4

2 ± 4 + 320 2 ± 324 2 ± 18 = = 20 20 20

x1 =

e) x1 = 0, x2 = 1, x3 = 1 / 2, x4 = −1 / 2

x1 =

24 − 26 −2 1 24 + 26 50 = = 5 , x2 = = =− 10 10 5 10 10

Comprobación:

− 7 − 57 − 64 z2 = = = −2 → no hay más solu32 32 ciones b) x1 = 2, x2 = −2

24 ± 576 + 100 24 ± 676 24 ± 26 = = 10 10 10

x1 =

5 5 − 7 + 57 50 25 = = , x1 = − → x1 = 32 32 16 2 2

5x2 − 24x − 5 = 0;

12.

1 1 − = 1; x 2x 2 − 1 = 2x;

mcm (x, 2x) = 2x x=1/2

Comprobación: 1 1 − = 2 −1 = 1 1/ 2 2 / 2

x = 120 es solución 3 24 − 20 = 3 4 = 3 ⋅ 2 = 6 = 24 / 4

x = 24 es solución

13. a) Multiplicamos por x2: 2

c) x − 9 = − 15 − x ;

2

4 − 2x = −2x;

2x − 2x − 4 = 0;

x2 − 17x + 66 = 0;

x1 = −1, x2 = 2

x=

Las dos soluciones son válidas. b) Multiplicamos por x2 − 9: 2

1 7 ± 289 − 264 1 7 ± 25 1 7 ±5 = = 2 2 2

17 + 5 22 17 − 5 12 = = 11 , x2 = = =6 2 2 2 2 Comprobación: x1 =

2

(x + 3) + (x − 3) = 24; 2x2 + 18 = 24;

x2 − 18x + 81 = 15 − x;

2x2 = 6;

x= ± 3

9 − 15 − 11 = 9 − 4 = 9 − 2 = 7

Las soluciones son válidas.

x = 11 no es solución 9 − 15 − 6 = 9 − 9 = 9 − 3 = 6

c) Multiplicamos por x2 − 3x:

x = 6 es solución

x (x + 2) + (3 + 3) (x − 3) = −2x − 3;

d)

x2 + 8x − 18 = −2x − 3;

3

( x + 1)( x + 3) = x + 1 ;

(x + 1) (x + 3) = (x + 1)3 x2 + 4x + 3 = x3 + 3x2 + 3x + 1;

x = − 5 ± 2 10 Las dos soluciones son válidas.

x3 + 2x2 − x − 2 = 0;

d) Multiplicamos por x2 − 1:

3 + (x + 2) (x + 1) = x (x − 1);

x1 = 1, x2 = −1, x3 = −2 Coprobación:

5 + x2 + 3x = x2 − x;

3

5 = −4x;

x = −5 / 4

(1 + 1)(1 + 3) = 2 = 1 + 1

x = 1 es solución.

La solución es válida.

3

( −1 + 1)( −1 + 3) = 0 = −1 + 1

x = −1 es solución.

Página 35

3

x − 1 = x − 13 ;

14. a)

x − 1 = x2 − 26x + 169; x=

27 + 7 34 27 − 7 20 = = 17 , x2 = = = 10 2 2 2 2 Comprobación:

x1 =

17 − 1 + 13 = 16 + 13 = 4 + 13 = 17

x = 10 no es solución 2

=

144 ± 20.736 −11.520 144 ± 9.216 = = 2 2

144 ±96 = 72 ± 48 2

x1 = 72 + 48 = 120 Comprobación:

→ 10 x = 30 → 100x = 900 → x = 9 Comprobación: 9 + 9 − 5 = 3 + 2 = 5 → x = 9 es solución

b) 2 6 x − 7 = 3x − 2 ;

x=

144x − 2.880 = x ;

x2 − 144x + 2.880 = 0; x=

x − 5 = 5 − x → x − 5 = 25 − 10 x + x →

9x2 − 36x + 32 = 0;

10 − 1 + 13 = 9 + 13 = 3 + 13 = 16

b) 9 (x − 20) = x / 16;

15. a)

4(6x − 7 ) = 9x 2 − 12x + 4 ;

x = 17 es solución

2

x = −2 es solución.

x2 − 27x + 170 = 0;

27 ± 729 − 680 27 ± 49 27 ± 7 = = 2 2 2

( −2 + 1)( −2 + 3) = −1 = −2 + 1

36 ± 1296 − 1152 36 ± 144 36 ±12 = = 18 18 18

x1 =

36 + 12 48 8 = = 18 18 3

x2 =

36 − 12 24 4 = = 18 18 3

Comprobación:

x2 = 72 − 48 = 24

3 120 − 20 = 3 100 = 3 ⋅ 10 = 30 = 120 / 4

2 6⋅

8 8 − 7 = 6 = 3⋅ − 2 3 3

x = 8 / 3 es válida 2-5

2 6⋅

e)

4 4 − 7 = 2 = 3⋅ − 2 3 3

x = 4 / 3 es válida c) 2x − 2 x − 9 x + 10 x + 16 − 10 x − 9 = x +11;

−2 x − 9 x + 10 x = 10 x − 9 − x − 5; 4x2 + 64x − 40x x − 9 = 110x – 875 − 20x ⋅ x − 9 − 100 x − 9 + x2;

⋅

3x2 − 46x + 875 = (20x − 100)

x2 − 100x = 0; f) x2 = 100x; x1 = 0, x2 = 100 x = 0 no es válida porque no existe log x. x = 100 es una solución válida. 17. a) log [(x + 5)(x − 3)] = log 84 → (x + 5) (x − 3) =

= 84 → x2 + 2x − 15 = 84 → x2 + 2x − 99 = 0

x−9;

− 2 ± 4 + 396 − 2 ± 400 − 2 ± 20 = = 2 2 2 −2 + 20 18 −2 − 20 −22 x1 = = = 9; x2 = = = −11 2 2 2 2

9x4 – 276x3 + 7.366x2 – 80.500x + 765.625 = = 400x3 – 7.600x2 + 46.000x – 90.000;

x=

9x4 – 676x3 + 14.966x2 – 126.500x + 855.625 = 0 x1 = 25

x2 = 42,58

x = −11 no es solución porque log (−11 − 3) no existe

25 − 25 − 9 = 5 − 4 = 1 25 + 11 − 5 = 6 − 5 = 1 → x = 25 es solución

42,58 − 42,58 − 9 = 6,53 − 5,79 = 0,73 42,58 + 11 − 5 = 7,32 − 5 = 2,32 → x = 42,58 no es solución d) 4 (x − 1) = x + 6 + 4 x + 6 + 4 → 3x − 14 = 2

= 4 x + 6 → 9x − 84x + 196 = 16 (x + 6) → → 9x2 − 84x + 196 = 16x + 96 → 9x2 − 100x + + 100 = 0; 100 ± 10.000 − 3.600 100 ± 6.400 = = 18 18 100 ±80 = 18 x=

100 + 80 180 100 − 80 20 10 = = 10 , x2 = = = 18 18 18 18 9 Comprobación: x1 =

2 10 − 1 = 2 ⋅ 3 = 6

4 x − 4 = x ; 4x − 4 = x; x=4/3 La solución es válida.

( x. − 5)(3x + 5) = 18 ;

b)

(x − 5) (3x + 5) = 18; x= =

3x2 − 10x − 43 = 0;

10 ± 100 + 516 10 ± 100 + 516 = = 6 6

10 ± 616 10 ± 2 154 5 ± 154 = = 6 6 3

x1 =

5 + 154 = 5,803 3

5 − 154 = −2,470 3 La solución válida es x1. c) (x − 4)5 / 3 = (x2 − 3x)5 / 3; x − 4 = x2 − 3x; x2 − 4x + 4 = 0; x2 =

4 ± 16 − 16 4 = =2 2 2 La solución es válida. x=

10 + 6 + 2 = 4 + 2 = 6 → x = 10 es solución 2 10 / 9 − 1 = 2 ⋅ 1 / 3 = 2 / 3

Página 37

10 / 9 + 6 + 2 = 8 / 3 + 2 = 14 / 3 → x = 10 / 9 no es solución

18. a) 53x − 3 = 50;

Página 36 16. a) log x2 = log (32 / 8) → x2 = 4 → x = ±2 x = −2 no es solución pues no existe log (−2) b) log (2x − 2) = log 100 → 2x − 2 = 100 → x = 51 c) log 4x = log 8x2 → 4x = 8x2 → 8x2 − 4x = 0 → → 4x (2x − 1) = 0 → x1 = 0, x2 = 1 / 2 x = 0 no es solución porque log 0 no existe d) log 100x = log x3 → 100x = x3 → x3 − 100x = 0 → → x (x2 − 100) = 0 → x1 = 0, x2 = 10, x3 = −10

x = 0 y x = −10 no son válidas ya que para estos valores log x y log x3 no existen. 2-6

3x − 3 = 0;

x=1

Comprobación:

(51 − 1)3 = 13 = 1 La soluación es válida. b) 32x − 1 = 35;

2x − 1 = 5;

x = (5 + 1) / 2 = 3

Comprobación:

32 ⋅ 3 − 1 = 35 = 243 La solución es válida. c) 2x / 2 = 23 → x / 2 = 3 → x = 6 Comprobación → 2 6 = 2 3 = 8 → x = 6 es solución

d) 2x − 3 = 22x + 4; x − 3 = 2x + 4; x = −7 Comprobación: 2−7 − 3 = 2−10 = 4−5 = 4−7 + 2 La solución es válida. 2 e) 41− x =4 −3 → 1 − x2 = −3 → x2 = 4 → x = ±2 2 Comprobación → 41− ( ±2) = 4 −3 = 1 / 64 → x = ±2 son soluciones 19. a) 4 ⋅ 4x + 4x = 320 → 5 ⋅ 4x = 320 → 4x = 64 = 43 → →x=3 2⋅3

3+1

4

6

Comprobación → 4 +2 = 4 + 2 = 256 + + 64 = 320 → x = 3 es solución

4 = 21 → 4 ⋅ 42x + 42x + 4 = 21⋅ 4x → 4x → 4 ⋅ 42x + 42x − 21⋅ 4x = −4

b) 4 ⋅ 4x + 4x +

Hacemos ahora un cambio de variable → t = 4x 4t2 + t2 − 21t = −4 → 5t2 − 21t + 4 = 0 21 ± 441 − 80 21 ± 361 21 ± 19 = = t= 10 10 10 t1 =

21 + 19 40 = =4→x=1 10 10

log(1 / 5) log(5) 21 − 19 2 1 = = →x= =− = 10 10 5 log(4) log(4) = −1,161 t2 =

Comprobación: 1+1

1

+4 +4 4 solución

1−1

= 16 + 4 + 1 = 21 → x = 1 es

4−1,161 + 1 + 4−1,161 + 41 + 1,161 = 0,8 + 0,2 + 20 = 21 → x = −1,161 es solución c) Si t = 2x:

2t + 4t + 8t = 112;

14t = 112;

t = 112 / 14 = 8 → x = 3 Comprobación: 23 + 1 + 23 + 2 + 23 + 3 = 16 + 32 + + 64 = 112

La solución es vállida. 20. a) ex = 123 / 3 → x = ln (123 / 3) = ln 41 = 3,714 b) x − 2 = ln 1; x − 2 = 0; x=2 c) log 3x + 1 = log 2x ; (x + 1) log 3 = x log 2 log 13 x= − log 13 + log 2 d) log(9 x

2

−3

) = log(1 / 100) ;

2

(x − 3) log 9 = log (1 / 100); x2 − 3 = −2,0959; x2 = 0,9041 x = ±0,9508 Las soluciones son válidas en todos los apartados. 21. a)

1 1− x 2

5

= 625 ;

1 − x2 = −4;

1 1− x 2

5

=

x2 = 5;

1 5 −4

;

x= ± 5 b)

2 x −1 3 2

=

x 2 −1 / 4 3 3

2x − 1 x 2 − 1 / 4 = ; 2 3

;

6x − 3 = 2x2 − 1 / 2; x1 = 1 / 2, x2 = 5 / 2

( )

c) 3

2

x2 +x 4

= 3;

x2 + x = 1; 2

2x2 − 6x + 5 / 2 = 0; x2 +x 3 2

=3

x2 + x = 2;

x2 + x − 2 = 0; x1 = −2, x2 = 1 Las soluciones de todos los apartados son válidas.

Página 38 22. Actividad personal. 23. Actividad personal. 24.z = −10 / 10 = −1

y + 5 = 7;

y=2

x − 2 − 2 = −3;

x= 1

Es compatible determinado.

Página 40 x + y + 2z = 3  25. a) x + 3y + 3z = 7 ; − x + 2 y + z = 1 

e '2 = e 2 − e1 e 3' = e 3 + e1

 x + y + 2z = 3   2y + z = 4 ;  3y + 3z = 4 

e 3' = e 3 − 3e 2

 x + y + 2z = 3 8 4   2y + z = 4 → y = , z = − , x = 3 3 3  − 3y = −8  Compatible determinado  x + 7 y − 4z = 5  b) 2 x − y + 3z = 5 ; 3x + 6 y − z = 8 

e '2 = e 2 − 2e1 e 3' = e 3 − 3e1

 x + 7 y − 4z = 5   − 15 y + 11z = −5 → Sistema incompatible  − 15 y + 11z = −7   x + 3y + 2 z = 6 e '2 = e 2 − 2e1  c) 2 x + y + 3z = 6 ; e 3' = e 3 − 4e1 4 x + 7 y + 7z = 18   x + 3y + 2 z = 6   − 5 y − z = −6 → Compatible indeterminado  − 5 y − z = −6  z = −5λ + 6, y = λ, x = 7λ − 6 2-7

2 x − y + z = −2  d) x + y + z = −1 ; 3x − y + z = 1 

e '2 = e 2 + e1 e 3' = e 3 − e1

2 x − y + z = −2  3x + 2z = −3 → x = 3, z = −6, y = 2 x =3  Compatible determinado x + 4 y − 2z = 15  26. a) 2 x + y + z = 14 ; − 3x + 2 y − z = −10  x + 4 y − 2z = 15   − 7 y + 5z = −16 ;  14 y − 7z = 35 

e '2 = e 2 − 2e1 e 3' = e 3 + 3e1

e 3' = e 3 + 2e 2

x + 4 y − 2z = 15   − 7 y + 5z = −16 → z =1, y = 3, x = 5  3z = 3  − x + 3y − 5z = 8  b) − 2x + 2 y + 8z = 26 ; x + 5 y + z = 4  − x + 3y − 5z = 8  − 4 y + 18z = 10 ;   8 y − 4z = 12 

e '2 = e 2 − 2e1 e 3' = e 3 + e1

e 3' = e3 + 2e2

Si k ≠ 1 el sistema es compatible determinado con la siguiente solución: z = −10 / 5 = −2 (k − 1)y − 2 = 0;

y = 2 / (k − 1)

−x + 4 / (k − 1) + 6 = 1;

x = (−1 + 5k) / (k − 1)

Página 41   x2  x2 = 1.000 log  = log(1.000)  28. a)   y  ; y ;   2 2 log x ⋅ y = log(10.000) x ⋅ y = 10.000

)

x⋅

x4 = 10.000 ; 1.000.000

x5 = 10.000.000.000 → x = 100 → y = 10 La solución es válida en el sistema original. 2-8

x = 1.000 − y − 100 = 900 − y 2 (900 − y) ⋅ y = 400.000 → → 1.800y − 2y2 = 400.000 → → 2y2 − 1.800y + 400.000 = 0 y1 = 500 → x1 = 900 − 500 = 400 y2 = 400 → x2 = 900 − 400 = 500 Las soluciones son válidas en el sistema original.   x2   = log(1.000) log c)   y  ;  2 log x ⋅ y = log(100.000 )

(

)

x2 = 1.000  ;  y  2 x ⋅ y = 100.000 10.000.000.000 / y5 = 1.000; 10.000.000 = y5;

27. Si k = 1, las dos últimas ecuaciones del sistema son z = 0, 5z = − 10, por lo tanto, el sistema es incompatible.

 x2 y = ; 1.000  x ⋅ y 2 = 10.000 

y  2 x ⋅ = 100.000 → 4  x + y + 100 = 1.000

x = 100.000 / y2;

− x + 3 y − 5z = 8  − 4 y + 18z = 10 → z = 1, y = 2, x = −7   32z = 32 

(

  y log 2 x ⋅  = log(100.000 ) ; b)   4 log(x + y + 100 ) = log(1.000 ) 

y = 25,1188 2

x = 100.000 / 25,1188 = 158,4901  x log  = log(10.000.000 ) d)   y  ;  2 2 log x ⋅ y = log(10.000.000.000 )

(

)

x  y = 10.000.000 → x = 10.000.000y  x 2 ⋅ y 2 = 10.000.000.000  100.000.000.000.000y4 = 10.000.000.000 → y4 = 1 / 10.000 → y = ±1 / 10 → x = ±1.000.000 Los valores negativos no son válidos pues log x y log y no existen en esos casos → la solución es x = = 1.000.000, y = 1 / 10  x log  = log(10 ) e)   y  ;  3 log x ⋅ y = log(100.000 )

(

)

x  y = 10 ;  x ⋅ y 3 = 100.000 

x = 10y;

10y4 = 100.000;

y4 = 10.000;

y = 10;

x = 100

212 = y3;

f) x = 20 − y;

x = 2 / 16 = 8

log(20 − y) + log(y) = 2; log [(20 − y)y] = log 100; 20y − y2 = 100;

y2 − 20y + 100 = 0;

y = 10;

x = 20 − 10 = 10

log(x ⋅ y ) = log(1.000 )  29. a)   x 2  1 ; log 2  = log 10     y 

x ⋅ y = 1.000  2 ; 1 x  2 = 10 y 1.000.000 1 = ; 10 y4

x 2 − y 2 = 11 f)  ; log(x / y ) = log(10)

x = 10y;

100y2 − y2 = 11;

99y2 = 11;

y = ±1 / 3

x = 10 / 3

x = 1.000 / y

Página 42 Piensa y contesta

10.000.000 = y4;

x = 1.000 / 56,234 = 17,782 b) x = 110 − y;

El del tercero mide

log [y (110 − y)] = log 1.000; 110y − y2 = 1.000;

y2 − 110y + 1.000 = 0;

)

log x 2 ⋅ y = log(1 / 1.000) x 2 ⋅ y = 1 / 1.000 c)  ; xy = 1 xy = 1

1  x y = = 1 → x = 1 / 1.000 → 1.000x 2 →  1.000 x 2 xy = 1  → y = 1.000

La solución es válida. d) x = 20 + y;

log (20 + y) + log y = log 100; y2 + 20y − 100 = 0;

y = −24,142 → No es una solución válida porque log (−24,142) no existe. y = 4,142 → x = 20 + 4,142 = 24,142

( ) ( )

log 2 (x ⋅ y ) = log 2 2 7 ; e)  log 2 x 2 / y = log 2 2 2

)

x ⋅ y = 2 7 ;  2 x / y = 2 2

( 2)

3

=

1 2 2

1

( 2)

n −1

m → A4 =

m → An =

1 2 m 8

1 2

n −1

m2

Las áreas forman una progresión geométrica cuyo primer término es 1 y su razón es 1 / 2. Sn =

1 − 1 ⋅ (1 / 2) n 127 1 1 = → n = →n=7 1 − 1/ 2 64 128 2

Debemos tomar 6 cuadrados aparte del primero. 30. a) u = 2x, v = 3y

v  u + = 5 ; 3  2u + 8v = 76 

3u + v = 15 ;  2u + 8v = 76

u=2→x=1

v=9→y=2

b) u = 2x, v = 5y ;

log [y (20 + y)] = log 100; 20y + y2 = 100;

( 2)

1 2 m 2

1 1 m → A3 = m2 2 4

=

2

1

m → A2 =

2

1

El del enésimo mide

y1 = 10 → x1 = 110 − 10 = 100 y2 = 100 → x2 = 110 − 100 = 10

1

• El lado del segundo mide

El del cuarto mide

log (110 − y) + log y = 3;

(

x 2 − y 2 = 11 ;  x / y = 10

La solución negativa no nos sirve porque log (−1 / / 3) no existe.

y = 56,234;

(

y = 16

7

u + v = 9 ;  4u − 5v = −9

u = 9 − v ;  4u − 5v = −9

36 − 4v − 5v = −9;

9v = 45;

v = 45 / 9 = 5;

u=9−5=4

u=4→x=2

v=5→y=1 c) u = 2x, v = 3y ;

u − v / 3 = 5  2u + 8v = 712

u = 5 + v / 3;

2 (5 + v / 3) + 8v = 712;

x = 27 / y;

26v / 3 + 10 = 712; u = 5 + 81 / 3 = 32

v = 702 ⋅ 3 / 26 = 81

214 = 22 ; 3 y

u = 32 → x = 5 v = 81 → y = 4 2-9

d) u = 2x, v = 2y

v = 4 → u = 2 → y = 2, x = 1

u + v = 10  ; u  2 = 4

v = 2 → u = 4 → y = 1, x = 2

v = 2; e) u = 2x, v = 5y

u = 8;

e) x + y = 3;

log (3 − y + 2) − log y = log 100.000;

x = 3, y = 1

log [(5 − y) / y] = log 100.000; (5 − y) / y = 100.000;

u + v = 9  ; u  2 + 5v = 9

u + v = 9  u + 10v = 18

u=8→x=3

v=1→y=0

f) u = 2x, v = 3y;

3u − 2 v = −6 ;  4u − 3v = −11

 3u + 6 =v  2 ;   4u + 11 = v  3

4u + 11 3u + 6 = ; 3 2

8u + 22 = 9u + 18;

u=4

x=3+y

log [4(3 + y) / y] = log (1 / 10); (12 + 4y) / y = 1 / 10; y = −40 / 13;

Como log (−40 / 13) no está definido, la ecuación no tiene solución.

c) x ≤ −4

31. a) u = 2 , v = 3 ;

d) x < −3

u = 4,v = 3

e) x > −6 / 3 = −2 f) x ≤ −5 33. a) 1ª ecuación → x ≤ −5

u=4→x=2

2ª ecuación → x ≤ −5

Son equivalentes.

v=3→y=1 b) u = 5x, v = 6y;

b) 1ª ecuación → x ≤ 1

2ª ecuación → x ≤ 1

Son equivalentes. u = 1 / 25, v = 6

Página 44

u = 1 / 25 → x = −2

34. a) mcm (6, 2) = 6 → 5x − 24 ≤ 18x + 3;

v=6→y=1 2

y+3

y

− 2 = 7 /4;

−27 ≤ 13x;

−27 / 13 ≤ x

b) mcm (5, 10) = 6 → 2 (x − 3) + 10 > 3x;

8u − u = 7 / 4;

7u = 7 / 4;

u = 1 / 4;

y = −2;

2x + 4 > 3x;

4>x

c) mcm (4, 3, 6) = 12 → 3x − 48 ≥ 20x − 2;

−46 ≥ 17x;

x = −2 + 3 = 1 d) u = 2x, v = 2y;

−46 / 17 ≥ x

d) mcm (4, 2) = 4 → x − 6 (x − 2) ≤ 4 (x − 17);

u 2 + v 2 = 20 ;  2 2 u ⋅ v = 64

u2 = 20 − v2;

(20 − v2) ⋅ v2 = 64;

20v2 − v4 = 64;

v4 − 20v2 + 64 = 0; v = 4 → u = ±2 v = −4 → u = ±2 v = 2 → u = ±4 v = −2 → u = ±4 Las soluciones negativas no sirven, por lo tanto, son válidas: 2-10

f) x − y = 3;

b) x < 2 / 5

y

c) x = y + 3; u = 2y;

x = 3 − 5 / 100001 = 299998/100001

32. a) x > 5 / 2

v=9→y=2

75u − 12 v = −69 ;  75u − 2v = −9

y = 5 / 100001;

Página 43

u=4→x=2

6u − 4 v = 12 ;  20u − 8v / 3 = 72

5 − y = 100.000y;

120 + 40y = y;

v = (3 ⋅ 4 + 6) / 2 = 9

x

x = 3 − y;

−5x + 12 ≤ 4x − 68;

80 ≤ 9x;

80 / 9 ≤ x 35. a) −6x + 28 < 4x + 7;

21 < 10x;

21 / 10 < x; b) 8 − 3x ≥ 89 − 21x;

18x ≥ 81;

x≥9/2 c) 35 / 3 − 7x /12 ≤ 4x − 7;

56 / 3 ≤ 55x / 12;

224 / 55 ≤ x d) 66x − 7 < −18 + 30x ;

x < −11 / 36

36x < −11;

36. a) 5 ≥ x / 4;

20 ≥ x

Semirrecta cerrada a la izquierda de 20. b) 4x / 3 − 1 ≤ 9x / 4 − 2;

1 ≤ 11x / 12;

d) x1 = 3, x2 = 7 f(5) = −4 < 0 Solución: (−∞, 3] ∪ [7, +∞)

12 / 11 ≤ x Semirrecta cerrada a la derecha de 12 / 11. c) x / 4 − 5 / 4 ≤ 1 + x / 3;

−9 / 4 ≤ x / 12;

−27 ≤ x; Semirrecta cerrada a la derecha de −27. e) −7x / 12 − 47 / 12 ≤ 5 / 4 − x / 2;

−31 / 6 ≤ x / 12;

−62 ≤ x

Semirrecta cerrada a la derecha de −62 e) −5 / 2 ≤ −103 / 12 + 2x / 3;

73 / 12 ≤ 2x / 3;

e) x2 + 3x − 10 > 0

f(0) = −10 < 0

x1 = −5, x2 = 2 Solución: (−∞, −5) ∪ (2, +∞)

73 / 8 ≤ x

Semirrecta cerrada a la derecha de 73 / 8.

Página 45 37. a) x1 = −2, x2 = 4

f(0) = −8 < 0

Solución: [−2, 4] f) x2 + x − 12 ≤ 0;

f(0) = −12 < 0

b) x2 − 2x − 24 < 0

f(0) = −24 < 0

x1 = −4, x2 = 3 Solución: [−4, 3]

x1 = −4, x2 = 6 Solución: (−4, 6)

38. a) x2 − 2 − 3x ≥ 4x − x2 + 1;

2x2 − 7x − 3 ≥ 0;

x1 = −0,386; x2 = 3,886

f(0) = −3 < 0; Solución: (−∞, −0,386] ∪ [3,886, +∞) c) x2 + 3x − 10 ≤ 0;

x1 = −5, x2 = 2

f(0) = −10 Solución: [−5, 2]

b) −3x2 − 8x + 31 ≤ x2 − 2x + 11;

−4x2 − 6x + 20 ≤ 0;

x1 = −3,108; x2 = 1,608

f(0) = 20 > 0; Solución: (−∞,−3,108] ∪ [1,608, +∞) 2-11

(−∞, − 1] ∪ [1,+∞) ; 43. a)  [− 2,2] Solución: [−2, −1] ∪ [1, 2] (− ∞,−4] ∪ [1,+∞) b) [(− ∞,−1] ∪ [2,+∞)] ;  Solución: (−∞, −4] ∪ [2, +∞) 39. x2 / 4 +11x / 6 +13 / 12 ≤ 2 / 3 − x / 2;

Página 47 x − 6 ≥ 0 x ≥ 6 44. a)  →  → No hay solución x − 3 < 0 x < 3

x2 / 4 + 7x / 3 + 5 / 12 ≤ 0; x1 = −9,151; x2 = −0,182

x − 6 ≤ 0 x ≤ 6 →  → (3, 6]  x − 3 > 0 x > 3

f(0) = 5 / 12 > 0; Solución: [−9,151; −0,182]

La solución es (3, 6].

b)

4x − 8 −2≤0; x+4

2 x − 16 ≤0 x+4

2 x − 16 ≥ 0 x ≥ 8 →  → No hay solución  x + 4 < 0 x < −4 2 x − 16 ≤ 0 x ≤ 8 →  → (−4, 8]  x + 4 > 0  x > −4

40. Actividad personal, por ejemplo: a) x2 − 9x + 18 < 0 2

2

e) x − 5x + 6 ≥ 0

2

f) x2 − x − 12 > 0

b) x + x − 6 ≤ 0 c) x − 16 ≥ 0

c)

Página 46 x ≤ 6 41. a)  x ≤ 10

Solución: (−4, 8]

d) x2 + x − 20 ≤ 0

− 14x + 22 ≥ 0 x ≤ 11 / 7 → → (−∞ ,4 / 3)  − 4 + 3x < 0 x < 4 / 3

La semirrecta cerrada a la izquierda de x = 6. x < −7 b)  − 7 < x

x ≤ −8 / 7 d)  − 4 / 3 < x Solución: (−4 / 3, −8 / 7] = (−1,3; −1,143] El intervalo semiabierto por la izquierda de extremos −1,3 y 1,143. [2,+∞) ; 42. a)  (−∞,−3) ∪ (3,+∞) (− ∞,5] b) [1,3] ;  2-12

Solución: (3,+ ∞)

Solución: (−∞ ,4 / 3) ∪ (11 / 7 , +∞)

d)

( x − 2)( x − 3) ≤0 2 x − 10 ( x − 2)( x + 3) ≤ 0 2 ≤ x ≤ 3 →  → No hay  2 x − 10 > 0 x > 5 solución ( x − 2)( x + 3) ≥ 0 x ≤ 2, x ≥ 3 →  → (−∞, 2] ∪  2 x − 10 < 0 x < 5 ∪ [3, 5) Solución: (−∞, 2] ∪ [3, 5)

Solución: [1, 3]

−14x + 22 ≤0 − 4 + 3x

− 14x + 22 ≤ 0 x ≥ 11 / 7 → → (11 / 7 , +∞)  − 4 + 3x > 0 x > 4 / 3

Solución: x ≤ 6 → (−∞, 6]

No tiene solución. 4 ≤ x No tiene solución c)  x ≤ −2

2x − 6 −4 ≤ 0; 4 − 3x

x + 1 > 0 x > −1 →  e)  → (5, +∞) x − 5 > 0 x > 5

b)

−13 + 22x ≤0 − 3 + 7x

x + 1 < 0 x < −1 → (−∞, −1) →   x − 5 < 0 x < 5

− 13 + 22 x ≤ 0 x ≤ 13 / 22 →   − 3 + 7 x > 0 x > 3 / 7

Solución: (−∞, −1) ∪ (5, +∞)

− 13 + 22 x ≥ 0 x ≥ 13 / 22 →   − 3 + 7 x < 0 x < 3 / 7 Solución: (3 / 7, 13 / 22]

2

f)

x −9 −3≥ 0; 4−x

2

x + 3x − 21 ≥0; 4−x

( x − 5)( x + 5) ≤ 0 → c)  4 − x > 0

x 2 + 3x − 21 ≤ 0 − 6,321 ≤ x ≤ 3,321 →  → No  4 < x 4 − x < 0 hay solución. x 2 + 3x − 21 ≥ 0 →  4 − x > 0

x ≤ −6,321, x ≥ 3,321 →  4 > x

( x − 5)( x + 5) ≥ 0 x ≤ −5,5 ≤ x →   4 − x < 0 4 < x Solución: [−5, 4) ∪ [5, +∞) d)

→ (−∞, −6,321) ∪ [3,321, 4)

−7 x − 30 +x ≤0; 2 − 5x

Solución: (−∞, −2) ∪ [−1, 12] e)

− 5x 2 − 5x − 30 ≥ 0 → sin solución  2 − 5 x < 0

− x + 29 − 4 x 2 ≥ 0 − 2,82 ≤ x ≤ 2,57 →   x > 1 x − 1 > 0

Solución: (−∞, 2 / 5)

Solución: (−∞, −2,82] ∪ (1, 2,57) f)

− 3 < x < 3 → [− 3,3]  cualquier x

93 − 245x ≥ 0 x ≥ −93 / 245 →   − 3 + 7 x > 0 x > 3 / 7

Solución: [− 3,3]

Solución: [93 / 245, 3 / 7) g)

−6x + 16 <0 x−4

Solución: (−∞, 8 / 3) ∪ (4, +∞)

9x − 2 <0 5x − 1 9x − 2 < 0 x < 9 / 2 →   5x − 1 > 0 x > 1 / 5

− 6 x + 16 < 0 x > 8 / 3 →   x − 4 > 0 x > 4 − 6 x + 16 > 0 x < 8 / 3 →   x − 4 < 0 x < 4

93 − 245x ≥0 − 3 + 7x 93 − 245x ≤ 0 x ≤ −93 / 245 →   − 3 + 7 x < 0 x < 3 / 7

( x − 3)( x + 3) ≥ 0 → sin solución.  2 x + 6 < 0

45. a)

− x + 29 − 4 x 2 ≥0 x −1 − x + 29 − 4 x 2 ≤ 0 x ≤ −2,82; 2,57 ≤ x →   x < 1 x − 1 < 0

→ (−∞, 2 / 5)

( x − 3)( x + 3) ≤ 0 h)  2 → x + 6 > 0

− 1 ≤ x ≤ 12  x > −2

( x + 1)( x − 12) ≥ 0 x ≤ −1,12 ≤ x →   x + 2 < 0 x < −2

− 5x 2 − 5x − 30 ≤ 0; 2 − 5x

− 5x 2 − 5x − 30 ≤ 0 cualquier x →  →  x < 2 / 5 2 − 5 x > 0

x 2 − 11x − 12 ≤0 x+2 ( x + 1)( x − 12) ≤ 0 →  x + 2 > 0

Solución: (−∞, −6,321) ∪ [3,321, 4)

g)

− 5 ≤ x ≤ 5  4 > x

9 x − 2 > 0 x > 9 / 2 →   5x − 1 < 0 x < 1 / 5 Solución: (1 / 5, 2 / 9) h)

20x − 7 >0 14x − 17 2-13

20x − 7 < 0 x < 7 / 20 →   14x − 17 < 0 x < 17 / 14 20x − 7 > 0 x > 7 / 20 →   14x − 17 > 0 x > 17 / 14

Página 48 46. a) y ≥ 7 − x 0 < 7 → El origen de coordenadas no pertenece a la solución

e) y > 2x − 1

−2 < 0 → El origen de coordenadas pertenece a la solución.

b) y ≥ x

1 − 2 < 0 → El punto (1, 2) pertenece a la solución

f) y > −x / 3 + 2 / 3

0 < 2 / 3 → El origen de coordenadas no pertenece a la solución

c) 2x − 5 / 3 ≤ y

−5 / 3 < 0 → El origen de coordenadas pertenece a la solución

47.a) 6x − 12y +21 < 12x − 15y + 19;

y < 2x − 2 / 3

d) y ≥

4−x 2

−1 < 3 → El origen de coordenadas no pertenece a la solución 2-14

b) 2 − 23x / 3 + 3y / 5 ≤ −27 / 2 − 12y;

b)

y ≤ −155 / 126 + 115x / 189

x=4

y=1

 y > −3 − 2 x c)  3x − 3 ≤ y

c) 3x / 2 + y ≤ −13 − 5y + 2x;

y ≤ −13 / 6 + x /12 y = 3x - 3 y = -3 - 2x

 y ≥ −2 d)  y < 4 − x y=4-x

48. a) Semiplano cerrado por encima de la recta horizontal y = 2. b) Semiplano cerrado por debajo de la recta horizontal y = 3. c) Semiplano cerrado a la derecha de la recta vertical x = 0.

y = -2

x ≤ 0 e)  x / 3 ≤ y

d) Semiplano abierto a la izquierda de la recta vertical x = 0.

y=x/3

e) Semiplano abierto a la derecha de la recta vertical x = −3.

x=0

49. y > −3x + 9

 y > −2 x − 3 f)  3x − 3 ≤ y

Página 50 50. a) -x + 4 = y

y =3x − 3

y = −2x − 3

x-2=y

2-15

− 3x / 2 + 3 / 4 ≥ y 51.a)   y ≤ −3x − 2

y=x y=4 y=1

y=x-5

y = −3x / 2 + 3 / 4

y = −3x − 2

x − 4 ≥ y  53. a)  y ≤ 3x + 5 x − 1 ≥ y 

 y ≥ 3x / 2 + 12 b)   y ≤ x + 15

y = 3x + 5

y=x−4

y=x−1

y = x + 15

y = 3x / 2 + 12

x ≥ y  b)  y ≤ 2x + 1 y ≥ 1 − x 

52. a) Si añadimos x + 8 ≤ y el sistema no tiene solución:

y=x

y=1−x y = 2x + 1

y=x+6

y=x-2

b) Si añadimos x < −1, el sistema no tiene solución.

Página 55 P1.Es la que se puede transformar en otra equivalente que tiene en el primer miembro un polinomio y en el otro miembro, el 0.

Actividad personal. y = −x − 6

P2.Es aquella de la que, si le aplicamos las reglas de transformación, obtenemos la forma: ax2 + bx + c = 0

La expresión que nos proporciona las soluciones es: c) Si añadimos x ≤ 0 el sistema no tiene solución: 2-16

x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

P3.Una ecuación de segundo grado puede tener 0, 1 ó 2 soluciones. Si Δ = b2 − 4ac > 0 tiene dos soluciones reales diferentes. Si Δ = 0 tiene dos soluciones reales iguales. Si Δ < 0 no tiene soluciones reales. P4. Bicuadradas. Actividad personal. Se debe resolver la ecuación at2 + + bt + c = 0 donde t = x2. Finalmente, las soluciones se obtienen deshaciendo el cambio, es decir, x = ± t . Actividad personal. P5.Son las ecuaciones en las que la incógnita se encuentra bajo el signo radical. Para solucionarlas: 1. Se aísla un radical. 2. Se elevan ambos al cuadrado. 3. Se repite el proceso hasta eliminar todos los radicales. 4. Se resuelve la ecuación resultante. 5. Se comprueban las soluciones. Actividad personal. P6.Una ecuación es exponencial cuando tiene la incógnita en el exponente y es logarítmica cuando se encuentra detrás del símbolo de la operación logaritmo. Actividad personal. P7. Compatibles determinados → 1 solución. Compatibles indeterminados → Infinitas soluciones. Incompatibles → sin solución. P8.Consiste en transformar el sistema en uno equivalente que sea escalonado.

54. a) 5x = 40x − 24 − 16; x = 40 / 35 = 8 / 7

b) 15x − 15 + 20x + 20 = 0; 35x = −5; x = −5 / 35 = −1 / 7 c) mcm (4, 8) = 8 → 16x + 6x = 16x − 6; 6x = −6;

x = −1

d) mcm (6, 2, 12) = 12 → 2x + 6x = 8; 8x = 8;

x=1

55. a) mcm (4, 10) = 20 → 10 (x − 2) + 2 (x − 4) = 140; 10x − 20 + 2x − 8 = 140; 12x = 168; x = 14 b) mcm (5, 3) = 15 → 3 (3x − 1) − 5 (2x + 1) = −15; 9x − 3 − 10x − 5 = −15; 9x = 306;

x = 34

d) mcm (6, 9, 30) = 90 → 15x − 10 (x + 3) = 3x; 15x − 10x − 30 = 3x; 56. a) −13x + 50 = 99x − 450;

b) 48x + 157 = −1215 + 234x; 186x = 1372;

P13.Por ejemplo: x ≤ y P14.La región factible es la intersección de todas las regiones que son solución de las inecuaciones del sistema y, por lo tanto, es la solución del sistema.

x = 1372 / 186 = 686 / 93

c) 52x − 34 = −45 + 40x; 12x = −11;

x = −11 / 12

57. a) Δ = 1 + 24 = 25 > 0 → 2 soluciones reales b) Δ = 25 − 16 = 9 > 0 → 2 soluciones reales c) Δ = 1 + 8 = 9 > 0 → 2 soluciones reales d) Δ =169 − 160 = 9 > 0 → 2 soluciones reales 58. a) x1 = 4, x2 = 11

c) x2 / 2 + x − 4 = 0

3. Se comprueba si algún punto, en general el origen de coordenadas, verifica la inecuación. Si es así, la solución es el semiplano que contiene a este punto.

112x = 500;

x = 500 / 112 = 125 / 28

P10.Se invierte el sentido de la desigualdad.

2. Se representa la gráfica de la función asociada a la inecuación.

2x = 30;

x = 15

b) x2 − 144 + 7x = 0

P12.1. Se despeja y en la inecuación.

x=7

c) 8x − (x − 2) = 16 (x − 19); 8x − x + 2 = 16x − 304;

P9.Una desigualdad entre dos expresiones algebraicas. Actividad personal.

P11.Actividad personal.

35x = 40;

x1 = 0, x2 = 137 x1 = −4, x2 = 2 d) x2 + 3 = 0 No tiene solución. e) x2 + 10x − 6 = 0 x1 = −5 +

31 , x2 = −5 −

31

2

f) 10x + 17x + 30 = 0; No tiene solución. g) x1 = 0,4; x2 = 0,5 h) x2 / 2 − 2x / 3 − 5 = 0 x1 =

2 + 94 2 − 94 , x2 = 3 3 2-17

i) −x2 + 4x − 30 = 0

No tiene solución. j) −2x2 + 38x − 138 = 0

t1 =

−5 + 13 8 = = 4 → x1 =2, x2 = −2 2 2

t2 =

−5 − 13 −18 = = −9 → No hay más soluciones. 2 2

x1 = 4,89, x2 = 14,10 59. a) x = ± 216 / 6 = ± 36 = ±6 b) x = ± 4 / 16 = ±1 / 2

c) t =

37 ± 1369 − 144 37 ± 1225 37 ± 35 = = 8 8 8

t1 =

37 + 35 72 = = 9 → x1 = 3, x2 = −3 8 8

t2 =

37 − 35 1 = → x3 = 1 / 2, x4 = −1 / 2 8 4

c) x = ± 3 d) x = ± 1 / 144 = ±1 / 12 60. Actividad personal, por ejemplo: a) (x − 5) (4x − 1) = 4x2 − 21x + 5 = 0 b) (8x + 3) (16x + 1) = 128x2 + 56x + 3 = 0 c) (3x − 4) (6x − 5) = 18x2 − 39x + 20 = 0 d) (3x − 2) (−3x − 2) = −9x2 + 4 = 0 2

2

61.a) x − 5kx + 4k = 0 → x1 = k, x2 = 4k

1 2k 2 + 1 1 = 0 → x1 = k, x2 = + 2k 2 2k

b) x2 −

c) x2 − 4x + (4k − k2) = 0 → x1 = k, x2 = 4 − k

d) t =

17 ± 289 − 288 17 ± 1 17 ±1 = = 2 2 2

t1 =

17 + 1 18 = = 9 → x1 = 2 2

t2 =

17 − 1 16 = = 8 → x2 = 2 2 2

e) t =

La ecuación es x2 + 7x + 12 = 0. La otra solución es x = −3. 63.a) x1 = 18 / 3 = 6, x2 = −2 b) x1 = 1 / 2, x2 = 3 / 5 c) x1 = 3, x2 = 17 d) x = 2 e) x = −4 f) x1 = 9 / 2, x2 = 7 / 3

t1 =

12 + 2 14 = = 7 → x1 = 7 , x2 = − 7 2 2

t2 =

12 − 2 10 = = 5 → x3 = 2 2

t=

46 ± 2116 − 180 46 ± 1936 46 ± 44 = = 18 18 18

t1 =

46 + 44 90 = = 5 → x1 = 5 , x2 = − 5 18 18

t2 =

46 − 44 1 = → x3 = 1 / 3, x4 = −1 / 3 18 9

g) x = ±3, ±5 h) x8 − 17x4 + 16 = 0;

17 ± 289 − 64 17 ± 225 17 ±15 = = 2 2 2

t1 =

17 + 15 32 = = 16 → x1 = 2, x2 = −2 2 2

t2 =

17 − 15 2 = = 1 → x3 = 1, x4 = −1 2 2

64.a) x1 = 0, x2 = 6, x3 = −1 b) x = 3 − 16 / 2 = -2 c) x1 = 144 / 4 = 6 , x2 = −6, x3 = 5 d) x1 = 81 = 9 , x2 = −9, x3 = 98 / 2 = 7 , x4 = −7 65.a) t =

9 ± 81 − 56 9 ± 25 9 ± 5 = = 2 2 2

t1 =

9 + 5 14 = = 7 → x1 = 7 , x2 = − 7 2 2

9−5 4 = = 2 → x3 = 2 , x4 = − 2 t2 = 2 2 b) t = 2-18

− 5 ± 25 + 144 − 5 ± 169 − 5 ±13 = = 2 2 2

5 x4 = − 5

f) 9x4 − 46x2 + 5 = 0;

t=

Página 56

9

12 ± 144 − 140 12 ± 4 12 ±2 = = 2 2 2

62. x2 + bx + 12 = 0

Se verifica: 16 − 4b + 12 = 0 → b = (−12 − 16) / (−4) = =7

3

66.a) x1 = 2, x2 = −2, x3 = −3 c) x1 = 5, x2 = −1, x3 = −1 b) x1 = 1, x2 = −4, x3 = 4 d) x1 = 1, x2 = −2, x3 = 3 67. a) −5, 2, −2, −2 b) −4, 3, −3, −3 c) x5 − 3x4 − 13x3 + 39x2 + 36x − 108 = 0

2, −3, −2, 3, 3 d) x5 − 2x4 − 10x3 + 20x2 + 9x − 18 = 0

1, 2, 3, −3, −1 68. a) −4, 2, −2, −1

b) 2, 3, −5, −3

74. a)

c) −6, −2, 2, 2 e) x7 + x6 − 14x5 − 14x4 + 49x3 + 49x2 − 36x − 36

Las soluciones son:

b) 2 2 x 2 + 1 = 5x − 4 ;

1, 2, 3, −3, −2, −1, −1

4 (2x2 + 1) = 25x2 − 40x + 16;

69. Actividad pesonal.

8x2 + 4 = 25x2 − 40x + 16;

70. Actividad personal.

17x2 − 40x + 12 = 0 → x1 = 2, x2 = 6 / 17 x1 = 2 es válida ya que los dos de la ecuación valen 7 evaluados en x = 2. x2 = 6 / 17 no es válida ya que el primer miembro vale 55 / 17 y el segundo vale −21 / 17.

71. 3 72. a) 27x + x3 + x2 + 12 = 10x (x + 1);

27x + x3 + x2 + 12 = 10x2 + 10x; x3 − 9x2 + 17x + 12 = 0; x1 = 4, x2 = −0,541, x3 = 5,541

c)

Las tres soluciones son válidas. x2 + 10x + 9 = 0 → x1 = −1, x2 = −9 Las dos soluciones son válidas.

d) x − 1 =

c) mcm (x + 5, 3x − 7) = (x + 5) (3 − 7) = 3x2 + 8x − − 35

3x2 − 4x − 7 = 3x2 + 7x − 40; 75. a)

La solución es válida ya que los dos de la ecuación evaluados en x = 3 valen 1 / 2.

8x = x2 − 32x + 256;

x2 − 40x + 256 = 0;

x1 = 8, x2 = 32

24 + 8 (x + 1) = 3 (x2 − 1);

Si x = 8, el primer miembro de la ecuación vale 4 − 5 = −1 ≠ 1 y, por lo tanto, no es una solución válida.

24 + 8x + 8 = 3x2 − 3; 3x2 − 8x − 35 = 0; x1 = 5, x2 = −7 / 3

Si x = 32, el primer miembro vale 8 − 7 = 1 y, por lo tanto, es solución válida.

Las dos soluciones son válidas. b)

− x2 + 7x −16 = 0;

2x + 3 = 2 + x − 2 ;

2x + 3 = 4 + 4 x − 2 + x − 2;

No tiene solución. b) mcm (x, x2 − 1, x2 − x, x − 1) = x3 − x 2

5x − 13 = −3x − 2x + 1;

x+1=4 x−2 ;

x2 + 2x + 1 = 16x − 32;

x2 − 14x + 33 = 0;

x1 = 3, x2 = 11

Las dos soluciones son válidas.

8x2 + 2x − 14 = 0

c)

x1 = −1,453; x2 = 1,203 Las dos soluciones son válidas. 2

2 x − 1 = x + 17 ;

2x − 2 2x + 1 = x + 17; 2 2x = x − 16;

d) mcm (x − 1, x2 − 1) = (x + 1) (x − 1) = x2 − 1

73. a) mcm (x − 1, x + 1, x2 − 1) = x2 − 1

x 2 − 2x + 1 ; 36x − 36 = x2 − 2x + 1; 36

x2 − 38x + 37 = 0 → x1 = 1, x2 = 37 Si x = 1, ambos términos de la ecuación valen 0 y si x = 37, valen 6, por lo tanto, las dos soluciones son válidas.

(3x − 7) (x + 1) = (x + 5) (3x − 8); 11x = 33 → x = 3

x x2 3x ; x+9=9+ + 8 64 4 2 64x + 576 = 576 + x + 48x; x +9 =3+

x2 − 16x = 0; x1 = 0, x2 = 16 Ambas soluciones son válidas.

b) 15 − x (x + 4) = 6 (x + 4); 15 − x2 − 4x = 6x + 24;

2

3x + 1 = x2 − 2x + 1;

x2 − 5x = 0; x (x − 5) = 0; x1 = 0, x2 = 5 La solución x = 0 no es válida ya que 3 ⋅ 0 + 1 + 1 = 2 ≠ 0.

d) 2, 4, −3 / 2, −6

7x − 2 − x2 = 14;

3x + 1 = x − 1 ;

2

c) mcm (x − 4, x + 2, x − 2) = x − 4

−23 − 5x (x − 2) = −6 (x2 − 4) − 2 (x + 2); 2

x + 12x – 43 = 0;

x+7 =2 x −5;

3x = 27;

x + 7 = 4x − 20; x=9

La solución es válida. d) 9x + 9 = 3 3x + 7 ;

81x2 + 162x + 81 = 27x + 63; 81x2 + 135x + 18 = 0;

x1 = −14,888; x2 = 2,888

x1 = −1,52 no es válida.

Las dos soluciones son válidas.

x2 = −0,14 sí lo es. 2-19

76. a)

(x − 4)(x + 1) = 36;

x − 4 x +1 = 6 ; x2 − 3x − 4 = 36;

x2 − 3x − 40 = 0;

x1 = −5, solución no válida. x2 = 8, solución válida. b) mcm (x − x , x + x ) = x2 − x 2

(x + x ) + (x − x ) = x − x; 2x = x2 − x;

x2 − 3x = 0;

 x 2 − 1  = log 100 ; e) log   x +1 

x2 −1 = 100 ; x +1

x2 − 1 = 100(x + 1);

x2 − 101 − 100x = 0;

x1 = 0, solución no válida.

x1 = −1, x2 = 101

x2 = 3, solución válida.

Si x = −1, log (x + 1) no está definido → no es válida.

c) mcm (1 − x − 4 ,

x ) = (1 − x − 4 ) x

x

x − 4 = 1 − (x − 4);

x

x − 4 = 5 − x;

25 − 6x = 0;

(

(

)

1 + 63 + 2 x = 3 ;

1 + 63 + 2 x = 9 ;

63 + 2 x = 8 ;

63 + 2x = 64 ;

2x = 1 ;

2x = 1;

x=1/2

 x2   = log 4 ; 78. a) log   − x 1  

x2 − 4x + 4 = 0;

x2 = 4; x −1 x1 = x2 = 2

La solución es válida.  x + 3 x b) log  = log  ;  x − 3 2

x+3 x = ; x−3 2

2x + 6 = x2 − 3x; x2 − 5x − 6 = 0 → x1 = 6, x2 = −1 Si x = 6 los dos de la ecuación valen log 3 → la solución es válida. Si x = −1, log x no existe y, por lo tanto, la solución no es válida.   = log(1.000) ;  

2

3

8 − x = 8 − 12x +6x − x ;

x = 25 / 6

77. 1 + 1 + 63 + 2 x = 4 ;

4x 2 = 1.000 ; x

4x (x − 250) = 0; 4x2 − 1.000x = 0; x1 = 0, x2 = 250 Si x = 0, log 4x2 y log x no existen. x = 250 es una solución válida.  ( x + 1) 2 d) log  3x − 3

)

1012 − 1 10.200 = = 100 → es válida. 101 + 1 102

3

La solución es válida.

 4x 2 c) log  x

Si x = 101,

f) log 8 − x 3 = log (2 − x ) 3 ; 8 − x3 = (2 − x)3;

x (x − 4) = 25 + x2 − 10x;

 ( x + 1) 2  = log(1.000) ; = 1.000 ;  3x − 3 

x2 + 2x + 1 = 3.000x − 3.000; x2 − 2.998x +3.001 = 0; x1 = 1.499 + 20 5.610 ; x2 = 1.499 − 20 5.610 2-20

Los dos de la ecuación valen 3 cuando evaluamos en x1, por lo tanto, es ésta una solución válida. Cuando evaluamos en x2, el primer miembro vale 3,000037061 y el segundo vale 3, por lo tanto, no es una solución válida.

6x2 − 12x = 0;

6x (x − 2) = 0; x1 = 0, x2 = 2 Si x = 0, los dos de la ecuación valen log 8 → la solución es válida. Si x = 2, log (8 − x3) y log (2 − x) no existen → la solución no es válida. 79. log5 (log2 x) = 1;

log2 x = 5;

5

x = 2 = 32 80. a) 1 − x2 = −3;

x2 = 4;

x = ±2 b) 9 ⋅ 3x − 3 ⋅ 3x + 3x = 63

t = 3x → 9t − 3t + t = 63 → 7t = 63 → t = 63 / 7 = = 9 = 32 → x = 2 c) 23 ⋅ 2x = (25)2 / x; 2

x + 3x = 10;

x + 3 = 10 / x; x2 + 3x − 10 = 0;

x1 = 2, x2 = −5 Si x = 2 los dos de la ecuación valen 32 y si x = −5 valen 1 / 4 → las dos soluciones son válidas. d) x + 1 = −(x − 1); x=0

2x = 0;

Si x = 0 ambos lados de la ecuación valen 5 → la solución es válida. e) 5x + 5x / 5 + 5x / 25 = 31 t = 5x → t + t / 5 + t / 25 = 31 → 25t + 5t + t = 775 → 31t = 775 → t = 25 = 52 → x = 2 La solución es válida. f) 3

3 x −9

= 3x ;

3x − 9 = x;

x=9/2 Si x = 9 / 2 los dos de la ecuación valen 81 3 log 43 81. a) x + 1 = = 1,809 → x = 0,809 log 8 La solución es válida.

b) 22x − 1 = 37 / 6 → 2x − 1 =

log(37 / 6 ) = 2,624 log 2

x = (2,624 + 1) / 2 = 1,812 La solución es válida. c) 3x − 5 = ln 7; La solución es válida.

4 ; 4x log 4 = 0,558 ; x= log 12

d) 3 x =

e) 5 − 3x =

x = (ln 7 + 5) / 3 12x = 4; La solución es válida.

log 75 = 2,219 → x = (5 − 2,219) / 3 = log 7

= 0,927 La solución es válida. f) e 2 x

2

−8

x= ±

=7;

2x2 − 8 = ln 7;

ln 7 + 8 ; 2

Página 57 x + 54 − 6x = 29;

x + 3 (18 − 2x) = 29; 5x = 25;

x=5→y=8 b) x = 11 − y;

33 − 3y + 8y = 76;

3 (11 − y) / 4 + 2y = 19; 5y = 43;

y = 43 / 5 → x = 12 / 5 x + y + z = 5  83. a) x − y + z = 9 ; 4 x + 2 y + z = 3 

e '2 = e 2 − e 1 e 3' = e 3 − 4e 1

x + y + z = 5  → y = −2, z = 7, x = 0  − 2y = 4  − 2 y − 3z = −17  x − y − z = 9  b) x + y + z = 7 ; x + 5y + 5z = 12 

' 2

e = e 2 + e1 ' 3

e = e 3 + 5e 1

x − y − z = 9  = 16 → No tiene solución 2 x 6 x = 57  x − y + 2z = 4  c)  y + 3z = −1 ; 4 x − 2z = 12  x − y + 2z = 4   y + 3z = −1 ;  4 y − 10z = −4 

x − 2 y + z = 0  d) x + y − z = 8 ; 2 x − y + z = 7 

e '2 = e 2 − e1 e 3' = e 3 − 2e1

x − 2 y + z = 0   3y − 2z = 8 ;  3y − z = 7 

e 3' = e 3 − e 2

x − 2 y + z = 0   3y − 2z = 8 → z = −1, y = 2, x = 5  z = −1  − x + y + 2z = 13  e) 3x − y + z = 0 ; 4 x + 3y + 2z = 12  − x + y + 2z = 13  2 y + 7z = 39 ;   7 y + 10z = 64 

x1 = −2,23, x2 = 2,23

82. a) y = 18 − 2x;

 x − y + 2z = 4   y + 3z = −1 → z = 0, y = −1, x = 3  − 22z = 0 

e 3' = e 3 − 4e1

e 3'

= e 3 − 4e 2

e '2 = e 2 + 3e1 e 3' = e 3 + 4e1

e 3' = 2e 3 − 7e 2

− x + y + 2z = 13  2 y + 7 z = 39 → z = 5, y = 2, x = −1   − 29z = −145  x − y + 3z = 12  f) 2 x + y + z = 8 ; x − 2 y + z = 10 

e '2 = e 2 − 2e1 e 3' = e 3 − e1

x − y + 3z = 12   3y − 5z = −16 ;  − y − 2z = −2 

e 3' = 3e 3 + e 2

x − y + 3z = 12   3y − 5z = −16 → z = 2, y = −2, x = 4  − 11z = −22  x + y = 4  g)  y + z = 7 ; x + z = 5  x + y = 4  y + z = 7 − y + z = 1 

e 3' = e 3 − e1

;

e 3' = e 3 + e 2

x + y = 4   y + z = 7 → z = 4, y = 3, x = 1 2 z = 8  2 x − y + z = −2  h) x + y + z = −1 ; 3x − y + z = 1 

e '2 = e 2 + e1 e 3' = e 3 − e1 2-21

2 x − y + z = −2  → x = 3, z = −6, y = 2 3x + 2z = −3 x = 3  2 x − y + z = 1  84.a) − x + 3y − z = 2 ; 4 x + 13y − z = 17  2 x − y + z = 1  y+z=4 ;   15 y − 3z = 15 

e '2 = e 2 + 2e1 e 3' = e 3 − 2e1

e 3' = e 3 − 15e 2

2 x − y + z = 1  y + z = 4 → z = 5 / 2, y = 3 / 2, x = 0   − 18z = −45  x + 3y − 2z = −7  b) 2x − 3y − z = −3 ; 3x + 3z = 6  x + 3y − 2z = −7   − 9 y + 3z = 11 ;  − 9 y + 9z = 27 

e '2 = e 2 − 2e1 e 3' = e 3 − 3e1

e 3' = e 3 − e 2

x + 3y − 2z = −7   − 9 y + 3z = 11 →  6z = 16 

→ z = 8 / 3, y = −1 / 3, x = −2 / 3 x − y + 2z = −4  c) 3x − 5y + 8z = −14 ;  x + 3y − 2z = 0  x − y + 2z = −4   − 2y + 2z = −2 ;  4y − 4z = 4 

e '2 = e 2 − 3e1 e 3' = e 3 − e1

e 3'

= e 3 + 2e 2

x − y + 2z = −4   − 2y + 2z = −2 → y = λ + 1, x = −λ − 3, z = λ  0=0  3x − 2 y + z = 1  d) 4 x + y − z = 8 ;  x + 3y − 2z = 7 

e '2 = e 2 − 3e1 e 3' = e 3 − e1

3x − 2 y + z = 1  = 9 → y = 7λ − 9, z = 11λ − 17, x = λ 7x − y 7x − y =9  2 x − 2 y − z = 11  ; e) x + 2 y − 2z = 7 − 3x − y + 2z = −13  2 x − 2 y − z = 11  − 3z = 18 ; 3x − 8x + 5z = −37  2-22

e '2 = e 2 + e1 e 3' = 2e 3 − e1

e 3'

2 x − 2 y − z = 11  − 3z = 18 → 3x − 9x = −21 

→ x = 7 / 3, z = −11 / 3, y = −4 / 3 2 x + 2 y − 6 z = 0  f) x − y =4 ; 3x − 2 y − 4z = 5  2 x + 2 y − 6 z = 0   − 4y + 6z = 8 ;  − 10 y + 10z = 8 

e '2 = 2e 2 − e1 e 3' = 2e 3 − 3e1

e 3' = 4e 3 − 10e 2

2 x + 2 y − 6 z = 0  → z = 0, y = 1, x = 5  − 4y + 6z = 8  − 20z = − 40  2 x + y = 7  g) x + y − z = 2 ; x − z =1 

=7 2 x + y  y 2z =−3; −   − y − 2z = −5 

e '2 = 2e 2 − e1 e 3' = 2e 3 − e1

e 3' = e 3 + e 2

=7 2 x + y  y − 2z = − 3 → z = 2, y = 1, x = 3   − 4z = −8  2 x − y + 3z = 3  + z =1 ; h) x 4 x − y + 5z = 5 

e '2 = 2e 2 − e1 e 3' = e 3 − 2e1

2 x − y + 3z = 3  → y = λ − 1, x = −λ + 1, z = λ  y − z = −1  y − z = −1  85. a) u = 1 / x, v = 1 / y

9u − 3v = 15  25 ;  u + v = 3  u + 3u − 5 =

25 ; 3

v = 3u − 5  25 ;  u + v = 3  4u =

40 ; 3

u = 10 / 3; v=5 Por lo tanto, x = 3 / 10, y = 1 / 5. 12 y + 12x = 7 xy ; b)  y = 2x − 2

12 (2x − 2) + 12x = 7x (2x − 2); 24x − 144 + 12x = 10x2 − 60x; 14x2 − 50x + 24 = 0; x1 = 3 → y1 = 4

= 3e 3 + 5e 2

x2 = 4 / 7→ y2 =−6 / 7 Las dos soluciones son válidas.

 x log  = log 10 ; 86. a)   y  log(xy ) = log 1.000 

x  = 10 ; y xy = 1.000 

x  = 10 ; y xy = 1.000 

x = 10 y ;  xy = 1.000

100y2 = 1.000;

y2 = 100;

y = ±10;

x = ±100

La solución negativa no es válida porque no existen log (−100) ni log (−10). La solución positiva es válida, es decir, x = 100, y = 10.

(

)

( )

log x 2 ⋅ y 3 = log 1013 x 2 ⋅ y 3 = 1013   b)   x  ; x 1 ; 1   log y  = log 10   y = 10       x 2 ⋅ y 3 = 1013 ;  10 x = y

103x5 = 1013;

x = 102 = 100; La solución es válida.

y = 1.000

( )

log(xy ) = log 10 c)  ; log x 3 / y 2 = log(1000)

(

)

xy = 10 ;  3 2 x / y = 1000

x = 10 / y; 5

5

1000 / y = 1000 ;

y = 1;

y = 1; La solución es válida.

x = 10

(

)

( ) ( )

log x 2 ⋅ y 3 = log 1010 x 2 ⋅ y 3 = 1010   ; x4 d)   x 4  ; −8 −8  = log 10 10 =  log   y   y 

x 2 ⋅ y 3 = 1010 ;   y = 10 8 x 4 x

14

= 10

−14

x = ±1 / 10

;

x = ±1/10, y = 10 , válida

 x 2 log  = log y ; e)   10  log(xy ) = log 10 7 

( ) ( )

x = 10 y 2 ; ; xy = 10 7

x 2  =y ; 10  xy = 10 7 

10y3 = 107;

x = 105; y = 102; La solución es válida.

)

35 x

x +1 = 10 ; 35

;

x

x (x + 1) = 350 ;

x (x +1)2 = 122500;

x3 + 2x2 + x − 122500 = 0; x = 49; y = 35 / 7 = 5 La solución es válida. 87. a) u = 4x, v = 2y

u + v = 12  ; u  4 + 4 v = 33

12 − v + 4 v = 33 ; 4 15v = 120;

u = 12 − v  ; u  4 + 4 v = 33 12 − v + 16v = 132; v = 120 / 15 = 8;

u = 12 − 8 = 4 Por lo tanto, x = 1, y = 3. b) u = 2x, v = 3y u  4 + 3v = 83 ;  4u + v = 41  3

u + 12 v = 332 ;  12u + v = 123

u = 332 − 12 v ;  12u + v = 123

12 (332 − 12v) + v = 123;

3.984 − 143v = 123;

v = 3.861 / 143 = 27;

u = 332 − 324 = 8 Por lo tanto: u=8→x=3 v = 27 → y = 3 Las dos soluciones son válidas. c) u = 3x, v = 2y

6u + 1,5v = 60 ;  15u + 0,875v = 29

10 24 x 14 = 1010 ;

4

(

y=

log x ⋅ y = log(35)  f)   x + 1  ;  = log(10 ) log   y 

 x ⋅ y = 35  ; x +1  y = 10 

60 − 1,5v  u = 6 ;  29 0,875v − u =  15

60 − 1,5v 29 − 0,875v = ; 6 15 726 − 17,25v = 0; v = 726 / 17,25 = 42,086 60 − 1,5 ⋅ 42,086 u= = −0,5125 6 El sistema no tiene solución porque no existe ningún x tal que −0,5125 = 3x d) u = 2x, v = 3y

14u − 27 / v = 55 ;  0,75u − 0,4444 v = −9 27 / v + 55  u = 14 ;  u = − 9 + 0,4444v  0,75 2-23

91. a) Semirrecta abierta a la izquierda de −2.

27 / v + 55 −9 + 0,4444v = ; 14 0,75

b) Semirrecta cerrada a la derecha de −4. c) Semirrecta abierta a la derecha de 0,5.

20,25 / v + 41,25 = −126 + 6,2216v;

d) Semirrecta cerrada a la derecha de 3.

20,25 + 41,25v = −126v + 6,2216v2;

e) Semirrecta abierta a la izquierda de 6.

−6,2216v2 + 167,25v + 20,25 = 0; v1 = −0,120, no es válida.

f) Semirrecta cerrada a la izquierda de −4.

v2 = 27,002 → u2 = (1 + 55) / 14 = 4 Por lo tanto, la solución es x = 2, v = y.

h) Semirrecta cerrada a la izquierda de 2.

g) Semirrecta abierta a la izquierda de 1,5.

log((x − 1)(y + 4 )) = log 10 88. a)  x + y ; = 10 4 10

(x − 1)(y + 4 ) = 10 ;  x + y = 4

9x − x2 − 8 = 10;

e) 153 − 6x < −x + 6 + 15;

2 log (x − 1) − log (41 − x2) = log 1; 2

2

x − 2x + 1 = 41 − x ;

60 ≥ 12x

x1 = −4 → la solución noes válida porque log (−4 − 1) no está definido. x2 = 5 → y2 = ± 41 − 25 = ± 16 = ±4 Las soluciones son x = 5, y = ±4. c) x = y + 7;

log [3 (y + 7)] − log y = log 10; 3( y + 7) = 10 ; y

3y + 21 = 10y;

7y = 21;

y = 3;

x = 3 + 7 = 10

f) mcm (2, 3) = 6 94. a) −5x + 21 ≥ 28x − 14;

7x ≤ 126 → x ≤ 18 35 ≥ 33x

35 / 33 ≥ x b) 3x − 8 ≤ 5x + 3x − 15;

7 ≤ 5x;

7/5≤x 95. a) 10x − 75x + 105 < 60x − 3x + 120;

−15 < 122x;

−15 / 122 < x

b) 3x − 48x + 144 > −72x + 8 (x − 3);

3x − 48x + 144 > −72x + 8x − 24; 19x > −168;

La solución es válida.

132 < 5x

132 / 5 < x 3x − 2x + 6x ≤ 126;

x2 − 2x − 40 = 0;

x > −168 / 19

log x2 = 1 + log (y − 4);

log (52 + 8y) = log (10y − 40)

Página 58

52 + 8y = 10y − 40;

96.No, será siempre una semirrecta. Al despejar la x siempre queda una expresión de la forma x ≥ a, x ≤ a o las correspondientes con las desigualdades estrictas.

2y = 92;

y = 46 x = ± 52 + 8 ⋅ 46 = ±2 105 , la solución negativa no es válida. La solución del sistema es x = 2 105 , y = 46. 89. a) No son equivalentes, la solución de la primera es (−∞, −18 / 7] y la de la segunda es (−∞, 6] b) Son equivalentes, la solución es [−4, +∞) 90. Actividad personal. 2-24

x ≤ 12

5≥x

b) y = 41 − x ;

d) x2 = 52 + 8y

b) 48 − 2x ≤ 60 − 3x ;

d) 3x − 5x + 60 ≥ 10x;

2

=1;

10x ≤ 275 → x ≤ 55 / 2

−3 > x

x2 = 6 → y2 = −2

41 − x 2

d) x > 10

c) −27 > 9x ;

x1 = 3 → y1 = 1

( x − 1) 2

b) 7 < x

10x + 88 ≤ 363;

x2 − 9x + 18 = 0;

2

c) x > −7

93. a) mcm (11, 5, 10) = 110

(x − 1)(y + 4 ) = 10  y = 4 − x

(x − 1) (4 − x + 4) = 10;

92. a) x > 6

En los casos en los que las incógnitas se anulan, la inecuación no es de primer grado. Por ejemplo: 3x ≤ x − 4 + 2x → 0 ≤ −4 No tiene solución pero no es una inecuación de primer grado. 97. a) x1 = −2, x2 = 7

Solución: [−2, 7]

f(0) = −14 < 0

b) x2 − 7x + 10 > 0 x1 = −3; x2 = 0 f(-2) = −2 < 0 Solución: (−∞; −3) ∪ (0; +∞)

f) x1 = 2; x2 = 9 f(3) = −6 < 0 Solución: (−∞; 2] ∪ [9, +∞)

g) x2 + 7x − 60 < 0; f(0) = −60 < 0

x1 = −12, x2 = 5 Solución: (−12, 5)

c) 2x2 + 16x + 30 ≤ 0;

x1 = −5, x2 = −3 f(0) = 30 > 0 Solución: (−∞; −5] ∪ [−3; +∞)

h) x2 + 3x − 28 ≥ 0;

x1 = −7, x2 = 4 f(0) = −28 < 0 Solución: (−∞; −7] ∪ [4; +∞) d) 3x2 / 5 + 131x /5 − 36 ≥ 0;

x1 = −45, x2 = 4 / 3 f(0) = −36 < 0 Solución: [−45, 4 / 3]

i) 15x2 + x + 2 ≤ 0;

La parábola no tiene puntos de corte con el eje OX y está en el semiplano superior porque, por ejemplo, f(0) = 2 > 0. La inecuación no tiene solución. j) 4x2 /3 − 34 / 5 ≤ 0; e) x1 = 1 / 2, x2 = 3 / 2

x1 = −2,258, x2 = 2,258

f(0) = 3 > 0

f(0) = −34 / 5 < 0

Solución: (−∞; 1 / 2) ∪ (3 / 2; +∞)

Solución: [−2,258; 2,258] 2-25

e) x1 = 0, x2 = 6

98. Actividad personal. 99. a) x1 = −11, x2 = 6

Solución: (−∞, −11) ∪ (6, +∞) b) x1 = x2 = 1

Solución: [0, 6] f) x1 = 2, x2 = 13

Solución: [2, 13] 100.(x − 2) (x − 3) (x +1) ≥ 0

x−2 x−3 x+1 (x − 2) (x − 3) (x +1) Solución: (−∞, +∞) c) x1 = 0, x2 = 5

− − − −

−1 − − 0 0

− − + +

2 0 − + 0

3 + 0 + 0

+ − + −

+ + + +

Solución: [−1, 2] ∪ [3, +∞) 101.Actvidad personal.

− 21 ≥ 2 x − 21 / 2 ≥ x 102.a)  →  → El sistema no tiene − 32 ≤ 6 x − 32 / 6 ≤ x solución. − 9 ≥ 5 x − 9 / 5 ≥ x b)  →  → x ≤ −9 / 5 → 4 x ≤ 2 x ≤ 2 / 4 = 1 / 2 → (−∞, −9 / 5] Solución: (0, 5) d) x1 = −8, x2 = −3

0 ≥ 4 c)  → No tiene solución 3x ≤ 12 − 3 ≥ 3x − 3 / 3 = −1 ≥ x d)  →  → x ≤ −1 → (−∞, 3x ≤ 18 x ≤ 18 / 3 = 6 , −1] − 16 ≥ 4x e)  − 3 ≤ x solución

→

− 16 / 4 = −4 ≥ x →  − 3 ≤ x

No tiene

x ≥ 8 x ≥ 8 f)  →  → x > 8 → (8, +∞) 3 < 2 x 3 / 2 < x Solución: (−∞, −8) ∪ (−3, +∞) 2-26

103. a) |x| = 2 → x1 = 2, x2 = −2

e) x2 − 14x + 33 = 0 → x1 = 3, x2 = 11

|0| = 0 < 2 Como −2 < 0 < 2 → Solución: [−2, 2]

3x + 15 = 6 → x = −3

Intervalo cerrado de extremos −2 y 2.

−3 x − 14x + 33 ≥ 0 Sí Sí Sí 3x + 15 ≥ 6 No Sí Sí

b) |4x − 2| = 0 → 4x − 2 = 0 → x = 1 / 2

Como |4x − 2| > 0 para el resto de valores → Solución: x = 1 / 2

No Sí

11 Sí Sí

Sí Sí

Solución: [−3, 3] ∪ [11, +∞) f) x2 − 2x + 1 = 0 → x = 1

Un único punto, x = 1 / 2. c) |5x − 2| = 3 → 5x − 2 = 3 → x1 = 5 / 5 = 1

2x + 1 = 0 → x = −1 / 2

O bien, 5x − 2 = −3 → x2 = −1 / 5 2

Si x = 0, |5 ⋅ 0 − 2| = 2 < 3 Por lo tanto, como −1 / 5 < 0 < 1 → Solución: (−1/ / 5, 1) Intervalo abierto de extremos −1 / 5 = −0,2 y 1. 104.

3 Sí Sí

2

112 − 38x ≤ 63x − 7 ;  840 ≤ − 203x − 1743

x − 2x + 1 > 0 2x + 1 ≥ 0

Sí No

−1 / 2 Sí Sí

Sí Sí

1 No Sí

Sí Sí

Solución: [−1 / 2, 1) ∪ (1, +∞) x 2 + 6 x − 7 ≥ 0 106.a)  ; 19x/7 + 4/7 ≤ 2x − 5

x 2 + 6 x − 7 ≥ 0  5x/7 + 39/7 ≤ 0

(− ∞,−7] ∪ [1,+∞ )  (− ∞,−39 / 5]

119 ≤ 101x ;  203x ≤ − 2583

Solución: (− ∞,−39 / 5]

119/101 ≤ x  x ≤ − 369/29 El sistema no tiene solución. 105.a) −4x − 18 = 0 → x = −9 / 2

x2 − 4 = 0 → x1 = 2, x2 = −2

−4x − 18 ≥ 0 x2 − 4 ≥ 0

−9 / 2 −2 Sí Sí No No Sí Sí Sí No

No No

2 No No

No Sí

Solución: (−∞, −9 / 2] b) x2 − 16 = 0 → x1 = 4, x2 = −4

2x 2 − 4x + 7 ≤ 2x 2 + 2x − 22 b)  ; 4x − 3 ≥ 7x − 3

−x2 + 1 = 0 → x1 = 1, x2 = −1 2

x − 16 ≥ 0 −x2 + 1 ≤ 0

−4 −1 1 4 Sí Sí No No No No No Sí Sí Sí Sí Sí No Sí Sí Sí

Sí Sí

[29 / 6,+∞ )  (− ∞,0]

Solución: (−∞, −4] ∪ [4, +∞) c) x2 − 25 = 0 → x1 = 5, x2 = −5

x2 = 36 → x1 = 6, x2 = −6 x2 − 25 ≥ 0 x2 ≤ 36

−6 Sí Sí Sí No Sí Sí

−5 Sí Sí

− 6 x + 29 ≤ 0  − 3x ≥ 0

No tiene solución. No Sí

5 Sí Sí

Sí Sí

6 Sí Sí Sí No

Solución: [−6, −5] ∪ [5, +6) d) 18 − 9x = 0 → x = 2

x2 − 5x + 4 = 0 → x1 =1, x2 = 4 18 − 9x ≥ 0 Sí x2 − 5x + 4 ≤ 0 No

1 Sí Sí

Sí Sí

2 Sí Sí

No Sí

4 No Sí

No No

Solución: [1, 2] 2-27

x 2 + 3x − 18 ≤ 0 c)  ; 7 x / 6 − 9 / 2 ≥ 53 / 12 + x / 6

− 5 x + 2 ≥ 0 2 / 5 ≥ x →  → (−∞, 2 / 5]  x 2 0 − <  x < 2 Solución: (−∞, 2 / 5] ∪ (2, +∞) La semirrecta cerrada a la izquierda de 2 / 5 = 0,4 y la semirrecta abierta a la derecha de 2.

x 2 + 3x − 18 ≤ 0 ;  x − 107/12 ≥ 0

[− 6,3]  [107 / 12,+∞ )

1 + x ≤ 0 (− ∞,−1] 108.a)  2 →  → (−2, 1] (−2,2) x − 4 < 0

No tiene solución.

1 + x ≥ 0 [− 1,+∞ ) →  → (2, +∞)  2 (−∞,−2) ∪ (2,+∞) x − 4 > 0

Solución: (−2, 1] ∪ (2, +∞) El segmento semiabierto por la izquierda de extremos −2 y 1 y la semirrecta abierta a la derecha de 2. x 3 − x ≤ 0 b)  → x − 2 > 0 x 3 − x ≥ 0 →  x − 2 < 0

2 x − 8 ≤ 0 x ≤ 4 107.a)  →  → (−4, 4] x + 4 > 0 x > −4 2 x − 8 ≥ 0 x ≥ 4 →  → No hay solución  x + 4 < 0 x < −4 La solución es (−4, 4].

x ≤ 0 (− ∞,0] c)  2 →  → (−3, 0] (−3,3) x − 9 < 0 x >≥ 0 [0,+∞ ) →  → (3,+∞ )  2 (−∞,−3) ∪ (3,+∞) x − 9 > 0

4 x − 5 ≥ 0 x ≥ 5 / 4 b)  →  → [5 / 4, +∞) 3 + x > 0 x > −3

Solución: (−3, 0] ∪ (3,+∞ ) El intervalo semiabierto por la izquierda de extremos −3 y 0 y la semirrecta abierta a la derecha de 3.

4 x − 5 ≤ 0 x ≤ 5 / 4 →  → (−∞, −3)  3 x 0 + <  x < −3 d)

La semirrecta abierta a la izquierda de −3 y la semirrecta cerrada a la derecha de 5 / 4 = 1,25. c)

3x − 12 −4≤0; x−4

−x + 4 ≤0 x−4

x 2 − 7 x + 8 ≥ 0 (− ∞;1,43] ∪ [5,56;+∞ ) →  →  (−∞,0) ∪ (4,+∞)  x ( x − 4) > 0

→ (−∞,0) ∪[1,43; 4) ∪ [5,56;+∞ )

− x + 4 ≥ 0 x ≤ 4 →  → (−∞, 4)  x − 4 < 0 4 > x

La semirrecta abierta a la izquierda de 0, el intervalo semiabierto por la derecha de extremos 1,43 y 4 y la semirrecta cerrada a la derecha de 5,56.

Solución: (−∞, 4) ∪ (4, +∞) Todos los puntos de la recta real pertenecen a la solución excepto x = 4.

−5x + 2 ≤0 x−2

− 5 x + 2 ≤ 0 2 / 5 ≤ x →  → (2, +∞)  x − 2 > 0 x > 2 2-28

x 2 − 7x + 8 ≥0 x ( x − 4)

x 2 − 7 x + 8 ≤ 0 [1,43;5,56] →  → [1,43; 4)  (0,4)  x ( x − 4) < 0

− x + 4 ≤ 0 4 ≤ x →  → (4, +∞)  x − 4 > 0 x > 4

x − 10 d) −6≤0; x−2

[− 1,0] ∪ [1,+∞ ) → [−1, 0] ∪ [1, 2)  (−∞,2)

El intervalo cerrado de extremos −1 y 0 y el intervalo semibierto por la derecha de extremos 1 y 2.

La representación es un intervalo semiabierto por −4 cuyo otro extremo es 4.

Solución: (−∞, −3) ∪ [5 / 4, +∞)

(− ∞,−1] ∪ [0,1] → Sin solución.  (2,+∞)

e)

x 2 + 6x + 1 x2 − 4

≤0

x 2 + 6 x + 1 ≤ 0 [− 5,82;−0,17] →  →  2 x − 4 > 0 (−∞,−2) ∪ (2,+∞)

→ [− 5,82;−2 ) x 2 + 6 x + 1 ≥ 0  2 x − 4 < 0 → [0,17;2 )

c) y > −3 − 2x;

(− ∞;−5,82] ∪ [− 0,17;+∞ ) →  (−2,2)

0 > −3 / 2 El origen de coordenadas pertenece a la solución

Solución: [− 5,82;−2 ) ∪ [− 0,17;2 ) El intervalo semiabierto por la derecha de extremos −5,82 y −2 y el intervalo semiabierto por la derecha de extremos −0,17 y 2. f)

( x − 2)(x + 2)( x 2 + 2) x2 − 9

≥0

( x − 2)( x + 2)( x 2 + 2) ≥ 0 →  2 x − 9 > 0

d) y ≥ x − 3; 0<3

El origen de coordenadas pertenece a la solución

(− ∞,−2] ∪ [2,+∞ ) → (−∞,−3) ∪ (3,+∞)  (−∞,−3) ∪ (3,+∞) ( x − 2)( x + 2)( x 2 + 2) ≤ 0 →  2 x − 9 < 0 [− 2,2] → [− 2,2]  (−3,3)

Solución: (−∞,−3) ∪ [− 2,2] ∪ (3,+∞) e) y < −6 − 2x;

18 > 0

Página 59 109. a) y ≤

x −8 ; 5

El origen de coordenadas no pertenece a la solución 0<8

El origen de coordenadas no pertenece a la solución

f) 2x − 8 ≤ y

b) y ≥ −2x + 2;

1<3

El origen de coordenadas no pertenece a la solución

110. a) (−2x − 135 ) / 329 ≥ y 2-29

111. a) y = 2x - 2

y = -x + 9

b) y ≤ (17x + 41) / 24

−6−x  y ≥ b)  2  y ≥ x − 7

y = (-6 - x) / 2

y=x-7

x ≥ 2  c)  x−4  y ≥ 2 c) (3x + 2) / 19 < y

y = (x - 4) / 2

x=2

x ≥ −1 d)  y ≤ 7 y=7

d) (−278 + 44x) / 65 > y

x = -1

x ≥ 2 e)  y ≤ 7 − 2x y = 7 - 2x x=2

2-30

f)

La región está acotada. Las fronteras correspondientes a las rectas y = 3, x = −1 no están incluidas. y = -x + 7

 y ≤ 4x + 8  − 4 x + 16  113.  y ≤ → La solución es el triángulo de 5   y ≥ 0

vértices (−1, 4), (−2, 0) y (4, 0).

112. a)

114.Actividad personal.

x=1

115.Si x es el lado del cuadrado e y, z son las del rectángulo: y = -2x + 6 y=0

La región está acotada e incluye sus fronteras. b) y=x+1 y=4

6x 2 = yz  ; 2 x = y 2 y + 2z = 30 

6x 2 = yz  2 x = y ;  y = 15 − z 

6x 2 = (15 − z)z ;  2 x = 15 − z

6(15 − z ) = (15 − z)z ; 4 2

6z2 − 180z + 1350 = −4z2 + 60z; 10z2 − 240z +1350 = 0; z1 = 9 → y = 6 → x = 3

y=1

y = −x + 3

La región está acotada e incluye sus fronteras.

z2 = 15 → y = 0 → x = 0, solución no válida. El lado del cuadrado mide 3 cm mientras que las dimensiones del rectángulo son 6 cm y 9 cm. 116.x / 4 + 3x / 2 = 35;

7x / 4 = 35

x = 140 : 7 = 20

y ≤ − x + 6 y ≥ − x + 2  c)  y ≤ 2 + x  y ≥ x − 2

117.πr2 − π r2 / 4 + π r2 / 16 = 26π;

r2 − r2 / 4 + r2 / 16 = 26; 13r2 / 16 = 26; y=2+x

r2 = 32

r= ±4 2 La solución negativa no nos sirve, por lo tanto, el radio de la circunferencia mayor es 4 2 cm.

y = -x + 6

118.Si k es un número entero:

2k + 1 + 2k + 3 + 2k + 5 + 2k + 7 = 48; y=x-2

y = -x + 2

La región está acotada e incluye sus fronteras.

8k + 16 = 48;

Los números son 9, 11, 13, 15. 119.k / 2 + k2 = 8k − 9;

x > −1 y < 3  d)  y > 2x − 3  y < −2 x + 5

k = −2

2k2 − 15k + 18 = 0;

k + 2k2 = 16k − 18; k1 = 3/2, k2 = 6

El número que buscamos es el 6. 120.Si x es la edad del padre e y es la del hijo: y = 2x - 3

y=3

x = 2 y + 3 ;  2( x + 3) = 24 + 3( y + 3)

2 (2y + 6) = 24 + 3 (y + 3); x = -1

y = -2x + 5

4y + 12 = 24 + 3y + 9; y = 21 → x = 42 + 3 = 45 El padre tiene 45 años y el hijo tiene 21 años. 2-31

121.Si x es la medida del cateto más corto: x2 + (x + 7)2 = 852;

2x2 + 14x − 7176 = 0;

x = 15 − y; 10(15 − y) + y − 27 = 10 y + 15 − y ; 123 − 9y = 9y + 15; 18y = 108

x1 = −63,502, x2 = 56,502 Los catetos del rectángulo son 56,502 y 63,502. 122.Si x, y , z son los porcentajes de la parte de teoría, problemas y la exposición , respectivamente:

8x + 6 y + 4z = 6,2  7 x + 5y + 8z = 5,95 ; 3x + 9 y + 7 z = 7,2 

e '2 = 8e 2 − 7e1 e 3' = 8e 3 − 3e1

y = 6; El número es el 96.

b = h + 3 126.  bh + 58 = (b + 2)(h + 2)

e 3' = e 3 + 27e 2

;

(h + 3) h + 58 = (h + 3 + 2) (h + 2); h2 + 3h + 58 = h2 + 7h + 10; −4h + 48 = 0;

8x + 6 y + 4z = 6,2   − 2y + 36z = 4,2 ;  54y + 44z = 39 

x=9

h = 12

b = 15 La altura del rectángulo es de 12 cm mientras que la base es de 15 cm.

8x + 6 y + 4z = 6,2   − 2y + 36z = 4,2 → z = 0,15; y = 0,6; x = 0,25  1016z = 152,4 

La teoría vale un 25% del toal, los problemas un 60% y la exposición un 15%. 123. x + 2 x + 3 = 2 x ;

4x = x2 − 6x + 9;

127.a) Si d es la distancia entre el centro de la circunferencia y el lado del trapecio de 6 cm:

3 2 + d 2 = r 2 ;  2 2 + (d + 2) 2 = r 2

2 x = x −3;

2 2 + (d + 2) 2 = 3 2 + d 2 ;

x2 − 10x + 9 = 0;

8 + d2 + 4d = 9 + d2;

x1 = 1, solución no válida porque 2 1 = 2 ≠ −2 = 1 − 3

d = 1 / 4;

x2 = 9 es el número que buscábamos.

La solución negativa no es válida, por lo tanto, el radio es de 145 / 4 cm.

124.Si x es la altura del rectángulo:

r = ± 9 + 1 / 16 = ± 145 / 4

b) Si d es la distancia entre el centro de la circunferencia y el lado del trapecio de 4 cm:

2 2 + d 2 = r 2 ;  2 3 + (7 − d ) 2 = r 2

x

3 2 + (7 − d ) 2 = 2 2 + d 2 ;

3x / 2 + 1 x/2

58 − 14d + d2 = 4 + d2;

12

d = 54 / 14 = 27 / 7

r = ± 4 + 729/49 = ±5 37 / 7 El radio es de 5 37 / 7 cm.

2

2

x  3x  62 +   =  + 1 ; 2 2    

35 − 2x2 − 3x = 0;

x1 = −5, no es válida x2 = 7 / 2 El radio de la circunferencia 3 ⋅ 7 / 4 + 1 = 25 / 4 cm. 2

2

El área es π ⋅ (25 / 4) = 122,65625 cm .

128.Si b es la otra dimensión:

ab = 600  ; 2a  2a    a − 10  b − 10  = 336    4ab / 5 − 4a2 / 25 = 336; 2400 / 5 − 4a2 / 25 = 336; a2 = 3600;

a = ±60

Página 60

La solución negativa no nos sirve, por lo tanto, b = = 10 .

125.Si el número que buscamos es 10x + y:

El papel es de 10 cm x 60 cm.

x + y = 15 ;  10x + y − 27 = 10 y + x 2-32

129.Sean x, y, z los precios del jersey , los pantalones y los zapatos, respectivamente.

0,8x + 0,85y + 0,5z = 142  ; y = 1,2 x 0,85 y = 0,5z 

3x + 5y + 2z = 35,5  + 7z = 79 ; 13x 5x + 7z = 55,80 

e 3' = e 3 − e 2

0,8x + 0,85y + 0,5z = 142  ; 0,83y = x 1,7 y = z 

3x + 5y + 2z = 35,5  + 7z = 79 ; 13x − 8 x = −23,2 

x = 2,9; z = 5,9; y = 3

0,6y + 0,85y + 0,85y = 142;

134.Si a y b son las raíces:

y = 60 euros. z = 102 euros. x = 50 euros. 130.Buscamos el número 100x + 10y + z:

x + y + z = 6  100 x + 10 y + z + 90 = 100 y + 10x + z 100 x + 10 y + z + 9 = 100 x + 10z + y   x+y+z=6  90x − 90y = −90 ;  9 y − 9z = −9 

e '2 = e 2 − 90e1 ;

 x+y+z=6   − 180y − 90z = −630 ;  9 y − 9z = −9 

e 3' = 20e 3 + e 2

 x+y+z=6   − 180y − 90z = −630 ;  − 270z = −810 

a = −12 − b  a = 1 + b

−12 − b = 1 + b;

b = −13 / 2;

a = −11 / 2 ;

Por lo tanto, el polinomio es: 3(x + 11 / 2) (x + 13 / 2) = 3x2 + 36x + 429 / 4 135.a) x (x − 8) (x + 8) < 0

x x−8 x+8 x (x − 8) (x + 8)

− − − −

−8 − − 0 0

− − + +

0 0 − + 0

8 + 0 + 0

+ − + −

+ + + +

− + −

3 0 + 0

+ + +

− − + +

0 0 − + 0

+ − + −

1 + 0 + 0

+ + + +

− − + +

0 0 − + 0

+ − + −

2 + 0 + 0

+ + + +

Solución: (−∞, −8) ∪ (0, 8) z = 3, y = 2, x = 1

b) −2x3 + 54 > 0;

−2(x − 3) (x2 + 3x + 9) > 0; (x − 3) (x2 + 3x + 9) < 0

x + y + z = 18  131. 100x + 10 y + z + 630 = 100 y + 10x + z 100x + 10 y + z − 18 = 100x + 10z + y 

;

 x + y + z = 18  90x − 90 y = −630 ;  9 y − 9z = 18 

e '2 = e 2 − 90e1

 x + y + z = 18  − 180 y − 90z = −2250 ;  9 y − 9z = 18 

e 3'

 x + y + z = 18  − 180 y − 90z = −2250 ;  − 270z = −1890 

z = 7, y = 9, x = 2

132.n2 − 3n < 54;

a + b = −12 ;  a − b = 1

x−3 x2 + 3x + 9 (x − 3) (x2 + 3x + 9) Solución: (−∞, 3) c)

= 20e 3 + e 2

− − − −

Solución: (−∞, 2) ∪ (0, 1)

n2 − 3n − 54 < 0;

−6 < n < 9 Los números que buscamos son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 133.Sean x, y, z los precios de un refresco, un bocadillo y una entrada, respectivamente:

3x + 5y + 2z = 35,5  5x + 4 y + 3z = 44,20 ; 5x + 7z = 55,80 

x x−1 x+2 x (x − 8) (x + 8)

−2 − − 0 0

e '2 = 3e 2 − 5e1

d) 2x (x − 2) (x + 2) ≥ 0;

2x x−2 x+2 x (x − 8) (x + 8)

− − − −

−2 − − 0 0

Solución: [−2, 0] ∪ [2, −∞) 136.a) Buscamos los valores tales que x2 − 5x + 6 > 0: 2-33

x1 = 2, x2 = 3 Si evaluamos el polinomio en x = 2,5 obtenemos −0,25 < 0 → x2 − 5x + 6 > 0 en (−∞, 2) ∪ (3, +∞) b) Análogamente, buscamos x tal que:

x2 +1 > 0 → x − 3 > 0 ya que x2 + 1 > 0 para x −3 todo x → El logaritmo tiene sentido en (3, +∞).

x + 2 y + 4z = 8,50   − 3y − 6z = −11,1 → z = 1,2, y = 1,3, x = 1,6  − 3z = −3,6 

El kg de plátanos cuesta 1,6 €, el de manzanas, 1,3 € y el de naranjas, 1,2 €.

137.Actividad personal.

142.32 − 3k − 3 = 0 → k = 6 / 3 = 2 La ecuación es: x2 − 2x − 3 = 0.

138.No, porque la intersección de dos semiplanos nunca puede ser un único punto.

143. Resolveremos la ecuación x +

139.Buscamos números 10x + y con x, y números naturales tales que: x + y < 6 x ≤ y   9 ≥ x > 0 9 ≥ y ≥ 0

1 + 26 1 − 26 , x3 = 5 5

y ≤ − x + 7   y ≤ − 1 x + 5 144.  3 x ≥ 0   y ≥ 0

145.Si x son las unidades venidades y B(x) es la función que indica el beneficio de la empresa:

B(x) = 1,45x − 2400 − 1,20 = 0,25x − 2400

11, 12, 13, 14, 22, 23 140.Sea x la edad del mayor, y la del mediano y z la del pequeño.

x + y + z = 57  + z = 2y ; x x + y + 11 = 3z 

;

x + y + z = 57  x − 2 y + z = 0 ; x + y − 3z = −11  x + y + z = 57   − 3y = −57 ;  − 4z = −68 

z = 17, y = 19, x = 21 El mayor tiene 21 años, el mediano 19 años y el pequeño, 17. 141.Sea x el precio del kg de plátanos, y el del kg de manzanas y z el de naranjas:

 x + 2 y + 4z = 9  2x + y + 2z = 6,90 ; x + y + z = 4,10  x + 2 y + 4z = 8,50   − 3y − 6z = −11,1 ;  − y − 3z = −4,9  2-34

5x3 − 27x2 + 5x + 25 = 0;

Página 61

Los números son:

e = e 3 − e1

5x3 + 5x + 25 = 27x2;

El número que buscamos es el 5.

x=y

' 3

1 5 27 + = ; x x2 5

mcm (5, x, x2) = 5x2;

x1 = 5, x2 =

x+ y = 6

e '2 = e 2 − e1

La solución que falta es x = −1.

e '2 = e 2 − 2e1 e 3' = e 3 − e1

' 3

e = 3e 3 − e 2

;

Buscamos x tal que: 0,25x − 2400 > 0;

B(x) > 0; x > 9600

La empresa tiene beneficios cuando vende más de 9600 unidades. 146.Si d y e son las soluciones de la ecuación:

d + e = de → d =

e e −1

Se cumple entonces: e  ae 2 ae 2  2 x+ a (x − e ) x −  = ax − e − 1 e −1 e −1 

Por lo tanto, b = −c. Para que la suma y el producto sean opuestos: d + e = −de → d =

−e e +1

Se cumple: e  ae 2 ae 2  2 a (x − e ) x + x−  = ax − e + 1 e+ 1 e +1 

En este caso, b = c.

147.

1 1 5 + = ; x x 2 16

mcm (x, x2) = x2;

2

16x + 16 = 5x ; 5x2 − 16x − 16 = 0; x1 = 4, x2 = −4 / 5

148.Si I = 2 + 2 + 2... :

x2 = 2 + I → I = x2 − 2 Y, por lo tanto, como la ecuación original dice que x = = I: x = x2 − 2 → x2 − x − 2 = 0 → x1 = −1, x2 = 2 Trabajamos con raíces positivas, por lo tanto x1 = −1 no es solución, sin embargo, x2 = 2 sí que lo es.

t = 46, z = 90, y = −12, x = 28 Evaluación de estándares 1. a) mcm (2, 5) = 10 → 5x − 2 (x + 12) = 10 (x − 1);

3x − 24 = 10x − 10;

e '2 = e 2 − 2e1 e 3'

= e 3 − e1

b) 12x2 − 3x = 1 − 4x;

x=

Por lo tanto, m = 12. b) Si m ≠ 12 , el sistema es incompatible.

x + 2 y + z = 3  y + 3z = 4 ;   y + (n − 1)z = 6 

e '2 = e 2 − e1 e 3' = e 3 − e1

c) t =

12x2 + x − 1 = 0;

− 1 ± 1 + 48 − 1 ± 49 − 1 ± 7 = = 24 24 24

x1 =

a) Si 5 ⋅ 3 = m + 3 , el sistema es compatible indeterminado.

7x = −14;

x = −2

x + 2 y + 3z = 1  ; z = 3 5z = m + 3 

x + 2 y + z = 3  150. x + 3y + 4z = 7 ; x + 3y + nz = 9 

e '4 = 12e 4 − e 3

x + 2 y + z − 2 t = 2  − 3y − 3z + 5t = −4   12z − 23t = 22   − t = −46

Las dos soluciones son válidas.

x + 2 y + 3z = 1  149. 2 x + 4 y + 7z = 5 ; x + 2 y + 8z = m + 4 

x + 2 y + z − 2 t = 2  − 3y − 3z + 5t = −4  ;  12z − 23t = 22   z − 2t = − 2

−1 + 7 6 1 −1 − 7 −8 1 = = , x2 = = =− 24 24 4 24 24 3

− 7 ± 49 + 576 − 7 ± 625 − 7 ± 25 = = 32 32 32

d) −3, 3, −1 2. a)

2x = 2x − 6 ; 4x2 − 26x + 36 = 0;

2x = 4x2 − 24x + 36; x1 = 2, x2 = 9 / 2

La única solución válida es 9 / 2. e 3' = e 3 − e 2

b) (x + 5)2 + (x − 5) 2 = −2(x2 − 25);

2x2 + 50 = −2x2 + 50;

4x2 = 0;

x=0

x + 2 y + z = 3  y + 3z = 4 ;  nz − 4z = 2 

c) log x = 1;

x = 10

d) u = 2x

z = 2 / (n − 4); y = 2 (2n − 11) / (n − 4);

u2 + 2u = 80;

x = −5 (n − 6) / (n − 4)

u1 = −10, u2 = 8

Para cualquier n ≠ 4, el sistema es compatible determinado.

La solución negativa no es válida.

x + 2 y + z − 2 t = 2 2 x + y − z + t = 0  151.  ; x − 2 y + z − 3t = 4 x − y − z + t = −4

x + 2 y + z − 2 t = 2  − 3y − 3z + 5t = −4  ;  −t=2  − 4y  − 3y − 2z + 3t = − 6

e '2 = e 2 − 2e1 e 3' = e 3 − e1 e '4 = e 4 − e1

u2 + 2u − 80 = 0;

Si u = 8 → x = 3. 4 x + 7 y − z = 12  3. 5x + 8 y + 2z = 24 ; x − y + 3z = 10 

e '2 = 4e 2 − 5e1 e 3' = 4e 3 − e 1

e 3' = 3e 3 − 4e 2

4 x + 7 y − z = 12   − 3y + 13z = 36  − 11y + 13z = 28 

e '4 = e 4 − e 2

3y +36 = 28 + 11y;

y = 1;

z = 3;

x=2

;

2-35

4. Si x es el tiempo invertido en el ascenso e y el tiempo invertido en el descenso, como 1 min y 10 s = 70 s: x + y = 70 ; y = 70 − x;  20 x = 50 y

20x = 50 (70 − x);

20x = 3.500 − 50x;

70x = 3.500;

x = 50

( x + 3)( x − 7) ≥ 0 x ≤ −3,7 ≤ x → →   x + 5 > 0 x > −5

→ (−5, −7] ∪ [7,+∞) Solución: (−5, −7] ∪ [7,+∞) 8. a) x + 3 ≤ y

y = 20 Invirtió 50 segundos en el ascenso y 20 en el descenso. 5. a) 1 + x 2 −

25 3 x; x <x 2 + 14 7

1<

31 x 14

14 < x → (14 / 31, +∞) 31 b) x1 = 2, x2 = 3 Por ejemplo, 2 ⋅ (2,5)2 − 10 ⋅ 2,5 + 12 = −0,5 → x = 0,5 pertenece a la solución → La solución es [2, 3] 1 1 1 16  3 x + 3 ≤ 3 − 3 x 6. a)  ;  21 + 1 x > − 1 x − 2 6 3  2 2

17  3 x ≤ 0   2 x > − 67 6  3

b) y > (5 − 2x) / 3

x ≤ 0 67  <x≤0  67 → − 4 x > − 4 b) 3x2 + 9x − 12 = 0 → x1 = −4, x2 = 1 5x + 20 = 0 → x = −20 / 5 = −4 2

3x + 9x − 12 > 0 5x + 20 < 0

Sí Sí

−4 No No

No No

1 No No

Sí No

Solución: (−∞, −4) x − 12 ≤ 0 x ≤ 12 7. a)  → (−3 / 2, 12] →  2 x + 3 > 0 x > −3 / 2

x > y  9.  1+ x  y ≤ 2 y=x

x − 12 ≥ 0 x ≥ 12 → No hay solución →   2 x + 3 < 0 x < −3 / 2

La solución es (−3 / 2, 12]. 2

b)

x −1 ≥ 4; x+5

y = (1 + x) / 2 2

x − 4x − 21 ≥0; x+5

( x + 3)( x − 7) ≥0 x+5 ( x + 3)(x − 7) ≤ 0 − 3 ≤ x ≤ 7 → Sin solución →   x + 5 < 0 x < −5

2-36

10. B(x) = 5x − 73 > 0;

x > 73 / 5 = 14,6

A partir de las 15 unidades vendidas.

DIRECCIONES DE INTERNET

TICHING

WEBS

http://www.tiching.com/44608

http://ntic.educacion.es/w3//eos/MaterialesEducativos/mem2003/programacion/

http://www.tiching.com/88641

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Ecuaciones_sistemas_inecuac iones/Ecuaciones_irracionales.htm

http://www.tiching.com/88838

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/sistemas_de_ecuaciones_line ales_2bcnt/metodo_de_gauss.htm

http://www.tiching.com/100454

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/20/matematicas-20.html

http://www.tiching.com/100455

http://www.vitutor.net/2/9/sistemas_inecuaciones.html

2-37