Apostila De Matemática Básica Pdf k5v4z

APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA TÉCNICO EM ENFERMAGEM

Prof ª: Catarine Tayane SÃO LUÍS - 2012-

Conjuntos Numéricos I) Números Naturais N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... } II) Números Inteiros Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... } Todo número subconjunto de Z

natural

é

inteiro,

isto

é,

N

é

um

III) Números Racionais - São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0. Q = {a/b com com b diferente de 0 }

a

e

b

pertencentes

a

Z

Assim como exemplo podemos citar o –1/2 , 1 , 2,5 ,... -Números decimais exatos são racionais Pois 0,1 = 1/10 2,3 = 23/10 - Números decimais periódicos são racionais. 0,1111... = 1/9 0,3232 ...= 32/99 2,3333 ...= 21/9 0,2111 ...= 19/90 IV) Números Irracionais - São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0. -São compostos por dízimas infinitas não periódicas. Exs:

V) Números Reais - É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais. Resumindo:

Intervalos : Sendo a e b dois números reais, com a < b, temos os seguintes subconjuntos de R chamados intervalos. Intervalo fechado nos extremos a e b: = Intervalo fechado em a e aberto em b:

Intervalo aberto em a e fechado em b:

Intervalo aberto em a e b:

Temos também:

Operações fundamentais Adição: 1. Ato ou efeito de adir. 2. Arit. Reunião de todas as unidades ou frações de unidade de vários números; soma, total. 3. Acréscimo, aumento. Exemplo: a) 2254 + 1258 = 3512

Milhar

Centenas

Dezenas

Unidades

1

1

2

2

5

4

1

2

5

8

_____________________________________________________________ _______________________________________________________________ _____________________________________________ 3

5

1

2

Para o cálculo da adição, ordenamos os números em unidades, dezenas, centenas, milhar... Feito isso, efetuamos a soma. Notem que os números 2254 e 1258 foram agrupados para serem somados. O resultado da soma das unidades (4+8 = 12) é igual a 1 dezena e 2 unidades. Portanto, adiciona-se 1 dezena a sua respectiva "casa". O resultado da soma das dezenas (1+5+5 = 11) é igual a 1 centena e 1 dezena. Portanto, adiciona-se uma centena a sua respectiva "casa". A soma da "casa" das centenas (1+2+2 = 5), ou seja, 5 centenas. Finalmente, a soma da "casa" do milhar é igual a 3 (1+2=3). A soma de 2254 + 1258 = 3512. *Observação: as cores auxiliam a compreensão do processo.

Subtração: 1. Ato ou efeito de subtrair(se). 2.Tirar de outro número parcela, quantia etc.; diminuir. Exemplo: a) 2234 - 1258 = 976

Milhar

Centenas

Dezenas

Unidades

2

2

3

4

1

2

5

8

_____________________________________________________________ _______________________________________________________________ _____________________________________________ Primeiramente, vamos agrupar os números em unidades, dezenas, centenas, milhar, etc... Feito isso, observamos que não é possível a subtração das unidades (4 - 8). É preciso, portanto, "pedir emprestado" à casa das dezenas:

Milhar

Centenas

Dezenas

Unidades

2

2

3-1 = 2

4+10 = 14

1

2

5

8

_____________________________________________________________ _______________________________________________________________ _____________________________________________ 6 Observamos que não é possível a subtração (2 - 5). Vamos "pedir emprestado" a nossa "vizinha" centena:

das

dezenas

Milhar

Centenas

Dezenas

Unidades

2

2-1=1

10+2=12

14

1

2

5

8

_____________________________________________________________ _______________________________________________________________ _____________________________________________ 7

6

Vamos efetuar a subtração das centenas: Oras, não é possível efetuar o cálculo (1 - 2) das centenas sem pedir emprestado à casa do milhar...

Milhar

Centenas

Dezenas

Unidades

2-1=1

10+1=11

12

14

1

2

5

8

_____________________________________________________________ _______________________________________________________________ _____________________________________________ 0

9

7

Agora sim! Vamos efetuar o (11 - 2 = 9). E, também, do milhar (1 - 1 = 0).

6 cálculo

das

A subtração de 2234 - 1258 = 976.

Cálculo da adição e subtração envolvendo números não inteiros Exemplos: a) 235,65 + 45,758 = 281,408

centenas

Cent.

2

Dez.

Uni.

Dec.

Cent.

Mil.

1

1

1

3

5

,6

5

0

4

5

,7

5

8

_____________________________________________________________ _______________________________________________________________ _____________________________________________ 2

8

1

,4

0

8

Siga os mesmos os do cálculo com números inteiros, não se esquecendo, porém, de agrupar os algarismos de acordo com suas "casas" (milhar, centena, dezena, unidades,...). b) 254,65 - 144,732 = 109,918

Cent.

Dez.

Uni.

Dec.

Cent.

Mil.

2

5

4

,6

5

0

1

4

4

,7

3

2

_____________________________________________________________ _______________________________________________________________ _____________________________________________

Cent.

Dez.

Uni.

Dec.

Cent.

Mil.

2

5

4-1=3

,16

5-1=4

10

1

4

4

,7

3

2

_____________________________________________________________ _______________________________________________________________ _____________________________________________ ,9

1

8

Cent.

Dez.

Uni.

Dec.

Cent.

Mil.

2

5-1=4

13

,16

4

10

1

4

4

,7

3

2

_____________________________________________________________ _______________________________________________________________ _____________________________________________ 1

0

9

,9

1

8

Siga os mesmos os do cálculo da subtração com números inteiros, agrupe as algarismos de acordo com suas "casas" e "peça emprestado" à "casa" do vizinho quando não for possível efetuar a subtração.

Multiplicação: 1. Ato ou efeito de multiplicar. 2.Arit. Operação aritmética, que consiste em repetir um número, chamado multiplicando, tantas vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar um terceiro que representa o produto dos dois. 3.Repetir (um número) tantas vezes quantas são as unidades de (outro).

Exemplo: a) 236 x 25 = 5900

Milhar

Centenas

2

Dezenas

Unidades

3

6

2

5

_____________________________________________________________ _______________________________________________________________ _____________________________________________

Vamos inicialmente multiplicar 236 por 5:

Milhar

Centenas

Dezenas

Unidades

1

3

2

3

6

2

5

_____________________________________________________________ _______________________________________________________________ _____________________________________________ 1

1

8

0

1) 6x5 = 30 (3 dezenas e 0 unidades) 2) 3x5 = 15 + 3 = 18 (1 centena e 8 dezenas) - Não se esqueça de somar as 3 a casa das dezenas. 3) 2x5 = 10 + 1 = 11

Agora vamos multiplicar 236 por 2. Estamos efetuando o cálculo da casa das dezenas, portanto, vamos colocar os resultados em sua respectiva casa. Após a multiplicação, some os resultados.

Milhar

Centenas

Dezenas

Unidades

1 2

3

6

2

5

_____________________________________________________________ _______________________________________________________________ _____________________________________________ 1

1

8

0

4

7

2

+

_____________________________________________________________ _______________________________________________________________ _____________________________________________ 5

9

0

0

Multiplicação de números não inteiros Vamos efetuar os mesmos cálculos dos com os números inteiros e tomar um pouco de cuidado com a vírgula. Exemplo: a) 45,5 x 8,1 = 368,55

Mil.

Cent.

Dez.

Uni.

Dec.

4

5

,5

8

,1

_____________________________________________________________ _______________________________________________________________ _____________________________________________ O número 45,5 possui 1 casa após a vírgula. O número 8,1 também apresenta 1 casa após a vírgula. O resultado terá, portanto, 2 (1+1) casas após a vírgula. Vamos agora efetuar a multiplicação sem nos preocupar com a vírgula. Afinal, já sabemos que o produto terá 2 casas após a vírgula. 4

5

5

8

1

_____________________________________________________________ _______________________________________________________________ _____________________________________________

3

6

4

5

5

4

0

+

_____________________________________________________________ _______________________________________________________________ _____________________________________________ 3

6

8

5

5

Bom, sem nos preocuparmos com as vírgulas o resultado seria 36855, porém sabemos, como visto acima, que o número deve possuir 2 casas após a vírgula. Vamos colocar as vírgulas então!

3

6

8

,5

5

Simples não? Mas vamos recapitular: Contamos e somamos a quantidade de casas após a vírgula dos números que iremos multiplicar. O resultado apresentará esse número de casas após a vírgula. Resolvemos, então, a multiplicação e depois colocamos as vírgulas :)

Divisão: 1. Ato, efeito ou operação de dividir. 2. Fragmentação. 3. Parte de um todo que se dividiu. 4. Mat. Operação com que se procura achar quantas vezes um número se contém noutro. A divisão é, sem dúvidas, o principal problema dos estudantes. Vamos resolver alguns exercícios, observe as resoluções e os esquemas. Exemplos: Por favor, espere e siga a resolução. a) 756 : 21 = 36

b) 202 : 5 = 40,4

c) 17,4 : 3 = 5,8

Vejam a questão da FUVEST 2003 - Primeira fase: Num bolão, sete amigos ganharam vinte e um milhões, sessenta e três mil e quarenta e dois reais. O prêmio foi dividido em sete partes iguais. Logo, o que cada um recebeu, em reais, foi:

(a)3.009.006,00 (b)3.009.006,50 (c)3.090.006,00

(d)3.090.006,50 (e)3.900.060,50

Resposta: (a)

Casos particulares da multiplicação e divisão: Multiplicação N*1=N

N*0=0

Divisão N/1=N

0 / N = 0 (N ≠ 0 )

N/N=1

N / 0 = Não existe!!!!

Valor absoluto ou Módulo Representa a distância de um número até o zero (ou origem). Sendo assim, o módulo, por representar distância, é sempre positivo e representado por | |. Exemplos: |-7|=7

|-2|=2

|0|=0

|9|=9

Soma e subtração algébrica Sinais iguais: Somam-se os valores absolutos e conserva-se o sinal comum. Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e repete o sinal do maior. Exemplos: a) 2 + 4 = 6

d) – 5 + 3 = – 2

b) – 2 – 4 = – 6

e) 2 + 3 – 1 – 2 = 5 – 3 = 2

c) 5 – 3 = 2

f) – 1 – 3 + 2 – 4 + 21 – 5 – 32 = 23 – 45 = – 22

9) Multiplicação e divisão algébrica Sinais iguais  resposta positiva Sinais diferentes  resposta negativa

Regras de Divisibilidade Divisibilidade por 1 Todo número é divisível por 1.

Divisibilidade por 2 Todo número par é divisível por 2, isto é, todos os números terminados em 0, 2, 4, 6 e 8. 12:2 = 6 18:2 = 9 1024:2 = 512 102:2 = 51 10256:2 = 5128 Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos constitui um número divisível por 3. Exemplo: 66 : 3 = 22, pois 6 + 6 = 12 81 : 3 = 27, pois 8 + 1 = 9 60 : 3 = 20, pois 6 + 0 = 6 558 : 3 = 186, pois 5 + 5 + 8 = 18 Divisibilidade por 4 Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível por 4. Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4, basta verificar se o número é par e sua metade continua par. Os números que possuem zero nas suas últimas duas casas também são divisíveis por 4. 288 : 4 = 72, 88 é par e a sua metade será par. 144 : 4 = 36, 44 é par e sua metade será par. 100 : 4 = 25, pois possui na última e penúltima casa o algarismo 0. Divisibilidade por 5 Todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por 5. 10:5 = 2 75:5 = 15 25:5 = 5 200:5 = 40 Divisibilidade por 6 Constitui todos os números divisíveis por 2 e 3 no mesmo instante. 42 : 6 = 7, pois 42 : 2 = 21 e 42 : 3 = 14 54 : 6 = 9, pois 54 : 2 = 27 e 54 : 3 = 18 132 : 6 = 22, pois 132 : 2 = 66 e 132 : 3 = 44 570: 6 = 95, pois 570 : 2 = 285 e 570 : 3 = 190

Divisibilidade por 7 Duplicar o algarismo das unidades e subtrair do resto do número. Se o resultado for divisível por 7, o número é divisível por 7. Exemplo: 203 : 7 = 29, pois 2*3 = 6 e 20 – 6 = 14 294 : 7 = 42, pois 2*4 = 8 e 29 – 8 = 21 840 : 7 = 120, pois 2*0 = 0 e 84 – 0 = 84

Divisibilidade por 8 Todo número será divisível por 8 quando terminar em 000, ou os últimos três números forem divisíveis por 8. Exemplo: 1000 : 8 = 125, pois termina em 000 1208 : 8 = 151, pois os três últimos são divisíveis por 8

Divisibilidade por 9 É todo número em que a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 9. Exemplo: 90 : 9 = 10, pois 9 + 0 = 9 1125 : 9 = 125, pois 1 + 1 + 2 + 5 = 9 4788 : 9 = 532, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27

Divisibilidade por 10 Todo número terminado em 0 será divisível por 10 100:10 = 10 50:10 = 5 10:10 = 1 2000:10 = 200

Divisibilidade por 11 Um número é divisível por 11 nas situações em que a diferença entre o último algarismo e o número formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um número com 2 algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 5555, etc.) são múltiplas de 11. 1342 : 11 = 122, pois 134 – 2 = 132 → 13 – 2 = 11 2783 : 11 = 253, pois 278 – 3 = 275 → 27 – 5 = 22 7150: 11 = 650, pois 715 – 0 = 715 → 71 – 5 = 66

Divisibilidade por 12 São os números divisíveis por 3 e 4. 276:12 = 23, pois 276:3 = 92 e 276:4 = 69 672 : 12 = 56, pois 672 : 3 = 224 e 672 : 4 = 168

Números Primos Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo. Exemplos 1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo. 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo. Observações: => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. => 2 é o único número primo que é par. Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto. Reconhecimento de um número primo Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos: => ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo, => ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo. Exemplos: 1) O número 161: não é par, portanto não é divisível por 2; 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo. 2) O número 113: não é par, portanto não é divisível por 2; 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;

por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7). por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.

Potenciação Sendo a um número real e n um número natural positivo, temos: Definição:

N fatores

Propriedades:

Exemplos: 1) 2³=2.2.2=8 4) 2) 5) 3)

9) 6) 10)

7)

8)

Frações O que é uma fração? Fração é um número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma unidade ou um inteiro. Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza inteira e a dividimos em quatro partes iguais, cada parte representará uma fração da pizza.

Uma pizza inteira

Quatro pedaços de pizza

1

4x¼

Qual o significado de uma fração? Uma fração significa dividir algo em partes iguais. Assim: indica a : b , sendo a e b números naturais e b diferente de 0. a representa o numerador e b, o denominador. Leitura de frações: Metade

Um terço

Dois quartos

Três quintos

Um sexto

Quatro sétimos

Sete oitavos

Dois nonos

Um décimo

Dois onze avos

Cinco doze avos ...

... Um centésimo

Um milésimo Frações equivalentes: são frações que representam a mesma parte de um todo, como o próprio nome já diz, são equivalentes.

Simplificação de frações: Para simplificarmos uma fração, devemos dividir o numerador e o denominador por um mesmo número inteiro. Observem comparando com os quadradinhos acima.

a) b) Outros exemplos: a) b) Não é possível a simplificação, por isso, é uma fração irredutível. Tipos de fração: - Fração própria: é aquela que o numerador é menor que o denominador. Ex:

( 7<9 )

- Fração imprópria: é aquela que o numerador é maior ou igual ao denominador. Exs:

,

Numa fração imprópria temos o seguinte: Ao dividirmos 12 por 7, temos 1 inteiro, e sobram 5 sétimos. Vejam que 7x1+5=12 Outros exemplos: a) b) M.M.C (Mínimo múltiplo comum) Não há a necessidade de explicar o que é mmc, pois o próprio nome já diz que é o mínimo múltiplo comum. Mas o que isso significa? Vejamos: Qual o mmc de 4 e 6? Ou seja, qual é o menor divisor de 4 e

6 simultaneamente? Vejam que 12:3=4, assim como 12:2=6. Portanto, o mmc é 12. Vamos treinar? m.m.c 3e4

12

5 e 30

30

12 e 15

60

8e6

24

Adição e subtração de frações: 1) Verificar se os denominadores são iguais. Se forem iguais, basta somar ou subtrair o numerador. Vejam os exemplos: a) b) c) 2) Caso os denominadores sejam diferentes, devemos encontrar o mmc e transformar em frações de mesmo denominador para depois efetuarmos as operações. a)

O mmc de 6 e 3 é igual a 6. Transformemos equivalente de denominador 6.

numa fração

Podemos agora somar, pois as frações possuem o mesmo denominador. Após a soma, se possível, simplifiquem.

b) O mmc de 6 e 4 é igual a 12. Vamos transformar equivalentes de mesmo denominador 12.

e

em frações

Assim: Multiplicação de frações: Multiplicar numerador com numerador e denominador denominador. Se necessário, simplifique o produto.

com

a) b) c) Divisão de frações: Na divisão de frações, vamos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Se necessário, simplifique. a) b) c) d) e)

[ Seção de exeríc

Regra de três Chamamos de regra de três a um processo de resolução de problemas de quatro valores, dos quais três são conhecidos e devemos determinar o quarto valor. A resolução desse tipo de problema é muito simples, basta montarmos uma tabela (em proporção) e resolvermos uma equação. Sugestão: Caso tenham dúvidas na resolução de equações do 1º grau, visitem a seção presente neste site. Vamos a resolução de problemas: 1) Um atleta percorre um 20km em 2h, mantendo o mesmo ritmo, em quanto tempo ele percorrerá 30km? Montemos uma tabela: Percurso (km)

Tempo (h)

20

2

30

X

Notem que as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, se aumentarmos o percurso, o tempo gasto pelo atleta também aumenta. Logo, devemos conservar a proporção:

Multiplicamos em cruzes: 20x = 60 x=3 Portanto, o atleta percorrerá 30km em 3h. 2) Quatro trabalhadores constroem uma casa em 8 dias. Em quanto tempo, dois trabalhadores constroem uma casa? Nº de trabalhadores

Tempo (dias)

4

8

2

X

Notem que as grandezas são inversamente proporcionais. Se 4 trabalhadores constroem uma casa em 8 dias, 2 trabalhores demorarão mais tempo para construir, ou seja, quanto menor o número de trabalhadores, maior será o tempo para a construção. Logo, devemos inverter a proporção.

Multiplicando em cruzes: 2x = 32 x = 16 Portanto, 2 trabalhadores construirão a casa em 16 dias.

Como puderam ver, a resolução é bastante simples. Primeiro, observamos se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Se a grandeza for diretamente proporcional, mantemos a proporção; se a grandeza for inversamente proporcional, invertemos a proporção. Feito isso, basta resolver a equação.