Lembar Kerja Siswa (lks) Matematika Smk_sma Kelas X Semester 1 5k5zn

I atau I < A Umur Bibi hanya satu tahun lebih tua dari umur Ibu B + I = I atau B > I Umur Bibi satu tahun lebih muda dari Ayah B – I = A atau B < A Dengan mengamati pola di atas, yaitu A < P, I < A, I < B, dan B < A. Urutan umur mereka mulai dari tertua ke termuda adalah P > A > B > I. Sehingga kesimpulan adalah Paman lebih tua dibanding Ayah, Ayah lebih tua dibanding Bibi, dan Bibi lebih tua dibanding Ibu. 3. Gambarlah daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x + 2y ≤ 4? Penyelesaian: X Y (x, y)

0

4

2

0 (0, 2)

(4, 0)

Untuk (0, 0 ) maka 0 + 2(0) ≤ 4 jadi (0,0) termasuk daerah penyelesaian Y

2

0

26

4

X

Lembar Kerja Siswa-LKS SMK 2014

Latihan 1, Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear berikut:

a.

(

b. c.

)

(

(

)

(

)

)

(

)

(

)

2. Gambarlah daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan: a. b. c. d. 3. Diketahui penyelesaian pertidaksamaan –

(

)

(

) adalah

.

4. Sebuah perusahaan mempertimbangkan akan membeli atau menyewa truk. Harga beli sebuah truk 320 juta rupiah, sedangkan harga sewa truk 6 juta rupiah/bulan selama tahun pertama, selanjutnya 4 juta rupiah/bulan pada tahun-tahun berikutnya. Setelah berapa lamakah harga sewa truk melebihi harga belinya? 5. Pak Anto, Pak Yusuf, dan Pak Doni gemar memancing. Mereka selalu memancing ikan di sungai setiap Sabtu. Suatu hari, setelah mereka selesai memancing, mereka menghitung banyak ikan yang mereka dapatkan masing-masing. Banyak ikan yang ditangkap Pak Anto ternyata lebih banyak dari ikan yang ditangkap Pak Yusuf. Walaupun banyak ikan yang ditangkap Pak Anto dikali dua, juga masih lebih sedikit dibanding dengan tangkapan Pak

Yusuf dan Pak Doni. Berdasarkan cerita di atas, dapatkah kamu menentukan urutan mereka berdasarkan banyak ikan yang mereka tangkap? Pertidaksamaan Linear Dengan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan nilai mutlak Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang memuat tanda mutlak. Pertidaksamaan nilai mutlak dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat berikut, untuk || ||

atau

Contoh 1. Tentukanlah nilai x yang memenuhi dari pertidaksamaan: |2x – 3| ≤ 5? Penyelesaian : –5 ≤ 2x – 3 ≤ 5 –5 + 3 ≤ 2x ≤ 5 + 3 –2 ≤ 2x ≤ 8 Semua dibagi 2: Jadi, nilai x yang memenuhi |2x – 3| ≤ 5 adalah –1 ≤ x ≤ 4

27


2. Tentukanlah nilai x yang memenuhi dari pertidaksamaan |3x + 7| > 2? Penyelesaian : 3x + 7 < –2 atau 3x + 7 > 2 3x < –2 – 7 atau 3x > 2 – 7 Jadi, nilai x yang memenuhi |3x + 7| > 2 adalah x < –3 atau x > –5/3 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan: |2x – 5| < |x + 4|? Penyelesaian: Kedua ruas dikuadratkan (2x – 5)2 < (x + 4)2 (2x – 5)2 – (x + 4)2 < 0 (2x – 5 + x + 4).(2x – 5 – x – 4) < 0 ( I N G A T ! A 2 – B 2 = (A + B ) . (A – B ) ) (3x – 1).(x – 9) < 0 Harga nol: 3x – 1 = 0 atau x – 9 = 0 x = 1/3 atau x = 9 Buat garis bilangan :

Jadi, himpunan penyelesaiannya: {x | 1/3 < x < 4}

4. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan: |4x – 3| ≥ | x + 1|? Penyelesaian: Kedua ruas dikuadratkan (4x – 3)2 ≥ (x + 1)2 (4x – 3)2 – (x + 1)2 ≥ 0 (4x – 3 + x + 1).(4x – 3 – x – 1) ≥ 0 (5x – 2).(3x – 4) ≥ 0 Harga nol: 5x – 2 = 0 atau 3x – 4 = 0 x = 2/5 atau x = 4/3 S Y ARAT : x+1≥0 x ≥ –1 Garis bilangan:

5. Jadi, himpunan penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 2/5 atau x ≥ 4/3} Tentukanlah nilai x yang memenuhi dari pertidaksamaan: |x – 2|2 – |x – 2| < 2 ? Penyelesaian : Misalkan: |x – 2| = y y2 – y < 2 y2 – y – 2 < 0 (y – 2).(y + 1) < 0

28


Harga nol: y – 2 = 0 atau y + 1 = 0 y = 2 atau y = –1 Garis bilangan:

Artinya: –1 < y < 2 –1 < |x – 2| < 2 Karena nilai mutlak pasti bernilai positif, maka batas kiri tidak berlaku |x – 2| < 2 Sehingga: –2 < x – 2 < 2 –2 + 2 < x < 2 + 2 0<x<4 5. Pada mobil-mobil baru, angka kilometer per liternya tergantung pada bagaimana mobil itu digunakan, apakah sering digunakan untuk perjalanan jarak jauh ataukah hanya untuk perjalanan jarak dekat (dalam kota). Untuk suatu merek mobil tertentu, angka kilometer per liternya berkisar di angka 2,8 kurang atau lebihnya dari 12 km/L. Berapakah jangkauan dari angka km/L dari mobil tersebut?

Penyelesaian: Diketahui angka km/L dari suatu mobil berkisar di angka 2,8 kurang atau lebihnya dari 12 km/L.

Misalkan m adalah angka km/L dari mobil tersebut. Maka, selisih m dan 12 tidak boleh lebih dari 2,8, atau dapat dituliskan ke dalam |m – 12| ≤ 2,8.

Sehingga jangkauan dari angka km/L mobil tersebut adalah dari angka 9,2 km/L sampai 14,8 km

29


Latihan 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut: a. |x – 3|< 4 b. |3x + 4|> 6 c. 1 ≤ | 6x – 5| ≤ 7 d. |7y – 12| – 3 > 6 e. |2 – 2|x + 1|| > 4 f. |–10| – |–2| > | x – 4 | |

g.

|

|

|

2. Ketinggian normal permukaan air sungai mengalir adalah 120 cm. Ketinggian permukaan air sungai mengalir dapat berubah-ubah pada musim kemarau atau musim penghujan. Jika penyimpangan ketinggian permukaan air sungai tersebut kurang dari 11 cm, tentukanlah interval ketinggian sungai mengalir tersebut?

3. Jarak rumah Dita dan sekolah

|

|

km. Jika jarak rumah Dita lebih dari 6 km dan

kurang dari 3 km, tentukan nilai x yang memenuhi?

Uji Kompetensi 1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan linear berikut: a. b. (

)

(

)

2. Salah satu sudut sebuah segitiga ukurannya lima kali sudut pertama. Sedangkan sudut ketiga besarnya 20 kurang dari sudut pertama. Berapakah besar masing-masing sudut segitiga tersebut? 3. Gambarlah grafik himpunan penyelesaian untuk setiap persamaan linear berikut ini! a. b. 4. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut: a.

b.

|

|

|

|

|

|

5. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan linear berikut: a. b. (

)

(

(

)

)

6. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut: a. |x – 3|< 2 b. |6x – 13| > 5 c. 3|5 – 2x| – 2 19 d. 13 – 4 |7x – 40| < 5 e. -6 |3m – 128| < – 210

30


7. A 20

50

Sebuah perusahaan sudah mendirikan minimarket A di kilometer ke-20 pada suatu jalan dan minimarket B di kilometer ke-50 pada jalan yang sama.Perusahaan tersebut ingin mendirikan sebuah minimarket lagi dijalan tersebut. Jika perusahaan menginginkan minimarket yang baru jaraknya dari minimarket B lebih dari 20 km, pada kilometer berapakah minimarket yang baru mungkin didirikan? 8. Pintu air Manggarai merupakan bagian dari sistem pengendalian banjir di Jakarta. Fungsi pintu air ini mengalihkan air sungai Ciliwung ke bagian luar Jakarta. Ketinggian air di pintu air Manggarai dipertahankan 750 cm. Jika karena pengaruh cuaca membuat ketinggian air menyimpang lebih dari 80 cm, tentukan interval perubahan ketinggian air di pintu air Manggarai tersebut?

Penilaian Penilaian Kognitif No Aspek yang dinilai

Nomor Soal

Skor

1

Menentukan persamaan linear

1 2 3

15 10 15

2 3

Menentukan pertidaksamaan linear Menentukan himpunan penyelesaian persamaan nilai mutlak

5 4

10 10

4

Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak

6 7 8

20 10 10

Jumlah Penilaian Psikomotor No Aspek yang dinilai

100

1

Skor 2 3

1

Ketepatan dalam menentukan himpunan penyelesaian dari persmaan linear 2 Ketepatan dalam menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear 3 Ketepatan dalam memahami konsep nilai mutlak 4 Ketepatan dalam menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak 5 Ketepatan dalam menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak Kriteria Skor: 4 = cepat dan tepat 3 = kurang cepat tapi tepat 2 = cepat tapi kurang tepat 1 = Tidak paham

31


4

Penilaian Afektif Skala No

Pernyataan

1 2 3 4 5 6 7 8

Siswa mengikuti pelajaran matematika Siswa tidak mengikuti pelajaran matematika Siswa merasa pelajaran matematika sangat bermanfaat Siswa berusaha menyerahkan tugas tepat waktu Siswa berusaha memahami pelajaran matemaika Siswa menanyakan kepada guru bila ada yang tidak jelas Siswa selalu mengerjakan soal-soal latihan dirumah Siswa selalu mendiskusikan materi bagaimana menyelesaikan masalah persamaan nilai mutlak

9 10

Siswa berusaha memiliki buku Siswa berusaha mencari referensi di perpustakaan

SL : Selalu = 4

32

SR : Sering = 3

JR : Jarang = 2

TP : Tidak Pernah = 1


LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Judul : Mata Pelajaran : Kelas/Semester : Waktu : Jenjang : Kompetensi Inti

Sistem Persamaaan dan Pertidaksamaan Linear Matematika X/1 12 x 45 menit ( 6 pertemuan ) SMK

Kompetensi Inti

K1

: Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.

K2

: Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (toleransi,gotong

K3 K4

royong), santun, percaya diri, dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam dalam jangkauan pergaulan dan keberadaannya. : Memahami pengetahuan ( faktual, konseptual, dan procedural ) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata. : Mencoba, mengolah, dan menyaji dalam ranah konkret ( menggunakan, mengurai,merangkai, memodifikasi, dan membuat ) dan ranah abstrak ( menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori

2. Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran sistem persamaan dan pertidaksamaan linear, siswa mampu : a. Menghayati rasa percaya diri, motivasi internal dan sikap peduli lingkungan melalui kegiatan kemanusiaan dan bisnis dalam kehidupan sehari-hari b. Memahami konsep sistem persamaan linear dua dan tiga variabel serta pertidaksamaan linear dua variabel dan mampu menerapkan berbagai strategi yang efektif dalam menentukan himpunan penyelesaiannya serta memeriksa kebenaran jawabannya dalam penyelesaian masalah matematika c. Menggunakan SPLDV, SPLTV, dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV) untuk menyajikan masalah kontekstual dan menjelaskan makna tiap besaran secara lisan maupun tulisan. d. Membuat model matematika berupa SPLDV, SPLTV, dan SPtLDV dari situasi nyata dan matematika, serta menentukan jawab dan menganalisis model sekaligus jawabnya e. Membuat model matematika berupa persamaan dan pertidaksamaan linear dua variabel dari situasi nyata dan matematika serta menentukan jawab dan menganalisis model sekaligus jawabnya

3. Materi Pembelajaran Sistem Persamaaan dan Pertidaksamaan Linear

4. Petunjuk Belajar a. b. c. d.

33

Bacalah LKS Anda dengan cermat Kejakan setiap langkah sesuai dengan petunjuk Jika menemukan kesulitan dalam menyelesaikan tugas berkonsultasilah dengan guru. Jawablah pertanyaan-pertanyaan yang ada di LKS ini.


5. Kompetensi yang ingin dicapai a. Siswa dapat mengetahui tentang Sistem Persamaaan dan Pertidaksamaan Linear b. Siswa dapat menentukan model SPLDV, SPLTV, dan SPtLDV dalam berbagai bentuk. c. Siswa dapat menentukan himpunan penyelesaian dari permasalahan sistem persamaan dan pertidaksamaan linear baik SPLDV, SPLTV maupun SPtLDV Ind

6. Indikator ikator a. Siswa terlibat aktif dalam proses pembelajaran b. Bekerjasama dalam kegiatan kerja kelompok. c. Toleran terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda hasilnya .

7. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Ciri-ciri sistem persamaan linear dua variabel. – Merupakan sistem persamaan linear . – Memuat persamaan dengan dua variabel. Sistem persamaan linear adalah himpunan beberapa persamaan linear yang saling terkait, dengan koefisien-koefisien persamaan adalah bilangan real. Sistem persamaan linear dua variabel merupakan sistem persaman linear . Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah suatu sistem persamaan linear dengan dua variabel. Bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua variabel x dan y adalah a1 x + b1 y = c1 ………………………….(persamaan 1) a2 x + b2 y = c2 ………………………….(persamaan 2) dengan a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 bilangan real, a1 dan b1 tidak keduanya 0; a2 dan b2 tidak keduanya 0 x, y : variabel a1 , a2 : koefisien fariabel x b1 , b2 : koefisien fariabel y c1 , c2 : konstanta persamaan penyelesaian sistem pesamaan linier dua variabel

a. Metoda Grafik X + Y = 2.............................................( persamaan 1 ) 4X + 2Y = 7.............................................( persamaan 2 ) Menentukan titik-titik potong terhadap sumbu koordinat untuk persamaan 1 X+Y = 2 X

0

2

Y

2

0

Diperoleh titik-titik potong kurva X+Y = 2 terhadap sumbu koordinat yaitu titik ( 0,2) dan (2,0)

34


Menentukan titik-titik potong terhadap sumbu koordinat untuk persamaan 2 4X+2Y = 7 X 0 Y

0

Diperoleh titik-titik potong kurva 4X+2Y = 7 terhadap sumbu koordinat yaitu titik

(0, ) dan ( ,0)

Menarik garis lurus dari titik (0,2) ketitik (2,0) dan dari titik (0, ) dan( ,0) Y (0, )

(0,2) ( (

(2,0)

Berdasarkan gambar grafik X+Y = 2 dan 4X+2Y = 7 kedua garis lurus tersebut berpotongan pada sebuah titik yaitu titik (

. Sehingga himpunan penyelesaian sistem persamaan linier X+Y = 2

dan 4X+2Y = 7 adalah (

b. Metoda Eliminasi Contoh Latihan Tentukan penyelesaian dari SPL berikut: 2x – y = 3 3x + 2y = 22 Dengan metode eliminasi Jawab: Dari soal diketahui bahwa, tidak ada variabel yang memiliki koefisien sama maka Anda harus menyatakan koefisien dari variabel yang akan dieliminasi Misalkan, variabel y yang akan dieliminasi terlebih dahulu diperoleh: 2x – y = 3 x 2 4x – 2y = 6 3x + 2y = 22 x 1 3x + 2y = 22 + 7x

35

= 28


x x 2x – y = 3 3x + 2y = 22

= =4

x 3 6x – 3y = 9 x 2 6x + 4y = 44 -7y = -35

y= y=5 Jadi, penyelesaian SPL di atas adalah {(4, 5)}

c. Metoda Substitusi Tentukan penyelesaian dari SPL berikut: x + 3y = 11 ....... (1) 2x – 5y = -11 .... (2) Jawab: x + 3y = 11 Substitusikan x = 11 – 3y ke persamaan (2) sehingga diperoleh 2 (11 – 3y) – 5y = -4 22 – 6y – 5y = -4 – 11y = -11 -11y = -11 – 22 -11y = -33 y =

=3

Substitusi y = 3 ke persamaan x = 11 – 3y sehingga diperoleh: x = 11 – 3.3 = 11 – 9 = 2 Jadi, penyelesaian SPL {(2, 5)}

d. Metoda Substitusi dan Eliminasi Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut: 2x + 3y = -14 3x – 4y = 30 Jawab: Eliminasi nilai x untuk mendapatkan nilai y 2x + 3y = -14 x 3 6x + 9y = -42 3x - 4y = 30 x 2 6x -16y = 60 17y = -102 y= y = -6 Substitusikan y = -6 ke dalam persamaan 2x + 3y = -14, sehingga diperoleh: 2x + 3y = -14 2x + 3(-6) = -14

36


2x – 18 = -14 2x = 4 x=2 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, -6)}

Latihan Soal 1. Sebuah pulpen harganya 4 kali harga sebuah pensil. Apabila 1 pulpen dan 3 pensil maka ia harus membayar Rp. 4.900,00 berapa yang harus di kembalikan toko tersebut kepada marlina jika ia membeli 2 pulpen dan 8 pensil dengan menggunakan selembar uang kertas dua puluh ribuan. Berdasarkan cerita diatas buatlah model matematika jika banyak pulpen dilambangkan x dan banyak pensil dilambangkan y kalimat matematikanya adalah…………………………………………………………………….

Jawab:

2. Buat grafik dengan terlebih dahulu mengisi table berikut X 0 …. Y

….

0

3. Sebuah gedung bioskop jumlah penontonnya 250 orang. Setiap orang yang menonton di kelas I, karcisnya Rp. 25.000,00 dan penonton kelas II per orang membayar Rp. 15.000,00. Jika uang yang terkumpul dari penjualan karcis Rp. 4.500.000,00, Buatlah model matematikanya dan berapakah banyaknya penonton di setiap kelas?

37


Jawab:

4. Jumlah dua bilangan bulat adalah 55 dan selisih dari kedua bilangan tersebut adalah 25. Tentukan kedua bilangan tersebut.

JAWAB:

5. Lima meja dan delapan kursi berhargga 115 dolar sedangkan tiga meja dan lima kursi berharga 70 dolar. Buatlah model matematikanya dan Tentukan harga satu meja dan harga satu kursi.

JAWAB:

6. Ibu Rita membelanjakan uangnya sebesar Rp 26.000,00di toko untuk membeli 3 kg gula dan 2 kg tepung terigu. Ibu siska membelanjakan Rp 32.000,00 untuk membeli 4 kg gula dan tepung terigu. Ibu siska membelanjakan Rp 32.000,00 untuk membeli 4 kg gula dan 2 kg tepung terigu. Jika ibu retno membeli 1 kg gula dan 2 kg . Jika ibu retno membeli 1 kg gula dan 2 kg tepung terigu di toko yang sama, makatepung terigu di toko yang sama, maka ibu retno harus membayar sebesar .............. dan buatlah model matematika dari soal tersebut! JAWAB:

8. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel 38


Pengertian Ciri-Ciri SPLTV : Merupakan Sistem Persamaan Linear Memuat Tiga Persamaan Linear dengan tiga variabel Berdasarkan ciri-ciri SPLTV di atas, maka pengertian dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah suatu sistem persamaan yang hanya memiliki tiga variabel dan masing-masing variabelnya berpangkat satu. Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

dengan,

Metode-metode yang digunakan dalam mencari Himpunan Penyelesaian SPLTV adalah dengan eliminasi, substitusi, campuran eliminasi dan substitusi serta metode determinan. Contoh Soal dan Penyelesaiannya Metode Gabungan Eliminasi dan Substitusi Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut dengan metode campuran eliminasi dan substitusi ! (1) (2) (3) Langkah-langkah penyelesaian: Pilih dua persamaan, kemudian eliminasi x, y, atau z. Misalkan kita akan mengeliminasi y, kemudian pilih persamaan (1) dengan persamaan (2) dan persamaan (2) dengan persamaan (3). Persamaan (1) dan Persamaan (2) | | 7

(4)

Persamaan (2) dan Persamaan (3)

39


+ (5) Eliminasi x atau z pada persamaan (4) dan persamaan (5). Misalkan kita akan megeliminasi x. 7 -5z = -20→ z = 4 Substitusi z = 4 ke dalam persamaan (4) atau persamaan (5). Misalkan kita akan mensubtitusi ke dalam persamaan (4) maka, 7 Substitusi z = 4 dan x = 2 ke dalam persamaan (1), persamaan (2) atau persamaan (3). Misalkan kita akan mensubtitusi ke dalam persamaan (1) maka,

Jadi, x = 2, y = 3, dan z = 4 Metode determinan Untuk manyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel dengan menggunakan metode determinan sama seperti dua variabel yaitu : X=

,Y=

dan Z =

atau

Z= X=

y=

Z=

Bedanya hanya cara menentukan nilai determinannya. Untuk menentukan nilai determinan matriks 3 x 3 yaitu dengan diagram sarrus, caranya : Salin kolom ke-1 dan kolom ke-2, lalu tempatkan dikolom ke-4 dan ke-5 Jumlahkan perkalian bilangan-bilangan pada diagonal ke bawah, lalu kurangkan dengan perkalian bilangan-bilangan pada diagonal keatas.

Misalkan A =

40


Dengan aturan sarus, determinan A adalah sebagai berikut : = = aei + bfg + cdh – ceg –afh – bdi = (aei + bfg +cdh) – (ceg + afh + bdi ) Contoh Soal dan Penyelesaiannya dengan Metode Determinan Tentukan determinan dari matriks berikut A=

Jawab =

= 5.-2 .3 + 2.4.1 + (-1) .(-3).0 – (-1).(-2).1 – 5.4.0 – 2.(-3).3 = -30 + 8 + 0 – 2 – 0 + 18 = -6 Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut : 3x– 2y + z = -5 x+ 5y – 2z = 29 4x+ y + 5z = 8 Jawab : Dengan metode determinan

X=

= =2

Y=

= =5

Z=

= =1

Jadi penyelesaiannya adalah x = 2, y = 5, dan z = -1

41


Latihan Soal 1. Wandi bersama dengan kakak dan ayahnya sedang memanen jagung di ladang mereka. Pekerjaan memanen jagung itu dapat diselesaikan mereka dalam waktu 4 jam. Jika Wandi bersama ayahnya bekerja bersama-sama ,mereka dapat menyelesaikan pekerjaan itu dalam waktu 6 jam. Jika kakak dengan ayah menyelesaikan pekerjaan itu, maka akan selesai dalam waktu 8 jam. Berapa waktu yang diperlukan Wandi ,kakak dan ayah untuk menyelesaikan panenan tersebut, jika mereka bekerja sendiri-sendiri ? Jawab: ……………………………………………………………………………… 2. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut: (i) (ii) (iii) Jawab : Eliminasi persamaan (i) dan (ii) x ... | x ... |---------------------(iv) Eliminasi persamaan (ii) dan (iii) x ... | x ... |---------------------(v) Substitusi nilai x ke persamaan (iv)

Y = ..... Substitusi nilai x dan y ke salah satu persamaan. Himpunan Penyelesaian {x,y,z}={... , .... , ....}

3. Tentukan Himpunan Penyelesaian dari x + 2y – 3z = 8 4x – y + 2z = 0 3x + 3y – 4z = 13

Jawab : =

42

= ….


=

= ….

=

= ….

=

= ….

X=

=…

Y=

=…

Z=

=…

Jadi Himpunan Penyelesaian (HP) =

(…., …., ….)

b.

Jawaban : ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………

9. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Pengertian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) adalah gabungan dua atau lebih pertidaksamaan masing-masing variabelnya berpangkat satu. Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Langkah-langkah menggambar grafik pertidaksamaan linier : Ubah Pertidaksamaan menjadi persamaan Gambar grafiknya dengan menentukan titik potong terhadap sumbu y,x →0 dan titik potong terhadap sumbu x, y→0 Tentukan titik uji diluar garis tersebut missal (0,0)

43


Arsir daerah Himpunan penyelesaian Contoh Soal dan Penyelesaiannya Tentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel berikut:

Jawab:

8

2 X Y

0 2

6 0

4 X Y

0 8

6

4 0

Latihan Soal 1. Sukabumi terkenal dengan kota Mocci untuk membuat kue tersebut bahan yang dibutuhkan adalah tepung dan gula. Siswa siswi jurusan pemasaran ditugaskan untuk membuat kue tersebut dan dibagi kedalam beberapa kelompok. Dalam praktek pembuatan kue tersebut setiap kelompok berbagi tugas dengan anggotanya. Pica dan Xeni kebagian membeli 3 Kg Tepung dan 1 Kg Gula. Uang yang dibawa tidak lebih dari Rp. 30.000,00 Berdasarkan cerita diatas buatlah model matematika jika banyak tepung dilambangkan x dan bayak gula dilambangkan y kalimat matematikanya adalah…………………………………… a. Ubah kedalam bentuk persamaan dari dari permasalahan di atas menjadi………………………………………………………………. b. Buat grafik dengan terlebih dahulu mengisi table berikut X

0

….

Y

….

0

Gambar titik potongnya dengan diagram kartesius

44


JAWAB

Jawaban:

2. Masalah 2 : Menjelang gelar seni di SMK setiap kelas ditugaskan untuk memproduksi dan memasarkan produk kue diantaranya kue A dan kue B. Bahan untuk membuat kue di tanggung oleh siswa. Kelas Akuntansi belanja ke pasar gudang dengan membeli 3 kg tepung dan 2 kg mentega mereka membawa uang tidak lebih dari Rp. 60.000,00. Kelas pemasaran belanja ke pasar Pelita membeli 3 kg tepung dan 4 kg mentega mereka membawa uang tidak lebih dari Rp.96.000,00 Berdasarkan cerita pembuatan kue A dan kue B selesaikan soal berikut a. Jika banyak tepung dilambangkan dengan x dan banyak mentega dilambangkan y maka kalimat matematika untuk kelas Akuntansi…………………………dan kalimat matematika untuk kelas pemasaran…………………………. b. Lengkapi tabel berikut ini

c.

X

……………. 0

…….

Y

……..

0

X Y

…………… 0 ………

…… 0

gambar grafik himpunan penyelesaian berdasarkan hasil jawaban no. b

3. Suatu jenis makanan ternak membutuhkan 5kg daging & 3kg tepung. Makanan ternak jenis lain membutuhkan 6kg daging & 8kg tepung, jika tersedia daging 60kg & tepung 48kg. Sedangkan bahan yang lain cukup tersedia maka. Gambarlah daerah penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear 4. Tentukan Sistem pertidaksamaan untuk daerah yang diarsir pada gambar :

5

3

3

45

7


Tugas proyek Dengan teman 1 kelompok carilah di internet / buku Sistem Pertidaksamaan Linear masalah sehari-hari yang berhubungan dengan Sistem Pertidaksamaan Linear kemudian formulasikan masalah tersebut menjadi model Matematika lalu selesaikan Sistem Pertidaksamaan Linear, Persentasikan hasilnya di depan kelas !

Tugas Mandiri Berilah Tanda Silang (x) Pada huruf a, b, c, d, atau e pada jawaban yang paling benar! 1. Nilai x dan y dari sistem persamaan linear 3x + 2y = 8 dan 2x – 4y = 0 adalah … x=2;y=1 d. x = -2 ; y = -1 x=2;y=2 e. x = -4 ; y = 10 x=3;y= 2. Harga 2 buah buku dan 3 pensil Rp.16.500,00. Jika harga sebuah buku Rp.2.000,00 lebih mahal dari harga sebuah pensil, maka harga sebuah buku dan 2 pensil adalah ... Rp.8.000,00 d. Rp.10.000,00 Rp.9.000,00 e. Rp.12.000,00 Rp.9.500,00 Penyelesaian sistem persamaan linier

2x  5y  21 dan 3x  2 y  3 adalah x dan y. Nilai dari

4x  6 y adalah …. a. – 6 d. 3 b. – 5 e. 6 c. 2 3. Sepuluh tahun yang lalu umur Neni dua kali umur Bimbim. Lima tahun dari sekarang umur Neni menjadi satu setengah kali umur Bimbim. Umur Neni sekarang adalah …. a. 20 tahun d. 35 tahun b. 25 tahun e. 40 tahun c. 30 tahun 4. Nilai 2x –y + 3z dari sistem persamaan linear

a. 29 b. 51 c. 40

d. 45 e. 7

5. Diketahui harga 2 Kg mangga, 2 Kg Jeruk dan 1 Kg Anggur adalah Rp. 70.000. Harga 1 Kg mangga, 2 kg jeruk dan 2 Kg anggur adalah Rp. 90.000. Harga 2 Kg mangga, 2 Kg jeruk dan 3 Kg anggur adalah Rp. 130.000. Maka harga 1 Kg jeruk adalah … a. Rp.5.000 d. Rp.30.000

46


b. Rp.10.000 e. Rp.40.000 c. Rp.20.000 6. Suatu pesawat mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 48 penumpang. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg sedangkan kelas ekonomi 20 kg. Pesawat itu hanya dapat membawa bagasi 1.440 kg. Bila x dan y berturut-turut menyatakan banyaknya penumpang kelas utama dan ekonomi, maka model matematika dari persoalan di atas adalah . . . . a. x + y ≤ 48 ; 3x + y ≥ 72 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 b. x + y ≤ 48 ; x + 3y ≤ 72 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 c. x + y ≤ 48 ; 3x + y ≤ 72 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 d. x + y ≥ 48 ; x + 3y ≥ 72; x ≥ 0 ; y ≥ 0 e. x + y ≥ 48 ; x + 3y > 72 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 7. Daerah penyelesaian grafik di bawah ini merupakan pertidaksamaan linear dari ... y 3

a. b. c. d. e. 2

2x + 3y  6 ; 3x + y  3 ; x  2x + 3y > 6 ; 3x + y > 3 ; x  3x + 2y  6 ; x + 3y  3 ; x  3x + 2y < 6 ; x + 3y  3 ; x  2x + 3y  6 ; 3x + y  3 ; x 

0;y 0;y 0;y 0;y 0;y

0 0 0 0

0

x 1

3

8. Nilai maksimum dari z = x + 3y yang memenuhi daerah himpunan penyelesaian berikut adalah y

...

(3,5)

5

3

(1,3) (2,2)

2

x 1

2

a. b. c. d. e.

6 10 14 18 22

3

9. Nilai maksimum dari fungsi obyektif f(x) = 3x + 2y yang memenuhi sistem pertidaksamaan x + 2y dan x, y, bilangan real adalah …. 10 , x + y 7; x 0, y0 a. 17 d. 20 b. 18 e. 21 c. 19

47


Penilaian Penilaian Kognitif No Aspek Yang Dinilai 1 Membuat Model matematika dari soal penerapan SPLDV, SPLTV dan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel 2

Menentukan himpunan penyelesaian untuk SPLDV dengan metode grafik, eliminasi, substitusi dan campuran

3

Menentukan himpunan penyelesaian untuk SPLTV dengan metode gabungan eliminasi dan substitusi dan metode determinan

4 5

Manentukan himpunan penyelesaian dengan metode Campuran Membuat Model matematika dari soal penerapan SPtLDV dan menentukan himpunan penyelesaiannya

Kriteria Skor: Setiap jawaban benar, lengkap Jawaban Salah Penilaian Psikomotor

= 20 = 1

Jawaban setengah benar tidak dijawab

Aspek Yang Dinilai

Skor

= 10 = 0

Skor

No Kecepatan dan ketepatan dalam menentukan himpunan penyelesaian dengan metode grafik, eliminasi, substitusi, dan campuran dalam permasalahn SPLDV Kecepatan dan ketepatan dalam menentukan himpunan penyelesaian dengan menggunakan metode substitusi eliminasi dan determinan dalam permasalahn SPLTV Kecepatan dan ketepatan dalam menentukan model matematika dan himpunan penyelesaian dari permasalahn SPtLDV Kriteria Skor: 4 = Cepat dan Tepat 2 = Cepat Tapi Kurang Tepat

48

3 = Kurang Cepat tapi tepat 1 = Tidak Faham


Penilaian Afektif Aspek Yang Dinilai

No

SL Sr

Skor Jr Tp

Siswa mengikuti materi Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Siswa merasa materi Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear sangat bermanfaat Siswa terlibat aktif dalam proses pembelajaran Siswa bekerjasama dalam kegiatan kerja kelompok Membuat Model Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Siswa selalu mendiskusikan materi, bagaimana menyelesaikan masalah Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Siswa toleran terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda hasil Siswa mengerjakan latihan soal mengenai Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dalam menentukan himpunan penyelesaiannya Siswa menyusun dan membuat rangkuman dari tugas-tugas yng ada Siswa berusaha mencari referensi dari buku dan berusaha mencari di perpustakaan dan di internet Sl

= Selalu

Sr Jr Tp

= Sering = jarang = Tidak pernah

49

=4 =3 =2 =1


LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Judul

: Matriks

Mata Pelajaran Kelas/Semester Waktu Jenjang

: Matematika :X/1 : 12 x 45’ (6 pertemuan) : SMK

1. Kompetensi Inti K1

: Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.

K2

: Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (toleransi,gotong

K3 K4

royong), santun, percaya diri, dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam dalam jangkauan pergaulan dan keberadaannya. : Memahami pengetahuan ( faktual, konseptual, dan procedural ) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata. : Mencoba, mengolah, dan menyaji dalam ranah konkret ( menggunakan, mengurai,merangkai, memodifikasi, dan membuat ) dan ranah abstrak ( menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori

2. Kompetensi Dasar

2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah 2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. 2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan. 3.4 Memahami konsep matriks sebagai representasi numeric dalam kaitannya dengan konteks nyata. 3.5 Memahami operasi sederhana matriks serta menerapkannya dalam pemecahan masalah. 3.6 Menyajikan model matematika dari suatu masalah nyata yang berkitan dengan matriks.

3. Materi Pembelajaran a. b. c. d. e. f. g.

Definisi Matriks Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Operaasi Perkalian Matriks Operasi Determinan (2x2) dan (3x3) Menyelesaikan Persamaan Linear Dua Variable dengan determinan Invers matriks Pemakaian matriks untuk penyelesaian SPLDV

4. Kompetensi Yang Ingin Dicapai a. Siswa dapat mengetahui difinisi dan bentuk-bentuk matriks b. Siswa dapat menyelesaikan operasi Matriks c. siswa dapat menyelesaikan persamaan dalam bentuk matriks

50


5. Indikator a. b. c. d. e. f. g. h.

Siswa terlibat aktif dalam proses pembelajaran Matriks Siswa dapat bekerjasama dalam kegiatan kerja kelompok Siswa dapat menjelaskan definisi matriks Siswa dapat Mengoperasikan Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Siswa dapat Mengoperasikan Perkalian Matriks Siswa dapat Mengoperasikan Determinan Siswa dapat Mengoperasikan Invers Matriks Siswa dapat Menyelesaikan persamaan Dalam Bentuk Matriks

MATRIKS

6. DEFINISI MATRIKS 6.1. Pengertian Matriks Berbagai cara orang menjelaskan suatu data diantaranya adalah sebagai berikut : Dibawah ini adalah tabel daftar belanja ATK siswa di koperasi sekolah

Nama

Pensill

Penghapus

Penggaris

Ani

1

2

1

Nina

2

2

0

Bayu

1

1

1

Andi

2

0

1

Jika Keterangan diatas diubah dalam bentuk barisan kolom menjadi :

1 2 1 2

51

2 2 1 0

1 0 1 1

Keterangan disamping disebut “ matriks” dengan ukuran 1 ordo : 4 x 3 , yaitu terdiri dari dari 4 baris dan 3 kolom


1.2. Jenis Matriks a. Transpose Matriks Transpose Matriks adalah matriks baru yang diperoleh dengan mengubah atau menukarkan susunan kolom suatu matriks menjadi baris dan sebaliknya, baris menjadi kolom. Transpose matriks A dinotasikan dengan AT .

Contoh A=

2 3

1 0

AT =

2 3 1 0

Latihan : Diketahui : Hasil pertandingan Grup 1 Liga Indonesia 2014 Tim

Main

Persib Persija 5 Sriwijaya FC 5 Arema 6 Persik 5 Persipura 6 Data bulanan di koperasi SMK Sukabumi

Menang

Kalah

Seri

4 3 3 2 2

0 2 2 3 3

1 0 1 0 1

Diterjen

Pasta gigi

Sabun cuci

Nani

1

2

1

Nina

1

1

1

Widi

1

2

0

Teti

1

2

1

Nama

Tentukanlah : Ubahlah kedalam bentuk matriks dari kedua data tabel diatas Tentukanlah Ordo dari masing-masing matriks diatas. Buatlah matriks Transpos diatas. Apa yang dimaksud dengan matriks. Sebutkan Jenis-jenis matriks yang kalian ketahui

52


7. OPERASI MATRIKS

7.1 OPERASI HITUNG PADA MATRIKS Penjumlahan dan Pengurangan Matriks “Penjumlahan dan Pengurangan Matriks dapat dilakukan jika kedua Matriks tersebut mempunyai ordo yang sama”. Penjumlahan dan pengurangan dua matriks dilakukan dengan cara menjumlah atau mengurangkan elemen-elemen yang seletak atau bersesuaian.

Contoh Diketahui

A=

Tentukan

: a. A + B

B=

2 0 3 1

4 5

2 -2

b. A – B

Jawab : A+B=

2 3

0 1

+

A-B=

2 3

0 1

-

4 5

2 -2

2+4 3+5

=

4 2

2-4 0-2 3-5 1-(-2)

=

5 -2

0+2 1+(-2)

=

=

6 2 -1 8

-2 -2 2 3

Dari contoh diatas maka dapat disimpulkkan : Jika A =

a

b

c

d

B=

Maka : A + B =

A–B=

e g

f h

.. ..

+ .. ..

.. ..

.. ..

... ..

+ .. ..

... ..

.. ..

=

..+.. ..+..

=

..+.. ..+.. .. -.. ..-..

..-.. ..-..

Uji Pemahamanmu dengan berlatih ! Diketahui A =

53

2

0 ,B =

3

1

2 3

0 , C= 1

2 0 3 1 Lembar Kerja Siswa-LKS SMK 2014

Tentukan : A+B=

f. A + (B + C) = g. (A+ B) – C = h. BT + A = i. T C –A= j. AT + (B – C) =

A+C= A–B= B–C= (A + B) + C = Diskusikanlah bersama Temanmu.

2a-1 b+3

Diketahui A =

62

3 -4

B=

C=

-5 12

3a + c

2a-5 0 b+4 43

Jika A + B = C Tentukanlah Nilai a, b , c 2a + 3c + 4c = Jika A + C = B Tentukanlah Nilai a, b dan c 2a + 4b + (3a+b) – (2a+ 3c) =

7.2 Perkalian Skalar dengan Matriks Misalkan k suatu skalar ( bilangan real ) dan A sebuah matriks, maka kA adalah sebuah matriks yang didapat dengan cara mengalikan setiap elemen matriks A dengan skalar k.

Jika k = bilangan real dan A =

a c

b d

5 -2 , S =

6

-2

4 10

-1

8

, maka kA = k

a c

b d

=

ak ck

bk dk

Contoh Diketahui R =

Tentukanlah : 2R B.

T

Jawab : 2R = 2

5

-2

4

10

=

10 -4 8 20

, T=

10

-20

-10

0

5

-40

, U=

-1

8

4

18

-7

2

54


b. T =

10

-20

-10

0

5

=5 -40

-10

-5

0 -20

Tentukanlah hasil perkalian matriks di bawah ini ! Jika diketahui matriks

0

A = -2

3 -2

4

, B=1

-3 0

-2

dan C =

5 6

Tentukan : A+B B–C C–A+B Diketahui A =

dan B =

2 1 0 -1

Maka nilai dari A – 2B = …..

-1 1 0 2

Hitunglah Operasi matriks di bawah ini

2

1

2

5

0 -1

−

-2

4 -2

+ 4

1 6

1

0 -1

1 -2 2 4

−5

-4 -2 3 6

-4 -12 6 Diketahui P =

-1

10 -3

0

9 8

16 3 ,Q=

2 -5

7

4

-9

5

8

0 0 -2 dan R =

11 4

0

3 -6

1

Tentukan : A + 2B + 4C

c. ( A - 2B )T + 3C

( A + 2B ) + ( A – 5C ) Tentukan a, b dan c jika diketahui P =

R=

, Q=

a+2 c

b+1 -4

2 -1 Sehingga berlaku P – 2 Q = R -3

55

2 3 -1 0

8


7.3 Perkalian Matriks dengan Matriks Dua matriks dapat dikalikan apabila banyak kolom matriks pertama (matriks sebelah kiri) sama dengan banyak banyak baris matriks kedua(matriks sebelah kanan), dan matriks baru hasil perkalian mempunyai ordo banyaknya baris matriks pertama dikali banyaknya kolom matriks kedua. Elemen dari matriks hasil perkalian diperoleh dengan menjumlahkan hasil kali antara elemen baris matriks A dengan elemen kolom matriks B, dan dinotasikan A x B.

a c

Jika A =

b d

e g

,B=

f h

a.e + b.g

maka A x B =

a.f + b.h c.f + d.h

c.e + d.g

Contoh Tentukan hasil perkalian matriks : 1

2

3

4

5

6

dan

b.

7

8

2 -4 5 6

7 3

8 -1

dan

10

jawab :

a.

b.

1

2

5

6

3

4

7

8

=

2

-4

7

8

5

6

3

-1 10

1.5 + 2.7

1.6 + 2.8

3.5 + 4.7

3. 6 + 4.8

5 + 14 =

2.8 + (-4).(-1) + 7.10

6 + 16

15 + 28 18 + 32

=

=

=

16 + 4 + 70 40 – 6 + 30

5.8 + 6.(-1) + 3.10

19 22 43

50

90 =

64

Latihan Tentukan matriks hasil matriks di bawah ini :

5 Diketahui P =

2 0 1 ,Q=

-3

2 -1 ,R=

3

5

1 , S=

0

0 1

4 ,T=

2 U=

UP

56

8

-5 -3

-9 1

PU

7

c. R T d. S Q

e. T R


8. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS ORDO 2 X 2 Matriks Ordo 2x2 Determinan Matriks Ordo 2 x 2 Determinan Matriks berordo 2x2 Determinan dari suatu matriks A dilambangkan sebagai det A atau lAl. Misalkan A adalah suatu matriks persegi berordo 2 :

a b c d

A=

Det A =

Maka determinan dari matrik A adalah

= (ad – bc)

Contoh

A=

2 1 3 4

maka det A = ( (2x4) – (1x3) ) =(8–3)=5 Uji Pemahamanmu dengan berlatih

Diketahui A =

2

2

1

3

B=

5

2

-3

1

-2 1 C=

-3 3

Tentukanlah : a. Det A = ((..x..) – (..x..)) = b. Det B = c. Det C = d. A + B│= e. f. g. h. i. j.

= │B + C│ x A= │2B│= │BC│ = │AB│x C = │A│ x │B│ x │A + C│ =

Invers Matriks 2 x 2 Jika A-1 adalah merupakan invers matriks persegi maka : A . A -1 = A-1 A = 1

57


Latihan 1. Selidikilah pasangan matriks manakah dibawah ini yang saling invers ; a.

-1 2 dan -3 5

b.

3

2 dan

4

3

1

1

1

2

c.

dan

5 -2 3 1

d.

3 1

4 dan 2

2 -4 -1 3

3

-2

e.

3

1 dan

3 -1

-4 2

3 -1

1

3

-1

1

-1 3

2. Dari soal no.1 tentukanlah determinannya. 3. Dari soal no.1 pasangan matriks manakah yang tidak saling invers. 4. Carilah pasangan matriks dibawah ini, agar keduanya bisa saling invers.

A=

B =

3 4 1 2 3 3 1 2

5. Tuliskanlah Rumus invers matriks persegi ordo 2 x 2, beserta pembuktiannya. Matriks Ordo 3x3 Determinan Matriks Ordo 3x3 ( Metode Sarrus )

Misalkan A =

a d

b e

c f . dengan aturan Sarrus, determinan A

g

h

i

Adalah sebagai berikut.

│A│ =

a

b

c

a

b

d

e

f

d

e

g

h

+ +

+

g - -

-

h

i

= aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi = ( aei + bfg + cdh ) – ( ceg + afh + bdi )

58


Contoh Tentukan determinan dari matriks berikut :

5 2 -1

A=

-3 -2 4 1

0 3 5 2 -1

5

2

Jawab : |A| = -3 -2 4 -3 -2

1 0 3 1 2

= 5 . (-2) . 3 + 2 . 4 . 1 + (-1) . (-3). 0 – (-1) . (-2) . 1 – 5 . 4 . 0 – 2 . (-3) . 3 = -30 + 8 + 0 – 2 – 0 + 18 = -6

Tugas Jawablah pertanyaan-pertanyaan dibawah ini dengan jawaban yang tepat ! 1. Matriks A =

, maka nilai dari ( AT )-1 adalah …

2 3 1 2

2. Tentukan invers dari

3. Jika diketahui P =

2 -1

1

0 1

-1 2

2

-3

-1

2

,Q=

0

2

3

1

2

tentukan : a. P-1 Q-1

b. Q-1 P-1

c. (P.Q)-1

1 0 1 4. Tentukan invers dari matriks

2 3

7

4 1 6 Latihan 1. Selidikilah apakah pasangan matriks dibawah ini yang saling invers

a.

59

-1

2

-3

5

dan

5 -2 3 1

d.

3

4

1

2

dan

2 -4 -1 3


b.

3

2

c.

4 1

3 1

1

2

dan

3

-2

dan

-4 2

3 -1

-1

1

e.

3

3

1

2

dan

2 -3 -1 2

2. Dari soal nomor 1. Tentukanlah determinan dari masing-masing matriks tersebut 3. Dari soal nomor 1 pasangan matriks manakah yang tidak saling invers 4. Carilah pasangan matriks dibawah ini sehingga keduanya bisa saling invers

3 1

A=

4 2

dan B =

3 4 1 2

5. Tentukan invers dari

2

1

3

3

4 6 b.

2 1 c.

1 2

7 4

Diskusikanlah bersama temamu

1. Diketahui matriks A =

x 5

1 -2x

dan B =

x x 8 x

A = Carilah semua nilai x yang memenuhi

2. Carilah nilai x yang memenuhi persamaan berikut : a. b.

3. Tentukanlah nilai k :

60


SOAL EVALUASI 1. Diketahui persamaan x

A. 2

+y

2

=

-1

5

-6

-21

-2

5

2z - 1

B. 3

C. 0

Nilai z = ….

-7

D. 6

E. 30

Alasan : ………………………………………………………………………………………… 2. Jika A =

2

5

1

3

dan B =

2

a.

5

4

1

1



, maka determinan (A.B) 1 = ….

B. 1

C. 1

D. 2

E. 3

Alasan: …………………………………………………………………………………………. 3. Diketahui A = dan B = determinan A dan determinan B 5+x x 9 -x

sama,

x

7

3x

Jika

4

maka harga x yang memenuhi adalah ….. a.

3 atau 4

B. –3 atau 4

C. 3 atau –4

D. –4 atau 5

E. 3 atau –5

Alasan: …………………………………………………………………………………………… 4. Diketahui matriks A =

x

1

-1

y

,B=

3

2

1

0

1

0

. Nilai x + y yang

dan C =

-1 -2

memenuhi persamaan AB  2 AB = C adalah a.

0

B.

2

C. 6

D. 8

E. 10

Alasan : …………………………………………………………………………………………. 5. AT adalah transpose dari A. Jika

C=

-

, B=

-

4

2

2

8



dan A = C 1, maka determinan dari matriks AT. B adalah … a.

196

B. 188

C. 188

D. 196

E. 212

Alasan : …………………………………………………………………………………………..

61


MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA PEUBAH DENGAN INVERS MATRIKS

Langkah-langkah yang perlu diperhatikan untuk menyelesaikan system persamaan linear dua variable dengan menggunakan matriks adalah sebagai berikut : Tulislah sistem persamaan kedalam bentuk matriks, Nyatakan bentuk tersebut kedalam perkalian matriks sehingga membentuk persamaan matriks Selesaikanlah persamaan matriks berikut. ax + by = p cx + dy = q persamaan tersebut dapat di ubah menjadi bentuk matriks sebagai berikut :

a1

b1

a2

b2

=

x y

p q

Maka diperoleh :

b1

x

= p

a2 b2

y

q

X

B

a1

A X = A-1 . B

x Jadi

y

a1 b1

-1

p

=

a2

b2

q

Ingat : A.X = B X = A-1 . B

2. X.A = B X = B-1 . A

Contoh Tentukan x dan y yang memenuhi persamaan linear berikut ! 2x + 3y = -16 x - 4y = 13 Jawab : Dibuat dalam bentuk matriks menjadi :

-2

3

1 -4

62

=

x

-16

y

13


A-1 =

.

-4 1

=.

-3 -2

-4 -3 -1 -2

AP = B → P = A-1 . B

x

- 4 -3

-16

=.

13

-1 -2 64 – 39 =

y =.

=

25

16 – 29

-10

5 -2

Jadi, nilai x = 5 dan y = -2.

Soal Latihan 1. Tentukanlah nilai x dan y yang memenuhi system persamaan linear berikut : a. -2x + y = 1 b. x – 3y = 14

7x – 2y = -26

5y – x = -20 3x + 5y = 4

2. Diketahui system persamaan x - 3y = 6 Nilai 2x + 3y adalah …. 3. Carilah x dan y dari persamaan berikut ini

2

1

x

3

2

-y

-4

3

1 5 SOAL EVALUASI

2 -1

x–4 -y + 5

1. Ordo dari matriks A = ( 3 ( 3x2 )

=

-5

b. ( 2x3 )

= 39 -4

2 ) adalah … c. ( 1x3 )

d. ( 3x1 )

e. ( 3x3 )

Alasan : …… ……………………………………………………………………………………………

63


4. Tentukanlah ordo matriks M = ( 3x2 )

b. ( 3x3 )

-4 3

-2

1 5

0

c. ( 2x2 )

d. ( 2x3 )

e. ( 3x1 )

Alasan : ( ……………………………………………………………………………………………….

2 3 -1 4 3 -4

5.Diketahui matriks A =

Nilai a22 + a41 + a32 = …….

1 -8 5 2 -4 6 a. -5

b. -2

c. -1

d. 3

e. 13

Alasan : ….. ………………………………………………………………………………………….

2 -3 6 5 0 -2

4. Diketahui matriks P =

1 -4 a. -4

Nilai a12 – a31 dari transpos P adalah …..

4

b. -2

c. -1

d. 1

e. 11

Alasan : …………………………………………………………………………………………. ….. 5. Matriks

P=

a 2b

a. 3

3 c

dan Q =

1 3

b. 5

10

Jika P = QT , maka nilai b adalah …..

5 c. 10

d. 12

e. 15

Alasan : .…………………………………………………………………………………………….. 6.

1=3 x+y -4

3

, maka nilai x dan y adalah …..

-4 4

x + 2y

a. -2 dan 4

b. 3 dan 1

c. -2 dan 3

d. -2 dan 1

e. 4 dan -1

Alasan : …………………………………………………………………………………………….. 7.

Jika P =

3 25

,Q=

4 -2 1

-2 1 1

, maka -2P – Q sama dengan…..

0 34

-4 -5 -3 a.

b.

8 1 6

-4 -5 -3 -8 1 2

c.

-4 -5 -3 -8 1 2

d.

-8 -3 - 1e.

-4 -8 -5 1

-8 7 2

-6 -3

Alasan : .……………………………………………………………………………………………..

64


2 -1 adalah ….. 3 0

8. Hasil dari A2 – 2A untuk A= a.

b.

-3 0

c.

-3 0

0 -3

d.

-3 0

0 -3

-3 0

0 -3

e.

-3 0

0 -3

0 -3

Alasan : …………………………………………………………………………………………. …..

1 9. diketahui A =

a.

2 0

-1

2

2

b.

3 2

,B=

4 0 12 0

1

1

4

-2

c.

2 0

Nilai dari (A + B)2 adalah …..

0 2

d.4

12

3 8

e.

0 4 0 12

Alasan : ..…………………………………………………………………………………………….. 10. A=

x

2

-2

y

, B=

1

2

3

0

dan C =

4 -4 7 -4

Nilai x + y yang memenuhi persamaan AB = C adalah …. a. 1 b. -1 c. 3 d. 4 e. -5 Alasan : ………………………………………………………………………………………………. 11. Jumlah akar-akar persamaan

a. 1

b. 3

(3x – 1)

(x + 2)

2

(x + 2)

c. -1

d.

= 0 adalah ……

e.

Alasan : ……………………………………………………………………………………………… 12.

-2x 8 Matriks B = a, -4

3 b. -5

3

adalah matriks singular, nilai x = …… c. -6

d. -7

e. -8

Alasan : ………………………………………………………………………………………………

65


13. Nilai z dari Kesamaan matriks

-6 a. -4

=

2x x + 4y

b. -3

-6 y + 2z

0

c. 2

d. 3

adalah ……

5 0 e. 4

Alasan : …..…………………………………………………………………………………………. 14.

X=

a.

4

1

5

2

7

2

4

2

-6 2

. Matriks X = ….. c.

b.6 -2

-19 6

6 2

19 -6

d.

6 2

19 -6

-19 6

6 2

e.

-19 -6

Alasan : .…………………………………………………………………………………………….. 15. Determinan matriks

4 a. -14

adalah …..

-6 -2 1

b. -6

c. 2

d. 8

e. 14

Alasan : ( …………………………………………………………………………………………. )

5 1 0 2 -4 3

16. Jika A =

-1 a. 33

, maka

= ….

0 -2

b. 37

c. 41

d. 49

e. 53

Alasan : ( ………………………………………………………………………………………….

17. Invers matriks

A=

adalah ….

1 -4 -3 -2

-1 -3 a. b.

4

2 -2 -4 3 1

-1 c. d. -

-3

4

2

e. -

-1 -3 4 2

-1 -3 4

2

Alasan : ……………………………………………………………………………………………..

66


18. Jika diketahui A = a.

,B=

3 4 2 3 b. -9 0

2 0 0 2

Nilai dari A-1. B-1 adalah …..

3 -4 -2 3 c. 1 0

0 1

d.

e.

1 0

0 1

0 -1

1 -6 0 1

Alasan : …………………………………………………………………………………………….. 19. X=

a.

1

8 10

-2

5 4

1

, matriks X = ……

b.

c.

-1

1

d.

1

1

-2

-1

e.

1

2

1

Alasan : …………………………………………………………………………………………….. Diketahui matriks A =

a

a+d

b

c

,B=

a-1

0

-c

d

, C = A + BT = C dengan BT adalah

transpos dari B, maka nilai c = ……. a.

33

b.

37

c. 41

d. 49

e. 53

Alasan : …………………………………………………………………………………………….. Isilah titik-titik dibawah ini dengan jawaban yang tepat ! 1. Jika A =

1 2

3 4

2. Diketahui matriks A =

,B=

-2

-8

10

2

2

-4

-1

-3

, B=

, maka A + B = …..

-2 3

,C=

10 6

1

5 .

2

7

Jika 2A + C = 4B + 2B, tentukan D !

3. Diketahui matriks L =

3

-4

2

1

,M=

-3 -2 -1

5

dan N =

5

4

-2 -1

Tentukan 2 LT – M + 3N = ….

67


4.

x

y

3 -2

14

-4

=

1

4

15 14 dan B =1 -2 . Tentukanlah (2B – 3A)T ……

2 -2 -5

5. Diketahui A =

tentukan nilai x . y !

4

5 12 -1 3 6.

Jika A =

7. Jika A =

7

2

3

5

6

1 -2

3

2 1

8. Invers dari matrik P =

, maka determinan ( A + A ) = …..

1 -3 -4

2

-1

1

-6 -2

, Tentukan |A| !

adalah …..

4 1 9. Tentukan nilai x dan y yang memenuhi system persamaan linier berikut : -2x + y = 1 7x -2y = -26 10. Jika nilai x dan y yang memenuhi persamaan 2x + y = 0 -4x -3y = 2 Maka tentukan nilai 2x + 3y ! Penilaian Penilaian Kognitif No 1 2 3 4 5 6

Aspek yang dinilai Definisi Matriks Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Operaasi Perkalian Matriks Operasi Determinan Invers matriks Menyelesaikan persamaan Dalam Bentuk Matriks Jumlah

Jawaban benar, alasan benar

Skor 1 s/d 20

= 60

1 s/d 5

= 40

100

skor : 3

Jawaban salah, alasan benar skor : 2 Jawaban benar, alasan salah skor : 1 Jawaban salah, alasan salah skor : 0 Setiap jawaban essay benar, bernilai 8

68


Penilaian Psikomotor Skor No

Aspek yang dinilai

1

1.

Kecepatan dan Ketepatan dalam mendeskripsikan matriks

2. 3.

Kecepatan dan Ketepatan dalam mengoperasikan Matriks Kecepatan dan Ketepatan dalam menyelesaikan permasalahan dalam bentuk matriks

2

3

4

Jumlah Kriteria skor : 4 = Cepat danTepat 3 = Kurang Cepat tapi tepat 2 = Cepat kurang Tepat 1 = Tidak Cepat tidak tepat Penilaian afektif No

Pernyatan Sl

1

Siswa mengikuti Materi matriks

2 3 4 5 6 7 8 9

Siswa merasa materi matriks bermanfaat Siswa berusaha mengerjakan tugas materi matriks Siswa berusaha menyerahkan tugas materi matriks dengan tepat waktu Siswa bertanya pada guru bila ada yang tidak mengerti Siswa selalu mengerjakan latiahan – latihan / tugas materi matriks Siswa selalu mendiskusikan materi matriks Siswa berusaha memiliki buku dan referensi lainnya di perpustakaan Siswa berusaha memiliki buku dan referensi lainnya di internet

Skala Sr Jr

Jumlah Sl = Selalu = 4

Jr = Jarang = 2

Sr = sering = 3

Tp = Tidak pernah = 1

69


Tp

LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Judul Mata Pelajaran Kelas/Semester : Waktu Jenjang

: : : :

Relasi dan fungsi Matematika X/1 8 x 45 menit ( 3 pertemuan ) SMK

1. Kompetensi Inti K1 K2

K3 K4

: Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya. : Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (toleransi,gotong royong), santun, percaya diri, dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam dalam jangkauan pergaulan dan keberadaannya. : Memahami pengetahuan ( faktual, konseptual, dan procedural ) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata. : Mencoba, mengolah, dan menyaji dalam ranah konkret ( menggunakan, mengurai,merangkai, memodifikasi, dan membuat ) dan ranah abstrak ( menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori

2. Kompetensi Dasar a. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah. b. Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. c. Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujurdan perilakupeduliingkungan. d. Memahami daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil suatu relasi antara dua himpunan yang disajikan dalam berbagai bentuk (grafik, himpunan pasangan terurut, atau ekspresi simbolik) e. Mengidentifikasi relasi yang disajikan dalam berbagai bentuk yang merupakan fungsi.

3. Materi Belajar Relasi dan fungsi

4. Petunjuk Belajar a. Bacalah LKS Anda dengan cermat b. Kejakan setiap langkah sesuai dengan petunjuk c. Jika menemukan kesulitan dalam menyelesaikan tugas berkonsultasilah dengan guru. d. Jawablah pertanyaan-pertanyaan yang ada di LKS ini

5. Kompetensi yang ingin dicapai a. Siswa dapat tahu tentang pengertian Relasi dan fungsi b. Siswa dapat memahami daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil suatu relasi antara dua himpunan yang disajikan dalam berbagai bentuk.

70


c. Siswa dapat membuat hubungan relasi dengan diagram panah, Koordinat Cartesius, Himpunan pasangan berurutan.

6. Indikator a. Siswa terlibat aktif dalam proses pembelajaran b. Bekerjasama dalam kegiatan kerja kelompok. c. Toleran terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda hasilnya .

Relasi dan Fungsi

7. Pengertian Relasi 1. Relasi A. PENGERTIAN RELASI

1. 2. 3. 4.

Untuk memehami konsep relasi, perhatikan contoh berikut.diketahui dua buah himpunan,himpunan A yang beranggotakan nama-nama anak, yaitu Fajar, Yusuf, Sri Mulyani, Deri. Dan himpunan B beranggotakan jenis-jenis Olah raga, yaitu Sepak bola, Bton ,Renang dan Tenis Meja.kedua himpunan tersebut apabila ditulis dalam bentuk himpunan, diperoleh: A = { Fajar, Yusuf, Sri Mulyani, Deri } B = { Sepak bola, Bton ,Renang, Tenis Meja } Keempat anak tersebut diberi pertanyaan tentang kegemaran Olah raga yang mereka sukai dan diperoleh hasil sebagai berikut. Fajar suka olah raga Sepak bola. Yusuf suka olah raga Sepak bola dan bton. Sri suka olah raga Renang. Deri suka olah raga renang dan tenis meja. Hasil tersebut dapat ditulis dalam bentuk diagram sebagai berikut.



Fajar



Yusuf



Sri



71

Deri

 Sepak Bola  B ton  Renang

 Tenis Meja


Himpunan A dan himpunan B dalam diagram diatas mengunakan relasi yang dinyatakan dengan diagram Panah. Digram panah diatas menyatakan bahwa himpunan A berelasi “ Kegemaran olahraga “ dengan himpunan B.

Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pasangan atau korespondensi anggota A dengan anggota B. Daerah himpunan A disebut domain ( daerah asal). Daerah himpunan B disebut kodomain ( daerah kawan ). Isilah titik-titik agar pernyataan pernyataan dibawah ini menjadi benar! Contoh :

1. 2. 3. 4.

1. 2. 3. 4.

Jakarta Bandung Semarang Surabaya

Gula........................... Garam........................... Cabai........................... Paria...........................

Ibu kota Ibu kota Ibu kota Ibu kota

DKIJakarta JawaBarat Jawa Tengah Jawa Timur

Manis Asin Pedas Pahit

1. Becak................................. 2. Mobil................................. 3. Sepeda................................. 4. Bajay.................................

3 ....................................... 1 ....................................... 5 ....................................... 12 ......................................

72

Tiga Empat Dua Tiga

9 3 15 36


Perhatikan contoh diatas “ Ibu Kota “adalah Relasi antara himpunan bilangan bilangan disisi kiri dan kanan.sekarang apa yang kalian isikan pada nomor 1-4 ? 1. ................................................................................................................. 2. ................................................................................................................. 3. ................................................................................................................. 4. ................................................................................................................. Dari contoh contoh relasi diatas , diskusikan dengan teman sekelompokmu untuk membahas pengertian relasi.

RELASI adalah : ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ........................................................................................................................... ..........................................................................................................………..…… ………………………………………………………………………………………………………………………

B.

MENYATAKAN RELASI HIMPUNAN DENGAN DIAGRAM PANAH Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah: a. Membuat dua lingkaran atau ellips b. Untuk meletakkan anggota himpunan A dananggota himpunan B x = A diletakkan pada Lingkaran A dan y = B diletakkan pada lingkaran B c. x dan y dihubungkan dengan anak panah d. Arah anak panah menunjukkan arah relasi e. Anak panah tersebut mewakili aturan relasi Relasi dapat dinyatakan dengan diagram panah yaitu:

Jakarta Bandung

 DKI Jakarta  Jawa Barat

Surabaya

 Jawa Timur 

Semarang

73

Jawa Tengah


Latihan Soal 1 1.

Diketahui ada 5 anak yang gemar bermain olah raga yaitu a. Andy gemar bermain volly b. Budi gemar bermain basket c. Candra gemar bermain volley dan tenis d. Dono gemar bermain catur e. Endro gemar bermain basket Sekarang nyatakan soal diatas dengan diagram panah Jawab : .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................

C. MENYATAKAN RELASI DUA HIMPUNAN DENGAN KOORDINAT CARSTESIUS

Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan koordinat cartesius a. Pada diagram cartesius di perlukan dua salib sumbu yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus. b. x=A diletakkan pada sumbu mendatar c. y=B diletakkan pada sumbu tegak d. Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x,y)

Relasi pada contoh diatas dapat dinyatakan dengan diagram Cartesius yaitu

Bandung Surabaya Semarang Jakarta DKI Jakarta Jawa timur Jawa Barat

74

Jawa tengah


Latihan Soal 2

Diketahui dua himpunan bilangan A = {4, 5, 6, 7} dan B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Jika relasi himpunan A ke himpunan B adalah "lebih dari", gambarkan diagram Cartesiusnya Jawab ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... D. MENYATAKAN RELASI DUA HIMPUNAN DENGAN PASANGAN BERURUTAN Relasi pada contoh diatas dapat dinyatakan dengan pasangan berurutan yaitu: R = { ( Jakarta,DKI Jakarta), ( Bandung, Jawa Barat), (Semarang, Jawa Tengah), (Surabaya, Jawa Timur)} 1.

Latihan Soal 3 Sekarang nyatakan soal dibawah ini dengan Himpunan Pasangan berurutan. 1. Diketahui dua himpunan bilangan P = {0, 2, 4, 6, 8} dan Q = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Jika relasi himpunan P ke himpunan Q adalah "dua kali dari", tentukan himpunan pasangan berurutan untuk relasi tersebut ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................... 1.

FUNGSI ATAU PEMETAAN Untuk memahami pengertian fungsi, perhatikan gambar berikut.

1.

1.

A

4

2.

2.

B

5

3.

3.

C

6

A

B

T

P

(i)

75

( ii )


Pada gambar ( i ) dapat dilihat bahwa setiap anggota himpunan A berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan B. Relasi yang memiliki ciri demikian disebut dengan fungsi atau pemetaan. Pada gambar ( ii ) dapat dilihat bahwa sebuah anggota himpunan T berpasangan dengan dua anggota himpunan P. Dalam hal demikian relasi pada gambar ( ii ) bukan merupakan Fungsi.

Dari uraian contoh gambar diatas , diskusikan dengan teman sekelompokmu untuk membahas pengertian Fungsi atau pemetaan. FUNGSI / PEMETAAN adalah : .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ...........................................................................

Contoh Soal

1. Diketahui fungsi

()

dengan

Tentukan hasil: a. Daerah asal b. Daerah hasil c. Grafikny Penyelesaian : a. Daerah asal A = { 0, 1 , 2, 3,4} b.

76

*

+

()

f(0) = 2.0 +5 = 5 f(1) = 2.1 + 5 = 7 f(2) = 2.2 + 5 = 9 f(3) = 2.3 + 5 = 11 f(4) = 2.4 + 5 = 13 daerah hasil adalah = { 5, 7, 9, 11, 13}


c. Grafik F (X ) 13 11 9 7

0

1

2

3

4

2. Diketahui fungsi f: x → 2x – 2 pada himpunan bilangan bulat. Tentukan

a. f (1), b. f (2), c. bayangan (–2) oleh f, d. nilai f untuk x = –5, e. nilai x untuk f (x) = 8, f. nilai a jika f (a) = 14. Jawab : Diketahui f: x → 2x – 2 pada himpunan bilangan bulat. Dengan demikian rumus fungsinya f (x) = 2x –2. a. f (1) = 2 (1) – 2 = 0 b. f (2) = 2 (2) – 2 = 2 c. Bayangan (–2) oleh f sama dengan f (– 2). Jadi, f (–2) = 2 (–2) – 2 = –6 d. Nilai f untuk x = –5 adalah f (–5) = 2 (–5) – 2 = –12 e. Nilai x untuk f (x) = 8 adalah 2x – 2 = 8 2x = 8 + 2 2x = 10 x=5 f. Nilai a jika f (a) = 14 adalah 2a – 2 = 14 2a = 14 + 2 2a = 16 a=8

77


Latihan Soal a. Diketahui fungsi b.

dengan

*

+

Tentukan hasil:

a. Daerah asal b. Daerah hasil c. Grafiknya ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ........................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ........................................................................................................ ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. MACAM-MACAM FUNGSI Dalam matematika terdapat bermacam-macam fungsi, dua diantaranya sebagai berikut A. Fungsi konstan Fungsi konstan dapat dirumuskan untuk setiap ( c=konstanta, D(f) = domain ) Contoh : (

)

( ).

F (x)= 2, berapapun nilai x maka nilai fungsinya tetap 2.

Y 2

x

78


B. Fungsi Identitas Fungsi identitas memetakan setiap Contoh : f(X) = x, maka f(2) = 2, f(5) = 5, f(-2) = -2

( ) ke dirinya sendiri dan dirumuskan (

)

5

2 -2

2

5

-2

C. SIFAT-SIFAT FUNGSI Berikut Ini Merupakan Sifat Fungsi Untuk memahami sifat fungsi perhatikan gambar berikut 1. Fungsi onto

2.

Fungsi Injektif

f 1

a. .

2

b. . c. . d. (B)

f (A) 1 2

a. . b. .

3

c. . d.

(A)

79

(B)


3.

Fungsi surjektif

4. Fungsi Bijektif

f 1

a. .

1

a. .

2

b. .

3

c.

2 b. . 3 4

(A)

c. .

(A)

(B)

(B)

Dari gambar diatas , diskusikan dengan teman sekelompokmu untuk membahas.

1. Apa yang disebut fungsi onto : ................................................................................................................................... 2. Apa yang disebut fungsi injektif

:

..................................................................................................................................... 3. Apa yang disebut fungsi surjektif : .................................................................................................................................... 4. Apa yang disebut fungsi bijektif

:

...........................................................................................................................................

12. TugasdanLangkahKerja a. Diberikan suatu permasalahan sebagai berikut: Dalam rangka memperingati HUT RI ke – 67 di Kota Sukabumi, SMk Plus Bina Teknik akan mengirimkan siswanya untuk mengikuti pertandingan antar SMk untuk pertandingan sepak bola, bola voli, bulutangkis, tenismeja, dan catur. terdapat 6 orang siswa (Banu, Wahyu, Sukmara, Kurniawan, Azhar, dan Faisal). Pasangkanlah siswa dengan pertandingan yang akan diikuti dengan ketentuan sebagai berikut. 1) Banu ikut pertandingan sepak bola dan bola voli, wahyu ikut pertandingan bulutangkis, sukmara ikut pertandingan catur, kurniawan ikut pertandingan bola voli, azhar ikut pertandingan tenis meja dan faisal ikut pertandingan tenis meja.

80


2) Kurniawan ikut pertandingan bola voli, sukmara ikut pertandingan catur, wahyu ikut pertandinganbulutangkis, azhar dan faisal ikut pertandingan bola voli. 3) Banu dan sukmara ikut pertandingan sepak bola, wahyu ikut pertandingan bulutangkis, kurniawan ikut pertandingan bola voli, azhar dan faisal ikut pertandingan tenismeja. 4) Kurniawan ikut pertandingan catur, wahyu, banu dan faisal ikut pertandingan sepak bola. 5) Keenam siswa ikut pertandingan sepak bola. 6) Faisal akan mengikuti seluruh pertandingan. b. Diberikan suatu permasalahan seperti yang telah disajikan diatas, kemudian tentukan: - Relasi yang mungkin, - Domain, - Kodomain, - Range - Diagram Panah - HimpunanPasanganBerurutan - Diagram Kartesius

13. Penilaian : a. PenilaianKognitif No 1 2 3 4 5

Aspek Yang Dinilai Ketepatan Menganalisa Ketepatan Menjawab Sistematika Jawaban Sharing Pendapat dalam Kelompok Ketepatan Menghubungkan butir soal dengan butir soal lain

Skor

Kriteria Skor : Jawaban tepat dan lengkap Jawaban yang kurang tepat dan lengkap Jawaban kosong b. Penilaian Psikomotor

= 25 = 15 =0

Untuk penilai psikomotor, guru memperhatikan setiap aktivitas siswa dalam memecahkan masalah baik secara individu maupun kelompok. No Aspek Yang Dinilai Skor 1 2 3 4 1 Kecepatan menjawab 2 Kerapihan kerja 3 Keterampilan menggunakan alat tulis (pulpen, pencil, dan penggaris) 4 Keterampilan berbicara saat berdiskusi Jumlah Kriteriaskor : 4 = Sangat rapi / sangat cepat / sangat tepat 3 = rapi / cepat / tepat 2 = kurang rapi / kurang cepat / kurang tepat

81


1= tidak rapi / tidak cepat / tidak tepat c. PenilaianAfektif N o

Aspek Yang Dinilai

Skor 1 2

1 2 3

Mengeluarkan pendapat dalam kelompok Menerima pendapat orang lain dalam kelompok Teliti dan Pantang menyerah dalam memecahkan permasalahan

4

Mampu bekerjasama dengan orang lain dalam kelompok

3

4

Jumlah Kriteriaskor: 4 = Selalu 3 = Sering 2 = Jarang 1 = Tidak Pernah A. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat ! 1. Diketahui sebuah himpunan pasangan berurutan = {(Jakarta, Indonesia), (Kuala Lumpur, Malaysia), (Roma, Italia), (Madrid, Spanyol), (Bangkok, Thailand)}. relasi yang mungkin dari pernyataan diatas adalah … a. Lebih luas dari b. Kota dari c. Ibu kota dari 2. Perhatikan Diagram Panah dibawah ini ! A1

B 0

4

1

9

2

16

3

d. Tempat wisata dari e. Negara dari

4 5

3. Relasi yang mungkindari pernyataan adalah … a. Akar pangkat dari d. Hasil pangkat dua dari b. Hasil pangkat tiga dari e. Hasil kali dari c. Pangkat akar dari 4. Dari soal No. 2, domain dan kodomain berturut – turut adalah … a. { 1, 4, 9, 16 } dan { 1, 2, 3, 4 } b. { 1, 2, 3, 4 } dan { 1, 4, 9, 16 }

82


c. { 1, 4, 9, 16 } dan { 0, 1, 2, 3, 5,} d. { 0, 1, 2, 3, 4, 5,} dan { 1, 4, 9, 16 } e. { 1, 9, 16 } dan { 0, 4, 9, 16 } 5. Dari soal No. 2, daerah hasil atau range adalah … a. { 1, 4, 9, 16 } b. { 1, 4, 9, 16, 25 } c. { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } d. { 1, 2, 3, 4 } e. { 0, 4, 9, 16 } 6. Manakah diantara himpunan pasangan berurutan berikut yang merupakan fungsi ? a. { (1,2) , (2,3) , (3,4) , (2,5) , ( 4,6) } b. { (1,2) , (2,4) , (3,4) , (4,5) , ( 5,6) } c. { (1,2) , (2,3) , (3,3) , (4,4) , (2,4) } d. { (1,2) , (2,2) , (1,4) , (2,6) , ( 4,6) } e. { (1,2) , (2,1) , (5,4) , (5,5) , ( 6,4) }

83


B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan tepat !

1. Relasi A ke B adalah akar dari. himpunan A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } dan B = { 1, 3, 4, 7, 9, 14, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49 }. tentukan : a. Domain b. Kodomain c. Range d. Diagram Panah e. Himpunan Pasangan Berurutan f. Diagram Kartesius 2. Sekumpulan anak yang terdiri atas 5 orang yaitu (margono, marsius, maradoona, marisa, martohap) berturut – turut berusia 6, 7, 9, 10, dan 11 tahun. Pasangkanlah usia masing – masing anak pada bilangan prima kurang dari 15. tentukan : a. Apakah semua anak dapat dipasangkan b. Domain c. Kodomain d. Range e. Diagram Panah f. Himpunan Pasangan Berurutan g. Diagram Kartesius 3. Diketahuif(x) = 2x - 10, tentukan : a. f (2) b. f(-5) c. f (8) d. bayangan dari 12 e. bayangan dari 29 4. Diketahui fungsif :x → f(x) dengan rumus fungsi f(x) = px – q. jika f(1) = -3 dan f(4) = 3. Tentukanlah nilai p dan q, kemudian tuliskanlah rumus fungsinya !

84

LKS Matematika MGMK SMK Kota Sukabumi 2014

LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Judul Mata Pelajaran Kelas/Semester Waktu Jenjang

JJJ

: Barisan dan Deret : Matematika :X/1 : 6 x 45’ (3 pertemuan) : SMA/SMK

1. Kompetensi Inti K1 K2

K3 K4

: Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya. : Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (toleransi,gotong royong), santun, percaya diri, dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam dalam jangkauan pergaulan dan keberadaannya. : Memahami pengetahuan ( faktual, konseptual, dan procedural ) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata. : Mencoba, mengolah, dan menyaji dalam ranah konkret ( menggunakan, mengurai,merangkai, memodifikasi, dan membuat ) dan ranah abstrak ( menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori

2. Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran barisan dan deret, siswa mampu: 1. Menghayati pola hidup disiplin, kritis, ber-tanggungjawab, konsisten dan jujur serta menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari; 2. Memprediksi pola barisan dan deret aritmetika dan geometri atau barisan lainnya melalui pengamatan dan memberikan alasannya; Menyajikan hasil menemukan pola barisan dan deret dan penerapannya dalam penyelesaian masalah sederhana.

3. Indikator Siswa dapat : a. b. c. d. e. f. g. h.

Mengidentifikasi pola bilangan dan pola geometris Menemukan unsur-unsur pada pola bilangan Mengidentifikasi jenis-jenis barisan bilangan Menentukan barisan aritmetika Menentukan barisan geometri Siswa dapat mengidentifikasi jenis-jenis deret bilangan Siswa dapat menentukan deret aritmetika Siswa dapat menentukan deret geometri

4. Petunjuk Belajar a. Bacalah LKS dengan cermat b. Kerjakan setiap langkah sesuai ketentuan c. Jika menemukan kesulitan dalam menyelesaikan LKS berkonsultasilah dengan guru. 85


5. Pola Barisan dan Deret Pola adalah keteraturan sifat yang dimiliki oleh sederetan atau serangkaian objek Pola bilangan yaitususunan angka-angka yang mempunyai pola-pola tertentu.

Contoh 1. Gambar di bawah ini menunjukkan pola suatu barisan yang disusun dari batang korek api.

(1) (2) (3) Banyak korek api pada pola berikutnya adalah... Jawab Pola (1) = 7 korek api Pola (2) = 11 korek api Pola (3) = 15 korek api, pola selanjutnya

= (15+4), (19+4), (23+4), ... = 19 , 23 , 27 , ...

2. Rumus suku ke-n dari barisan 1, 6, 15, 28,... adalah... Jawab n (2n – 1)

Latihan 1. Perhatikan gambar bola-bola dibawah ini! … …… 3 5 7 a. Apakah gambar di atas membentuk suatu pola? Disebut apakah pola seperti di atas ? b. Buatlah 3 gambar berikutnya dengan cara mengikuti pola di atas! Jawab: ………………………………………………………………………………………… 2. Perhatikan kotak-kotak dibawah ini !

1

4

….

….

9 ….

a. Apakah gambar di atas membentuk suatu pola? Disebut apakah pola seperti di atas ? b. Buatlah 3 gambar berikutnya dengan cara mengikuti pola di atas!

86


Jawab: ………………………………………………………………………………………………

3. Perhatikan gambar bola-bola di bawah ini !

3

6

…

…

…

Apakah gambar diatas membentuk suatu pola? Disebut apakah pola seperti di atas? Buatlah 3 gambar berikutnya dengan cara mengikuti pola di atas! Jawab: …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………… 4. Sediakan satu lembar kertas, kemudian lipatlah sehingga menjadi 2 bagian yang sama. Guntinglah menurut lipatan tersebut. Ada berapa banyak potongan kertas ? Jawab: …………………………………………………………………………………………

6. Barisan dan Deret Aritmetika A. BARISAN ARITMATIKA Suatu barisan U1,U 2 ,U 3,.......,U n 1,U n disebut barisan Aritmatika jika selisih antara dua suku yang

berurutan selalu tetap, selisih tersebut dinamakan beda dan dilambangkan dengan " b ". Jadi b = U 2 U 1 U 3 U 2 U n U n 1 Jika suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan aritmatika adalah : a, a + b , a + 2b, ........,a + ( n – 1 ) b Apabila semua suku – suku barisan aritmatika dijumlahkan, maka akan berbentuk deret aritmatika. Sehingga bentuk umum deret aritmatika adalah : a + ( a + b ) + ( a + 2b ) + ......, { a + ( n – 1 )b } Apabila a menyatakan suku pertama, n menyatakan banyak suku, dan b menyatakan beda maka : 1. Suku ke-n barisan aritmatika ( U n ) dirumuskan sebagai :

U n  a  ( n 1)b 2. Jumlah n suku pertama deret aritmatika ( S n ) dirumuskan sebagai :

S  n ( a U ) atau S  n ( 2a  ( n 1)b ) n

87

2

n

n

2


3. Untuk n ganjil maka suku tengah barisan aritmatika ( U ) dirumuskan sebagai : t

1

U t  2 ( a U n ) Contoh 1. Tunjukan bahwa barisan berikut ini adalah barisan aritmatika ! 8, 4, 0,.... log 2, log4, log8,....

x 2 2x, 2x 2 3x, 3x

2

4x,....

Jawab: Kita harus menentukan beda dari masing – masing barisan diatas a. U 2  U 1  4  8   4

U 3 U 2  0  4   4 Karena U 2 U1 U 3 U 2   4 maka barisan tersebut merupakan barisan aritmatika. b.

U  2 U

 4

1

= log 4 – log 2 = log  2 = log 2

   8  = log 2 U  3 2 = log 8 – log 4 = log  4 U   Karena U 2 U 1 U 3 U 2  log 2 maka barisan tersebut merupakan barisan aritmetika. c. U U 1 = ( 2x 2 - 3x ) – (x 2 - 2x ) = x 2 - x 2 2

2

2

U 3 U 2 = ( 3x - 4x ) – ( 2x - 3x ) = x - x Karena U 2 U  U 3 U 2  x 2 - x, maka barisan tersebut merupakan barisan aritmatika. 1 2.

Tentukan suku pertama, beda dan rumus suku ke n dari barisan aritmatika 3, 8, 13, ..... Jawab a = 3, b = 8 – 3 = 5 sehingga : Un = a + ( n – 1 ) b =3+(n–1)5 = 3 + 5n – 5 = 5n – 2

3.

Diketahui barisan aritmatika 3, 7, 11, 15,..... a. tentukan suku ke – 10 dan rumus suku ke – n barisan tersebut ! b. suku keberapakah yang nilainya sama dengan 83 ? Jawab Diketahui ; a = 3, b = 7 – 3 = 4 n = 10

U n  a  ( n 1) b U 10 = 3 + ( 10 – 1 ) 4 = 3 + 36 = 39 Dan rumus suku ke n barisan tersebut adalah 83, maka berlaku Un=a+(n–1)b = 3+(n–1)4 = 3 + 4n – 4 = 4n – 1

88


Misalkan suku ke n barisan tersebut adalah 83, maka berlaku n

U = 83 4n – 1 = 83 4n = 84 n = 21, Jadi 83 dalam barisan tersebut merupakan suku ke 21. Pada suatu barisan aritmatika diketahui bahwaa suku ke-3 adalah 8 dan suku ke-9 adalah 26.

Tentukan : Suku pertama dan beda barisan tersebut! Rumus suku ke-n barisan tersebut Jawab a. U3 = 8

 a + 2b = 8

U9 = 26 

a 8b  26  6b  18

b=3 Untuk b = 3 maka berdasarkan (1) diperoleh a = 2 Jadi suku pertama dan beda barisan a = 2 dan b = 3. b. Berdasarkan hasil diatas diperoleh : Un = a + ( n – 1 ) b =2+(n–1)3 = 2 + 3n – 3 = 3n – 1 Jadi rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = 3n – 1 B. DERET ARITMATIKA Jika U1, U2, U3,………..Un adalah barisa aritmatika, maka jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah : Sn =

n n ( a + u n ) atau Sn = ( 2a + ( n -1)b ) 2 2

Dengan : Un adalah suku ke-n a adalah suku pertama b adalah beda dan berlaku hubungan : Un = Sn – Sn – 1

Contoh Diketahui barisan aritmatika 3,7,11,15….. tentukan rumus jumlah n suku pertama dari barisan tersebut tentukan jumlah 20 suku pertama dari barisan tersebut Jawab: Dari barisan tersebut diperoleh a = 3 dan b = 7-3 = 4 Rumus jumlah n suku pertama adalah

n Sn =

2 ( 2a + ( n – 1 ) b ) 89


Sn = Sn = Sn =

n ( 6 + ( n-1 ) 4 ) 2 n 2 n 2

( 6 + 4n – 4 ) ( 4n + 2 ) = 2n2 + n

Jumlah 20 suku pertama adalah Sn = 2n2 + n S20 = 2.202 + 20 = 800 + 20 = 820 Hitunglah nilai dari : 3 + 5 + 7 +…..+ 155 Jawab: Barisan aritmatika yang bersesuaian dengan barisan 3 + 5 + 7 +…..+ 155 mempunyai suku pertama a = 3, beda b = 5-3 = 2, dan siku ke-n Un = 155, maka banyaknya suku dapat dicari dengan cara : Un = 155 a + ( n – 1 )b = 155 3 + ( n – 1 )2 = 155 3 + 2n – 2 = 155 2n + 1 = 155 2n = 154 n = 77 sehingga n Sn =

2 ( a + Un ) 77

Sn = 2 ( 3 + 155 ) = 77.( 79 ) = 6083 Jadi 3 + 5 + 7 +…..+155 = 6083 Tentukan jumlah semua bilangan asli kurang dari 500 yang habis dibagi 3 Jawab Bilangan yang kurang dari 500 yang habis dibagi 3 membentuk barisan aritmatika 3, 6, 9…..498. Sehingga dari barisan tersebut diketahui a = 3, b = 6-3 = 3, U n = 498, maka : Un = 498 a + ( n-1 )b = 498 3 + ( n-1 )3 = 498 3 + 3n-3 = 498 3n = 498 n = 166 Dengan demikian jumlah semua bilangan dalam barisan aritmatika diatas adalah 41583. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan aritmatika adalah S n = 2n2 + 3n Tentukan suku ke-5 dari barisan aritmatoka tersebut! Tentukan rumus siku ke-n dari barisan aritmatika tersebut 90


Jawab: Suku ke-5 dari barisan aritmatika adalah Un = S5 – S4 2 2 = [ 2(5) + 3(5) ] – [ 2(4) + 3(4) ] = 65 – 44 = 21 Jadi suku ke-5 barisan tersebut adalah U5 = 21 Untuk mencari rumus suku ke-n barisan tersebut pertama cari dulu rumus S n – 1 yaitu Sn – 1 = 2 ( n-1 ) + 3( n-1 ) 2 = 2( n – 2n + 1 ) 3n – 3 2 = 2n – n – 1 2

2

= 2n + 3n – (2n – n – 1)

= 4n + 1

Latihan

Perhatikan tumpukan apel di samping ini. Bagaimana cara menentukan atau menduga banyak buah dalam satu tumpukan? Penyelesaian: Suku ke-1 =U1 = … Suku ke-2 = U2 = … + … Suku ke-3 = U3 = …+…+… Suku ke-4 = U4 = …+…+…+… Suku ke-5 = U5 = …+…+…+…+… Jika diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku pertama adalah a, selisih antara dua suku yang berurutan adalah b, maka tentukan rumus untuk suku ke-n atau Un Penyelesaian: Suku ke-1 = U1 = a Suku ke-2 = U2 = a + b Suku ke-3 = U3 = …+…+… = …+… Suku ke-4 = U4 = …+…+… = …+ … Suku ke-I = Ui = …+… Suku ke –n = Un = …+… Selidikilah manakah dari barisan berikut ini yang merupakan barisan aritmatika a. 6, -6, -18

b. 3 ,3, 3

4 2 Jawab: ……………………………………………………………………………………………… 91


4. Tentukan suku pertama, beda, dan rumus suku ke-n dari tiap barisan aritmatika berikut ini ! a. 1, 4, 7, 10…. b. 9, 7, 5, 3…. Jawab: ……………………………………………………………………………………………… 5. Tentukan nilai suku yang ditanyakan ( dalam kurung ) dari barisan aritmatika berikut ini !

b. 2, -11, -24,……( U15 )

a. 3, 8, 13…….( U21 )

Jawab: ……………………………………………………………………………………………… 6. Ditentukan bilangan asli yang kurang dari 250. Tentukan banyaknya bilangan asli tersebut yang habis dibagi 3 ! Jawab: ……………………………………………………………………………………………… 7. Untuk tiap barisan aritmatika berikut ini, tentukan nilai m dan n a. 16, m, 27, n….. b. 22, m , n, 37…. Jawab: ……………………………………………………………………………………………… 8. Diketahui barisan aritmatika 3,8,13……,283. Tentukan suku tengah barisan tersebut dan

merupa kan suku keberapa ? Jawab:

……………………………………………………………………………………………… 9. Diantara bilangan 21 dan 117 disisipkan 11 buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika. Tentukan beda dan suku ke10 dari barisan tersebut. Jawab: ……………………………………………………………………………………………… 10. Hitunglah tiap jumlah berikut ini ! a. 2 + 4 + 6 +……+ 50

b. 150 + 145 + 140 +….+ 5

Jawab: ………………………………………………………………………………………………

7. Barisan dan Deret Geometri A. BARISAN GEOMETRI Barisan geometri adalah suatu barisan dimana perbandingan setiap dua suku yang berurutan selalu tetap. Perbandingan yang tetap tersebut disebut sebagai pembanding atau rasio dan disimbolkan dengan r U 3

Pada barisan geometri U1, U2, U3,…,Un berlaku r = U 2  U  

U1 U 92

2

n

U n1


Contoh Selidikilah apakah barisan berikut ini merupakan barisan geometri? 3, 6, 9,…

2p, 6p2, 18p3,… Jawab: a.

b.

U2  6 2 U1 3 U2 9  3 U1 6 2 Karena U 2  U 3 , maka barisan tersebut bukan merupakan barisan geometri. U 1 U2 2 U 2  6 3 p p 1 U 2 p 3 p 3 U 2  18 U 3 p

U1

6 p Karena U U

2

U2

, maka barisan tersebut merupakan barisan geometri.

2 1

Rumus umum suku ke-n barisan geometri yang mempunyai suku pertama a dan rasio r adalah Un = a rn-1 Diketahui barisan geometri 256, -128, 64,….. Tentukan rasio dan rumus suku ke-n barisan tersebut Suku keberapa yang nilainya sama dengan -2 Jawab Barisan geometri 256, -128, 64,….mempunyai suku pertama a = 256 dan rasio r = 128   1, sehingga rumus suku ke-n barisan tersebut adalah

256

2

n-1

Un = a r Un = 256 x (  1

2 )n-1

Jadi barisan geometri tersebut mempunyai rasio r =  Un = 256 x ( 

1

n-1 2 ) 1

Dari rumus Un = 256 x ( 

n-1 2 ) dan Un = -2, maka

1

2 dan suku ke-n,

93


-2 = 256 x (  1

2 

) n-1

2 1 n-1 256 = (  2 )



1 =(1 128 2 )n-1 ( 1 )7 = (  1 2 2 )n-1

n-1 = 7 n=8 Sehingga -2 adalah suku ke-8 Suku ke-5 suatu barisan geometri adalah 12 dan suku ke-10 adalah 384. Tentukan suku ke-7 barisan tersebut ! Jawab: U5 = 12  ar4 = 12 ……(1) ……(2) U10 = 384  ar9 = 384 Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

ar9  384 ar 4 12

r5 = 32 r =2 Dari persamaan (1) diperoleh r = 2, maka : 16a = 12 a= 3

4 Sehingga U7 = ar

6

=3

x 26

4 =

3

4 x 64

= 48 Jadi suku ke-7 barisan tersebut adalah 48

Latihan 1.

Tentukan rasio, dan suku ke-8 dari barisan geometri : 4, 8, 16, 32,... Jawab : ....................................................................................................................................

2.

Diketahui barisan geometri Un = 12 dan Un+3 = 96. Tentukan nilai dari Un+1 Jawab : ........................................................................................................................................

3.

Hitung jumlah dari deret geometri : 1 + 4 + 16 + ... + 1024 94


Jawab : .......................................................................................................................................... 4.

Diketahui deret , suku ke-5 = 15 dan suku ke-7 = 135. Tentukan rasionya Jawab : .............................................................................................................................................

5.

Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian. Bagian yang terpendek panjangnya 6 cm dan bagian yang terpanjang panjangnya 192 seperti halnya deret geometri. Tentukan panjang tali sebelum dipotong-potong. Jawab : ......................................................................................................................................

6.

Selidiklah apakah barisan berikut ini merupakan barisan geometri 4, 6, 9, …

3

3 9 4, 2, 4,

Jawab: …………………………………………………………………………………… 7. Tentukan suku pertama, rasio, dan suku ke-7 dari tiap barisan geometri berikut a. 5, 10, 20

b. 2, -4, 8,….

c. 2, 2

d.

3

, 6,….

1 , 1 , 1 ,...... 2 6 18

Jawab: ……………………………………………………………………………………… 8. Suku pertama suatu barisan geometri adalah 3 dan suku ke-4 sama dengan 6 2 .Tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut. Jawab: …………………………………………………………………………………………… 9. Diketahui barisan geometri 2 ,  2, 2 2,...... Tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut Suku keberapa yang nilainya sama dengan 256 ? Jawab: …………………………………………………………………………………………… 95


10. Pada suatu barisan geometri diketahui jumlah suku ke-2 dan suku ke-3 adalah 6 dan jumlah suku ke-3 dan ke-4 adalah 24. Tentukan rasio barisan tersebut ! Jawab: ……………………………………………………………………………………………………… …………………………………………… DERET GEOMETRI Jika U1, U2, U3,……Un adalah barisan geometri, maka jumlah n suku pertama barisan tersebut adalah :

a (r

S n

n

1) , r 1,

dengan a adalah suku pertama dan r adalah rasio.

r 1

Hubungan Un dan Sn adalah Un = Sn – Sn-1

Contoh Diketahui barisan geometri 1,2,4,8,….. Tentukan rumus jumlah n suku pertama dari barisan tersebut Tentukan jumlah 10 suku pertama barisan tersebut Jawab Dari barisan geometri 1,2,4,8,….diperoleh a = 1 dan r = 2 Rumus jumlah n suku pertama adalah n

a S  (r n

Sn =

r

1)

1

1( 2 1) 2 1 n

= 2n – 1 Jumlah 10 suku pertama adalah Sn = 2n -1 S10 = 210 – 1 S10 = 1023 Tentukan nilai n yang memenuhi 1+3+9+……+3n-1 = 364 Jawab Barisan geometri yang bersesuaian dengan penjumlahan tersebut mempunyai n suku dengan suku pertama a = 1 dan r = 3. Sehingga Sn = 364 Sn = a ( r n 1)

r 1 364 = 1( 3n 1)

3 1

96


3n 1 364 = 2 n

728 = 3 – 1 n 729 = 3

36 = 3n n =6 Jadi nilai n yang memenuhi adalah n = 6

Latihan Tentukan jumlah 7 suku pertama dari tiap barisan geometri dibawah ini 2, 4, 8,….. c. 2, -6, 18, -54,….. b. 2, 4 , 8 ,......

d. 1,

3 9

 3 , 9 ,..... 4 16

Jawab: …………………………………………………………………………………………………… 2. Diketahui barisan geometri dengan rumus suku ke-n adalah U n = 2 x 2

n-1

dengan n bilangan asli

a. Tentukan suku pertama dan rasio barisan tersebut ! b. Tentukan rumus jumlah n suku pertama dari barisan tersebut Jawab: ……………………………………………………………………………………………………… 3. Suatu barisan geometri mempunyai suku pertama 2 rasio -3. Jika jumlah n suku pertama

barisan tersebut adalah Sn = 1094, maka tentukan nilai n! Jawab: …………………………………………………………………………………………………… Diketahui barisan geometri Un = 12 dan Un+3 = 96. Tentukan nilai dari Un+1! Jawab: …………………………………………………………………………………………………… Hitung jumlah dari deret geometri : 1 + 4 + 16 + ... + 1024 Jawab : .......................................................................................................................................... 4. Diketahui deret , suku ke-5 = 15 dan suku ke-7 = 135. Tentukan rasionya Jawab : ............................................................................................................................................. 5. Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian. Bagian yang terpendek panjangnya 6 cm dan bagian yang terpanjang panjangnya 192 seperti halnya deret geometri. Tentukan panjang tali sebelum dipotongpotong. Jawab : ...................................................................................................................................... 97


8. DERET GEOMETRI TAK HINGGA 1. Jika | r | < 1, maka a + ar2 +…..= Sn = Sα = a

1 r

disebut deret geometri tak hingga kovergen

atau memiliki limit jumlah 2. Jika | r |  1, tidak mempunyai limit jumlah dan disebut sebagai deret geometri tak hingga diveregen

Contoh 1. Hitunglah jumlah deret geometri tak hingga berikut a. 4 + 2 + 1 + 1 ,….. b. 2 - 1  2  2 ,....

2

3

9

27

Jawab

1 a. Dari deret 4 + 2 + 1 + 1 ,...., diperoleh a = 4 dan r = sehingga | r | < 1.Jadi

2 2 a 4  8 Sα = 1 1 r 1 2 b. Dari deret 2 - 1  2  2 1 sehingga | r | < 1. Jadi ,....diperoleh a = 2 dan r =  3 3 9 27 Sα = a  2  3 1 2 1 r 1 3

Latihan Tentukan jumlah deret geometri tak hingga berikut

1.

1  2  4  ..... 10 100 Jawab: ………………………………………………………………

2.

3.

1  1  1  ..... 2 2 Jawab: …………………………………………………………………………………………… Sebuah bola dijatuhkan kelantai dari ketinggian 2 m. Setiap kali setelah menentukan bola tersebut mencapai ketinggian

3 dari ketinggian sebelumnya. Hitunglah panjang lintasan 4

yang

dilalui bola tersebut sampai berhenti. Jawab: …………………………………………………………………………………………

98


Tugas Mandiri A.Berilah Tanda Silang(X) Pada huruf a,b,c,d atau e pada jawaban yang paling benar! 1. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah…. a. 840 B.660 C.640 D.630 E.3 2. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Jika banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah… buah. a. 60 B.65 C.70 D.75 E.80 3. Seorang anak menabung di suatu bnk dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp. 50.000,00, bulan kedua Rp.55.000,00, bulan ketiga Rp.60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan nak tersenut selama dua tahun adalah …. Rp.1.315.000,00 C.Rp.1.320.000,00 E. Rp.2.640.000,00 Rp. 2.040.000,00 D.Rp. 2.580.000,00 4. Dari suatu deret aritmetika diketahui U3 = 13 dan U7 = 29. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret

tersebut adalah …. 3.250 B.2.650

C.1.625

D.1.325

E.1.225

5. Suku ke – n suatu deret aritmetika Un = 3n – 5. Rumus jumlah n suku pertama deret tersebut adalah

…. Sn = n/2 ( 3n – 7 ) Sn = n/2 ( 3n – 4 )

C.Sn = n/2 ( 3n – 5 ) D.Sn = n/2 ( 3n – 3 )

E.Sn = n/2 ( 3n – 2 )

6. Jumlah n buah suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh Sn = n/2 ( 5n – 19 ). Beda

deret tersebut adalah …. –5 B.– 3

C.– 2

D.3

E.5

7. Empat buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika. Jika perkalian bilangan pertama dan keempat adalah 46, dan perkalian bilangan kedua dan ketiga adalah 144, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah …. 49 B.50 C.60 D.95 E.98 8. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn = n2 + 5/2n. Beda dari deret aritmetika tersebut adalah …. 11/2 B.–2 C.2 D.5/2 E.11/2 9. Dari deret aritmetika diketahui suuku tengah 32. Jika jumlah n suku pertama deret itu 672, banyak suku deret tersebut adalah …. 17 B.19 C. 21 D. 23 E. 25 10. Sebuah mobil dibeli dengan haga Rp. 80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ? 99


Rp. 20.000.000,00 Rp. 33.750.000,00

C. Rp. 25.312.500,0000 D. Rp. 35.000.000,00

E. Rp. 45.000.000,00

B.Kerjakan dengan benar soal-soal di bawah ini! 1. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memnatul kembali dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah Jawab: …………………………………………………………………………………………………… 2. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing – masing potongan membentuk barisan

geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan potongan tali terpanjang sama dengan 384 cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah … cm. Jawab: ……………………………………………………………………………………………… 3. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25 m dan memantul kembali dengan ketinggian4/5 kali tinggi semula. Pematulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah … m. Jawab: ……………………………………………………………………………………………………… 4. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku – suku yang bernomor genap adalah 3. Suku pertama deret tersebut adalah …. jawab: ……………………………………………………………………………………………………… Penilaian Aspek Penilaian Kognitif No Aspek yang dinilai 1. Penggunaan konsep yang sesuai 2. Langkah-langkah penyelesaian yang sistematis

100

Skor


Aspek Penilaian Afektif No 1 2 .3 4 5 .6 7 .8 9

Pernyataan

Sl

Skala Sr Jr Tp

Siswa mengikuti pelajaran matematika Siswa merasa pelajaran matematika bermanfaat Siswa berusaha menyerahkan tugas tepat waktu Siswa berusaha memahami pelajaran matematika Siswa bertanya pada guru bila ada yang tidak mengerti atau jelas Siswa selalu mengerjakan soal-soal latihan di rumah Siswa selalu mendiskusikan materi bagaimana cara mencari rumus suku ke-n dari barisan dan deret Siswa berusaha memiliki buku Siswa berusaha mencari referensi di perpustakaan Jumlah

kriteria skor: Sl (selalu) Sr (sering) Jr (jarang) Tp (tidak pernah)

= 4 = 3 = 2 =1

Aspek Penilaian Psikomotor Skor

Pernyataan

1 1.

Kecepatan menyelesaikan permasalahan

2. 3.

Kecermatan menyelesaikan permasalahan Sistematika penyelesaian masalah Jumlah

2

3

4

Kriteria skor: 4 = Sangat cepat/ sangat cermat/ sangat sistematis 3 = Cepat/ cermat/ sistematis 2 = Kurang cepat/ kurang cermat/ kurang sistematis 1 = lambat/ tidak cermat/ tidak sistematis

101


DAFTAR PUSTAKA Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia, 2013, Matematika SMA/MA kelas X, Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Abdurahman , Maman. 2004. Kurikulum2004,Bandung:Amico

Memahami

Matematika

SMK

untuk

Tingkat

1

Berdasarkan

Kasmina, Toali, 2013, Matematika untuk SMK/MAK Kelas X (Kurikulum 2013),Jakarta: Erlangga Tim Presiden Eduka,2014, Mega Bank Soal Matematika dan Fisika SMA Kelas 1,2 dan 3, Jakarta: CMedia(AG) Sanjoyo, Bandung Arry, 2008, Matematika Bisnis dan Manajemen SMK jilid 1, Jakarta: Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan, Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah, Departemen Pendidikan Nasional To’ali, 2008, Matematika X Sekolah Menengah Kejuruan Kelompok Penjualan dan Akuntansi, Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional

102

Jakarta:


Lembar Kerja Siswa (lks) Matematika Smk_sma Kelas X Semester 1 5k5zn

Overview 3e4r5l

More details w3441

Related Documents 3m3m1z

Lembar Kerja Siswa (lks) Matematika Smk_sma Kelas X Semester 1 5k5zn

Lembar Kerja Siswa Matematika 2s2r46

Lks Matematika Kelas X Semester 1 2s1j1i

Lembar Kerja Siswa Kelas X Semester 1 Ing. 17281h

Lembar Kerja Siswa (lks).docx 5l3k2f

Lembar Kerja Siswa (lks).docx 5l3k2f

More Documents from "Nike Wulansari" 2p2i3c

Soal Formatif Dan Sumatif Modul 1 - 6 .docx 3x4w5l

Lkpd Luas Bola 1ol57

Soal Matematika Sma -ulangan Harian Trigonometri 693y6z

Soal Transformasi Geometri Benar.docx 135k4

Lembar Kerja Siswa (lks) Matematika Smk_sma Kelas X Semester 1 5k5zn

Kisi-kisi Soal Peluang For Ppg Revisi.docx 36535r