Módulo Introductorio 2014 Civil Matemática 4ma1h

UNIVERSIDAD NACIONAL DE FORMOSA Facultad de Recursos Naturales

MATERIAL DE APOYO PARA INGRESANTES A INGENIERÍA CIVIL

Año 2014

Av. Gdor. Gutnisky N° 3200 - Formosa - Argentina - Tel/Fax: 54-3717-452241 e-mail: [email protected]

Índice Epistemología de las Ciencias

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Matemática Conjuntos Numéricos

15

Razones y Proporciones

24

Expresiones Algebraicas

29

Notación Científica

44

Trigonometría

47

Vectores

71

Funciones

82

Ecuaciones

101

ELEMENTOS DE EPISTEMOLOGIA DE LAS CIENCIAS ANALITICOEXPERIMENTALES INTRODUCCION  El conocimiento y sus procesos mentales Según la psicología del pensamiento, nuestra mente puede realizar una percepción y su consiguiente conocimiento de la realidad de tres formas: 1) Centrándose en un elemento o parte de la misma (por ejemplo, el ojo, la nariz, etc. de un rostro) 2) Captando todo el rostro (el sistema que forman todos sus elementos) 3) Percibiendo la esencia como concepto universal de lo que es la fisonomía del ser humano. Es esta última realidad la que busca la ciencia; es este concepto de lo esencial el que fundamenta el progreso y la cultura de las civilizaciones, y a su búsqueda se dedica toda investigación, digna de tal nombre, elaborando síntesis teóricas de las realidades que estudia, ya sea por medio de analogías y metáforas o, también, creando modelos o, incluso, verdaderas teorías. La primera de las percepciones señaladas arriba, la visión atomística de la realidad, tiene una larga historia. René Descartes, en su Discurso del método (1983, orig.1637), expresa una idea rectora que pone como segunda regla: “dividir cada una de las dificultades en tantas partes como sea posible y necesario para mejor resolverlas”. Igualmente señala que “la diversidad de nuestras opiniones no viene del hecho que unos seamos más razonables que otros, sino del hecho que conducimos nuestros pensamientos por vías diferentes y no consideramos las mismas cosas”. Isaac Newton expresó la ley de la gravitación universal con una sola fórmula matemática sintetizando magníficamente con ella las obras de Copérnico y Kepler, e, igualmente, las de Bacon, Galileo y Descartes. Newton, después, supuso que las normas generales que parecen obedecer los cuerpos de tamaño intermedio son también verdad para cada partícula de materia, sea cual sea su clase y tamaño. Las ideas de Descartes y de Newton se mantuvieron, en su esencia, hasta la década de los años 60 del siglo XX, y, más específicamente, hasta 1969, año del V Simposio internacional sobre filosofía de la ciencia ya señalado. En efecto, Fritjof Capra, físico actual, puntualiza (1992) que la teoría cuántica nos obliga a ver el universo, no como una colección de objetos físicos, sino más bien como una red compleja de relaciones entre las distintas partes de un todo unificado; estos aspectos los veremos más adelante en profundidad. Popper clarifica esta situación al decir: “en los años veinte comprendí lo que la revolución einsteniana significó para la epistemología: si la teoría de Newton, que estaba rigurosamente probada y que se había corroborado mejor de lo que un científico nunca pudo soñar, se reveló como una hipótesis insegura y superable, entonces no había ninguna esperanza de que cualquier teoría física pudiese alcanzar más que un estatus hipotético, o sea una aproximación a la verdad” (Rivadulla, 1986: 297). Pero este estado de cosas plantea una interrogante muy serio a nuestra docencia universitaria, que se podría concretar en la siguiente pregunta: ¿hasta dónde los conocimientos que transmitimos están anclados en una sólida y firme base crítica, en un paradigma epistémico coherente y defendible con los mejores argumentos disponibles hoy en día, y hasta qué punto, en cambio, esos “conocimientos” son solo la continuación de la inercia mental que rige gran parte del comportamiento humano? Es posible, entonces, que sigamos llenando nuestras revistas y nuestras hemerotecas con publicaciones de trabajos que no resisten una crítica epistemológica seria y 1

actualizada; es muy posible, también, que sigamos trabajando y divulgando hallazgos que, bien examinados en sus bases de sustentación, no son sino “pseudo investigaciones”. Y, más concretamente aún, lo expresa Mary Hesse con las siguientes expresiones: “Doy por suficientemente demostrado que los datos no son separables de la teoría y que su expresión está transida de categorías teoréticas; que el lenguaje de la ciencia teórica es irreductiblemente metafórico e informalizable, y que la lógica de la ciencia es interpretación circular, reinterpretación y autocorrección de los datos en términos de teoría, y de la teoría en términos de datos” (en Habermas, 1996: 462). El método científico tradicional ha seguido la lógica lineal unidireccional, ya sea en una “línea” deductiva como en una inductiva. La línea deductiva la ha seguido principalmente en su utilización en las ciencias formales (lógica y matemática), es decir, en la aplicación (frecuentemente, mala aplicación: no aristotélica) de la lógica clásica, como también en la aplicación de las matemáticas (aritmética, álgebra y geometría); pero la ha seguido igualmente en el campo de las ciencias naturales, especialmente de la física y la química. La lógica lineal deductiva parte de unos primeros principios (lógica filosófica: principio de identidad, de no contradicción, del tercero excluido, “no, si este es bien entendido”), o de un sistema de axiomas, postulados o primitivos, como lo hace en geometría (postulados euclidianos), o en aritmética y álgebra (sistema de axiomas de Peano; ver Frey, 1972: 67), o incluso, de un solo principio fundamental, como lo hace Heinrich Hertz partiendo del principio de inercia en su magistral y paradigmática obra Principios de la mecánica (1956, orig. 1894), con que puso las bases teóricas del método científico tradicional. Esta lógica dirige la mente humana para hacerle ver (demostrando) que un determinado teorema o proposición ya está implícito en los axiomas, postulados o principios fundamentales, aceptados como base, los cuales son evidentes de por sí y, por lo tanto, no necesitan demostración. La lógica lineal inductiva, al contrario, sigue el camino inverso: de muchas constataciones particulares, generaliza hacia una conclusión universal. Pero la constatación de muchos casos en una muestra (por muy numerosos y relevantes que sean) nunca nos da la certeza de su posible aplicación a todos los casos que constituyen el universo del cual se extrajo la muestra. De aquí la debilidad de la lógica inductiva. Por ello, siempre concluye con unos resultados sujetos a un nivel de probabilidad de error aceptable: 1%, 5%, etc. La mayor debilidad de la lógica lineal es su irrealidad, es decir, su lejanía de la realidad concreta, especialmente si se trata de problemas de la ciencias humanas, donde no se da únicamente una variable independiente, una dependiente y una relación de causalidad, sino que siempre entran en juego docenas de variables que no son lineales, ni unidireccionales, ni solamente causales, sino variables que interactúan mutuamente y entre las cuales se dan toda clase y tipo de relaciones: de causa, condición, contexto, soporte, aval, secuencia, asociación, propiedad, contradicción, función, justificación, medio, etc. Popper (1985) dice que “en contra del empirismo inglés de Locke, Berkeley y Hume que estableció la tradición consistente en tomar la percepción sensible como paradigma fundamental, si no único, de experiencia consciente y de experiencia cognoscitiva, hay que reconocer que propiamente no hay datos sensoriales (...), que lo que la mayoría de las personas considera un simple dato es de hecho el resultado de un elaboradísimo proceso (…) de toma y dame entre los estímulos externos y la actividad del cerebro” (pp. 140, 483).  Complejidad y Transdisciplinariedad Los términos complejidad y transdisciplinariedad se usan hoy día frecuentemente en los medios académicos en su relación con la epistemología, y algo similar sucede con el término “paradigma”; sin embargo, no existe una definición compartida de los mismos, razón por cual la comunicación entre los diferentes s de los mismos falla, a veces, en forma más que grave. 2

Tenemos que tener muy presente que no basta una definición etimológica de los términos en uso, ni tampoco una semántica, pues, frecuentemente, es su uso, su pragmática ,es decir, la que usan los hablantes de una cultura o disciplina, la que ordinariamente juega el papel principal en la determinación del significado de un término, pues en la práctica el significado es algo convencional ya que, como nos recuerdan lingüistas como Ferdinand de Saussure (1954), se debe señalar que no existe conexión alguna entre el signo y su referente, es decir, que las palabras tienen un origen arbitrario o convencional. Recordemos también lo que nos dice Heisenberg con relación a las partículas en física cuántica: que son todo menos partículas, es decir, partecitas del átomo, ya que frecuentemente son simples relaciones y, a veces, relaciones de relaciones; y esta aclaratoria la aplica al 50% de los términos de la física newtoniana. Lo que generalmente llamamos “realidades complejas, hipercomplejas o transcomplejas” y procesos de estudio “transdisciplinarios” están referidos, básicamente, a los procesos mentales fundamentales, gestálticos, con los cuales conceptualizamos y expresamos las totalidades en forma integral y sistémica. Todos estos términos técnicos, que a veces confunden nuestro pensamiento, pudiéramos decir que no son, ni expresan algo esencialmente diferente de lo que hace nuestra mente cuando, inconscientemente, aprecia la “realidad integral” en forma holista y sistémica. Como el nivel superior de nuestras actividades mentales está constituido por características, propiedades y atributos definidores especiales, nunca se podrá reducir a niveles inferiores y explicar en sus términos atomísticos (vicio del reduccionismo): las fuerzas físicas, por ejemplo, no serán suficientes para explicar la fuerza que mueve la economía o los impulsos sexuales o lo que lleva a la gente a suicidarse; los componentes químicos de la pintura nunca explicarán la expresión de la Monna Lisa, ni los componentes físicos de la obra, el significado de Hamlet. Como decía Whitehead, si se quieren conocer los principios básicos de la existencia hay que utilizar lo superior para iluminar lo inferior y no al revés, como hace la reflexión reduccionista corriente. La ciencia tradicional ha prestado, sin duda alguna, muchos servicios al hombre: le ha ayudado a superar mucha pobreza, enfermedades, trabajo deshumanizante y, en general, a alargar su vida. Pero el querer llevar el método científico a todos los campos, ha hecho que, hablando de refracción de ondas luminosas, pigmentación y colores espectrales, la ciencia haya anulado las puestas de sol, los paisajes y los arco iris; que, tratando de ser científicos, los estructuralistas hayan desfigurado la prosa y la poesía; que, analizando computacionalmente el Nuevo Testamento, los estudiosos bíblicos destruyan la fe y la conciencia religiosa. En efecto, si fijamos nuestra atención en el montón de ladrillos y piedras nunca captaremos la belleza de una catedral gótica; si detenemos nuestra atención en la blusa, zapatos o maquillaje de una dama nunca captaremos la elegancia de su presencia. Sabemos, nada menos que desde Aristóteles, que “el todo es más que la suma de sus partes”, pues “el todo” es la interrelación sistémica de todas las partes y la anomalía de una sola rompe (Revista de Investigación en Psicología - Vol. 13, N.º 1 181 Miguel Martínez M.) la elegancia del conjunto. Es más, esto que parece tan sencillo y cotidiano, implica unos procesos mentales muy complejos que exigen un paradigma sistémico para su cabal comprensión. Los fenómenos de la vida y la posibilidad del hombre de interactuar con ellos han creado una fuerte y amplia discusión metodológica. No es nada fácil comprender, aceptar y llevar la lógica de una determinada disciplina a las mentes de los que cultivan otra muy diferente. Sin embargo, no se trata de eso: se trata de un encuentro y diálogo académicos que se interfecundan. En general, existe un punto muy controversial: se considera que los instrumentos de investigación propios de las ciencias naturales (física, química y, también, matemática) no son lo suficientemente exhaustivos en la búsqueda de la complejidad biológica, psicológica, sociológica y otras ciencias humanas, ya que estas ciencias son muy “particulares”. Es natural que un enfoque 3

metodológico básicamente diferente conduzca a la formulación de paradigmas científicos contrastantes. Interpretar las estructuras de estas ciencias como líneas matemáticas significa negar el concepto mismo con que se definen, significa negar el valor del comportamiento como factor evolutivo y el de la influencia del ambiente sobre el sujeto mutante. No se puede considerar un sujeto viviente cualquiera como una cifra de un sistema algorítmico, ya que son sistemas abiertos profundamente interrelacionados con el ambiente en que viven. Tenemos aquí, por consiguiente, el uso de lógicas epistémicas particulares. ¿En qué consiste esta dimensión cualitativa y sistémica de la ciencia? La previsión probabilística, debido precisamente al alto número de factores que determinan el fenómeno de los seres vivos, no agota su estudio. La física y la matemática no pueden ser utilizadas y concebidas como parámetros adecuados de las ciencias de la vida; los mismos físicos tuvieron que abandonar, a principios del siglo XX, el paradigma mecanicista al llegar al nivel sub-microscópico. Esto no significa negar el valor de estas disciplinas, sino subrayar su dimensión no exhaustiva en la investigación de la vida (Schrödinger, 1967), ya que su estructura se define con conceptos propios, extremadamente peculiares, la invariancia, la especie, el ecosistema, el organismo, etcétera, dentro de los cuales están insertados otros conceptos que conforman un sistema abierto en continua evolución y cambio, como los conceptos de auto-organización, automantenimiento, autotransformación, autorenovación y autotransferencia, todos los cuales configuran una especie de auto-poiesis, es decir, una especie de autocreación. Todos estos conceptos, centrados en la vida pueden estar muy alejados de la mente, por ejemplo, de un físico, de un químico e, incluso, de un abogado. Sin embargo, sobre estos conceptos construyen las ciencias de la vida, y las ciencias humanas, en general, sus propias coordenadas gnoseológicas; es decir que caminan por sendas heurísticas propias. De aquí, la necesidad de identificar una lógica no numérica, como guía del proceso heurístico, es decir, la dimensión o estructura sistémico-cualitativa de la ciencia. En síntesis, los diferentes niveles en que se nos presenta la realidad, en todos los campos, pero de una manera especial la realidad de los seres vivos, exige también diferentes niveles de la lógica a aplicar y unos métodos también transdisciplinarios; todo lo cual nos introduce en el paradigma sistémico, pues como dice von Bertalanffy: “desde el átomo hasta la galaxia vivimos en un mundo de sistemas” (1981: 47). Aspectos fundamentales de una epistemología actualizada  El paradigma sistémico Como dice Beynam (1978): “actualmente vivimos un cambio de paradigma en la ciencia, tal vez el cambio más grande que se ha efectuado hasta la fecha (...) y que tiene la ventaja adicional de derivarse de la vanguardia de la física contemporánea”. Está emergiendo un nuevo paradigma que afecta a todas las áreas del conocimiento. La nueva ciencia no rechaza las aportaciones de Galileo, Descartes o Newton, sino que las integra en un contexto mucho más amplio y con mayor sentido, en un paradigma sistémico. Ahora bien, bajo el punto de vista ontológico, ¿cómo se nos presenta la realidad, en general, de nuestro universo?, ¿pueden reducirse los seres que nos rodean a su dimensión lineal, cuantitativa? Nuestro universo está constituido básicamente por sistemas no-lineales en todos sus niveles: físico, químico, biológico, psicológico y sociocultural. “Si observamos nuestro entorno vemos que estamos inmersos en un mundo de sistemas. Al considerar un árbol, un libro, un área urbana, cualquier aparato, una comunidad social, nuestro lenguaje, un animal, el firmamento, en todos ellos encontramos un rasgo común: se trata de entidades complejas, formadas por partes en interacción mutua, cuya identidad resulta de una adecuada armonía entre sus constituyentes, y dotadas de una sustantividad propia que transciende a la de esas partes; se trata, en suma, de lo que, de una manera genérica, denominamos sistemas” 4

(Aracil, 1986: 13). Según el físico Fritjof Capra (1992), la teoría cuántica demuestra que todas las partículas se componen dinámicamente unas de otras de manera autoconsistente y, en ese sentido, puede decirse que “contienen” la una a la otra, que se “definen” la una con la otra. De esta forma, la física (la nueva física) es un modelo de ciencia para los nuevos conceptos y métodos de otras disciplinas. En el campo de la biología, Dobzhansky ha señalado que el genoma, que comprende tanto genes reguladores como operantes, trabaja como una orquesta y no como un conjunto de solistas. También Köhler (para la psicología) solía decir que “en toda estructura dinámica (o sistema) cada parte conoce dinámicamente a cada una de las otras”. Y Ferdinand de Saussure (para la lingüística: 1954) afirmaba que “el significado y valor de cada palabra está en las demás”, que el sistema es “una totalidad organizada, hecha de elementos solidarios que no pueden ser definidos más que los unos con relación a los otros en función de su lugar en esta totalidad”. Si la significación y el valor de cada elemento de una estructura dinámica o sistema están íntimamente relacionados con los demás, si todo es función de todo, y si cada elemento es necesario para definir a los otros, no podrá ser visto, ni entendido “en sí” en forma aislada, sino a través de la posición y de la función o papel que desempeña en esa estructura dinámica o sistema. A este respecto, y refiriéndose a la sociología, dice muy bien Th.W. Adorno: “parece innegable que el ideal epistemológico de la elegante explicación matemática, unánime y máximamente sencilla, fracasa allí donde el objeto mismo, la sociedad, no es unánime, ni es sencillo, ni viene entregado de manera neutral al deseo o a la conveniencia de la formalización categorial, sino que es, por el contrario, bien diferente a lo que el sistema categorial de la lógica discursiva espera anticipadamente de sus objetos. La sociedad es contradictoria y, sin embargo, determinable; racional e irracional a un tiempo; es sistema y es ruptura; naturaleza ciega y mediación por la conciencia. A ello debe inclinarse el proceder todo de la sociología. De lo contrario, incurre, llevada de un celo purista contra la contradicción, en la más funesta de todas: en la contradicción entre su estructura y la de su objeto”. Cabe, entonces, la pregunta: ¿cuál es la “razón” en que se apoya la tendencia a matematizar toda realidad, a expresarla en un lenguaje matemático inadecuado, insuficiente y reductivo, imprimiendo sus formas e idealizando y empobreciendo las disciplinas renuentes a ello? Eichner (1989) nos da una respuesta: “la objeción aquí no es al uso de las matemáticas o al matematicismo de la economía. Es (....) al modo cómo las matemáticas han sido usadas para dar una fachada pseudocientífica a un cuerpo de la teoría, el cual no puede satisfacer ninguna de las pruebas empíricas mediante las cuales la ciencia se diferencia de la mera superstición o de la ideología pura”. La naturaleza íntima de los sistemas o estructuras dinámicas, en efecto, su entidad esencial, está constituida por la relación entre las partes, y no por estas, tomadas en sí. La relación es una entidad emergente, nueva. El punto crucial y limitante de nuestra matemática tradicional, por ejemplo, se debe a su carácter abstracto, a su incapacidad de captar la entidad relacional. La abstracción es la posibilidad de considerar un objeto o un grupo de objetos desde un solo punto de vista, prescindiendo de todas las restantes particularidades que pueda tener. El enfoque sistémico es indispensable cuando tratamos con estructuras dinámicas o sistemas que no se componen de elementos homogéneos y, por lo tanto, no se le pueden aplicar las cuatro leyes que constituyen nuestra matemática actual sin desnaturalizarlos, la ley aditiva de elementos, la conmutativa, la asociativa y la distributiva de los mismos, pues, en realidad, no son “elementos homogéneos”, ni agregados, ni “partes”, sino constituyentes de una entidad superior; las realidades sistémicas se componen de elementos o constituyentes heterogéneos y son lo que son por su posición o por la función que desempeñan en la estructura o sistema total; es más, el buen o mal funcionamiento de un elemento repercute o compromete el funcionamiento de todo el 5

sistema: ejemplos de ello los tenemos en todos los seres vivos y aun en la tecnología, como el estrepitoso fracaso del Challenger o del Ariane V, debidos, respectivamente, a una superficie exterior no cuidada o a los “tiempos” de una computadora. En general, podríamos señalar, como una especie de referente clave, que la matemática trabaja bien con objetos constituidos por elementos homogéneos y pierde su capacidad de aplicación en la medida en que estos son de naturaleza heterogénea, donde entra en acción lo cualitativo y sus relaciones. El gran biólogo Ludwig von Bertalanffy dice —como ya señalamos— que desde el átomo hasta la galaxia vivimos en un mundo de sistemas y señaló (en 1972) que para entender matemáticamente, por ejemplo, los conceptos biológicos de diferenciación, desarrollo, equifinalidad, totalidad, generación, etc. (todos sistémicos) necesitaríamos unas “matemáticas gestálticas”, en las que fuera fundamental, no la noción de cantidad, sino la de relación, forma y orden. Hoy en día, ya se han desarrollado mucho estas matemáticas. Se conocen con los nombres de “matemáticas de la complejidad”, “teoría de los sistemas dinámicos” o “dinámica no-lineal”, y trabajan con centenares de variables interactuantes e intervinientes durante los procesos con la cuarta dimensión “tiempo”. Se trata de unas “matemáticas más cualitativas que cuantitativas”. En ellas se pasa de los objetos a las relaciones, de las cantidades a las cualidades, de las substancias a los patrones. Su práctica es posible gracias a los ordenadores de alta velocidad que pueden ahora resolver problemas complejos, (con más de una solución), antes imposibles, graficar sus resultados en curvas y diagramas para descubrir patrones cualitativos. El pensamiento sistémico comporta, además, un cambio de la ciencia objetiva a la ciencia epistémica; es decir, se tiene en cuenta la posición personal del sujeto investigador, como el físico tiene en cuenta la temperatura previa del termómetro que usa. La comprensión de toda entidad que sea un sistema o una estructura dinámica requiere el uso de un pensamiento o una lógica dialécticos, no le basta la relación cuantitativo aditiva y ni siquiera es suficiente la lógica deductiva ya que aparece una nueva realidad emergente que no existía antes, y las propiedades emergentes no se pueden deducir de las premisas anteriores. Estas cualidades no están en los elementos sino que aparecen por las relaciones que se dan entre los elementos: así surgen las propiedades del agua, que no se dan ni en el oxígeno ni en el hidrógeno por separado; así aparece o emerge el significado al relacionarse varias palabras en una estructura lingüística; así emerge la vida por la interacción de varias entidades físico-químicas, etc. El principio de exclusión del físico cuántico Wolfgang Pauli, por su parte, estableció desde 1925 que las “leyes-sistemas” no son derivables de las leyes que rigen a sus componentes. Las propiedades que exhibe, por ejemplo, un átomo en cuanto un todo, se gobiernan por leyes no relacionadas con aquellas que rigen a sus “partes separadas”; el todo es entendido y explicado por conceptos característicos de niveles superiores de organización. Y este principio se extiende a todos los sistemas o estructuras dinámicas que constituyen nuestro mundo: sistemas atómicos, sistemas moleculares, sistemas celulares, sistemas biológicos, psicológicos, sociológicos, culturales, etc. La naturaleza de la gran mayoría de los entes o realidades es un todo polisistémico que se rebela cuando es reducido a sus elementos. Y se rebela, precisamente, porque así, reducido, pierde las cualidades emergentes del “todo” y la acción de estas sobre cada una de las partes. Por todo ello, nunca entenderemos, por ejemplo, la pobreza de una familia, de un barrio, de una región o de un país en forma aislada, desvinculada de todos los demás elementos con que está ligada, como tampoco entenderemos el desempleo, la violencia o la corrupción, por las mismas razones; y menos sentido aun tendrá la ilusión de querer solucionar alguno de estos problemas con simples medidas aisladas. En consecuencia, cada disciplina deberá hacer una revisión, una reformulación o una redefinición de sus propias estructuras lógicas individuales, que fueron establecidas aislada 6

e independientemente del sistema total con que interactúan, ya que sus conclusiones, en la medida en que hayan cortado los lazos de interconexión con el sistema global de que forman parte, serán parcial o totalmente inconsistentes. MODOS DE CONSTRUCCION DE CONOCIMIENTOS EN FISICA  El mundo físico real y el epistemológico. El mundo físico real y objetivo es referencia esencial de la ciencia, de la matemática y de la física. Pero también de la vida humana que debe sobrevivir adecuándose a los condicionamientos que ese mundo establece. Sin embargo, no hay posible al mundo al margen del conocimiento (o, si se quiere, de la actividad psíquica humana). Los contenidos de la mente son producto de la vinculación del psiquismo al mundo. La matemática y la física son uno de esos productos. De ahí que la reflexión del hombre sobre su propio psiquismo y conocimiento sea fundamental: esto es lo que llamamos epistemología. Ésta conduce a la epistemología de la matemática y a la epistemología de la física. Sin ellas nunca podremos saber cómo entender y valorar el conocimiento matemático y físico. La epistemología es así el primer ámbito de discusión del que todo depende.  Los universos matemáticos en la mente humana. Los universos matemáticos han sido producidos por la mente humana y han ido enriqueciéndose con el tiempo, tal como vemos en la historia de la matemática. Son, pues, un hecho: un producto fáctico de la mente humana que puede ser estudiado en sí mismo. Podemos preguntarnos en qué consisten (su contenido y su forma de organización interna), cómo han sido producidos por la mente humana (la forma de argumentación matemática y la forma de organizar los sistemas) y la forma en que son evaluados (en función de qué criterios los enunciados matemáticos se consideran “verdaderos” o “falsos” o con determinados valores formales intrínsecos que los hacen sostenibles y congruentes). Describir, por tanto, la matemática como un hecho, y analizar intrínsecamente su contenido, no es algo obvio. Puede ser objeto de discusión: no son lo mismo, por ejemplo, la descripción logicista al estilo de Russell y del neopositivismo lógico, o la constructivista al estilo de Brouwer, o la computacional al estilo de Turing (al pretender resolver el problema de Hilbert sobre la fundamentación de la matemática). Describir, pues, en sí mismo, tal como de hecho se ha producido, el “constructo” intrínseco de la matemática es así otro ámbito de discusión importante.  El origen del universo matemático: por qué la mente crea la matemática. Supuesta la matemática como hecho objetivo, se plantea la pregunta: ¿cómo y por qué la mente humana ha llegado a producir creativamente la matemática? Es una pregunta que no puede responderse al margen de la realidad humana: del hombre como ser biológico que, evolutivamente, ha llegado a tener unas facultades psíquicas y cognitivas. Por ello, la respuesta depende primero de la epistemología, de la filosofía y, más recientemente, de la psicología cognitiva y de las ciencias humanas. Puede haber, por ejemplo, una respuesta platónica (que todavía parece gustarle a Penrose y otros); pero también hay respuestas en línea con Kant, Husserl, Zubiri, o con modernas epistemologías genético-evolutivas (como la Piaget) o computacionales. Pero las explicaciones que se ofrezcan deben siempre dar razón del origen de la matemática, según la complejidad con que ha sido descrita como hecho objetivo. En todo caso, el origen de la matemática en la mente humana es un ámbito de discusión presente en la historia y todavía abierto. 7

 La relación del universo matemático con el mundo físico real. Parece un hecho incuestionable la relación de la matemática con el mundo físico real, bien sea en el marco de la ciencia básica o de la ingeniería. Así, las ciencias reales han aplicado numerosas tecnologías matemáticas para describir cómo funciona el mundo físico natural, pero también cómo construir y controlar la tecnología. El nivel de formalización eleva la precisión de la ciencia. Pero es claro que hay también ciencias, como la medicina o la biología, donde la formalización es mínima y donde se trabaja a base de descripciones visuales o establecimiento de hechos cualitativos. En todo caso la forma de entender la relación de la matemática con la ciencia real dependerá de la forma de plantear y tomar opciones explicativas en los tres puntos anteriores. En principio consideramos que hay algunos aspectos esenciales involucrados en esta discusión. 1) Dependencia genética. La mente natural es anterior a la matemática y, por ello, cabe itir que la experiencia del mundo físico natural y las funciones psíquicas derivadas han inspirado la creación matemática en su génesis (un mundo “estructural”, espaciotemporal, “inspira” la imaginación de sistemas matemáticos). 2) Libertad creativa de la mente matemática. La matemática, a medida que avanza en su historia, aunque quizá haya comenzado genéticamente bajo inspiración en la experiencia del mundo, se ha liberado de una dependencia empírica y es libre para crear con la imaginación complejos mundos formales al margen de la experiencia. 3) La permanente función aplicada de la matemática. La matemática nació ya en las culturas antiguas con un sentido práctico (vg. agrometría). Siempre conservó su vinculación a la ciencia como instrumento formal (crear instrumentos formales aplicables al conocimiento real del mundo). Por tanto, la libertad creativa puramente formal de la matemática, aun debiéndose itir, tiene que enmarcarse en una última finalidad aplicada de la matemática: crear un cúmulo de posibilidades formales diversificadas que, en su momento puedan o no, ser aplicadas al conocimiento real en las ciencias. Por esta razón las matemáticas son ciencias (en último término orientadas al conocimiento real): aunque, eso sí, ciencias “formales” (diseñan instrumentos útiles para el conocimiento real). El entendimiento apropiado, por tanto, de la relación de los universos matemáticos con el mundo físico real es otro de los temas de discusión abiertos en el que caben distintas posiciones teóricas.  Los universos (modelados matemáticamente) físicos verificables o falsables. Lo que comúnmente llamamos ciencia es conocimiento acerca del mundo real que está contrastado, por verificación (positivista) o falsación (popperiana), ante los hechos empíricos (mediante diversas técnicas itidas por la ciencia como observación natural, experimentación, correlación, estadística, etc.). La ciencia está, pues, constituida por todos aquellos conocimientos en sistema que han sido contrastados empíricamente. Por tanto, los universos (o modelos, en pequeña escala) matemático-físicos son distintos de los matemáticos puros porque en ellos se trata de describir en un sistema matemático-físico el mundo real. La teoría de las ciencias reales describe cómo se crea el lenguaje-objeto que describe científicamente el mundo real: describe, en definitiva, cómo se puede crear conocimiento del mundo fundado rigurosamente en los hechos. El resultado final más brillante de esta ciencia “realista” y “empírica” son las teorías, que a veces dan lugar a modelos, y las formalizaciones de constructos, modelos o teorías (principalmente la organización lógica del conocimiento por axiomatización). Esta ciencia real no se entiende como 8

una verdad absoluta. Ha sido entendida, en sentido popperiano, como una “hipótesis” susceptible de crítica y revisión; pero hasta el momento mantenido tras su confrontación con los hechos. La ciencia real vigente es siempre una ciencia “abierta”. Sólo este tipo de universos tienen legitimidad epistemológica para decirnos cómo es en realidad el universo, aunque sea siempre de forma provisoria. Otro tema básico, por tanto, para estudiar la relación del universo matemático con el universo físico es tomar posición ante la forma de entender los universos matemáticofísico que constituyen la ciencia ordinaria, realista y empírica, que tiene hoy relevancia y consistencia social itida.  Los universos (matemáticos) físicos meta-teóricos. La producción de un conocimiento del mundo físico apoyada en los modelos matemáticos y en la experiencia empírica no ha sido fácil para la ciencia. En ocasiones, en el proceso de ciencia normal que hemos descrito, se ha padecido por falta de datos, o han aparecido lagunas o incoherencias, o serias faltas de coordinación entre los hechos y conocimientos ya existentes entre sí. En ocasiones, para entender el mundo de forma más congruente, se han planteado hipótesis ad hoc, sencillas y fácilmente sometidas a contrastación empírica. En otras ocasiones los científicos se han visto en la conveniencia o necesidad de establecer sistemas de hipótesis, o constructos o teorías hipotéticas mucho más complejas, no sólo mucho más difíciles de contrastar empíricamente, sino incluso de momento, al menos, incontrastables con los medios existentes. Estas meta-teorías físicas hipotéticas (las llamamos así para distinguirlas de las teorías en las ciencias reales empíricamente contrastadas y establecidas en la ciencia normal) se han formulado aplicando también en sus concepciones creativas potentes instrumentos matemáticos, que incluso han inspirado y guiado estas meta-teorías. Por otra parte, han permitido también simulaciones por ordenador que han visualizado qué pasaría al discurrir el tiempo, transformándose dinámicamente el sistema, oscilar y recombinarse el conjunto de valores de las variables dentro de los ámbitos previstos. Estos universos matemático-físicos meta-teóricos deben distinguirse, por tanto, de los universos matemático-físicos que constituyen hasta hoy la ciencia ordinaria contrastable empíricamente. Son, pues, propuestas especulativo-creativas legítimas: la teoría de la ciencia considera su posibilidad, la forma en que deben crearse, su valoración y la aportación que suponen a la ciencia. La imaginación creativa no sólo es propia de la matemática pura, sino también de la física teórica, y meta-teórica en el sentido aquí expuesto. Estos universos físicos meta-teóricos no son ni los simples universos matemáticos, ni los universos de la física ordinaria en la ciencia socialmente consensuada: pero deben ser detectados, discutidos y evaluados en sus aportaciones propias.  Las condiciones de uso de la especulación meta-teórica. La meta-teoría, tal como aquí la hemos comentado, es un ingrediente esencial de la ciencia. Especular es necesario y enriquecedor, aunque no se hayan podido contrastar sus propuestas imaginativas. Es la epistemología, en concreto la epistemología de la ciencia, la que establece la forma correcta de construir y usar la especulación meta-teórica. Lo esencial es no confundirla con el conocimiento real, sino usarla heurísticamente para enriquecer la búsqueda de conocimiento empírico hasta transformar lo meta-teórico en teórico; es decir, en parte itida de las teorías físicas ordinarias sobre el mundo real. Así, la relatividad, los agujeros negros o la misma materia oscura, fueron en su momento cosmología meta-teórica; pero llegaron a ser contrastados por la experiencia empírica. Sin embargo, otras propuestas, como la teoría del estado estacionario, que en su momento de esplendor tuvo multitud de seguidores, no han prosperado. En la actualidad la propuesta meta-teórica de los quark ha comenzado a ser 9

contrastada tímidamente. Pero la pretenciosa teoría de cuerdas y súper-cuerdas, que suscita incuestionable iración y respeto, no pasa de ser en la actualidad una compleja meta-teoría que no sabemos todavía a ciencia cierta si en algún momento podrá ser contrastada ante los hechos. Podría triunfar, pero también fracasar.  La explicación de la razón de congruencia entre la ontología física del universo y las formalizaciones matemáticas. Otro tema de discusión que estuvo, y sigue estando, en el candelero es la razón explicativa profunda de que el orden físico del mundo real sea concordante con las formalizaciones matemáticas. Se podría formular como el problema de por qué la naturaleza es racional, responde a un orden y puede ser formalizada por la matemática. Autores modernos como Penrose no han escatimado la descripción sublimada de su estado de ánimo ante la forma matemática del mundo (que han tratado de entender desde posiciones platónicas). Todos recordamos a Einstein y su veneración ante el enigma sublime del orden racional físico de la naturaleza, que entendía como camino hacia el reconocimiento mistérico de la Divinidad. La discusión sigue hoy abierta. Bástenos recordar cómo hoy disputan dos tendencias explicativas. La primera ve en las propiedades fácticas de la materia (que debemos itir y no cuestionar) el condicionamiento básico que, desde el origen del universo, ha ido imponiendo la forma de organización e interacción, así como el orden matemático derivado, cuyas regularidades darían lugar a las leyes de la física. Por tanto, para estos, el orden matemático se haría como resultado inevitable de las propiedades de la materia. La segunda tendencia explicativa iría en la línea del diseño inteligente: la materia ha debido de ser diseñada para producir el portentoso orden del universo. Pero incluso el valor preciso y repetido de las variables que determinan el orden visible, como explica el principio antrópico, serían resultado de un diseño racional necesario para entender la causa productora del orden físico del mundo.  La discusión de alternativas en la creatividad matemática. La matemática ha sido creada imaginativamente por la mente humana, aunque en muchos casos esta creatividad estuviera de principio orientada a resolver problemas prácticos. Así ha sido históricamente. Pero la matemática es hoy muy consciente de la absoluta libertad creativa que debe inspirarla, al margen de que sus constructos sean o no aplicables; eso es un asunto que deberá verse después. Lo que interesa es la belleza, innovación, nuevos rumbos, creativos al máximo, que pueda encontrar la matemática moderna. Esta búsqueda heurística de nuevas alternativas para imaginar mundos matemáticos nuevos, dentro de la libertad absoluta de la matemática, es también hoy un ámbito de reflexión abierto en los universos matemáticos.  La discusión de alternativas matemáticas en la formalización del mundo físico real. En otras ocasiones la reflexión actual sobre la matemática está más orientada hacia sus posibles aplicaciones, tal como fue en el pasado (recordemos cómo Newton y Leibniz crearon el cálculo infinitesimal a instancia de exigencias muy concretas de la física de entonces). Se produce entonces una reflexión heurística sobre la matemática orientada a posibilitar aplicaciones en nuevos campos de las ciencias reales. Un ejemplo, es hoy la nueva reflexión sobre la matemática orientada a permitir su aplicación útil en la ingeniería y lógica del ordenador. Este es, pues, hoy otro de los enfoques desde el que se aborda la reflexión sobre los universos matemáticos. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Aracil, J. (1986). Máquinas, sistemas y modelos. Madrid: Tecnos. 2. Aristóteles (1973). Obras completas. Madrid: Aguilar. 10

3. Bertalanffy, L. Von (1981). Historia y situación de la teoría general de sistemas. En Bertalanffy, L. Von y otros, Tendencias en la teoría general de sistemas. Madrid: Alianza. 4. Beynam (1978). The emergent paradigm in science. En ReVision Journal, 1, 2. 5. Bronowski, J. (1978). El sentido común de la ciencia. Barcelona: Pinínsula. 6. Bronowski, J. (1979). El ascenso del hombre. Caracas: Fondo educativo interamericano. 7. Capra, F. (1985). El punto crucial. Barcelona: Integral. 8. Capra, F. (1992). El tao de la física. Madrid: Luis Cárcamo. 9. Capra, F. (2003). La trama de la vida: una nueva perspectiva de los sistemas vivos. Barcelona: Anagrama. 10. CIRET (1994). Proceedings of world congress of transdisciplinarity: Centre international de recherches et etudes transdisciplinaires (CIRET). Proceedings from 1994 meeting in Lisbon (Portugal). Extraído de http://perso.club-/internet.fr/nicol/ciret/. 11. CIRET-UNESCO (1997). ¿Qué universidad para el mañana? Hacia una evolución transdisciplinaria de la universidad (declaración y recomendaciones). Congreso internacional sobre transdisciplinariedad, Locarno, Suiza, mayo de 1997. 12. CIRET-UNESCO (2000) International transdisciplinary conference, Zurich, 27 febrero-1 de marzo, 2000. 13. Clark, R. (1972). Einstein: the life and times. Nueva York: Avon Books. 14. Descartes, R. (1983). Discurso del método y reglas para la dirección de la mente. Barcelona: Orbis. 15. Dilthey, W. (1976). The rise of hermeneutics. En Connerton, P. (Dir.), Critical sociology. Nueva York: Penguin. 16. Eccles, J. C. y Popper, K. (1985). El yo y su cerebro. Barcelona: Labor. 17. Echeverría, J. (1989). Introducción a la metodología de la ciencia: la filosofía de la ciencia en el siglo XX. Barcelona: Barçanova. 18. Eco, U. (1990). La definición del arte: lo que hoy llamamos arte ¿ha sido y será siempre arte? Barcelona: Martínez Roca. 19. Eichner, A. (1989). Por qué la economía no es todavía una ciencia. En Rev. del Banco Central de Venezuela, julio-sept. 20. Feyerabend, P. (1975). Contra el método: esquema de una teoría anarquista del conocimiento. Barcelona: Ariel. 21. Frey, G. (1972). La matematización de nuestro universo. Madrid: G. del Toro. 22. Gadamer, H. G. (1984). Verdad y método: fundamentos de una hermenéutica filosófica. Salamanca: Sígueme. 23. Gadamer, H. G. (1976). Philosophic hermeneutics. Berkeley: University of California Press. 24. Habermas, J. (1982). Conocimiento e interés. Madrid: Taurus. 25. Habermas, J. (1996). La lógica de las ciencias sociales. Madrid: Tecnos. 26. Habermas, J. (1999). Teoría de la acción comunicativa. Madrid: Taurus. 27. Hegel, G. (1966). Fenomenología del espíritu. México: FCE. 28. Heidegger, M. (1974). El ser y el tiempo. México: FCE. 29. Heisenberg, W. (1958a). Physics and philosophy: the revolution of modern science. Nueva York: Harper & Row. 30. Heisenberg, W. (1958). The representation of nature in contemporary physics. En Daedalus, 87, 95108. 31. Hertz, H. (1956). The principles of mechanics, presented in a new form. Nueva York: Dover. 32. Hospers, J. (1979). Philosphy of art. En Encyclopaedia Britannica. Inglaterra: Edic. 33. Kant, I. (1973). Crítica de la razón pura. Buenos Aires: Losada. 34. Kuhn, T. S. (1978). La estructura de las revoluciones científicas. México: F.C.E. 35. Lighthill, J. (1986). The recently recognized failure of predictability in newtonian dynamics. Proceedings of the royal society, (Tomo A, 35-50). 56. Merleau-Ponty, M. (1975). Fenomenología de la percepción. Madrid: Península. 57. Merleau-Ponty, M. (1976). La estructura del comportamiento. Buenos Aires: Hachette.

11

“Matemática”

Año 2014

12

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS DE USO FRECUENTE

Algunas letras del alfabeto griego

Objetivos 

Definir a los conjuntos numéricos



Distinguir entre racional e irracional, entre real y complejo



Recordar la aritmética de los números reales y complejos



Adquirir habilidad en la resolución de situaciones problemática

13

14

NÚMEROS REALES Conjuntos Numéricos y Propiedades Los números naturales son los números que utilizamos para contar, estos son: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}. Los puntos suspensivos indican que los números continúan de esa forma, sin terminar nunca. Si sumamos dos números naturales obtenemos otro número natural, por ejemplo: 8 + 5 = 13. Pero si restamos 5 – 5 , necesitamos otro número que represente el resultado. Ese número es cero. Este conjunto es el conjunto de los números cardinales {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,…}. En el diario vivir se escuchan expresiones como: “ 10 grado bajo cero”, 647 en débito”, “8 pies bajo el nivel del mar”. Estas tres expresiones se refieren a números menores que cero. Con estas situaciones surgen los enteros negativos. Los enteros negativos, el cero y los números naturales (también conocidos por enteros positivos) forman el conjunto de los números enteros, estos son {,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…}. Si sumamos, restamos y multiplicamos enteros siempre se obtiene otro número entero. Pero si dividimos dos enteros no siempre obtendremos otro entero. Por ejemplo, 16 ÷ 2 = 8 pero en 3 ÷ 4 el resultado no es un entero. Existen muchas divisiones donde el resultado no es un entero. Esta situación nos lleva a otro conjunto numérico conocido por los números racionales. Los números racionales son todos aquellos números que se pueden escribir de la forma

a donde b es diferente de cero. Los números naturales, los cardinales y los enteros b

son números racionales. Otros ejemplos de números racionales son: 5 7 3 6 ,  , 2 , 25 , 1.25, , 0.33333 .... 4 8 4 100

Existe otro conjunto de números que son los números irracionales, estos son números que no son racionales, esto es, que no se pueden expresar de la forma diferente de cero. Ejemplos:

a donde b es b

2 = 1.414213562… es un número irracional y π = 3,14157…

Luego el conjunto de números que consiste de todos los números racionales y todos los números irracionales se conoce como el conjunto de los números reales. El siguiente diagrama ilustra los diferentes conjuntos numéricos que estaremos utilizando en este curso. 15

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Números Reales Números Irracionales √3; Π; -√2; …

Números Racionales -1; -⅔; 0; 4; ⅝;1.25,0.333… Números Enteros …,-3,-2,-1,0,1,2,3,…

Números Cardinales 0,1,2,3,4,5,6,…

Números Naturales 1,2,3,4,5,6,…

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Para todo número real a, b y c: Propiedad Conmutativa: a + b = b + a a·b=b·a Ejemplos: 5 + 3 = 3 + 5 2 · 4=4 · 2 Propiedad Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c a · (b · c) = (a · b) · c Ejemplos: 2 + (3 + 4) = (2 + 3 ) + 4 5 · (1 · 7) = (5 · 1) · 7 Elemento Identidad de la Suma: a + 0 = a Ejemplos: 8 + 0 = 8; -4 + 0 = -4 Elemento Identidad de la Multiplicación: a · 1 = a Ejemplos: 9 · 1 = 9;

-3 · 1 = -3

Inverso Aditivo: a + (-a) = 0 Ejemplo: 6 + (-6) = 0 Inverso Multiplicativo: a 

Ejemplos:

7 x

1 7



1  1 cuando a  0 a

1 ;

3 4

x

4 3



1

Propiedad Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c

Ejemplo: 5 · (3 + 4) = 5 · 3 + 5 · 4 16

¡ PARA RECORDAR!!!!!!! Operación Adición

Notación simbólica .a + b = c

Sustracción

.a – b = c

Multiplicación

.a . b = c

División

.a : b = c .an = b

Potenciación Radicación

n

a  b  bn  a

Operaciones Adición Propiedades Ley de cierre a N0 b  N0 a + b = c /c  N0 Conmutativa a+b=b+a Asociativa

(a + b) + c = a + (b + c)

Uniforme Elemento neutro

.a = b c = d => => a + c = b + d Es el cero, pues: .a + 0 = 0 + a = a

Distributiva Operaciones División Propiedades Uniforme .a = b c = d => => a . c = b . d (a + b) : c = a: c + b: c Distributiva a .(b +c) = a . b + a . c

Elementos .a y b sumandos. .c suma .a: minuendo. .b: sustraendo .c: resta. .a y b : factores .c: producto .a: dividendo .b: divisor .c: cociente .a: base .n: exponente .b: potencia .a: radicando .n: índice .b: raíz

Sustracción

Multiplicación

........................ no cumple ………………. no cumple ......................... no cumple .a = b c = d => => a - c = b - d ........................... no cumple

.a N0 b  N0 a .b =c /c  N0 a .b = b. a

Potenciación

Radicación

(a. b). c = a.(b. c) .a = b c = d => => a . c = b . d Es el uno, pues: .a . 1 = 1. a = a

............................ ............................ no cumple no cumple n n n (a. b) = a . b n a . b=n a .n b (a : b)n = an: bn na:b =na:nb

17

Actividad de Aplicación: 1. Resuelvan y verifiquen las siguientes ecuaciones. Apliquen propiedad distributiva cuando

sea necesario. a) 5. ( a + 3) = 45

c) 8. (p + 4 ) + 3.p – 2.p = 5 . 8 + 1

b) 8.(2.b – 4) = 16

d) 0,5 . (7 + w) + 3.w = 2. ( 4 – 0,5)

e) 21 + 3.(c + 7) = 92

2. Realicen los siguientes cálculos:

a) (-2)3 – 3 . (-2)2 + 8.(-2) + 3 =

b) 2. (2 + 3)2 – ½ =

c) (3 . 2) 2 + (5 – 2 )2 =

d) 2 .(2 – ½ )2 + (2 – ½ )0 + (1/2)2 =

¡PARA RECORDAR! La Potenciación tiene las siguientes propiedades: * an = a.a.a…..a a se multiplica n veces por si misma . * am

. an = am+n

Ej: 32 .35

* am

: an = am-n

Ej.: 24

= 32+5

= 37

Ej:

36 : 33 = 36-3

= 33

* ((a)n )m = an.m

Ej:

(( 3)2)3 = 32.3 = 36

* a0

=1

Ej: 30 = 1

* a1 = a

Ej: 31 = 3

= 2.2.2.2

3. Coloquen signo igual o distinto ( = ó ≠ según corresponda: . . 2 3 5 √ 9 ………..3 a) 2 . 2 …… 2 . . . . . . 2 4 3 √ 9 +9 ………… √9 + √ 9 b) 3 : 3 ……… 3 . . . . . . √4 . 9 …………. √4 . √ 9 c) 59 : 52 ………54 . . . . . . 3 √ 27 – 8 ………..3√ 27 - 3 √ 8 d) (( 2 ) 3)4 ………… 212 . . . . . .

e)

3 

5 2

………… 37

√ 36 : 9 ………√ 36

:

√9

18

Práctico N°1 de Matemática

1. a) Indica a cual o cuales de los siguientes conjuntos pertenecen los números de la izquierda de la tabla con una marca de cotejo:

Número/Conjunto numérico 11 -7 0 ¾ 0.272727… 7.25 2.7985413… 1½ 25

Natural

Cardinal

Entero

Racional

Irracional

Real



2.

3.

4.

3 - (1 + 1) 4 2 8 = 1 - 3 2 14 5. Calcula qué fracción de la unidad representa:

a) La mitad de la mitad. b) La mitad de la tercera parte. c) La tercera parte de la mitad. d) La mitad de la cuarta parte. 6. Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A lleva

recorridos los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 6/13 del mismo. ¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros lleva recorridos cada uno?

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7. En las elecciones locales celebradas en un pueblo, 3/11 de los votos fueron para el partido

A, 3/10 para el partido B, 5/14 para C y el resto para el partido D. El total de votos ha sido de 15 400. Calcular: a) El número de votos obtenidos por cada partido. b) El número de abstenciones sabiendo que el número de votantes representa 5/8 del censo electoral. 8. En cierto terreno se cultivan 4/5 partes de trigo y el resto, 100m2, de maíz. Cuál es la

superficie total del terreno? 9. Un tonel de vino está lleno hasta los 7/11 de su capacidad. Se necesitan todavía 1804

litros para llenarlo completamente. Cuál es la capacidad del tonel? 10. Resuelve las siguientes operaciones:

Un exponente fraccionario como 1/n significa hacer la raíz n-ésima:

1 xn

nx

Ejemplo: ¿Cuánto es 271/3 ?

Respuesta: 271/3 =

27 = 3

Un exponente fraccionario como m/n significa haz la potencia m-ésima, después haz la raíz n-ésima

m

x n  n xm

Ejemplo: ¿Cuánto es 43/2 ?

Respuesta: 43/2 = 43×(1/2) = √(43) = √(4×4×4) = √(64) = 8

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RECTA REAL

Representación geométrica de los números reales.

RELACIÓN BIUNÍVOCA: a cada número real le corresponde un único punto en la recta real y cada punto en la recta real corresponde a un único número real. INTERVALOS

Representan subconjuntos de los números reales. Describiremos nueve tipos de intervalos, cuatro de ellos finitos y cinco infinitos. En la definición de intervalos finitos, a y b son números reales, siendo a < b.

Nota: Un extremo abierto, como puede observarse, se representa con paréntesis ( ). La

representación también puede hacerse usando circunferencias " O ". Un extremo cerrado se representa con corchetes [ ]. La representación también puede hacerse usando círculos ( círculo: superficie plana contenida dentro de la circunferencia, circunferencia: línea curva

cerrada, cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto interior llamado centro ). 21

OPERACIONES CON INTERVALOS INTERSECCIÓN: La intersección de dos intervalos A y B, se expresa por:

y se lee " A intersección B ", y representa un nuevo conjunto formado por elementos que están en A y en B ( elementos comunes). _____________________________________________________________ Ejemplo 1:

Sea A = ( -3, 2 ] y B = [ -1, 5 ) dos intervalos. Determinar el intervalo solución de la intersección de A y B.

_____________________________________________________________ UNIÓN: La unión de dos intervalos A y B, se expresa por:

y se lee " A unión B ", y representa un nuevo conjunto formado por elementos que están en A ó en B (comúnes y no comunes). _____________________________________________________________ Ejemplo 2:

Sea A = ( -3, 2 ] y B = [ -1, 5 ) dos intervalos. Determinar el intervalo solución de la unión de

A y B. De la gráfica del ejemplo Nº 1, se fija la unión de A y B como el intervalo ( - 3, 5 ).

_____________________________________________________________ Ejemplo 3:

Sea A = ( -5, -3 ) U ( 2, 7 ) y B = ( -7, 0 ). Determinar el intervalo solución de la intersección de A y B.

22

Ejemplo 4:

Sea A = ( -5, -3 ) U ( 2, 7 ) y B = ( -7, 0 ). Determinar el intervalo solución de la unión de A y

B.

_____________________________________________________________

DESIGUALDADES

Si a y b son números reales y a - b es positivo, se dice que a es mayor que b, y se escribe a > b, esto es equivalente a decir que b es menor que a (b < a). Los símbolos < y > se llaman SIGNOS DE DESIGUALDAD y expresiones como a > b y b < a se llaman DESIGUALDADES. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

Si a y b son números reales, entonces: a) Si a > b y b > c, entonces a > c b) Si a > b, entonces a + c > b + c c) Si a > b, entonces a - c > b – c d) Si a > b y c es positivo, entonces ac > bc e) Si a > b y c es negativo, entonces ac < bc SOLUCIÓN DE UNA DESIGUALDAD

Resolver una desigualdad con una variable significa determinar los números (del universo de la variable) para los cuales la desigualdad resulta una proposición verdadera. El conjunto de números del universo para los que es verdadera la desigualdad, constituye la solución de la desigualdad. Por ejemplo: la solución de la desigualdad siguiente, 3x > 9, en el universo de números reales, es la totalidad de números reales mayores que 3, es decir:

23

RAZONES Y PROPORCIONES Un poco de historia… Muchos historiadores concuerdan en que el primer matemático fue el griego Thales de Mileto. Se cuenta que en las tierras del Nilo, los sacerdotes egipcios, poniéndolo a prueba, le preguntaron en cuánto estimaba la altura de la gran pirámide de Keops. Con la serenidad de un sabio, Thales

respondió que, antes que estimarla, prefería medirla. Los egipcios,

estupefactos, presenciaron la simple y maravillosas medición de Thales, quien, mediante un bastón y una proporción, logró rápidamente la proeza.

Ejercicio: 1. La expresión décima que corresponde a la fracción a) 0,0075 2. Una fracción equivalente a

a)

b) 0,75

c) 1,75

3 5

6 9

b)

3. El valor de x en la expresión

a) x  c.

3 es: 4

9 5

c)

12 20

a . x  c (con a  b  0) es: b

a b

b) x  b.

a c

c) x  c.

b a

4. El 10 % de 5000 es =

a) 500

b) 50

c) ninguna de las anteriores



Una razón es el cociente indicado entre dos cantidades.



La razón entre a y b se indica



Cuatro cantidades a, b, c y d, en ese orden forman una proporción si se cumple que:

a . b

a c  b d 

A los números que forman una proporción los llamamos: a y d : extremos b y c : medios

24

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios:

a c  b d

 a . d  b. c

Una proporción es continua cuando los medios de la proporción son iguales

Ejercicios: 1. Armar, con los números 2, 4, 8 y 16, una proporción ordinaria y otra continua. 2. Armar una proporción con cada una de los siguientes cuartetos de números.

a) 2, 4, 7 y 14 c)

1 1 , ,4 y6 2 3

b)

10 5 , ,6 y8 3 2

d)

4 5 6 5 , , y 5 3 5 2

3. Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones calcular el valor de x:

4. Hallar el valor desconocido en cada una de las siguientes proporciones:

a) Tres hermanas decidieron comprar un billete de la lotería provincial, y para ello aportaron $ 5, $ 10 y $ 25, respectivamente. Según lo acordado, si ganan, el millón de pesos del premio, lo repartirían en forma proporcional a lo aportado para la compra del billete, es decir que la fracción del premio que le corresponderá a cada uno será respectivamente igual a la fracción aportada para a la compra del billete. Julia, la menor, está muy ilusionada y se puso a hacer una tabla para calcular cuánto le tocaría a cada una. Hagan los cálculos necesarios que completen la tabla de datos que faltan. 25

b) La abuela Dora trajo una caja de 98 bombones y los quiere repartir entre sus nietos más chicos – Agostina, Federico y Lucas – en forma directamente proporcional a sus edades. Agostina tiene 3 años, Federico, seis y Lucas, cinco. i) ¿Cuántos bombones le tocarán a cada uno? ii) Mientras repartía sus bombones, Dora comentaba: ´´menos mal que son justo 98, porque si hubieran sido 100 bombones, no habría podido repartirlos de esta forma.´´ ¿A qué se refería?

TRABAJO INTRODUCTORIO 1.

a) En cada una de las siguientes figuras, pintar una parte que corresponda a la fracción indicada. Tener en cuenta que en el segmento, las partes indicadas son iguales y en el círculo la porción mayor representa el doble de las restantes.

3/5 y 20%

7/8 y 25 %

b) Indicar qué fracción del total representa el área sombreada y expresar esa fracción como porcentaje. 2. Completar la línea de puntos con algún número de tal manera que se cumpla la

desigualdad planteada:

26

a)

......  6

c) 3 / 5 

5 6 3 .......

b) 8 / 5 

1 d)

3 2

5



8 ....... 1 3 / 2 .......

3. Una lámina que tiene un área de 4600 cm2 será pintada en tres franjas: dos de color amarillo y una de color verde. Se comienza pintando con amarillo la primera franja, que representa el 45% del total de la lámina. Luego se pinta con verde la próxima franja, ocupando las dos quintas partes de la superficie que aún quedó sin pintar, y finalmente, se pinta el resto nuevamente con color amarillo. a) ¿Qué porcentaje de la superficie total de la lámina quedó pintada de verde? b) ¿Qué área quedó pintada de amarillo? 4. Dados los segmentos de las figuras que se presentan divididas en partes iguales, decidir cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas justificando adecuadamente.

a) AB = 3/5 CD b) CD=5/3 AB c) 6 CD = 10 AB d) La longitud de AB es el 60 % de la longitud de CD. e) El 20% de CD coincide con el 30% de AB. f) ¿4/5 AB es mayor, menor o igual que 4/5 CD? 5. Tres hermanos, Juan, Pedro y Luis, reciben una herencia de $100 000. En el testamento queda establecido que Pedro debe recibir el 30% de la herencia, Juan las dos quintas partes de lo que queda, y el resto es para Luis. a) ¿Cuál de los tres hermanos recibió la mayor parte de la herencia? b) ¿Y si el monto original fuera de $300 000? c) De acuerdo al monto de la herencia, decidir quien recibe la mayor parte. 27

d) ¿Qué porcentaje del total le corresponde a Luis? 6. Decidir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justificar: a) 3x 0,33333= 1

b) 0,33333= 1/3

c) 0,3333…..= 1/3

d) 3 x 0,33333….=3 x 1/3

7. Identificar, entre los números 163/32 ; 145/36; 150/16; 29/4; 593/16 , a los resultados de los cálculos: a)

2

-(-2)

-4/3

b)

+

-3

5

3/2

8. Resolver: 3/2

9. a) Se quiere embaldosar el siguiente patio rectangular. Calcular cuántas baldosas de cada tipo se requieren. Baldosa A

Baldosa B

Baldosa C b) ¿Cuál es la relación que hay entre la cantidad de baldosas necesarias para embaldosar el patio y el área del rectángulo? c) Explicar por qué el área del rectángulo se calcula haciendo el producto de la longitud de la base por la longitud de la altura. 10. En el rectángulo ABCD se sabe que uno de sus lados mide 10 cm y que su perímetro es de 80 cm. Se pide: a) Hallar el área. b) Construir otro rectángulo que tenga el mismo perímetro pero otra área. ¿El área del nuevo rectángulo resultó mayor o menor que el dado? c) Construir otro rectángulo que tenga la misma área pero distinto perímetro: ¿El perímetro es mayor o menor que el del rectángulo inicial?

28

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Trabajo introductorio 1. Tres hermanos, Juan, Pedro y Luis, recibe una herencia de $100.000. En el testamento queda establecido que Pedro debe recibir el 30% de la herencia, Juan las dos quintas partes de lo que queda, y el resto es para Luis. a) ¿Cuál de los tres hermanos recibió la mayor parte de la herencia? b) ¿Y si el monto original fuera de $300.000? c) De acuerdo al monto de la herencia, decidir quién recibe la mayor parte. 2. Efectuar las siguientes operaciones: 5 – (1 x 5) y (5 - 1) x 5. a) ¿Son iguales los resultados? b) ¿Cómo efectuaría la operación 5 -1 x 5? c) Analizar la convención acerca de las precedencias con que se realizan las siguientes operaciones: i) ¿3 + 4 x 5 es 3 + (4 x 5) ó (3 + 4) x 5? ii) ¿3 x 52

es

3 x (52) ó (3 x 5)2?

iii) Recordemos que el opuesto de cierto número, por ejemplo 9, es -9, o sea -9 = (-1) x 9 = (-1) x 32 ya que también recordamos que 9 = 32 = (32). ¿Diría usted entonces que si tenemos -32 esto debe leerse como -32 = -9 = -(32) ó como (-3)2 = (32) = 9? 3. Decida si cada una de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) 24. 23 = 27

b) 24. 20 = 24

c) 24. 21 = 24

d) 20 = 1

e) 80 = 1

f) 25. 2-5= 20= 1

g) 2-5 = ½-5

h) Si a ≠ 0 entonces a-n = 1/an

i) Si a ≠ 0 y si n y m son enteros entonces: (an)m = an.m j) Si a > 0 entonces ((an)1/q )q = an k)

  q

an

q

 an

l)

q

1

n

an   an  q  a q

4. El precio de una remera con el 20% de descuento es de $12, ¿cuál es el precio de lista? 5. Se tienen los siguientes rectángulos con sus dimensiones indicadas en la figura. En cada caso, indicar cuáles de las opciones señaladas para cada uno corresponden al cálculo de su área 29

i) 3·(4 + 2)

ii) 3·4 + 6

iii) 3.4 + 2

iv) 3·(x +2)

v) 3·x + 6

v) 3·x +2

6. Decidir, en cada uno de los siguientes casos, si las expresiones son equivalentes. Justificar la decisión tomada, donde a, b y c  , b  0, c  0

y bc  0

b)

a)

7. Completar, en cada caso, las líneas punteadas de manera que las expresiones resulten equivalente: ……….

a)

2

c)

- 6 +…………………..

b)

…………

d) 9x -12 x2=………….. . (3-4x)

e) f)

3

(…….+……..)

g) 4t2 - 8t5 + 6t4 =………(……….-4t3 + …….) h) 5. (x +1)2 + x. (x +1)2 = (x+1)2 . (……..+………..) i) 8. Decidir cuáles de las siguientes expresiones son equivalentes a Justificar. a)

b)

c)

9. Responder a las siguientes preguntas: a) ¿Existen valores de a y b tales que (a + b)2 = a2 + b2? b) ¿Existen valores de a y b tales que (a + b)2 < a2 + b2? c) ¿Existen valores de a y b tales que (a + b)2 > a2 + b2?

30

PRODUCTOS NOTABLES Las siguientes expresiones resultan de aplicar la definición de potenciación y las propiedades de la suma y el producto. Reciben el nombre de productos notables.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS ¿Que es? Es una colección de variables y números reales. Sobre ellas se pueden aplicar sumas, divisiones, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raíces.

Algunos Ejemplos de expresiones Algebraicas son: 3 2 xy     x y 1

o

x  5x  3

6 x n

x es una variable, entonces un monomio en x es una expresión de la forma ax , en donde a es un numero real y n es un entero no negativo. Un binomio es la suma de dos Si

monomios y un trinomio la suma de tres monomios monomio

binomio

trinomio

5x

5x  2

x  x 1 2

Recuerda siempre que un monomio tiene solo un término, un binomio dos términos y un trinomio tres términos.

Polinomios: Un polinomio en Definición: Un polinomio en

x es la suma de cualquier numero de monomios. x es una suma de la forma: a x  a x  ...  a x  a n 1

n

n

n 1

1

Donde n es un entero no negativo y cada coeficiente de

0

ak

es un número real. Si

an es

diferente de cero, se dice que el polinomio es de grado n

El coeficiente

a de la potencia más alta de x es el coeficiente principal del polinomio. 31

Ejemplos de polinomios: Ejemplo

Coeficiente principal

Grado

3 x  5 x  (7) x  4

3

4

x  9 x  (2) x

1

8

5 x  1

-5

2

8

8

0

7x  2

7

1

4

3

8

2

2

Ejemplos de expresiones que no son polinomios: a)

1  3x x

b)

x 5 x 2

c) 3 x 2 

2

En el primer ejemplo el exponente de

x

x 2

es negativo contradiciendo la definición de

polinomio, de igual forma con el ejemplo c donde el exponente de

x no es entero.

En el ejemplo b tenemos una expresión racional o fraccionaria con un polinomio en el numerador y otro en el denominador. El criterio que utilizaremos es el siguiente si el polinomio del denominador no es el constante o de grado cero, la expresión no es un polinomio. Recuerde que los exponentes deben ser enteros positivos. OPERACIONES CON POLINOMIOS: SUMA: Sumamos términos semejantes es decir sumamos aquellos términos cuyas variables y exponentes sean iguales. Los pasos para hacer las sumas son: Paso 1: Elimine los paréntesis Paso 2. Agrupe términos semejantes Paso 3. Sume y reste los términos semejantes. Ejemplo: Halla la suma de:

( x  2 x  5 x  7)  (4 x  5 x  3) 3

2

3

2

( x  2 x  5 x  7)  (4 x  5 x  3) = 3

=

2

3

2

x  2x  5x  7  4x  5x  3 3

2

3

2

= ( x 3  4 x 3 )  (2 x 2  5 x 2 )  5 x  (7  3) = (5 x 3 )  ( 3 x 2 )  5 x  (10) = 5 x 3  3 x 2  5 x  10 32

RESTA: Funciona igual que la suma solo hay que tener en cuenta que el signo negativo antes del los paréntesis cambia el signo de los términos dentro del paréntesis. Ejemplo: Resta los siguientes polinomios:

( x  2 x  5 x  7)  (4 x  5 x  3) 3

2

3

2

Paso 1: Si un paréntesis tiene antepuesto o detrás un signo negativo, afecte los signos dentro del paréntesis cambiándolos por el opuesto y reemplaza el signo negativo que se encuentra antes del paréntesis por uno positivo.

(4 x  5 x  3)   (4 x  5 x  3) 3

2

3

2

Paso 2: Elimine los paréntesis. Para hacerlo solo escriba los términos que están dentro del los paréntesis con sus signos correspondientes e ignore el signo + que entre los dos paréntesis. Paso 3: Agrupe los términos semejantes es decir los términos con iguales variables e iguales exponentes. Paso 4: Sume y reste los términos semejantes.

( x  2 x  5 x  7)  (4 x  5 x  3) 3

2

3

2

= ( x 3  2 x 2  5 x  7)  ( 4 x 3  5 x 2  3) = x3  2 x2  5x  7  4 x3  5x2  3 = x3  4 x3  5x 2  2 x 2  5 x  7  3 = 3 x 3  7 x 2  5 x  4 Así que aplicando este concepto a la expresión entera tendríamos: MULTIPLICACIÓN: Ejemplo 1. Multiplicación de monomio por monomio: Multiplicamos las constantes o números y las variables

5 x (2 x  3x  1) = (5 x )(2 x )  (5 x )(3 x)  (5 x )(1) 2

3

= 10 x 5

2

 15 x  5 x 3

3

2

2

2

Ejemplo 2. Multiplicación de monomio por polinomio:

(3 x  1)(2 x  x  1) = 3x(2 x  x  1)  1(2 x  x  1) 2

2

2

= ( 3 x )(2 x 2 )  ( 3 x )( x)  ( 3 x)(1)  (1)(2 x 2 )  (1)( x)  (1)(1) =

6 x  3 x  3 x  2 x  x  1

=

6 x  3 x  2 x  3 x  x  1

=

6 x  x  2 x  1

3

2

3

3

2

2

2

2

33

a. Método vertical

2x  x  1 2

3 x  1 6 x  3 x  3 x 3

2

2x  x  1 2

6 x  x  2 x  1 3

2

DIVISIÓN: Ejemplo 1: División de polinomio entre un monomio Expresa como un polinomio en

xy y:

6 x y  4 x y  10 xy 2 xy 2

3

3

2

Paso 1: Dividimos cada termino del numerador entre

2xy

2 3 3 2 6 x y  4 x y  10 xy = 6 x y 4 x y 10 xy   2 xy 2 xy 2 xy 2 xy 2

3

3

2

Paso 2: Simplificamos.

6 x y  4 x y  10 xy = 3 xy  2 x y  5 2 xy 2

3

3

2

2

2

Expresión algebraica no entera o fraccionaria o racional es la expresión que es cociente de polinomios Q(x) y P(x), siempre que el polinomio denominador no sea un polinomio constante (ni nulo) o aquéllas en que las variables son bases de potencias de exponente negativo. Ejemplos de expresiones racionales son:

Ya que el denominador no puede ser cero las variables de los polinomios denominadores no pueden tomar los valores que son raíces. Como una expresión racional es un cociente entre números reales, las propiedades de fracciones también se cumplen en los casos de las expresiones racionales. Decimos que una expresión racional está en su forma mínima si el numerador y el denominador no tienen factor común diferente de 1 y –1. Si una expresión racional determinada no está en su forma mínima puede sustituirse por un equivalente factorizando el numerador y el denominador, y luego dividiendo ambos entre los factores comunes. 34

Esto podemos justificarlo mediante la propiedad de las fracciones que establece que

MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para multiplicar expresiones racionales usamos la siguiente propiedad de fracciones:

si R(x) = S(x) entonces podemos simplificar y nos queda Ejemplos:

COCIENTES DE EXPRESIONES FRACCIONARIAS La propiedad de fracciones que se usa para dividir expresiones fraccionarias es la siguiente

Ejemplos:

SUMA Y DIFERENCIA DE EXPRESIONES FRACCIONARIAS La suma y diferencia de expresiones fraccionarias se resuelven aplicando las propiedades de fracciones ya mencionadas cuando nos referimos al conjunto de números fraccionarios Z.

35

Ejemplo: Resolver la siguiente expresión algebraica :

Lo primero que debemos hacer es encontrar el mínimo común múltiplo (mcm es el mismo concepto que en números reales) luego cada una de las expresiones fraccionarias dadas es reemplazada por una equivalente que contenga al MCD como su denominador y después de aplicar las propiedades correspondientes realizamos las operaciones:

Si una fracción tiene otra fracción en e numerador o denominador, o en ambos se llama fracción compuesta, y si no, se denomina fracción simple. Los métodos que se usan para simplificar expresiones fraccionarias compuestas son los mismos que se usan en números fraccionarios. La multiplicación del numerador y denominador por el MCD es el método más sencillo. Ejemplo: Llevar a la mínima expresión la siguiente fracción algebraica compuesta

¿qué te parece si primero trabajamos con el numerador , es decir con

?

El MCD entre (x-1) y (x-2) es... ¡¡ (x-1)(x-2) !!, y realizando la resta tenemos:

36

Ahora tenemos que trabajar con el denominador, es decir con

Y por último vamos a unir correctamente los resultados obtenidos y a operar....

es decir que la respuesta es ...

ACTIVIDADES 1.- Obtener el producto entre las siguientes expresiones y simplificar hasta su forma mínima.

2.- Obtener el cociente en su forma mínima:

3.- Determinar la suma o diferencia de las siguientes expresiones en su forma mínima:

37

4.- Lleva a la mínima expresión las siguientes fracciones algebraicas compuestas:

RESUMEN Sean A y B expresiones algebraicas entonces.... El MCD(A,B) es la expresión algebraica que se obtiene del producto de todos los divisores comunes de A y B irreducibles y de menor exponente.

Operaciones con Fracciones Algebraicas:

Ejercicio 1 Dadas las siguientes expresiones algebraicas :

Ejercicio 2

38

Ejercicio 3

Ejercicio 4 Operar y simplificar las siguientes expresiones algebraicas:

Ejercicio 5 √ 1 – x2 (x3 – 27) 1 +x2 - 1 (x3 - 27) = 3 √ 1 – x4 EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Llamaremos expresiones algebraicas racionales a las de la forma A( x ) donde A(x) y B(x) son B( x )

polinomios de variable x , y B(x)  0. Por ejemplo,

7 es una expresión algebraica racional porque el numerador A(x) = 7 es un x2

polinomio y el denominador B(x) = x  2 también es un polinomio. 3 También es una expresión algebraica racional x 22 x  3 .

x 7 x

¿Es

x 5 3 x 3 x 3

una

expresión

algebraica

racional?.............................................................................. La expresión x 2  9 es también racional porque x 2  9 es un polinomio y 1, su denominador, también lo es.

39

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES podemos hallar otros equivalentes con él: 2  4  14  ...

2 3

Recordamos que, dado el racional

3

6

21

donde a  a  n con n  0 . bn

b

Análogamente para

A ( x ) pueden B( x )

la expresión racional

hallarse expresiones racionales

equivalentes: A( x )  A( x )  N( x ) siendo N(x) cualquier polinomio no nulo. B( x )

B( x )  N ( x )

En Z muchas veces se nos presenta el problema de encontrar la fracción equivalente más simple que una dada. Por ejemplo, 77  7  11  7 2 132

12

2  3  11

También es posible simplificar expresiones algebraicas racionales cuando existen factores comunes al numerador y al denominador, de lo contrario la expresión racional es irreducible. Consideremos

x2  1 x 3  3x 2  x  3

. Factorizamos su numerador y su denominador:

x 2  1  ( x  1) ( x  1) x 3  3x 2  x  3  x 2 (x  3)  (x  3)  (x  3) (x 2  1)  (x  3) (x  1) (x  1) x2  1 ( x  1) ( x  1) 1   x  3x 2  x  3 ( x  3) ( x  1) ( x  1) x  3

Entonces

3

Las dos expresiones racionales,

x2 1 3

y

2

x  3x  x  3

si x  1 y x  1

1 son equivalentes para x  1 y x  1. x3

La expresión final es equivalente a la dada para todo valor de x que no anule el factor cancelado porque ello equivaldría a dividir por cero. Veamos otros ejemplos: 3x 3  12 x

I)

2

x  4x  4 x2  5

II)

4

x  25





3x ( x 2  4) ( x  2)

2



x2  5 2

( x  5) ( x 2  5)



3x ( x  2) ( x  2) 3x ( x  2)  ( x  2) ( x  2) x2 1 x2  5

 xR

si x  2

¿Por qué esta igualdad es válida para

cualquier número real? .......................................................................................................

Actividad: Simplificar, indicando para qué valores de x la expresión resultante es equivalente a la dada. a)

2x  6 2

x  6x  9

2 b) x  x

x 1

c)

x 3  49x x 3  14x 2  49x

d)

x2  x  6 x 2  3x  2

40

OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Para operar con expresiones racionales, aplicamos las mismas propiedades y técnicas que para operar con fracciones numéricas. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN Recordamos que para sumar

3 1  14 21

sumandos, de igual denominador:

necesitamos hallar fracciones equivalentes a los

3 1 3 1 3  3  1  2 11 .      14 21 2  7 3  7 2 3 7 42

Para sumar (o restar) expresiones racionales de distinto denominador, debemos sumar (o restar) expresiones equivalentes a ellas que tengan el mismo denominador. Para hallarlo, factorizamos los denominadores y luego multiplicamos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente con el que figura (mínimo común múltiplo). 2

Veamos el siguiente ejemplo:

2

3x  6 x  3

x



2

x  3x  4



Factorizamos los denominadores: 

2 x 2 x     2 ( x  1) ( x  4) 3 ( x  2x  1) ( x  1) ( x  4) 3 ( x  1) 2

Buscamos expresiones equivalentes con igual denominador:



Operamos en el numerador y sumamos:



2 ( x  4) 2

3 ( x  1) ( x  4) 2x  8  3x 2  3x 2

3 ( x  1) ( x  4)





x  3 ( x  1) 3 ( x  1) 2 ( x  4)



3x 2  x  8 3 ( x  1) 2 ( x  4)

El numerador no tiene raíces reales, por lo tanto la expresión obtenida es irreducible. x  10

Vamos a calcular

2

x  3x  10

Factorizamos los denominadores:





2x  4 x2  4



x  10 2x  4   ( x  2) ( x  5) ( x  2) ( x  2)

Elegimos un denominador común y hallamos las expresiones equivalentes: 

( x  10) ( x  2) (2x  4) ( x  5)   ( x  2) ( x  5) ( x  2) ( x  2) ( x  5) ( x  2)

2 2 Aplicamos propiedades y restamos:  x  2x  10 x  20  2x  10x  4 x  20 

( x  2) ( x  5) ( x  2)



( x  2) ( x  5) ( x  2)

x 2  8x  20  2 x 2  14 x  20  ( x  20)  ( x  20) ( x  2)  x 2  22 x  40    ( x  2) ( x  5) ( x  2) ( x  2) ( x  5) ( x  2) ( x  2) ( x  5) ( x  2) ( x  2) ( x  5)

La suma de expresiones algebraicas racionales es asociativa, conmutativa, cumple la ley de cierre y posee elemento neutro: 0. Recordemos que restar es sumar el opuesto. 41

Actividad: Calcular: a)

2 2

x 9



1

c)

( x  1)

2

x 1 2

x  6x  9



2 2

x 1





1  3 x

1 ( x  1) 2

b)

x5 x 2  25



x2 2 x 2  6 x  20



21  2x  2



MULTIPLICACIÓN A( x ) C( x ) y B( x ) D( x )

Para multiplicar dos expresiones racionales

, procedemos así:

A ( x ) C( x ) A ( x )  C( x )   B( x ) D( x ) B( x )  D( x )

Por ejemplo: 2 x  1 3x ( 2 x  1) 3x 6 x 2  3x  2   x  3 x  1 ( x  3) ( x  1) x  2 x  3

I)

2 2 ) II) Calculamos ahora  x2  4x  53x  152  ( x2  4x ) (35x  15  2

x 9

x  4x

( x  9) ( x  4 x )

Factorizamos cada uno de los polinomios:  Simplificamos y obtenemos el resultado: 

 x ( x  4) 5 ( x  3)  ( x  3) ( x  3) x 2 ( x  4)

5 si x  4 y x  3 . x ( x  3)

La multiplicación de expresiones algebraicas racionales cumple con la ley de cierre, es asociativa, conmutativa, tiene elemento neutro (1) y es distributiva respecto de la suma y la resta. ¿Existe inverso multiplicativo para toda expresión

A(x ) ? B( x )

........................................................................................................................... Actividad: Resolver:

2 a) x  4x  4 

2x

b) ( x 3  1) 

6 x  12 3

x  6 x 2  12 x  8

x 1 2



1 2

x  x  1 x  2x  1

DIVISIÓN Se llama inverso multiplicativo de una expresión algebraica racional

A(x) B( x )

a la expresión

B( x ) , A(x)

si A es no nulo. 42

Para dividir dos expresiones algebraicas racionales

y

A( x ) B( x )

C( x ) D( x )

operamos igual que en el

A( x ) C( x ) A( x ) D( x ) A( x )  D( x ) con C(x)  0    : B( x ) D( x ) B( x ) C( x ) B( x )  C( x )

conjunto Q:

2 Por ejemplo: x  1 : 2x  ( x  1) ( x  2)  x  x  2 2

(3  x ) 2x

3 x x  2

6x  2x

Actividad: 1. Con las expresiones P( x )  2x  4 y T ( x )  2 x 9

a) P(x) . T(x)

x3 2

x x6

b) P(x) : T(x)

c) T(x) : P(x).

2 4 a) x  4 : x  16

2. Resolver:

2

b) 5x  10 : 3x  6 x2  1

x3

x 9

calcular:

x 1

2 c)  x  4   x  1  :  x  3x  4

 x2 1 x2  1 

x4  1

Actividad: Efectuar los siguientes ejercicios combinados: a)  x  2  2 x 4

c)

 x2  9   x 2  x  6  4 x  10 x2

b)

1  4  1   : 2  x  2 x 2 x 4

d) ( x 3  x ) :  1  1

1 1 4  : 2 x2 x2 x 4

x



TRABAJO PRÁCTICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 1. Realizar las siguientes operaciones, simplificando los resultados cuando sea posible: 2 4 a)  x  x  1 2 4

2 b) 1  x  1  x  2 x  1 3 2 2

2 c) x  x  6 :  x  2

d) 2 x  6 x  3  x : x  7 2

x 1

3

x x

e)

3

x 1

4

x 1

1 2 1   2 2 x  3 ( x  3) x 9

x x

x ( x  1)

x 9 x 7

x7

5

2 2 2 f)  2x  1  2x  1 (2x  1)  : x  2x  1 2  3x

4x 2  1

3x



9x 3

g)  x  x  :  x  x  

x 1 

x 1

43

NOTACIÓN CIENTÍFICA La notación científica es un método práctico utilizado por los científicos para sintetizar una expresión matemática de base diez que resulta muy extensa. Utiliza entonces las potencias, que consisten en multiplicar un número por si mismos varias veces. El número que hay que multiplicar lo indica la base, y las veces que hay que multiplicarlo lo señala el exponente. Por ejemplo 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16. Siendo de esta manera el dos la base y el cuatro el exponente. En el caso de la notación científica, se de la misma manera las potencias, pero con base 10; esto sirve tanto para expresar números extremadamente grandes, pero también para números muy pequeños. Por ejemplo, la carga eléctrica de un electrón es de -1,6· 10−19 . Desde la Grecia Clásica es posible distinguir intentos de matemáticos por sintetizar la expresión de algún número. Como una anécdota curiosa, el famoso matemático y filósofo Arquímedes del siglo III AC fue el primero en utilizar la notación científica al tratar de contar cuántos granos de arena existían en el universo. El resultado que calculó fue de 1063 granos. Este método, tal como comentábamos, es muy útil principalmente para aquellos textos que expresan números muy grandes. Por ejemplo, un texto de física que trata el tema de la luz, al referirse a su velocidad no la expresará en número, es decir, 300.000.000 m/s, sino que la simplificará a 3·108 m/s. Cabe la posibilidad de que el exponente no sea un número positivo. En este caso, si el exponente nos señala un número negativo significa que el número es menor, por ejemplo 10-2, la cifra equivale a 0,01. Esto quiere decir que el exponente es negativo cuando se intentan expresar números menores a uno. Como una regla práctica, podemos considerar para las potencias positivas de 10 que la potencia representa el "número de ceros" que le siguen al número uno. Por ejemplo 103 = 1000, o sea es un 1 con tres ceros "añadidos". Ahora para las potencias negativas, como regla práctica podemos considerar que se representa el número de dígitos que corremos la coma hacia la izquierda del número uno, o si se prefiere, corresponde al número de ceros después de la coma menos un dígito. Por ejemplo 10-3 = 0,001 , o sea al 1 se le "corre" la coma tres dígitos a la izquierda, o también podemos pensarlo como (3 - 1) = 2 ceros después de la coma tras el cero. Esta forma de verlo aunque no tiene valor técnico o científico, es de gran utilidad para trabajar con la notación científica cuando realizamos cálculos, o nos queremos imaginar la cifra de la que hablamos para poder cuantificarla en nuestra mente.

44

Los instrumentos matemáticos actuales utilizados por el mundo de la ciencia, las calculadoras científicas entre otros, todos consideran el método científico, incluyendo la tecla “E”, que al presionarla automáticamente considera al dígito como una potencia de base diez. exponente

10n base

División de potencias de 10 Para dividir potencias de 10 sólo es necesario restar los exponentes

10m  10mn 10n Ejemplos: 100.000.000 dividido 1.000 es igual que escribir 108 dividido 103 1.

108  1083  105 3 10

2.

109  1096  103 6 10

3.

1012  1012 4  108 4 10

4. 1.000.000 dividido en 1.000 lo anotamos así, 1.000.000 = 106 entonces

1.000 = 103

106  1063  103  1000 3 10

5. 100.000.000 km. dividido en 1.000.000 es, 100.000.000 km = 108

entonces

1.000.000 = 106

108 km  1086 km  102 km  100 km 6 10

45

Práctico N° 1 1. En cada caso, escribe como potencia de 10 a) 1.000 = b) 1.000.000 = c) 1.000 · 10 = d) 1.000.000.000.000 = e) 10.000.000 = 2. Escribe el número que representa cada desarrollo exponencial a) 7 · 105 + 4 · 103 = b) 5 · 106 + 4 · 10 0 = c) 2 · 106 + 5 · 105 + 4 · 104 + 1 · 100 = d) 9 · 109 + 6 · 105 + 4 · 101 = 3. Escribe en forma extendida los siguientes números a) 3 · 10-5 = b) 85 · 10 –10 = c) 7,4 · 10-16 = d) 23,6 · 10-20 = 4. Escribe en forma abreviada los siguientes números: a) 0,0000009 = b) 0,000000045 = c) 0,0000000000000017 = d) 0,00000000024 = 5. Anota el número que corresponde a la información dada: a) Radio de la Luna 106 metros = b) Distancia de la Tierra a la Luna 105 kilómetros = c) Duración promedio de la vida de una persona 109 segundos = d) Tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta al Sol 107 segundos = a) Velocidad de la luz: 300.000 km/s b) Radio terrestre: 6.370.000 metros c) Edad de la Tierra: 4.500.000.000 años d) Radio de la Luna: 1.700.000 metros e) Desaparición de los dinosaurios: 65.000.000 años f) Medida del virus de la gripe: 0,000000120 metros 46

NOCIONES DE G EOMETRÍA. TRIGONOMETRÍA ÁNGULOS INTERIORES DE POLÍGONOS Un ángulo interior es un ángulo dentro de una figura.

TRIÁNGULOS Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°

90° + 60° + 30° = 180° ¡En este triángulo es verdad!

80° + 70° + 30° = 180°

Vamos a inclinar una línea 10° ... También funciona, porque un ángulo aumentó 10°, pero otro disminuyó 10°

CUADRILÁTEROS (CUADRADOS, ETC.) (Un cuadrilátero es una figura de 4 lados)

90° + 90° + 90° + 90° = 360° Un cuadrado suma 360°

80° + 100° + 90° + 90° = 360° Vamos a inclinar una línea 10° ... ¡también suman 360°!

Los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360° Porque en un cuadrado hay dos triángulos 47

Los ángulos interiores de este triángulo suman 180°

... y los de este cuadrado 360° ... ¡porque el cuadrado está hecho de dos triángulos!

(90°+45°+45°=180°)

PENTÁGONO Un pentágono tiene 5 lados, y se puede dividir en tres triángulos, así que ... ... sus ángulos interiores suman 3 × 180° = 540° Y si es regular (todos los ángulos son iguales), cada uno mide 540° / 5 = 108° (Ejercicio: asegúrate de que cada triángulo aquí suma 180°, y comprueba que los ángulos interiores del pentágono suman 540°)

LA REGLA GENERAL Así que cada vez que añadimos un lado más (de triángulo a cuadrilátero, a pentágono, etc) sumamos otros 180° al total: Si es regular... Figura

Lados

Suma de los ángulos interiores

Triángulo

3

180°

60°

Cuadrilátero

4

360°

90°

Pentágono

5

540°

108°

Hexágono

6

720°

120°

...

...

..

Cualquier polígono

n

(n-2) × 180°

Forma

...

Cada ángulo

... (n-2) × 180° / n

La última línea puede ser un poco difícil de entender, así que vamos a ver un ejemplo.

48

Ejemplo: ¿Qué pasa con un decágono (10 lados)?

Suma de los ángulos interiores = (n-2) × 180° = (10-2)×180° = 8×180° = 1440° Y, si es regular, cada ángulo interior = 1440°/10 = 144°

RELACIÓN ENTRE LADOS. TEOREMA DE PITÁGORAS

Lados

a: hipotenusa

a 2 = b2 + c 2

b y c: catetos Relación entre sus ángulos ˆ = 180 ˆ + Bˆ + C A

ˆ = 90 Bˆ + C

ˆ = 90 A

Un triángulo es rectángulo si uno de sus ángulos internos mide 90º. Los lados que forman el ángulo recto reciben el nombre de catetos y el más largo hipotenusa.

En todo triángulo Rectángulo la suma de las áreas que forman los cuadrados de los catetos es igual al área del cuadrado formado

por

la

hipotenusa

49

ACTIVIDAD 1 1. Con ayuda del teorema de Pitágoras hallar el valor de los lados desconocidos de un triángulo rectángulo, teniendo en cuenta la siguiente información. a) b = 5, c = 7, a = ? b) b = ?, c = 8,7, a = 12,4 c) b = 10, c = ?, a = 15

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS POR SUS LADOS Triángulos Escálenos No tienen ningún lado igual.

Triángulos Isósceles Son los que tienen dos lados iguales.

Triángulos Equiláteros: Son los que tienen tres lados iguales.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS POR SUS ÁNGULOS Acutángulos Son todos los triángulos con todos los ángulos menores de 90°.

Rectángulos Es cuando uno de sus ángulos es de 90°.

50

Obtusángulos: Es cuando uno de sus ángulos es mayor de 90°

1. ¿Cuáles son los diferentes tipos de rectas? Secante o Transversal: Es la recta que corta a otro par de rectas cualesquiera del plano en dos puntos. Paralelas: Es cuando la intersección de dos rectas y una secante determina pares de ángulos alternos internos, alternos externos y correspondiente congruentes. 2. ¿Cuáles son los polígonos convexos? Definir cada uno y graficar. Un poliedro convexo es aquel en el que un segmento rectilíneo que une dos vértices cualesquiera del poliedro contiene sólo puntos que pertenecen a una cara o al interior del poliedro. 3 . ¿Cuáles son los cuerpos cilíndricos? Definir cada uno y graficar. Figura geométrica tridimensional. Un cilindro circular está formado por dos bases circulares de igual área situadas en planos paralelos y unidas por una superficie lateral que corta los perímetros de las bases. 4. ¿Qué es un cuadrilátero? Su clasificación, definir cada uno y graficar. Polígono con cuatro lados, o Paralelogramo, en el que cada lado es de igual longitud que su opuesto y los lados opuestos son paralelos entre sí. Cuadrado: donde los cuatro lados son de igual longitud y se cortan en ángulos rectos. Rectángulo: sólo los lados opuestos son iguales, aunque todos los lados se cortan en ángulos rectos. Rombo: donde todos los lados son iguales pero éstos no se cortan en ángulos rectos. Trapecio: Cuadrilátero con dos lados paralelo y bases de distina longitud. Paralelogramo: Polígono con 4 lados en el que cada lado es de igual longitud que su opuesto y los lados opuesto son paralelos entre

51

DEFINICIÓN DE ÁNGULO Ángulo es la abertura entre dos líneas rectas que se encuentran en el mismo plano y se intersectan (rectas secantes), el punto de intersección de éstas recibe el nombre de vértice. Los sistemas de medición más comunes para obtener la magnitud de un ángulo son: el sistema sexagesimal (grados), y el sistema cíclico (radianes).

TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA Ángulo Agudo Ángulo Recto Ángulo Obtuso Es aquél cuya magnitud es Es aquél cuya magnitud es Es aquél cuya magnitud es mayor menor que 90º igual a 90º que 90º

Ángulo Nulo

Ángulo Llano Ángulo Cóncavo Ángulo Perigonal Es aquél cuya Es aquél cuya magnitud Es aquél cuya Es aquél cuya magnitud es igual a es mayor que 180º pero magnitud es igual a magnitud es igual a 0º 180º menor que 360º 360º

52

TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN RELATIVA Ángulos Consecutivos

Ángulos Adyacentes

Ángulos Opuestos por el Vértice

Al cruzar dos rectas en el plano se Son aquellos que tienen un Son aquéllos que tienen un lado en forman cuatro ángulos. De ellos, lado en común y además común y los otros lados son son ángulos opuestos por el vértice aquellos que poseen sólo comparten el mismo vértice. colineales. el vértice en común.

y y son Consecutivos.

y Adyacentes.

son

son Opuestos por el vértice. y son Opuestos por el vértice.

PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS ADYACENTES. Se cumple que: PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE. Se cumple que:

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE. Cuando una línea recta transversal o secante intersecta dos rectas paralelas, se forma un conjunto de ocho ángulos cuya posición relativa ha sido profusamente estudiada. Matemáticamente se expresa así: Dadas las rectas

y

, se forman los siguientes ángulos:

Ángulos formados por dos rectas y una secante

53

Considerados de dos en dos, estos ángulos reciben los nombres siguientes: Nombre

Descripción

Alternos Internos

Son dos ángulos internos no adyacentes, situados en distinto lado de la secante

Alternos Externos

Son dos ángulos externos no adyacentes, situados en distinto lado de la secante

Opuestos por el vértice

Son aquéllos que tienen el vértice en común y los lados de uno de sus ángulos.

Correspondientes

Son dos ángulos no adyacentes, situados en un mismo lado de la secante, uno interno y otro externo

Colaterales Internos (Suplementarios)

Son dos ángulos internos no adyacentes, situados en un mismo lado de la secante

Colaterales Externos (Suplementarios)

Son dos ángulos externos no adyacentes, situados en un mismo lado de la secante

Adyacentes (Suplementarios)

Son aquéllos que tienen un lado en común.

Propiedades

54

TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN LA SUMA DE SUS MEDIDAS Ángulos Complementarios Son aquellos cuya suma es igual a 90º

Ángulos Suplementarios Son aquellos cuya suma es igual a 180º

Los ángulos complementarios y suplementarios pueden estar geométricamente separados, sin compartir lados y/o vértices.

TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN SU ORIENTACIÓN Los ángulos pueden considerarse "sin orientación", sin embargo cuando sea necesario considerar el sentido de un giro se dotará de signo al ángulo correspondiente.

Ángulos Positivos Ángulos Negativos Son aquéllos que abren en sentido Son aquéllos que abren conforme el sentido de las opuesto a las manecillas del reloj. manecillas del reloj.

55

TIPOS DE ÁNGULOS Al medir un ángulo se hace contra el movimiento de las manecillas de un reloj, en este caso se considera un ángulo positivo.

TIPO DE ÁNGULO Convexo

Agudo

0° < α < 90°

0° < α < 180º

Obtuso

Recto

0° < α < 180°

90° < α < 180°

Extendido

Cóncavo

180° < α < 360°

α = 180°

Completo

α = 360° Por ejemplo, el ángulo obtuso está comprendido entre 90° y 180°, no incluyendo estos valores.

56

PAREJA DE ÁNGULOS

Ángulos adyacentes

Son ángulos que tienen un lado común y los otros dos pertenecen a la misma recta.

Ángulos consecutivos

Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice.
- Dos líneas que se intersectan generan ángulos opuestos por el vértice. Ángulos opuestos - Son ángulos no adyacentes. <1, <2, <3 por el vértice y <4 - Son ángulos congruentes: <1 = <2 y <3 = <4

Ángulos complementarios

- Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 90°.

 +  = 90º El
Ángulos suplementarios

- Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 180°.

 +  = 180º El
57

Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.

Tipos de ángulos formados Ángulos paralelas.

correspondientes

entre

1=5 2=6 3=7 4=8

Ángulos alternos entre paralelas.

1=7 2=8 3=5 4=6

Ángulos contrarios o conjugados.

Son suplementarios

Ángulos colaterales.

1

6

2

5

3

8

4

7

1

8

2

7

3

6

4

5

58

TRIGONOMETRÍA

LOS ÁNGULOS Y SU MEDIDA Trigonometría es una palabra que deriva del griego Τριγωνομετρíα, Tri (Τρι) tres, gono (γωνο) ángulo, metría (μετρíα) medida, es decir, "medida de tres ángulos". Puedes consultar la definición de trigonometría que da el diccionario de la R.A.E. En este curso se tratará únicamente la trigonometría plana. Con objeto de estudiar los ángulos y su medida consideraremos que un ángulo es un recorrido en la circunferencia con centro el origen y de radio unidad o circunferencia goniométrica, el punto de partida de estos recorridos se situará en el punto de coordenadas (1,0) y la medida de un ángulo será la medida de ese recorrido. Los ángulos pueden tener sentido positivo o negativo según sea el de su recorrido; si es contrario al de las agujas del reloj será positivo y si es igual, negativo. 59

RADIANES Medir un ángulo es medir su recorrido en la circunferencia. Como la medida de toda la circunferencia es 2·π·radio, resulta conveniente tomar como unidad de medida el radio. En las figuras, los ángulos se representan en una circunferencia de radio 1, ello no significa que el radio mida 1 cm o 1 pie o 1 m, sino que el radio es la unidad de medida tomada. Por razones evidentes a esta unidad se le llama radián.

GRADOS SEXAGESIMALES Ya conoces el sistema sexagesimal de medida de ángulos. Al dividir la circunferencia en 360 partes iguales, obtenemos un grado, a su vez cada grado se compone de 60 minutos y cada minuto de 60 segundos. Así un ángulo se mide en: gradosº minutos' segundos'' De grados a radianes y de radianes a grados El semiperímetro de la semicircunferencia es π·radio π radianes = 180 grados es decir, π veces un radián = 180 veces un grado π · 1 radián = 180 · 1 grado Si despejamos el grado resulta: 1 grado = π/180 radianes ~ 0.0175 radianes Si despejamos el radián resulta: 1 radián = 180/π grados ~ 57.2957 grados

60

ACTIVIDADES 1. Dibuja en la circunferencia goniométrica los ángulos de 120º, -50º y 315º. 2. Dibuja en la circunferencia goniométrica el ángulo de 5π/6, 3π/4, y 3π/2 rad. 3. Pasa a radianes: a) 150º, b) 210º, c) 270º, d) 60º 4. Pasa a grados: a) 11π/6 rad, b) π/4 rad, c) 5π/4 rad, d) 2π/3 rad RAZONES TRIGONOMÉTRICAS En los triángulos semejantes los ángulos son iguales y los lados homólogos son proporcionales. La razón entre los lados de un triángulo determina su forma. Dado un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo agudo α se definen:  El seno es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.  El coseno es el cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa.  La tangente es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. Estas razones no dependen del tamaño del triángulo sino del ángulo.

Seno y coseno en la circunferencia En la figura se ha representado el ángulo α en la circunferencia goniométrica o de radio unidad. En el triángulo rectángulo que se forma como la hipotenusa es 1, el cateto opuesto es el sen α y el adyacente el cos α. Es importante recordar el siguiente triángulo: Observa que (cos α, sen α) son las coordenadas del punto final del ángulo α en la circunferencia de radio unidad.

61

ACTIVIDADES 1. En el triángulo de la figura calcula: a) sen α d) sen β b) cos α e) cos β c) tg α f) tg β 2. Obtén con la calculadora: a) sen 30º = 0,5 b) cos 60º = 0,5 c) tg 45º = 1

62

RELACIONES FUNDAMENTALES Si se aplican la semejanza y el teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulos "básicos", es decir, con hipotenusa=1 o con cateto adyacente=1, se obtienen las relaciones fundamentales de la trigonometría: Los triángulos OBA y OB’A’ son semejantes:

Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo OBA de la figura obtenemos:

Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo rectángulo es calcular los datos desconocidos, lados o ángulos, a partir de los conocidos. Veamos los casos que se pueden presentar.

63

a) Conocidos un ángulo y la hipotenusa Para hallar los catetos de un triángulo rectángulo del que se conocen las medidas de la hipotenusa y de un ángulo agudo, pensaremos en el triángulo:

Razones de cualquier ángulo Recuerda que (cos α, sen α) eran las coordenadas del punto final del ángulo α en la circunferencia de radio unidad. Esto que vimos para los ángulos agudos podemos hacerlo extensible a ángulos cualesquiera.

El seno El seno de un ángulo es la coordenada vertical del punto final del recorrido del ángulo sobre la circunferencia goniométrica. Observa que su valor está comprendido entre -1 y 1.

64

El coseno De la misma manera que el seno de un ángulo es la ordenada, el coseno es la abscisa del punto final del recorrido que marca el ángulo en la circunferencia. Su valor también está comprendido entre -1 y 1.

La tangente Con la relación fundamental tg α=senα/cosα se amplia la definición de tangente en ángulos agudos a un ángulo cualquiera. La tangente se representa en la recta tangente a la circunferencia goniométrica en el punto (1,0). Para los ángulos de 90º y 270º, el coseno es 0 por lo que no está definida la tangente; cuanto más se acerca un ángulo a 90º o a 270º, mas grande se hace en valor absoluto la tangente, diremos que es infinito

Resolver problemas métricos La trigonometría es útil para resolver problemas geométricos y calcular longitudes en la realidad. Con un teodolito como el de la fotografía, se pueden medir ángulos, tanto en el plano vertical como en el horizontal, que nos permiten, aplicando las razones trigonométricas, hallar distancias o calcular alturas de puntos inaccesibles. En estos casos aunque el triángulo de partida no sea 65

rectángulo, trazando su altura podemos obtener dos triángulos rectángulos a resolver con los datos que tenemos. Veamos algunos ejemplos.

Calcular medidas topográficas Para medir la anchura de un río se han medido los ángulos de la figura desde dos puntos de una orilla distantes 160 m. ¿Qué anchura tiene el río?.

66

ACTIVIDADES:

67

Teorema del seno En este tema has podido resolver triángulos que no eran rectángulos considerando la altura. El resultado conocido como Teorema del seno, nos permite resolver triángulos cualesquiera si conocemos un lado y dos ángulos.

Teorema del Coseno El teorema del Seno no se utiliza directamente para resolver triángulos si conocemos dos lados y el ángulo formado entre ellos, o si conocemos los tres lados. Para estos casos utilizaremos el teorema del coseno. Del triángulo ABC

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. En los siguientes ejercicios: a, b, y c son las medidas de los lados de un triángulo, mientras que α, β, γ son las medidas de los ángulos opuestos a esos lados, respectivamente. Resuelve el triángulo en cada caso: a) a = 10 cm. b= 12 cm. γ = 35º b) a = 7 m. b = 6 m. c = 4 m. c) c = 10 cm. β = 40º α = 70º d) a = 12 cm. b = 16 cm β = 43º 68

e) α = 53º β = 75º c = 30,5 cm. f) α = 48º γ = 68º c = 47,2 mm. 2. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 36º y tienen longitudes de 3 y 8 cm. Determina la longitud de la diagonal menor. 3. Dos trenes parten simultáneamente de una estación en dirección tal que forman un ángulo de 35º. Uno va a 15 km/h y el otro a 25 km/h. Determina a qué distancia se encuentran separados después de dos horas de viaje. 4. Determina las longitudes de las diagonales de un paralelogramo, conocidos los lados m y n, y el ángulo a entre ellos.

Ejercicios con soluciones para aplicar los teoremas vistos anteriormente. 1. De un triángulo se conocen los ángulos B = 120º y C = 30º y el lado a = 3 m., resuelve el triángulo. Indicación: Empieza calculando A = 30º y después aplica el teorema del seno dos veces y obtendrás: 2. Resuelve un triángulo del que se conocen a = 4,7 m., b = 2,2m. y C = 54º. Indicación: Aplicando el teorema del coseno obtienes que c = 14,77m. Aplicando ahora el teorema del coseno para cos A se obtiene que A = 98º26’24” y como A + B + C = 180º tenemos que B = 27º33’36”. 3. Resuelve el triángulo del que se conocen: A = 40º, b = 5m, a = 2m. Indicación: Aplicamos teorema del seno:

que este triángulo no tiene solución, ya que el seno no puede ser mayor que 1. 4. Resuelve el triángulo del que se conocen: A = 40º, b = 5m, a = 4m. Indicación: Empieza como en el anterior, pero este sí tiene solución:

69

5. Resuelve el triángulo del que se conocen a = 7 m, b = 9 m y c = 3 m. Indicación: Aplica tres veces el teorema del coseno y obtienes: A = 40º36’, B = 123º12’, C = 16º12’ 6. Una persona observa un globo desde dos posiciones distintas situadas en un mismo plano vertical que pasa por el globo. Dichas posiciones distan entre sí 0,9 km. Las visuales, del observador al globo, forman 20º y 30º con la horizontal. Halla la altura del globo. Solución: 201m. 7. Dos lados de un paralelogramo miden 2 m y 3m y forman un ángulo de 50º. Halla las longitudes de las diagonales del paralelogramo. Indicación: Dibuja un paralelogramo de lados 2 y 3 m y el ángulo entre ellos de 50º. El ángulo opuesto debe medir 130º. Aplica a las dos diagonales el teorema del coseno y obtendrás: 2,30 m y 4,55 m.

70

VECTORES Magnitudes escalares Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre otras: Masa Temperatura Presión Densidad

Magnitudes vectoriales Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación. Vector Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir: 

Un origen o punto de aplicación: A.



Un extremo: B.



Una dirección: la de la recta que lo contiene.



Un sentido: indicado por la punta de flecha en B.



Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB.

Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de dos vectores unitarios o versores. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.



Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario i o también denominado

iˆ



Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector unitario j o también denominado ˆj . Por tanto, obtendríamos un eje de coordenadas cartesianas de la siguiente forma: 71

Vectores iguales Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección. Vector libre Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra. Vectores unitarios y componentes de un vector Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados.

   r = rx + ry

Si consideramos ahora sobre cada eje un vector, aplicado en el origen, cuyo sentido es positivo y cuyo módulo consideramos como unidad de longitudes, podemos sustituir cada uno de los sumandos de la expresión anterior por el producto de un escalar por el correspondiente vector unidad.

  rx   ux

  , ry   uy

  , rz   uz

De ese modo,

    r =  ux   uy   uz

Los escalares α,  y γ se denominan componentes del vector y se representan también por:

rx , ry , rz Los vectores

   ux ,u y ,uz son los vectores unitarios y suelen representarse respectivamente

   por i , j y k .

    r = rx i  ry j  rz k

72

También puede representarse de la siguiente forma:

 r = ( x, y,z )     r=xi y j zk

Suma y resta de vectores La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma: Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo. Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores. s

s r+s

r-s r

r

Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el proceso es idéntico. Basta con aplicar la propiedad asociativa. Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante. Una vez establecido el sistema de referencia, se puede identificar cualquier punto de la recta o del plano por medio un número (unidimensional) o dos números (bidimensional) que son sus coordenadas. La posición también la podemos representar por un segmento orientado (flecha),  que va desde el origen del sistema de referencias (Figura 3.3). Este segmento orientado OA está caracterizado por la dirección de la recta que pasa por OA , por el sentido de esta recta de O hacia A y por longitud del segmento OA . Este segmento dirigido se llama vector y se lo representa gráficamente mediante letras mayúsculas o minúsculas con una flecha sobre ellas o   en negrita ( a , A , a ó A).  La expresión del vector posición r en un sistema de referencia bidimensional es:

 r = rx ˆi + ry ˆj donde: ˆi y ˆj son los vectores unitarios correspondientes a los ejes x e y, rx ˆi y ry ˆj son las componentes vectoriales,

rx y ry son las componentes escalares. 73

Suma de Vectores

La suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes, analítica y gráficamente. Procedimiento Gráfico

Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en el siguiente dibujo:

Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la siguiente manera:

Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman (tal y como ya hemos visto en la sección de la suma de vectores), pero vectores con sentidos opuestos se restan (tal y como se puede ver en el apartado correspondiente a la resta de vectores). A continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores. 74

Método Algebraico para la Suma de vectores

Dados tres vectores

    A = A x i + A y j + Az k     B = Bx i + By j + Bz k     C = Cx i + Cy j+ Cz k

    S = A + B + C es:           S = A x i + A y j + A z k + Bx i + By j + Bz k+ Cx i + Cy j+ Cz k

La expresión correspondiente al vector suma

o bien

    S =  A x + Bx + Cx  i +  A y + Bx + Cy  j +  A z + Bz + Cz  k

siendo, por tanto,

Sx = A x + Bx + Cx Sy = A y + By + C y

Sz = A z + Bz + Cz La suma de vectores goza de las siguientes propiedades: Conmutativa a+b=b+a Asociativa

(a + b) + c = a + (b + c) Elemento neutro o vector 0 a+0=0+a=a Elemento simétrico u opuesto a' a + a' = a' + a = 0 a' = -a 75

Producto de un vector por un escalar

El resultado de multiplicar un escalar k por un vector v, expresado analíticamente por k·v, es otro vector con las siguientes características: 1. Tiene la misma dirección que v. 2. Su sentido coincide con el de v, si k es un número positivo, y es el opuesto, si k es un

número negativo. 3. El módulo es k veces la longitud que representa el módulo de v. ( Si k es 0 el resultado es el

vector nulo). Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las coordenadas del vector. Ejemplo : Dado el vector v de componentes : vx i + vy j + vz k, el producto

3 · v = 3 · vx i + 3 · vy j + 3 · vz k. La representación gráfica del producto es igual a sumar el vector tantas veces como indica el escalar. Ejemplo:

Módulo de un vector

Un vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino también una magnitud, a esa magnitud se le denomina módulo. Gráficamente: es la distancia que existe entre su origen y su extremo, y se representa por:

a a Coordenadas cartesianas: En muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes sobre

tres direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que forman un sistema cartesiano tridimensional.







Si tomamos tres vectores unitarios, i sobre OX, j sobre OY y k sobre OZ, entonces podemos encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que: 76



y aplicando el teorema de Pitágoras nos encontramos con que el módulo de a es:

a  ax2  a 2yz  ax2 



ay2 +az2



2

 a  ax2  ay2  az2

ÁLGEBRA VECTORIAL SUMA DE VECTORES

Dados dos vectores A y B como representamos, definimos la suma A + B = C de forma tal que Cx = Ax + Bx y Cy = Ay + By. Como las coordenadas del vector suma (C) se obtiene como suma de escalares, la suma de vectores es conmutativa pudiendo escribir A + B = B +A. Observamos en el esquema, que si trazamos un paralelogramo tal que los sumandos sean dos lados del mismo, el vector suma, es el vector que tiene como origen el origen común, y como extremo el vértice opuesto. A este procedimiento se le conoce como: suma por el método del paralelogramo. También puede observarse que trasladando al vector “A”, de forma que su origen coincida con el extremo de “B”, el vector suma es el vector que tiene como origen el origen de “B”, y como extremo el extremo de “A”. A este procedimiento se le llama suma por el método de la poligonal, dado que queda determinado un polígono (en nuestro caso un triángulo).

77

Si debemos sumar más de dos vectores, puede demostrarse que se cumple la asociativa: A + B + C = (A + B) + C RESTA DE VECTORES

Definimos la operación: A - B = D tal que A = B + D (cumpliendo la propiedad uniforme).

De acuerdo al método de la poligonal:

Y por coordenadas cartesianas:

Dx = Ax - Bx ; Dy = Ay - By Observamos que las coordenadas del vector diferencia, son la diferencia de las coordenadas del vector minuendo manos las del vector sustraendo.

78

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

Si a las coordenadas de un vector A, las multiplicamos por un mismo escalar M, obtenemos las coordenadas de un nuevo vector P, cuyas coordenadas son: Px = M Ax ; Py = M Ay

donde el módulo del vector P es por el teorema de Pitágoras:

P   M  Ax    M  Ay   M Ax2  Ay2  P  M  A 2

2

su argumento es de acuerdo a la definición de tangente trigonométrica:

  arctg

Py M  Ay A  arctg  arctg y Px M  Ax Ax

Si representamos a estos vectores en un par de ejes cartesianos, obtenemos: Definimos entonces, el producto del escalar M y el vector A como el vector P tal que el “valor” del vector P es el

“valor” del vector A multiplicado por el escalar M, siendo iguales sus argumentos representando la operación como: MA=P

Si el escalar M es positivo, el vector P tiene el mismo sentido que el vector A. En cambio si el escalar M es negativo, el vector P tiene sentido opuesto que A.

VECTORES UNITARIOS

Los vectores unitarios, llamados versores, son vectores cuyo módulo vale uno. El versor “A”, es un vector que tiene la dirección del vector A; su módulo es la unidad y su notación es Â. Es la misma notación del vector, añadiéndole un acento circunflejo. Podemos escribir que: A=AÂ

Trabajando en un espacio tridimensional, las coordenadas de un vector A respecto a un sistema referencial (x; y; z) ortogonal, son una terna de números (Ax; Ay; Az).

79





Definiendo tres versores ortogonales ˆi , ˆj,kˆ en los sentidos positivos de los ejes (x; y; z) respectivamente. Multiplicando las coordenadas del vector por sus correspondientes versores, obtenemos las componentes del vector en las direcciones de los ejes del sistema referencial como representamos. Por lo antes dicho se cumple que:

   A i + A j + A k A= x y z

SIGNO MATEMÁTICO DE UN VECTOR

Como ya hemos visto, un vector con la dirección de la recta “r” orientada, puede escribirse como el producto de un escalar por un versor como mostramos. V=V

ˆr

El escalar V puede ser positivo o negativo, dependiendo de si el vector tiene igual sentido que el versor ere o sentido opuesto. En el caso mostrado es positivo. Si la recta “erre” está cambiando su dirección, por ejemplo respecto a un sistema referencial ortogonal, el versor “erre” en cada instante es:

 r = A ˆi + B ˆj + C ˆk donde cada uno de los sumandos son las componentes del versor “erre” y los escalares A; B y C serán positivos o negativos dependiendo de los ángulos que forme el versor “erre” respecto

a los ejes “x”; “y” y “z” del sistema referencial. De acuerdo al teorema de Pitágoras debe cumplirse:

12 = A2 + B2 + C 2 Por lo tanto el versor “erre” no tiene un signo asignado respecto al sistema referencial “x”; “y”; “z” y tampoco lo tiene el vector V. Resumiendo: un vector cuya dirección cambie respecto un sistema referencial, no tiene un signo matemático asociado pero si lo tienen sus componentes.

80

PRODUCTO INTERNO (ESCALAR)

Como el vector A puede ser escrito como: ˆ A ˆi + A ˆj + A kˆ A A= x y z

y observamos por el teorema de Pitágoras que los escalares de la relación anterior cumplen: A2 = Ax2 + Ay2 + Az2

se define el cuadrado de un vector, como el producto del vector por si mismo, de manera que se cumpla: A2 = A · A = A2 = Ax2 + Ay2 + Az2

Observamos que este producto del vector A por el vector A, da como resultado un escalar. Por este motivo, a este producto se le denomina producto escalar de vectores. meñique en el sentido del primer factor (en nuestro ejemplo el vector A) y cerramos la mano rotando los dedos antes mencionados el ángulo . El dedo pulgar queda indicando el sentido del seudo-vector C. En cambio si aplicamos la regla del tornillo, ubicamos un tornillo perpendicular al plano determinado por los dos factores, y lo giramos en el sentido que se debe rotar el primer factor sobre el segundo para que gire el ángulo . El sentido que avanza el tornillo, es el sentido del seudo-vector producto.

EJERCICIOS

    1. Dado el vector u = (2, -1), determinar dos vectores equipolentes a u , AB y CD , sabiendo que A(1, -3) y D(2, 0).  2. Calcula el valor de k sabiendo que el módulo del vector v = (k,3) es 5.  3. Si v es un vector de componentes (3,4), hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.

4. Dados los vértices de un triángulo A(1, 2), B(-3, 4) y C(-1, 3), hallar las coordenadas del baricentro. 5. Hallar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, -2) es el punto medio de AC, A(-3, 1). 6. Averiguar si están alineados los puntos: A(-2, -3), B(1, 0) y C(6, 5). 7. Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo. 8. Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A (2, -1) y B(8, -4). Hallar las coordenadas del punto C que divide al segmento AB en dos partes tales que AC es la mitad de CB. 9. Si el segmento AB de extremos A(1,3), B(7, 5), se divide en cuatro partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de división? 10. Hallar el simétrico del punto A(4, -2) respecto de M(2, 6). 81

FUNCIONES Primer acercamiento a las funciones Conocer la realidad circundante al hombre es una de las funciones que se propone el conocimiento científico y, por tanto, también la Matemática. En la realidad suceden ciertos hechos y manifestaciones que resultan de interés para ser estudiados, a los que llamamos fenómenos y situaciones. Para alguno de ellos disponemos de saber matemático que permite su estudio y para otros todavía no. Estudiaremos algunos fenómenos simples centrándonos principalmente en la construcción matemática necesaria para entenderlos y representarlos. El proceso que nos permite estudiar los fenómenos es el que llamamos modelización. Para simplificar la explicación sobre la modelización, dividiremos el proceso en tres partes que pueden darse en distintos momentos y el cual cada una de las partes puede retroalimentarse de la otra. -

Parte inicial de la modelización o abordaje de la situación problemática o del fenómeno: en esta parte hacemos un reconocimiento del fenómeno o situación intelectual o experimentalmente, lo recortamos, lo simplificamos y lo aislamos de la complejidad en la que aparece incluido. Identificamos las variables y constantes que intervienen, reconocemos que se relacionan y luego mediante experimentación, observación o supuestos acordes al funcionamiento del fenómeno, decimos cómo es esa relación.

-

Parte central de la modelización o construcción del modelo matemático: esta construcción consiste en encontrar la teoría y las herramientas matemáticas, que en su totalidad llamamos modelo matemático, que describen la relación entre las variables y permiten presentarla. Esto, en general, es complejo. Nosotros veremos algunos casos donde la construcción del modelo consiste en definir una función matemática.

-

Parte final de la modelización o explicación del fenómeno y de su evolución: el modelo matemático nos permitirá comprender mejor el fenómeno en su globalidad. Además la manipulación de los objetos matemáticos definidos nos permitirá anticipar posibles alteraciones en el fenómeno y predecir su evolución bajo las condiciones creadas para el modelo.

Funciones para modelizar La idea de función está generalmente asociada a las ideas de dependencia y de variabilidad. Por ejemplo, en el caso de la tarifa de remís, cuando un viaja quiere 82

saber cuánto cuesta el viaje de acuerdo al kilometraje. Aquí se observa la variabilidad del precio y de la cantidad de kilómetros, que serán entonces las variables del problema, y cómo el precio depende de los kilómetros recorridos. Sabiendo que la tarifa es de $1,10 el kilómetro, la fórmula matemática que permitirá conocer el precio de un viaje es: P=1,10 x, siendo x la cantidad de kilómetros recorridos. Sin embargo tenemos que entender que esta fórmula no siempre resuelve el problema real pues el remisero no nos cobra el resultado exacto de esa cuenta, sino que es habitual que redondee. Veamos otros ejemplos: -

Calcular el precio de una llamada telefónica sabiendo que cuesta $1,10 el minuto.

-

Calcular el precio de una caja de alfajores sabiendo que cada uno cuesta $1,10.

Una fórmula que permite hacer estos cálculos es la misma que antes: P=1,10x

sin

embargo la “x” cambia de acuerdo a los contextos. En los ejemplos, las situaciones son diferentes e incluso lo son también las variables numéricas que intervienen. Por ejemplo, en el caso de la caja de alfajores no parece tener sentido colocar dos alfajores y medio. Uno de los intereses de la Matemática es estudiar “el objeto” independientemente de si ese objeto sirve para resolver el problema del remís, de la llamada telefónica o del precio de la caja de alfajores. En este caso, el objeto está formado por: cada uno de los conjuntos a los que pertenecen las variables y la correspondencia establecida (en este caso a través de esa fórmula); en síntesis, el objeto es la función. Informalmente, una función es una correspondencia entre variables. Para definirla, necesitamos decir cuáles variables consideramos y cómo vamos a establecer esa correspondencia. Más formalmente: FUNCIÓN: Dados dos conjuntos A y B, que consideraremos no vacíos, una función de A en B (que notamos f: A→B), es una correspondencia que a cada elemento de A le hace corresponder un único elemento de B. Esta definición no hace ver que para definir una función es necesario indicar los conjuntos entre los cuales establecemos la correspondencia. El conjunto A, formado por los elementos que tienen correspondiente, se llama dominio de la función, y B se llama codominio. Al dominio lo notamos Dom f. Quiere decir que para definir una función necesitamos tres componentes: un conjunto de partida o dominio A, un conjunto de llegada o codominio B, y la correspondencia o regla de asignación entre elementos de 83

esos conjuntos. Al correspondiente de un elemento x de A lo llamamos la imagen de x y la notamos f(x), si f es la función. Al conjunto del codominio formado por todas las imágenes lo llamamos conjunto imagen de la función f y lo notamos Im f. La presentación de la correspondencia o de la regla de asignación entre elementos puede aparecer en diferentes formas como las siguientes: 1.- Por diagramas de Venn. Esta presentación es útil cuando el conjunto A es finito. Por ejemplo:

Como vemos, esta correspondencia indicada por las flechas es una función de A en B pues cada elemento del conjunto A tiene un único correspondiente en el conjunto B. además vemos que 2 es la imagen de a y también b y 4 es la imagen de c. es decir que dos elementos pueden compartir la misma imagen. 2.- Por una asignación coloquial. Por ejemplo, entre un conjunto A formado por integrantes de una familia y un conjunto B formado por las integrantes mujeres de esa familia, y un conjunto B formado por las integrantes mujeres de esa familia, se establece la correspondencia dada por: “..es hijo de…”. Todos hemos nacido de una mujer y además madre hay una sola, así que esta correspondencia también puede ser considerada una función de A en B. 3.- Por asignación numérica sin fórmula para evaluar: A cada elemento del dominio se le asigna un número que no se obtiene operando sobre cada valor del dominio. Por ejemplo, siendo A el conjunto de los números reales y B = Z, el conjunto de los números enteros, se define la correspondencia que a un número menor que cero le asigna -1 y si no es menor que 0 le asigna 1. Esto se simboliza de la siguiente manera:

84

4.- Por tabla de valores: Cuando el dominio de una función es un conjunto finito y tiene pocos elementos, la tabla de valores es una tabla en donde se listan los valores de la variable dependiente y se colocan al mismo nivel sus correspondientes. Puede estar dispuesta en forma vertical u horizontal. La tabla de valores es útil para ver como es la relación entre las variables en forma numérica. 5.- Por gráfico cartesiano: Usamos esta forma de presentación especialmente en los casos en donde las variables pueden ser medidas y toman valores numéricos. En el gráfico cartesiano se representan puntos. Cada punto está dado por un par ordenado de números reales P = (x , y), donde x se llama abscisa de < p, y ordenada de P y ambas se llaman coordenadas del punto P. el gráfico cartesiano consiste de: - dos rectas que se intersecan perpendicularmente, una horizontal y otra vertical, que se llaman ejes cartesianos. - Para poder representar la recta numérica en cada eje hay que elegir un origen y una unidad. El origen en ambos ejes es el punto de intersección de las rectas. - La primera componente del par ordenado, la abscisa x, se representa sobre el eje horizontal. - La segunda componente del par ordenado, la ordenada y, se representa sobre el eje vertical. - Para determinar el punto P, se traza una paralela al eje vertical que contenga al punto de abscisa x representando en el ítem anterior y una paralela al eje horizontal que contenga al punto de ordenada representado en el ítem anterior. El punto P es el de intersección de estas rectas trazadas.

85

Nótese que los puntos del plano que están sobre el eje de las abscisas (horizontal) tienen coordenadas P = (x , 0) mientras que los que están sobre el eje de las ordenadas (vertical) son del tipo P = (0 , y). Cuando se tiene un gráfico que representa una función, sobre el eje horizontal están representados los valores que toma la variable en el dominio y sobre el eje vertical sus imágenes por la correspondencia. Los puntos del plano representados tienen coordenadas (x, f(x)). Por eso es que también se escribe y = f(x) para decir que la ordenada del punto es la imagen de la abscisa. FUNCIÓN LINEAL Funciones de proporcionalidad Supongamos que estudiamos el movimiento de un auto que marcha a velocidad constante por un camino recto y nos interesa saber cuáles son las distintas posiciones del mismo a medida que transcurre el tiempo. Las magnitudes involucradas en este caso son: la posición del auto respecto a un punto de referencia fijo y el tiempo. Si se sabe que el auto tiene una velocidad constante de 80 km/h podemos afirmar que por cada hora que pase el auto va a aumentar su posición en 80 km respecto de la posición inicial (km 0), es decir: .a

t = 0 h le corresponde P = 0

.a

t = 1 h le corresponde P = 80

.a

t = 2 h le corresponde P = 80. 2 = 160

.a

t = 3 h le corresponde P = 80 . 3 = 240

………………………………………………. .a un t genérico

le corresponde

P = 80· t

De esta forma, la relación que describe la posición del automóvil es P = 80 t o bien P(t) = 80t (con ambas variables expresadas en las unidades correspondientes). La función que queda definida por esa expresión algebraica es P: R≥0  R , P(t) = 80 t.

86

ACTIVIDADES 1. El siguiente gráfico describe la altura de un líquido e función de la cantidad de vasitos vertidos en una botella vacía. Proponer de qué forma debería ser la botella para que el gráfico sea el que se da a continuación.

a) ¿Cuál es el nivel del líquido si se hecha medio vasito? ¿Y si se echan 2,3 vasitos? Justificar la respuesta. b) Si la cantidad de vasitos aumenta de 2 a 6, ¿cuánto aumenta el nivel del líquido? ¿Por qué? 2. Se obtuvo la información de la posición P y el instante t en que un automóvil atraviesa diferentes mojones en la ruta 2. Los datos relevados se muestran en la tabla: t (tiempo)

P (posición)

0h

0 km

30 min

40 km

1h

80 km

2h

160 km

87

Estimar la posición a la que se encontraría el auto a las 3 h, a las 5 h y a las 6 horas y media. c) ¿Por qué el ítem a) pide “estimar” y no “calcular exactamente”? ¿Se podría haber respondido el ítem a) de manera exacta? ¿Qué supuesto adicional en el contexto del problema se está considerando al responder a)? 3. Se tiene un barril de madera que tiene capacidad para 100 litros y sabemos que vacío pesa 25 kg. Si un litro de aceite pesa 0,74 kg responder: a) ¿Puede ser que el barril contenga 20 litros de aceite y que al apoyarlo en una balanza ésta marque 39,8 kg? ¿Puede ser que contenga 43 litros y la balanza marque 55,8 kg? b) ¿Cuál es el peso máximo que se puede obtener apoyando el barril sobre la balanza?, ¿qué cantidad de litros tendría el barril en ese caso? c) ¿cuántos litros habría que poner en el barril para que éste pese 106,4 kg? d) ¿cuál o cuáles de los siguientes gráficos puede/n corresponder a la situación anterior? Justificar la elección. Dar una interpretación en términos de problema de cada gráfico (a qué tipo de situación correspondería)

d) Se tiene otro barril de madera que se llena en simultáneo con el barril del caso anterior. Se sabe que el nuevo barril vacío pesa 28 kg y que el aceite vertido en el mismo pesa 0,65 kg por litro. ¿Para qué cantidad de litros vertidos se tiene que ambos barriles pesan lo mismo? ¿Cuál es el planteo matemático al que esta pregunta responde? 4. Para la función lineal f: RR, f(x) = -4x + 2 se pide: a) Indicar tres puntos de su gráfico. b) Indicar tres puntos que no pertenezcan a su gráfico. c) Marcar en la recta que determina la función, los puntos donde la gráfica corta a cada uno de los ejes (si los tiene). Indicar los valores de sus coordenadas. 88

d) Hallar los conjuntos de positividad y de negatividad (es decir todos los valores reales de x que verifican f(x) < 0 y f(x) <0 respectivamente). e) Indicar si 5 es un elemento de la imagen de f. Justificar. f) Identificar Im f. g) Hallar la intersección de la recta hallada con la que se obtiene graficando la función g: RR que cumpla: a) su pendiente es 3 y contiene al punto (-1;2). ¿Es única? b) su pendiente es 0 y contiene al punto (4;7). c) su pendiente es -2/3 y contiene al punto (4;-1). 5. Para cada una de las rectas determinadas por las funciones lineales dadas, se pide: a) Hallar una recta paralela a ella. b) Hallar la recta paralela que contenga al punto (7;0). c) Hallar cualquier recta perpendicular a la primera. d) Hallar la recta perpendicular que contenga al punto (3;-2). f : R  R, f : R  R,

f ( x)  3x 1 2 f ( x )   x  2  1 3

f : R  R, f : R  R,

f ( x)   x  8 1 f ( x)    x  2 3

FUNCIONES DEFINIDAS EXPLÍCITAMENTE Una función escalar, puede ser definida por cualquier recurso que permita hallar, para cada punto de un dominio determinado, el valor de la imagen correspondiente. El método más común es, como ya se ha dicho, dar una regla, o varias, que permitan determinar f(x), conocido x, directamente mediante una sustitución numérica. Es el caso de las funciones definidas en forma explícita. Por ejemplo, si f: x  x2+ senx, la función f está definida explícitamente por la expresión anterior. Suelen llamarse funciones trascendentes, las funciones exponenciales como g: x  ln x (logex), las trigonométricas, etc. Si bien la terminología anterior es útil para introducir el tema, el concepto moderno de función lleva a prescindir de esquemas rígidos y se prefiere dar amplia libertad para la construcción de funciones, con la única exigencia de respetar la definición. 89

Presentaremos, a continuación, algunas funciones definidas en forma explícita, cuyo uso es muy común en el cálculo elemental. Se aconseja, sin embargo, al lector, “crear” sus propias funciones, hasta conseguir manejarlas con soltura. Funciones más usuales: 1) Función constante F es una función constante si y sólo si

 kR/

x : f ( x )  k

Su gráfico es una recta horizontal

Función idéntica F es la función idéntica sobre R si y sólo si cada número real ite como imagen ese mismo número real. Es decir,

x : f ( x )  x

Su gráfico es la recta que incluye a la bisectriz del primer cuadrante.

Función valor absoluto f es la función módulo o valor absoluto si y sólo si

x : f ( x )  x

Su gráfico está formado por las bisectrices del primer y segundo cuadrantes, pues los valores de f son no negativos.

90

Función signo La función signo está definida por la regla siguiente:

x : sgn( x ) 

x x

. Su dominio es el conjunto de los números reales del cual se excluye el

cero. Su gráfico está formado por dos semirrectas horizontales, cada una sin su origen.

Función parte entera Se llama parte entera de un número real x al menor de los números enteros entre los cuales está comprendido si x no es número entero y al mismo número x si éste es entero. O sea parte entera del número real x es el número entero e si y sólo si e  x  e 1

Si x es número real, su parte entera se designa ent ( x ) Así: ent (1 , 6) = 1; ent (0 , 4) = 0; ent (-3 , 7) = -4; ent(-0 , 2) = -1.etc. La función “parte entera” o “piso”, es la que a cada número real les asigna, como imagen, su parte entera. Es decir, f : x  ent ( x ) Su gráfico es escalonado, formado por segmentos horizontales a los cuales no les pertenece el extremo derecho. 91

Función mantisa Así:

Función Polínomica de Segundo Grado Las funciones polinómicas de segundo grado se llaman funciones cuadráticas y son del tipo:

f ( x)  ax 2  bx  c Dónde donde a ≠ 0 , siendo su gráfica una parábola. Las características generales de las funciones polinómicas de segundo grado son:

1) El dominio de las funciones cuadráticas es R. 2) Tiene un eje de simetría cuya fórmula es: x  -

b 2a

3) El vértice de la parábola es:

 b b 2  4ac  V  ,  4a   2a

92

4) Corta al eje X en dos puntos, uno o ninguno, según el número de raíces reales de ax2 + bx + c = 0 .

5) Corta el eje Y en el punto (0, c) . 6) El vértice es un mínimo si a > 0 y un máximo si a < 0 . 7) Es cóncava si a > 0 y convexa si a < 0 . 8) Al aumentar a en valor absoluto, la parábola se hace más estrecha. Tipos de Funciones Cuadráticas En una función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c , con a ≠ 0 .

Si b = 0 y c = 0 La función f(x) = ax2 tiene su vértice en el punto (0, 0) y su eje de simetría es el eje Y.

93

Si b = 0 y c ≠ 0 La función f(x) = ax2 + c tiene su vértice en el punto (0, c) y su eje de simetría es el eje Y.

Si b ≠ 0 y c = 0 La función f(x) = ax2 + bx tiene su vértice y su eje de simetría en:

  b b 2  b V , , x  2a  2a 4a 

94

Representa gráficamente la función: f(x) = x2 - 5x + 6 1) Puntos de corte con los ejes: Para x = 0 tenemos que f(0) = 6 luego el punto de corte con el eje Y es (0, 6) Para y = 0 tenemos que 0 = x2 - 5x + 6 así que resolvemos la ecuación de segundo grado:

b  b 2  4ac ( 5)  ( 5)2  4 1  6 5  25  24    x 2a 2 1 2 5  1 5  1  x1  3     2 2  x2  2  Por lo tanto, los puntos de corte con el eje X son (2, 0) y (3, 0).

2) Vértice de la parábola:

 b b 2  4ac   5 1  V  x V , yv   V  ,   ,  2 4 a a   2 4  También podemos hacer yv = f(5/2)

Para

5 x 2

2

5 5 5 25 25 25  50  24 1 f ( )     5  6   6   2 2 2 4 2 4 4

3) Máximos o mínimos: Como a > 0 entonces tenemos un mínimo, que coincide con el vértice.

 5 1  Mínimo  ,  2 4  4) Crecimiento o decrecimiento: Como a > 0, tenemos que la función es decreciente en el intervalo (- ∞, 5/2) y creciente en el intervalo (5/2, + ∞).

5) Concavidad o convexidad: Como a > 0 la función es cóncava en todo su dominio.

95

6) Tabla de valores: Construimos una tabla de valores con los puntos de corte con los ejes, el vértice y otros puntos alrededor de él.

Representa gráficamente la función: f(x) = - x2 + 5x - 6 1) Puntos de corte con los ejes: Para x = 0 tenemos que f(0) = - 6 luego el punto de corte con el eje Y es (0, - 6) . Para y = 0 tenemos que 0 = - x2 + 5x - 6 así que resolvemos la ecuación de segundo grado, siendo sus raíces x = 2 y x = 3. Por lo tanto, los puntos de corte con el eje X son (2, 0) y (3, 0).

2) Vértice de la parábola:

96

 b b 2  4ac   5 1  V  x V , yv   V  ,   ,  a a 2 4   2 4 También podemos hacer yv = f(5/2)

Para

5 x 2

2

5 5 25 25 25  50  24 1 5  f ( )     5  6     6  2 2 2 4 2 4 4  

3) Máximos o mínimos: Como a < 0 entonces tenemos un máximo, que coincide con el vértice.

5 1 Máximo  ,  2 4 4) Crecimiento o decrecimiento: Como a < 0, tenemos que la función es creciente en el intervalo (- ∞, 5/2) y decreciente en el intervalo (5/2, + ∞).

5) Concavidad o convexidad: Como a < 0 la función es convexa en todo su dominio.

6) Tabla de valores: Construimos una tabla de valores con los puntos de corte con los ejes, el vértice y otros puntos alrededor de él.

97

Dada la siguiente gráfica, estudia todas sus características. Es decir, completa los siguientes apartados: 1) Tipo de función. 2) Dominio. 3) Recorrido o imagen. 4) Continuidad 5) Periodicidad 6) Simetrías 7) Asíntotas. 8) Corte con los ejes. 9) Monotonía. 10) Máximos y mínimos relativos. 11) Curvatura y puntos de inflexión. 12) Acotación. 1) Tipo de función: es una función polinómica de grado 2, es decir, es una función cuadrática. Es una parábola.

2) Dominio: como es una función polinómica, Dom(f) = R. 3) Recorrido o imagen: Im(f) = [0 , ∞) 4) Continuidad: es continua en todo R, es decir, la función f está bien definida para todo valor real.

5) Periodicidad: no es periódica. 6) Simetría: f(-x) = 4(-x)2 - 4x + 1 = 4x2 - 4x + 1 f(-x) ≠ f(x) , por lo que no tiene simetría par. f(-x) ≠ - f(x) , por lo que no tiene simetría impar. La función f no es simétrica, como además se ve en la gráfica.

7) Asíntotas: no tiene asíntotas. 8) Corte con los ejes: • x = 0:

y = 4x2 + 4x + 1

• y = 0:

4x2 + 4x + 1 = 0

→

y=1

→

A = (0 , 1)

B = (-1/2 ,0) 98

Signo: es positiva en todo R.

9) Monotonía: • Creciente en: (-1/2 , ∞)

• Decreciente en: (-∞ , -1/2)

10) Máximos y mínimos relativos: tiene un mínimo relativo en el punto (-1/2 , 0). 11) Curvatura y puntos de inflexión: Es una función cóncava en todo R. No tiene puntos de inflexión.

12) Acotación: Por la gráfica, vemos que f no tiene cotas superiores. Observando la gráfica vemos que las cotas inferiores de la función son: (-∞ , 0]. De todas las cotas inferiores, la más grande es y = 0 , por lo que inf(f) = 0. Como 0  Im(f) , tenemos que y = 0 es el mínimo absoluto de la función. La función f no está acotada, ya que sólo está acotada inferiormente.

Estudio completo de funciones. Ejercicios resueltos. Dada la siguiente gráfica, estudia todas sus características. Es decir, completa los siguientes apartados: 1) Tipo de función. 2) Dominio. 3) Recorrido o imagen. 4) Continuidad. 5) Periodicidad. 6) Simetrías. 7) Asíntotas. 8) Corte con los ejes. 9) Monotonía. 10) Máximos y mínimos relativos. 11) Curvatura y puntos de inflexión. 12) Acotación. 1) Tipo de función: es una función polinómica de grado 3, es decir, es una función cúbica. 2) Dominio: Dom(f) = R 3) Recorrido o imagen: Im(f) = R 99

4) Continuidad: es continua en todo R, es decir, la función está bien definida para todo valor real.

5) Periodicidad: no es periódica. 6) Simetrías: f(-x) = (-x)3 + 3x + 2 = - x3 + 3x + 2 f(-x) ≠ f(x) , por lo que no tiene simetría par. f(-x) ≠ - f(x) , por lo que no tiene simetría impar. La función f no es simétrica, como además se ve en la gráfica.

7) Asíntotas: no tiene asíntotas. 8) Corte con los ejes: • x = 0:

y = x3 - 3x + 2

• y = 0:

x3 - 3x + 2 = 0

y=2

A = (0 , 2)

Calculamos las raíces por el método de Ruffini: los divisores del término independiente son ±1 , ±2.

x3 - 3x + 2 = (x - 1)(x2 + x - 2) = 0

→

x = 1 , x2 + x - 2 = 0

Tenemos dos puntos de corte con el eje OX: B = (1 , 0) , C = (-2 , 0) Signo de la función: • Positiva en:

(-2 , ∞)

• Negativa en:

(-∞ , -2)

9) Monotonía: • Creciente en:

(-∞ , -1) y (1 , ∞)

• Decreciente en:

(-1 , 1)

10) Máximos y mínimos relativos: Tiene un máximo relativo en el punto (-1 , 4). Tiene un mínimo relativo en el punto (1 , 0).

11) Curvatura y puntos de inflexión: • Convexa en:

(-∞ , 0).

• Cóncava en:

(0 , ∞).

Tiene un punto de inflexión en (0 , 2).

12) Acotación: Esta función no está acotada, ni superior, ni inferiormente. Por tanto, no está acotada. 100

ECUACIONES EN UNA VARIABLE Se darán algunas definiciones. Identidad Algebraica: Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es verificada cualesquiera sean los valores atribuidos a las variables (letras) contenidas en las dos expresiones, excluidos aquellos valores para los cuales al menos una de las dos expresiones algebraicas pierden significado. También se llama igualdad incondicional. Ejemplo: (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy es una identidad. Ecuación Algebraica: Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es verificada solamente para valores particulares de las variables (letras) contenidas en las dos expresiones. Incógnitas: Son las variables (letras) que aparecen en una ecuación algebraica. de la ecuación: Son las dos expresiones algebraicas que forman la ecuación. Se llama primer miembro a la expresión algebraica que se encuentra a la izquierda del signo igual y segundo miembro al que se encuentra a la derecha. Solución de la Ecuación: son los valores que, atribuidos a las variables incógnitas, producen una igualdad entre los dos de la ecuación. Resolver una Ecuación: consiste en hallar todas las soluciones de la ecuación dada. Ejemplos: la ecuación x +1 = 0 tiene una sola ecuación x = 1 ; la ecuación x = x tiene infinitas soluciones al ser una identidad; la ecuación x2 = -1 no tiene ninguna solución real. Una ecuación puede clasificarse, de acuerdo al número de incógnitas en: 

Ecuación con una incógnita;



Ecuación con dos incógnitas, etc.

A un conjunto de dos o más ecuaciones (igualdades a satisfacerse) se llama sistema de ecuaciones. Se puede hablar de un sistema de n ecuaciones con m incógnitas (n, m Є N) Una ecuación algebraica, en la incógnita x, se clasifica en: 1) Entera: cuando los dos de la ecuación son expresiones algebraicas enteras respecto de la letra x. 2) Fraccionaria: cuando al menos uno de los dos de la ecuación son expresiones algebraicas fraccionarias que contienen la incógnita en el denominador. 3) Irracional: cuando al menos uno de los dos de la ecuación son expresiones algebraicas que contienen la incógnita como radicando. 101

Ejemplos a) a.x + b = 0, con a, b Є R, a ≠ 0 se llama ecuación de primer grado en la incógnita x. Es una ecuación algebraica entera con una incógnita. b) a.x2 + bx + c = 0, con a, b, c Є R, a ≠ 0 se llama ecuación de segundo grado en la incógnita x. Es una ecuación algebraica entera con una incógnita. c) Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es el dado por:

Con d)

e)

es una ecuación fraccionaria en la incógnita x.

es una ecuación Irracional en la incógnita x.

Una ecuación algebraica puede clasificarse en: 

Numérica: cuando contiene sólo números excepto de la incógnita;



Literal o paramétrica: cuando contiene letras o parámetros que representan números bien determinados además de la incógnita.

Ejemplos: la ecuación x +1 = 0 es numérica y tiene por única solución x=-1; la ecuación x + m = 0 y tiene por única solución x = -m, para cada valor del parámetro o letra m є R. Ecuaciones equivalentes: dos ecuaciones son equivalentes algebraicas en la misma incógnita cuando todas las soluciones de la primera ecuación son también soluciones de la segunda ecuación y, viceversa, todas las soluciones de la segunda ecuación son también soluciones de la primera. Ejemplo: se tiene x = 3 es solución de las dos ecuaciones x – 3 = 0 y x2 – 9 = 0; en cambio x = -3 es solución de la segunda ecuación pero no de la primera. Por lo tanto, estas ecuaciones no son equivalentes. Proposición: dos ecuaciones equivalentes a una tercera son equivalentes si. Una ecuación o sistema de ecuaciones puede clasificarse en: 

Compatible o Determinado: cuando tiene un número finito de soluciones.



Indeterminado: cuando tiene infinitas soluciones.



Incompatible: cuando no existe ninguna solución. 102

METODOLOGÍA PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN. Debido al hecho de que dos ecuaciones equivalentes tienen las mismas soluciones, es claro que cuando se quiere resolver una ecuación, se puede resolver una cualquiera que sea equivalente a la dada; y por lo tanto será particularmente muy ventajoso cuando la segunda ecuación se presente en una forma más simple que la primera. El procedimiento que se seguirá para resolver una ecuación consistirá en la transformación de la ecuación en otra equivalente pero más simple, y así sucesivamente, hasta arribar a una ecuación equivalente a la dada, de la cual se podrá con facilidad encontrar sus soluciones. Por lo tanto, se comprende que es esencial ver cuáles son las operaciones que se pueden hacer sobre una ecuación para transformarla en otra equivalente. Se tienen las siguientes propiedades. 

Principio de la Adición: si a ambos de una ecuación se le suma un mismo número real, o una misma expresión algebraica en la incógnita x que se pueda calcular para cada valor de la x, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

Ejemplo: la ecuación 2x – 6 = 0 es equivalente a la ecuación 2x = 6, que se obtiene sumando a ambos el número real 6. Observación: Si la expresión que se suma no se puede calcular para cada valor de la x, entonces puede suceder que las dos ecuaciones no sean equivalentes. Por ejemplo, la ecuación x2 = 4, que tiene por soluciones x = -2 y x = 2, no es equivalente a la ecuación x2 + . 1 . = 4 + . 1 . x–2 x–2 pues la expresión . 1 . no está definida para x = 2. x–2 

Principio de la Multiplicación: si a ambos de una ecuación se le multiplica por un mismo número real distinto de cero, o una misma expresión algebraica en la incógnita x que se pueda calcular para cada valor de la x y que no se anule jamás, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.



Ejemplo: la ecuación 2x = 6 es equivalente a la ecuación x = 3, que se obtiene multiplicando ambos por el mismo número real ½.

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE. Definición: se llama ecuación de primer grado en la incógnita x a la siguiente expresión:

103

Teorema: la ecuación de primer grado en la incógnita x tiene una única solución dada por:

Demostración: Se tienen las siguientes equivalencias: ax + b = 0

ax = - b

x=- b a

Observación: La ecuación ax + b = 0 (a, b Є

R) con a

≠ 0 posee las siguientes

particularidades: 1) tiene infinitas soluciones x Є R cuando b = 0. 2) No tiene soluciones cuando b ≠ 0. El estudio de la ecuación a x + b = 0 (con a, b Є R) se puede resumir en el siguiente cuadro:

PROBLEMAS DE APLICACIÓN: Numerosos problemas se pueden llevar a la resolución de ecuaciones, en particular, de las ecuaciones de primer grado. En numerosas aplicaciones, interviene la noción de porcentaje. En muchos casos, es muy útil saber expresar el porcentaje como una fracción o número decimal, por ejemplo: 10 % = 10 = 1 = 0,10 100 10

15 % = 15 = 3 = 0,15 100 20

50 % = 50 = 1 = 0,50 100 2

100% = 100 = 10 = 1 100 10

104

Ejemplos: 

Un padre tiene 40 años y su hijo 10 años. En cuantos años la edad del padre será el triple de la edad del hijo?.

Solución: Se indica con x la cantidad de años que deben transcurrir (incógnita del problema) para que la edad del padre sea igual al triplo de la edad del hijo, entonces se puede plantear la siguiente ecuación de primer grado: x + 40 = 3. ( x + 10) x + 40= 3.x + 3.10 x + 40= 3.x + 30 x – x +40 = 3.x –x +30 40 = 2.x +30 40 –30 = 2.x +30 – 30 10 = 2.x 10 : 2 = 2.x :2 5=x Dentro de 5 años el padre y el hijo tendrán 45 y 15 años. ( 45 = 3.15)

105

Ejemplos: Cuando ax2 +bx + c = 0

x2 – 4x + 3 = 0

Para hallar las raíces aplicamos la fórmula.

Cuando ax2 + bx= 0

x2 + 5x =0 →

o bien sacando factor común x ,

x1 = 0 x2 = - 5 = -5 1 x.(x+5)=0

una raíz ya es 0, x1 = 0 por en el producto igual a cero uno de los factores debe ser 0. Luego

x +5 = 0

entonces x = -5 ; x2 = -5 x1 = 5

Cuando ax2 + c = 0

2x2 –50 = 0

x = +- 50

= +- 25

2 x2= -5

106

107

PROBLEMAS CON FUNCIONES CUADRÁTICAS PARA TODOS LOS EJERCICIOS DE ECUACIONES PUEDES VERIFICAR CON EL USO DE GEOGEBRA 1) Para alambrar un campo rectangular se necesitan 100 m de alambre. ¿Cómo varía el área del campo en función del ancho? 2) Qué área tendría el campo si mide: a) 20,5 m de ancho; b) 30 m de ancho; c) 50 m de ancho. 3) Representa gráficamente las siguientes funciones, halla previamente las raíces, el eje de simetría y el vértice. a) f(x) = x2 – 4x + 3 b) f(x) = x2 – 2x +1 4) El propietario de un campo quiere plantar una huerta de 500 m2, de forma rectangular y pegada al río. Para evitar destrozos de las vacas decide cerrarlo – salvo el lado que da sobre el río-, utilizando 70 m de tela metálica. ¿Cuánto deben medir los lados? El método de Cardano es un método para hallar analíticamente las raíces de cualquier ecuación siendo

cúbica de la forma:

. Si bien el método general permite

obtener tanto soluciones reales como imaginarias, existe una forma simplificada que permite obtener rápidamente las soluciones reales. Si las raíces de la ecuación son

Para calcular

todas reales, cada una de ellas se obtienen como:

se deben calcular previamente:

Y finalmente se obtiene:

Ejemplo: Resolver por el método de Cardano la ecuación cúbica siguiente: Tenemos que

por lo tanto:

108

Para

Para

Para

Aclaración: Para usar este método los ángulos deben expresarse en radianes.

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS La ecuación de primer grado con una incógnita tiene una sola raíz. El conjunto solución es unitario. La ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene siempre infinitas soluciones, es decir, existen siempre infinitos pares o duplas de números que sustituidos respectivamente en las incógnitas x,y satisfacen la ecuación. Ejemplo: (1)

2x–y=5

=>

2x–y–5=0

Para encontrar los pares de valores (x,y) que verifican la ecuación (1) conviene despejar y. X

Y

(x,y)

-y = 5 – 2x

0

2.0-5= -5

(0,-5)

y = 2x – 5

1

2.1-5= -3

(1,-3)

2

2.2-5= -1

(2,-1)

3

2.3-5 = 1

(3, 1)

4

2.4-5 = 3

(4, 3)

5

2.5-5 = 5

(5, 5)

A cada valor de x corresponde un valor de y.

Cada par (x,y) que verifica la igualdad (1) es una raíz de la ecuación. 109

La ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. S = {(0,-5) ; (1,-3); (2,-1)....................} El conjunto solución está representado por el conjunto de puntos de la recta y = 2x –5. Las coordenadas de cualquier punto de la recta verifican la ecuación.

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Consideremos un conjunto de dos ecuaciones con dos incógnitas: Ejemplo 1 2x – y = 0

(1)

x +y–9=0

(2)

El conjunto de estas dos ecuaciones se llama sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Como ambas ecuaciones son de primer grado, decimos que es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Para indicar que forman un sistema, se abarcan con una llave. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas significa hallar el conjunto de raíces comunes, es decir, la intersección de los conjuntos solución de ambas ecuaciones. Hallamos las raíces de la ecuación (1)

Hallamos las raíces de la ecuación (2) despe-

despejando y:

x

jando y:

x

y

2x – y = 0

-4

-8

x+y–9=0

-4

13

y = 2x

-3

-6

y=9–x

-3

12

-2

-4

-2

11

y

-1

-2

-1

10

0

0

0

9

1

2

1

8

2

4

2

7

3

6

3

6

4

8

4

5 110

Escribimos los conjuntos solución S1 y S2. S1 = {....(-4,-8), (-3,-6), (-2,-4), (-1,-2), (0,0), (1,2), (2,4), (3,6), (4,8),......} S2 = {.....(-413), (-3, 12), (-2,11), (-1,10), (0,9), (1,8), (2,7), (3,6), (4,5),....} S = S1  S2 = { (3,6)} Gráficamente:

Como la representación gráfica de una ecuación de primer grado con dos incógnitas es una recta, es suficiente hallar dos puntos, o bien determinarla pendiente y el punto en que corta al eje y ( ordenada al origen). En este caso las rectas se cortan en un punto. El conjunto solución es unitario. Existe un solo par de valores (x,y) que verifica la ecuación. X=3

Y=6

Decimos que el sistema es determinado. Ejemplo 2 x–y=3 2x – 2y – 6 = 0

y=x–3 y = 2x – 6 2

y=x-3 y=x-3

111

y = 2x –6 2 x

y = x –3

y

x

-1 2.-1 –6 = -4 2 0 2.0 –6 = -3 2 1 2.1 – 6 = -2 2 2 2.2 –6 = -1 2 3 2.3 – 6 = 0 2 4 2.4 – 6 = 1 2

y

-1

-1 –3 = -4

0

0 –3 = -3

1

1 – 3 = -2

2

2 – 3 = -1

3

3–3=0

4

4–3=1

La pendiente es 1. La ordenada al origen es –3. S1 = { ....(-1,-4), (0,-3), (1,-2), (3,0), (4,1),....} S2 = { ....(-1,-4), (0,-3), (1,-2), (3,0), (4,1),....} Los conjuntos solución son iguales S1 S2 = S1 Las rectas que representan ambas ecuaciones coinciden. El conjunto solución del sistema tiene infinitos pares que satisfacen ambas ecuaciones. Se dice que el sistema es indeterminado. Ejemplo 3 x–y–3=0 2x – 2y = -4

y=x–3 y = 2x + 4 2

y=x-3 y=x+2 112

y=x–3 x

y

y=x+2 .

.x

y

-3

-3 –3 = -6

-3 -3 +2 = -1

-2

-2 –3 = -5

-2 –2 +2 = 0

-1

-1 –3 = -4

-1 –1 +2 = 1

0

0 – 3 = -3

0

0+2=2

1

1 – 3 = -2

1

1+2=3

2

2 – 3 = -1

2

2+ 2 = 4

3

3–3=0

3

3+2=5

.

S1 = { ...(-3,-6), (-2 ,-5 ), (-1 ,-4 ), (0,-3), (1,-2), (2,-1), (3,0),.....} S2= {...(-3,-1), (-2,0), (-1,1), (0,2), (1,3), (2,4), (3,5),.......} Los conjuntos solución no tienen elementos comunes. S = S1 S2 =  El conjunto solución del sistema es vacío. Ningún par (x,y) satisface ambas ecuaciones. Se dice que el sistema es incompatible. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS. Existen diversos métodos para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. En los ejemplos anteriores has representado gráficamente el conjunto solución. La representación gráfica de las ecuaciones constituye uno de los procedimientos para encontrar el conjunto solución. Generalmente se procede de la siguiente manera: 1. Se elimina una de las incógnitas para transformar el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en una ecuación de primer grado con una incógnita. 2. Se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita por los métodos conocidos. 3. Se reemplaza la raíz hallada en una de las ecuaciones del sistema y la expresión resultante permite calcular la otra incógnita. 113

Observa que el nombre de cada uno de los métodos deriva del recurso utilizado para eliminar una de las incógnitas.

1. Sustitución Sea el sistema: (1) 4x + y = 4 (2) 2x – 3y = -5 1. Despejamos y en la primera ecuación y = -4 x + 4

(1)

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación: 2 x – 3 y = -5 2 x – 3(-4 x + 4) = -5 Hemos obtenido por sustitución una ecuación de primer grado con una incógnita. 2. Resolvemos la ecuación obtenida: 2 x + 12 x – 12 = -5 14 x = -5 + 12 x=1 2

x=7 14

3. Reemplazando el valor de x en la igualdad (1). y = -4 x + 4 y = -4 . 1 + 4 2 Resolvemos:

y = -2 + 4 S=

y=2

(1 , 2) 2

2. Igualación Sea el sistema: 2 x + y = -1 5 x + 3 y = -5 1 . Despejamos x en ambas ecuaciones: De la primera:

x = -1 –y 2

(1)

De la segunda:

x = -5 –3 y 5

(2)

114

Igualamos los dos valores de x - 1 – y = -5 – 3 y 2 5 Hemos obtenido por igualación una ecuación de primer grado con una incógnita. 2. Resolvemos la ecuación obtenida: -5 – 5 y = -10 – 6 y -5 y + 6 y = -10 + 5 y = -5 3. Reemplazamos el valor de y en la igualdad (1) ( o en la (2) ): x=-1-y 2 Resolvemos :

x = - 1 – (- 5) 2 X=2

S = { (2, -5) }

x=2

y = -5

3. Sumas o restas (reducción) a) Sea el sistema: x+2y=4 -x–3y=-7 1.

Es fácil ver que puede eliminarse la incógnita x sumando miembro a miembro x+2y=4 - x – 3 y = -7 -y=-3

Obtenemos una ecuación de primer grado en y. 2. Resolvemos:

y=3

3. Reemplazamos y en la primera ecuación (o en la segunda). x + 2.3 =4 x = 4 –6

x = -2 115

4. Determinantes Este método consiste en ordenar los coeficientes y el término independiente, uno a uno los de la primera ecuación con los de la segunda. Una vez realizado esto, pasamos a la siguiente Definición: Se llama determinante de la matriz cuadrada de orden 2 al siguiente número real: a

b

|M| = c d

= ad - bc

que resulta ser el producto de los coeficientes de la diagonal principal menos el producto de los coeficientes de la diagonal secundaria. Dados estos conceptos, se procede del siguiente modo para resolver el sistema: 1) La incógnita x se obtiene como una fracción teniendo por denominador el determinante de la matriz de los coeficientes del sistema y por numerador, el determinante que se obtiene al sustituir la columna de la matriz que corresponde a los coeficientes de la x por la de los términos independientes, es decir: x=

. c b c’ b’ = cb’ – bc’ a b ab’ – ba’ a’ b’

2) La incógnita y se obtiene como una fracción teniendo por denominador el determinante de la matriz de los coeficientes del sistema y por numerador, el determinante que se obtiene al sustituir la columna de la matriz que corresponde a los coeficientes de la a y por la de los términos independientes, es decir: a Y = a’ a a’

c c’ = ac’ – ca’ b ab’ – ba’ b’

Ejemplo: La solución del sistema 5x– y= 5 -2x + 3y = 11 viene dada por: x =

5 -1 11 3 = 5.3 - 11.(-1) = 26 = 2; 5 -1 5.3 – (-2).(-1) 13 -2 3

5 y = -2 5 -2

5 11 = 5.11 – (-2).5 = -1 5.3 – (-2).(-1) 3

65 = 5 13

x=2

y=5

116

PRÁCTICO DE ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 1. La suma de dos números impares consecutivos es 548. ¿Cuáles son estos dos números?. 2. El segundo número de la combinación para abrir una caja fuerte es el doble del primero y tercer número es un cuarto del segundo. Si la suma de los tres números es 42, ¿Cuál es la combinación? 3. En una jaula donde hay palomas y conejos, se totalizan 35 cabezas y 94 patas.¿Cuántos animales de cada clase hay? 4. Julio tiene la mitad de la edad que tendría Pedro dentro de 5 años; y Pedro tiene la mitad de las dos edades más 5. ¿Cuáles son las edades de Julio y de Pedro?. 5. En un tambo de alta producción se han destetado 1300 terneros; si se hubieran comprado 50 terneras más, el número de terneras hubiera duplicado el número de terneros (machitos). ¿Cuántas terneras y terneros hay en el tambo? 6. Resuelve y representa los siguientes sistemas de ecuaciones: a)

2x–y=0 x+y = 9

b) x + y = -1 2x – 2y = -6

c)

2x+y=5 4x + 2 y = -4

117