¿cuántos Números Primos Hay? 651q6d

Ricardo Alejos Ejercicios de Matemáticas

¿Cuántos números primos hay? Motivación Los números primos han sido un dolor de cabeza para muchos matemáticos a lo largo de toda su vida: desde la primera vez que los vemos en primaria hasta cuando nos hacemos preguntas sobre sus propiedades y aplicaciones cuando ya somos adultos. Vale la pena revisar la definición de los números primos antes de continuar: Un número primo es aquel que cumple con las siguientes características:   

Es mayor que uno. Es divisible entre uno. Es divisible entre sí mismo.

Todos aquellos números que no son primos los llamamos “compuestos” o simplemente “no primos”. Algunos ejemplos de números primos son: 2, 13, 31 y 97. Nota que todos estos números siguen las pautas mencionadas en la definición anterior.

La pregunta Habiendo entendido entonces qué es un número primo, podemos ahora ver que la pregunta del título pareciera no ser trivial, pues conforme avanzamos en la recta numérica pareciera cada vez más difícil encontrar números primos. Además, no existe (hasta ahora) alguna fórmula que nos ayude a calcular la secuencia de los números primos. Si cada vez es más difícil encontrar números primos, alguien podría pensar fácilmente que la tendencia es que algún día encontremos todos los números primos que existen. Pero para que esto suceda debemos concluir primero si la lista es finita o infinita (porque de ser infinita, ¡jamás llegaremos a conocerlos todos!).

La respuesta Antes de leer la respuesta quizá sería bueno que ejercitaras tu mente intentando encontrarla por tu cuenta, una vez que lo hayas logrado podrás comparar tus conclusiones con las del ejercicio que desarrollaremos a continuación. ¡Comencemos pues! Supongamos pues, que tenemos una lista con 𝑛 números primos denotados como 𝑝, es decir: 𝑝0 , 𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 … 𝑝𝑛−1 Donde cada número es mayor a su antecesor (es decir, que 𝑝2 es mayor que 𝑝1 , y que 𝑝𝑛−1 es mayor que el resto de los números en la lista). Ahora, vamos a fabricar una fórmula ingeniosa para encontrar un número primo 𝑝𝑥 más grande que el mayor que contengamos en la lista:

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Ricardo Alejos Ejercicios de Matemáticas 𝑝𝑥 = (𝑝0 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑛−1 ) + 1 Note que  

𝑝𝑥 siempre será más grande que cualquier elemento de la lista. Esto porque el producto de todos los elementos siempre será mayor que el valor individual de cada elemento. Garantizamos obtener un número primo porque cualquiera que sea la división que hagamos entre cualquier número de la lista el resultado tendrá un residuo diferente de cero.

Cumplidas estas dos condiciones, significa que el resultado (es decir, 𝑝𝑥 ) puede colocarse también al final de la lista y repetir el procedimiento para encontrar un número primo aún más grande. Dado que este proceso es válido para iterarse infinitamente, sacamos la conclusión de que efectivamente: ¡Hay infinitos números primos!

Fuente: Curso de Introducción al Pensamiento Matemático de la Universidad Stanford.

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