Mapa Karnaugh 373s11
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- Pages: 23
UNIVERSIDAD FERMIN TORO VICERECTORADO ACADEMICO FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA DE ELECTRICIDAD
MAPA DE KARNAUGH
MANUEL MONTES C.I: 17.782.518 ASIGNATURA: CIRCUITOS DIGITALES SECCION: SAIA B
DEFINICION DE MAPA DE KARNAUGH El mapa de Karnaugh es una herramienta muy útil para la simplificación y minimización de expresiones algebraicas Booleanas. Es similar a una tabla de verdad, ya que muestra todos los posibles valores de las variables de entrada y la salida resultante para cada valor. Es una secuencia de celdas en la que cada celda representa un valor binario de las variables de entrada. El número de celdas de un mapa de Karnaugh es igual al número total de combinaciones de las variables de entrada, al igual que el número de filas para una tabla de verdad, es decir, si un mapa tiene 3 variables, (2) elevado a la 3 = 8.Las celdas del mapa K se marcan de modo que las celdas horizontalmente y verticalmente adyacentes, solo difieran en una variable.
PASOS PARA REALIZAR UN MAPA DE KARNAUGH Vamos a indicar cada uno de los pasos para obtener la expresión MSP (mínima suma de productos). Para ello vamos a ilustrarlo con el ejemplo: F(x, y, z) = x’ y’ z’ + x’ y’ z + x’ y z’+ x y’ z’+ x y z’ Los pasos a seguir para conseguir reducir esta expresión son:
1.
Convertir la expresión a una suma de productos si es necesario. Esto se puede realizar de varias maneras: • Algebraicamente. • Construyendo una tabla de verdad, trasladando los valores al mapa de Karnaugh. Esta es la forma que vamos a utilizar.
PASOS PARA REALIZAR UN MAPA DE KARNAUGH X 0 0 0 0 1 1 1 1
Y Z Resultado 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0
PASOS PARA REALIZAR UN MAPA DE KARNAUGH 2.
Cubrir todos los unos del mapa mediante rectángulos de 2N elementos, donde N = 0 ... número de variables. Ninguno de esos rectángulos debe contener ningún cero (tal y como indicábamos en el apartado anterior). • Para minimizar el número de términos resultantes se hará el mínimo número posible de rectángulos que cubran todos los unos. • Para minimizar el número de variables se hará cada rectángulo tan grande como sea posible.
PASOS PARA REALIZAR UN MAPA DE KARNAUGH
Véase que en este caso se ha unido la columna izquierda con la derecha para formar un único rectángulo.
PASOS PARA REALIZAR UN MAPA DE KARNAUGH 3. Encontrar la MSP (suma de productos mínima). Porque podemos encontrarnos con que puede haber más de una MSP. •
Cada rectángulo pertenece a un término producto.
• Cada término se define encontrando las variables que hay en común en tal rectángulo.
PASOS PARA REALIZAR UN MAPA DE KARNAUGH En nuestro ejemplo tenemos F(X, Y, Z) = Z’ + X’Y’ nótese que las variables resultado son las que tienen un valor común en cada rectángulo.
PASOS PARA REALIZAR UN MAPA DE KARNAUGH Rectángulos y productos. Cada rectángulo representa un término. El tamaño del rectángulo y el del término resultante son inversamente, es decir que, cuanto más largo sea el rectángulo menor será el tamaño del término final. En general, si tenemos una función con n variables : • Un rectángulo que ocupa una celda equivale a un término con n variables. • Un rectángulo que ocupa dos celdas equivale a un término con n1 variables. • Un rectángulo que ocupa 2n celdas equivale al término de valor 1. Por lo tanto, para encontrar el MSP se debe: • Minimizar el número de rectángulos que se hacen en el mapa de Karnaugh, para minimizar el número de términos resultantes. • Maximizar el tamaño de cada rectángulo, para minimizar el número de variables de cada término resultante.
PASOS PARA REALIZAR UN MAPA DE KARNAUGH Agrupación de rectángulos. Cuando tenemos distintas posibilidades de agrupar rectángulos hay que seguir ciertos criterios: 1. Localiza todos los rectángulos más grandes posibles, agrupando todos los unos. Estos se llamarán Implicantes primos. 2. Si alguno de los rectángulos anteriores contiene algún uno que no aparece en ningún otro rectángulo entonces es un Implicante primo esencial. Éstos han de aparecer en el resultado final de manera obligatoria.
PASOS PARA REALIZAR UN MAPA DE KARNAUGH El resto de implicantes primos se podrán combinar para obtener distintas soluciones. Véase este ejemplo que ilustra lo que les planteamos. Aquí los implicantes primos son cada uno de los diferentes rectángulos obtenidos. Los primos implicantes esenciales son el rectángulo rojo y el verde, por contener unos que no son cubiertos por otros rectángulos. Así todas las posibles soluciones han de contener estos dos implicantes.
PASOS PARA REALIZAR UN MAPA DE KARNAUGH Solución: F( X, Y, Z, T ) = X’Y’ + XYT’ + XZT
MAPA DE KARNAUGH CON DON´T CARE Estas condiciones don’t care introduce una variación significativa a la hora de efectuar la simplificación de los mapas de Karnaugh ya que el diseñador, a la hora de formar los grupos, podrá elegir y asignar a cada uno de los valores de “x” el valor 1 o 0 según le convenga. Le interesará asignar a una “x” un valor 1 si la casilla, adyacente a otras de valor 1, permite crear un grupo más grande y por lo tanto se obtiene una mayor simplificación. En caso contrario, le interesará asignar a “x” el valor 0. Siguiente con el ejemplo de este apartado, si trasladamos al Mapa de Karnaugh la tabla de verdad que describe la función se obtendrá lo siguiente:
MAPA DE KARNAUGH CON DON´T CARE
En este mapa se puede observar que las casillas con los valores decimales 2, 3, 5 y 7 deben ser obligatoriamente 1 (son números primos). Las casillas con los valores decimales 0, 1, 4, 6, 8, 9 deben ser obligatoriamente 0 (no son números primos). Y finalmente, los valores decimales 10..15 ostentan la condición de don’t care.
MAPA DE KARNAUGH CON DON´T CARE Siguiendo el procedimiento indicado se realiza la creación de grupos o cubos. En la figura siguiente se puede observar la agrupación elegida:
MAPA DE KARNAUGH CON DON´T CARE Se han creado dos grupos: Azul: Este grupo inicialmente sólo contenía las casillas 2 y 3, pero se ha decidido, en aras de obtener un grupo mayor, considerar que las “x” de las casillas 10 y 11 son 1. Por tanto, se forma un grupo de cuatro 1. Verde: Este grupo inicialmente estaba compuesto por las casillas 5 y 7, pero al considerar que las “x” de las casillas 13 y 15 son 1 se puede construir un grupo mayor de cuatro 1. De forma implícita, se ha considerado que las “x” de las casillas 12 y 14 valen 0 ya que no sirven al objetivo de ampliar los grupos de 1 existentes.
MAPA DE KARNAUGH CON DON´T CARE La función resultante será por tanto: S = X2’·X1 + X2·X0 Si no se hubiera hecho uso de este grado de libertad que proporcionan las condiciones don’t care se habría supuesto en el procedimiento anterior que todas las “x” son 0. Se puede comprobar que, en ese caso, el resultado habría proporcionado dos grupos de 2 unos. Cada grupo de 2 unos da lugar a un término con 3 variables que es más complejo que los de 2 variables ( los obtenidos teniendo en cuenta las condiciones don’t care).
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. F(x,y,z,w)= ∑m (4,5,6,9,10,11,13) Se realiza la tabla de la verdad XY\Z W
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EJERCICIOS PROPUESTOS 3. F(x,y,z,w)= ∑m (3,5,9,13,15) Se realiza la tabla de la verdad XY\Z W
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EJERCICIOS PROPUESTOS 6. F(a,b,c,d)= ∑m (0,2,9,10,11,14) Se realiza la tabla de la verdad ab\cd
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EJERCICIOS PROPUESTOS
MAPA DE KARNAUGH
MANUEL MONTES C.I: 17.782.518 ASIGNATURA: CIRCUITOS DIGITALES SECCION: SAIA B
DEFINICION DE MAPA DE KARNAUGH El mapa de Karnaugh es una herramienta muy útil para la simplificación y minimización de expresiones algebraicas Booleanas. Es similar a una tabla de verdad, ya que muestra todos los posibles valores de las variables de entrada y la salida resultante para cada valor. Es una secuencia de celdas en la que cada celda representa un valor binario de las variables de entrada. El número de celdas de un mapa de Karnaugh es igual al número total de combinaciones de las variables de entrada, al igual que el número de filas para una tabla de verdad, es decir, si un mapa tiene 3 variables, (2) elevado a la 3 = 8.Las celdas del mapa K se marcan de modo que las celdas horizontalmente y verticalmente adyacentes, solo difieran en una variable.
PASOS PARA REALIZAR UN MAPA DE KARNAUGH Vamos a indicar cada uno de los pasos para obtener la expresión MSP (mínima suma de productos). Para ello vamos a ilustrarlo con el ejemplo: F(x, y, z) = x’ y’ z’ + x’ y’ z + x’ y z’+ x y’ z’+ x y z’ Los pasos a seguir para conseguir reducir esta expresión son:
1.
Convertir la expresión a una suma de productos si es necesario. Esto se puede realizar de varias maneras: • Algebraicamente. • Construyendo una tabla de verdad, trasladando los valores al mapa de Karnaugh. Esta es la forma que vamos a utilizar.
PASOS PARA REALIZAR UN MAPA DE KARNAUGH X 0 0 0 0 1 1 1 1
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PASOS PARA REALIZAR UN MAPA DE KARNAUGH 2.
Cubrir todos los unos del mapa mediante rectángulos de 2N elementos, donde N = 0 ... número de variables. Ninguno de esos rectángulos debe contener ningún cero (tal y como indicábamos en el apartado anterior). • Para minimizar el número de términos resultantes se hará el mínimo número posible de rectángulos que cubran todos los unos. • Para minimizar el número de variables se hará cada rectángulo tan grande como sea posible.
PASOS PARA REALIZAR UN MAPA DE KARNAUGH
Véase que en este caso se ha unido la columna izquierda con la derecha para formar un único rectángulo.
PASOS PARA REALIZAR UN MAPA DE KARNAUGH 3. Encontrar la MSP (suma de productos mínima). Porque podemos encontrarnos con que puede haber más de una MSP. •
Cada rectángulo pertenece a un término producto.
• Cada término se define encontrando las variables que hay en común en tal rectángulo.
PASOS PARA REALIZAR UN MAPA DE KARNAUGH En nuestro ejemplo tenemos F(X, Y, Z) = Z’ + X’Y’ nótese que las variables resultado son las que tienen un valor común en cada rectángulo.
PASOS PARA REALIZAR UN MAPA DE KARNAUGH Rectángulos y productos. Cada rectángulo representa un término. El tamaño del rectángulo y el del término resultante son inversamente, es decir que, cuanto más largo sea el rectángulo menor será el tamaño del término final. En general, si tenemos una función con n variables : • Un rectángulo que ocupa una celda equivale a un término con n variables. • Un rectángulo que ocupa dos celdas equivale a un término con n1 variables. • Un rectángulo que ocupa 2n celdas equivale al término de valor 1. Por lo tanto, para encontrar el MSP se debe: • Minimizar el número de rectángulos que se hacen en el mapa de Karnaugh, para minimizar el número de términos resultantes. • Maximizar el tamaño de cada rectángulo, para minimizar el número de variables de cada término resultante.
PASOS PARA REALIZAR UN MAPA DE KARNAUGH Agrupación de rectángulos. Cuando tenemos distintas posibilidades de agrupar rectángulos hay que seguir ciertos criterios: 1. Localiza todos los rectángulos más grandes posibles, agrupando todos los unos. Estos se llamarán Implicantes primos. 2. Si alguno de los rectángulos anteriores contiene algún uno que no aparece en ningún otro rectángulo entonces es un Implicante primo esencial. Éstos han de aparecer en el resultado final de manera obligatoria.
PASOS PARA REALIZAR UN MAPA DE KARNAUGH El resto de implicantes primos se podrán combinar para obtener distintas soluciones. Véase este ejemplo que ilustra lo que les planteamos. Aquí los implicantes primos son cada uno de los diferentes rectángulos obtenidos. Los primos implicantes esenciales son el rectángulo rojo y el verde, por contener unos que no son cubiertos por otros rectángulos. Así todas las posibles soluciones han de contener estos dos implicantes.
PASOS PARA REALIZAR UN MAPA DE KARNAUGH Solución: F( X, Y, Z, T ) = X’Y’ + XYT’ + XZT
MAPA DE KARNAUGH CON DON´T CARE Estas condiciones don’t care introduce una variación significativa a la hora de efectuar la simplificación de los mapas de Karnaugh ya que el diseñador, a la hora de formar los grupos, podrá elegir y asignar a cada uno de los valores de “x” el valor 1 o 0 según le convenga. Le interesará asignar a una “x” un valor 1 si la casilla, adyacente a otras de valor 1, permite crear un grupo más grande y por lo tanto se obtiene una mayor simplificación. En caso contrario, le interesará asignar a “x” el valor 0. Siguiente con el ejemplo de este apartado, si trasladamos al Mapa de Karnaugh la tabla de verdad que describe la función se obtendrá lo siguiente:
MAPA DE KARNAUGH CON DON´T CARE
En este mapa se puede observar que las casillas con los valores decimales 2, 3, 5 y 7 deben ser obligatoriamente 1 (son números primos). Las casillas con los valores decimales 0, 1, 4, 6, 8, 9 deben ser obligatoriamente 0 (no son números primos). Y finalmente, los valores decimales 10..15 ostentan la condición de don’t care.
MAPA DE KARNAUGH CON DON´T CARE Siguiendo el procedimiento indicado se realiza la creación de grupos o cubos. En la figura siguiente se puede observar la agrupación elegida:
MAPA DE KARNAUGH CON DON´T CARE Se han creado dos grupos: Azul: Este grupo inicialmente sólo contenía las casillas 2 y 3, pero se ha decidido, en aras de obtener un grupo mayor, considerar que las “x” de las casillas 10 y 11 son 1. Por tanto, se forma un grupo de cuatro 1. Verde: Este grupo inicialmente estaba compuesto por las casillas 5 y 7, pero al considerar que las “x” de las casillas 13 y 15 son 1 se puede construir un grupo mayor de cuatro 1. De forma implícita, se ha considerado que las “x” de las casillas 12 y 14 valen 0 ya que no sirven al objetivo de ampliar los grupos de 1 existentes.
MAPA DE KARNAUGH CON DON´T CARE La función resultante será por tanto: S = X2’·X1 + X2·X0 Si no se hubiera hecho uso de este grado de libertad que proporcionan las condiciones don’t care se habría supuesto en el procedimiento anterior que todas las “x” son 0. Se puede comprobar que, en ese caso, el resultado habría proporcionado dos grupos de 2 unos. Cada grupo de 2 unos da lugar a un término con 3 variables que es más complejo que los de 2 variables ( los obtenidos teniendo en cuenta las condiciones don’t care).
EJERCICIOS PROPUESTOS 1. F(x,y,z,w)= ∑m (4,5,6,9,10,11,13) Se realiza la tabla de la verdad XY\Z W
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EJERCICIOS PROPUESTOS 6. F(a,b,c,d)= ∑m (0,2,9,10,11,14) Se realiza la tabla de la verdad ab\cd
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