Matematica o A o 3r4h2o

1º) O zero é maior que qualquer número inteiro negativo. 0 > -1 0 > -13 0 > -20 2º) O zero é menor que qualquer número inteiro positivo. 0<1 0<3 0 < 10 3º) Qualquer inteiro positivo é maior do que qualquer inteiro negativo. 1 > -8 2 > -2 5 > -10 4º) Entre dois inteiros positivos, o maior é o que possui o maior módulo. 3>1 5>3 10 > 5 5º) Entre dois inteiros negativos, o maior é o que possui o menor módulo. -1 > -3 -5 > -10 -3 > -5

1)

2)

EXERCÍCIO – NÚMEROS INTEIROS Diga quantas unidades aumentamos ( ou diminuímos) ao ar de: a) – 4 para +4 d) –5 para 0 b) +4 para -1 e) –6 para -2 c) +1 para -3 f) –3 para -10 Observe a figura e responda: D C P -4

-2

0 49

A

B

1

4

Ζ

PROF. WELLINGTON BRITO

a) b) c) d) e)

Qual o número inteiro cuja imagem geométrica é o ponto A? Qual o número inteiro cuja imagem geométrica é o ponto D? O número inteiro –2 é abscissa de qual ponto? O número inteiro 4 é abscissa de qual ponto? Qual o ponto da abscissa zero ?

3)

Calcule o módulo: a) I 5 I c) I –3I e) – I15 I b) I –10I d) I10 I f) – I– 20I 4) Encontre o oposto: a) – (-2) c) – (-4) e) - (+9) b) – (+12) d) – [- ( - 3) ] f) -[ - ( +5)] 5) Complete usando > ou <: a) –15 _____ -12 d) – 8 _____ -4 g) 4 _______0 b) – 5 _____ 0 e) 0 _____ -10 h) 2 _______11 c) –10 _____ 2 f) –10_____ -3 i) -1 _______-8 6) Escreva em ordem crescente: a) 4, -1, 5, -3, 0, 1, -2 b) 1, -5, -10, 9, 18, -30, -20, 8 7) a) 8)

Escreva em ordem decrescente: –3, 1, 5, 4, -5, 0, -1,10 b) –1, -5, -3, -15, 0, -18 Quais os três próximos números de cada seqüência?

a) -105, -104, -103, -102, ______, ______, ______. b) –90, -80, -70, ______, ______, ______. c) –20, -15, -10, ______, ______, ______. Respostas 01)

a) Aumentamos 8 unidades b) Diminuímos 5 unidades c) Diminuímos 4 unidades 02) a) 1 03) a) 5 04) a) –2

d) Aumentamos 5 unidades e) Aumentamos 4 unidades f) Diminuímos 7 unidades

b) –4

c) C

d)B

e)P

b) 10

c) 3

d) 10

e)-15

b) 12

c) – 4

d) 3

e) 9

50

f) –20 f) –5

MATEMÁTICA O A O

06) a) –3,-2,-1,0,1,4,5 b) –30,-20,-10,-5,1,8,9,18 07) a) 10,5,4,1,0,-1,-3,-5 b) 0,-1,-3,-5,-15,-18 08) a) –101,-100,-99 b) –60, -50, -40 c) –5, 0, 5

 OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS Adição - o a o 1º Caso) Os números possuem o mesmo sinal. Dá-se o sinal comum e soma-se os valores absolutos Exemplos: a)

(+2) + (+5) = + (2 + 5) = + 7

c) (– 4) + (– 2) + (– 3) =

b) (– 1) + (– 4) = – (1 + 4) = – 5 = – (4 + 2 + 3) = – 9 2º Caso) Os números possuem sinais contrários. Dá-se o sinal do maior módulo e subtraí-se Exemplos: a) (+ 7) + (– 2) = +( 7 – 2 )=+ 5 c) (–12) + (+5) = - (12 – 5) = - 7 b) (+ 3) + (– 4) = –( 4 – 3 )= – 1 d) (– 6 ) + (+8) = +( 8 – 6 ) = + 2 

Subtração - o a o Para subtrair Números Inteiros Relativos, soma-se ao primeiro,o simétrico do segundo.

Exemplos: a)

(+9) – (– 2) = + 9 + 2 = + 11

b) (- 5) – (+5) = – 5 – 5 = – 10 c)

(+3) – (+4) = + 3 – 4 = –

1



Multiplicação - o a o 51


A multiplicação de números inteiros segue os critérios: Sinais iguais, resultado Positivo Sinais diferentes resultado Negativo

Exemplos: a) (+ 2) x (+3) = + ( 2 . 3) = +6 c) (+ 5) x (–2) = – ( 5 . 2) = – 10 b) (– 4) x (– 2) = + ( 4 . 2) = +8 d) (– 3) x (+4) = – ( 3 . 4) = – 12 

Divisão - o a o A divisão de números relativos, segue os mesmos critérios da multiplicação, ou seja, sinais iguais resultado positivo e sinais diferentes resultado negativo. Exemplos: a) (– 9 ) ÷ (– 3) = + ( 9 : 3) = + 3 c) (– 8) ÷ (+2) = – ( 8 : 2) = – 4 b) (+10) ÷ (+2) = + ( 10 : 2) = +5 d) (+12) ÷ (-4) = – (12: 4) = – 3

 EXPRESSÕES ARITMÉTICAS Acompanhe os exemplos: a) –20 + 15 – 18 + 37 Termos Positivos: +15 + 37 = +52 Termos Negativos: - 20 – 18 = - (20+18) = – 38 Resultado: + 52 – 38 = + (52 – 38 ) = + 14 b) 17 – 5 – 8 + 5 – 17 + 3 = 17 – 17 – 5 + 5 – 8 + 3

A soma de dois números opostos é sempre zero

=–8+3=–5 c) 7 – ( 8 – 5 + 12) = 7 – ( 3 + 12) = 7 – ( +15) = 7 – 15 = – 8 52

MATEMÁTICA O A O

d) 50 – { – 18 + [ 7 – ( 8 – 15) ] } =50 – { – 18 + [ 7 – (– 7) ] } =50 – { – 18 + [ 7 + 7] } =50 – { – 18 + 14 } = 50 – {– 4} = 50 + 4 = 54 EXERCÍCIO – EXPRESSÕES ARITMÉTICAS 1. Resolva as expressões: a) 5 + 3 – 1

g) 4 + 5 + 3 – 7 – 2 – 8

b) 10 – 3 – 7

h) – 7 + 15 – 3 + 9 – 4 – 1

c) 15 – 18 + 5 – 3

i) – 53 + 79 – 18 – 7 + 15 – 39 + 18

d) 38 – 15 + 12 – 5

j) – 43 + 13 – 104 + 300 – 148 + 31

e) 104 – 30 –10 + 16 f)

108 + 40 – 108 – 30

2. Complete a tabela abaixo: X

2

Y

–7

X+Y

–5

–1 –5

6

–8 –4

–9

–9

0

–8

3. Calcule o valor das expressões: a) 2 – (– 5 + 3 – 1)

d) 35 – [ 4 + (18 – 15) – 3 ]

b) – 3 – (– 5 – 4) + (– 2 – 17) e) – { – 12 + [ 5 – 10 – (3 –25) –37 ] } 4. Sendo x = 3 e Y = – 2, calcule: a) x – ( y + 4) b) 15 + ( x + y)

c) y – ( x – 4 ) d) 8 – ( y – x )

5. Escreva o dobro, triplo, quádruplo e o quíntuplo de: a) 4 b) – 4 c)10 d)– 10 6. a) b) c)

Determine A metade de – 50 A terça parte de 243 A quarta parte de – 1200 53


d) A quinta parte de – 175 7. Sendo a = 30, encontre o valor das expressões: a) 10a c) 3a : 2 b) a : 3 – 1

d) (a + 5 ) : (– 7) –2

8. Resolva as Expressões a) 20 : 5 – 3

c) (– 5) : 5 – (–5) : (–5)

b) – 5 + 7 . 3 – 4 : 2

d) 5 . 8 – (–4) : 4 + 3 (– 5) + 12 : (– 4)

9. Qual o número inteiro que cada letra está representando: a) x : (– 30) = 3

d) t : (– 8) = 7

b) (– 100) : y = –1

e) (f + 1) : (– 5) = – 1

c) z : 153 = 0

f) (30 + m ) : 16 = 2

10. Determine os próximos três números inteiros de cada seqüência abaixo: a) –2, 4 , –8, 16, _____, _____, _____. b) 1, –2, 6, –24, _____, _____, _____. c) 128, 64, 32, 16, _____, _____, _____. d) 5040, –720, 120, –-24, _____, _____, _____. Respostas 01. a) b)

7 0

c) – 1 d) 30

03. a) 5 04. a) 1 05. a) 8, 12, 16, 20 b) –8, –12, –16, –20 06. a) –25 b) 81

e) 80 f) 10

g) – 5 h) 9

i) –5 j) 49

b) – 13

c) 31

d) 32

b)16

c) – 1

d)13

c) 20, 30, 40, 50 d) –20, –30, –40, –50 c) – 300 d) – 35

07. a) 300

b) 9

c) 45

d) –7

08. a) 1

b)14

c) –2

d)23

09.

54

MATEMÁTICA O A O

a) x = -90 b) y = 100

c) z = 0 d) t = -56

10. a) –32, 64, -128 b)120, -720, 5040

c) 8, 4, 2 d) 6,-2, 1

e) f= 4 f) m = 2

 EQUAÇÕES DO 1º GRAU 

Introdução EQUAÇÃO é toda sentença matemática expressa por uma igualdade ( = ), onde os números desconhecidos são representados por Letras ( incógnitas).

Exemplos:  2x – 3 = 15  3x – 4y = 6 

Equação na incógnita X. Equação nas incógnitas X e Y

Membros e Termos

Numa equação, a expressão situada à esquerda do sinal = é chamada de 1º membro da equação, e a expressão situada à direita do sinal = é chamada de 2º membro da equação. Exemplo:

– 2x + 10 1º membro

= 3x – 5 2º membro

Cada uma das parcelas que compõem um membro de uma equação é chamada de Termo da Equação. Exemplo:

5x – 1

=

– 2x + 8 Termos



Resolução de uma equação do 1º grau - o a o

1º Caso) Resolver a equação 4x – 3 = 2 (2x + 1) – 5 solução 4x – 3 = 2 (2x + 1) – 5 4x – 3 = 4x + 2 – 5 4x – 3 = 4x – 3

Prop. Distributiva

55


4x – 4x = – 3 + 3 0 = 0 A igualdade se faz verdadeira, a equação é chamada Indeterminada, e seu conjunto- solução será o Universo. (S = U)

2º Caso) Resolver a equação Solução x + x = 5 + 5x 3 2 6 2x + 3x = 30 + 5x 6 6

x + x = 5 + 5x 3 2 6

Reduzimos as frações ao mesmo denominador comum(m.m.c)

2x + 3x = 30 + 5x 5x – 5x = 30 0 = 30 A igualdade não se faz verdadeira, a equação é chamada Impossível, e seu conjunto – solução será Vazio. (S = Ø) 3º Caso) Resolver a equação 2x - 1 - x + 1 = 1 3 2 2 Solução 2x - 1 - x + 1 = 1 3 2 2 2(2x – 1) – 3(x + 1) = 3 6 6 6 Reduzimos ao menor denominador comum 2 (2x – 1) – 3 ( x + 1) = 3 Prop. Distributiva 4x – 2 – 3x – 3 = 3 x = 3 + 5 ∴x = 8 A equação é chamada Determinada, e seu conjunto – solução é a raiz encontrada. (S={8})

56

MATEMÁTICA O A O

EXERCÍCIO – EQUAÇÃO DO 1º GRAU Resolva as equações ( U = IR) 1) 3x + 5 = 20

15) x + x + 3x = 18

2) 2x = - 6

2

3

16) 3x = 5x – 7

3) 5x – 2 ( 3x + 2) = 7x – 2 ( 4x + 3) 4) 5 ( x + 12) = x

4

4 2

2

17) x + x = 7 + 2x

5) 4 ( x – 1 ) = 2 (x – 4 )

2

6)

2x = 5 ( x + 3 )

7)

5 (1 – x ) – 2x + 1 = - 3 ( 2 + x )

3

3

18) 7x + 4 – x = 3x – 5

8) x + x = 15

5

2

19) 4x – 6 – 3x – 8 = 2x – 9 – x – 4

3

2

12

4

6

8 9) x – 4 =

x

8

20) 4x – 5x + 18 = 4x + 1

5

5

10) 3x – 7 + x – 1 = 2x – 3 12

8

2

4

3

6

22) 3x – 2 – 4 – x = 2x – 7x – 2

10

12) 2 ( 5 + 3x ) = 5 ( x + 3 ) – 5

9

21) 3x + 1 – 2x = 10 + x – 1

6

11) 2 + 2( x – 3 ) = x – x – 3 5

4

4

2

3

23) x + 2 – x – 3 = x – 2 – x – 1

13) 7 ( x – 3 ) = 9 ( x + 1 ) - 38

3

4

2

14) x + x – x = 14 2

3

4

Respostas:

1) S= { 5 }

6) S = {- 5 }

11) S = { - 7/2}

16) S = { 2 } 21) S = { 14 }

2) S= { - 9 }

7) S = { 3 }

12) S = {0}

17) S = { 14 } 22) S = { 2 }

3) S= ∅

8) S = { 18 }

13) S = { 4 }

{7}

57

18) S = { 3 }

23) S =


4) S = { -15}

9) S = { - 20 / 3} 14) S = { 24 }

5) S = { - 2 } 10) S = { 5 }

15) S = { 8 }

19) S = { 4 } 20) S = { 20 }

 SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 

Introdução

Equações do tipo ax + by = c, isto é, do primeiro grau com duas variáveis, possuem uma infinidade de soluções. Resolver um sistema de duas equações é achar os valores das variáveis x e y, que satisfaçam, ao mesmo tempo, cada uma das equações. Logo, as equações que constituem um sistema deverão itir a mesma solução. Equações desse tipo são chamadas de equações simultâneas. Na resolução de um sistema de duas equações simultâneas do primeiro grau, empregamos os processos de Adição e Substituição, os quais aremos a estudá-los separadamente. 

Adição - o a o a) Multiplicam-se, ambos os membros de uma ou de cada uma das equações, por números, tais que, a incógnita que se deseja eliminar tenha, nas duas equações o mesmo coeficiente, porém de sinais contrários; b) Somam-se, membro a membro, as duas equações, resultando, assim, uma única equação com uma incógnita; c) Resolve-se esta equação, obtendo-se, assim, o valor de uma incógnita; d) Substitui-se o valor dessa incógnita em qualquer uma das equações obtendo-se, assim, o valor da outra incógnita. Exemplos: 01) Resolver o sistema x + 2y = 11 x – y= 5 Solução: Como a variável y já possui sinais contrários, basta multiplicarmos a segunda equação por 2, no que resulta 58

MATEMÁTICA O A O

x + 2y = 11 2x – 2y = 10 Somando, membro a membro, as duas equações, vem: 3x = 21, logo: x = 7. Substituindo o valor de x na primeira equação, resulta: 7 + 2y = 11, que resolvida dará: Y = 2. Logo, S = { (7,2) } que é o conjunto verdade da equação. 02) Resolver o sistema :

2x + 3y = 8 5x – 2y = 1 Solução: Multiplicando-se a primeira equação por 2 e a segunda por 3, temos: 4x + 6y = 16 15x – 6y = 3

Somando, membro a membro, teremos: 19x = 19, onde x =1. Substituindo na primeira equação, o valor de x, vem: 2 + 3y = 8, que resolvida dará: y = 2. Então, o conjunto solução será: S = { (1,2) }. 

Substituição - o a o a) Resolve-se uma das equações, em relação à incógnita que se deseja eliminar; b) Substitui-se, na outra equação, a incógnita pelo seu valor obtido na primeira; c) Resolve-se a equação resultante dessa substituição; encontrando-se, dessa forma, o valor dessa incógnita; d) Substitui-se o valor dessa incógnita em qualquer uma das equações do sistema obtendo-se, assim, o valor da outra incógnita e, em conseqüência, a solução do sistema.

Exemplos: 1) Resolver o sistema

x+ 2y = 1 2x – y = 7

Solução: Resolvendo a primeira equação, em relação a x, temos: x = 1 – 2y. 59


Substituindo na segunda equação, o valor de x, isto é, 1 – 2y, vem: 2x – y = 7. 2 (1 – 2y) – y = 7 que resolvida, dará: y = – 1. Substituindo o valor de y em x = 1 – 2y, temos: x = 3. Logo: S = { (3, -1)} que é o conjunto verdade da equação.

x + y = 10 2) Resolver o sistema: x–y=2 Solução: Tirando o valor da variável x na primeira equação, temos: x = 10 – y. Substituindo, na segunda equação, o valor de x, vem: 10 – y – y = 2, que resolvida, resulta: y = 4. Substituindo o valor de y em qualquer uma das equações do sistema ou na expressão x = 10 – y, encontraremos o valor da variável x que será: x = 6. Então, o conjunto solução será: S = { ( 6, 4) }. EXERCÍCIO – EQUAÇÕES DO 1º GRAU 1. Resolver os sistemas abaixo, pelo método da ADIÇÃO. a)

x + 2y = 3

d)

3x + y = 4 b)

4x + y = 9

x + 3y = – 4

e)

2x – y = 6 c)

2x + 3y = 7 x+y=5 x–y=1

2x + 5y = 17

f)

x + 2y = 7

3x – 2y = 16

x – 2y = 3

2. Resolver os sistemas abaixo, pelo método da SUBSTITUIÇÃO. a)

x + y = 11 x–y=1

b)

x + y = 46

c) x + y = 3

x – y = 14

x–y=1

60

MATEMÁTICA O A O

d) 2x + y = 12

e)

y = 2x

x + 2y = 7

f)

2x + y = 4

x – 2y = 3

g) 2x + y = 11

h)

2x – 3y = – 1

x – y = -1

3x – 7y = 13

i)

4x – 5y = 13

2x + 5y = 17 3x – 2y = 16

3. Resolver os sistemas abaixo a) 2x + y = 13

b)

x -y=8 c)

x + 2y = 9 x – 2y = 1

x + 2y = 1

d) 3 (x – y ) + 5 ( y – x ) = 18

2x – y = 7 e)

2x

x – y=2 3 2

f)

3y

= 37

2x + 3y = 23

x – y=3 2 3 g)

+

5x - 3y = 5

x+y=7

h)

3x – y = 5

2x + 3y = 5 7x – 3y = 4

j) i) 2x + 4y = 16 5x – y = 7

x+y = y+2 3 2 x–y = x–1 2

3

Respostas: 1.a) S = {(1,1)} e) S = {(3,2)} 2. a) S= {(6,5)} e) S= {(5,1)}

b) S = {( 2,– 2)}

c) S = {(6, 1)} d) S = {( 2,1)}

f) S = {(5,1)} b) S= {(30,16)} f) S = {(1,2)}

c) S = {(2,1)}

d) S= {(3,6)}

g) S = {(4,3)} 61

h) S={(2, -1)}


i) S= {(6,1)} 3. a) S= {(7,-1)}

b) S= {(5,2)}

c) S= {(3,-1)}

d) S={(2,11)}

e) S= {(6,0)}

f) S = {(4,5)}

g) S = {(3,4)}

h) S={(1,1)}

i) S= {(2,3)}

j) S= {(4,2)}

 PROBLEMAS COM NÚMEROS INTEIROS 

Introdução Antes de resolver um problema devemos obter uma forma de representação para o que ele propõe. Vejamos: 1) Representar um número ou uma quantia, e a seguir, o seu dobro, seu triplo etc. Forma:

x = o número 2x = o seu dobro 3x = o seu triplo

2) Representar duas quantidades, onde uma tem cinco unidades mais que a outra. Forma:

x é a quantia menor x + 5 = a quantia menor mais cinco unidades

3) Representar duas idades que diferem 10 anos. 1ª forma x = a idade menor x + 10 = a idade maior

2ª forma x = a idade maior x – 10 = a idade menor

4) São dados três números: o 1º é 5 unidades maior que o 2º e este tem três unidades menos que o 3º. Forma:



x : o segundo número x + 5 : o primeiro número x + 3 : o terceiro número

Questões Comentadas 1) Determinar dois números cuja soma é 40, sendo o maior o quádruplo do menor. x = o menor Donde: x = 8 62

MATEMÁTICA O A O

4x = o maior 4x + x = 40 5x = 40 x = 40 ÷ 5 = 8

e 4x = 32

8 + 32 = 40

2) A diferença entre dois números é 18 e o maior é o triplo do menor. Determiná-los. x = o menor número 3x = o maior número 3x – x = 2x é a diferença entre o maior e o menor. 2x = 18 x = 18 ÷ 2 = 9 x=9 3x = 27 3) Um pai diz a seus três filhos: Conceição, Luís e Duda: ---- Vou repartir entre vocês a importância de $ 90,00 de modo que Conceição, que é a mais velha, receba $ 12,00 mais que Luís e este receba $ 6,00 mais que Duda que é a mais nova. x = a quantia de Duda x + 6 = a quantia de Luis x + 6 + 12 = a quantia de Conceição

3x = 66 pela inversa da multiplicação x = 66 ÷ 3 = 22

Ou: x x+6 = 90 x + 18 3x + 24 = 90 Pela inversa da adição: 3x = 90 – 24

Duda: $ 22,00 Luís: $ 22,00 + $ 6,00 = $ 28,00 Conceição:$ 28,00+$12,00=$40,00

4) A soma das idades de um pai e um filho é hoje 54 anos. Há 6 anos a idade do pai era o quíntuplo da idade do filho. Quais as idades de cada um hoje? Há seis anos 54 – 2 X 6 = 54 – 12 = 42 anos x é a idade do filho 5x a idade do pai 5x + x = 6x

x = 42 anos ÷ 6 = 7 anos o filho, 7 anos o pai, 35 anos Hoje 7 + 6 = 13 anos o filho.

6x = 42 anos 63


35 + 6 = 41 anos o pai

5) Cândida faz problemas. Ganha $ 0,10 por problema certo e paga multa de $ 0,07 por problema que erra. Fez 20 problemas e recebeu $ 1,32. Quantos problemas acertou e quantos errou? Vejamos: Neste problema deve-se raciocinar: Se Cândida acertasse todos os problemas ganharia: 20 problemas x $ 0,10 = $ 2,00. Entretanto recebeu apenas $ 1,32. Significa que deixou de ganhar a diferença, isto é: $ 2,00 – $ 1,32 = 0, 68. Entretanto, em cada problema errado, Cândida deixou de ganhar: $ 0,17. Pergunta-se: errado?

___

Por que deixou de ganhar $ 0,17 por problema

___ Claro, primeiro não ganhou $ 0,10 que seria o prêmio do acerto e segundo pagou $ 0,07 de multa. Logo, são $ 0,17 de prejuízo por problema errado.

Como o prejuízo total foi de $ 0,68 e o prejuízo por problema foi de $ 0,17 basta efetuar a divisão: $ 0,68 ÷ $ 0,17 = 4 problemas. Isto é, Cândida errou 4 problemas e, logicamente, acertou 16 problemas. Problemas certos:

$ 0,10 x 16 = $ 1,60

Prova: Problemas errados: $ 0,07 x 4 = $ 0,28 Recebeu $ 1,32 64

MATEMÁTICA O A O

6) Cândida foi a Bahia e deixou $ 1,00 de óbolo em cada igreja que visitou e, ao fim das visitas, sobraram $ 4,00 do dinheiro destinado às esmolas. Se tivesse deixado $ 1,50 em cada igreja, teria gasto $ 8,00 mais do que esperara gastar com os óbolos. Quantas igrejas Cândida visitou e quanto pensara gastar com as esmolas? Vejamos: I) Deixando $ 1,00 em cada igreja sobram $ 4,00 Deixando $ 1,50 em cada igreja faltam

$ 8,00

Vê-se assim, que um acréscimo de 0,50 em cada óbolo provoca um acréscimo de $ 12,00 nas despesas de Cândida.(De fato, a sobra de $ 4,00 e mais os $ 8,00 que despenderia.) Logo as igrejas são: $ 12,00 ÷ $ 0,50 = 24 igrejas. II) Cândida destinara aos óbolos: 24 X $ 1,00 = $ 24,00 distribuídos + $ 4,00 $ 28,00 Prova: De fato, se desse $ 1,50 em cada igreja, gastaria $ 36,00, isto é, $ 8,00 mais do que previra. 7) Um boiadeiro comprou 25 bois e 8 novilhos pela importância de $ 1.820,00. Determinar o preço de cada animal, sabendose que um boi e um novilho juntos custam $ 100,00 Vejamos: Como um boi e um novilho juntos valem $ 100,00, então os oito novilhos e os oito bois custaram $ 800, 00. Desse modo, a importância restante, isto é, $ 1.820,00 – $ 800,00 = $ 1.020,00 foi necessária para adquirir os restantes 17 bois, ou seja:$ 1.020,00 ÷ 17 = 60,00 Logo: 65


$ 60,00 é o preço de cada boi; e $ 100,00 - $ 60,00 = $ 40,00 é o preço de cada novilho. Prova: Um boi + um novilho = $ 60,00 + $ 40,00 = $ 100,00 8 novilhos + 25 bois = $ 320,00 + $ 1.500,00 = $ 1.820,00. 8) De duas cidades A e B, cuja distância é 315km, partem simultaneamente dois trens. O que parte de A se dirige em direção a B com a velocidade média de 60km por hora e o que parte de B se dirige para A com a velocidade média de 45km por hora. Pergunta-se: depois de quanto tempo se cruzarão e a que distância de A? Vejamos: teremos:

Representando-se esquematicamente o problema,

V1 = 60 km/h

P 1º trem

V2 = 45 km/h 2º trem

315 km

A

B

Como os trens se deslocam em sentidos contrários, ao se cruzarem, a soma dos percursos realizados é igual à distância entre A e B que é de 315 km. Para realizar o mesmo percurso, no mesmo tempo, um único trem deveria ter uma velocidade V igual à soma entre as velocidades V1 e V2 . Isto é. V = 60 km/h + 45 km/h = 105 km/h Ora, um trem com 105 km/h demoraria 3 horas para percorrer os 315 km. De fato: 315km ÷ 105 km/h = 3 horas. Da mesma forma, os dois trens que partem de A e B. Para isso, basta, então dividir o percurso de 315 km pela soma de suas velocidade e, como acima, se encontrará 3 horas. 60km/h x 3 horas = 180 km; 45 km/h x 3 horas = 135km. P 180 km

135 km 315 km

66

MATEMÁTICA O A O

EXERCÍCIOS – NÚMEROS INTEIROS 1) A soma de dois números é 52 e um deles é o triplo do outro. Quais são os números? 2) A diferença entre dois números é 45 e o maior deles é igual ao sêxtuplo do menor. Determiná-los. 3) A minha idade é o quadruplo da idade de meu filho e juntos temos 45 anos. Quais são as nossas idades? 4) A soma de dois números é 43 e um deles excede o outro de 5 unidades. Quais são os números? 5) A diferença entre dois números é 7 e a soma deles é 29. Determiná-los. 6) Quando João nasceu, Cândida tinha 5 anos. A soma das idades hoje é 31 anos. Quais as idades? 7) O produto de dois números é 6.800 e um deles é 170. Determinar o outro . 8) Pensei em um número; multipliquei-o por 3; somei 12 ao resultado; dividi esse resultado por 3 e obtive 19. Qual o número pensado? 9) Um recipiente é alimentado por duas torneiras: a primeira despeja 64 litros de água por minuto e a segunda despeja 48 litros de água por minuto. Pergunta-se: ao fim de quantos minutos o recipiente ficará cheio, sabendo que sua capacidade é de 1.904 litros? 10) O terreno de meu vizinho é 80m 2 maior que o meu. A fim de ficarmos com terrenos iguais, ele vai vender-me a parte necessária à razão de $ 180,00 o metro quadrado. Quanto deverei pagar? 11) Se eu tivesse $ 14.640,00 mais do que tenho, poderia comprar um terreno que tem 320m2 cujo valor é $ 120,00 o metro quadrado. Quanto eu possuo? 12) Luís diz a Marcos: "Se eu lhe der 14 figurinhas das que eu tenho, então você ficará com tantas figurinhas quanto "eu". 67


Sabendo que juntos possuem 120 figurinhas, pergunta-se: quantas têm cada um? 13) A soma das idades de Cristina, Marcelo e Frederico é 20 anos. Cristina nasceu 6 anos antes que Marcelo e este é 4 anos mais velho que Frederico. Quais são as idades dessas crianças? 14) Quando Fábio nasceu, Clara tinha 4 anos e Lourdes tinha 6 anos. Hoje, a soma das idades dos três é 22 anos. Determiná-las. 15) Um pai deseja distribuir a quantia de $ 115,00 entre seus três filhos. Quer dar $ 10,00 mais a Sidônio do que a Roberto e $15,00 mais a Roberto do que a Francisco. Quanto deve receber cada um? 16) A soma das idades de um pai e de um filho é hoje 72 anos. Há 12 anos ados, a idade do pai era 7 vezes a idade do filho. Quais são as idades hoje? 17) A soma das idades de um pai e um filho é hoje 30 anos. Daqui a 12 anos a idade do pai será o dobro da idade do filho. Quais as idades hoje? 18) Um pai diz a seu filho: "A soma de nossas idades hoje é 36 anos. Entretanto, há três anos ados, minha idade era o quádruplo da sua". Quais são essas idades? 19) Um avô tem 74 anos e seus 4 netos, 5, 7, 11 e 12 anos. No fim de quantos anos será a idade do avô igual à soma das idades dos netos? 20) A soma de quatro números inteiros consecutivos é 86. Calculá-los. 21) Aumentando-se um certo número de 126 unidades, obtémse o quadruplo do número. Calculá-lo. 22) Num quintal existem perus e coelhos, ao todo 62 cabeças e 148 pés. Quantos são os perus e quantos são os coelhos? 23) Um aluno ganha $1,50 por problema que acerta e paga, a título de multa, $ 0,90 por problema errado. Faz 20 problemas e recebe $ 20,40. Quantos acertou e quantos errou? 24) Uma pessoa dá esmolas às igrejas que visita. Tendo deixado $ 0,20 em cada igreja, ainda lhe sobraram $ 1,80. 68

MATEMÁTICA O A O

Entretanto, se desse $ 0,30 de esmola a cada igreja, ter-lheiam sobrado apenas $ 0,70. Quantas foram as igrejas visitadas e quanto levava essa pessoa no bolso? 25) Dei três laranjas a cada menino e fiquei com vinte. Se tivesse dado 5 a cada menino, teria ficado com 8. Quantos meninos eram? 26) Uma pessoa querendo distribuir laranjas entre vários meninos, calculou que poderia dar a cada um, 11 laranjas e ainda lhe restariam 4 laranjas. Mas tendo um menino recusado a sua parte, cada um dos outros recebeu 14 laranjas, sobrando ainda 3 laranjas. Quantos meninos havia e quantas laranjas a pessoa possuía? 27) João diz a augusto: "Eu tenho $ 3,15 no bolso com igual número de notas de $0,05, $ 0,10 e $ 0,20. Quantas notas eu tenho de cada espécie? 28) Augusto diz a João: "Eu tenho $1,80 em notas de $0,05, $0,10 e $0,20. As importâncias em dinheiro que possuo de cada espécie são iguais. Quantas notas eu tenho de cada espécie? 29) Uma pessoa compra 12 frangos e 20 perus pela importância de $ 124,00. Determinar o preço de cada ave, sabendo que um frango e um peru custam juntos $ 7,00. 30) Um criador compra 40 burros e 52 cavalos pagando $ 31.600,00 pelo lote. Determinar o preço de cada animal, sabendo que um burro e um cavalo custam juntos $ 700,00. 31) São dados três números: a soma dos dois primeiros é 20, a soma dos dois últimos é 15 e a soma do primeiro com o último é 19. Quais são esses números? 32) Um ciclista parte da cidade A em direção a B, ao mesmo tempo que o outro parte de B em direção a A, cuja distância é 120 km. O primeiro desenvolve uma velocidade de 24 km por hora e o segundo 16 km por hora. Pergunta-se: a) Ao fim de quanto tempo se encontraram? b) A que distância da cidade A se dá o encontro? 33) Durante uma viagem, uma caravana pousou num motel. Os homens pagaram o dobro que as senhoras e estas pagaram o triplo que as crianças. Sabendo-se que a despesa foi de $ 1.950,00 e que existiam 20 homens, 15 senhoras e 30 crianças, pergunta-se: quanto pagou cada um? 69


34) De uma estação parte um trem que desenvolve 50km por hora. Após 3 horas, parte outro trem no mesmo sentido, que alcança o primeiro quando decorreram 5 horas da partida do segundo. Pergunta-se: qual a velocidade média do segundo trem? Respostas 1) 13 e 39

23) Acertou:16 problemas

2) 9 e 54

Errou: 4 problema

3) Pai: 36anos – Filho: 9 anos

24 11 Igrejas e R$ 4,00

4) 19 e 24

25) 6 meninos

5) 11 e 18

26) 5 meninos-59 laranjas

6) Cândida: 18 anos – João:13 anos

27) 9 notas

7) 40

28) 12 de $ 0,05

8) 15

6 de $ 0,10

9) 17 minutos

3 de $ 0,20

10) R$ 7.200,00

29) Frango: R$ 2,00

11) R$ 23.700,00

Peru: R$ 5,00

12) Luís: 74 – Marcos: 46

30) Burro: R$ 400,00

13) Cristina:12 anos

Cavalo: R$ 300,00

Marcelo: 6 anos

31) 1º número: 12

Frederico: 2 anos

2º número: 8

14) Lourdes: 10 anos

3º número: 7

Clara: 8 anos

32) a) 3 horas

Fábio:4 anos

b) 72 km

15) Sidônio: R$ 50,00

33) Crianças:$ 10,00

Roberto:R$ 40,00

Senhoras:$ 30,00

Francisco: R$ 25,00

Homens: $ 60,00

16) Pai: 54 anos – Filho: 18 anos 17) Pai: 24 anos – Filho 6 anos 18) Pai: 27 anos – Filho 9 anos 19) 13 anos 20) 20,21,22,23 70

34) 80 km por hora

MATEMÁTICA O A O

21) 42 22) Perus: 50 – Coelhos 12

 QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 01.(CMF) Um pai tem 36 anos e seus três filhos 3, 5 e 8 anos. No fim de quanto tempo a idade do pai será igual a soma das idades dos filho? a) 10 anos b) 12 anos c) 15 anos d) 18 anos e) 20 anos 02.(BB) Hoje eu tenho a idade que meu amigo Paulo tinha quando eu nasci. Daqui a 15 anos terei 3/5 da idade de Paulo. Qual é a idade atual de Paulo? a) 45 anos b) 50 anos c) 55 anos d) 60 anos e) 65 anos 03.(CEF) Há 8 anos, a idade de "A" era o triplo da de "B", e daqui a 4 anos a idade de "B" será os 5/9 da de "A". Achar a razão entre as idades de A e B. a) 1/2 b) 2 c) 3/2 d) 2/3 e) 3 04.(UFC) Quando José nasceu, Bruno tinha 4 anos de idade. Decorridos 17 anos, qual é diferença, em anos, entre as idades de Bruno e José? a) 13 b) 4 c) 21 d) 5 e) 17 05.(BNB) O sistema de equação abaixo: 2x + y + z + w = 1 x + 2y + z + w = 2 x + y + 2z + w = 3 x + y + z + 2w = 4 Possui uma única solução x, y, z, w. Pode-se afirmar que a soma S= x + y + z + w é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5 06). (BB) Em um pátio existem automóveis e bicicletas. O número total de rodas é 130 e o número de bicicletas é o triplo do número de automóveis. Assim, o número total de veículos é igual a: 71


a) 39

b)42

c) 49

d) 52

e)59

07).(TJ) Em um terreiro havia um certo número de bípedes e de quadrúpedes, num total de 900 patas. As patas dos bípedes são a metade das dos quadrúpedes. O número total de animais que havia no terreiro é: a) 150 b) 300 c) 350 d) 450 e)600 08.(TTN) Dois professores "A" e "B", dão aulas particulares e sabe-se que "A" cobra R$ 2,00 a mais que "B" por hora de trabalho. Se, por 30 horas de aula, "A" receberá R$ 210,00 a mais que "B" receberia ministrando 20 horas aula. A soma das quantias que cada um cobra por hora de trabalho é: a) R$ 32,00 b) R$ 35,00 c) R$ 40,00 d) R$42,00 e) R$ 45,00 09.(CEF) O Sr. J.R.N. foi contar seu patrimônio e encontrou apenas moedas de 1 centavo, 5 centavos, 10 centavos, 25 centavos, e 50 centavos, todas em quantidades iguais, totalizando RF$ 15,47. Qual a importância que o desafortunado tem em moedas de 25 centavos? a) R$ 3,00 b) R$ 3,50 c) R$ 3,75 d) R$ 4,00 e) R$ 4,25 10.(UFC) Uma dona de casa programou uma recepção no aniversário de seu marido e solicitou a um buffet que fizesse 7 salgadinhos de um certo tipo para cada convidado. No dia da recepção, ao receber os salgadinhos, notou que havia 2 a mais do que o encomendado. Por outro lado, compareceram à recepção 3 convidados a mais que o esperado. A dona de casa resolveu o imprevisto, distribuindo exatamente 6 salgadinhos para cada convidado presente. Com base nessas informações, assinale a opção que contém o número de salgadinhos preparados pelo buffet. a) 108 b)114 c)120 d)126 e) 132 Respostas 01.A

03. B

05.B

07.B

09.E

02. D

04. B

06.D

08.A

10.B

72

MATEMÁTICA O A O

 O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 

A Idéia de Número Racional

2 4

2 3

( 2,4 )

( 2,3 )

Para se representar numericamente uma ou mais partes de um inteiro, são necessários dois números naturais: a) O primeiro, indicando quantas partes tomamos do inteiro; b) O segundo indicando em quantas partes, de igual valor, o inteiro foi dividido; Nesses novos símbolos

2

ou

3

2

etc., o primeiro elemento chama-se

5

Numerador e o segundo elemento denominador dos números fracionários ou frações. De modo geral, chamam-se de Termos da fração ao conjunto do numerador e denominador. 

Frações Equivalentes

É fácil ver que um mesmo número fracionário pode ser representado por vários símbolos ou vários numerais. Vejamos: I)

2 4

II)

1 2

2÷2

1

4÷2

2

2

1

2÷2

1

6

3

6÷2

3

III) IV)

3

12

4

16

1

2

1

73

2

3x 4 4x 4 1x 2 1x 2

12 16 2 2


Dizemos então: 2 4

e 1 são frações equivalentes ou 2 ~ 1 2 4 2

2 6


3 4


1 1

e

2 são frações equivalentes ou 1 ~ 2 2 1 2

Propriedade Fundamental Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma fração por um número natural ≠ 0, obtém-se uma fração equivalente à fração dada. 

Classificação

Fração Imprópria é aquela cujo numerador é maior que o denominador. Fração aparente é aquela cujo numerador é múltiplo do denominador. As frações restantes se dizem próprias. Exemplos: Os números fracionários Impróprias.

4 3

Os números fracionários

e

7 , chamam-se 2

Frações

4 e 12 que equivalem, 2 4 respectivamente, a 2 e 3, são frações aparentes.

74

MATEMÁTICA O A O

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO Colocar V ou F conforme cada uma das seguintes sentenças matemáticas sejam verdadeiras ou falsas: a) 2 e 4 são frações equivalentes ( 3 6 b) 3 5

6 5

). h) 2 < 1 5 5

(

). J) Qualquer fração própria é menor que o inteiro. (

d)Toda fração imprópria é aparente (

).

e) 7 > 1 2

).

(

f) 2 < 1 3.

(

).

g) 3 > 2 2 2

(

).



)

). I) Toda fração imprópria é maior que toda fração própria. ( )

c)Toda fração aparente é imprópria (

Resposts: a) V

(

b) F c) F d) F e) V f) V g) V h) F i)V

)

j)V

Simplificação de Frações.

Obter uma fração equivalente a 36 de modo que os termos sejam primos entre si. 48 Basta aplicar a propriedade fundamental e dividir sucessivamente os termos da fração por um fator comum. Exemplo: 36 ÷ 2 18 ÷ 2 9÷3 3 36 3 48 ÷ 2 24 ÷ 2 12 ÷ 3 4 48 4 Também se pode dividir os termos de 36 pelo seu máximo divisor comum: 48 m.d.c. (36,48) = 12 36 ÷12 3 36 3 48 ÷12 4 48 4 Assim concluímos: Simplificar uma fração a significa transformá-la numa b fração c de modo que c e d sejam primos entre si. d 75


Conjunto dos Números Racionais Q Vimos que, de um modo geral, todo número que pode ser representado na Forma de Fração é um Número Racional. Portanto, temos as seguintes propriedades: I - Todo número natural é racional II – Todo número inteiro é racional

De fato: 0 =

0

1

0

=

=

2

0

De fato: -1= -1 = 1 = 1 -1

=.......

3

1 = 1 = 2 = 3 =....... 1 2 3 2=

2

=

4

–2 =

-2

= 2 = 1 -1

-2

= ...... 2

-4

= ...... 2

6

=

=....... 1 2 3 Assim, podemos concluir que: IN ⊂ Q Z ⊂ Q

ou, ou,

Q ⊃ IN Q ⊃ Z

Exercício de Fixação Colocar V ou F em cada uma das sentenças matemáticas seguintes, conforme elas sejam verdadeiras ou falsas: a) se a ∈ IN

a∈Q

( )

f) 3/5 ⊂ Q

( )

b) se a ∈ Q

a ∈ IN ( )

g) Q ⊃ 0

( )

c) IN = Q

( )

h) IN ⊃ 0

( )

d) Q ⊂ IN

( )

i) 0 ∈ Q

( )

e) 2/3 ∈ Q

( )

j) 0 ∈ IN

( )

Respostas: a)V b)F c)F d)F e)V f)F g)F h)F i)V j) V 

Frações Homogêneas e Frações Heterogêneas

Duas ou mais frações que têm denominadores diferentes, se dizem heterogêneas. Exemplos: 3, 1, 1 são heterogêneas. 5 4 2

76

MATEMÁTICA O A O

Quando duas ou mais frações têm denominadores iguais, elas se dizem homogêneas. Exemplos: 3, 1, 5 são homogêneas. 7 7 7 Portanto, reduzir frações ao mesmo denominador, significa tornálas homogêneas. Sejam as frações: 1 , 2 , 3 e 5. 2 3 4 6 a) Determina-se o m.m.c. dos denominadores: m.m.c. (2,3,4,6) = 12 b) Divide-se o m.m.c. achado (12) pelos denominadores das frações. O quociente obtido em cada caso deve ser multiplicado pelos termos da fração. Pela propriedade fundamental obter-se-á uma fração equivalente à primeira. Assim, teremos:

1, 2, 3, 5 2 3 4 6 6 , 8 , 9 , 10 12 12 12 12



Comparação de Frações – o a o Comparar duas ou mais frações significa determinar uma relação de igualdade ou desigualdade entre elas. Temos 3 casos a examinar. 1º) As frações são homogêneas. Comparar:

2, 3 e 5 7 7 7

Quando várias frações são homogêneas, a maior delas é a que tem maior numerador. 2 < 3 < 5 7 7 7 2º) As frações têm numeradores iguais. Comparar:

3, 3 e 3 5 4 7 Quando várias frações têm o mesmo numerador, a maior delas é a que tem menor denominador. 3 < 3 < 3 7 5 4 77


3º) As frações são heterogêneas. Comparar :

2, 3, 1, 5 3 4 2 6 Neste caso deve-se reduzir as frações a um denominador comum. Mais simplesmente ao menor denominador comum. 8 , 9 , 6 , 10 12 12 12 12 Como as frações resultantes são homogêneas, recaímos no primeiro caso, ou seja: 6 < 8 < 9 < 10 12 12 12 12 Ou, ordenando-se crescentemente: 1 < 2 < 3 < 5 2 3 4 6  Questões Comentadas 1) Obter três frações equivalentes a 3/5. Basta tomar os termos da fração 3/5 e multiplicá-los por um mesmo número diferente de zero. 3 x 2 = 6 ; 3 x 3 = 9 ; 3 x 10 = 30 5x2 10 5 x 3 15 5 x 10 50 2) Obter uma fração equivalente a 3/4 cujo denominador seja 60. Como 60 = 4 x 15, isto é, múltiplo de 4, o problema é possível. Basta multiplicar numerador pelo mesmo fator 15. 3 = 45 4 60 3.) Obter duas frações equivalentes a 12/18 cujos denominadores sejam 30 e 42. Reduz-se 12/18 à sua forma mais simples e equivalente: 12 = 2 ; 18 3

2 = x 3 30

78

MATEMÁTICA O A O

Para determinar o valor desconhecido (x) do numerador da nova fração faz-se: 30 : 3 = 10; 10 x 2 = 20. Logo:

2 = 20 3 30

Analogamente:

2 = y 3 42

Para se determinar o o numerador y, faz-se: 42 : 3 = 14; 14 x 2 = 28.

Donde:

2 = 28 3 42

4.) Escrever uma fração equivalente a 5/6 cuja soma dos termos seja 88. Como a soma dos termos de 5/6 é 11, para se determinar o fator pelo qual se multiplicarão os termos de 5/6, faz-se: 88 ÷ 11 = 8 8 é o fator procurado. Logo: 5 x 8 = 6x8 =

40 48

De fato: 40 + 48 = 88 EXERCÍCIO – NÚMEROS RACIONAIS 1) Escrever frações equivalentes a: a) 3/4, cujo denominador seja 56

d) 2/5, cujo numerador seja 64

b) 8/16, cujo denominador seja 36

e) 255/315, cujo denominador seja 21

c) 15/45, cujo denominador seja 27

f) 255/315, cujo numerador seja 51

2) Simplificar as seguintes frações: a) 180 240 b) c)

625 2500 121 2057

d) 343 490

g) 729 1728

e) 1920 2520 f) 1728 2880

h) 289 2057 i) 1350 2800

79


3) Reduzir ao menor denominador comum os seguintes grupos de frações: a) 1 , 1 , 1 , 1 2 3 4 6

d)

4 , 5 , 11 , 7 15 12 18 30

b) 3 , 4 , 5 , 3 4 5 6 8

e) 11 , 17 , 121, 19 120 540 600 270

c) 3 , 1 , 5 , 8 7 12 42 21

f)

3 , 2 , 121 49

5 , 77

3 7

4) Escrever em ordem decrescente de seus valores cada um dos seguintes grupos de frações: a) 3 , 5 , 1 , 7 d) 4 , 3 , 5 , 6 8 8 8 8 3 4 6 5 b) 8 , 8 , 8 , 8 3 5 11 7

e) 5 , 8 , 9 , 11 18 12 24 30

c) 11 , 11 , 11 , 11 2 5 13 8 Respostas 1) a) 42/56 b) 18/36

c) 9/27

d) 64/160

e) 17/21

f) 51/63

2)

c) 1/17

d) 7/10

e) 16/21

f) 3/5

a) 3/4

b) 1/4

g) 27/64

h) 17/121 i) 27/56

3) a) 6 , 4, 3 , 2 12 12 12 12

c) 36 , 7 , 10 , 32 84 84 84 84

e) 495, 170 ,1089 , 380 5400 5400 5400 5400

b) 90 , 96 , 100 , 45 d) 48 , 75, 110 , 42 f) 147 , 242 , 385 , 2541 120 120 120 120 180 180 180 180 5929 5929 5929 5929 4) a) 7 > 5 > 3 > 1 8 8 8 8 b) 8 > 8 > 8 > 8 3 5 7 11

c) 11 > 11 > 11 > 11 2 5 8 13 d) 4 > 6 > 5 > 3 3 5 6 4

80

e) 8 > 9 > 11 > 5 12 24 30 18

MATEMÁTICA O A O

Operações Com Números Racionais • Adição e Subtração – o a o Distinguiremos três casos: 1º) As frações são homogêneas. 3 + 2 = 3 + 2 = 5 ou: 3 - 2 = 3-2 = 1 7 7 7 7 7 7 7 7 Conclui-se: Se as frações são homogêneas somam-se os numeradores e dá-se ao resultado o denominador comum. Se as frações são homogêneas subtraem-se os numeradores e dá-se ao resultado o denominador comum. 2º) As frações são heterogêneas. Seja: seja: 2 + 1 2 - 1 3 4 3 4 Reduzem-se as frações ao menor denominador comum. m.m.c. (3,4) = 12 8 + 3 = 8 + 3 = 11 12 12 12 12

8 - 3 = 8–3 = 5 12 12 12 12

E procede-se como no primeiro caso. 3º) Inteiro e Fração. Seja:

Seja: 2+

1 2- 1 4 4 Basta tomar o número 2 e escrevê-lo sob a forma racional 2 teremos: 1 2 + 1 2 - 1 1 4 1 4 Reduzindo-se ao menor denominador comum: 8+1 = 9 8–1 = 7 4 4 4 4 Nota-se em ambos os casos que se fez: 2 + 1 = 2x4+1 = 9 2 - 1 = 2x4-1 = 7 4

4

4

4

4

4

que é uma forma prática de se efetuar tais cálculos.

81

e


Número Misto O número expresso por 2 + 1 , (inteiro e fração) é chamado 4 misto e costuma ser representado por 2 1 , que se lê: dois inteiros e 4 um quarto. Assim: 2 1 = 2 x 4 + 1 = 9 

4

4

4

é a forma habitual de se transformar o número misto em fração imprópria. Extração de Inteiros de uma Fração Imprópria regra: Para se extrair os inteiros de uma fração imprópria, dividese o numerador pelo denominador da mesma. O quociente indicará a parte inteira do número misto e o resto será o numerador da parte fracionária que conserva o denominador primitivo.



Exemplo: Transformar em fração imprópria: 1) 3 1 = 3 x 5 + 1 = 16 5

2) 4

1

5

=

5

4x3+1

3

1) 12

3

=

5

2

2

17

17

3

3

2

2)

13 3

Extrair os inteiros: 2 2

12 5

5

 Questões Comentadas Efetuar as seguintes operações:

1) 3

1

+ 1

1

+

1

4 3 2 Reduzindo-se os números mistos a frações vem: 13 + 4 + 1 4 3 2 Reduzindo-se ao menor denominador comum : 39 + 16 + 6 = 61 = 5 1 12 12 12 12 12

82

5

5

2 3

MATEMÁTICA O A O

2)

4

1

_

(1

1

3

+

8

1

) _ (2

2

13

(

–

3

3

3



)–( 9

9 + 1 2

4

8

–

13 8

–

63

= – 11

)

–

1

520

40

=

20

= 13 –

20

=

=

5

( 9 + 4 ) – ( 45 - 44 )

–

13

)

1 5

8

13

_2

4

3

13

1

120

3

–

189 120

65

–2 =

40

=

331 120

2

91 120

A Multiplicação e Divisão de Números Fracionários •

Multiplicação - o a o

O produto de duas frações é uma fração, onde o numerador é o produto dos numeradores e o denominador o produto dos denominadores das frações dadas. Exemplos: 1) Efetuar os produtos: 3 x 1x 5 = 3 x 1 x 5 5 4 6 5 x 4 x 6 Antes de efetuar a multiplicação convém realizar a simplificação pelo cancelamento. No produto anterior ficaria: 1 1 3 x 1 x 5 = 1 5 4 6 8 1 2 2) Efetuar: 1 x1 1 x 1 3 4

13

6

Em primeiro lugar reduzem-se os números mistos a frações impróprias, resultando: 13 x 14 x 1 4 13 6 A simplificação dará: 1 x 7 x 1 = 7 2 1 6 12

83


•

Divisão - o a o

Note a equivalência: 2 ÷ 3 = 2 x 5 3 5 3 3 Do que se conclui: Para se dividir uma primeira fração por uma segunda, Multiplica-se a primeira pela fração inversa da segunda. Exemplos: 1

3 ÷ 6 10 5

2)2

1

÷31 =

3

3)

5 ÷

= 3 x 5 = 1 10 6 4 7

2 1

=

5 x

2



÷

=

7

3

2 2

=

7

x

3

2

=

7

2 3

10

1

Fração de Fração Seja calcular:

2 de 1 3 2

Na prática substitui-se a preposição "de" multiplicação. Assim:

1) 2 de 1 = 2 x 1 = 2 = 1 3 2 3 2 6 3 2) 1 de 5 4 6

= 1 x 4

5 = 5 6 24

3) 3 de 2 = 3 x 2 = 6 = 3 8 8 1 8 4

84

pela operação

MATEMÁTICA O A O

EXERCÍCIO – OPERAÇÕES COM FRAÇÕES I)

Resolver as seguintes expressões fracionárias

) ( )( )( ( ) ) (

1)

(

4 + 1

2)

1

7+

2

–

7

5

–

2

3)

5)

7 12

17

2

–

11

+

7

– 4

+

14

1

5 6

+

3

+

15

)

3

–

3

63

1 4

–

2

–

5

1

+

3

1 3

+

+3

7

4

–

9

4)

21

3

1

2 +

5

+2 –

3

–

5

+ 5

( ) ( 8

3 – 3

)

(

3 – 8 – 19 8 3 8

–

+ 1+ 2

3

5

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )( )( ( )( ) (

6)

8

– 2

11 – 5

+

3

7)

3

8)

11

+

2

1

+4 –

89

5

1

+

2 +

X 4

12)

9

7

X

3

28

(

2 11

X

+

5

4 X

70

13)

1

6

+

)

7

3

1

+

8

–

5

40 21

X

3

X

+

7

5

20

X

85

1

26

4

2 3

4

55

+

62

X

3

X 7 – 4

7

+ 3

9

X

14 111

)

4 7

1

70

15

–

–

9

77

15

+

7

124

–

21

4

2

2

+

2

94

X

5

(

7

–

10

12

+

+ 2

31

–

47

X

2

X

1+ 33

13

11

7

3

15

:

+1

8

X

8

+

+ 3+ 7

5

11

2

5

+

20

35

3

143

11

+

21

+

7

–

3

+

7+

3 –

42

9

4

X

X

15

19

–

7

7

17

1+

3

+

X

–

13

16

7

1

–

2

3

12

11)

1

+

15

7

1+

33

17

+

9

X

27

8

X

4 –

8

–

7

+

11

26

1

+

12

10)

–1

13

2

9)

3

( ) ( ) ) ( )

2

–

77 12

–

) X

1 90

– 11

2

( (

14)

13

+

84

( )


)

5

205

:

56

+

48

5 –

2

65

:

3

2

+

12

1

+

3

21

)( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ( ) ( ) ( )( ) ( ) )( ) ( ) ( )

15)

14 :

16)

14

25 9

5

X

5

17)

29

5

:

7

4

–

5

18)

5 : 21 6 5

X

35

15

7– 3

:

8

3

X

5

1 +

3

–

2

X

14

+4

27

:

1+

3

22)

7 9

5

+

4

+

1

11

55

1

–

8

40

2

+

8

4 3

5

+

25 14

–

:

25

4

4

7

1

+

2

3

2

5

–

2

21)

23

+

6

3

20)

21

7

3

–

12

10

:

18 43

+

65

X

:

3

:

25

3

+

2

–

7

2

5 –

11

13

5

126 35

5 +

3

5

4

19)

:

8

+

:

14

21

X

1

–

4

10

:

3 10

+

+

1 + X 3 33

11

5 2

2

– 2

4

+ 1 –

10 9

21 16

X

:

24

:

1

–

55

88

14 30

5 8

+

3

847 96

6

3 + 72

:

:

5 X

3 35

+

1 49

5 21

–

2

+

8

6

1 3

+

9

X 9

2

23)

2 +

1 3

1 2

x

+

3 –

1 4

: 11

5 – 7 4 6

:

–

5

– 14

3

2

24)

3 –

11 5

x

Respostas 1) 1 5 7) 4 1 7 2 2) 2 2 8) 1 3 3) 1 8 9) 21 9 2 4) Zero 10) 1/6 5) 4 4 11) 1 5 10 6) 3 1 12) 2 3 9

7 3

–

3 2

: 5 +

1 7

x

13) 9 2 14) 11 7 15) 39 86 16) 1 17) 2 1 11 18) 7 8

1 + 1 5 2

+

3 5

19) 1 35 20) 2 10 11 21) 1 1 14 22) 1 23) 2 9 24) 1 3

 PROBLEMAS COM NÚMEROS RACIONAIS

86

: 3

MATEMÁTICA O A O

Questões Comentadas 1) Se 2/3 de um muro custaram $ 48,00, pergunta-se qual o preço do muro todo? Raciocinando: Nestes problemas deve-se sempre encontrar em primeiro lugar a unidade em relação à qual o problema se identifica. Aqui a unidade é 1/3. Se: 2 $ 48,00 então: 1 $ 48, 00 : 2 $ 24,00. 3 3 Sabendo-se 1/3, saber-se-á o custo do muro todo que é representado por 3/3. Então: 3 3 x $ 24,00 = $ 72,00 3

2) Um auto percorre 2/9 de uma estrada e depois percorre mais 1/3 da mesma e desse comprimento da estrada? Raciocinando:

modo rodou 300 km. Qual o

Devem ser somados os percursos que o auto realizou, ou seja: 2 + 1 = 2 + 3 = 5 9 3 9 9 9 Percorreu o carro 5/9 e desse modo 5/9 300 km. Donde: 1/9 E: 9/9

300km : 5 = 60 km. 9 x 60 km = 540 km. Logo: a entrada toda tem 540km.

3) Um ciclista percorre 1/4 do percurso entre duas cidades e depois mais 3/8 dessa estrada e ainda faltam 7 200 m para percorrer. Qual a distância entre as cidades? Raciocínio: Somamos inicialmente os percursos realizados: 1 + 3 = 2 + 3 = 5 4 8 8 8 8 Logo, faltam 3/8 para percorrer. Ainda faltam 7200 metros a percorrer. Teremos então: 3/8 7200 m 1/8 7200 ÷ 3 = 2400m E: 8/8 8 x 2400m = 19 200m. Portanto: A estrada toda tem 19 200 metros.

87


4) Uma senhora vai à feira e gasta, em frutas, 2/9 do que tem na bolsa. Gasta depois 3/7 do resto em verduras e ainda lhe sobram $ 8,00. Quanto levava ao sair de casa? Podemos usar o seguinte raciocínio: Se uma pessoa gasta 2/9 do que tem, então fica com 7/9. De fato, representado-se por 9/9 a quantia toda, tem-se: 9 – 2 = 7 7 = 1º resto 9 9 9 9 Em segundo lugar, gasta 3/7 deste primeiro resto, ou seja: 3 de 7 = 3 x 7 = 1 7 9 7 9 3 Ora, quem tinha 7/9 e gasta 1/3 fica com: 7 – 1 = 7 – 3 = 4 4 = 2º resto 9 3 9 9 9 9 Estes 4/9, que representam o 2º resto, correspondem ao que sobrou em dinheiro. E dessa forma: 4/9 $ 8,00 1/9 $ 8,00 : 4 = $ 2,00 9/9 $ 9 x $ 2,00 = $ 18,00 Portanto : A senhora levava $ 18,00 ao sair de casa.



EXERCÍCIO – PROBLEMAS COM NÚMEROS RACIONAIS

1)

Eu tenho hoje $ 72,00. Minha irmã Lúcia tem 2/3 do que possuo. Quanto ela tem?

2)

Um automóvel percorreu 3/5 de uma estrada toda que mede 120 km. Quanto percorreu?

3)

Os 3/4 do que eu possuo eqüivalem a $ 180,00. Quanto eu tenho?

4)

Em virtude da paralisação da energia elétrica, uma fábrica de automóveis que trabalha 9 horas por dia, trabalhou apenas 7/9 do tempo habitual. Qual foi esse tempo?

5)

Marcelo estuda para os exames durante 4 horas por dia. Hoje esteve ocupado com sua mãe e por esse motivo estudou apenas 1/8 do tempo habitual. Quantos minutos estudou?

88

MATEMÁTICA O A O

6)

Se Maria Cândida estudar 3 horas por dia ela terá feito apenas 3/4 de sua obrigação diária. Quanto tempo levará para fazer a obrigação?

7) Joaquim e Geraldino são pedreiros que constroem um muro. Joaquim já fez 3/7 do muro e Geraldino 2/7 apenas. O muro todo deverá medir 84 metros. Pergunta-se: a) Quantos metros cada um já construiu?b)Quantos metros faltam ainda para construir? 8)

Eu moro numa rua que mede 3 240 metros. O número de minha casa é os 2/3 da metragem da rua. Qual é o número de minha casa?

9)

Eu possuo hoje $ 72,00 e essa quantia é os 3/4 do que eu possuía ontem. Quanto eu tinha ontem?

10) Salim herdou 5/8 de uma herança e depois deu para uma instituição de caridade 3/8 do que recebeu. Ficou ainda com a importância de $2 400,00. Qual foi a herança de Salim?

11) O numerador da fração 2/9 foi duplicado. Pergunta-se: a)A fração aumentou ou diminuiu? b)De quanto foi o acréscimo ou decréscimo?.

12) O numerador da fração 9/15 foi dividido por 3. Pergunta-se: a) A fração aumentou ou diminuiu? b) De quanto foi o decréscimo ou acréscimo?

13) O denominador da fração 3/8 foi dividido por 2. Pergunta-se: a) A fração aumentou ou diminuiu? b) Quanto aumentou ou quanto diminuiu?

14) Duplicou-se o numerador da fração 3/4 e depois dividiu-se o denominador da mesma por 2. Pergunta-se: a) A fração final ficou aumentada ou diminuída? b) Se aumentou ou diminuiu, diga quantas vezes ela ficou aumentada ou diminuída. 15) O numerador da fração 18/21 foi dividido por 3 e do mesmo modo, o denominador foi também dividido por 3. Pergunta-se: o que aconteceu com o valor da fração? 16) Num dia, um tear tece 1/4 de uma encomenda de pano. No dia seguinte, tece mais 3/8 da encomenda. Desse modo, o teor completou 540 metros. Qual a encomenda toda? 17) Uma estante tem quatro prateleiras. A primeira mede 1/8 da altura da estante. A segunda mede 1/4 da altura da estante. Que fração da estante medem as outras duas prateleira juntas?

89


18) Conceição nadou os 2/3 do comprimento de uma piscina e seu irmão nadou 3/4 da mesma. Que fração da piscina nadaram juntos? Quanto isso representa, em metros, se o comprimento da piscina é igual a 60 m? 19) O ingresso de um cinema custa 1/8 da minha mesada. Fui três vezes ao cinema e gastei $ 8,40. Qual a minha mesada? 20) Maria Cândida diz a Luis: "Eu tenho hoje 2/3 de sua idade e juntos temos 30 anos. Quais as nossas idades". 21) Maria Clara diz a Conceição: "Nosso primo Marcelo tem 3/5 da minha idade e juntos temos 16 nos". Quais são as idades de Maria Clara e Marcelo? 22) Marcos Aurélio depositou uma certa quantia num banco. Quando retirou $ 120,00 do banco, verificou que essa importância correspondia a 5/7 do que havia depositado. Qual foi o depósito inicial? 23) Uma peça de fazenda custou $ 540,00. Determinar qual o preço de 5/6 da peça. 24) Uma peça de 18 metros de brim custou $ 216,00. Dar o preço dos 3/4 de um metro dessa fazenda. 25) 5/8 da área de um terreno foram ocupados com uma construção que usou 400 metros quadrados do mesmo. Pergunta-se: Que área tinha o terreno? 26) Meu terreno e do meu vizinho têm juntos 3 200 metros quadrados. O terreno de meu vizinho é 9/7 do meu. Dar a área de cada um. 27) Luís e Osvaldo obtiveram notas em matemática que, somadas, resultaram 16. A nota de Luís é 7/9 da nota de Osvaldo. Quanto obteve cada um? 28) Os 5/8 dos 4/6 de minha mesada são $ 60,00. Qual a minha mesada? 29) Gastei 2/7 do que tinha na carteira em livros, e 1/3 em roupas. Tenho ainda $ 72,00. Quanto possuía na carteira antes das compras? 30) Uma senhora faz compras. Gasta 3/10 do que levava em tecidos e 2/7 do que lhe restara em sapatos e desse modo gastou ao todo $ 253,75. Quanto levava em dinheiro? 31) Um auto percorre inicialmente os 3/11 de uma estrada. Numa segunda etapa roda 3/8 do que resta do percurso. Após essa 2ª

90

MATEMÁTICA O A O

etapa ainda lhe faltam 340 km para percorrer. Qual a medida da estrada toda? 32) A diferença das quantias de Nair e Lúcia é $ 68,00. Nair possui os 15/13 do que possui Lúcia. Quanto tem cada uma?

33) Um trem percorre 4/13 de seu percurso e depois roda mais 112 km e assim chega aos 2/3 de seu caminho. Pergunta-se:a) Quanto percorreu até esse momento? b) Quanto mede o seu percurso todo? 34) Numa indústria 2/3 dos trabalhadores são homens e 1/4 são mulheres. Os restantes 30 são meninos. Quantos são os homens e as mulheres? 35) Numa sala de aula 3/8 das carteiras individuais estão ocupados por rapazes, 1/2 por moças e ainda existem 6 carteiras vazias. Qual a capacidade dessa classe? 36) Um pintor pode pintar 3/8 de uma parede em uma jornada de 9 horas de trabalho. Quanto tempo levará para pintar duas paredes iguais a essa? 37) Uma sociedade é formada por 3 pessoas. A primeira entra com 2/5 do capital; a segunda com 1/3 do capital; e a terceira com $12.800,00. Qual a parte de cada sócio e qual o capital da sociedade?

38) Se de 5

2

1 kg de uma substância custam $ 14,00, qual o preço

3 3 kg da mesma substância? 5

39) Um pai repartiu $ 20.000,00 a seus três filhos. Ao primeiro deu 5/3 do que deu ao segundo e a este 3/2 do que deu ao terceiro. Quanto recebeu cada um? 40) Uma cápsula espacial é lançada para ser colocada em órbita após percorrer determinada distância. Aos 3/8 desse percurso o engenho solta seu primeiro foguete propulsor. Aos 2/5 do resto a percorrer o engenho abandona o segundo estágio propulsor e nesse instante ainda restam para alcançar a órbita 153 km. Pergunta-se: a que altura a cápsula entrou em órbita?.

91


Respostas 1)

$ 48,00

2) 3) 4) 5) 6) 7)

72 km

8) 9) 10) 11)

21) Maria Clara: 10 anos Marcelo: 6 anos

$ 240,00

22) $ 168,00

7 horas

23) $ 450,00

30 min

24) $

4h

25) 640 m2

a) Joaquim: 36m ---Geraldino: 24m b) 24 m

26) Meu: 1 400m2 do vizinho: 1 800m2

2 160

27) Luís: 7

$ 96,00

9,00

Osvaldo:9

$ 9.600,00

28) $ 144,00

a) aumentou b) o acréscimo foi de 2/9

29) $ 189,00 30) $ 507,50

12) a) diminuiu b) o decréscimo foi de 6 = 2 15 5

13) a) aumentou

33) a) 208 km b) 312 km

b) o aumento foi de 3/8

14) a) aumentou

34) Homens: 240

b) a fração ficou aumentada 2 vezes

15) O valor da fração não se alterou. 16) 864 m 17) 5 8

18) 17 12 ;

31) $ 748 km 32) Nair: $ 510,00 Lúcia: $ 442,00

Mulheres: 90 35) 48 alunos 36) 48 horas 37) 1ª pessoa - $ 19.200,00 2ª pessoa- $ 16.000,00 Total: $ 48.000,00

85 m

38) $ 33,60

19) $ 22,40 20) $ Maria Cândida: 12 anos

39) O 1º - $ 10.000,00 O 2º - $ 6.000,00 O 3º - $ 4.000,00 40) 408 km

Luís: 18 anos

92

MATEMÁTICA O A O

 QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 1)(BB) Qual é o número cuja oitava parte multiplicada por 12 e dividida po 5/6 resulta 144. a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90 2)(TTN)Os 5 de 2 do preço de uma geladeira equivalem a 2 de 3 3 3 5 2 do preço de um freezer que custa R$ 2.400,00. Então o preço da geladeira, em reais, é: a) 2.000

b) 1.296

c) 1.440

d) 2.160

e) 1.300

3)(BB) Alberto comprou 1/6 de certo terreno, Bento e Carlos compraram, respectivamente, 2/5 e 2/15 do resto. Calcular a área primitiva desse terreno, sabendo que dele sobraram 1.470m 2, , após a última venda. a) 3.870m2 b) 3.087m2

c) 3.708m2

d) 3.780m2 e) 3.807m2

4)(CEF) Retirei, inicialmente, uma quinta parte de minha conta bancária. Depois, saquei uma quarta parte do resto e ainda sobraram R$ 7.500,00. Qual era, em reais, o saldo inicial? a) 12.750

b) 12.500

c) 12.250

d) 10.200

e) 10.500

5)(UNIFOR) Se o triplo de um número é 18 , então: 5 a) seu quíntuplo é 18 d) sua metade é 2 b) seu quadruplo é 4 5 c) seu dobro é 12 e) sua terça parte é 1 5 5 6)(UECE) Considere a expressão algébrica

x+ 1 x –1

1 seu valor numérico para x =

a) 5 –1

2

1

,x ≠ 0 e x ≠ 1. x+1 1–x

é:

5 b) negativo

c) 2,5 93

d) 5,2


7)(UFC) Três irmãos, Maria, José e Pedro receberam, respectivamente, 1/2, 1/3, e 1/9 de uma determinada herança. A fração desta herança que não foi distribuída entres estes irmãos foi de: a) 2/3 b) 8/9 c) 1/2 d) 1/18 e) 5/6 1

8)(UFC) Se

=

1 + 1 3 a) 15

p

,

q

onde p e q são números inteiros primos entre si, determine p + q.

4 b) 16

c) 17

d) 18

e)19

9)(UFC) Determine o valor de S, onde:

() ( ) 2

1

S= –8 a) 36

b) 35

2

1

x

1–

c) 34

2

– 4 + 5 d) 33

e) 32

10)(TRT) O primeiro andar de um prédio vai ser reformado e os funcionários que lá trabalham serão removidos. Se 1 do total dos funcionários deverão ir para o segundo andar, 3 2 do total para o terceiro andar e os 28 restantes para o quarto 5 andar, o número de funcionários que serão removidos é: a) 50 b) 84 c) 105 d) 120 e) 150 11)(TJ) Rita sai de casa para fazer compras com certa quantia. Na primeira loja gastou 2 do que possuía; na segunda loja gastou 3 R$ 30; na terceira R$ 10,00 e 2 do que restou. 5 Sabendo-se que no final das compras ficou com R$ 60,00, ao sair de casa, Rita tinha a importância de: 94

MATEMÁTICA O A O

a) R$ 420,00 b) R$ 300,00

c) R$ 360,00 d)R$ 330,00

e)R$ 450,00

12)(TRT) Uma pessoa saiu de casa para o trabalho decorridos

5

de

18 um dia e retornou à sua casa decorridos 13 do mesmo dia. 16 Permaneceu fora de casa durante um período de: a) 14 horas e 10 minutos. b) 13 horas e 50 minutos. c) 13 horas e 30 minutos.

d) 13 horas e 10 minutos e) 12 horas e 50 minutos.

13)(TTN) Que horas são agora, se 1 do tempo que resta do dia é igual ao tempo já decorrido? 4 a) 8 horas b) 4 horas c) 4 horas e 48 minutos

d) 6 horas e 38 minutos e) 5 horas e 15 minutos

Respostas

01. D 02. B 03. D

04. B 05. C 06. C

07. D 08. E 09. A

95

10. C 11. A 12. E

13.C


 NÚMEROS DECIMAIS 

Representação Decimal Os números fracionários

3 10

, 17 , 121 cujos denominadores são 100

1000

potências de 10 são chamados frações decimais. Como já se viu: 3 representam 3 partes de um inteiro que se dividiu 10 em 10 partes iguais; 3 representam 3 partes de um inteiro que se dividiu 100 em 100 partes iguais ; Assim: 3 e 0,3 são numerais do mesmo número; e 10 3 e 0,03 são também numerais do mesmo 100 número. 0,3 e 0,03 são chamados numerais decimais. Algumas vezes utiliza-se simplesmente a forma números decimais. 

Leitura dos Números Decimais As ordens decimais recebem nomes especiais. O esquema seguinte dá uma idéia: Unidade

4 8 3 1, 4

2 5

Convém, então, observar os nomes que recebem as diferentes ordens decimais menores que a unidade. 0,1 ----- um décimo

96

MATEMÁTICA O A O

0,01 ----- um centésimo 0,001 ----- um milésimo 0,0001 ----- um décimo de milésimo 0,00001 ----- um centésimo milésimo 0,000001 ----- um milionésimo 0,0000001 ----- um décimo milionésimo

-------------------------------------------------------0,000000001 ----- um bilionésimo

Para se ler, por exemplo: 2,437, diz-se: "2 inteiros e 437 milésimos". Ou: 2,437 são: "2 inteiros, 4 décimos, 3 centésimos e 7 milésimos". Transformação de Fração Decimal em Número Decimal o a o. Regra: Para se transformar uma fração decimal, em número decimal, basta dar ao numerador tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador. Exemplos: Transformar: 1)

31

= 0,31

3)

100 2)

= 4,7

10

5

= 0,005

1000 

47

4)

1231

= 12,31

100

Transformação de Números Decimais em Frações Decimais o a o. Regra:

Todo número decimal é igual a uma fração, onde o numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é a unidade, seguida de tantos zeros quantos forem as ordens decimais do número dado. Exemplos:

97


Transformar, em frações decimais, e simplificar quando for o caso: 15 3 1) 0,015 = = 1000 200

2) 1,25 =

125

5

=

100



= 1

4

1 4

Propriedades de Números Decimais. 1ª . Propriedade: Um número decimal não se altera quando se acrescenta um ou mais zeros à direita de sua parte decimal.

Ora, pela propriedade fundamental das frações, podemos multiplicar os termos de 3 por 10, por 100, por 1000 etc., que 10 sempre obteremos frações equivalentes a 3 assim: 10 3 = 30 = 300 = 3000 10 100 1000 10 000 Ou, na forma de números decimais: 0,3 = 0,30 = 300 = 3 000 o que prova a propriedade 2ª. Propriedade: Para se multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000... etc., basta afastar a vírgula para a direita uma, duas, três...etc. casas decimais. Exemplos:

1,24 x 10 = 12,4 1,24 x 100 = 124 1,24 x 1000 = 1 240

3ª Propriedade: 98

MATEMÁTICA O A O

Para se dividir um número decimal por 10, 100, 1000 etc., basta afastar a vírgula para a esquerda uma, duas, três... etc. casas decimais. Exemplos: 387,2 : 10 = 38,72 387,2 : 100 = 3,872 387,2 : 1000 = 0,3872

 Adição de Decimais - o a o Efetuar a soma: 4,2 + 15,27 + 0,375. Escrevendo-os sob a forma de frações, teríamos 42 10

+

1527 100

+

375 1000

Ou, reduzindo-as ao mesmo denominador comum: 4200 + 15 270 + 375 + 19845 = 19,845 1000 1000 1000 1000 Evidentemente não se fará a transformação em frações todas as vezes. O exemplo acima serve para justificar os seguintes fatos tradicionais: 1) Igualam-se as casas decimais – o que eqüivale a homogeneizar as frações. 2) Coloca-se vírgula debaixo de vírgula – o que eqüivale a somar apenas as unidades de uma mesma ordem entre si. Na prática faremos: 4,2 + 15,27 0,375 Igualando-se as "casas" (ordens) decimais Que lê-se: "19 inteiros e 845 milésimos 

Subtração de Decimais - o a o Segundo as considerações anteriores, efetuar: 14,25 – 8,075 Igualando-se as ordens decimais, vem: 14,250 99

4,200 15,270 + 0,375 19,845


8,075 – 6,175  Multiplicação de Decimais - o a o Seja o produto: 1,3 x 42,71. Colocando-se (para fins de justificar as conclusões ) sob a forma de fração decimal,vem: 13 x 4271 = 10 100

55 523 = 55,523. 1000

Conclui-se pois: Multiplicam-se os números decimais como se fossem números Inteiros e dá-se ao produto tantas casas decimais quantas unidades somarem as casas decimais do multiplicando e do multiplicador. Exemplo:

8,45 1,5 x 4225 845 12,675 Que se lê: "12 inteiros e 675 milésimos".

 Divisão de Decimais – o a o Estudaremos os seguintes casos: 1) Divisão de inteiro por decimal Seja: 5 : 0,25 Cortam-se as vírgulas Justificativa: Eliminar as vírgulas, após o acerto das ordens, significa multiplicar dividendo e divisor por 100 ( no caso presente). O quociente não se altera. Resulta, então: 500 25 000 20 Logo: 5 : 0,25 = 20 2) Divisão de decimal por inteiro Dividir: 0,25 : 5 Acertados as ordens decimais, vem: 0,25 5,00 100

MATEMÁTICA O A O

Suprimidas as vírgulas, fica: 25 500 Acrescenta-se ao dividendo quantos zeros forem necessários para tornar a divisão possível. O mesmo número de zeros colocar-se-á no quociente, com a vírgula após o primeiro zero. 2 500 500 0,0 A divisão se processa normalmente como divisão de inteiros a partir desse instante. 25 5 00 0,05 Portanto: 

0,25 : 5 = 0,05

Quocientes Aproximados.

Exemplos:

1

1) Dividir 31 por 7 com erro a menos de 100 Faz-se o produto do dividendo por 100:

.

3100 7 30 442 20 6 Dá-se duas ordens decimais ao quociente (4,42). Logo:

31:7 = 4,42 a menos de 1 100

2) Dividir 2,5 por 41 a menos de

1 . 1000

Multiplica-se o dividendo por 1000. Dividir-se-á o quociente por 1000 ao final. 2,5 x 1000 = 2500 2500 41 040 60 (60 : 1000 = 0,060). Dividindo-se o quociente por 1000, o resultado é: 2,5 : 41 = 0,060, a menos de 1 1000  CONVERSÃO DE FRAÇÕES ORDINÁRIAS EM NÚMEROS DECIMAIS ----DIZIMAS PERÍODICAS ----101


Sejam as frações seguintes, que desejamos transformar em números decimais: I)

3 ; 4

II)

4 ; 11

III)

5. 6

Como uma fração indica a divisão do numerador pelo denominador, vem: I) 3 4

30 4 20 0,75 0

3 = 0,75 é uma decimal exata. 4

II) 4 11

40 11 70 0,3636... 40 70 4.... ∴ 4 = 0,363636... é uma decimal não exata.

Mais precisamente: é uma dízima periódica simples. Diz-se que o período é 36. Isto é: o número, formado por mais de um algarismo, que se repete na parte decimal, é chamado período. A dízima periódica é simples quando o período tem início logo após a parte inteira. Exemplos:

a) 0,414141... = 0,41 dízima periódica simples; b) 2, 333... = 2,3 dízima periódica simples.

III)



5 6

50 6 20 0,8333... 20 20 2...

5 6

= 0,8333...= 0,83 é uma dízima periódica composta

Frações Geratrizes das Dízimas Periódicas

As geratrizes se determinam segundo as regras seguintes:

102

MATEMÁTICA O A O

A fração geratriz, de uma dízima periódica simples, é uma fração que tem como numerador o período e como denominador tantos noves quantos algarismos tiver esse período. Exemplos: Achar as geratrizes das seguintes dízimas: 1) 0,3 =

3

=

9 2) 0,36 =

1

;

3) 0,423 =

3 36 99

=

423 999

4

4) 2,5 = 2

11

47

=

111

5 9

A geratriz, de uma dízima periódica composta, é uma fração, onde o numerador é formado pela parte não periódica, seguida do período, menos a parte não periódica. O denominador possui tantos noves quantos são os algarismos do período, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Exemplos: Determinar as geratrizes de: 1)

2,4222... = 2,42 = 2

42 – 4

= 2–

90 2) 5,32121.... = 5,321 = 5

321 – 3 990

38

= 2

90 = 5

318 990

19 ; 45 53

= 5

165

EXERCÍCIOS – NÚMEROS DECIMAIS 1) Transformar, em números decimais, as seguintes frações decimais: a) 3 d) 51 g) 137 10 100 1000 b) 1 e) 71 h) 15 431 1000 10000 100 c) 5731 f) 5731 i) 5731 10 100 1000 2) Efetuar as seguintes operações, apenas com a mudança da vírgula: 103


a) 12,4x100

f) 5,05 x 105

b) 137,421 x 1000

g) 0,0003 x (102)3

k) 345,21 : 1000 l) 5000,0001:1000

c) 0,0001 x 10000

h) 0,0000001x (10 )

m) 72 : 102

d) 0,0005 x 104

i) 345,21: 10

n) 540,25 : 10 3

e) 103 x 12,1

j) 345,21 : 100

o) 853,2314 : (10 2)3 p) 1672,435 : (104)2

4 2

3) Calcular os seguintes quocientes aproximados por falta a menos de 1 : 100 a) 7 : 11 d) 0,005 : 15 g) 0,0003 : 0,00035 b) 15,2 : 7,1 e) 35,2 : 0,08 h) 7,42 : 2,1 c) 16,42 : 5 f) 123,4 : 2,45 4) Converter em números decimais as seguintes frações ordinárias: a) 2 d) 11 g) 4 i) 1 5 18 11 125 b) 5 e) 3 h) 4 k) 213 6 8 33 200 c) 7 f) 6 i) 4 l) 134 4 7 99 135 5) Obter as frações geratrizes das seguintes dízimas periódicas: a) 0,414141..... d) 0,0102 g) 0,4215 i) 1,8 b) 2,54 e) 2,22 h) 0,0001 j) 3,40501 c) 5,4231 f) 0,12 6) Efetuar as seguintes expressões: a) 53,17 + 6,0008 + 2,752 + 0,2 b) 35,8 – (11,111 + 0,0005) + 0,1 c) 3,7 x 0,005 + 7,506 – 7,384 x 0,92 d) 5,022 : 2,79 – 0,1 x [ ( 17,83 + 32,17) x 0,05 + 15,5]

(

e) 0,1 + 1 + 3

) ( ( ( )

2 +

f) ( 5,7 – 5,6 ) +

1

–

15

34

15

+

1

3

–

2

)

+ 0,4 – 0,12

25

0,3 –

1 18

104

)

+ 0,5

–

17 50

MATEMÁTICA O A O

g) (3,8 – 3,7)+

1

4 + 2 + 3 15 5

h) 8,1 x 0,2 +

(

i)

( )

+ 3

4,41 – 1,93 +

5

7

–

(

+

33

3 7

(

)

29 +

25 7

+

– 0,09

11

)

6 x

18

4

4

3,47 – 2 +

10

3,7 + 2,5 –

9

j)

3

+

)

50

– 0,01

11

(

)

7

+ 1,2 – 0,3 + 0,41 –

330

 QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 1.

(BB) Valor de x nas expressões x = (4,8 – 1,02) ÷0,4 é: a) 2,25

2.

b) 4,15

c) 5,75

d) 9,45

(

a) 0,025

b) 0,11

(

(TRE) Efetuando-se a) 25 8

4.

)

(TRT) Simplificando-se a expressão: 0,015 + 0,01 ÷ 0,5 obtém-se:

3.

e) 9,7

b) 15 4

(PRF) O valor de a) 0,75

c) 0,25

0,0003 0,002 0,01

d) 1,1

)

1 – 0,025 5

e) 2,5

÷ 0,04 obtém-se

c) 35 8

d) 25 4

e) 35 4

1,5 – 0,01 é de: 0,12 0,2

b) 1,245

c) 1,25 d) 12,45

e) 12,5

( ) ( 2

5.

(TRT) Resolver a seguinte expressão:

a) 3 b) 4 6.

c) 4 11

)

2 – 1 +1 ÷ 3 + 1 – 1 6 2 4 2

3

d) 5 3

e) 3 16

(CEF) O valor da expressão x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 , para x = 1/2 e y = – 1/2 é: a) –1

b) – 1/5

c) 0 105

d) 1/8

e) 1

)


7.

(TRT) Na expressão abaixo, o traço horizontal sobre o número indica o período da dízima periódica: 0,222. : 0,0404..– 2,166..+ 0,4166. x 0,2666... resolvendo essa expressão, obtém-se: a) 3 4/9 b) 29/9

8.

d) 3,2

e) 0,1666...

(DNER) A dízima periódica 0,1454545... é igual a: a) 5 11

9.

c) 0,84

b) 8 55

c) 29 180

d)

29 198

e) 145 999

(BNB) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima periódica composta. Se a geratriz desta dízima for escrita sob a forma irredutível m / n, então m + n é igual a: a) 88

b) 89

c) 90

10. (TJ) O valor da expressão 0,6 x 1 + 4 3 5 a) 54

b)53

d) 91

+

0,333.... x 3 2 – 1,98

c)52

e) 92

+

d) 51

1 é: e)50

11. (PRF) 0 1994º algarismo, após a virgula, na representação decimal de 12/37 é: a) 1

b) 2

c) 3

d)4

e)5

12. (UECE) Na seqüência SPMSQSPMSQSP.... que letra ocupa a 90ª posição? a) S

b) P

c) M

d) Q

13. (UECE) Se contarmos 2000 dias a partir de amanhã (Terçafeira), qual o dia da semana que encontramos? a) Quarta-feira b) Quinta-feira c)Sexta-feira

d) Sábado

x+1 14. (UECE) Considere a expressão algébrica x - 1 1–

1 ,x≠0 x+1

1-x 106

MATEMÁTICA O A O

e x ≠ 1 seu valor numérico para x = 2 5 a) 5-1 b) negativo c) 2,5

é: d) 5,2

15. (UNIFOR) Na "Notação científica, os números são escritos como produto de um número x, por uma potência de 10. Por exemplo, 1000 = 1 x 103 e 0,02 = 2 x 10-2. O valor de 0,00015 x 24000 x 0,0003 é: a) 1,08 x 10-3 b) 3,6 x 10-2 c) 4,5 x 10-7 d)9,08 x 10-4 e) 3,08 x 10-2

Respostas – Questões de Concursos e Vestibulares 1) 2) 3)

D D C

4) D 5) A 6) E

7) A 8) B 9) B

10) C 11) B 12) D

13) D 14) C 15) A

Respostas – Exercícios Números Decimais 1) a) 0,3

3) a) 0,63

5) a) 41

6) a) 62,1228

b) 0,001

b) 2,14

99

b) 24,7885

c) 573,1

c) 3,28

d) 0,51

d) 0,00

e) 0,0071

e) 440

f) 57,31

f) 50,36

g) 0,137

g) 0,85

h) 154,31

h) 3,53

b) 229 90

d) zero

c) 54 177

e) 2

9 990

f)1 43

d) 101 9 900

i) 5,731

2) a) 1240

c) 0,73122

45 g) 3

e) 220 4) a) 0,4

h) 10

99 f)

i)

b) 137421

b) 0,83

c) 1

c) 1,75

99

d) 5

d) 0,61

g) 4173

e) 12100

e) 0,375

f) 505000

f) 0,857142

g) 300

g) 0,36

h) 10

h) 0,12

12

9900 h)

1 9000

i) 17

107

1

7 33

j)

1

3 11


i) 34,521

i) 0,04

j) 3,4521

j) 0,008

k) 0,34521

k) 1,065

l) 5,0000001

l) 0, 9925

9 j) 340 161 99 900

m)0,72 n) 0,54025 o) 0,0008532314 p) 0,00001672435

 SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 

Definição Chama-se metro linear ao comprimento equivalente à fração1/10 000 000 da distância que vai de um polo até a linha do equador, medida sobre um meridiano

Polo

Esse comprimento, após calculado , encontrase assinalado sobre uma barra de metal nobre (platina e irídio ) que está depositado no Equador Museu Internacional de pesos e medidas em Sévres, na França. O Museu Nacional, no Estado da Guanabara, tem uma cópia do metro padrão.

 Múltiplos e Submúltiplos do Metro Linear Os múltiplos e submúltiplos do Sistema Métrico Decimal têm seus nomes formados com os seguintes prefixos de origem grega: quilo – que significa mil vezes hecto – que significa cem vezes deca – que significa dez vezes deci – que significa décima parte centi – que significa centésima parte mili – que significa milésima parte Desse modo temos o seguinte quadro: Múltiplos

Unidade

quilômetro hectômetro decâmetro metro

108

Submúltiplo decímetro centímetro milímetro

MATEMÁTICA O A O

1 000m km

100m

10m

1m

0,1m

0,01m

0,001m

hm

dam

m

dm

cm

mm

Exemplos: 1) 4,52 km, lê-se sob uma das seguintes formas: "4 quilômetros e 52 centésimos de quilômetros", ou: "4 quilômetros e 52 decâmetros". 2) 123,425 m "123 metros e 425 milésimos do metro", ou: "123 metros e 425 mlímetros".

 Transformações de Unidades – o a o As mudanças de unidades do sistema linear de medidas (medidas de comprimento) fazem-se com base no fato seguinte: Cada unidade de comprimento é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Assim, para se ar de km para hm multiplica-se por 10 e para ar de dm para m deve-se dividir por 10. Exemplos: 1) 0,02 hm em metros

0,02hm = (0,02 x 100) m = 2m

2) 54,36 dm em dam

54,36dm = (54,36 ÷ 100) dam = 0,5436dam

3) 0,425 km em cm

0,425 km = (0,425 x 100 000) cm = 42 500 cm

Na prática, cada mudança de vírgula para a direita ( ou multiplicação por 10) transforma uma unidade na imediatamente inferior a cada mudança da vírgula para a esquerda ( ou divisão por 10) transforma uma unidade na imediatamente superior. 

Perímetro de um Polígono

1) O perímetro de um polígono é a soma dos comprimentos de seus lados. D No polígono ABCDE o perímetro é a soma das medidas dos lados,ou seja: C med AB + med BC + med CD+ med DE + med EA. E Representando-se o perímetro por 2P teríamos: 2P=med AB+med BC+ med CD + med DE + med EA

A

B 109


2) Num retângulo, como o da figura seguinte, o perímetro 2P fica: W Z med base = b med altura = h h

2P = 2b + 2h O que significa: O Perímetro do retângulo é igual a duas vezes Y a medida da base mais duas vezes a medida da altura.

X b

3) No quadrado o perímetro é quatro vezes o lado. D C OU 2P = 4 . L A

B

4) No triângulo eqüilátero o perímetro é três vezes a medida do lado. A OU 2P = 3 . L B C 5) Na circunferência o perímetro pode ser calculado fazendo-se o seguinte: Chamando-se o comprimento da circunferência r de C e o seu diâmetro de 2 r (dois raios = 1 diâmetro), teremos: C C = 3,14 2r E,na definição de divisão exata, vem: C = 2 x 3,14 x r Costuma-se representar o número 3.14 pela letra π (pi) do alfabeto grego. Assim: C=2xπxr Exemplos: 110

MATEMÁTICA O A O

1) Calcular qual a medida do contorno de um aquário de forma circular, sabendo que o diâmetro do mesmo é 6 metros. Temos: o raio vale 3 metros. Logo: C = 2 x π x r Donde:

ou: C = 2 x 3,14 x 3m

C = 18,84m

2) A medida que vai do centro da roda de minha bicicleta até a face externa do pneu é 28 cm. Quando a roda dá uma volta, quantos centímetro percorri? Sendo r = 28 cm, vem: C = 2 x π x r C = 2 x 3,14 x 28 C = 175,84 cm

1,7584 metros.

 EXERCÍCIOS – SISTEMA MÉTRICO DECIMAL - I : I) Expressar em metros as seguintes grandezas: 1) 0,005 hm

4) 1/4 hm

1

7) 1

dm

4 2) 1,2 km

5) 5/6 km

3

8) 3

hm

8 3) 134,2 dm

6) 3/8 dam

1

9) 4

cm

6 II) Expressar em dm os seguintes resultados: 1) 2,5 m + (5,4 hm – 48 dam) 2) 5,28 dm + [ 85 dam – (4,5 km – 42 hm)] 3) 4,2 km – [( 65 dm + 8,5 m) + ( 25 dam – 240 m)] 4) 0,08 hm + [ 0,05 km + (120 hm – 11,2 km)] 5) 120 hm – [ 10 dam – (120 m – 1120 dm)] III) Resolver os problemas: 1) Calcular o perímetro de um polígono de 5 lados, onde o menor lado vale 4dm e os outros são números consecutivos a este. D E

C 111


A B 2) Determinar o perímetro de um retângulo, onde um dos lados vale 12 cm e o outro é os 5/4 do primeiro. . h b

3) O perímetro de um retângulo é 60 cm e a base é o dobro da altura. Calcular base e altura. h b 4) Um triângulo é isósceles (tem dois lados iguais). A soma da base (lado desigual) com um dos lados é 28 cm. Calcular o perímetro sabendo que o lado é o triplo da base. Z L L X b Y 5) Num triângulo retângulo, os catetos (lados que formam o ângulo reto) somam 16 cm e um deles é 5/3 do outro. Calcular esses catetos. C x y A

z

B

6) O comprimento de uma circunferência é 18,84 cm. Calcular o raio da mesma . r 112

MATEMÁTICA O A O

7) Calcular o comprimento de uma circunferência cujo raio vale 10cm. Respostas I) II) III) 1) 0,5 m 1) 625 dm 1) 30 dm 2)1200 m 2) 5 505,28 dm 2) 54 cm 3)13,42 m 3) 41750 dm 3) b = 20 cm; h= 10 cm 4) 25 m 4) 8580 dm 4) 49 cm 5) 833,3 m 5) 119080dm 5) b= 6cm ; c = 10cm 6) 3,75 m 6) r = 3 cm0,125 m7) 62,8 7) 337,5 m 7) 62,8 8) 0,0416 m



Superfície Da Área

A Idéia de superfície é conhecida. É uma noção que se diz intuitiva porque a conhecemos sem necessidade de defini-la. Assim, a superfície da mesa, do assoalho do vidro, da janela, são superfícies planas. A superfície de uma bola de futebol é esférica. No momento, vamos nos preocupar com as superfícies planas. 

Metro Quadrado D

C

Chama-se metro quadrado ao quadrado que tem um metro de lado

1m

A 

1m

B

Múltiplos e Submúltiplos do Metro Quadrado Múltiplos

Unidade

Submúltiplo

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado 1 000 000

m km2

2

10 000

m

2

hm2

100

m

2

dam2

1

m

2

m2

113

0,01 2

m

dm2

0,0001 2

m

cm2

0,000 001

m2 mm2




Transformações de Unidades – o a o I)

Para se converter um número, medido numa unidade, para a unidade imediatamente inferior, deve-se multiplicá-lo por 100. II) Para se converter um número, medido numa unidade, para a unidade imediatamente superior, deve-se dividi-lo por 100.

Na prática afasta-se a vírgula para a direita (I) e para a esquerda (II) de duas em duas ordens decimais. Exemplos: Transformar: 1) 5,24 dam2 em dm2 5,24 dam2 = 52 400 dm2



2) 241,2 cm2 em dam2 241,2cm2 = 0,000 2412 dam2

Unidades Agrárias

A medida de terras se faz segundo unidades especiais ditas agrárias. A unidade fundamental é are. Chama-se are ao quadrado que tem 10 metros de lado . As unidades agrárias se resumem no seguinte quadro: UNIDADES AGRÁRIAS Hectare Are Centiare ha a ca 100 a 1a 0,01a 10.000 m2 100 m2 1 m2

EXERCÍCIOS –SISTEMA MÉTRICO DECIMAL – (II) I) Calcular, em metros quadrados, as seguintes grandezas: 1) 5/4 dam2

( (

2) 3)

1 1

) )

4) 3/5 cm2 2

( (

0,2 + 1

1

4

2

dm

6) 2

1

dam2

1

4

( ) (

) )

1 +1 mm 8) 0,125+ 8 2 4

+ 0,2 mm 5) 3

)

3

7) 1

1

2

2

+ 0,02 km

3

II) Efetuar as seguintes operações em dm2

114

9)

0,25+1

1

4

2

hm 2

km

)

MATEMÁTICA O A O

1) 2) 3) 4) 5)

2,25 km2 – ( 80 hm2 – 120 dm2 ) 0,4 hm2 – [ ( 5,2 dam2 – ( 8,6 m2 – 120 dm2)] 54,5 dm2 – [ 0,04 m2 – ( 12 dm2 – 1100 cm2)] 100 m2 + [ 120 dm2 – (12400 cm2 – 84 dm2)] (2,4 dam2 + 120 dm2) – ( 540 cm2 + 2,8 m2)

III)Transformar, em metros quadrados, as seguintes medidas agrárias:

1) 120 ha 2) 10 ha + 105 a 3) 1 ha + 1a + 1ca

4) 15,45a 5) 120 ca + 15,5a 6) 10 ha – 10a

Respostas I) 1) 125m2 7) 125 m2 II) 1) 145000120dm2 III) 1) 1200000 m2 2 2) 0,000 00153 m 8) 3 750m2 2) 348740 dm2 2) 110500 m2 3) 0,0145 m2 9) 1500000m2 3) 51,5 dm2 3) 10101 m2 4) 0,00006 m2 4) 10080 dm2 4) 1545 m2 5) 0,00001875 m2 5) 23834,6 dm2 5) 1670m2 6) 2 353333,333 m2 6) 99000 m2

 ÁREAS PLANAS 

Área do Retângulo

A área do retângulo é igual ao produto da base pela altura Representando-se a área por S, a medida da base por b e a medida da altura por h, vem: S=bxh Exemplo: O perímetro de um retângulo é 48 cm e a base é o triplo da altura. Determinar a área desse retângulo. Teremos a solução: h b=3xh

I) Cálculo da base e da altura Como o perímetro vale 48 cm então: base + altura = 24 cm Ou: b + h = 24 cm Mas a base vale 3 alturas, ou seja: b=3xh (que lê-se: "base é igual a 3 alturas)

Logo: 3h + h = 24 cm 4h = 24 cm. Mas como: b = 3 x h, então: b = 3 x 6 cm II) Cálculo da área: 115

Donde: 1h = 6 cm Logo: b = 18 cm


S=bxh Ou: S = 18 cm x 6 cm = 108 cm2 S = 108 cm 2 Área do Quadrado



O quadrado é um retângulo que tem lados de medidas iguais

L

S = L x L ou S = L2

Logo: L

Donde: A área do quadrado é igual ao quadrado dos lados

Exemplo: O perímetro de um quadrado mede 96 dm. Calcular a área. O lado é a quarta parte do perímetro, ou: L = 96 dm ÷ 4 = 24 dm S = L2 Donde: S = 24 dm x 24 dm ou: S = 576 dm2 Área do Paralelogramo

 D

C h

A área do paralelogramo é igual ao produto da base pela altura.

A

B E

Ou:

S=bxh

b

Área Do Triângulo D C A área do triângulo é igual ao semiproduto da base pela altura. h B Ou: S= bxh b 2



A C y

x

Caso Particular: Se o triângulo é retângulo, seus lados têm nomes próprios, conforme está assinalado na figura abaixo. Os lados que formam o ângulo reto são catetos e o terceiro lado chama-se hipotenusa. 116 Os catetos sãoindiferentemente base e altura do triângulo.

MATEMÁTICA O A O

A

B

z Assim:

A área do triângulo retângulo é igual ao semi-produto dos catetos.

Ou: S = y . z 2 Área do Trapézio



W

b´

X



Z

b

A área do trapézio é igual ao produto da semi-soma das bases, pela altura. Y

S = ( b + b´ ) x h 2

Àrea Do Losango

P

D

Q

A área do losango é igual ao semi-produto de suas diagonais. d A

C

S

B

Ou: S = d x d´ 2

R

d´ 

Àrea Do Circulo Seja um círculo de raio r, que vamos dividir no maior número possível de partes de medidas iguais. r

A área do círculo é igual ao produto do número π (3,14) pelo quadrado do raio. S=πr2

 Questões Comentadas 1) Calcular a área do losango onde a soma das diagonais vale 30 cm sendo uma o dobro da outra. 117


Raciocínio: Chamando as diagonais de d e d `, tem-se: d + d´ = 30 cm d Como d é o dobro de d´, vem: d = 2d´ Ou: 2d´+ d´ = 30 cm 3d´ = 30cm

d´

d´ = 10 cm e d = 20 cm Donde: S = d x d´ = 20 x 10 = 100 cm 2 ou 2 2

S = 100 cm2

2) Calcular a área de um trapézio onde as bases medem 8m e 10m e a altura é 2/5 da base maior. Pelos dados do problema temos: vem:

b = 10 m Como: h = 2 x 10m = 4m b´= 8 m 5 h = 2/5 b S = (b + b´) x h = (10 + 8) x 4 Ou: S = 36 m2 2 2

3) Calcular a área do círculo, sabendo-se que o comprimento é 18,84 dm. Raciocínio: Como temos: C = 18,84 dm 2 π r = 18,84 dm C=2πr Ou: 6,28 r = 18,84dm dm r = 18,84 dm ÷ 6,28 r = 3dm Calculando-se a área vem: S = π r = 3,14 x 32 = 3,14 x 9 ou S=28,26dm2  EXERCÍCIO – ÁREAS PLANAS 1) Calcular a área do retângulo cuja base vale 1,25m e cuja altura é 1/5 da base. h b 2) A soma entre a base e a altura de um retângulo é 7,2 m e a base é o triplo da altura. Calcular a área. h h b 118

MATEMÁTICA O A O

3) O perímetro de um quadrado é 60 cm.Calcular a área do retângulo cuja base é o lado desse quadrado e cuja altura é a metade desse lado. L

h

b 4) O perímetro de uma circunferência é 314m. Calcular a área do círculo cujo contorno é essa circunferência.

r

5) Num triângulo, a base vale 0,54m e a altura é 2/3 da base. Calcular a área h b

6) Calcular a área do retângulo cuja base vale 150cm e cuja altura mede 12 dm h b 7) A soma entre a base e a altura de um retângulo é 36cm e a base é o dobro da altura. Calcular a área. h b 8) O perímetro de um retângulo é 160mm. A base é os 9/7 da altura. Calculara área do retângulo. h b 9) O perímetro de um quadrado é 30cm. Qual é sua área 119


10) Para cercar um terreno retangular com 3 voltas de arame, foram gastos 216m. Calcular a área do terreno se o comprimento é o triplo da distância que vai da frente ao fundo. a b 11) Num triângulo a soma dos catetos é 20cm e um deles é os 7/3 do outro. Qual a área. C b

12) A soma entre a base e a altura de um triângulo é 72cm sendo a base o dobro da altura. Calcular a área do triângulo. h b 13) Sobre os catetos de um triângulo constroem-se quadrados, Calcular a área de cada um desse quadrados, sabendo-se que a soma dos catetos é de 32cm e um deles é o triplo do outro. S1 B

A S2

14) Calcular a área do círculo cujos 3/5 do raio medem 15metros. 15) Calcular a área do losango onde as diagonais medem 6 dm e 54 cm, respectivamente.

120

MATEMÁTICA O A O

16) Num trapézio a altura vale 6cm e as bases medem respectivamente, 8 e 10cm. Calcular a área. h b 17) Um trapézio é retângulo (tem um ângulo reto). A altura vale 10 dm e as bases 8 e 14dm, respectivamente. a) Calcular a área do mesmo. b) Calcular a área que pertence ao trapézio e não per tence a um círculo que tem centro no ponto médio do lado AD do trapézio e raio igual à metade desse lado. D C h A

B

18) Calcular a área do círculo cujos 7/3 do raio medem 42 cm 19) Calcular a área dos seguintes triângulos Assinalados que fazem parte do trapézio isósceles abaixo. b´= 12 cm h = 6 cm b=18 cm 20) Comprei uma chácara de forma retangular que mede 120m de frente por 200 m da frente até o fundo.Paguei R$2400,00 quanto me custou a chácara?

21) Para ladrilhar a área de minha casa, que tem forma retangular e mede 6,4m por 9,60m, comprei ladrilhos quadrados de 0,20 m de lado. a) Quantos ladrilhos foram ocupados? b) Quanto gastei se paguei R$ 8,00 por cento?

121


22) A área de um triângulo é 54 dm2 e sua altura é 12 dm. Calcular a base do triângulo.

Respostas 1) 3125 cm2

12) 576 m2

2) 9,72 m2

13) S1 = 64 cm2 S2 = 576 cm2

3) 112,5 cm

14) 1962,5 m2

2

4) 7850 m2

15) 1620 cm2

5) 972 cm2

16) 54 cm2

6) 180dm2

17) a) 110 dm2 b) 70,75 dm2

7) 288 cm2

18) 1017,36 cm2

8) 1575 mm2

19) 9 cm2

9) 56,25 cm2

20) R$ 5.760,00

10) 243 m2

21) a) 1536 ladrilhos b) R$ 122,88

11) 42 cm2

22) 9 dm

 UNIDADES DE VOLUME E DE CAPACIDADE 

Metro Cúbico

A unidade fundamental para medida de volume é o metro cúbico. Chama-se metro cúbico ao volume de um cubo cuja aresta mede 1 metro. 1m Abrevia-se metro cúbico pelo símbolo m3. 1m 1m Múltiplos

Unidade

quilômetro hectômetro decâmetro metro cúbico cúbico cúbico cúbico km3

hm3

dam3

m3

Submúltiplo decímetro centímetro milímetro cúbico cúbico cúbico dm3

cm3

mm3

Os múltiplos e submúltiplos do metro cúbico relacionam-se entre si segundo a tabela acima. 122

MATEMÁTICA O A O

Onde cada unidade é 1000 vezes maior que a unidade é imediatamente inferior. Transformações De Unidades o A o.



Converter: 1) 0,0025 km3 em dam3 0,0025 km 3 = 2 500 dam3 2) 3421,4 cm3 em m3 3421,4 cm3 = 0,0034214 m3 3) 0,000 0001 hm3 em mm3 0,000 0001 hm 3 = 100 000 000 mm3 

Unidades de Capacidade

A unidade fundamental para medir capacidade é o litro que se abrevia ℓ. Define-se: O litro é o volume equivalente a um decímetro cúbico.

Do mesmo modo que as unidades de medida, anteriores, estabelecem-se os mútiplos e submúltiplos do litro que resumiremos no seguinte quadro: Múltiplos

Unidade

quilolitro hectolitro decalitro

litro

Submúltiplos decilitro centilitro mililitro

1 000 ℓ

100 ℓ

10 ℓ

1ℓ

0,1 ℓ

0,01 ℓ

0,001 ℓ

kℓ

hℓ

da ℓ

ℓ

dℓ

cℓ

mℓ



Relações entre as unidades de Volume e de Capacidade

A definição de litro, isto é:

1 litro = 1 dm3 relaciona as unidades de capacidade e volume. Esta relação pode ser resumida no quadro seguinte: 1 hectolitro = 100 ℓ = 100 dm3



1 litro

=

1ℓ

=

1 dm3

1 mililitro

=

0,001 ℓ

=

1 cm3

Transformações de Unidades o a o 123


Converter: 1) 1,4 hl em L 4) 58 450 dl em dam3 1,4 hl = 140L 58 450 dl = 5 845L. E como:1L = 1dm3 2) 53 825 ml em dal 58 450 dl = 5 845 dm3 53 825 ml = 5,3825 dal E: 5845 dm3 = 0,005845 dam3 3) 22,5 m3 em l Então: 58 450 dl = 0,005845 dam3 3 3 22,5 m = 22 500 dm .E como: 1 dm3 = 1 l 22,5 m3 = 22 500 l

 VOLUMES DOS PRINCIPAIS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS  Volume do Paralelepípedo Seja o paralelepípedo da figura abaixo e digamos que suas medidas sejam: a = 5 cm b = 4 cm c = 6 cm

b a

c

O volume de um paralelepípedo retângulo é dado pelo produto de suas três dimensões a, b, c. Ou:

V = a. b. c

Onde: V é o volume ; a é a largura; b é a altura; e c a profundidade. Se observarmos a fórmula: V = a. b. c., poderemos escrevê-la: V = (a.c) . b E como a. c. indica área da base, diríamos: O volume do paralelepípedo retângulo é igual ao produto da área da base pela altura. Assim: V = 5.4. 6 V = 120 cm3 

Volume do Cubo 124

MATEMÁTICA O A O

a

Como o cubo é um paralelepípedo retângulo de arestas iguais, chamando-se essas arestas de a, vem: V=axaxa Ou: O volume do cubo é dado pelo ou V = a3 cubo de sua aresta. a a Volume do Cilindro



h B

chamando-se de B a área da base e h altura do cilindro, teremos: V=Bxh E como: B = π r2, então: V = π r2 h

 Volume do Cone Consideremos um cone e um cilindro cujas bases têm o mesmo raio e cujas alturas sejam iguais. Experimentalmente comprova-se que são necessários 3 cones de água, ou areia, ou outra qualquer substância, para encher o cilindro. Conclui-se que: O volume do cone é a terça parte do h volume do cilindro que tem a mesma base e a mesma altura do cone. r r Assim: V = 1 B. h 3 1 V=

3

π r2 h

 Questões Comentadas 1) Calcular o volume do cone onde a soma entre o raio da base e a altura é 36 cm, sendo a altura o triplo do raio. Raciocínio: Como r + h = 36 cm e h = 3r, Vem: r + 3r = 36 cm h Ou: 4r = 36 cm Donde: r = 9 cm e h = 27 cm. r O volume ficará: 125


V = 1 π r2 h Ou: V= 1 x 3,14 x 92 x 27 3 3 Donde: V = 2 289,06 cm3 2) Calcular em hl a capacidade de um silo de forma cilíndrica, onde o raio da base vale 3 m e a altura é 10m. Raciocínio: V = π r2 . h V = 3,14 x 3 2 x 10 10 m V = 282,60 m3 3 Como:1 dm = 1 I, vem: V = 282600 dm3 em litros. 3m em hectolitros ficará: V = 2826 hl EXERCÍCIO – UNIDADE DE VOLUME E CAPACIDADE I) Escrever, em metros cúbicos, as seguintes grandezas: 1) 0,005 km3 6) 5421,5 dm3 3 2) 4,2 hm 7) 123 125 cm3 3) 3/2 de hm3 8) 1 1 de dam3 4

( ( 5)

) ) 0,5

4) 1 + 1 + 0,5 8

41 – 4

dm3 cm3

( 10) ( 9)

2

1

3

31 2

) + 0,2) + 0,2

hm3 km3

II) Resolver os seguintes problemas: 1) Determinar qual a capacidade em litros de uma caixa dágua que tem forma de paralelepípedo, cujas arestas medem 0,60m por 0,40 m x 1m. 2) Um cubo de 0,80m de aresta está cheio dágua até seus 3/4. Quantos litros contém? 3) Um tanque de gasolina tem forma cilíndrica. O raio da circunferência da base é 1,20m e o comprimento do tanque é 6 metros. sabendo-se que se pode colocar o líquido até os 8/9 de sua capacidade pergunta-se: quantos litros cabem no tanque? 4) A altura de um cone é 0,60 dm r o raio da base é 3/5 dessa altura. Calcular seu volume. 5) Um reservatório de água de forma cilíndrica está cheio até os seus 5/8.O raio da base é 2,5m e a altura é 5m. o consumo 126

MATEMÁTICA O A O

de água exige 61328,125 decilitros por hora. Com essa água apenas, pergunta-se durante quantas horas a cidade atendida pelo reservatório terá água? 6) A quantos hectolitros corresponde o volume de 152,4 cm 3. 7) Dizer quantos cm3 estão contidos em 1253 dl. 8) Uma indústria farmacêutica importa 10 frascos de 5 l cada, de vacinas antipólio pretende revender a vacina em frascos de 20 cm 3. Perguntase: quantos frascos terá para vender? 9) Dois tambores de 200 litros cada, estão cheio de ácido que vai ser diluído em água em partes iguais. Quantas latas de 0,8cm3 serão necessários para conter o ácido diluído? 10) Uma indústria importa vinho estrangeiro em 20 barris de 160 litros cada. Vai engarrafá-lo em frascos que contêm 0,75 litros cada. Quantas serão as garrafas de vinho? 11) A soma dos volumes de dois cubos é 2200 hl e o volume do maior é 7/4 do volume do menor. Qual a capacidade de cada um em litros? 12) A diferença dos volumes de dois frascos é 280 cl e o menor é os 3/11 do maior. Quantos cm 3 contêm cada um? Respostas I) II) 1) 5 000 000 m3 1) 240 L 11) 140000 L - 80 000 L 3 2) 4 200 000 m 2) 384 L 12) 3850 cm3 – 1050 cm3 3) 1 500 000 m3 3) 24 115,2 L 4) 0,001 625 m3 4) 0,081 388 8 dm3 5) 0,000 00375 m3 5) 10 horas 3 6) 5,4215 m 6) 0,001524 hl 7) 0,123 125 m3 7) 125300 cm3 8) 1250 m3 8) 2500 frascos 9) 2 533 333,3 m3 9) 1000 000 latas 10) 3 700 000 000 m3 10) 4266,6 garrafas  UNIDADES DE MASSA Introdução O que comumente se chama como peso de um corpo é, na realidade matemática e física, a massa do corpo. As balanças usuais medem a massa dos corpos e não do seu peso. O peso de um corpo é a resultante da ação da gravidade sobre a 127 


massa desse corpo. Desse modo, enquanto a massa é constante, o peso varia conforme o local em que se acha o corpo, porque a ação da gravidade varia de local para local da terra. Estudaremos as unidades de massa, a partir da unidade fundamental que é o quilograma. O Quilograma O quilograma é a massa de 1dm3 de água destilada à temperatura de 40 C. Indica-se por kg. Para identificar múltiplos e submúltiplos das unidades de massa, toma-se como referência o grama , "massa equivalente a 0,001 do quilograma". Assim teremos: 

Múltiplos

Uni dade

Submúltiplo

quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama

1 000 g

100 g

10 g

1g

0,1 g

0,01 g

0,001 g

kg

hg

dag

g

dg

cg

mg

Existem outros múltiplos especiais do quilograma e um submúltiplo, que são: Tonelada (t) = 1000 kg Megatonelada (megaton) = 1000 t ou 1000 000 kg Quilate = 0,2g O quilate serve para medir a massa de pedras e metais preciosos.  Mudanças de Unidades - o a o As conversões se fazem facilmente, pois cada unidade de massa do quadro anterior é 10 vezes maior que a imediatamente inferior (exceção aos múltiplos especiais). Converter: 1) 57,2 kg em dg 2) 58342,50 cg em hg 57,2 kg = 572000 dg 58342,50 cg = 5,83425hg 2) Quantas toneladas estão contidas em 8 432 738,4 hg? Como: 8 432 738,4 hg = 843 273,84 kg e valendo a tonelada 1000kg. Vem: 8 432 738,4 hg = 843,27384 t. 128

MATEMÁTICA O A O

EXERCÍCIO – UNIDADE DE MASSA I) Expressar em kg as seguintes grandezas: 1) 4213 g 3) 53,12 cg 2) 3 dg 4) 1 1 hg 4 6 II) Expressar em gramas as seguintes grandezas: 1) 4 kg 3) 7 1 dg 5) 34,5 hg 7) 3 1 cg 5 2 4 2) 3 hg 4) 0,001 kg 6) 831,42 dag 8 8) 4 1 + 0,2 hg 9) 2 1 + 0,125 hg 10) 0,2 + 1

(

3

)

(

)

8

(

6

)

1

dag

III) Efetuar em gramas as operações seguintes: 1) 3,5 g + ( 5,6 hg – 49 dag) 2) 5,20 dg + [ 85 dag – (4,3 kg – 40 hg) ] 3) 4,2 kg – [ (60 dg + 8,4 g) + (25 dag – 240 g)] 4) 125 hg – [ 10 dag – ( 130g – 1120 dg)] 5) 0,09 hg + [0,05 kg + (120 hg – 11,2 kg)] Respostas I) 1) 4,213 kg 2) 0,000 075 kg 3) 0,000 5312 kg 4) 0,116 kg

II) 1) 800 g 6) 8 314,2 g III) 1) 73,5 g 2) 37,5 g 7) 0,032 5 g 2) 550, 52 g 3) 0,75 g 8) 453,3 g 3) 4175,6 g 4) 1 g 9) 225 g 4) 12 418 g 5) 3 450 g 10) 13,66 g 5) 859 g

 UNIDADES DE TEMPO E ÂNGULO  Introdução: Digamos que sejam decorridos, até agora, 9 horas, 10 minutos e 30 segundos do dia. Esse tempo, assim expresso, reúne as seguintes unidades de medida: 1) horas; 2) minutos e 3) segundos Essas unidades têm, entre si, as seguintes relações: Uma hora = 60 minutos; e Um minuto = 60 segundos. É uma variação sexagesimal. Isto é, não se trata de uma variação decimal. Diz-se então que o número 9 h 10 min 30 seg é um número complexo, definindo-se de um modo geral: 129


Chama-se número complexo aquele que expressa uma determinada grandeza, em diferentes unidades que não têm entre si relações decimais. Exemplos: 1) Tempo: 2 dias, 3 horas, 20 minutos e 10 segundos. 2) Ângulos: 15 graus e 18 minutos. Daremos a seguir as relações entre essas unidades. 

Unidades de Medida de Tempo NOME

SÍMBOLO

Ano comercial Mês comercial Um dia Uma hora Um minuto Um segundo

a me d ou da h min s ou seg

VALORES

1 86400

360 dias 30 dias 24 horas 60 minutos 60 segundos do dia médio solar

 Unidades de Medida de ângulo. Um ângulo se mede com um transferidor. Um transferidor de meia circunferência tem 180 graus que se indica 180o. Temos, pois as seguintes unidades de medida de ângulo.

NOME Um ângulo raso Um ângulo reto Um grau Um minuto de grau

= = = =

VALORES E SIMBOLOS 180 graus ou 180 0 90 graus ou 900 60 minutos de grau ou 60´ 60 segundos de grau ou 60"

Experimentamos um ângulo segundo os exemplos seguintes: â = 300 20´ 42" b = 1350 10´ 40" ângulo reto = 900 = 890 60´ = 890 59´ 60" ângulo raso = 1800 = 1790 60´ = 1790 59´ 60"

130

MATEMÁTICA O A O

Questões Comentadas 1) 2 h, 10 min e 20 seg. Deveremos transformar todo o tempo em segundos, ou: 2 h = 2 x 60 min = 120 minutos + 10 " 130 “ Mas, 130 min = 130 x 60 seg = 7 800 seg que, somados aos 20 seg, já existentes darão: 2 h, 10 min e 20 seg = 7 820 seg 2)Transformar, em horas, minutos e segundos, o tempo de 24 370 segundos. Como cada 60 seg perfazem 1 minuto, vem: 24 370 60 0 370 406 min 10 seg E como cada 60 minutos perfazem uma hora, teremos: 406 min 60 46 min 6 h ou



24 370 seg = 6 h, 46 min e 10 seg

Adição de Complexos - o a o Seja efetuar: 3 h 42 min 30 seg 15 h 10 min 40 seg S = 18 h 52 min 70 seg Ora, os 70 seg se reduzem a 1 min e 10 seg, donde: S = 18 h, 53 min, 10 seg

Subtração de Complexos - o a o Seja efetuar: 200 15´ 30" 100 10´ 40" Como a subtração é impossível na ordem dos segundos de grau, faz-se o empréstimo de um minuto de grau para aquela ordem: 20 0 14´ 90" 100 10´ 40" 10 0 4´ 50" 

Para a adição e subtração de números complexos, conclui-se: 131


Somam-se ou subtraem-se cada unidade da mesma espécie, reduzindo-se nos resultados os valores incomplexos aos equivalentes complexos. 

Isto é:

Multiplicação e Divisão de Números Complexos o a o O produto de números complexos envolve: Multiplicação de inteiro por complexo: Seja efetuar: (15 h 10 min 20 seg ) x 5 = 75 h 50 min 100 seg. Ou: 75 h 51 min 40 seg Multiplica-se o fator inteiro pelas unidades do número complexo e reduzem-se os resultados incomplexos aos equivalentes complexos.

A divisão de números complexos envolve dois casos: 1) Divisão de complexos por incomplexos: Seja dividir o ângulo de 245 0 18 min 24 seg em 6 partes iguais. ( 2450 18´ 24" ) : 6 Ou: 2450 18´ 24" 6 050 300´ + 00 400 53´ 4" x 60´ 318´ 24" 300´ 18 00 Isto é: o 1o, resto de 5º, transforma-se em minutos (´) obtendo-se 300 ´ que, somados aos 18` existentes, produzem 318`. Estes 318`são divididos em 6 partes, dando o quociente 53´. 2) Divisão de incomplexos por complexos: Para o revestimento e pintura de 50º de um reservatório de água de forma circular, foram gastos 15 h 30 min de trabalho. Quantos graus em média foram realizados por hora de trabalho? Deve-se efetuar: 132

MATEMÁTICA O A O

50º : (15 h e 30 min). Como o problema pede "quantos graus por hora", devemos transformar 15 h e 30 minutos em número fracionário: 15 h e 30 min = 15 h + 30 h = 15 h + 1 h = 31 de hora. 60 2 2 Logo: 50º : 31 de h = 50 x 2 = 100 graus por hora. 2 31 31 Ou: 100 31 07 3º 13´ 32" e 28 x 60´ 31 420´ 110 17´ x 60 1020" 90 28 Em cada hora faz-se o revestimento e a pintura de: 3º 13´ 32" e 28 " do reservatório.

( ) 31

EXERCÍCIO – UNIDADE DE TEMPO E ÂNGULO I) Escrever os seguintes números complexos na unidade pedida: 1) 10 h 20 min 15 seg em segundos 2) 5º 10´ 18" em segundos (") 3) 3 d 20 h 15 min em minutos 4) 118º 25´ 30" em segundos (") 5) 37º 38´ 5" em segundos (") 6) Quantos minutos há num dia? 7) Quantos segundos de ângulo existem em 180º ? 8) Decorreram 7 do dia. Que horas são? 10 9) São decorridos 3 do ano. Quantos meses e dias se aram? 8 II) Transformar em números complexos as seguintes grandezas: 1) 42 351 seg

4) 25 001 min

2) 35 400"

5) 2 535 "

3) 75 358 seg

6) 2 437 min 133

)


III) Efetuar as seguintes operações: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14)

20 h 40 min 16 seg + 10 h 12 min 52 seg 30º 15´ 42" + 20º 50´ 20" 5 d 22 h 40 min + 2 d 20 h 30 min 12 h 15 min 30 seg – 10 h 20 min 40 seg 25º 8´ 10" – 10º 15´ 30" 3 d 20 h 10 min 20 seg – 22 h 20 min 20 seg ( 4 h 10 min 20 seg ) x 5 ( 3º 40´ 30" ) x 6 (20 h 40 min 12 seg) x 3 5 (30º 15´ 40" ) x 3 4 (15 h 20 min 48 seg) : 6 ( 42º 10´ 15" ) : 12 Dividir o tempo de 17 horas em 5 partes iguais. Dividir o ângulo de 32º em 6 partes iguais.

Respostas I)

II)

1) 37 215 seg

1) 11h 45min e 51 seg

2) 18 618"

2) 9º 50´

3) 5 535 min

3) 20h 55min e 58 seg

4) 426 330 seg

4) 17 d 8h e 41 min

5) 135 485 "

5) 42´ 15"

6) 1 440 min

6) 40 h e 37 min

7) 648 000 " 8)

16 h e 48 min

9)

4 m e 15 d

III) 1) 1d 6h 53 min e 8 seg 2) 51º 6´ 2" 3) 8d 19 h e 10 min 4) 1 h 54 min e 50 seg

134

MATEMÁTICA O A O

5) 14º 52´ 40" 6) 2 d 21 h 50 min 7) 20 h 51min 40seg 8) 22º 3´ 9) 12 h 24 min e 7 1 seg 5 10) 22º 41´ 45" 11) 2 h 33 min e 28 seg 12) 3º 30´ 5 1 1 " 4 13) 3 h e 24 min 14) 5º 20´

 QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 1)

(INFRAERO) A dose diária recomendada de um remédio líquido é de 40 gotas. Uma gota desse medicamento pesa em média, 5 x 10-2 gramas. Então, num frasco contendo 80 gramas desse remédio, temos medicamento suficiente para um tratamento de no máximo: a) 40 dias b) 35 dias

2)

b)100 c) 1000

d)10.000

e)100.000

(TJ) Se uma solução contém 2mg/ml de uma substância dissolvida, quanto da substância existe em um litro de solução? a) 200 mg

4)

e) 25 dias

(TJ) Quantos cm3 existem em 10 litros? a) 10

3)

c) 30 dias d) 20 dias

b) 2g

c) 20g

d) 200g

e) 2kg

(ECT) Contornou-se com 319 palmeiras, plantadas a mesma distância, uma da outra, um terreno retangular com 380 dm de 135


frente por 60 dam de fundo. De quantos em quantos metros foram plantadas as palmeiras? a) de 2m em 2m b) de 7m em 7m 5)

6)

a) a metade b) um terço c) um sexto d) um oitavo (UFC) A capacidade, em litros, de uma caixa de formato cúbico que tem 50 centímetros de aresta é de: b) 500

d) 250

e) 125

b) 24

c)22

d) 20

e) 18

(BB) Quantos labirintos de 0,2m x 0,2m são precisos para revestimento de uma sala de 5m de comprimento por 6m de largura? a) 600

9)

c) 375

(UFC) Uma piscina na forma de um paralelepípedo retângulo de 9m de comprimento, 4m de largura e 2m de altura, está sendo abastecida de água à razão constante de 50 litros por minuto. O tempo necessário, em horas, para encher esta piscina, sem desperdício de água, é: a) 26

8)

e) de 6m em 6m

(UECE) Duas caixas d´água, a primeira em forma de um paralelepípedo e a segunda em forma cúbica, possuem as seguintes dimensões: – Base 6m por 40dm e altura 0,2 dam, a primeira; – Aresta de 200cm, a segunda. O volume da segunda caixa d´água, comparado com o volume da primeira é:

a) 625

7)

c) de 5m em 5m d) de 4m em 4m

b) 650

c) 700 d) 750

e) 800

(TRT) A velocidade de 180 km/h eqüivale a quantos metros por segundo? a) 5

b) 30

c) 50

136

d) 300

e) 500

MATEMÁTICA O A O

10) (UECE) Quando um relógio de ponteiros, marca exatamente 3h 30min, a medida do ângulo menor entre os ponteiros (das horas e dos minutos) é: a) 850

b) 800

c) 750

d) 700

Respostas 1) A

03)B

05)C

07)B

09)C

02) D 04)D

06)E

08)D

10)C

 RAZÃO E PROPORÇÃO Razões - o a o 1. Razão de dois números Razão do número a para o número b (diferente de zero) é o quociente de a por b. Indicamos:

a ou a : b (lemos: a para b ) b Os números a e b são os termos da razão; a é chamado antecedente e b, conseqüente da razão. Exemplos: 1. A razão de 3 para 12 é : 3 = 1 12 4 2. A razão de 20 para 5 é : 20 = 4 5 3. A razão entre 5 e 1 é : 137

5 =

5x

2 = 10


2

1 2

1

2. Razão de duas grandezas Razão de duas grandezas, dadas em uma certa ordem, é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda. Se as grandezas são da mesma espécie, suas medidas devem ser expressas na mesma unidade. Neste caso, a razão é um número puro. Exemplos: 1. A razão de 2m para 3m é:

2m = 2 3m 3

1 2. A razão de 30 dm para 6m é: 30 dm = 3 m = 1 6m 6m 2 2 Observação: Se as grandezas não são da mesma espécie, a razão é um número cuja unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais se determina a razão.

Exemplo: Um automóvel percorre 160 km em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é: 160 km = 160 km/h = 80 km/h 2h 2 Podemos dizer, então, que esse automóvel faz em média 80 km em 1 hora ou 80 km/h.  Exercício – Razão 1. Calcule a razão entre os números: a) 256 e 960 c) 5 e 1 e) 2 - 1 e 3 3 5 b) 1,25 e 3,75 d) 1 e 0,2 2 2. Calcule a razão entre as seguintes grandezas: a) 27 km e 3L de álcool d) 20 cm e 4dm 3 b) 40 g e 5 cm e) 20 d e 2 me 15 d

( )

138

MATEMÁTICA O A O

c) 24 kg e 80 kg 

Proporções - o a o  Definição Dados quatro números (15,3,20 e 4), como a razão entre os dois primeiros números(15 e 3) é igual à razão entre os dois últimos (20 e 4), isto é: 15 = 5 3

e

20 = 5, 4

dizemos que os números 15, 3, 20 e 4, nesta ordem, forma uma proporção, que expressamos mediante a igualdade das duas razões: 15 3

= 20 4

Assim: Dados, em uma certa ordem, quatro números (a, b, c e d) diferentes de zero, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão entre os dois primeiros (a e b) é igual à razão entre os dois últimos (c e d).

Simbolicamente, representamos uma proporção por: a = c b d e lemos: "a está para b, assim com c está para d". Essas anotações põem em evidência o fato de que uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Exemplos: 1. 18 27, 18 27 = pois =3 e =3 6 9 6 9 9 9 3 2 2 2 2 1 3 2 9 4 2. = ,pois = 2: =2x =6e = x = 6 1 3 1 3 1 3 2 3 1 1 3 4 3 4 139


 Elementos Na proporção: a c b d temos: a, b, c e d são termos ( 1º, 2º, 3º e 4º termos, respectivamente) a e c são os antecedentes b e d são os conseqüentes a e d são os extremos b e c são os meios  Propriedade fundamental Sejam a, b, c e d números reais diferentes de zero, tais que: a c b d Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

 Questões Comentadas 1) Verifique se são ou não verdadeiras as seguintes proporções: a) 6 7

24 28

b)

2 3

12 15

Resolução: a) Temos: 6 x 28 = 168 e 7 x 24 = 168 logo, é verdadeira. b) Temos: 2 x 15 = 30 e 3 x 12 = 36 logo, é falsa

6 x 28 = 7 x 24 2 x 15 ≠ 3 x 12

2) Comprove se os números 3, 7, 15 e 35, não obrigatoriamente nesta ordem, formam uma proporção e, em caso afirmativo, escreva-a. Resolução: Temos: 3 x 35 = 105 e 7 x15 = 105 140

3 x 35 = 7 x 15

MATEMÁTICA O A O

Logo:

3 7

15 35

3) Calcule x nas proporções: a) 15 20

60 x

b)

7 6 x

5 3 2

Resolução: a) Temos, aplicando a propriedade fundamental: 4 15 X x = 20 x 60 x = 20 x 60 x = 80 15 Logo: x = 80 1

b) Temos:

1

5Xx=7x3 622 Logo: x =



7 5x = 7 4

x=4 5

x=7x1 4 5

x= 7 20

7 20

Razões Iguais – o a o Considerando as razões: 6 , 10 , 12 , 8 3 5 6 4 vemos que todas são iguais a 2. Logo, podemos escrever: 6 10 12 8 3 5 6 4 Essa expressão é denominada série de razões iguais ou proporção múltipla. Em símbolos: a c ... m b d n •

Propriedade

Em uma série de razões iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo conseqüente. 141


Exemplo: 6 10 3 5

12 6

8 4

6+10+12+8 3+5+6+4

6 ou 10 ou 12 ou 8 3 5 6 4

 Questões Comentadas 1. Calcule x, y e z, sabendo que x = y = z e x + y + z = 420. 9 11 15 Resolução: Temos, pela propriedade fundamental da série de razões iguais: x+y+z = x ou y ou z 9 + 11 + 15 9 11 15 Como: x + y + z = 420, podemos escrever: 12 420 = x ou y ou z Daí: 420 = x x = 420 x 9 = 108 35 9 11 15 35 9 35 1 12 420 = y y = 420 x 11 = 132 35 11 35 1 12

420 = z 35 15

z = 420 x 15 = 180 35 1

Logo: x = 108 , y = 132 e z = 180 2. Determine os antecedentes de uma proporção, sabendo que sua soma é 47 e que os conseqüentes são 2 e 8. Resolução: Temos, chamando de x e y os antecedentes: x y = e x + y = 47 2 8 Pela propriedade fundamental da série de razões iguais, podemos escrever: x + y = x ou y 2 + 8 2 8 como : x + y = 47 , vem : 47 = x ou y 10 2 8 Daí : 47 = x x = 47 x 2 = 94 = 9,4 10 2 10 10 47 = y 10 8

y = 47 x 8 = 376 = 37,6 10 10 142

MATEMÁTICA O A O

9,4 + 37,6 = 47,0 Logo, os antecedentes são 9,4 e 37,6, respectivamente.

 E XERCÍCIO – RAZÃO E PROPORÇÃO 1) Determine a razão entre os números: a) 226 e 1.017 b) 1,25 e 0,75

(

c) 12 e 9 30 12

d)

) (

2 + 3 5 4

e

15

)

2 5 8

–

4

2) Calcule a razão entre as seguintes grandezas: a) 80 m e 48 dam b) 150 m2 e 45 ares 3 c) 0,725 m e 5.000 L d) 9d 17h 20min e 8d 12h 10min

3) Verifique se a razão de 6 me 20 d para 3a 5me 20 d é igual à razão de 640 L para 2 m3. 4) Verifique se as seguintes expressões formam proporção:

a

3 a) 4 5 8

5 2 25 12

b) 0,01 = 20 0,1 200

1 3

c)

1 2

- 2

= 1 25

1 3

5) Calcule o valor de x na proporção: a)

2 3 x

b) x 5 1 7 c) x - 5 4

7 5 4 5

4

e)

7 2 1 2

1 + 1 4 3 2 2 3 5

f)

2 3 1 2

x 0,3 - 1 2

8 g) 3

3 – 1

1 143

(

1 - 0,5 6 1- 2 3

)

+ x x

1

x 1 +1 4 2

7 3

2

1 5


d) 0,1 ( 1 – 0,1 ) 0,1 – 1 x 0,4

4

h) 2 x

x

(

x

)

2 2 +1 4

6) Escreva uma razão igual a 15, cujo antecedente seja 5 . 4 3

7) Escreva uma razão igual a 1, cujo conseqüente seja 4 1 5

6

8) Escreva uma proporção cujas razões sejam iguais a 1 e cujos conseqüentes sejam 28 e 36.

4

9) Calcule x e y , sabendo que: a)

x 5

b)

1 2 x

y e x + y = 187 12 1 3 y

c)

x = y 8 3

e x – y = 85

1 e x+y= 6

10) Calcule dois números, sabendo que sua soma é 169 e que a razão é 4 9

11) Dois números, cuja soma é 28, guardam entre si a relação 3. Quais são esses números?

4

12) Dois números, cuja diferença é 12, estão na relação 8. Quais são esses números?

5

13) A idade de um pai está para a de seu filho como 7 está para 5. Se a soma das idades é 52, qual a idade de cada um?

3

14) Decomponha o número 35 em duas partes, tais que a razão entre elas seja 3. 6 2 15) Qual o número que,aumentado de 2 unidades,está para 5 assim como 28 está para 20? 16) Qual é o número que, diminuído de 3 unidades, está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6? 17) A soma de três números é igual a 555. O primeiro está para o segundo como 8 está para 5. A diferença entre esses dois números é igual a 69. Quais são os três números?

144

MATEMÁTICA O A O

18) A importância de R$ 588 foi dividida entre três pessoas. Sabendo que a parte da primeira está para a da segunda como 5 para 7, e que a parte da segunda está para a da terceira como 7 para 9, determine as três partes. Respostas 1. a) 2 b) 5 c) 8 d) 46 9 3 15 45 2. a) 1 6

09. a) x = 55 e y = 132

b) 1 c) 29 d) 8 30 200 7

b) x = 1 e y = 1 10 15

3. Não

c) x = 136 e y = 51

4. a) sim b) sim c) não 5. a) 8 c) – 5 21 3 b) 4 d) 2,5

e) 105 64 f) 3 5

g) 2 h) + 3 2

6. 5 3 4 9

14.

16. 23 17. 184, 115 e 256 9

28

7 e 7 2 3

15. 5

7. 5 6 4 1 6 8. 7

10. 52 e 117 11. 12 e 16 12. 32 e 20 13. 42 anos e 10 anos

18.R$ 140, R$ 196 e R$ 252

36  GRANDEZAS PROPORCIONAIS



Introdução

A maioria dos problemas que se apresentam em nosso dia-a-dia liga duas grandezas relacionadas de tal forma que, quando uma delas varia, como conseqüência varia também a outra. Assim, a quantidade de combustível gasto por um automóvel depende do número de quilômetros percorridos. O tempo gasto numa construção depende do número de operários empregados. A relação entre duas grandezas variáveis estabelece a lei de variação dos valores de uma delas em relação à outra. Segundo tal lei, as grandezas relacionadas podem ser direta ou indiretamente proporcionais. 145




Grandezas Diretamente Proporcionais  Definição

Uma barra de alumínio de 100 cm3 de volume pesa 270 g; nas mesmas condições, uma barra de 200 cm 3 pesará 540 g e uma de 30 cm3, 810 g. podemos, então, escrever a seguinte tabela: Volume (cm3) 100 200 300 500 Massa (g)

270

540

810 1.350

Examinando a tabela, vemos que a grandeza massa depende da grandeza volume, já que aumentando uma (volume), a outra (massa) também aumenta. 

Propriedade Fundamental

Sendo (x1, y1) e (x2, y2) pares de valores correspondentes de duas grandezas proporcionais, podemos escrever: y2 y1 x2 x1 Alternando os extremos, obtemos: x1 y1 x2 y2 que nos dá a propriedade característica das grandezas diretamente proporcionais: Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra.  Questões Comentadas 1) Verifique se são diretamente proporcionais as seqüências de números (6,9,12, 15) e (2, 3, 4, 5). Resolução: Temos: 6 = 9 = 12 = 15 = 3 2 3 4 5 Logo, essas seqüências de números são diretamente proporcionais e a razão de proporcionalidade é 3. 2) Os números das seqüências (6,9,20) e (2,3,6) são proporcionais? Resolução: Temos: 6 = 9 ≠ 20 Logo, esses números não são 2 3 6 proporcionais 146

MATEMÁTICA O A O

3) Sendo x e y grandezas diretamente proporcionais, calcule os valores de a e b: x y

7 9 b 21 a 39

Resolução: Sendo k a razão de proporcionalidade, temos: 21 k = =3 7 Logo: a = 3 a=9x3 a = 27 9 39 = 3 b x 3 = 39 3b = 39 b = 39 b 3 Assim: a = 27 e b = 13

b = 13

4) Quais os menores números inteiros proporcionais aos números 2 , 3 e 1 ? 3 4 6 Resolução Vamos multiplicar cada um dos números dados pelo menor múltiplo comum dos denominadores. Como o m.m.c. (3,4,6) =12, temos: 4

3

2

2 x 12 = 8 , 3 x 12 = 9 , 1 x 12 = 2 31 41 61 Logo, os números pedidos são 8,9 e 2 EXERCÍCIO – GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 1) O número de dias gastos na construção de um muro é diretamente proporcional ao número de operários empregados nesse serviço? Por quê? 2) Verifique se são ou não proporcionais os números das seqüências: a) (40, 38, 35) e (8, 7, 5) b) (5, 6, 7) e (75, 90, 105) 3) Qual é a razão de proporcionalidade entre as seqüências de números diretamente proporcionais ( 5, 8, 11) e (40, 64, 88)? 4) Determine os valores de a e b nas seqüências de números proporcionais (6,a,21) e (2, 5, b). 5) Dados os números 1 , 3 e 7 , determine os três menores 147


5 6 10 números inteiros proporcionais a esses números. Respostas 1) Não. Aumentando o número de operários, o número de dias gastos na construção, diminuirá. 2) a) Não b) sim 3) k = 8 4) a = 15 e b = 7 5) 6,15 e 21 

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

 Definição Uma distância de 1.200 km pode ser percorrida por um avião, a uma velocidade de 100 km/h, em 12 horas; a uma velocidade de 200 km/h, em 6 horas; e a uma velocidade de 300 km/h, em 4 horas. Podemos, então, escrever a tabela: Velocidade (km/h)

100

200

Tempo (h)

12

6

300 4

400 3

Vemos que, também aqui, a grandeza tempo depende da grandeza velocidade, já que aumentando a velocidade o tempo diminui.



Propriedade Fundamental

Sendo (x1, y1) e (x2, y2) partes de valores correspondentes de duas grandezas inversamente proporcionais, podemos escrever: x1, y1 =

x2, y2

ou:

que nos dá a propriedade inversamente proporcionais:

x1 y2 x2 y1 característica das

grandezas

Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma delas é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra.

 Questões Comentadas 148

MATEMÁTICA O A O

1) Verifique se são ou não inversamente proporcionais as seqüências de números: a) (2,3,6,10) e (45,30,15,9) b) (2,5,8) e (40,30,20) Resolução: a) Temos: 2 x 45 = 3 x 30 = 6 x 15 = 10 x 9 = 90 Logo, são inversamente proporcionais e o fator de proporcionalidade é 90. b) Temos: 2 x 40 ≠ 5 x 30 Logo, não são inversamente proporcionais. 2) Determine os valores de a e b nas seqüências de números inversamente proporcionais ( 2, 3, b) e ( 15, a, 5). Resolução: Temos:

k´ = 2 x 15

Daí:

3a = 30

k´ = 30 a = 30 3

a = 10

b = 30 5 Logo: a = 10 e b = 6

b= 6

5b = 30

EXERCÍCIO – GRANDEZAS PROPORCIONAIS 1)

Dê um exemplo de grandeza inversamente proporcionais.

2)

Verifique se são ou não inversamente proporcionais as seqüências de números: a) (20,12,10) e (6,10,12)

b) (1,2,5 ) e (4,8,20)

3)

Qual é o fator de proporcionalidade entre as seqüências de números inversamente proporcionais ( 1,3,5) e (60,20,12)?

4)

Sabendo que os números das seqüências (1, a, -4) e (4,2,b) são inversamente proporcionais, determine a e b.

5)

O produto de dois números é direta ou inversamente proporcional a cada um de seus fatores? Por quê?

149


6) 7)

8)

O quociente é direta ou inversamente proporcional ao divisor? Por quê? Diga se são direta ou inversamente proporcionais as seguintes grandezas: a) quantidade de metros de arame e preço. b) Velocidade e tempo c) Tempo e número de operários empregados para um determinado serviço d) Salário e número de horas de trabalho: e) Quantidade de alimento e número de pessoas a serem alimentadas Dê exemplo de: a) grandezas diretamente proporcionais; proporcionais.

9)

b) grandezas inversamente

Verifique se são ou não proporcionais as seguintes sucessões de números; em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade: a)

120, 180 e 375 48, 72 e 150

b) 0,24; 0,21 e 0,15 0,8; 0,7 e 0,05

10) Verifique se são ou não inversamente proporcionais as sucessões de números a seguir; em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade: a)

90,60 e 45 28,42 e 56

b) 0,45; 0,12 e 0,035 10,5; 2,8 e 36

11) Determine o fator de proporcionalidade entre as seguintes sucessões de números proporcionais:

a)

4, 16 e 20 12, 48 e 60

b) 1 e 22 ; 2

5 6

e 36

2

3

12) Determine o coeficiente de proporcionalidade entre as seguintes sucessões de números inversamente proporcionais: a) 6,10 e 5 20, 12 e 24

b) 2 , 4 e 7 3 5 8

; 42, 35 e 32

13) Determine os valores de x e y e z nos seguintes grupos de números diretamente proporcionais: a) x y 0,7 2 5 2

b) x, 0,3, 2 , 5 3 7

; 9, 3 , y , z 5

14) Determine os valores de m e n e p nos seguintes grupos de números inversamente proporcionais: a) 5 , n , p , 7

b) 8 , 3

150

4

, p,

9

MATEMÁTICA O A O

m , 4, 14 , 8 15)

5 m , n , 9,1

Determine os quatro menores números inteiros proporcionais aos números:

a) 3 , 2 , 8 3 16) Quais os números Respostas: 2) 2) a) Sim

5 e 8 b) 0,5; 2,37; 0,8 e 3,4 4 5 menores números inteiros inversamente proporcionais aos 3,4,5 e 8? b) Não

10) a) sim, k = 2520

b) Não

3) k = 60

11) a) k = 1/3

4) a = 2 e b = - 1

12) a) k = 120 b) k = 28

5) Diretamente

13) a) x = 0,7 e y 1,75

6)

Inversamente

7) a) Direta b) Inversa

b) x = 9/2, y = 4/3 e z = 10/7

d) Direta

14) a) m = 11,2 ; n = 14 e p = 4

e) Direta

b) m = 9/8, n = 45/19 e p = 1

b) Inversa

15) a) 45, 80, 150, 192

9) a) sim, k = 5/2 b) não

b) k = 3/5

b) 50, 237, 80, 340 16) 40,30,24,15

 DIVISÃO PROPORCIONAL – REGRA DE SOCIEDADE  

Divisão Proporcional

Divisão em partes diretamente proporcionais Suponhamos que você queira dividir o número 180 em partes diretamente proporcionais a 2, 5 e 11. Isso significa dividir o número 180 em três parcelas, tais que a razão da primeira parcela para o número 2 seja igual à razão da segunda parcela para o número 5 e igual à razão da terceira parcela para o número 11. Assim, chamando de x, y e z, respectivamente, cada uma dessas parcelas, devemos verificar que: 151


x

y

Como:

Daí

=

z

1 2 5 11 Além disso, com x, y e z são as parcelas em que dividimos o número 180, devemos ter: x + y + z = 180 Como 1 é uma série de razões iguais, podemos escrever, pela propriedade:

ou:

=

x + y + z = x = y = z 2 + 5 + 11 2 5 11 180 = x = y = z 18 2 5 11 180 = 10 temos: 18 x = y = z = 10 2 5 11 x = 10 x = 2 x 10 = 20 2 y = 10 y = 5 x 10 = 50 5 z = 10 z = 11 x 10 = 110 11

Sendo 20 + 50 + 110 = 180, concluímos que as partes procuradas são: 20, 50 e 110. Observação: • Por convenção, chamamos, simplesmente, de divisão proporcional a divisão diretamente proporcional.

 Questões comentadas 1. Divida o número 70 em partes proporcionais aos números 2, 3 e 5. Resolução: Indicando as partes por x, y e z, devemos ter: x 2 x = y = z 70 y 3 sendo 2 3 5 z 5 x + y + z = 70 10 Como:k = 70 Vem: x = 2 x 7 = 14 k=7 152

MATEMÁTICA O A O

10

y = 3 x 7 = 21 z = 5 x 7 = 35 70 Logo, as partes procuradas são: 14, 21 e 35 2. Divida 184 em partes diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 2 3 4 Resolução De acordo com a propriedade dos números proporcionais, multiplicando todos os números da seqüência 1 , 2 e 3 pelo 2 3 4 m.m.c. dos conseqüentes (12), obtemos uma seqüência de números inteiros que mantém a proporcionalidade e facilita os cálculos: 6 4 3 1 x 12 = 6, 2 x 12 = 8, 3 x 12 = 9 2 3 4 1 1 1 Resulta, então: x 6 x = y = z 184 y 8 sendo 6 8 9 z 9 x + y +z = 184 23 Como : k =

184k = 8 23

vem:

x = 6 x 8 = 48 y = 8 x 8 = 64 z = 9 x 8 = 72 184

Logo, podemos afirmar que as partes são: 48, 64 e 72



Divisão em partes inversamente proporcionais

Suponhamos, agora, que você queira dividir o número 210 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6. Isso significa dividir o número 210 proporcionalmente aos inversos dos números 3, 5 e 6, isto é, determinar parcelas x, y e z, tais que: x = y = z 1 1 1 3 5 6 Como o m.m.c. ( 3, 5, 6 ) = 30, temos: 10 6 5 153


1 x 30 = 10 3 1 Logo: x 210 y z Como: Vem:

1 x 30 = 6, 1 x 30 = 5 5 6 1 1 10 x = y = z 6 sendo 10 6 5 5 x + y + z = 210 21

210 k = 10 21 x = 10 x 10 = 100 y = 6 x 10 = 60 z = 5 x 10 = 50 210

k=

Logo, as partes procuradas são: 100, 60 e 50

Divisão Proporcional Composta Neste caso, o problema consiste em dividir um número em partes direta ou inversamente proporcionais a certos números a, b, c e, simultaneamente, em partes direta ou inversamente proporcionais a outros tantos números a´, b´, c´. Tomando por base o que vimos sobre grandezas proporcionais a várias outras, podemos achar o processo de resolução do problema. Consideremos, para efeito de raciocínio, o caso da divisão da grandeza de valor n em partes proporcionais aos números a, b, c e também aos números a´, b´, c´, respectivamente. Sejam x, y, x, os valores das partes pedidas. Como x, y, z são proporcionais a a, b, c, e também a a´, b´, c´, são grandezas compostas; portanto, são proporcionais, respectivamente, aos produtos aa´, bb´, cc´. 

 Questões Comentadas 1. Divida 392 em partes ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 2, 3, 4 e a 3,5,7. Resolução Temos: 2 x 3 = 6, 3 x 5 = 15, 4 x 7 = 28 x 6 x = 6 x 8 = 48 392 y 15 k = 392 = 8 y = 15 x 8 = 120 z 28 49 z = 28 x 8 = 224 49 392 154

MATEMÁTICA O A O

Logo, as partes são: 48, 120 e 224 2. Divida 175 em partes diretamente proporcionais a 5 , 3, 4 e, 4 ao mesmo tempo, inversamente proporcionais a 3 , 6 , 2. 4 Resolução: 1

1

2

Temos: 5 x 4 = 5 , 3 x 1 = 1 , 4 3 3 6 2 1

4 x 1 =2 2

2

Daí:

x

5

175

y

1 2 2

z

10 3 3

1

x = 10 x 7 = 70 k = 175 = 7 25

12 25 Logo as partes são: 70, 21 e 84.

y = 3 x 7 = 21 x = 12 x 7 = 84 175

3. Divida 363 em três partes, de modo que a Segunda seja o dobro da primeira e a terceira o quádruplo da segunda. Resolução: Considerando a primeira parte proporcional a 1, temos: 1ª 1 2ª 2x1=2 3ª 4x2=8 Como o problema resulta em dividir 363 em partes diretamente proporcionais a 1, 2 a 8, temos: x 1 x = 1 x 33 = 33 363

y z

2 k = 363 = 33 8 11 11 Logo as partes são: 33, 66 e 264

y = 2 x 33 = 66 z = 8 x 33 = 264 363

EXERCÍCIO- DIVISÃO PROPORCIONAL 1) Divida o número 2.990 em partes proporcionais a 5, 7 e 11. 2) Divida 183 em partes proporcionais a 1 , 1 e 3 4

1 7

3) Dois operários contratam um serviço por R$ 180. Como devem repartir essa quantia, se um trabalhou 7 horas e o outro 8 horas, sendo a divisão diretamente proporcional ao tempo de serviço? 4) Divida o número 260 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4. 155


5) Um pai deixou R$ 2.870,00 para serem divididos entre seus três filhos na razão inversa das suas idades: 8, 12 e 28 anos. Quanto recebeu cada um? 6) Divida o número 2.190 em três partes que sejam, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais a 2, 3, 5 e a 6, 7, 8. 7) Divida 6.050 em três partes que sejam, a um tempo, inversamente proporcionais a 3, 5 e 6 e diretamente proporcionais a 4, 6 e 9. 8) Divida 292 em três partes ao mesmo tempo inversamente proporcionais a 3,5 e 6 e a 4,6,9. Respostas 1) 650, 910 e 1.430

5) R$ 1.470, R$ 980 e R$ 420

2) 84, 63 e 36

6) 360, 630 e 1200

3) R$ 84 e R$ 96

7) 2000, 1.800 e 2.250

4) 120, 80 e 60

8) 180, 72 e 40

 

REGRA DE SOCIEDADE

Introdução

A regra de sociedade é uma das aplicações da divisão proporcional. Tem por objeto a divisão dos lucros ou dos prejuízos entre as pessoas (sócios) que formam uma sociedade, por ocasião do Balanço geral exigido anualmente por lei ou quando da saída de um dos sócios ou da issão de um novo sócio. Por convenção, o lucro ou o prejuízo é dividido pelos sócios proporcionalmente aos capitais que empregaram, levando-se em conta as condições estipuladas no contrato social. 156

MATEMÁTICA O A O



Regra de Sociedade - o a o Classicamente, há quatro casos a considerar:

1º) Os capitais são iguais e empregados durante o mesmo tempo. A fim de obtermos a parte de cada sócio, dividimos o lucro ou o prejuízo pelo número deles. Exemplo: Três sócios obtiveram um lucro de R$ 222.600. Sabendo que seus capitais eram iguais, vamos determinar a parte de cada um nos lucros: 222.600 = 74.200 3 Logo, a parte de cada um no lucro é de: R$ 74.200 2º) Os capitais são desiguais e empregados durante o mesmo tempo. Neste caso, dividimos o lucro ou prejuízo em partes diretamente proporcionais aos capitais dos sócios. Exemplo: Por ocasião do Balanço anual de uma firma comercial formada por três sócios, verificou-se um prejuízo de R$ 27.000. Vamos determinar a parte correspondente a cada sócio, sabendo que seus capitais são de R$ 540.000, R$ 450.000 e R$ 360.000: x 540 x = 540 x 0,02 = 10,8 27 y 450 k = 27 = 0,02 y = 450 x 0,02 = 9,0 z 360 1.350 z = 360 x 0,02 = 7,2 1350 27,0 Logo, o prejuízo corresponde a cada sócio é, respectivamente, de: R$ 10.800, R$ 9.000 e R$ 7.200

3º) Os capitais são iguais e empregados durante tempos desiguais. Teoricamente, o lucro ou o prejuízo correspondente a cada sócio seria determinado dividindo-se o lucro ou o prejuízo da sociedade em partes diretamente proporcionais aos tempos. Porém, na prática este caso não ocorre, porque, em uma sociedade, os sócios não podem permanecer por tempos desiguais. No momento em que um antigo sócio se retira ou um novo sócio é itido, procede-se a uma reforma do contrato social, após o Balanço, calculando-se o Ativo e o ivo. 157


4º) Os capitais são desiguais e empregados durante tempos também desiguais. Teoricamente, as partes do lucro ou do prejuízo seriam diretamente proporcionais aos produtos dos capitais pelos respectivos tempos. Também neste caso vale a observação feita para o caso anterior.

•

Observação: Não devemos confundir este caso com aquele em que os sócios integralizam suas quotas de capital em épocas diferentes.  Questão Comentada Antonio e José organizaram uma firma comercial com um capital social de R$ 2.000.000, devendo cada um deles entrar com R$ 1.000.000. No ato da organização, 1º de março, Antonio integralizou sua quota e José contribuiu com apenas R$ 700.000, responsabilizando-se por integralizar sua quota após 5 meses. Em 31 de dezembro foi procedido o Balanço, tendo sido apurado um lucro de R$ 740.000. Qual a parte a ser creditada a cada sócio? Resolução: Antonio, tendo integralizado seu capital de R$ 1.000.000 em 1º de março, terá um lucro diretamente proporcional a esse capital durante os 10 meses (1º de março a 31 de dezembro), isto é, diretamente proporcional a 1.000.000 x 10 ou 10.000.000. José, tendo completado seu capital em 1º de agosto, terá uma parte do seu lucro correspondente a R$ 700.000 durante 10 meses (1º de março a 31 de dezembro) e outra relativa aos restantes R$ 300.000 durante 5 meses (1º de agosto a 31 de dezembro); a primeira é diretamente proporcional a 700.000 x 10 ou 7.000.000 e a segunda, a 300.000 x 5 ou 1.500.000. Assim, seu lucro é diretamente proporcional a 7.000.000 + 1.500.000 = 8.500.000. Temos,então: x 100 x = 100 x 0,04 = 4,0 7,4 y 85 k = 7,4 k = 0,04 y = 85 x 0,04 = 3,4 185 185 7,4 Logo, a Antonio devem ser creditados R$ 400.000 e a José, R$ 340.000.

EXERCÍCIO–DIVISÃO PROPORCIONAL/REGRA DE SOCIEDADE 1) Divida o número 870 em partes diretamente proporcionais aos números 7, 10 e 12. 2) Divida 3.751 em partes diretamente proporcionais a 7 , 5 e 3 4 8 2 3) Divida o número 325 em partes diretamente proporcionais aos números 0,4; 1,2 e 3,4. 4) Divida o número 870 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 5 e 9. 158

MATEMÁTICA O A O

5) Divida o número 3.161 em partes inversamente proporcionais a 2 , 4 e 7 . 3 5 8 6) Decomponha 760 em partes inversamente proporcionais a 0,4; 3,2 e 6,4. 7) Divida o número 414 em partes diretamente proporcionais a 4, 8 e 10 e a 5, 6 e 7, ao mesmo tempo. 8) Divida o número 1.842 em partes diretamente proporcionais, simultaneamente, aos números 3, 5 e 9 e 1 , 1 e 1 . 5 6 8 9) Divida o número 330 em partes inversamente proporcionais, simultaneamente, aos números 3, 2 e 8 e 2, 4 e 6. 10) Divida o número 1.080 em partes diretamente proporcionais a 1 e 3 e inversamente proporcionais a 5 e 6, ao mesmo tempo. 2 4 11) Três técnicos receberam ao todo R$ 2.550. O primeiro trabalhou 15 dias à razão de 6 horas por dia; o segundo, 25 dias à razão de 4 horas por dia; e o terceiro, 30 dias à razão de 5 horas por dia. Quanto recebeu cada um deles? 12) Uma pessoa, ao morrer, deixou a herança de R$ 21.720,00 para ser repartida entre três herdeiros, ao mesmo tempo, em partes diretamente proporcionais a 3, 5 e 3 e inversamente 4 a 2 , 3 e 1. Quanto recebeu cada um? 3 5 3

13) Para a execução de um serviço, foram empregados 12 homens, 20 mulheres e 30 menores. Sabendo que o pagamento total foi de R$ 16.200, que cada mulher recebeu 3/4 da quantia de um homem e que cada menor recebeu 4/5 da quantia de cada mulher, quanto recebeu cada homem, cada mulher e cada menor? 14) Três sócios empregaram, respectivamente, os capitais de R$ 18.000, R$ 22.500 e R$ 27.000 e obtiveram um lucro liquido de R$ 27.000. Qual será a parte de cada um? 159


Respostas: 1) 210, 300 e 360 2) 1.694, 605 e 1452 3) 26,78 e 221 4) 450,270 e 150 5) 1.218, 1.015 e 928 6) 640, 80 e 40 7) 60, 144, 210 8) 432, 600 e 810 9) 176, 132 e 22 10) 480 e 600 11) R$ 675 R$ 750 e 1.125 12) R$ 6.480 R$ 12.000 e R$ 3.240 13) R$ 360, R$ 270 e R$ 216 14) R$ 7.200, R$ 9.000 e R$ 10.800

 REGRA DE TRÊS 

Introdução

Chamamos de regra de três os problemas nos quais figura uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.

160

MATEMÁTICA O A O

Temos dois tipos de regra de três: a simples, que trabalha com apenas duas grandezas, e a composta, que envolve mais de duas grandezas. 

Regra de Três Simples

Neste caso, são dados dois valores de uma grandeza e um valor de outra, o qual corresponde a um dos valores da primeira grandeza. Devemos, então, obter o valor da segunda grandeza que corresponde ao segundo valor da primeira.

 Questões Comentadas 1) Comprei 6m de tecido por R$ 15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8 m? Resolução: Neste problema figuram duas grandezas: comprimento e preço do tecido. Se o comprimento for multiplicado por 2, 3, ..., o preço ficará multiplicado por 2, 3,... Podemos, então, concluir que estamos trabalhando com grandezas diretamente proporcionais. Chamamos de x o valor que desejamos conhecer (preço de 8m de tecido), dispomos, em uma primeira linha horizontal, os valores conhecidos das duas grandezas que se correspondem e, em uma segunda linha, o outro valor conhecido da primeira e o x, que representa o valor correspondente da segunda e que se quer conhecer: Comprimento Preço (m) (R$) 6 15 8 x

Em seguida, colocamos uma seta vertical na coluna onde se encontra o x, com a ponta voltada para ele. Se as grandezas forem diretamente proporcionais, como no nosso exemplo, colocaremos uma segunda seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. Assim: 6 15 161


8

x

Armamos a proporção formada construímos, seguindo as setas: 6 8

=

pelas

que

15 x

e determinamos o valor de x:

8 x 15 6 Logo, o preço procurado é: R$ 20,00 •

razões

x=

x = 20

Observações: I) É importante observar que as quantidades correspondentes a uma mesma grandeza devem ser expressas na mesma unidade de medida. II) Quando as grandezas que figuram no problema são diretamente proporcionais, dizemos que a regra de três é direta.

2) Se 6 operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesma obra? Resolução: Temos:

Operários

Dias

6 10 20 x Se o número de operários for multiplicado por 2,3 ..., o número de dias ficará dividido por 2, 3, ..., respectivamente. Logo, as grandezas relacionadas são inversamente proporcionais.

Assim, a coluna que contém x é assinalada como no problema anterior e a outra coluna é assinalada com uma segunda seta vertical, de sentido contrário ao da primeira: 6 10 20 x 162

MATEMÁTICA O A O

Em seguida, invertemos os valores da coluna do número de operários (por ser uma grandeza inversamente proporcional à de número de dias): 20 10 6 x 3 1 Daí: 20 = 10 x = 6 x 10 x =3 6 x 20 10 1 Logo, serão necessários: 3 dias • Observações: 1) Quando as grandezas que figuram no problema são inversamente proporcionais, dizemos que a regra de três é inversa. 2) Convém observar que, nos problemas de Matemática, geralmente são consideradas condições iguais. No problema 2, por exemplo, supõe-se que os operários produzam igualmente e que as condições de trabalho também sejam iguais.  EXERCÍCIO – REGRA DE TRÊS 1) Um operário recebe R$ 836,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias? 2) Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 km por dia. Quantos dias seriam empregados para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200 km por dia? 3) Se 1 cℓ de álcool pesa 8 g, a quantos litros equivalem 32,4 kg de álcool? 4) Em um navio com uma tripulação de 800 marinheiros há víveres para 45 dias. Quanto tempo durarão os víveres se o navio receber mais 100 marinheiros? Respostas: 1) R$ 1.463,00 

2) 9 dias

3) 40,5 litros 4) 40 dias

Regra de Três Composta

Como dissemos antes, a regra de três composta ocorrem três ou mais grandezas relacionadas entre si. Neste caso de cada grandeza são dados dois valores, com exceção de uma delas, da 163


qual é dado apenas um valor, relacionado com um dos valores de cada uma das outras grandezas.

 Questões Comentadas 1) Se para imprimir 87.500 exemplares 5 rotativas gastam 56 min, em que tempo 7 rotativas, iguais às primeiras, imprimirão 350.000 desses exemplares? Resolução: Temos a seguinte disposição prática dos dados: Exemplares Rotativos Tempo (min) 87.500 5 56 350.000 7 x Fixando a segunda grandeza (número de rotativas), vemos que a primeira grandeza (número de exemplares) e a terceira (tempo) são diretamente proporcionais, pois duplicando o número de exemplares, o tempo empregado duplicará. Fixando, agora, a primeira grandeza,vemos que a segunda e a terceira são inversamente proporcionais, pois duplicando o número de rotativas, o tempo necessário se reduzirá à metade. Assim temos: 87.500 350.000

5 7

56 x

Invertendo os valores da segunda grandeza, vem: 87.500 350.000

7 5

56 x

O que nos permite escrever, pela propriedade da grandeza proporcional a várias outras: 56 = 87.500 x 7 x 350.000 x 5 Daí: 8 4 x = 56 x 350.000 x 5 x = 160 87.500 x 7 1 1 Isto é: x = 160 min ou x = 2 h 40 min 2) Quinze operários, trabalhando 9 h por dia, construíram 36 m de muro em 16 dias.Em quanto tempo 18 operários farão 60 m do mesmo muro, trabalhando 8 h por dia? Resolução : Temos: operários jornadas comprimentos dias 164

MATEMÁTICA O A O

(h) (m) 15 9 36 16 18 8 60 x Verificaremos, com facilidade, que a quarta grandeza (número de dias) é diretamente proporcional à terceira (comprimento) e inversamente proporcional à primeira (número de operários) e à segunda (jornada de trabalho diário). Assim: 15 9 36 16 18 8 60 x Invertendo os valores da primeira e da segunda grandezas, temos: 18 8 36 16 15

9

60

x

1 5 2 10 1 5 Calculando o valor de x: x = 16 x 60 x 9 x 15 = 5 x 5 x = 25 18 x 8 x 36 2 1 6 1 2 1 Logo os operários farão o muro em 25 dias  EXERCÍCIO – REGRA DE TRÊS –SIMPLES/COMPOSTA 1) Se 35 m de um tecido custam R$ 140, quanto se pagará por 12 m? 2) Se 20 tratores levaram 6 dias para realizar um trabalho, quantos tratores o fariam em 4 dias? 3) Um trem percorreu 24,5 km em 28 min. Que distância percorreria, com a mesma velocidade, em 54 min? 4) Um empreiteiro calculou terminar uma obra em 32 dias, empregando 15 operários. Tendo conseguido apenas 12 operários, em quantos dias terminará o mesmo trabalho? 5) Um operário faz, em 12 dias, um trabalho cuja dificuldade é representada por 0,2. Em quantos dias poderia fazer outro trabalho cujo coeficiente de dificuldade fosse 0,25? 6) Trabalhando 6 h por dia um operário pode fazer um trabalho em 24 dias. Em quantos dias, nas mesmas condições, poderia fazê-lo, trabalhando 8 h por dia? 7) Em um acampamento militar com 300 soldados há víveres para 20 dias. Tendo chegado mais 140 soldados, a quanto 165


se deve reduzir a ração diária para que o alimento dure ainda o mesmo tempo? 8) Uma lebre está 80 m à frente de um cão que a persegue. Enquanto a lebre percorre 19 m, o cão percorre 21 m. Quantos metros deverá percorrer o cão para alcançar a lebre? 9) Um automóvel, correndo com uma velocidade e 84 km/h, deve percorrer uma certa distância em 9 h. Depois de 3 h de viagem houve um desarranjo no motor e o automóvel teve de parar durante 45 min. Com que velocidade deve continuar a viagem para chegar ao ponto final na hora fixada? 10) Se 4 de uma obra foram avaliados em R$ 268.400, qual é o 5 valor de 5 da mesma obra? 11 11) As dificuldades de dois trabalhos estão na razão de 3 para 4. Um operário, que faz 20 m do primeiro trabalho, quantos metros fará do segundo, no mesmo tempo? 12) Duas polias, de 16,8 cm e 11,2 cm de diâmetro, respectivamente estão ligadas por uma correia de transmissão. Enquanto a maior dá 540 voltas, quantas voltas dá a menor? 13) Para fazer um muro de 52 m de comprimento, 30 operários gastam 15 dias de 8 h. Quantos dias de 9 h gastarão 25 operários para fazer 39 m de um muro igual? 14) Comparando-se os preços pelos quais são vendidas diversas frutas, verificamos que 15 peras valem 9 maçãs; 25 abacates valem 15 maçãs; e 16 laranjas valem 12 abacates. Quantas laranjas poderão ser trocadas por 9 peras? 15) Um motoqueiro, numa velocidade de 80 km/h, percorreu certa distância em 6 dias, viajando 4 1 h por dia. 2 “afrouxando” em 1 a sua velocidade e viajando 6 h por dia, 10 quantos dias levará para percorrer a mesma distância? 16) Certo trabalho é executado por 8 máquinas iguais, que trabalham 6 h diárias em 15 dias. Quantos dias levariam 10 máquinas do mesmo tipo para executar o triplo do trabalho anterior,trabalhando 5 h diárias,com a velocidade que torna o rendimento 1 maior? 166

MATEMÁTICA O A O

8 17) Dois cavalos foram pagos em razão direta de suas velocidades e inversa de suas idades. Sabendo que a velocidade do primeiro está para a do segundo como 3 está 4, que as idades do primeiro e do segundo são respectivamente, 3 anos e 9 meses e 5 anos e 4 meses, e que pelo primeiro foram pagos R$ 480, 00, qual foi o preço do segundo? 18) Na construção de uma estrada trabalharam 20 homens durante 18 dias em seguida trabalharam 24 homens durante 10 dias. Em quanto tempo teria ficado pronta se os 24 homens houvessem trabalhado desde o começo? Respostas: 1) R$ 48,00 2) 30 tratores 3) 47,25 km 4) 40 dias 5) 15 dias 6) 18 dias 7) Reduzida em 7/22 8) 840 metros 9) 96 km/h 10) R$ 152.500,00 11) 15 metros 12) 810 voltas 13) 12 dias 14) 12 laranjas 15) 5 dias 16) 38 dias e 2horas 17) 17)R$ 450,00 18) 25 dias  QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 1)

(T.J) A razão entre dez minutos e um dia é de: a) 1:120 b) 1:144 c) 1:180 d)1:196 e) 1:240 167


2)

(C.E.F) O faxineiro A limpa certo salão em 4 horas. O faxineiro B faz o mesmo serviço em 3 horas. Se A e B trabalharem juntos, em quanto tempo, aproximadamente, espera-se que o serviço seja feito? a) 2 horas e 7 min. c) 1 hora e 57 min. e) 1 hora e 36 min. b) 2 horas e 5 min. d) 1 hora e 43 min.

3)

(T.J) Em 4 horas duas torneira enchem um tanque. Sozinha, uma delas encheria o tanque em 7 horas. Quanto tempo seria necessário para a segunda torneira encher o tanque? a) 9 h b) 9h 20min c)9h 30min d) 9h 40min e) 9h 50min

4)

(T.R.E) A idade de um pai está para a idade de seu filho assim como cinco está para dois. Calcule essas idades, sabendo que a diferença entre elas é de 21 anos. a) 37 e 16anos b) 36 e 15anos c) 49 e 18anos d) 35 e 14 anos e) 33 e 12anos

5)

(T.J) A planta de uma casa foi elaborada na escala 1:50. Então, a área real, em metros quadrados, de uma sala cujas medidas na planta são de 12cm e 14cm é: a) 24 b) 28 c) 42 d) 48 e) 54

6)

(SEFAZ) A miniatura de um foguete balístico foi feita na escala de 1/400. O comprimento real do foguete é 116m. O comprimento correspondente na miniatura é de: a) 0,029cm b) 4,6m c) 2,9dm d) 0,34m e)3,44dm

7)

(T.R.E.) Três amigos comparam um terreno de 10.800m 2. Qual é a porção de cada um se o primeiro entrou com R$ 16.000,00, o segundo com R$ 20.000,00 e o terceiro com R$ 24.000,00? a) 3.000m2; 3.800m2 e 4.000m2 c) 2.880m2; 3.700m2 e 4.220m2 e) 2.880m2; 3.600m2 e 4.320m2

8)

b) 3.880m2; 2.600m2 e 4.320m2 d) 3.800m2; 3.680m2 e 4.120m2

(T.J) Duas pessoas associam-se entrando a primeira com R$ 60.000,00 e a segunda com R$ 40.000,00. sabendo-se que a primeira afundou a firma e a segunda participou durante 6 meses, qual a parte do lucro que coube a cada uma se lucraram, no fim de 1(um) ano R$ 96.000,00? 168

MATEMÁTICA O A O

a) R$ 72.000,00 e R$ 24.000,00 c) R$ 74.000,00 e R$ 22.000,00 e) R$ 52.000,00 e R$ 44.000,00

9)

b) R$ 50.000,00 e R$ 46.000,00 d) R$ 70.000,00 e R$ 26.000,00

(T.J.) Uma pequena empresa foi assim constituída: Ana investiu um capital de R$ 1.200,00: decorridos seis meses, ingressou Bia, com um capital de R$ 800,00: ados mais seis meses, foi itida Carla, com um capital de R$ 2.000,00. Após dois (2) anos de funcionamento, a empresa apresentou um lucro de R$ 1.400,00. Considerando que o contrato de formação da empresa estabelece que 4% do lucro apurado destinam-se à constituição de um fundo de reserva, assinale a opção correta, em relação a divisão do restaurante do lucro obtido pela empresa: a) Ana recebeu R$ 600,00; b) Bia recebeu 50% da quantia que coube a Ana; c) Carla recebeu mais de R$ 500,00: d) Ana e Carla receberam juntas mais de 80% do lucro rateado; e) Se não existisse o fundo de reserva, cada sócio teria recebido 4% a mais do que efetivamente recebeu.

10) (BB) Se 78 é dividido em 3 partes proporcionais a 1, 1/3 e 1/16, então a parte do meio será: a) 9 1 b) 13 c) 17 1 d) 18 1 e) 26 3 3 3 11) (TTN) Dividi-se 315 em três partes, A, B, C, que são ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 3, 2 e 5 e inversamente proporcionais a 5, 3 e 6, respectivamente. O maior valor dessas partes é: a) 225 b) 156 c) 145 d) 100 e) 125

12) (TJ) Uma torneira, que jorra 20 litros d´agua por minuto, enche um tanque em 6 horas. Qual o tempo em que encherá o mesmo tanque uma torneira que deite 30 litros d´água por minuto? 169


a) 10 horas b) 09 horas c) 08 horas d) 04 horas e) 02 horas

13) (TJ) Um pneu de boa qualidade roda em média 40.000 km/ano e custa R$ 56,00. Um pneu de qualidade inferior roda 32.000 km/ano. Nessas condições, é interessante adquirir o pneu de qualidade inferior até o preço máximo de: a) R$ 50,00 b) R$ 45,00 c) R$ 46,80 d) R$ 45,20 e) 44,79

14) (TTN) Um navio, com guarnição de 300 homens, necessita de 120.000 litros de água para efetuar uma viagem de 20 dias. Aumentando a guarnição em 50 homens e a água em 6.000 litros. Determine qual poderá ser a duração da viagem. a) 24 dias b) 22 dias c) 20 dias d) 18 dias e) 16 dias 15) (TJ) Um navio cargueiro, com 30 homens de tribulação, encontrou alguns náufragos durante a viagem e reduziu a ração de cada homem de 48 dag para 288g. Quantos eram os náufragos? a) 40 b) 35 c) 30 d) 20 e) 25 16) (BB) 15 operários, trabalhando 8 horas por dia, em 30 dias manufaturam 900 pares de sapatos. Quantos pares serão manufaturados por 8 operários, trabalhando 40 dias de 6 horas, sabendo-se que os novos sapatos apresentam o dobro da dificuldade dos primeiros? a) 85 b) 135 c) 240 d) 480 e) 960 17) (BB) Trabalhando 10 horas, durante 15 dias, 8 pedreiros fizeram uma parede de concreto de 48m 2. Se tivessem trabalhando 12 horas diárias, e se o número de operários fosse reduzido de 2, quantos dias levariam para fazer outra parede cuja área fosse o dobro daquela? a) 33d

b) 33d 8h

c)33d 4h

d)33d 6h

e)33d 5h

18) (PRF) Para construir um muro, João levaria 30 dias e Carlos 25 dias. Os dois começaram a trabalhar juntos, mas após 6 dias, João deixa o trabalho; 2 dias após a saída deste, Carlos também o abandona, Antonio, sozinho, consegue 170

MATEMÁTICA O A O

termina-lo em 24 dias. Para realizar a construção do muro, sozinho, Antonio levaria: a) 50 dias b) 45 dias c) 40 dias d) 35 dias e) 30 dias 19) (SEFAZ) Se x = y = z e 2x + 3y – z = 42, 6 3 7 então 3x + 2y + Z é igual a: a) 91

b)93

c) 95

d) 97

e)99

20) (ANTT) Um adesivo colado em um caminhão de carga indica: “carga máxima 1 ton”, o que significa que aquele caminhão pode transportar, com segurança, no máximo uma tonelada de carga. O caminhão será abastecido com caixas de um certo produto.Cada caixa tem um peso bruto de 4.250g.Nesse caso, ele poderá transportar, no máximo, a seguinte quantidade de caixas. a) 23 b) 24 c)205 d) 235 e) 2350 21) (ANTT) A cada 1200m rodados em viagem, o automóvel de Pascoal gasta 0,09 litro de combustível. Numa viagem, Pascoal gastou 54,9 litros de combustível. O percurso teve então a seguinte quantidade de quilômetros: a) 776 b) 732 c) 688 d) 654 e)586 22) (BNB) Em uma fábrica de automóveis, 3 (três) robôs, trabalhando 8(oito) horas por dia, constroem em 6 (seis) dias, 36 unidades de uma peça nobre utilizada na construção automobilística. Uma equipe de 5 (cinco) robôs trabalhando 6 (seis) horas por dia, constrói 15 unidades da citada peça em: a) 2 dias b) 5 dias c) 4 dias d) 3 dias e) 6 dias 23) (BB) Um bloco de concreto de 3 metros de comprimento, 1,5 metros de largura e 60 cm de espessura pesa 6.300 kg. Quanto pesará um outro bloco do mesmo concreto com 2,2 m de comprimento, 80 cm de largura e 90 cm de espessura? a) 3.686kg b) 3.690kg c) 3.696kg d) 3.966kg e) 0 3.969kg

24) (BB) A uma caixa de água que mede 2,5 m de largura, 0,5 dam de comprimento e 0,004km de altura, acham-se ligadas duas torneiras que fornecem, respectivamente 0,9kl e 20, 8hl de água por hora. Há um escape continuo que perde 0,8 171


dal por minuto. Determinar em quantas horas a caixa ficará cheia, funcionando conjuntamente ambas as torneiras e o escape? a) 22 horas b) 21 horas c) 20 horas d) 19 horas e) 18 horas

25) (TTN) Dividir o número 570 em três partes, de tal forma que a primeira esteja para a segunda assim como 4 está para 5, e a segunda esteja para a terceira assim como 6 está para 12. Nestas condições, a terceira parte vale: a) 120

b) 150

c) 320 d) 300

e) 250

Respostas: 1)

B

06) C

11) E

16) C

21) B

2)

D

07) E

12) D

17) C

22) A

3)

B

08) A

13) E

18) A

23)C

4)

D

09) B

14) D

19) B

24)C

5)

C

10) C

15) D

20) D

25)D

 PERCENTAGEM 

Introdução

172

MATEMÁTICA O A O

Em nosso dia-a-dia é comum observarmos expressões como estas: “Desconto de até 30% na grande liquidação de verão.” “Os jovens perfazem um total de 50% da população brasileira.’’ “A inflação registrada em dezembro foi de 1.93%.” “O rendimento da caderneta de poupança foi de 1,99% em dezembro.” Todas estas expressões envolvem uma razão especial chamada percentagem. 

Taxa Percentual

Suponhamos que um aluno tenha acertado, em um exame, 12 das 15 questões apresentadas. A razão entre o número de questões acertadas e o número total de questões é: 12 = 4 = 0,8 = 8 = 80 = .... 15 5 10 100

(

Quando uma razão é apresentada com o conseqüente 100 neste caso, 80 , ela é chamada razão centesimal. 100

)

Uma outra forma de representarmos as razões centesimais, muito usada principalmente no universo econômico-financeiro, é substituir o conseqüente 100 pelo símbolo % (que lemos: por cento). Assim: 80 = 80% (lemos: oitenta por cento) 100 Esse numeral (80%) é denominado taxa percentual. 

Elementos do Cálculo Percentual

Vimos que:

12 = 80 15 100 Neste exemplo, chamando o 12 de percentagem, o 15 de principal e o 80 de taxa, temos: Percentagem = Principal

taxa 100

Daí, obtemos as seguintes definições: Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100. 173

80 100

)


Percentagem é o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma taxa. Principal é o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem. O principal, a percentagem e a taxa são os elementos do cálculo percentual. •



Observação: Na prática, é muito comum: ---- empregarmos as palavras desconto, comissão, multa, parte, quota, abatimento, prejuízo, lucro etc. em lugar de percentagem; ---- designarmos a taxa percentual simplesmente por percentagem. Assim, tanto faz dizermos, em uma situação qualquer, que o lucro foi de R$ 80 ou de 20%

Problemas de percentagem

Representando: •

O principal por P;

•

A percentagem por p;

•

A taxa por r;

Temos, genericamente:



p P

=r 100

Questões Comentadas

1) Escreva a razão 3 em forma de taxa percentual. 4 Resolução: 25 Temos:

3 4

=

x 100

⇒

x =

3 x 100 =

75

4 1

Logo, a resposta e: 75 % 2) Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual sua comissão numa venda de R$ 3.600? Resolução: 174

MATEMÁTICA O A O

Temos: Assim:

P = 3.600 r =3 p

3

=

3.600

p=

⇒

100

3.600 x 3

= 108

100

Logo, a comissão é de: R$ 108 3) Em um colégio 26% dos alunos são meninas. Quantos alunos possui o colégio, se elas são em número de 182? Resolução: Temos: Assim:

p = 182 r = 26 182 P

=

26 100

⇒ P =

182 x 100

= 700

26

Logo, o colégio possui : 700 alunos 4) Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000 e vendido com um lucro de R$ 400. Qual a percentagem de lucro? Resolução: Temos: Assim:

p = 5.000 r = 400 400

r = 5.000 100

⇒ r =

400 x 100 5.000

Logo, o lucro foi de: 8%



EXERCÍCIO - PERCENTAGEM –( I)

1) Exprima sob a forma de taxa percentual as razões: 175

= 8


a)

2 25

b) 19 40

c) 1 4

2) Em uma liquidação, uma camisa que custava R$ 24 foi vendida com 25% de abatimento. De quanto foi o abatimento? 3) Um corretor recebe R$ 2.800 pela venda de duas casas, tendo sido de 5% a taxa de comissão. Qual o valor de venda das propriedades? 4) Uma pessoa devia R$ 20.000 e pagou R$ 7.400. Quantos por cento da dívida foram pagos? Respostas: 1) a) 8%

b) 47,5%

c) 25%

3) R$ 56.000,00

2) R$ 6,00

4) 37%

 Taxa Unitária Vimos que a taxa percentual se refere a 100, isto é: 25 = 25% 100 Porém, na resolução de muitas questões, é mais prático (e, algumas vezes, necessário) tomarmos como valor referencial a unidade, obtendo o que chamamos de taxa unitária (simbolizada por i). Assim: 25 i 25 = = 0,25 ⇒ i = 100 1 100 Temos, então: 25 i = 0,25 = = 25% 100

 Questões comentadas 1) Qual a taxa unitária correspondente a 20%? Resolução: Temos:

20% =

20 100

= 0,2

⇒

Logo, i = 0,2

2) Qual a taxa percentual correspondente a 0,05? Resolução: 176

MATEMÁTICA O A O

Temos:

5

0,05 =

= 5% ⇒

100

Logo, i = 5%

3) Calcule 30% de 15% Resolução: Temos:

30% = 0,3 e 15% = 0,15

Então: 30% de 15% = 0,3 de 0,15 = 0,3 x 0,15 = 0,045 Como:

0,045 = 4,5%

a resposta é : 4,5% 4) Um comerciante vendeu um objeto por R$ 540 com um lucro de 15% sobre esse valor. Quanto ganhou? Resolução: Temos:

P = 540 i = 15% = p = i ⇒ p = Pi P

Como:

15 = 0,15 100

Vem: p = 540 x 0,15 = 81 ⇒ Logo, o comerciante ganhou: R$ 81 5) Um terreno tem 70% de sua área plantada, que corresponde a 154 ha. Qual a área total do terreno? Resolução: Temos:

p = 154 i = 70%

Como:

P p

Vem:

=

= i ⇒ Pi = p ⇒

P = 154 = 220 0,7

70 = 0,7 100 P

=

p i

⇒ Logo, a área total é de : 220 ha

6) Em uma turma de 60 alunos, foram reprovados 9. Quantos por cento dos alunos foram reprovados? 177


Resolução: Temos:

P = 60 p= 9

Como:

p

= i ou i =

P Vem:

p p

i=

9 = 0,15 = 15 = 15 % 60 100

Logo, foram reprovados : 15% dos alunos 

EXERCÍCIO - PERCENTAGEM (II)

1) Exprima, sob a forma de taxa percentual, cada uma das seguintes razões: a)

2 5

b) 1

c) 5 2 d) 3

20

1

e) 37 80

g) 0,125

f) 0,24

h) 0,012

4

2) Escreva as taxas percentuais abaixo como razões, sob a forma mais simples possível: a) 80%

c) 25,2%

b) 66% d) 0,48%

e) 18,6%

g) 0,054%

f) 2 % 3

h) 2 1 % 4

3) Calcule: a) 20% de 300 c) 9% de 50 e) 0,4% de 550 1 b) 15% de R$ 160 d) 6,5% de 1.200 kg f)4 % de 750 2

4) Calcule quantos por cento: a) R$ 121 são de R$ 484;

c) 912,5 g são de 73 kg;

b) 936 g são de 15.600g;

d) 45 ℓ são de 180 dm3

178

MATEMÁTICA O A O

5)

Calcule a quantia da qual: a) R$ 42 representam 5% c) R$ 33 representam 5,5% b) R$ 280 representam 8% d) R$ 320 representam 1,25%

6) Meio representa quantos por cento de

5

?

8 7)

Qual o número cujos 7% valem 28?

8)

Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 70 para obter um lucro de 30%?

9)

Uma nota promissória, cujo valor era de R$ 5.000, foi paga com um desconto de R$ 250. Qual a taxa de desconto?

10) Em São Paulo colhem-se 1.268.000 sacas de café. Se 25% desta produção destinam-se ao consumo interno, qual a quantidade de sacas para este consumo? 11) Um jornal recebia por dia R$ 42.000 de anúncios. Os preços dos anúncios foram aumentados em 6%. Qual será a nova receita diária do jornal? 12) Em quanto por cento aumentou a população de um cidade que era de 67.200 habitantes e agora é de 92.400 habitantes? 13) Um terreno foi vendido por R$ 9.600, recebendo o intermediário de 3% de comissão. Calcule a comissão. 14) Em uma escola, 40% dos alunos são meninas. O total dos alunos é 750. Quantos são os meninos? 15) Em uma cidade, 35% da população é constituída de homens e 40% de mulheres. Qual a população da cidade, se o número de crianças é de 8.000? 16) Vendi uma mercadoria recebendo 25% de entrada e o restante em três prestações de R$ 160 e uma de R$ 180. Qual o preço da mercadoria? 17) Um vendedor recebe 3% de comissão sobre as vendas que efetua. Qual a quantia a receber pelas vendas de R$ 8.000, R$ 3.700 e R$ 9.500?

179


18) Em um dos Grandes Prêmios de Formula 1 largaram 24 carros e terminaram a competição 10 carros. De quanto por cento foi o número de carros que não terminaram a corrida? 19) Um comerciante comprou 120 bonés a R$ 8 cada um. Vendeu a metade a R$ 10 e o restante a R$ 12. De quanto por cento foi o lucro? 20) Um comerciante pagou 20% de uma dívida. Determine a dívida inicial, sabendo que com R$ 43.680 ele pagou 35% do restante. 21) Uma pessoa entregou a um banco a quantia de R$ 562 para pagamento de uma ordem a ser expedida por telegrama. O custo do telegrama foi de R$ 2 e a comissão, de 1 % . Qual o valor da ordem?

8

22) Têm-se duas misturas de álcool com água;uma contém 24ℓ de álcool e120ℓ de água e a outra, 21ℓ de álcool e 112ℓ de água. Qual é a mais forte e em quanto por cento?

23) Uma casa, que está alugada por R$ 9.600 ao ano, foi comprada por R$ 98.000. O proprietário gastou com ela, durante o ano, R$ 1.180 em impostos e reparos. Qual foi a taxa de rendimento do capital empregado? 24) Comprei 6 peças de tecido de 50 m a R$ 9 o metro. Quero vendêlas com um lucro de 30%. Vendo a terça parte à razão de R$ 11 o metro. Por quanto devo vender o metro do tecido restante? 25) Um comerciante adquiriu 3 sacos de 60kg de certo cereal, à razão de R$ 48 o saco. Obteve, por ter pago à vista, um desconto de 5% e teve uma despesa de transporte se R$ 5. Revendendo o cereal a R$ 1 o quilograma, qual será a percentagem de lucro? 26) Em uma partida de futebol, um dos times obteve os seguintes resultados quanto aos chutes a gol: - bolas chutadas fora: 10; - bolas defendidas pelo goleiro adversário:6; - bolas na trave: 2; - gols: 2;

180

MATEMÁTICA O A O

a) Qual a percentagem dos gols em relação às bolas chutadas a gol? b) Qual a percentagem das bolas chutadas fora? c) Qual a percentagem das bolas defendidas pelo goleiro adversário?

27) Um relojoeiro adquire um lote de 120 relógios à razão de R$ 80 cada um. Vende ⅔ a R$ 95 cada um e o restante a R$ 102 cada um. De quanto por cento foi o lucro?

28) Uma dona de casa compra um pedaço de carne com osso e paga R$ 3. Ao desossá-lo, percebe que os ossos correspondem a 12% do peso total. Sabendo que o preço do quilo dessa carne é de R$ 2 e que, durante o cozimento, a carne perde 15% de seu peso, qual o peso do pedaço de carne cozida? 29) Em um concurso prestado por certo número de candidatos houve 18% de aproveitamento, ou seja, 117 aprovados; num outro, a que concorreram 350 candidatos, houve 22% de aproveitamento. Determine quantos candidatos se submeteram ao primeiro concurso e quantos foram reprovados no segundo. 30) Uma pessoa deseja adquirir uma televisão catalogada por R$ 460. Se o pagamento for à vista,a loja oferecerá um desconto de 5%.Como a pessoa não pode fazê-lo, paga 2/5 à vista e o restante em 3 prestações,sofrendo um aumento de 25% sobre a parte relativa às prestações. a)

Qual o preço à vista da televisão?

b)

Qual o valor de cada prestação?

Respostas 1) a) 40%

b) 5% c) 250% d) 325%

15) 32.000

e) 46,25% f) 24% g) 12,5% h) 1,2%

16) R$ 880

2) a) 4

b) 33

5 e) 93

c) 63

50 f)

1

250 g)

27

d) 3 625 h) 9

181

17) R$ 636 18) 58,33% 19) 35,5%


500 3)

150

50.000

400

20) R$ 156.000

a) 60

b) R$ 24,00

c) 4,5

21) R$ 559

d) 78kg

e) 2,2

f) 33,75

22) A primeira; 1,25%

4)

a) 25%

b) 6%

5)

a)R$ 840 b)R$ 3.500 c) R$ 600 d) R$ 25.600 24) R$ 12

6)

80%

7)

400

c) 1,25%

d) 25%

23) 8,59%

25) 26,9% 26)a)10% b) 50% c) 30%

8) R$ 91

27) 21,7%

9)

28) 1,122kg

5%

10) 317. 000

29) 650 e 273

11) R$ 44.520

30)a) R$437 b) R$115

12) 37,5% 13) R$ 288 14) 450 meninos

 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS- O A O 

Introdução

O que vamos estudar neste capítulo são os problemas de percentagem ligados às operações de compra e venda de mercadorias, isto é, vamos aprender a fazer cálculos de lucro ou prejuízo sobre os preços de custo e de venda de mercadorias. 

Vendas com Lucro

A venda de mercadorias pode oferecer um lucro e este lucro pode ser sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda. ●

Observação: 182

MATEMÁTICA O A O

•

Preço de custo de uma mercadoria compreende o preço de aquisição, acrescido das despesas diretas sobre a compra e sobre a venda e, ainda, das despesas de istração e funcionamento da empresa.



Lucro Sobre o Preço de Custo – o a o

Consideremos o seguinte problema: Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o preço de custo. Determine o preço de venda, sabendo que essas mercadorias custaram R$ 500. Sabemos que: ● preço de venda = preço de custo + lucro Como o lucro é de 8% sobre o preço de custo, isto é: Lucro = 0,08 do preço de custo, temos: preço de venda = preço de custo + 0,08 x preço de custo = = ( 1 + 0,08) x preço de custo = = 1,08 x 500 = 540 Logo, o preço de venda é de : R$ 540

•

Fórmula: Chamando de :

Vem:

V C L i

o preço de venda o preço de custo o lucro a taxa unitária do lucro

V=C+L

Como : L = i x C 183


Temos: V = C + i x C V=(1+i)C

Logo :

que nos dá o preço de venda, conhecidos o custo e a taxa de lucro sobre o custo. 

Lucro Sobre o Preço de Venda – o a o

Comprou-se um objeto por R$ 60 e deseja-se ganhar 25% sobre o preço de venda. Qual deve ser este preço? Sabemos que: preço de venda – lucro = preço de compra Como o lucro é de 25% sobre o preço de venda, isto é: Lucro = 0,25 do preço de venda Temos: preço de venda – 0,25 x preço de venda = preço de custo ( 1 – 0,25) x preço de venda = preço de custo Ou: Ou ainda:

Preço de venda =

preço de custo = 60 0,75

= 80

0,75

Logo, o preço de venda deve ser de : R$ 80 • Fórmula: Temos

V–L=C

Como:

L=ixV

Vem:

V–ixV=C ⇒ (1–i)V=C

Logo

V=

C

1–i Que nos dá o preço de venda, conhecidos o preço de custo e a taxa de lucro sobre o preço de venda. Vendas Com Prejuízo Analogamente ao que ocorre com o lucro, uma mercadoria pode ser vendida com prejuízo sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda. 184 

MATEMÁTICA O A O

Prejuízo Sobre o Preço de Custo – o a o Considere o seguinte problema: Um objeto foi vendido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabendo que esse objeto custou R$ 30, qual foi o preço de venda ? Sabemos que: preço de venda = preço de custo – prejuízo 

Como o prejuízo é de 40% sobre o preço de custo, isto é: prejuízo = 0,4 do preço de custo Temos: preço de venda = preço de custo – 0,4 x preço de custo= = ( 1 – 0,4) x preço de custo = = 0,6 x preço de custo = 0,6 x 30 = 18 Logo, o preço de venda foi de : R$ 18 •

Fórmula: Chamando de P o prejuízo, vem: V= C–P Como:

P= i x C

Temos:

V = C – iC

Logo:

V = (1 – i ) C

que nos dá o preço de venda, conhecidos o custo e a taxa do prejuízo sobre o custo.

Prejuízo Sobre o Preço de venda – o a o Uma casa que custa R$ 96.000 foi vendida com um prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda. 185 


Sabemos que: preço de venda + prejuízo = preço de custo Como o prejuízo é de 20% sobre o preço de venda, isto é: prejuízo = 0,2 do preço de venda, temos: preço de venda + 0,2 x preço de venda = preço de custo ou: ( 1 + 0,2) x preço de venda = preço de custo ou ainda: preço de venda =

preço de custo = 96.000

= 80.000

1,2 1,2 Logo, o preço de venda será de: R$ 80.000 •

Fórmula: Como:

V+P = C e P=i x V

Temos:

V + iV = C ⇒ ( 1 + i ) V = C

Logo:

V=

C 1+i

que nos dá o preço de venda, conhecidos o preço de custo e a taxa do prejuízo sobre o preço de venda.  Questões Comentadas 1) Vendi um objeto por R$ 276 e ganhei na venda 15% sobre o preço de custo. Quanto custou o objeto? Resolução: Temos: V = 276 i = 15% = 0,15 Como: V = C(1+ i ) ou C( 1 + i) = V Vem: C ( 1 + 0,15) = 276 ⇒ 1,15 x C = 276 ⇒ C =

276 1,15

⇒ C = 240

Logo, o objeto custou: R$ 240 2) Comprei uma mercadoria por R$ 480. Sendo minha intenção vendê-la com um lucro de 20% sobre o preço de venda, qual deve ser este último ? 186

MATEMÁTICA O A O

Resolução: Temos: C = 480 r = 20% = 0,2 Como:

V =

Vem: V =

C

1–i 480 = 480 ⇒ V = 600 1 – 0,2 0,8

Logo, o preço de venda deve ser de: R$ 600 3) Um terreno foi comprado por R$ 5.000 e vendido por R$ 6.500. De quanto por cento foi o lucro sobre o preço de compra? Resoluçaõ Temos: C = 5.000 V = 6.500 Lembrando que: V = C(1 + i ) ou C( 1 + i ) = V 6.500 65 Vem: 5.000 ( 1+ i ) = 6.500 ⇒ 1 + i = ⇒i = -1⇒ 5.000 50 ⇒i=

65 – 50

⇒ i =

15

50 50 Logo, o lucro sobre o custo foi de: 30%

⇒ i = 0,3

4) Quanto custou um objeto vendido por R$ 248 com um prejuízo de 20% sobre o preço de custo? Resolução: Temos: V = 248 i = 20% = 0,2 Como: V = C(1 – i ) ou C( 1 – i ) = V Vem: C ( 1 - 0,2) = 248 ⇒ 0,8 x C = 248 ⇒ C =

248 0,8

⇒ C = 310

Logo, o objeto custou: R$ 310 5) Um terreno foi vendido por R$ 50.600, dando um prejuízo de 8% sobre o preço de venda. Quanto havia custado? Resolução: 187


Temos:

V = 50.600 i = 8% = 0,08

Lembrando que: V = Vem:

C 1+i

ou

C = 1+i

V

C = 50.600 ⇒ C = 50.600 ⇒ C = 50.600 x 1,08 ⇒ C = 54.648 1+ 0,08 1,08

Logo, o terreno havia custado: R$ 54.648 

EXERCÍCIO – OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIA - (I)

1) Um comerciante comprou determinada mercadoria por R$ 650. Por quanto deverá revende-la para obter um lucro de 30%? 2) Um aparelho de som foi vendido por R$ 360. Qual o lucro obtido, sabendo que o mesmo foi calculado na base de 25%? 3) Um objeto comprado por R$ 80 foi revendido por R$ 104. Qual a taxa pela qual se calculou o lucro sobre o preço de custo? 4) Um objeto foi vendido, com prejuízo de 10%, pelo preço de R4 36. Quanto havia custado? 5) Uma agência vendeu um carro por R$ 8.500. Sabendo que na venda teve um prejuízo de 15% sobre o preço de venda, quanto custou esse carro? Respostas: 01) R$ 845 

02) R$ 72 03) 30%

04) R$ 40

05) R$ 9,775

Descontos Sucessivos – o a o

Nesse item,vamos aprender a calcular os descontos sucessivos sobre uma importância resultante de um negócio efetuado. Consideremos o seguinte problema: Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de 10%, 4% e 5%. Sabendo que o valor da fatura é de R$ 48.000, qual ao valor líquido da mesma? Basta, evidentemente, calcularmos os líquidos parciais correspondentes aos abatimento oferecidos, respeitando a ordem das taxas, até obtermos o liquido final. Assim, chamando o valor liquido de L, temos: 188

MATEMÁTICA O A O

P = 48.000 i1 = 10% = 0,1

i2 = 4% = 0,04

i3 = 5% = 0,05

Como: p1 = P x i1 ⇒ p1 = 48.000 x 0,1= 4.800 ⇒ L1 = 48.000 – 4.800 = 43.200 p2 = L1 x i2 ⇒ p2 = 43.200 x 0,04 = 1.728 ⇒ L2 = 43.200 – 1.728 = 41.472 p3 = L2 x i3⇒ p3 = 41.472 x 0,05 = 2.073,6⇒ L3 = 41.472– 2.073,6 = 39.398,4

O valor líquido da fatura é de: R$ 39.398 

Fórmula do Desconto sucessivo L = P ( 1 – i1 ) ( 1 – i2 ) ( 1 – i3 )... ( 1 – in ) Onde: i1 , i2 , i3 ... in , são taxas sucessivas.

● Observação: •

Para aumentos sucessivos, temos M = P ( 1 + i1 ) ( 1 + i2 ) ( 1 + i3 )... ( 1 + in )

 Questões Comentadas 1)

Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de 10%, 4% e 5%. Sabendo que o valor da fatura é de R$ 48.000, qual o valor liquido da mesma? Resolução: Temos: Assim:

P = 48.000 i1 = 10% = 0,1 i2 = 4%= 0,04 i3 = 5% = 0,05 L = 48.000 ( 1 – 0,1 ) ( 1 – 0,04) ( 1 – 0, 05 ) = = 48.000 x 0,9 x 0,96 x 0,95 = 39,398, 4

O valor líquido da fatura é de: R$ 39.398

2)

Sobre um artigo de R$ 2.500 incide um imposto federal de 10% e um estadual de 4%.Qual o preço final desse artigo? Resolução: 189


Temos:

P = 2.500 i1 = 10% = 0,1

i2 = 4% = 0,04

Assim: M= 2.500 ( 1 + 0,1 ) ( 1 + 0,04) = 2.500 x 1,1 x 1,04 = 2.860 Logo, o preço final é de: R$ 2.860 

EXERCÍCIO – Operações sobre mercadoria – (II)

1) Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 40 para ganhar 15% sobre o custo? 2) Vendendo por R$ 56 um objeto que custou R$ 50, qual será a percentagem de lucro? 3) Um objeto foi revendido por R$ 701, dando um prejuízo de 20% sobre o custo. Quanto havia custado? 4) Quanto por cento sobre o custo se perdeu ao se vender por R$ 238 um objeto que custou R$ 280? 5) Uma casa foi vendida por R$ 53.700, dando um lucro de 35% sobre o custo. Quanto havia custado/ 6) Calcule o preço de venda de um objeto que comprei por R$ 450, tendo uma perda de 15% sobre o preço de compra. 7) Calcule o preço de venda de um objeto comprado por R$ 84, para ganhar 30% sobre o preço de venda. 8) Calcule o preço de venda de um objeto que comprei por R$ 540, tendo perdido 20% do preço de venda. 9) Vendendo um imóvel por 120.000, tive um prejuízo de 18% sobre o preço de venda. Por quanto comprei? 10) Vendi um objeto por R$ 280, com um lucro de 20% sobre o preço de venda. Qual o preço de compra? 11) Quanto por cento ganhei sobre o preço de venda de um objeto que me custou R$ 360 e foi vendido por R$ 450 12) De quanto por cento foi meu prejuízo sobre a venda de um objeto que me custou R$ 280 e foi vendido por R$ 250? 13)Vendi um objeto por R$ 120. Se tivesse vendido por mais R$ 20, meu lucro seria de 50% do preço da nova venda. Qual foi o meu lucro? 190

MATEMÁTICA O A O

14) Calcule o prejuízo de um comerciante que vendeu certas mercadorias por R$ 26.410, perdendo, nessa transação, a quantia equivalente a 5% sobre o preço de custo. 15) Se eu tivesse mais 50% da quantia que tenho poderia pagar uma dívida de R$ 5.000 e ainda ficaria com R$ 700. Quanto tenho? 16) Certa mercadoria foi vendida por R$ 3.232, com o prejuízo de 8,7% sobre o preço de compra. Por quanto deveria ser vendida para dar lucro de 12% sobreo seu preço de custo? 17) Em um exercício de tiro ao alvo um soldado fez 40% a mais do que outro. Se os dois juntos fizeram 720 pontos, quanto fez cada soldado? 18) Calcule o liquido de uma duplicata no valor de R$ 8.600 que sofreu a redução de 15% sobre esse valor total e, em seguida, outro abatimento de 8% sobre o líquido da primeira redução. 19)comprei 2.000 kg de feijão, a R$ 1 o quilo; vendi 600 kg com um lucro de 25% sobre o preço de compra e o resto com 12% de lucro sobre o preço de venda da primeira parte. Calcule o lucro total 20) Sobre o preço de compra de uma mercadoria incide uma despesa de 15%. Por quanto devemos vender essa mercadoria, comprada por R$ 540, para que tenhamos um lucro de 25% sobre o preço de compra, reando a despesa para o comprador? 21) Uma pessoa comprou um automóvel de R$ 15.800 (preço de tabela) com desconto de 2,5%. No dia seguinte, vendeu o automóvel pelo valor de 2% acima do preço da tabela. Qual foi a taxa percentual de lucro total dessa pessoa? 22) O que significa a expressão “4% dos 5% de uma grandeza? 23) Um comerciante comprou 450 unidades de um certo eletrodoméstico, ao custo de R$ 420 a unidade. Vendeu 340 unidades com 30% de lucro. Depois vendeu o restante com certo prejuízo. Sabendo que a venda de todo estoque, nas condições acima, deixou R$ 38.660 de lucro líquido, calcule o preço pelo qual foi vendida, em cada caso, a unidade do eletrodoméstico. 24) Um objeto foi vendido com 25% de lucro e outro com 30%. Por quanto foi vendido cada um, se os dois foram vendidos por R$ 2.142? 191


25) Um comerciante comprou várias peças de tecido por R$ 38.200 e uma certa quantidade de arroz por R$ 29.000. Vendeu o tecido com 8% de prejuízo e o arroz com 12% de lucro. Ao todo, ganhou ou perdeu? Quantos por cento? 26) Um comerciante pagou 30% de uma dívida; do restaurante, pagou 20% e com R$ 28.000 liquidou a dívida. Determine o valor da dívida. 27) Um objeto foi vendido com 15% de prejuízo e outro com 35% de lucro. Por quanto foi vendido cada um, se os dois foram vendidos por R$ 748? 28) Certa mercadoria foi vendida por R$ 7.475, com lucro de 15%: em seguida, foi revendida por R$ 8.447. De quanto por cento foi o lucro final sobre o valor inicial dessa mercadoria? 29) Uma pessoa empregou seu capital, sucessivamente, em quatro empresas. Na primeira apurou 100% e em cada uma das outras perdeu 15%. Quanto ganhou sobre o capital primitivo? 30) sobre uma fatura de R$ 150.000 foram feitos descontos sucessivos de 8%, 5% e 2%. Qual é o valor líquido da fatura? Respostas: 1) R$ 46

11) 20%

21) 4,62%

2) 12%

12) 12%

22) 0,2% da Grandeza

3)

13) R$ 50

23) 340und.a R$ 546 e110und a R$ 382

R$ 876

4) 15%

14) R$ 1.390

24) R$ 1.050 e R$ 1.092

5) R$ 39.778 15) R$ 3.800

25) Ganhou 0,63%

6) R$ 383

16) R$ 3.965

26) R$ 50.000

7) R$ 120

17) 420 e 300 27) R$ 289 e R$ 459

8) R$ 450

18) R$ 6.725 28) 29,95%

9) R$ 141.600 19) R$ 710

29) 22,825%

10) R$ 224

30) R$ 128.478

20) R$ 776

 TEORIA DOS CONJUNTOS 192

MATEMÁTICA O A O



Conceitos Primitivos:

Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definição, isto é, são consideradas noções primitivas: a) conjunto b) elemento c) pertinência entre elemento e conjunto Representação – Relação De Pertinência



A noção matemática de conjunto é praticamente mesma que se usa na linguagem comum: é o mesmo que agrupamento, classe, coleção, sistema. Eis alguns exemplos : 1) Conjunto das vogais 2) Conjunto dos algarismos romanos 3) Conjunto dos números ímpares positivos Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto é chamado elemento. Assim, nos exemplos anteriores, temos os elementos: 1) a, e, i, o, u 2) I, V, X, L, C, D, M 3) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula, A, B, C,..., e um elemento com uma letra minúscula, a, b, c, d, x, y,... . Sejam A um conjunto e x, um elemento. Se x pertence ao conjunto A, escrevemos: x∈A Para indicar que x não é elemento do conjunto A, escrevemos: x∉A É habitual representar um conjunto pelos pontos interiores a uma linhafechada e não entrelaçada. Assim, na representação abaixo temos: A

a



b c

* Nota: No caso de usarmos um círculo para representar um conjunto, estaremos usando d o assim chamado diagrama de Euler-Venn.

a ∈ A, b ∈ A e d ∉ A Conjunto Unitário - Conjunto Vazio

Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento. 193


Exemplos: 1º) Conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos: {1} 2º) Conjunto das soluções da equação 3x + 1= 10: {3} Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento algum. O símbolo usual para o conjunto vazio é ∅. Obtemos um conjunto vazio quando descrevemos um conjunto por meio de uma propriedade P logicamente falsa. 1º) { x  x ≠ x } = ∅

Exemplos:

2º) { x  x é impar e múltiplo de 2 } = ∅ 

EXERCÍCIO – CONJUNTOS ( I )

1. Dê os elementos dos seguintes conjuntos: A = { x  x é letra da palavra matemática} B = { x  x é cor da bandeira brasileira } 2. Complete com (V) se verdadeiro ou (F) se falso as afirmações: a) 0 ∈ Ν ( )

d) ∅ ∈ { 1, 2 } ( )

g) { 1 } ∈ { 1, {1} } (

)

b) 0 ∉ ∅ ( )

e) {1,2} ∈ {1, 2} ( )

h) { 1 } ∉ { 1, ∅ } (

)

c) {1} ∈ { 1,2 } ( )

f) ∅ ∈ { 1, ∅ } ( )

i) ∅ ∉ { 1, {1} }

)

(

3. Quais dos conjuntos abaixo são unitários? 9 ex> 6 B = { x 0 . x = 2} 4 5 C = { x x é inteiro e x2 = 3} D = { x 2x + 1 = 7 } 4. Quais dos conjuntos abaixo são vazios? A={x0.x=0} C = { x  x é divisor de zero } B = x x > 9 e x < 6 D = { x  x é divisível por zero} A=

x x <

4

5

Respostas: 1. A = { m, a, t, e, i, c } B = { Verde, Amarelo, Azul, Branco} 2. a) V b) V c) F d) F e) F f) V g) V h) F i)F 3. D = { 3 } 4. B = ∅ D = ∅  Conjuntos Iguais Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. 194

MATEMÁTICA O A O

Em símbolos:

A = B ⇔ ( ∀x) (x ∈ Α ⇔ x ∈ B )

Exemplos: 1º) { a, b, c, d } = { d, c, b, a } 2º) { 1, 3, 5,7,9, ...} = { x  x é inteiro, positivo e impar} 3º) { x 2x + 1 = 5 } = { 2 } * Nota: Observemos que na definição de igualdade entre conjuntos não intervém a noção de ordem entre os elementos; portanto: { a, b, c, d } = { d, c, b, a} = { b, a, c, d} 

Subconjuntos – Conjuntos Das Partes – Inclusão

Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se , todo B elemento de A pertence também a B. A Com a notação A ⊂ B indicamos que “A ésubconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “ A é parte de B”. * Notas: 1) Quando A ⊂ B, também O símbolo ⊂ é denominado sinal de podemos escrever B ⊃ A, Inclusão. Em símbolos, a definição que lê-se “B contém A” fica assim. 2) Com a notação A ⊄ B A ⊂ B ⇔ (∀x) ( x ∈ A ⇒ x ∈ B) indicamos que “A não está contido em B”, isto Exemplos: é, a negação de A ⊂ B. 1º) {a,b} ⊂ {a, b, c,d}

3) È evidente que A ⊄ B somente se existe ao menos um elemento de A que não pertence a B.

2º) {a} ⊂ {a, b} 3º) {a, b} ⊂ {a, b} 

Conjunto Das Partes

195


Dado um conjunto A, chama-se o conjunto das partes de A - notação P (A) – aquele que é formado por todos os subconjuntos de A. Em símbolos:

P (A) = { x x ⊂ A}

Exemplos 1º) Se A = {a}, os elementos de P (A) são ∅ e {a}, isto é: P (A) = { ∅, {a} }. 2º) Se A = {a, b}, os elementos de P (A) são ∅, {a},{b},{a, b} isto é: P (A) = { ∅, {a},{b},{a, b} }. 3º) Se A = {a, b, c,}, os elementos de P (A) são ∅, {a},{b}, {c}, {a,b}, {a,c},{b,c} e {a,b,c},isto é: P (A) = { ∅, {a},{b}, {c},{a, b},{b,c}, {c,a}, {a,b,c} }. *Nota: A quantidade de subconjuntos é determinada pela potência: n[ p (A) ] = 2n(A) 

Propriedades Da Inclusão Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários,valem as seguintes propriedades: 1ª) ∅ ⊂ A 2ª) A ⊂ A (reflexiva) 3ª) (A ⊂ B e B ⊂ A ) ⇒ A = B (anti-simétrica) 4ª) (A ⊂ B e B ⊂ C ) ⇒ A ⊂ C (transitiva)

 Questões Comentadas 1. Dados A = { 1, 2, 3, 4 } e B = { 2, 4 }, a) escreva com os símbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentenças: 1ª) 3 é elemento de A 4ª) B é igual a A 2ª) 1 não está em B 5ª) 4 pertence a B 3ª) B é parte de A b) classifique as sentenças anteriores em falsa ou verdadeira. Resolução: 1ª) 3 ∈ A ( V ) 3ª) B ⊂ A ( V ) 5ª) 4 ∈ B ( V ) 2ª) 1 ∉ B ( V ) 4ª) B = A ( F ) 2. Sendo A = {1,2}, B = {2,3}, C= {1,3,4} e D = {1,2,3,4}, 196

MATEMÁTICA O A O

classifique em V ou F cada sentença abaixo e justifique: a) A ⊂ D

c) B ⊂ C

e) C = D

b) A ⊂ B Resolução:

d) D ⊃ B

f) A ⊄ C

a) V, pois 1 ∈ A, 1 ∈ D, 2 ∈ A e 2 ∈ D

e) F, pois 2 ∈ D e 2 ∉ C

b) F. pois 1 ∈ A e 1 ∉ B

f) V, pois 2 ∈ A e 2 ∉ C

c) F, pois 2 ∈ B e 2 ∉ C d) V, pois 2 ∈ B, 2 ∈ D, 3 ∈ B e 3 ∈ D  EXERCÍCIO – CONJUNTOS (II) Diga se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças abaixo. a) 0 ∈ { 0, 1, 2, 3, 4 } b) {a} ∈ {a,b} c) ∅ ∈ {0} d) 0 ∈ ∅ e) {a} ⊂ ∅ 

f) a ∈ {a, {a} } g) {a} ⊂ {a, {a} } h) ∅ ⊂ { ∅ , {a} } i) ∅ ∈ { ∅, {a}} j) {a,b} ∈ {a,b,c,d}

Operações Entre Conjuntos  União – o a o Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. A ∪ B = { x  x ∈ A ou x ∈ B }

* Nota: O conjunto A ∪ B (lê-se “ A reunião B” ou A ∪ B” ) é formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A e B. Exemplos: 1º) {a, b} ∪ {c,d} = {a,b,c,d} 2º) {a,b} ∪ {a,b,c,d} = {a,b,c,d} 3º) {a,b,c,} ∪ {c,d,e} = {a,b,c,d,e} 

Propriedades da reunião Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades: 1ª) A ∪ A = A ( idempotente) 2ª) A ∪ ∅ = A (elemento neutro)

3ª) A ∪ B = B ∪ A (comutativa) 4ª) (A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (associativa)

197




Intersecção – o a o Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B.

A ∩ B = { x x ∈ A e x ∈ B } * Nota: Se x ∈ A ∩ B, isso significa que x pertence a A e também x pertence a B. O conectivo ∩ colocado entre duas condições significa que elas devem ser obedecidas ao mesmo tempo. Exemplos:



1º) {a,b,c,} ∩ { b,c,d,e} = {b,c} 2º) {a,b} ∩ {a,b,c,d} = {a, b} 3º) {a,b,c} ∩ {a,b,c} = {a, b, c} 4º) {a, b} ∩ {c, d} = ∅

Propriedades da interseção

Sendo A, B, e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades: 1ª) A ∩ A = A

(idempotente)

2ª) A ∩ U = A

( elemento neutro)

3ª) A ∩ B = B ∩ A ( comutativa ) 4ª) A ∩ ( B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (associativa)

 Questões Comentadas 1. Dados os conjuntos A = {1,2,3}, B= {3,4} e C = { 1,2,4}, determine o conjunto X tal que X U B = A U C e X ∩ B = ∅. Resolução a) X U B = { 1,2,3,4}, então os possíveis elementos de X são: 1, 2, 3 e 4. b) X ∩ B = ∅ ⇒ 3 ∉ X e 4 ∉ X Conclusão: X = {1,2} 2. Dados:A ={1,2} e B={2,3,4},determine o conjunto X tal que A ∩ X = {1}, B ∩ X = {3} e A U B U X = { 1,2,3,4,5}. ( A = {1,2} e A ∩ X = {1}) ⇒ (1 ∈ X e 2 ∉ X ) (B = {2,3,4,} e B ∩ X = {3} ) ⇒ (3 ∈ X, 2 ∉ X e 4 ∉ X) (A U B U X = { 1,2,3,4,5}, 5 ∉ A e 5 ∉ B) ⇒ (5 ∈ X) Logo, X = {1,3,5} 198

MATEMÁTICA O A O



EXERCÍCIO – CONJUNTOS ( III )

1) Dados os conjuntos A = {a,b,c}, B = {c,d} e C = {c, e}, determine A U B, A U C, B U C e A U B U C . 2) Dados os conjuntos A = {a,b,c,d,}, B = {b,c,d,e} e C = {c,e,f}, descreva A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C e A ∩ B ∩ C. 3) Classifique em V ou F: a) ∅ ⊂ (A U B)

d) (A U B ) ⊂ (A U B)

b) (A U B ) ⊂ A

e) B ⊂ (A U B)

c) A ⊃ ( A U B) f ) (A U B) ⊂ (A U B U C) itindo que A, B e C são conjuntos quaisquer 4) Determine o conjunto X tal que: {a,b,c,d} U X = {a,b,c,d,e}, {c, d} U X = {a,c,d,e} e {b, c,d} ∩ X = {c} 5) Sabe-se que A U B U C = { n ∈ Ν  1 ≤ n ≤ 10}, A ∩ B= {2,3,8}, A ∩ C = {2,7}, B ∩ C ={2,5,6} e A U B = { n ∈ Ν  1 ≤ n ≤ 8}. Determine C. 6) Determine o número de conjuntos X que satisfazem a relação {1,2} ⊂ X ⊂ {1,2,3,4}. 7) Assinale no diagrama abaixo, um de cada vez, os seguintes conjuntos: a) A ∩ B ∩ C b) A ∩ (B U C) c) A U (B ∩ C)

A B

C

d) A U B U C 8) Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos, C com 4 elementos. Qual é o número máximo de elementos de (A∩B)∩C? 9) Classifique em V ou F: a) ∅ ⊂ (A ∩ B ) b) A ⊂ (A ∩ B ) c) A ∈ (A ∩ B) d) (A ∩ B) ⊂ (A ∩ B) e) (A ∩ B) ⊂ B f) (A ∩ B) ⊃ ( A ∩ B ∩ C) 199


itindo que A, B e C são conjuntos quaisquer. Respostas: 3. a) V

b) F

c) F

d) V

e)V

f)V

4. X = { a, c, e} 5. C = { 2, 5, 6, 7, 9, 10} 6. 4, são eles: { 1,2 }, { 1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,3,4} 8. 2 elementos 9. a) V

b) F f) V

c) F

d) V

e)V

Diferença – o a o



Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. A–B ={xx∈A e x ∉ B} Exemplos 1º) {a,b,c} – {b, c,d,e} = {a}

3º) {a,b} – {c,d,e,f} = {a,b}

2º) {a,b,c} – {b,c} = {a}

4º) {a,b} – {a,b,c,d,e} = ∅

4) Complementar – o a o Dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A, chama-se Complementar de B em relação a A o conjunto A – B, Isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.

A

B

Com o símbolo B

∁

AB

OU B

Indicamos o complementar de B em relação a A * Nota

B

Temos que ∁ A

só é definido para B ⊂ A, aí temos:

B

∁A

= A–B 200

B

MATEMÁTICA O A O

Exemplos 1º) Se A = { a, b, c, d. e} e B = { c, d, e}, então: B

∁A

= { a, b}

2º) Se A = { a, b, c, d} = B, então: B

∁

= ∅

A

3º) Se A = { a, b, c, d} e B = ∅, então: B

∁A

= { a, b, c, d } = A

 Questões Comentadas 1) Dados A = {a, b, c,} , B = {a, c,e,f} e C = { d, e, f, g} e considerando o conjunto Universo U = {a,b,c,d,e,f,g,h} determine: a) Ac – (B ∩ C)

b) (A U C) – ( B U C) c

Resolução a) Ac = U – A = {d,e,f,g,h} B ∩ C = {e, f} Logo Ac – ( B ∩ C) = {d,g,h}

b) A U C = {a,b,c,d,e,f,g} B U C = {a,c,d,e,f,g} ( B U C) c = U – (B U C) = {b,h}

Logo A U C – ( B U C) c = {a,c,d,e,f,g} 2) No conjunto universo U = {a,b,c,d,e,f} consideremos o subconjunto A = {a,b,c}. Determinar o subconjunto X tal que A – X = { b, c}, A ∩ X ≠ ∅ e Ac ∩ X = ∅. Resolução (A = { a,b,c}, A – X = {b,c} e A ∩ X ≠ ∅) ⇒ (b ∉ X, c ∉ X e a ∈ X) (Ac = {d,e,f} e Ac ∩ X = ∅ ) ⇒ (d ∉ X, e ∉ X e f ∉ X ) Então X = {a} U Em diagrama: •d

A •b

x a• •c 201

•f •e

Ac


3) Sendo conhecidos n (A) = número de elementos do conjunto A, n(B) = número de elementos do conjunto B e n (A ∩ B) = número de elementos de A∩B,determinar o número de elementos de AU B. Resolução

A

Notemos que A U B é formado pelos elementos

B A – (A ∩ B) B

A∩

B – (A ∩ B)

• que pertencem só a A: há n (A) – n ( A ∩ B) elementos. • que pertencem só a B: há n (B) – n ( A ∩ B) elementos. • que pertencem a A e a B: há n (A ∩ B) elementos. Então: n(A U B)=[ n (A) – n ( A ∩ B) ]+ [ n(B) – n (A ∩ B)] + n (A ∩ B) n (A U B) = n (A) + n(B) - n (A ∩ B) 4) Num grupo de motoristas há 28 que dirigem carro, 12 que dirigem moto e 8 que dirigem carro e moto. Quantos motoristas há nesse grupo? Quantos só dirigem carro? Resolução C = Conjunto dos que dirigem carro M = Conjunto dos que dirigem moto Número total de motoristas: n(C U M) = n(C) + n (M) – n (C ∩ M) = 28 + 12 – 8 = 32 Número dos que dirigem só carro: n (C) – n (C ∩ M) = 28 – 8 = 20 C Também podemos resolver o problema construindo M 8 o diagrama ao lado. Marcamos os 8 elementos 4 20 comuns, depois completamos o conjunto C (tem 28 elementos – como 8 são comuns há mais 20 que pertencem só a C) e o conjunto M (tem 12 elementos – como 8 são comuns há mais 4 que pertencem só a M) 5) Numa classe de 36 alunos temos: 19 jogam futebol, 25 jogam vôlei, 13 jogam basquete, 12 jogam futebol e vôlei, 8 jogam vôlei e basquete, 8 jogam futebol e basquete e 4 praticam os três esportes. Determine: a) quantos alunos da classe não praticam estes esportes? b) quantos praticam exatamente um destes esportes? c) quantos praticam exatamente dois destes esportes? 202

3 8

9

4 4 4 4

MATEMÁTICA O A O

Resolução Construímos o diagrama começando pelos 4 elementos que praticam os três esportes ( F ∩ V ∩ B). Depois completamos F ∩ V (12 elementos), V ∩ B (8 elementos) e F∩ B(8 elementos. Finalmente completamos F (19 elementos), V (25 elementos) e B ( 13 elementos). Como marcamos 4+8+4+4+3+9+1= 33 elementos e a classe tem 36 alunos, há 3 que não praticam nenhum dos esportes. As respostas São: a) 3 b) 3 + 9 + 1 = 13 c) 8 + 4 + 4 = 16 U F 3 9 V 8 4 4 4 1 3 B



EXERCÍCIO – CONJUNTOS ( IV)

1) Seja E = { a, {a}}. Diga quais das proposições abaixo são verdadeiras. a) a ∈ E

c) a ⊂ E

e) ∅ ∈ E

b) {a} ∈ E

d) {a} ⊂ E

f) ∅ ⊂ E

2) Sejam os conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {c,d,e,f,g} e C = { b,d,e,g}. Determine: a) A – B c) C – B e) A – ( B ∩ C) b) B – A d) (A U C) – B f) (A U B ) – (A ∩ C) 3) Dados os conjuntos A={1,2,3,4,5}, B={1,2,4,6,8} e C={2,4,5,7}, obtenha um conjunto X tal que X ⊂ A e A – X = B ∩ C. 4) Sendo A um conjunto qualquer, determine: a) A – A

b) A – ∅

c) ∅ – A

5) Dados A = {1,2,3}, B = {1,2,3,4,5} e C = {2,3} determine: a)BCA

b) ) C Bc

c) C Ac

203

1


6) Sombreie o conjunto pedido em cada diagrama a) A – (B ∩ C)

b) A – (B U C) B

A

B

A

C

C

7) Sombreie o conjunto pedido em cada diagrama. b) ( A U B ) – ( A ∩ B)

a) (A – B) U ( B – A ) A

B

A

B

8) Denominamos diferença simétrica dos conjuntos A e B ao conjunto A ∆ B ( leia: A delta B) dado por A ∆ B = (A – B ) U ( B – A ). Dados A={0,3,6,9,12,15,18} e B = { 0,2,4,6,8,10,12} determine A ∆ B. 9) Considere no conjunto universo U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} os subconjuntos A = {2,3,5,7} e B = {1,3,5,7,9}. Determine: a) Ac

c) (A ∩ B) c

b) Bc

d) (A U B) c

10)Classifique em verdadeiro ou falso, supondo que A e B são subconjuntos quaisquer de um universo U: a) A – B = A ∩ Bc

d)O complementar de Ac é A, isto é (Ac) c = A.

b) A – B c = A ∩ B c) Ac – B c = B – A

e) (A – B) c = (A ∩ B c ) c = Ac U B.

11) Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam inglês, 163 estudam francês e 52 estudam ambas as línguas. Quantos alunos estudam inglês ou francês? Quantos alunos não estudam nenhuma das duas? 12) Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo: Marca número de

A

B

C

A e B B e C C e A A, B e C Nenhuma das três

consumidores 109 203 162 25

41

204

28

5

115

MATEMÁTICA O A O

Forneça: a) o número de pessoas consultadas b) o número de pessoas que só consomem a marca A; c) o número de pessoas que não consomem as marcas A ou C; d) o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas 13) Em certa comunidade há indivíduos de três raças: branca, preta e amarela. Sabendo que 70 são brancos, 350 não são pretos e 50% são amarelos, responda: a) quantos indivíduos tem a comunidade? b) quantos são os indivíduos amarelos? 14) De todos os empregados de uma firma, 30% optaram por um plano de assistência médica. A firma tem a matriz na capital e somente duas filiais, uma em Santos e outra em Campinas. 45% dos empregados trabalham na matriz e 20% dos empregados trabalham na filial de Santos. Sabendo que 20% dos empregados da capital optaram pelo plano de assistência médica e que 35% dos empregados da filial de Santos o fizeram, qual a porcentagem dos empregados da filial de Campinas que optaram pelo plano? 15) Determine os conjuntos A, B, e C que satisfazem as seguintes seis condições: 1ª) A U B U C = { z,x,v,u,t,s,r,q,p} 2ª) A ∩ B = {r,s} 3ª) B ∩ C = {s, x} 4ª) C ∩ A = {s, t} 5ª) A U C = {p,q,r,s,t,u,v,x} 6ª) A U B = {p,q,r,s,t,x,z} 16) Considerando os conjuntos A, B e C, representados ao lado, e sabendo que: n (A U B) = 24 n (A ∩ B) = 4 n (B U C) = 16 n (A – C ) = 11 n (B – C ) = 10, calcule:

C A

a) n (A – B) b) n (A ∩ B ∩ C) c) n (B – ( C U A) ) d) n ((A ∩ B) – C) e) n ( B – (A ∩ B) ) 205

B


Respostas 1) a, b, d, f 2) a) {a,b} b) {e, f, g} c) {b} d) {a,b} e) { a, b, c} f) {a,c,e,f,g} 3) X = {1,3,5} 4)

a) ∅ b) A c)∅

5)

a) {4,5} b) {1,4,5} c {1}

8)

A ∆ B = {2,3,4,8,9,10,15,18}

9) a){1,4,6,8,9,10} b){2,4,6,8,10}

c){1,2,4,6,8,9,10} d){4,6,8,10}

10) a) V b) V c) V d) V e) V 11) 332 e 83 12) a) 500 b) 61 c) 257 d) 84 13) a) 560 b) 280 14) 40% 15) A = { p,q,r,s,t } B = { r,s,x,z } C = { s,t,u,v,x } 16) a) 8

b) 1

c) 7

d) 3

e) 12

206

MATEMÁTICA O A O

 QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 01) (Guarda-M) Numa academia de ginástica foi feita uma pesquisa para saber o número de pessoas matriculadas em alongamento (A), hidroginástica (H) e musculação (M), chegando-se ao seguinte resultado: Atividade Física Número de Pessoas

A

H

M

AeH

109 203 162

25

AeM 28

HeM

A,H e M

41

Outras Atividades

5

115

Com base nessas informações, pode-se concluir que a pesquisa foi feita com: a) 500 pessoas b) 573 pessoas c) 600 pessoas d) 688 pessoas 02) (UECE) Se A é um conjunto finito, seja n(A) o número de elementos de A. sejam X, Ye Z três conjuntos tais que: n ( X ) = 100, n (Y) = 90, n (z) = 80, n (X – ( Y U Z) ) = 50, n ( X ∩ Y ∩ Z) = 10 e n ( X ∩ Y ) = n( X ∩ Z) = n (Y ∩ Z) Nestas condições o número de elementos que pertencem a mais de um conjunto é: a) 70

b) 80

c) 90

d) 100

03) (FGV) Dados os conjuntos A = {a,b, c, d}, B = {b,c,d,e}, C= {a, c, f}, então [(A – B) U (B – C) U (A ∩ B)] ∩ [ (A ∩ C) U (B ∩ A ∩ C)] é: a) { a, b,c,d,e}

d) {a, b}

b) { a, b, c,d}

e) {b, c, d}

c) {a,c} 04) (FATEC) Assinale a alternativa verdadeira. Se A e B são dois conjuntos, não vazios, e ∅ é o conjunto vazio, então: a) { x  x ∈ A e x ∈ B} = A U B b) B ⊃ ( A ∩ B) c) A ∩ ∅ = {∅} d) B – A = x implica C B A = x e) A ⊂ A ∩ B 05) (CESGRANRIO) Sejam os conjuntos U = { 1,2, 3, 4} e A = {1, 2 }. O conjunto B tal que B ∩ A = {1} e B ∪ A = U é: a) ∅

b) {1}

c) {1,2} 207

d) {1,3,4}

e) U


06) (PUC-RS) Dados os conjuntos A = { a,b,c}, B = {a,d} e C = {a,b,d}, o conjunto X tal que A U C = B U X e B ∩ X = ∅ é: a) {a}

b) {b}

c) {c}

d) {a,b}

e) {b,c}

07) (U.F.RS) O conjunto A é subconjunto de B e A ≠ B, A U (B – A) é: a) B b) A c) ∅ d) A – B e) A ∩ B 08) (U.F.RN) A parte hachurada do gráfico abaixo corresponde a: a) ( A ∩ B) – B A b) (A ∩ C) – B B c) (B ∩ C) – A d) (A ∩ C) – A e) (A ∩ B) – C C 09) (F.SANTANA) Na figura abaixo, estão representados os conjuntos A, B e C não vazios. A região sombreada representa o conjunto: a) (A ∩ B) – C

A

b) ( A U B U C) – C

B

c) ( A – B) – C d) (B U C) ∩ A e) A ∩ B ∩ C

C

10)(U.F.PE) Considere os seguintes conjuntos: A = {1,2, {1,2 }}

B= {{1}, 2}

e

C = {1,{1}, {2}}

Assinale abaixo a alternativa falsa: a) A ∩ B = { 2 } b) B ∩ C = {{1}} c) B – C = A ∩ B d) B ⊂ A e) A ∩ P (A) = {{1,2}}, onde P (A) é o conjunto dos subconjuntos de A

208

MATEMÁTICA O A O

11) (FGV) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a 3 produtos:A,B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: 210 pessoas compram o produto A. 210 pessoas compram o produto B. 250 pessoas compram o produto C. 20 pessoas compram os 3 produtos. 100 pessoas não compram nenhum dos 3 produtos. 60 pessoas compram os produtos A e B. 70 pessoas compram os produtos A e C. 50 pessoas compram os produtos B e C. Quantas pessoas foram entrevistadas ? a) 670

b) 970

c) 870

d) 610

e) 510

12) (FGV) No problema anterior, calcular quantas pessoas compram apenas o produto A; apenas o produto B; Apenas o produto C. a) 210, 210; 250 b) 150; 150; 180 c) 100;120;150

d) 120;140;170 e) n.d.a

13) (FGV) Numa universidade com N alunos, 80 estudam Física, 90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23 Química e Física, 16 Biologia e Química e 8 estudam nas três faculdades.Sabendo-se que esta Universidade somente mantém as três faculdades, quantos alunos estão matriculados na Universidade? a) 304

b) 162 c) 146

d) 154

e) n.d.a.

14) (PUC) Em um exame vestibular, 30% dos candidatos eram da área de Humanas. Dentre esses candidatos, 20% optaram pelo curso de Direito. Do total dos candidatos, qual a porcentagem dos que optaram por Direito? a) 50%

b) 20%

c) 10%

d)6%

e) 5%

15) (PUC) Dentre os inscritos em um concurso público, 60% são homens e 40% são mulheres. Já têm emprego 80% dos homens e 30 % das mulheres. Qual a porcentagem dos candidatos que já têm emprego? a) 60%

b) 40%

c)30%

d) 24%

e) 12%

16) (PUC) sejam A, B ⊂ U. Se x ∈ C (A ∪ B), então: a) x ∈ A ∩ B b) X ∈ A ∪ B

c) x∈ C A ∩ C B d) x ∈ A ∩ C B 209

e) x ∈ C A ∩ B


17) (G.Municipal) Um conjunto A possui o dobro do número de elementos de um conjunto B e o conjunto B possui mais elementos que o conjunto C. Sabendo-se que o conjunto A possui x subconjuntos a mais que o conjunto B e que o conjunto B possui 15 subconjuntos a mais que o conjunto C, o valor de x é: a) 60

b) 120

c) 180

d) 240

18) (F.Carlos Chagas-SP) Se A = { ∅; 3;{3}; {2;3}}, então: a) { 2 ;3} ⊂ A

b) 2 ∈ A

c) ∅ ∉ A

d) 3 ⊂ A

e) {3} ∈ A

19) (MACK-SP) Seja o conjunto A = {3, {3}} e as proposições: (1)3∈A

( 2 ) {3} ⊂ A

( 3 ) {3} ∈ A

então: a) apenas (1) e (2) são verdadeiras

d) todas as proposições são verdadeiras. e) nenhuma proposição é verdadeira.

b) apenas (2) e (3) são verdadeiras c) apenas (1) e (3) são verdadeira

20) (FEC-SP) Dados os conjuntos: M = {3;5;6;}, N = {5;6;7} e P={6;7;8}, podemos afirmar que: a) M ∩ N = ∅

b) 8 ⊂ P

c) 3 ∈ M ∩ N

d)n.d.a.

21) (UF-Uberlândia) Se A = {3;4;5;6;} e B {7;8;9}, então: a) {7} ∈ B b) A ∩ B = {∅} d) A ∪ B = { x ∈ R  3 ≤ x ≤ 9}

c) {5;6} ⊂ A e) ∁BA = B

22) (MACK-SP) Sendo A = {{1}, {2}, {1,2}} pode-se afirmar que: a) {1} ∉ A

c) {1} ∩ {2} ⊄ A

b) {1} ⊂ A

d) 2 ∈ A

e){1} ∪ {2} ∈ A

23)(FUNVEST-SP) Seja A ∆ B a diferença simétrica dos conjuntos A e B, definida pela igualdade: A ∆ B = ( A – B ) ∪ (B – A ). Se A = {a,b,c} e B {b,c,d,e,f} então A ∆ B é o conjunto: a) {a,d,e,f}

b) {b,c,d,f}

c) ∅

210

d) {a}

e) A ∩ B

MATEMÁTICA O A O

24) (UFOP – MG) Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são homens ou jogam xadrez e 3 mulheres jogam xadrez. Conclui-se, portanto que: a) 31 são mulheres d) 23 homens não jogam xadrez. b) 29 são homens e) 9 homens jogam xadrez. c) 29 mulheres não jogam xadrez 25) (STA.Casa-SP) Feito exame de sangue em um grupo de 200 pessoas, constatou-se o seguinte: 80 delas têm sangue com fator Rh negativo, 65 têm sangue tipo O e 25 têm sangue tipo O com fator Rh negativo. O número de pessoas com sangue de tipo diferente de O e com fator Rh positivo é: a) 40 b) 65 c) 80 d) 120 e) 135 26) (UFC) Depois de n dias de férias, um estudante observa que: (1) Choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; (2) quando chove de manhã não chove a tarde; (3) houve 5 tardes sem chuva; (4) houve 6 manhãs sem chuva; Então n é igual a: a) 7 b) 9

c) 10

d) 11

e) 13

27) (UNIFOR) Relativo ao conjunto X = {∅, {1}, {1,2}, {1,2,3}} e seus elementos, é correto afirmar que: a) {1} ⊂ X c) {1,2} ∈ [1,2,3} e) 1 ∈ X b) ∅∈ X d) {1,2,3} ⊂ X 28) (UNIFOR) Um conjunto X tem 32 subconjuntos, dois dos quais são: A = {a,b,c } e B = { a, b,d,e }. Nessas condições, é verdade que: a) X – B = {a,b} b) X = {a, b,c,d} c) X = A ∩ B d) X = B – A e) X – A = { d, e} Respostas: 01) A 02) A 03) C 04) D 05) D 06) E 07) A

08) B 09) A 10) D 11) D 12) C 13) B 14) D

15) A 16) C 17) D 18) E 19) D 20) D 21) C

22) E 23) A 24) C 25) C 26) B 27) B 28) E 211


 RACIOCÍNIO LÓGICO - QUANTITATIVO O Estudo da Lógica



Na Grécia antiga, há mais de dois mil anos, viveram inúmeros pensadores cujas idéias permanecem vivas até os dias de hoje. Aristóteles, que viveu no século IV antes de Cristo , foi um deles. Esse filósofo pode ser considerado o primeiro a se preocupar com o estabelecimento de regras para Proposição. Ele fez um estudo minucioso de certos tipos de proposições, estabelecendo Regras para distinguir os que são verdade daqueles que não o são. Estudar matemática pode ser um exercício permanente de Lógica. Cada proposição que fazemos, por mais complicada que pareça, pode ser sempre justificada a partir de outras mais simples, encandeadas adequadamente. Proposição Chama-se proposição ou sentença toda oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou falsa. 

Observemos que toda proposição apresenta três características obrigatórias: 1ª) sendo oração, tem sujeito e predicado; 2ª) é declarativa ( não é exclamativa nem interrogativa ); 3ª) tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeira (V) ou é falsa (F). Exemplos São proposições a) b) c) d) e)

Nove é diferente de cinco. (9 ≠ 5) Sete é maior que três. ( 7 > 3) Dois é um número inteiro. ( 2 ∈ Ζ ) Três é divisor de onze. ( 3/11 ) Quatro vezes cinco é igual a vinte. ( 4 x 5= 20)

• Dessas proposições, todas são verdadeiras exceto d. • Não são consideradas proposições as frases: f) g) h)

Três vezes cinco mais um. ( 3 x 5 + 1) A raiz quadrada de dois é um número racional? (√2 ∈ Q ?) O triplo de um número menos um é igual a onze. ( 3x – 1 = 11) 212

MATEMÁTICA O A O

A frase f não é tem predicado, a frase g é interrogativa e a frase h não pode ser classificada em verdadeira ou falsa. Negação A partir de uma proposição p qualquer, sempre podemos construir outra, denominada negação de p e indicada com o símbolo ~ p. 

Exemplos a) p: Nove é diferente de cinco (9 ≠ 5) ~ p: Nove é igual a cinco ( 9 = 5) b) p: Sete é maior que três. ( 7 > 3) ~ p: Sete é menor ou igual a três ( 7 ≤ 3) c) p: Dois é um número inteiro. ( 2 ∈ Ζ ) ~ p: Dois não é um número inteiro. (2 ∉ Ζ ) d) p: Três é divisor de onze: ( 3/11 ) ~ p: Três não é divisor de onze. ( 3 11) e) p: Quatro vezes cinco é igual a vinte. ( 4 x 5= 20) ~ p: Quatro vezes cinco é diferente de vinte. ( 4 x 5 ≠ 20) Para que ~ p seja realmente uma proposição devemos ser capazes de classifica-la em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular (decretar) o seguinte critério de classificação: A proposição ~ p tem sempre o valor oposto de p, isto é, ~ p é verdadeira quando p é falsa e ~ p é falsa quando p é verdadeira. Esse critério está resumido na tabela ao lado, denominada tabela-verdade da proposição ~ p Assim, reexaminando os exemplos anteriores, temos que ~ p é verdadeiro no exemplo d e ~ p é falsa nos demais. 

P

~p

V F

F V

EXERCÍCIO – RACIOCÍNIO LÓGICO ( I )

1) Quais das sentenças abaixo são proposições? No caso das proposições, quais são verdadeiras? a) 5 x 4 = 20

e) 1 + 3 ≠ 1 + 6

b) 5 – 4 = 3

f) ( – 2)5 ≥ ( – 2)3

c) 2 + 7 x 3 = 5 x 4 + 3

g) 3 + 4 > 0

d) 5(3 + 1) = 5 x 3 + 5 x 1

h) 11 – 4 x 2 213


2) Qual é a negação de cada uma das seguintes proposições? Que negações são verdadeiras?

() () 1

7<

1

a) 3 x 7 = 21 b) 3 x (11 – 7 ) ≠ 5

e)

c) 3 x 2 + 1 > 4

f)

d) 5 x 7 – 2 ≤ 5 x 6

g) – (– 4 ) ≥ 7

2

3

h) 3 7

2

√2 < 1

Respostas 1) São proposições: a, b, c, d, e f, g São verdadeiras: a, c, d, e,g 2) a) 3 x 7 ≠ 21( F)

() ()

b) 3 (11 – 7 ) = 5 ( F )

f) √2 ≥ 1 (V)

c) 3 x 2 + 1 ≤ 4 (F)

g) – (– 4) < 7 (V)



1 7≥

d) 5 x 7 – 2 > 5 x 6 (V) e)

2

h) 3

1 3(F) 2

7 ( V)

Os Quantificadores

Em relação ao conjunto A = { 6, 8, 9, 10, 12} podemos dizer que: • qualquer que seja o elemento de A, ele é um número natural, • existe elemento de A que é um número par, • existe um único elemento de A que é impar. • Não existe elemento de A que é número primo. Em Matemática dispomos de símbolos próprios para representar as expressões grifadas acima. Estes símbolos, chamados quantificadores, são os seguintes: ∀ ( leia: qualquer que seja) ∃ ( leia: existe) ∃ ( leia: existe um único) ∃ ( leia: não existe) Colocando-se x ∈ A ao lado de cada um deles, temos: ∀x ∈ A : qualquer que seja x pertencente a A, ( ou para todo x pertencente a A) ∃x ∈ A : existe x pertencente a A. 214

()

MATEMÁTICA O A O

∃  x ∈ A: existe um único x pertencente a A. ∃ x ∈ A : não existe x pertencente a A.

Então, no caso do conjunto A = { 6,8,9,10,12} temos: ∀x ∈ A, x é natural. ∃x ∈ A x é par. ∃  x ∈ A  x é ímpar. ∃ x ∈ A  x é primo. Já a sentença (∀x ∈ A, x é par) é falsa, porque 9 ∈ A e 9 não é par. Em outras palavras a sentença (∀x ∈ A, x é par) é falsa porque (∃x ∈ A x não é par) é verdadeira. Dizemos que a sentença (∃x ∈ A x não é par) é a negação lógica da sentença (∀x ∈ A, x é par). Quando uma sentença é a negação lógica da outra, sendo uma delas verdadeira a outra é falsa. A negação lógica de uma sentença tipo (∀x, x tem a propriedade P) é a sentença (∃xx não tem a propriedade P). Por exemplo, a negação de “todo sorvete é gostoso” é “existe sorvete que não é gostoso”. A negação lógica de uma sentença do tipo ( ∃x x tem a propriedade P ) é a sentença ( ∃ x tem a propriedade P) ou, equivalentemente, (∀x, x não tem a propriedade P). por exemplo, para negar que “existe menino de cabelos verdes”, podemos dizer “não existe menino de cabelos verdes” ou “nenhum menino tem cabelos verdes”, ou ainda, “todo menino não tem cabelos verdes”. 

Implicação e Equivalência

Se for verdade que “todo brasileiro entende de futebol”, então também é verdade que “todo maranhense entende de futebol” (porque, afinal, os maranhenses também são brasileiros). Isto significa que da afirmativa a, “todo brasileiro entende de futebol”,podemos tirar como conclusão b: “todo maranhense entende de futebol”. ( È lógico que também podemos tirar outras conclusões como, por exemplo, todo paulista entende de futebol, todo gaúcho entende de futebol e até todo carioca entende de futebol.). Quando de uma afirmação a podemos tirar uma conclusão b dizemos que a implica b. Indicamos: a ⇒ b ( leia: a implica b, ou se a então b) Se também de b podemos tirar como conclusão a, dizemos que a e b são equivalentes. Neste caso indicamos: 215


a ⇔ b ( leia: a é equivalente a b, ou a se e somente se b) Exemplos: 1) sendo x um número inteiro, que pode ser positivo, nulo ou negativo, temos que: x = 2 ⇒ x2 = 4 Notemos que de x2 = 4 não podemos tirar a conclusão de que x = 2 (porque poderíamos ter x = - 2). Assim x 2 = 4 não implica x = 2 , logo x2 = 4 não equivale a x = 2. Quando a não implica b escrevemos: a ⇒ b ( leia: a não implica b) Quando a não equivale a b escrevemos: a ⇔ b ( leia: a não equivale a b) 2) Imaginemos agora que E é um subconjunto de um conjunto F e seja x um elemento qualquer. Podemos afirmar que se x ∈ E, então x ∈ F. x∈E⇒x∈F F X E

E também podemos afirmar que se x ∉ F, então x ∉ E. x ∉F⇒x∉E A afirmativa x ∉ F é a negação de x ∈ F. Costumamos representar a negação de uma afirmativa a pelo símbolo ~ a ( leia : não a). De modo geral, quando a ⇒ b Também temos que : ~ b ⇒ ~ a E

X

F

Na verdade, vale a equivalência: ( a ⇒ b ) ⇔ (~ b ⇒ ~ a) 3) Com os símbolos estudados podemos escrever as definições de subconjuntos e da igualdade de conjuntos como segue: A ⊂ B ⇔ ∀x, ( x ∈ A ⇒ ∈ B) x é baiano ⇒ x é brasileiro A=B⇔(A⊂BeB⊂A) x não é brasileiro⇒ x não é baiano E temos também que: A ⊄ B ⇔ ∃x  x ∈ A e x ∉ B brasileiros baianos

216

MATEMÁTICA O A O

 EXERCÍCIO – RACIOCÍCIO LÓGICO ( II ) 1) Sendo A = { 2,3,5,7,11,13,17,19}, classifique em verdadeiro ou falso: a)∀x ∈ A, x é menor que 20. f)∀x,(x∈A⇒x é maior que 10). b)∀x,(x∈A ⇒ x é número primo).g) ∃x ∈ A  x é maior que 10. c) ∃x ∈ Ax é impar. h) ∃x ∈ A  x é maior que 10. d) ∃x ∈ A x é par. i) ∃ x ∈ A x é negativo. e) ∃x ∈ Ax é maior que 10. j)∀x,(x é número primo⇒x∈A). 2) Seja A o conjunto de todos os cariocas e B o conjunto de todas as pessoas inteligentes. itindo que é verdadeira a frase “ todo carioca é inteligente”, como se representam num diagrama os conjuntos A e B? 3) A negação da sentença A ⊂ B (“todo elemento de A pertence a B”) é a sentença A ⊄ B (“existe elemento de A que não pertence a B”). Então, qual é a negação da frase “todo carioca é inteligente” ? 4) considerando os conjuntos A e B do exercício 2, e supondo que “exista carioca que não é inteligente” podemos ter os seguintes casos: I II III A

B

A

B

A

B

Associe cada caso a uma das seguintes sentenças: a) Nenhum carioca é inteligente b) Existe carioca inteligente, carioca não inteligente e inteligente que não é carioca c) Existe carioca não inteligente, mas todo inteligente é carioca 5) Sendo a e b números quaisquer,classifique em verdadeiro ou falso: a) a – b = 0 ⇔ a = b b) a + b = 0 ⇔ (a = 0 e b ≠ 0) . 6) Dê a negação (lógica) de cada sentença. a) Existe menina feia. b) Todo menino gosta de futebol. 217


c) Nenhuma menina gosta de futebol. d) Tudo que é bom engorda. 7) Em todo sábado que não chove, Ricardo anda de bicicleta. Se no sábado ado Ricardo não andou de bicicleta, o que você pode concluir? 8) Considere a afirmativa a: “todo aluno que gosta de Matemática também gosta de poesia”. a) Qual é a negação lógica de a? b) Se a é verdadeira, o que se pode concluir a respeito de um aluno que não gosta de poesia? c) Se a é verdadeira e Adriana não gosta de Matemática, pode-se concluir que Adriana não gosta de poesia? Respostas 1) a) V b) V e) F f) F i) V j) F

c) V g) V

d) V h) F

2) B

A

3) Existe carioca que não é inteligente. 4) a) II

b) I

5) a) V

b) F

c) III

6) a) Nenhuma menina é feia. b) Existe menino que não gosta de futebol (ou também: nem todo menino gosta de Futebol.) c) Existe menina que gosta de futebol. d) Nem tudo o que é bom engorda. (ou também: existe o que é bom e não engorda.) 7) Sábado ado choveu. 8) a) Existe aluno que gosta de Matemática e não gosta de poesia. b) Que o aluno não gosta de Matemática c) Não. 218

MATEMÁTICA O A O



Os Conectivos – o a o

A partir de proposições dadas podemos construir novas proposições mediante o emprego de dois símbolos lógicos chamados conectivos: Conectivos ∧ (lê-se: e) e o conectivo ∨ (lê-se: ou). Conectivo v ( ou ) Colocando o conectivo v entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p v q, denominada disjunção das sentenças p e q. Exemplos 

1) p: 5 > 0 ( cinco é maior que 0) q: 5 > 1 ( cinco é maior que um) p ∨ q: 5 > 0 ou 5 > 1(cinco é maior que zero ou maior que um) 2) p: 3 = 3 ( três igual a três) q: 3 < 3 ( três menor que três) p ∨ q: 3 ≤ 3 (três menor ou igual a três) 3) p: 10 é um número primo q: 10 é um número composto q ∨ q: 10 é um número primo ou composto 4) p: 34 < 26 q: 22 < ( - 3 )5 p ∨ q: 34 < 26 ou 22 < ( - 3 )5 Vamos postular um critério para decidir o valor lógico (V ou F) de uma disjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q: A disjunção p ∨ q é verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira; se p e q são ambas falsas, então p ∨ q é falsa. Esse critério está resumido na tabela ao lado, Denominada tabela-verdade da proposição p ∨ q.

219

p V V F F

q V F V F

p∨q V V V F


Revendo os exemplos anteriores, temos: 1) p: 5 > 0 ( V ) q: 5 > 1 ( V ) então: p ∨ q: 5 > 0 ou 5 > 1(V) 2) p: 3 = 3 ( V ) q: 3 < 3 ( F ) então: p ∨ q: 3 ≤ 3 ( V ) 3) p: 10 é número primo ( F ) q: 10 é número composto ( V ) então: p ∨ q: 10 é número primo ou composto ( V ) 4) p: 34 < 26 (F) q: 22 < ( - 3 )5 ( F ) então: p ∨ q: 34 < 26 ou 22 < ( - 3 )5 ( F ) Conectivo ∧ ( e ) Colocando o conectivo, ∧ entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p ∧ q, denominada conjunção das sentenças p e q. 

Exemplos 1) p: 2 > 0 q: 2 ≠ 1 p ∧ q: 2 > 0 e 2 ≠ 1 2) p: – 2 < – 1 q: (– 2)2 < (– 1)2 p ∧ q: – 2 < – 1 e (– 2)2 < (– 1)2 3) p: um quadrado de lado a tem diagonal 2a q: um quadrado de lado a tem área a2 p ∧ q: um quadrado de lado a tem diagonal 2a e área a2 4) p: 2 / 5 ( 2 é divisor de 5) q: 3 / 5 ( 3 é divisor de 5) p ∧ q: 2 / 5 e 3 / 5 ( 2 e 3 são divisores de 5) Vamos postular um critério para estabelecer um valor lógico ( V ou F) de uma conjunção a partir dos valores lógicos(conhecidos ) das proposições p e q: A conjunção p ∧ q é verdadeira se p ∧ q são ambas 220

MATEMÁTICA O A O

verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então p ∧ q é falsa. Esse critério está resumido na tabela ao lado, p q p ∧q em que são examinadas todas as possibilidades para p e q. V V V Essa tabela é denominada V F F tabela-verdade da proposição p ∧ q. F V F F F F Reexaminando os exemplos anteriores, temos: 1) p: 2 > 0 (V) q: 2 ≠ 1 (V) então: p ∧ q: 2 > 0 e 2 ≠ 1 ( V ) 2) p: – 2 < – 1 (V) q: (– 2)2 < (– 1)2 ( F ) então: p ∧ q: – 2 < – 1 e (– 2)2 < (– 1)2

(F)

3) p: um quadrado de lado a tem diagonal 2a ( F ) q: um quadrado de lado a tem área a2 (V) Então:p ∧ q: um quadrado de lado a tem diagonal 2a e área a2 ( F ) 4) p: 2 / 5 ( F ) q: 3 / 5 (F) então: p ∧ q: 2 / 5 e 3 / 5  Questões Comentadas itindo verdadeiras as premissas: (1) O professor não erra. (2) João é distraído. (3) Quem é distraído erra.

(F)

Classifique em V ou F as seguintes conclusões: a) João não é professor. b) Nenhum professor é distraído. Resolução P = Conjunto dos professores D = Conjunto dos distraídos E = Conjunto dos que erram

P João D

(1)⇒P∩E=∅ ( 2 ) ⇒ João ∈ D (3)⇒D⊂E

E

221


a) V (pois D ∩ P = ∅ e João ∈ D, logo João ∉ P ) b) V ( pois D ∩ P = ∅ )  EXERCÍCIO - RACIOCÍNIO LÓGICO ( III ) 1) Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas: a) 3 > 1 e 4 > 2 e) 1 < 3 ou 5 b) 3 > 1 ou 3 = 1 2 4 11 Respostas:

c) 2/4 ou 2/(4 + 1)

f) (– 1)6 = – 1 e 25 < (– 2)7

d) 3( 5 + 2 ) = 3 x 5 + 3 x 2 e 3/7

g) √16 = 6 ou mdc (4,7) = 2

2) Partindo das premissas: (1) Todo repórter é esperto. (2) Todo repórter é formado em jornalismo. (3) Jamil é esperto. (4) Adelaide é jornalista. Pode-se concluir que: a) Adelaide é esperta? b) Jamil é repórter?

c) Há jornalistas espertos?

3) Forme a negação de cada frase. a) Juliana é alta e loira b) Sandro pratica natação e corrida. 4) Forme a negação de cada sentença. a) Osmar é palmeirense ou vascaíno b) Simone gosta de ler ou de ouvir música. 5) (GV-SP) Um grupo de 4 pessoas será formado, escolhendo-se entre 3 homens ( F,G,H) e 4 mulheres ( W, X,Y,Z). O grupo deverá ter pelo menos 2 homens e as seguintes condições deverão ser respeitadas: F se recusa a trabalhar com Y G se recusa a trabalhar com W Y se recusa a trabalhar com Z a) Se Y pertence ao grupo, quais serão os outros membros? b) Classifique em Verdadeiro ou Falso: I – Se F não é escolhido, W também não o é. II – Se H não é escolhido, Z o é. III – Se G não é escolhido, W o é. Respostas: 1) a) V b) V c) V d)F e)V f)F g) F 2) a) não b) não c) sim 3) a) Juliana não é alta ou não é loira. b) Sandro não pratica natação ou não pratica corrida. 4) a) Osmar não é palmeirense e não é vascaíno.

222

MATEMÁTICA O A O

b) Simone não gosta de ler e não gosta de ouvir música. 5) a) 6, H e X b) I) V II) V III) F.



Os Condicionais – o a o

Ainda a partir de proposições dadas podemos construir novas proposições mediante o emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais: o condicional se...então... (Símbolo: → ) e o condicional ... se, e somente se, ....( Símbolo ↔). 

Condicional → ( se... então...)

Colocando o condicional → entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p → q, que lê-se: “se p, então q”, “p é condição necessária para q”, “q é condição suficiente para p”. No condicional p → q, a proposição p é chamada antecedente e q é chamada conseqüente. Exemplos 1) p: dois é divisor de quatro ( 2/4 ) q: quatro é divisor de vinte ( 4/20 ) p → q: se dois é divisor de quatro, então quatro é divisor de vinte (2/4 → 4/20) 2) p: dois vezes cinco é igual a dez ( 2 x 5 = 10) q: três é divisor de dez (3/10) p → q: se dois vezes cinco é igual a dez, então três é divisor de dez (2x5=10 → 3/10) 3) p: cinco é menor que dois ( 5 < 2) q: dois é número inteiro ( 2 ∈ Ζ ) p → q: se cinco é menor que dois, então dois é número intero (5 < 2 → 2 ∈ Ζ)

(

4) p: um meio é menor que um terço

1 < 1 2 3

)

q: três é igual a cinco ( 3 = 5) p → q: se um meio é menor que um terço, então três é igual a cinco 1 < 1 → 3=5 2 3 Vamos postular um critério de classificação para a proposição p → q baseado nos valores lógicos de p e q.

(

)

O condicional p → q é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa; caso contrário, p → q é verdadeiro. 223

)


Esse critério está resumido na tabela ao lado, denominada tabela-verdade da proposição p → q. Revendo os exemplos dados temos: 1) p é V e q é V, então p → q é V 2) p é V e q é F, então p → q é F 3) p é F e q é V, então p → q é V 4) p é F e q é F, então p → q é V 

p

q

V V F F

V F V F

p→q V F V V

Condicional ↔ ( se, e somente se)

Colocando o condicional ↔ entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p ↔ q, que lê-se: “p se, e somente se, q”, “p é condição necessária e suficiente para q”, “q é condição necessária e suficiente para p ou “ se p, então q” e reciprocamente. Exemplos 1) p: 2 / 12 q: 2 x 7 /12 x 7 p ↔ q: 2/12 ↔ 2 x 7/12 x 7

3) p: 6 = 12 : 3 q: 3.6 = 18 p ↔ q: 6 = 12 : 3 ↔ 3 x 6 = 18

2) p: 3 = 6 4) p: 4 ≤ 3 2 4 q: 4 x 5 ≤ 3 x 5 q: 3 x 4 ≠ 6 x 2 p ↔ q: 4 ≤ 3 ↔ 4 x 5 ≤ 3 x 5 p ↔ q: 3 = 6 ↔ 3 x 4 ≠ 6 x 2 2 4 Vamos postular para o condicional classificação:

p ↔ q o seguinte critério de

O condicional ↔ é verdadeiro somente quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas; se isso não acontecer, o condicional ↔ é falso. Assim a tabela-verdade da proposição p ↔ q: é a que está ao lado. Revendo os exemplos dados temos: 1) p é V e q é V, então p ↔ q é V 2) p é V e q é F, então p ↔ q é F 224

p

q

p↔q

V V F F

V F V F

V F F V

MATEMÁTICA O A O

3) p é F e q é V, então p ↔ q é F 4) p é F e q é F, então p ↔ q é V  EXERCÍCIO – RACIOCÍNIO LÓGICO ( IV ) 1) Escreva a tabela-verdade contendo duas proposições p e q com possíveis resultados dos conectivos e condicionais. 2) Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das proposições abaixo. a) 2 – 1 = 1→ 5 + 7 = 3 x 4 e) 2/8 → mmc (2,8) = 2 b) 22 = 4 ↔ ( - 2)2 = 4

f) 6 ≤ 2 ↔ 6 – 2 ≥ 0

c) 5 + 7 x 1 = 10 → 3 x 3 = 9

g) 3 < 2 → 3 x 7 = 2 x 5

d) mmc (3,6) = 1 ↔ 4 é número primo

5

7

3) itindo que p e q são verdadeiras e r é falsa, determine o valor ( V ou F) de cada proposição abaixo. a) p → r

e) p → ( q → r)

b) p ↔ q

f) p → ( q ∨ r )

c) r → p

g) ~ p ↔ ~ q

d) (p ∨ r) ↔ q

h) ~ p ↔ r

4) Sendo a proposição p → ( r ∨ s) falsa e a proposição (q ∧ ~ s ) ↔ p verdadeira, classifique em verdadeira ou falsa as afirmações p, q, r, s. Respostas: 2) a) V

b) v c) V

3) a) F b) V c) V

d)V e) F f) F g) V d) V e) F f) V g) V h) V

4) p (V), q (V), r ( F), s ( F). 

Tautologias

Seja v uma proposição formada a partir de outras (p,q,r,...) mediante o emprego de conectivos ( ∨ ou ∧ ) ou de modificador ( ~ ) ou de condicionais (→ ou ↔). Dizemos que v é uma tautologia ou proposição logicamente verdadeira quando v tem o valor lógico V (verdadeira) independentemente dos valores lógicos de p, q, etc. 225


Assim a tabela – verdade de uma tautologia v apresenta só V na coluna de v. Exemplos 1) ( p ∧ ~ p ) → (q ∨ p) é uma tautologia, pois: p

~p

q

p ∧ ~ p q ∨ p ( p ∧ ~ p) → (q ∨

p) V V

V F

F F

F F

V V

V V

2) ~ (p ∧ q ) ↔ (~ p ∨ ~ q) é uma tautologia, pois: p q p ∧ q ~(p ∧ q) ~ p ~ q ~ p ∨ ~ q ~ (p ∧ q)↔(~p∨

~q) V V 

V

F

F

F

F

V

Proposições Logicamente Falsas

Seja ƒ uma proposição formada a partir de outras ( p, q, r,...) mediante o emprego de conectivos ( ∨ ou ∧ ) ou de modificador ( ~ ) ou de condicionais (→ ou ↔). Dizemos que ƒ é uma proposição logicamente verdadeira quando ƒ tem o valor lógico F (falsa) independentemente dos valores lógicos de p, q, etc. Assim a tabela – verdade de uma proposição logicamente falsa ƒ apresenta só F na coluna de ƒ . Exemplos 1) p ∧ ~ p é proposição logicamente falsa, pois: p

~p

V F

F V

p ∧ ~ p F F

226

MATEMÁTICA O A O

2) ( p ∨ ~ q ) ↔ (~ p ∧ q ) p q ~ p ~qp ∨ ~q ~ p∧ q V V V F F V 

F F V

F V F

V V F

( p ∨ ~ q ) ↔ (~p ∧ q)

F F V

F F F

Como Negar Proposições – o a o

Vamos destacar os resultados obtidos proposições compostas, conectivas e condicionais. 

para

negar

Negação de uma disjunção ( p ∨ q)

Tendo em vista que ~ (p ∨ q) ⇔ ( ~ p ∧ ~ q), podemos estabelecer que a negação de p ∨ q é a proposição ~ p ∧ ~ q. Exemplos 1) p: o triângulo ABC é isósceles. q: o triângulo ABC é eqüilátero. p v q: o triângulo ABC é isósceles ou eqüilátero ~ (p ∨ q) : o triângulo ABC não é isósceles e não é eqüilátero. 2) p: a = 0 q: b = 0 (p ∨ q): a = 0 ou b = 0 ~ (p ∨ q): a ≠ 0 e b ≠ 0 

Negação de uma conjunção (p ∧ q)

Tendo em vista que ~ (p ∧ q) ⇔ ~ p ∨ ~ q, podemos estabelecer que a negação de p ∧ q é a proposição ~ p ∨ ~ q. Exemplos 1) p: a ≠ 0 q: b ≠ 0 p ∧ q: a ≠ 0 ou b ≠ 0

2) p: 2/4 q: 3/9 p ∧ q: 2/4 e 3/9 227


~ (p ∧ q): a = 0 ou b = 0 

~ (p ∧ q): 2 4 ou 3 9

Negação de um condicional

Já que ~ (p → q) ⇔ p ∧ ~ q, podemos estabelecer que a negação de p → q é a proposição p ∧ ~ q. Exemplos: 1) p: 2 ∈ ℤ

q: 2 ∈ ℚ p → q: 2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ

~ (p → q): 2 ∈ ℤ e 2 ∉ ℚ 2) p: 52 = (− 5) 2 q: 5 = – 5 p → q: 52 = (– 5)2 → 5 = – 5 ~ (p → q): 52 = (– 5)2 e 5 ≠ - 5  Negação de proposições quantificadas a)Uma sentença quantificada com o quantificador universal do tipo (∀x ) (p (x)), é negada assim: substitui-se o quantificador pelo existencial e nega-se p(x), obtendo: (∃x) (~ p(x)). a) (∀x ) ( x + 3) = 5 ( ~ ) (∃x) ( x + 3 ≠ 5) b) Uma sentença quantificada com o quantificador existencial, do tipo (∃x)( p(x)),é negada assim: substitui-se o quantificador pelo universal e nega-se p(x), obtendo:(∀x)( ~p (x)). Exemplos: 1 1 1 1)sentença:(∃ a) 2)sentença:(∃ a) a + ∈ R ≥ a 2 3

( (

negação ( ∀ a)

1 a

) )

∉ R

( (

negação:( ∀ a) a +

 Questões Comentadas

1 2

<

) )

1

3

1) A negação de x ∈ A ∩ B é x ∉ A v x ∉ B. Assim, a negação da sentença “Chico é cantor e compositor” é a sentença “Chico não é cantor ou não é compositor”. 228

) )

MATEMÁTICA O A O

2) A negação de x ∈ A ∪ B é x ∉ A ∧ x ∉ B. Assim, a negação da sentença “Regina gosta de cinema ou gosta de teatro é a sentença “Regina não gosta de cinema e não gosta de teatro”. 3) Verifique, por meio da tabela-verdade, a equivalência da proposição: ( p → q ) ⇔ ( ~ q → ~ p), Resolução: ( p → q ) ⇔ ( ~ q → ~ p) p

q

p →q

V V F

V F V

V F V

~

q F V F

~

p

~

q →

F F V

~

p

V F V

Resposta: A coluna ( p → q ) apresenta o mesmo resultado da coluna ( ~ q → ~ p),o que significa dizer que é verdadeiro o bi condicional ( p → q ) ⇔ ( ~ q → ~ p). 4) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema, se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo: a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema. c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema. d) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória. Resolução: Se Raul não briga com Carla então: Carla não fica em casa Se Carla não fica em casa, então Glória não vai ao cinema Se Glória não vai ao cinema, então Beto não briga com Glória 229


Logo a única opção correta é “ a “. Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. 5) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Julia tem a mesma idade. Se Maria e Julia tem a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então: a) Carlos não é mais velho do que Leila, e João é mais moço do que Pedro. b) Carlos é mais velho que Pedro, e Maria e Julia tem a mesma idade. c) Carlos e João são mais moços do que Pedro. d) Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais moço do que Pedro. e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Julia não tem a mesma idade. Resolução: Se Carlos não é mais velho do que Maria, então João não é mais moço que Pedro Se João não é mais moço que Pedro, então: Maria e Julia não tem a mesma idade Se Maria e Julia não tem a mesma idade, então Carlos não é mais velho que Pedro Logo,a única opção correta é “é”: Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Julia não tem a mesma idade. 

EXERCÍCIO – RACICÍNIO LÓGICO ( V )

1) Diga qual é a negação de cada proposição abaixo . a) mdc (2,3) = 1 ou mmc (2,3) ≠ 6

i) Todo número inteiro é primo é impar.

b) 3 = 6 ou 3 x 10 ≠ 6 x 5 5 10

j) Todo triângulo isósceles é eqüilátero

c) 3 ≥ 1 e – 3 ≥ – 7 7

k) Existe um losango que não é quadrado

d) 22 = 4 → √4 = 2 e) (– 3 )2 = 9 → √ 9 ≠ – 3

l) Existe um número cuja raiz quadrada é zero m) Todo triângulo que tem três ângulos

230

MATEMÁTICA O A O

f) 2 ≤ 5 → 32 ≤ 52

congruentes tem três lados congruentes.

g) (∀x ) ( x > 2 → 3 > 3 ) x

2

h) ( ∃x ) (√ x < 0 )

2) Classifique em V ou F as negações construídas no exercício anterior. 3) Verifique, por meio das tabelas-verdades, a validade das equivalências abaixo. a) da conjunção c) da conjunção relativamente à disjunção p ∧q⇔q∧p p ∧ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) ( p ∧ q ) ∧ r ⇔ p ∧ ( q ∧ r) p ∨ ( q ∧ r ) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r ) p∧p⇔p p∧(p∨q)⇔p p∧v⇔p p∨(p∧q)⇔p p∧ f⇔f b) da disjunção d) da negação p∨q⇔q∨p ∼(∼p)⇔p (p ∨ q ) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) ∼ ( p ∧ q) ⇔ ∼ p ∨ ∼ q p∨ p⇔p ∼ ( p ∨ q) ⇔ ∼ p ∧ ∼ q p∨ v⇔v p∨f⇔p em que p, q, r são proposições quaisquer, ∨ é uma tautologia e ƒ uma proposição logicamente falsa. 4) A negação da frase “Todas as mulheres são honestas” é. a) nenhuma mulher é desonesta d) Nenhuma mulher é honesta b) Todas as mulheres são honestas e) Algumas mulheres são desonestas. c) Algumas mulheres são honestas 5) Numa gaveta há 20 meias pretas e 20 marrons, qual o número mínimo de meias que uma pessoa deve retirar, no escuro, para ter a certeza de formar um par da mesma cor? a) 2 b) 20 c) 3 d) 4 e) 40 6) Timóteo tem na sua cômoda, 18 meias azuis, 12 amarelas, 8 cor de laranja,30 verdes e 2 roxas.As meias estão todas misturadas Timóteo, pega em algumas, às escuras, se lhes ver a cor. Em quantas meias deve pegar para ter a certeza de conseguir, pelo menos, um par da mesma cor? a) 6 b) 5 c) 4 d)3 e)2 7) Trens, malas, maior. Estas palavras seguem uma Regra Lógica. Das palavras seguintes, qual poderá continuar a série? 231


a) Parti b) aulas

c) calma b) boião

e)menor

8)Esta série de palavras segue uma Regra Lógica: Água, açor, corpo, pranto, cristal, fantástico. Das palavras abaixo, qual poderá continuar a série: a) Honrado c) Constituinte e) Profícuo b) Abstêmio d) Equivalente 9) Um caramujo resolve subir um muro de 12 metros de altura da seguinte maneira: durante o diaele sobe 3 metros e durante a noite, ao dormir, desce 2 metros. Sabendo-se que iniciou a subida da base, ao amanhecer do 1º dia, quantos dias gastará o caramujo para chegar ao topo? a) 9 dias e meio b) 10 dias

c) 10 dias e meio d) 11 dias

e)12 dias

10) Assinale a opção que contém a seqüência correta das quatro bolas, de acordo com as afirmativas abaixo. I – A bola amarela está depois da branca II – A bola azul está antes da verde III - A bola que está imediantamente após a azul é maior do que a que está antes desta. IV - A bola verde é a menor de todas. a)branca,amarela,azul e verde b)branca,azul,amarela e verde c) branca, azul, verde e amarela.

d)azul,branca,amarela e verde e)azul,branca,verde e amarela.

* Nos exercícios 11 a 13, assinale a opção que contém o numeral correto, sabendo que as seqüências seguem uma ordem lógica. 11) 4, 11, 17, 22, 26, 29, 31, _____ a) 31

b) 30

c) 32

d) 29

e) 33

d) 7

e) 4

d) 144

e) 73

12) 67, 64, 59, 52, 43, 32, 19,_____ a) 18

b) 8

c) 17

13) 2, 5, 10, 14, 28, 33, 66, _______ a) 71

b) 132

c) 72

14) Anteontem Maria tinha 17 anos. No ano que vem, ela vai fazer 20 anos. Que dia é hoje? a)1º de Abril

b) 31 de dezembro 232

c) 1º de Janeiro

MATEMÁTICA O A O

d) dia do seu aniversário e) um dia antes do seu aniversário 15) Se a praia não está movimentada, então os pássaros voam. Se a praia está movimentada, então o pássaro não canta. Ora, o pássaro canta, logo: a) A praia está movimentada e o pássaro voa. b) A praia está movimentada e o pássaro não voa. c) A praia não está movimentada e o pássaro voa. d) A praia não está movimentada e o pássaro não voa. e) Se o pássaro canta, então eles não voam. 16) Um crime é cometido por uma pessoa e há quatro suspeitos: Ari, Belo, Caio e Denis. Interrogados, fazem as seguintes declarações: Ari: “Belo é o culpado”. Belo: “Denis é o culpado”. Caio: “Eu não sou culpado”. Denis: Belo mente quando diz que sou culpado”. Sabendo-se que apenas um dos quatro não falou a verdade, quem é o culpado do crime cometido? a) Ari

b) Belo

c) Caio

d) Denis

17) Três meninos, cujos nomes são André, Beto e Carlos, tem as seguintes características: um dos três é louro, outro é moreno e o outro ruivo. André mente sempre que Beto diz a verdade. Carlos mente quando Beto mente. Cada um dos meninos faz uma afirmação:   

André afirma: Eu sou brasileiro ou não sou brasileiro. Carlos afirma: Beto é ruivo. Beto afirma: Eu sou loiro ou Carlos é ruivo.

Considerando as características e as afirmações citadas, é correto concluir que André, Beto e Carlos são, respectivamente caracterizada como: a) Louro, ruivo, moreno b) Ruivo, louro, moreno c) Louro, moreno, ruivo.

d) Ruivo, moreno, louro e) Moreno, louro, ruivo.

233


18) Considere que, em um pequeno grupo de pessoas – G – envolvidas em um acidente, haja apenas dois tipos de indivíduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem. Se no conjunto G, o individuo P afirmar que o individuo Q fala a verdade, e Q afirmar que P e eles são tipos opostos de indivíduos, então, nesse caso, é correto concluir que: a) apenas P fala a verdade. b) apenas Q fala a verdade. c) P e Q falam verdade d) P e Q mentem. e) As afirmações são inconsistentes. 19) Há três suspeitos de um crime: A governanta o cozinheiro e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se ainda que:    Logo: a) b) c) d) e)

Se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; Ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois; O mordomo não é inocente A governanta e o cozinheiro são culpados Somente o cozinheiro é inocente Somente a governanta é culpada O cozinheiro e o mordomo são os culpados Somente o mordomo é culpado.

20) Marcos e Paulo pertencem a um grupo de mentirosos programados. Marcos mente sempre na terça, quarta e quinta, dizendo a verdade nos outros dias da semana. Paulo mente sempre na sexta, sábado e domingo, dizendo a verdade nos outros dias. Certo dia, dialogando entre eles, afirmam. Marcos: “Eu mentirei amanhã assim como ontem”. Paulo: “Hoje é terça-feira” Em que dia da semana ocorreu esse diálogo? a) segunda-feira c) quarta-feira e) domingo b) terça-feira d) sábado

234

MATEMÁTICA O A O

21) Se Fred fala francês, então Albert não é alemão. Ou Albert é a alemão, ou Éden é espanhol. Se Pedro não é português, então Fred é francês. Ora, nem Éden é espanhol nem Isa é Italiana. Assim: a) Pedro é português e Fred é francês. b) Pedro é português e Albert é Alemão c) Pedro não é português e Albert é alemão d) Eden é espanhol ou Fred é francês. e) Éden é espanhol ou Albert não é alemão. 22) Se W = 2a + 3b, então W = 4p + 3r . Se W = 4p + 3r, então W = 2s – 3r. Por outro lado, W = 2a + 3b, ou W = 0. Se W = 0, então W + S = 5. Ora, W + S ≠ 5. Então a) 2s – 3r = 0 d) 2a + 3b ≠ 2s – 3r b) 4p + 3r ≠ 2s – 3r e) W = 2s – 3r c) W ≠ 2a + 3b 23) Paulo guarda suas gravatas em uma única gaveta em seu quarto. Nela encontra-se sete gravatas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três vermelhas. Uma noite, no escuro, Paulo abre a gaveta e pega algumas gravatas. O número mínimo de gravatas que Paulo deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas gravatas da mesma cor é: a) 6 b) 8 c) 18 d) 23 e)22 Respostas 1) a) mdc(2,3) ≠ 1e mmc(2,3) = 6 j) Existe um triangulo isósceles e não eqüilátero. b) 3 ≠ 6 5

ou 3 x 10 = 6 x 5

k) Todo losango é quadrado.

10

c) 3 < 1 ou – 3 < – 7 7 d) 22 = 4 e √4 ≠ 2 e) ( – 3 )2 = 9 e √ 9 = − 3 f) 2 > 5 e 32 > 52 g) (∃ x ) ( x > 2 e 3x ≤ 32 h) ( ∀x ) ( √ x ≥ 0 ) i) Existe um número inteiro primo e par

l)Todo número tem raiz quadrada diferente de zero. m)Existe um triângulo eqüiângulo e não eqüilátero 2)a)F b)F c)V d)F e)F f)F g)F h)V i)V j)V k)F L)F m)F 4)C 5) C 6) A 7) D 8) C 9)A 10)B 11)C 12)E 13) C 14)C 15)C 16)B 17)D 18)D 19)D 20)B 21)B 22)E 23) A

235




QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES

1) (PUC-SP) A negação da proposição x ∈ ( A ∪ B) é: a) x ∉ ( A ∩ B ) b) x ∉ A ou x ∈ B c) x ∉ A e x ∈ B d) x ∈ A ou x ∉ B e) x ∉ A e x ∉ B 2) (UF-BA) A negação de Hoje é segunda-feira e amanhã não choverá é: a) Hoje não é segunda-feira e amanhã choverá b) Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá c) Hoje não é segunda-feira, então amanhã choverá d) Hoje não é segunda-feira nem amanhã choverá e) Hoje é segunda-feira ou amanhã não choverá 3) (FEI-SP) Dadas as proposições: (1) Toda mulher é boa motorista. (2) Nenhum homem é bom motorista. (3) Todos os homens são maus motoristas. (4) Pelo menos um homem é mau motorista. (5) Todos os homens são bons motoristas. a negação de (5) é: a) (1) b) (2)

c) (3)

d) (4)

e) n.d.a

4) (PUC-RS) A sentença (∃x x – a = b) é a negação de: a) ∃x x – a ≠ b b) ∃x x – a > b c) ∃x x – a < b d) ∀x, x – a = b e) ∀x, x – a ≠ b 5) (UNESP) Uma pessoa que gosta de todas e apenas das pessoas que não gostam de si mesmas: a) gosta de si mesma. b) não gosta de si mesma. c) não existe. d) gosta de alguém. e) não gosta de ninguém. 236

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6) (FATEC-SP) Considere verdadeiras as três seguintes afirmações: I - Todos os amigos de João são amigos de Mário II- Mário não é amigo de qualquer amigo de paulo III - Antonio só é amigo de todos os amigos de Roberto. Se Roberto é amigo de Paulo, então a) Antonio é amigo de Mário b) João é amigo de Roberto c) Mário é amigo de Roberto d) Antonio não é amigo de João. e) n.d.a 7) (FEI-SP) Dadas as premissas: “Todos os corintianos são fanáticos” – “Existem fanáticos inteligentes”, pode-se tirar a conclusão seguinte: a) “Existem corintianos inteleigentes”. b) “Todo corintiano é inteligente.” c) “Nenhum corintiano é inteligente”. d) “Todo inteligente é corintiano”. e) Não se pode tirar conclusão. 8) (MACK-SP) Duas grandezas x e y são tais que: “se x = 3, então y = 7”. Pode-se concluir que: a) se x ≠ 3, então y ≠ 7. b) se y = 7, então x = 3. c) se y ≠ 7, então x ≠ 3. d) se x = 5, então y = 5. e) nenhuma das conclusões anteriores é valida 9) (U.F.-GO) A negação de x ≥ − 2 é: a) x ≥ 2

b) x ≤ − 2

c) x < − 2

d) x < 2

e) x ≤ 2

10) (FUVEST) Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e do outro lado uma letra. A

B

C

2

3

Alguém afirmou que todos os cartões que têm uma vogal numa face têm um número par na outra. Para verificar se tal afirmação é verdadeira: a) é necessário virar todos os cartões b) é suficiente virar os dois primeiros cartões c) é suficiente virar os dois últimos cartões. d) é suficiente virar os dois cartões do meio. e) é suficiente virar o primeiro e o ultimo cartão. 237


11) (PUC-RS) Sejam p e q duas proposições. A negação de p ∧ q equivale a: a)∼ p ∨ ∼ q b)∼ p ∧ ∼ q c)∼ p ∨ q d)∼ p ∧ q e) p ∧ ∼ q 12)(VUNESP)A negação de “para todo real x existe um real y tal que y < x”é equivalente a: a) existe um real x tal que x ≤ y para todo real y. b) não existe um real x tal que x ≤ y para todo real y. c) existe um real x tal que y ≤ x para todo real y. d) não existe um real x tal que y ≤ x para todo real y e) para todos reais x, y, com x < y, existe um real z com x < z < y. 13) (U.F.BA) A proposição ∼ p ∨ q ⇒ q ∧ r é verdadeira, se: a) p e q são verdadeiras e r, falsa. d) p, q e r são verdadeiras. b) p e q são falsas e r, verdadeira. e) p, q e r são falsas. c) p e r são falsas e q, verdadeira. 14) (U.F.RS) A negação da proposição “para todo y, existe um x tal que y = sen(x)” é: a) Para todo y, existe um x tal que y = sen(x). b) Para todo y e para todo x, y = sen(x). c) Existe um y e existe um x tal que y = sen(x). d) Existe um y tal que, para todo x, y = sen(x). e) Existe um y tal que, para todo x, y ≠ sen(x). 15)(U.F.RS)A negação da proposição( ∀ x ∈ R) ( ∃ y ∈ R) [xy = 1] é: a) ( ∃ x ∈ R ) ( ∀ y ∈ R ) [xy = 1] b) (∀ x ∈ R) ( ∃ y ∈ R ) [ xy ≠ 1] c) (∃ x ∈ R ) ( ∀ y ∈ R) [ xy ≠ 1]

d) (∀ x ∈ R) ( ∀ y ∈ R) [xy ≠ 1] e) (∃ x ∈ R ) (∃ y ∈ R ) [xy ≠ 1]

16)(UFC) Três bolas A, B, C, foram pintadas: uma verde, uma de amarelo e uma de azul, não necessariamente nesta ordem. Leia atentamente as declarações abaixo: I) B não é azul II) A é azul III) C não é amarela Sabendo-se que apenas uma das declarações acima é verdadeira, podemos afirmar corretamente que: a) A bola A é verde, a bola B é amarela e a bola C é azul. b) A bola A é verde, a bola B é azul e a bola C amarela. c) A bola A é amarela, a bola B é azul e a bola C verde d) A bola A é amarela, a bola B é verde e a bola C azul e) A bola A é azul, a bola B é verde e a bola C amarela. 238

MATEMÁTICA O A O

17) (UECE) Em cada círculo, os números estão colocados de acordo com um raciocínio lógico matemático. 6 12 23 44 7 14 26 48 5 10 20 40 Complete o último círculo e encontre a soma dos seus três números. a) 250 b) 255 c) 260 d) 265 e)270 18)(UECE) Os números colocados nos quadrados seguem uma organização lógica. 38 20

18

N X

4 3

X 1

Observando os números, atentamente, determine o número N. a) 10

b) 11

c)12

d) 13

e)14

19)(MPU) Ana guarda suas blusas em uma única gaveta em seu quarto. Nela encontram-se sete blusas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três vermelhas. Uma noite, no escuro, Ana abre a gaveta e pega algumas blusas. O número mínimo de blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas blusas da mesma cor é: a) 6

b)4

c) 2

d) 8

e)10

20) (MPU) Sabe-se que João estar feliz é a condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniele abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio. a)João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo. b)João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo. c)João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo. d)João não está feliz,e Maria não sorri,e Daniela não abraça Paulo. e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.

239


21) (MPU) Fernanda atrasou-se e chega ao estádio da Ulbra quando o jogo de vôlei já está em andamento. Ela pergunta às suas amigas, que estão assistindo à partida, desde o inicio, qual o resultado até o momento. Suas amigas dizem-lhe: Amanda: “Neste set, o escore está 13 a 12” Berenice: “O escore não está 13 a 12, e a Ulbra já ganhou o primeiro set”. Camila: “ Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra. Denise: “O escore não está 13 a 12, a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante” “Eunice: “Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra está ganhando este set”. Conhecendo suas amigas, Fernanda sabe que duas delas estão mentindo e que as demais estão dizendo a verdade. Conclui, então, corretamente que: a) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. b) o escore está 13 a 12 e a Ulbra vai sacar, e a Ulbra venceu o primeiro set. c) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante, d) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante. e) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra não está vencendo este set, e a Ulbra venceu o primeiro set. 22) (MPU) Sócrates encontra-se em viagem por um distante e estranho país, formado por apenas duas aldeias, uma grande e outra pequena. Os habitantes entendem perfeitamente o português, mas falam apenas no idioma local, desconhecido por Sócrates. Ele sabe, contudo, que os habitantes da aldeia menor sempre dizem a verdade, e os da aldeia maior sempre mentem. Sabe, também, que “Milango” e Nabungo” são palavras no idioma local que significam “sim” e “não”, mas não sabe qual delas significa “sim” e nem, conseqüentemente, qual significa “não. Um dia, Sócrates encontra um casal acompanhado de um jovem. Dirigindo-se a ele, e apontando para o casal, Sócrates pergunta:  Meu bom jovem, é a aldeia desse homem maior do que a dessa mulher?  Milango – reponde o jovem.  E a tua aldeia é maior do que a desse homem? – voltou Sócrates a perguntar. 240

MATEMÁTICA O A O

 Milango – tornou o jovem a responder  E, diz-me ainda, és tu da aldeia maior? – perguntou Sócrates  Nabungo – disse o jovem. Sócrates, sorrindo, conclui corretamente que: a) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande. b) O Jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande. c) O jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da pequena d) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena. e) O jovem mente, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena 23)(MPU) Cinco irmão exercem, cada um, uma profissão diferente. Luis é paulista, como o agrônomo e é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que o Oscar. O agrônomo, o economista e Mário residem no mesmo bairro. O economista, o matemático e Luis são, todos, torcedores do Flamengo. O matemático costuma ir ao cinema com Mário e Nédio. O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro; este, por sua vez é mais moço do que o arquteto. Logo. a) Luis é arquiteto e o engenheiro é mais velho do que o agrônomo e Pedro é mais velho do que o matemático. b) Oscar é engenheiro, e o matemático é mais velho do que o agrônomo, e Luis é mais velho do que o matemático. c) Mário é engenheiro, e o matemático é mais velho do que o agrônomo, e o economista é mais novo do que Luis. d) Pedro é matemático, e o arquiteto é mais velho do que o engenheiro, e Oscar é mais velho do que o agrônomo. e) Nédio é engenheiro, e o arquiteto é mais velho do que o matemático, e Mário é mais velho do que o economista. 24) (MPU) Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil compraram, cada um, um barco. Combinaram, então dar aos barcos os nomes de suas filhas. Cada um tem uma única filha, e todas tem nomes diferentes. Ficou acertado que nenhum deles poderia dar a seu barco o nome da própria filha e que a cada nome das filhas corresponderia um e apenas um barco. Décio e Éder desejavam, ambos, dar seus barcos o nome de Laís, mas acabaram entrando em um acordo: o nome de Laís ficou para o 241


barco de Décio e Éder deu a seu barco o nome de Mara. Gil convenceu o pai de Olga a pôr o nome de Paula em seu barco ( isto é, no barco dele, pai de Olga). Ao barco de Caio, coube o nome de Nair e ao barco do pai de Nair, coube o nome de Olga. As filhas de Caio, Décio, Èder, Felipe e Gil são, respectivamente. a)Mara,Nair,Paula, Olga, Lais. b)Lais,Mara,Paula, Olga, Nair. c)Lais,Mara,Olga, Nair, Paula. d) Paula, Olga, Laís, Nair, Mara e) Nair, Laís, Mara, Paula, Olga. 25) (MPU) Ana, Bia, Clô, Déa e Ema estão sentadas, nessa ordem e em sentido horário, em torno de uma mesa redonda. Elas estão reunidas para eleger aquela que, entre elas, ará a ser a representante do grupo. Feita a votação, verificou-se que nenhuma fôra eleita, pois cada uma delas havia recebido exatamente um voto. Após conversarem sobre tão inusitado resultado, concluíram que cada um havia votado naquela que votou na sua vizinha da esquerda (isto é, Ana votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Ana, Bia votou naquela que votou na vizinha da esquerda e Bia, e assim por diante). Os votos de Ana, Bia, Clô, Déa e Ema fora, respectivamente, para: a) Emma, Ana, Bia, Clô, Déa. d) Déa, Ema, Ana, Bia, Clô b) Clô, Déa, Ema, Ana, Bia.

e) Déa, Ana, Bia, Ema, Clô.

c) Clô, Bia, Ana, Ema, Déa. 26)(MPU) Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalista. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também um paulista. Um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton; à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim, a) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano. b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano. c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista. e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista. 242

MATEMÁTICA O A O

27) (MPU) Quando não vejo Carlos, não eio ou fico deprimida. Quando chove, não eio e fico deprimida. Quando não faz calor e eio, não vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida,não eio. Hoje, eio. Portanto hoje. a) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor. b) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor. c) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor. d) não vejo Carlos,e estou deprimida,e não chove,e não faz calor. e) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor. 28) (MPU) Se fulano é culpado, então Beltrano é culpado. Se Fulano é inocente, então ou Beltrano é culpado ou Sicrano é culpado, ou ambos, Beltrano e Sicrano, são culpados. Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente. Se Sicrano é culpado então Fulano é culpado. Logo, a) Fulano é inocente, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente. b) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é inocente. c) Fulano é culpado e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente. d) Fulano é inocente, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado. e) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado. 29)(MPU) Uma curiosa máquina tem duas teclas, A e B, e um visor no qual aparece um número inteiro x.Quando se aperta a tecla A, o número do visor é substituído por 2x + 1. Quando se aperta a tecla B, o número do visor é substituído por 3x – 1. Se no visor está o número 5, o maior número de dois algarismos que se pode obter, apertando-se qualquer seqüência das teclas A e B, é. a) 87

b) 95

c)92

d)85

e)96

30)(MPU) A operação ∇ x é definida como o triplo do cubo de x, e a operação Ω x é definida como o inverso de x. Assim, o valor da operação. ∇ 3⅔ − (√2 ) Ω 21 è igual a a) 15

b) 20

c) 25

243

d) 45

e) 30


31)(MPU) Um colégio oferece a seus alunos a pratica de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre,  20 alunos praticam vôlei e basquete  60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete;  21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei  O número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei;  17 alunos praticam futebol e vôlei;  45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a: a) 99 b)93 c)103 d)110 e)114 32) (MPU) Você está á frente de duas portas. Uma das conduz a um tesouro; a outra, a uma sala vazia. Cosme guarda uma das portas, enquanto Damião guarda a outra. Cada um dos guardas sempre diz a verdade ou sempre mente, ou seja, ambos os guardas podem sempre mentir, ambos podem sempre dizer a verdade ou um sempre dizer a verdade e 5 outro sempre mentir. Você não sabe s ambos são mentirosos, seambos são verazes, ou se um é veraz e o outro é mentiroso. Mas, para descobrir qualdas portas conduz ao tesouro, você pode fazer três ( e apenas três) perguntas aos guardas, escolhendo-as da seguinte relação: P1: O outro guarda é da mesma natureza que você ( isto é, se você é mentiroso ele também o é,e se você é veraz também o é)? P2: Você é o guarda da porta que leva ao tesouro? P3: O outro guarda é mentiroso? P4: você é veraz? Então, uma possível seqüência de três perguntas que é logicamente suficiente para assegurar, seja qual for a natureza dos guardas, que você identifique corretamente a porta que leva ao tesouro, é. a) P2 a Cosme, P2 a Damião, P3 a Damião b) P3 a Damião, P2 a Cosme, P3 a Cosme c) P3 a Cosme, P2 a Damião, P4 a Cosme d) P1 a Cosme, P1 a Damião, P2 a Cosme e) P4 a Cosme, P1 a Cosme, P2 a Damião 244

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33) (AFTN) Três amigas, Tânia, Janete, e Angélica, estão sentada lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade ; e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: Tânia é quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz. “Eu sou Janete”. Finalmente, a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são respectivamente: a) Janete, Tânia e Angelica. b) Janete, Angélica e Tânia. c) Angélica, Janete e Tânia d) Angélica, Tânia e Janete e) Tânia, Angélica e Janete. 34) (AFTN)José que ir ao cinema e assistir ao filem “Fogo contra fogo”, mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luis e Julio, têm opiniões discordantes sobre o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luis está enganado, então o filme não está sendo exibido ; Ora, ou o filme “Fogo contra fofo está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo a) o filme “Fogo contra fogo” está sendo exibido; b) Luis e Júlio não estão enganados; c) Júlio está enganado, mas não Luis d) Luis está enganado, mas não Júlio; e) José não irá ao cinema Respostas: 01) E

10)E

19) A

28) E

02) B

11)A

20) D

29) B

03) D

12)A

21) D

30) C

04) E

13)D

22) B

31) A

05) C

14)E

23) C

32) D

06) D

15)C

24) B

33) B

07) E

16)C

25) B

34) E

08) A

17)B

26) A

09) C

18)B

27) C 245




FUNÇÃO POLINOMIAL

Par Ordenado



A noção de par ordenado será aqui adotada como conceito primitivo. Podemos formar idéia de par ordenado, imaginando-o como um conjunto de dois elementos considerados numa dada ordem. Para lembrar que a ordem está sendo considerada, na representação do par ordenado utilizamos parênteses e não chaves como nos conjuntos em geral. Assim, ( X,Y ) é par ordenado de 1º termo X e 2º termo Y. Impomos que dois pares ordenados são iguais somente se tiverem os primeiros termos iguais entre si e também os segundos termos iguais entre si: (a, b) = (c, d) ⇔ ( a = c

e b = d)

Exemplos: 1) (a , b) = (5,1) ⇔ ( a = 5 e b = 1) 2) (a , b) = (3,3) ⇔ ( a = 3 e b = 3) Nota: Observe que num par ordenado podemos ter os dois termos iguais. Produto Cartesiano



Dados os conjuntos A = { 1,2, 3} e B = { 1, 2, 3, 4} vamos formar pares ordenados que têm o 1º termo em A e o 2º termo em B. Observe no esquema que cada flecha determina um par. 1º termo 2º termo Par Ordenado A

B

1

1•

• 1

2•

• 2

1-------------2 -------------3 -------------4 ---------------

2 3•

1-------------- ( 1, 1 ) 2-------------- ( 1, 2 ) 3 -------------- ( 1, 3 ) 4 -------------- ( 1, 4 )

• 3

( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 )

• 4 3

246

1 2 3 4

-----------------------------------------------------

( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 )

MATEMÁTICA O A O

O Conjunto formado pelos pares ordenados obtidos é denominado produto cartesiano de A por B e o indicamos por A x B (leia: A cartesiano B). Temos, então, A x B = {(1,1),(1,2 ), (1,3 ), (1,4 ), (2,1 ), (2,2 ), (2,3 ), (2,4 ), (3,1 ), (3,2 ), (3,3 ), (3, 4 )} De maneira geral, o produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto A x B formado pelos pares ordenados que têm 1º termo em A e 2º termo em B. AxB={(x,y)│x∈Aey∈B} Nota: Observamos que os elementos dos conjuntos A x B são pares ordenados. No exemplo anterior A tem 3 elementos, B tem 4 elementos e AxB, tem 3 x 4 = 12 elementos. Podemos constatar que quando A tem m elementos e B tem n elementos, o conjunto A x B é formado por m . n pares ordenados. Exemplos 1) Dados A = { a, e, i } e B = { m, n } determinar os conjuntos A x B, B x A, A2 = A x A e B2 = B x B. Temos: A x B = { (a,m), (a,n), (e,m), (e,n), (i,m), (i,n) B x A = { (m,a), (m,e), (m,i), (n,a), (n,e), (n,i)} Note que: A x B ≠ BxA (por exemplo,o par (a, m) ∈ A x B mas (a,m) ∉ B x A) A2 = A x A = {(a,a), (a,e), (a,i), (e,a), (e,e), (e,i), (i,a), (i,e), (i,i) } B2 = B x B = {(m.m), (m,n), (n,m), (n,n)} 2) Se A tem 5 elementos e B tem 7 elementos, então A x B tem 5 x 7 = 35 elementos. 

Relação Retomando os conjuntos A = { 1,2,3) e B = { 1,2,3,4} vamos formar agora o conjunto R dos pares ordenados que têm 1º termo em A e 2º termo em B, tais que o 1º termo é menor que o 2º. A •1 B 1• • 2 2• • 3 3• • 4 R = { ( 1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4) } 247


Este conjunto R, que é subconjunto de A x B, é exemplo de uma relação de A em B. De modo geral, denominamos relação de A em B a todo subconjunto de A x B. R é uma relação de A em B ⇔ R ⊂ A x B Exemplo Dado A = {1,2,3,4,5} e B = {1,3,5,7,9} determinar as relações de A em B: a)

R = { (x, y) ∈ A x B │ x + y = 6 }

b) S = { (x, y ) ∈ A x B │ xy ≤ 6 } A relação R é formada pelos pares (x, y),

A

1• 2• 3•

•1 B • 3 • 5

x ∈ A e y ∈ B, com a soma dos termos . 4• • 7 x + y = 6 Estes pares são (1,5), (3,3) e (5,1). 5• • 9 Logo, R = {(1,5),(3,3),(5,1)} pares com soma = 6



EXERCÍCIO – FUNÇÃO (I) 1) Dados A = {1,2,3} e B = { 4,5}, forme todos os pares ordenados que têm o primeiro termo em A e o segundo em B. 2) Sendo A = {a,b} e B = { x, y, z}, determine os conjuntos: A x B e B x A. 3) Determine A x B e B x A nos casos: a) A = {1,2,3,4,5 } e B = {9} c) A = { 7 } e B = {5} b) A = { -1 , 1 } e B = { -1, 0, 1} d) A = { 3, 6, 9 } e B = ∅ 4)Se um conjunto A tem 5 elementos e B tem 10 elementos, quantos elementos tem A x B? e B x A? Os conjuntos A x B e B x A são iguais? 5)Dados A= {1,2,3,4,5,6,7,8} e B = {2,4,6,8,10}, forme as seguintes relações de A em B: a) R = {(x, y) ∈ A x B x + y = 12}

c) T = {(x,y) ∈ A x B │ x + y < 8}

b) S = {(x, y) ∈ A x B │ x + y ≥ 15} 6)Dados A = {3,6,9,12} e B = {1,3,5,7,9}, determine: a)R = {(x, y) ∈ A x B │ x < y }

c)T= {(x, y) ∈ A x B│x2 + y2 < 50}

b) S = {(x, y) ∈ A x B │ 2xy < 25} 7)Determine as seguintes relações no conjunto dos números naturais: a) R = {(x, y) ∈ N x N │2x + y = 10 } b) S = {(x, y) ∈ N x N │ x2 + y2 = 25} 248

MATEMÁTICA O A O

8) Quantos pares pertencem à relação R= {(x, y) ∈ ℤ2│x2 + y2 = 25} ? 9) Se R={ ( x, y ) ∈ N2 │ x + y = 10} e S = { ( x, y ) ∈ N2 │ x – y = 2 }, determine R ∩ S. 10) Calcule a e b de modo que se verifique a igualdade dos pares ordenados em cada caso: a) ( a, 2b) = (3, 4) d) (a + 2b, 2a + 3) = (6,5) b) ( a + 1, 2b – 1 ) = ( -1 ,0 ) e) (2a + b, a – b) = (12, 5) c) ( 2a, ab) = (8,12) f) (3a + 4b, 5a + 3b ) = ( 21, 13)

 FUNÇÃO 

Definição Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é uma relação que a cada elemento x de A faz corresponder um único elemento y de B. Notemos que: A B 1º) todo elemento de A deve ser associado • • a algum elemento de B; x• •y • 2º) para um dado elemento de A associamos • • • • um único elemento em B. • • • • Empregamos a seguinte linguagem: a) o conjunto A é o domínio da função; b) o conjunto B é o contradomínio da função; c) o elemento y de B, associado ao elemento x de A, é denominado imagem de x; d) o subconjunto de B, formado pelos elementos que são imagens dos elementos de A, é denominado conjunto-imagem (ou apenas imagem) da função. Para dar nomes às funções costumamos usar as letras f, g, h e outras. Empregamos também a seguinte notação; f : A → B ( leia: f de A em B), para indicar uma função f de A em B; y = f(x) (leia:y = f de x), para indicar que y é a imagem de x; D ou D(f) (leia: D de f), para indicar o domínio da função f; Im ou Im(f) (leia: imagem de f), para indicar o conjunto-imagem de f.

249


Exemplos 1) Dado A = { 1,2,3,4} consideremos a função f : A → R definida por f(x) = 2x. Temos: Para x= 1, f (1) = 2 . 1 = 2 A Para x = 2, f(2) = 2 . 2 = 4 Para x = 3, f(3) = 2 . 3 = 6 Para x = 4, f(4) = 2 . 4 = 8

R •2 •4 •6 •8

1•

A imagem da função é Im(f) = { 2, 4 , 6, 8 }. 2) Determinar a imagem da função f: D → R definida por f(x) = x3 – x + 10, sendo D = { – 2, – 21,• 0, 1, 2 }. Temos: Para x = – 2, f(– 2) = (– 2) 3 – (– 2) + 310• = = – 8 + 2 + 10 = 4 – 2• 3 Para x = – 1, f(– 1) = (– 1) – (– 1) + 10 = – 1 • •4 = – 1 + 1 + 10 = 10 0• • 10 Para x = 0 , f(0) = 03 – 0 + 10 = 10 4 • 1• • 16 3 Para x = 1, f(1) = 1 – 1 + 10 = 10 2• 3 Para x = 2, f(2) = 2 – 2 + 10 = = 8 – 2 + 10 = 16 Logo, Im(f) = { 4, 10, 16} 

EXERCÍCIO – FUNÇÃO ( II )

1) Seja f : R → R a função definida por f(x) = 3x2 + 1. Calcule: a) f(5) b) f(– 5) c) f (⅔) 2) Seja f:R → R a função definida por f(x) =

( )

a) f(– 1) 3) Se f(x) = 1 x

b) f

1 x+1

2 . Calcule X +1 2

1

c) f (√ 2 ) 2 , qual é o valor de f(1) + f(2) + f(3)?

4) Seja A={0,1,2,3,4} e f:A → R a função definida por f(x)=(x + 1) 2. Determine a imagem de f. 250

MATEMÁTICA O A O

5) Determine a imagem de cada função: 1

a) f: A → R dada por f(x) = x + 1 e A = x

3

,

1

, 1, 2, 3

2

b) f: D → R dada por f(x) = │x – 1 │ + 1 e D = { – 2, – 1, 0, 1, 2}. 6) Na função f:R → R definida por f(x) = 7x – 3, para que valor de x tem-se f (x) = 18? 7) Dada f(x)= √ x + 1, calcule o valor de x para o qual se tem f(x) = 2. 8) Uma

função

definida

por

f (x) = x – 1 tem imagem 2x + 1 Im = { – 3, – 1, 1, 3, 5}. Qual é o domínio de f?

9) Examine cada relação e diga se é ou não uma função de A em B. Justifique. a) A

•

x B x x x x

• • • b) A

• • • •

x x x x x

c) A

d) A

• • • •

x x x x x

• • • •

x x x x x

B

B

Respostas 1) a) 76 b) 76 2) a) 1

c) 7/3

b) 8/5 c) 2/3

3) 3/4

9) a) é função b) não é função:existe elementos em A sem corresponder em B

4) Im(f) = {1,4,9,16,25}

c)não é função:existe elemento em

5) a) Im (f) = 10 , 5 , 2 3 2 b) Im (f) = {1,2,3,4}

A com mais de um correspondente em B. d) é função

6) x = 3 7) x = 3

251


8) D(f) = – 2 , 0 , – 2 , – 4 , – 2 7 5 3 

Função Polinomial do 1º Grau Dados os números reais a e b, sendo a ≠ 0, podemos considerar a função que a todo número real x faz corresponder o número ax + b: f: R → R, com f(x) = ax + b (∀ x ∈ R)

Esta função é denominada função polinomial do 1º grau (ou também função afim). O gráfico é uma reta não paralela a nenhum dos eixos coordenados. Exemplos y 1) f(x) = 2x + 1, onde a = 2 e b = 1. 5 --------• Temos: 4 Para x = 0, y = f(0) = 2 . 0 + 1 = 1 3 ----•Para x = 1 ,y = f(1) = 2 . 1 + 1 = 3 2Para x = 2, y = f(2) = 2 . 2 + 1 = 5 1• Para x = – 1, y = f(– 1) = 2(– 1) + 1 = – 1 -2 -1 0 1 2 3 4 O gráfico é a reta desenhada na figura ao lado • -1Observe que D(f) = Im(f) = R. -22) f(x) = – 2x + 3, onde a = – 2 e b = 3. Temos: Para x = – 1, y = f(– 1) = – 2(– 1)+ 3 = 5 Para x = 0 ,y = f(0) = –2 . 0 + 3 = 3 Para x = 1, y = f(1) = –2 . 1 + 3 = 1 Para x = 2, y = f(2) = – 2 . 2 + 3 = – 1 O gráfico é a reta desenhada na figura ao lado Observe que D(f) = Im(f) = R. 

-2

y 6•--5 43• 21---• -1 0 1 2 3 4 5 -1------•

x

Função Crescente e função decrescente

Observando o gráfico de f(x) = 2x + 1 (exemplo 1) notamos que, da esquerda para a direita, isto é, aumentando os valores de x, vão também aumentando as ordenadas y dos pontos do gráfico. Por isso, dizemos que essa função é crescente.

252

MATEMÁTICA O A O

Já na função f(x) = – 2x + 3 (exemplo 2) notemos que, da esquerda para a direita, vão diminuindo as ordenadas y dos pontos do gráfico. Por isso, dizemos que essa função é decrescente y y f(x2) -------------

f(x1) -----

f(x1) -----

f(x2) -------------

0

x1

x2

x

função crescente x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) Nota:

0

x1

x2

x

função decrescente x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

Se a > 0, a função f(x) = ax + b é crescente Se a < 0, a função f(x) = ax + b é decrescente.

Exemplos 1) Em f(x) = 2x + 1 temos a = 2, portanto a > 0. A função é crescente. 2)



Em f(x) = – 2x + 3 temos a = –3, portanto a< 0. A função é decrescente. Raiz de uma função Denominamos raiz (ou zero) de uma função f a todo valor de x para o qual se tem f(x) = 0. No caso da função afim temos –b f(x) = 0 ⇔ ax + b = 0 ⇔ ax = – b ⇔ x = a –b Logo, a raiz de f(x) = ax + b é o número a

( ) (

Nota: Notemos que, para x = – b , temos y = f – b a a e portanto a raiz da função é a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo dos x. 253

= 0

)

–b ,0 a


Exemplo Determinar a raiz de f(x) = 2x + 1. Temos: 2x + 1 = 0 ⇔ 2x = – 1 ⇔ x = – 1 1 2 2 Portanto, a raiz é – .

3 -----21- 1/2 -1

(

)

O gráfico corta o eixo dos x no ponto

0

1

------- -1

1;0 2

. Sinais da função afim Estudar os sinais de uma função y = f(x) significa estabelecer, para cada x ∈ D(f), qual das sentenças é verdadeira: 

y > 0,

y = 0

ou y < 0

Para a função afim f(x) = ax + b temos dois casos a considerar. caso a > 0

y

y y>0

y<0

–b a

y>0

x

y

1 f(x) = 0 ⇔ 2x + 1 = 0 ⇔ x = –2

Então:

y<0

–b a

Exemplos 1) Sinais da função f(x) = 2x + 1. Temos a = 2 ⇒ a > 0 ⇒ f crescente.

caso a < 0

(x < _ 1 ) 2 y < 0

x =_ 1 ⇒y = 0 2 _ 1 x < ⇒ y < 0 2 254

y > 0 1 2

(x> 1 ) 2

x

x

MATEMÁTICA O A O

x >

_ 1 2

⇒ y > 0

2) Sinais da função f(x) = – 2x + 3. Temos: f(x) = 0 ⇔ – 2x + 3 = 0 ⇔ x = 3 2 a = – 2 ⇒ a < 0 ⇒ f decrescente. Então: x= 3 ⇒y=0

(x > 3 ) 2

y>0

(x < 3 ) 2

2 < x 3 ⇒y>0 2

y

3 2

y<0

x

x > 3 ⇒ y<0 2 Função Constante  Dado um número real c, podemos considerar uma função que a todo número real x faz corresponder o número c: f: R → R, com f(x) = c (∀x ∈ R) Esta função é denominada função constante. O gráfico é a reta paralela ao eixo dos x, ando pelos pontos de ordenadas y = c. Observe que o domínio é D(f) = R e a imagem é Im (f) = {c}. y c

0

x

Exemplo O gráfico da função f: R → R, dada por f(x) = 2, é a reta paralela ao eixo dos x pelos pontos de ordenadas y = 2. Note que: Para x = 0 , temos y = f(0) = 2 Para x = 1, temos y = f(1) = 2 Para x = 2, temos y = f(2) = 2 Para x = 3, temos y = f(3) = 2 32255


1-1 0

1 2 3 4

x

 EXERCÍCIO FUNÇÃO - ( III ) 1) Faça o gráfico de cada função polinomial abaixo, definida em R. a) f(x) = 2x – 4 c) f(x) = 5 – 2x b) f(x) = – x + 2 d) f(x) = x – 1 2 3 2) Represente no mesmo sistema de coordenadas os gráficos de x y = x , y = 2x e y = . 2 3) Represente no mesmo sistema de coordenadas os gráficos de y=x+1 e y=–x–1. 4) Dada f(x) = x – 1 , calcule: 5 2 a) f

( 25)

( 52)

b) f

5) Se f(x) = 2x + 1 , qual é o valor de f(1) – f( – 1) ? 3 2 6) Diga se é função crescente ou função decrescente: a) y = 2x + 8 d) y = – 2x – 6 g) y = 1 + x 2 x 3x b) y = 3x – 9 e) y = – 1 h) y = 1 – 5 2 c) y = – 4x + 6 f) y = 2x – 1/2 7) Calcule a raiz e dê os sinais da função: a) y = 4x – 8 b) y = – x + 2 2 c) f(x) = x d) f(x) = – 3x 5 8) Determine m para que f seja crescente nos casos: a) f(x) = ( m – 1 ) x – 1 b) f(x) = (2m + 1)x + (m – 1) 9) Para que valores de m a função f é decrescente? a) f(x) = (5m – 2) x + 4

b) f(x) = 1 – ( 3 – m ) x 256

MATEMÁTICA O A O

10) Dada f(x) = 3x – 1 , determine 4 a) os valores de x para os quais f(x) ≤ 1 b) os valores de x para os quais f(x) > 0 c) 11) se f(x) = 3x e g(x) = 1 – x , para que valores de x temos 4 2 10 f(x) > g(x)? 12) O gráfico de y = 2x + b corta o eixo dos x no ponto ( 3;0). Qual é o valor de b? 13) Calcule o valor de a sabendo que o gráfico de y = ax + 3 a no ponto (– 1; 1). 14) Calcule a e b sabendo que o gráfico de y = ax + b a nos pontos (4;0) e (0;2). 15) Determine a função polinomial do 1º grau cujo gráfico a nos pontos(1;-1)e(2;1). 16) Faça o gráfico de cada função. Dê o domínio e a imagem de cada uma. a) f: R → R, f(x) = 3

c) f: R → R, f(x) = 5 2 d) f:R + → R, f(x) = – 1, 5

b) f: R → R, f(x) = – 1

a) b) c)

17) Uma função f: R → R é definida por f(x) = 1 para todo x ≥ 0, e f(x) = –1 para todo x < 0. Indicamos: 1, se x ≥ 0 F(x) = – 1, se x < 0 Dê os valores de f(1), f(2), f(3), f(0), f(– 1), f(– 2) e f((– 3). Faça o gráfico de f. Qual a imagem de f? 18) Examine o gráfico de cada relação, dê o domínio e a imagem e diga se é ou não gráfico de uma função. a)

y 5432– 1– 0 1 2 3 4 5 6 x

c)

y 3 2 1

-3 257

0 -2 -1 1 2 3


1 2

b)

y

d)

4 3 2 1

-2

0 1 2 3 4 5 Respostas 4) a) 0

y

b) – 21 50

7) a) raiz : x = 2

x 5) 2 3

2 1 -1 0 1 -1 -2

2

6) crescente : a) b) e) f) g) decrescente : c) d) h) c) raiz: x = 0

d) raiz: x = 0

x=2⇒ y=0

x=4⇒ y=0

x=0⇒ y=0

x=0⇒ y=0

x<2⇒ y<0

x<4⇒ y>0

x<0⇒ y<0

x<0⇒ y>0

x>2⇒ y>0

x>4⇒ y<0

x>0⇒ y>0

x>0⇒ y<0

8) a) m > 1 9) a) m < 2 5 10) a) x ≤ 5 3 11) x > 10 17 12) b) = – 6

b) raiz: x = 4

b) m > – 1 2 b) m < 3 b) x >

1 3

13) a = 2

14) a = – 1 , b = 2 2 17) a) f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 1 f (0) = 1, f(– 1) = – 1 , f(– 2) = – 1 e f(– 3) = – 1 c) Im(f) = { – 1, 1} 18) a) D(f) = { 1;6}

b) D(f) = { 0;5} 258

15) f(x) = 2x – 3

MATEMÁTICA O A O

Im(f) = {1,4} Im(f) = {0,4} Não é função É função c) D(f) = { -3, 3} d) D(f) = { -2;2} Im(f) = {-2,2} Im(f) = {-2,2} Não é função Não é função  INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 

Introdução: Chamamos inequações do 1º grau às sentença: ax + b > 0,

ax + b ≥ 0,

ax + b < 0,

ax + b ≤ 0

onde a e b são números reais conhecidos, a ≠ 0, e x é incógnita. Convém notar, porém que fazendo-se y = ax + b, resolver cada inequação acima significa determinar para quais valores reais de x temos, respectivamente: y > 0,

y ≥ 0,

y < 0,

y ≤ 0.

Isto pode ser feito analisando-se os sinais da função y = ax + b. Exemplo:

y

1) Resolver a inequação

x – 1 ≥ 0.

2

Temos: x x –1 ≥ 0 ⇔ ≥2⇔x≥2 2 2 S = { x ∈ R  x ≥ 2} Note que sendo y =

0

1 2

y ≥0 (x ≥ 2)

–1 Gráfico de y = x – 1

x

– 1,

2

2 temos y ≥ 0 para x ≥ 2. 

Inequação – Produto: o a o

Dada as funções f: R → r e g: R → r, cada uma das inequações: f (x) . g(x) > 0,

f(x) . g(x) ≥ 0,

f(x) . g(x) < 0, f(x) . g(x) ≤ 0

é denominada inequação-produto.

259


Para resolver tais inequações procuraremos estudar os sinais dos fatores f(x) e g(x) e, então, determinar para cada x o sinal do produto f (x) . g(x). Feito isto, podemos estabelecer facilmente o conjunto-verdade da inequação dada.

 Questões Comentadas 1) Resolva a inequação (2x – 5) (10 – 3x ) ≥ 0. Fazendo f(x) = 2x – 5 e g(x) = 10 – 3x temos: 1º) Sinais de f(x) 5 2x – 5 = 0 ⇒ x = 2

f>0

f<0

2 a = 2 ⇒ a > 0 ⇒ f é crescente. 2º) Sinais de g(x)

5 2 y

10 – 3x = 0 ⇒ x =

10

3 a = – 3 ⇒ a < 0 ⇒ g é decrescente

g >0 10 3

3º) Sinais de f(x) . g(x) 5 2 f(x) g(x) f(x) . g(x)

y

– + –

g<0

10 3 + + +

+ – –

(Note que 5 < 10 ) Como queremos f (x) . g (x) ≥ 0, 2 3 o conjunto-verdade é { x ∈ R  5/2 ≤ x ≤ 10/3 } 2) Resolver a inequação x ( x – 1) (2x – 1) < 0. Fazendo y1 = x, 1º) Sinais de y1

y2 = x – 1 e y3 = 2x – 1 temos: 2º) Sinais de y2 260

3º) Sinais de y3

x

MATEMÁTICA O A O

y

y y1 > 0

y1 < 0

0

x

y y2 > 0

1

y2 < 0

x

y3 > 0 1 2

y3 < 0

4º) Sinais de y1 . y2 . y3 1 2

0

1

y1 y2 y3 y 1 . y2 . y3

– + + + – – – + – – + + – + – + iiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiiiiii Como queremos y1 . y2 . y3 < 0, o subconjunto-verdade é 1 { x ∈ R  x < 0 ou < x < 1} 2  EXERCÍCIO – INEQUAÇÃO DO 1º GRAU ( I ) 1) Resolva as inequações do 1º grau: a) 3x + 8 ≤ x + 2 b) 2(1 + 2x) – 3 (1 – x ) > 0

c) x – x ≥ 1 4 2 d) 3(4x – 7 ) – (4x – 9 ) ≤ 8x – 11

2) Resolva as inequações: a) 6x – 2 6x – 3 – < 5 3 2 3) Resolva as equações: a) (4x – 1) (3x + 1) > 0 b) (2x + 6) (5 – x ) > 0

b) 3x + 1 5

–

6x + 1 2

> 0

c) ( – x + 2) (2x – 1) ≤ 0 d) (10x – 3 ) (5 – 2x) ≥ 0

4) Resolva as inequações: a) x (x + 3 ) ( 4 – x ) > 0

b) (x + 1) (x – 2 ) (2x + 1) < 0

5) Resolva a inequação 3x (x + 3) (3x + 3) ≥ 0. 6) Determine os números inteiros x que verificam 261


x ( x + 2) (x – 2) (x – 4) ≤ 0.

7) Dê o conjunto-solução em Ν da inequação (5x + 3) (4x – 6) ( – 3x + 14) > 0. 8) Quantos são os elementos do conjunto {x ∈ N (x – 1)(7 – x ) >0}?

Respostas: 1) a) S = { x ∈ R  x ≤ – 3} b) S = { x ∈ R  x > 1 } 7

c) S = { x ∈ R  x ≤ – 4} d) S = R

2) a) S = { x ∈ R x > – 25 } 6

b) S = { x ∈ R  x < – 1 } 8

3) a) S = { x ∈ R x < – 1 ou x > 1 } 3 4 b) S = { x ∈ R – 3 < x < 5}

c) S = {x ∈ R x ≤ 1 ou x ≥ 2}

4) a) S = {x ∈ R x < – 3 ou 0 < x < 4}

2 d) S = { x ∈ R 3 ≤ x ≤ 5 } 10 2

b) S = { x ∈ R  x < – 1 ou – 1 < x < 2} 2 5) a) S = { x ∈ R – 3 ≤ x ≤ – 1 ou x ≥ 0} 6) { – 2 ,– 1,0,2,3,4} 7) S= {2,3,4} 8) 5 elementos. 

Inequação – Quociente: o a o

Dadas as funções f: R → R e g: R → R, cada uma das inequações: f (x) g (x)

> 0,

f (x) g (x)

≥ 0,

f (x) g (x) 262

< 0,

f (x) g (x)

≤0

MATEMÁTICA O A O

é denominada inequação – quociente. Para resolve-las procedemos como no caso da inequação-produto, fazendo um quadro de sinais para o quociente f (x) . Devemos nos g (x) lembrar ao dar a resposta que, em qualquer dos casos acima, devemos ter g(x) ≠ 0.

 Questões Comentadas 3x + 2 ≥ 0. 2x – 3

1) Resolver a inequação

Façamos f(x) = 3x +2 e g(x) = 2x – 3. Temos: Sinais de f(x)

sinais de g(x)

y f>0 2

f<0

sinais de f(x)/g(x)

y g>0 g<0

x

3

3

x

f(x)

_ 2 3 3 2 – +

+

g(x)

–

–

+

f(x)/g(x) +

–

+

2

f(x)

≥ 0, o conjunto–verdade é g(x) 2 3 x∈R x ≤ – ou x > 3 2

Como queremos

2x + 1

< 1. 4x – 1 Primeiro vamos colocá-la na forma de inequação – quociente, deixando “zero” no segundo membro: 2x+1 2x+1 2x+1– (4x–1) – 2x + 2 < 0 <1 – 1< 0 <0 4x–1 4x–1 4x – 1 4x – 1 2) Resolver a inequação

4x – 1 263


Agora façamos f(x) = – 2x + 2 e g(x) = 4x – 1. Temos: sinais de f(x)

sinais de g(x)

y

sinais de f(x)/g(x)

y

f>0

g>0 1 f<0 x

_ 1 4 1 + +

f(x) g(x)

g<0

1

x

– –

f(x)/g(x)

+

– + –

+

4

Como queremos

f(x) g(x)

< 0, o conjunto –solução é

x ∈ R x <



1

ou x > 1 4 EXERCÍCIO – INEQUAÇÃO DO 1º GRAU (II)

1)Resolva as inequações

2x – 8

a)

4x – 3 c)

>0

6 – 3x x+4

2) Resolva as inequações a)

x 8x – 1

b)

10x – 1

>0

>2

5x – 1

x

d)

– 4x – 5 b)

≤ 0

<0

3x – 2 >0 (2x + 1) (1 – x )

Respostas: 1) a) S= { x ∈ R x < 3/4 ou x > 4} c) {x ∈ R – 4 < x < 2} b) S= { x ∈ R 1/10 < x ≤ 1/5 } d) {x ∈ R x < – 5/4 ou x > 0} 2) a) {x ∈ R 1/8 < x < 2/15} b) {x ∈ R x < – 1/2 ou 2/3 < x < 1} 

Sistema De Inequações: o a o

Um sistema de inequações é um conjunto de duas ou mais inequações consideradas simultaneamente (ligadas pelo conectivo e). O conjunto-verdade do sistema é a intersecção dos conjuntosverdades das inequações que o formam.

 Questões Comentadas x–1 – x+1 3 2

1) Resolver o sistema 264

≥ 4 (I)

MATEMÁTICA O A O

1 – x + 2 ≥ 0 (II) 3 Primeiro resolvemos cada inequação do sistema: (I) x – 1 x +1 x–1 x+1 – –6 ≥ 4⇔6 ≥ 24 ⇔ 3 2 3 2 ⇔ 2(x – 1 ) – 3 (x + 1) ≥ 24 ⇔ 2x – 2 – 3x – 3 ≥ 24 ⇔ – x ≥ 29 ⇔ x ≤ – 29 (II) 1–

x+2 3

≥ 0 ⇔ 3 – (x + 2) ≥ 0 ⇔ 3 – x– 2 ≥ 0⇔ – x ≥ – 1 ⇔ x ≤ 1

Agora determinamos o conjunto – solução do sistema, que é a intersecção de (I) e (II). – 29 (I) ıııııııııııııııııı (II)

ıııııııııııııııııııııııııııııııııııııııııııı 1 (I) ∩ (II) ııııııııııııııı – 29 S = { x ∈ R x ≤ – 29} = ]– ∞ ; – 29] 2) Resolver as inequações simultâneas 2x + 4 ≤ 3x + 8 ≤ 2x + 12 Note que devemos ter 2x + 4 ≤ 3x + 8 e 3x + 8 ≤ 2x + 12. Portanto temos que resolver o sistema Temos:

2x +4 ≤ 3x + 8

(I)

3x + 8 ≤ 2x + 12 (II)

(I) 2x + 4 ≤ 3x + 8 ⇔ 2x – 3x ≤ 8 – 4 ⇔ – x ≤ 4 ⇔ x ≥–4 (II) 3x + 8 ≤ 2x + 12 ⇔ 3x – 2x ≤ 12 – 8 ⇔ x ≤ 4 –4 (I) ıııııııııııııııııııııııııııııııııııııııııııııııı 4 (II) ııııııııııııııııııııııııııııııııııııııııııııı

(I) ∩ (II) –4

ııııııııııııııııııııııııı 4 265


S = { x ∈ R  – 4 ≤ x ≤ 4} = [ – 4;4]  EXERCÍCIO INEQUAÇÃO DO 1º GRAU – ( III ) Resolva os sistemas. 1) 3x – 6 > 0 3) 2(x – 1) – ( 2x – 1 ) ≤ 0 – 3x + 12 > 0 5x – 2( x – 2 ) ≤ 0 2)

5x + 1 < 3x + 2 6x – 2 < 8x +4

4)

1 – 3(2 – x) ≥ 2 (5x – 1 ) 6x – 3(x + 1 ) ≥ 1 – 7x

Resolva as inequações simultâneas. 5) x – 1 ≤ 3 – 2x ≤ 3x – 2 6) – 1 < 6x – 1< 6( 1 – x ) 7) x < x + 1 < 4x – 2 2 Respostas: 1) S = { x ∈ R 2 < x < 4} 3) S= {x∈ R x ≤ – 4/3 } 6) S= { x ∈ R 0 < x < 7/12}



2) S= { x ∈ R  – 3 < x < 1/2 } 4) S = φ 5) S= { x ∈ R 1 ≤ x ≤ 4/3 } 7) S={ x ∈ R x > 1}

FUNÇÃO DO 2º GRAU

Equação do 2º Grau



Chamamos equação do 2º grau à sentença: ax2 + bx + c = 0 onde a, b, e c, são números conhecidos, a ≠ 0 e x é a incógnita. Exemplos 1) 2x2 + 3x + 1 = 0, onde a = 2, b = 3 e c = 1. 2) x2 – 2x = 0, onde a = 1, b = – 2 e c = 0. 3) 4 x2 – 1 = 0, onde a = 4, b = 0 e c = – 1. Nota: Estaremos considerando equações no conjunto universo U = R, exceto quando for citado outro universo. Assim, estaremos sempre interessados em calcular as raízes reais da equação. 

Resolução das equações incompletas: o a o

As equações do 2º grau que têm b = 0 ou c = 0 são chamadas equações incompletas.

 Questões Comentadas 1) Resolver a equação x2 – 2x = 0 Começamos colocando x em evidencia: x . (x – 2) = 0. 266

MATEMÁTICA O A O

Lembrando que um produto é igual a zero somente se pelo menos um dos fatores é zero, devemos ter: x = 0 ou x – 2 = 0 Logo, o conjunto solução é S = { 0; 2}. 2) Resolver a equação 4x2 – 1 = 0. Temos: 4x2 – 1 = 0 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ± 1 = ± 1 4 4 2 O conjunto-solução é S = _ 1 ; 1 2 2 3) Resolver a equação 2x2 + 8 = 0 Temos: 2x2 + 8 = 0 ⇔ x2 = – 4

Nenhum número real é raiz da equação, porque x2 ≥ 0, ∀x ∈ R. Então, o conjunto-solução é S = ∅ 

Equações Completas: o a o Vamos resolver a equação ax2 + bx + c = 0 com a ≠ 0. x = –b±

Temos:

b2 – 4ac 2a

Nota: Denominamos b2 – 4ac de discriminante da equação do 2º grau, que representamos pela letra grega ∆ ( leia: Delta).

 Questão Comentada Resolver a equação 2x2 + 3x + 1 = 0 Como a = 2, b = 3 e c = 1 temos: x=

–3 ±

32 – 4 . 2 . 1

=

–3 ±

2.2

x =

– 3 ± √1 4

=

x’ =

–3 ± 1

9–8 4 –3 + 1 4

4

= =

–2 4

=

–1 2

x” = –3 – 1 = – 4 = –1 4 4

O conjunto – solução é S =

–

1 2

267

; –1




Condições de Existência de Raízes Reais:

Observando a dedução da fórmula de Báscara podemos concluir que: a equação do 2º grau tem raízes reais se, e somente se, ∆ ≥ 0 As raízes são dadas por:

x=

– b ± √∆ 2a

Temos ainda: ∆ > 0 ⇨ as duas raízes são números reais e distintos. ∆ = 0 ⇨ as duas raízes são números reais iguais. ∆ < 0 ⇨ não existem raízes reais.

Exemplos. 1) Na equação 2x2 + 4x + 1 = 0, ∆ = b2 - 4ac = 42 – 4 . 2 . 1 = 16 – 8 = 8 Como ∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas. 2) Na equação 9x2 + 12x + 4 = 0, ∆ = b2 - 4ac = 122 – 4 . 9 . 4 = 144 – 144 = 0 Como ∆ = 0, a equação possui duas raízes reais e iguais. 3) Na equação 2x2 + 5x + 9 = 0, ∆ = b2 - 4ac = 52 – 4 . 2 . 9 = 25 – 72 = – 47 Como ∆ < 0, a equação não possui raízes reais. O conjunto- solução em R = ∅  EXERCÍCIO EQUAÇÃO DO 2º GRAU 1) Resolva as equações (no conjunto universo U = R ): a) x2 – 36 = 0 e) 2x2 – 1 = 0 i) x2 + 5x = 0 2 2 b) 9x – 4 = 0 f) 3x – 16 = 0 j) 2x2 – 11x = 0 2 2 c) 5x – 1 = 0 g) 25x – 8 = 0 k) 3x2 – 4x = 0 x d) 2x2 + 18 = 0 h) 9x2 + 1 = 0l) x2 + =0 2 2) Resolva as equações: a) x2 + 2x – 15 = 0 e) 12x2 – 5x – 3 = 0 2 b) 2x – 5x + 2 = 0 f) x2 – 6x + 7 = 0 2 c) x – 6x – 7 = 0 g) x2 + 2x – 2 = 0 268

MATEMÁTICA O A O

d)– 6 x2 + 5x – 1 = 0

h) 4x2 – 4x – 17 = 0

3) Resolva a equação x3 + x2 ( x – 1) + x ( x – 2 ) – 3 ( x – 3) = 7 4) Resolva as equações: x2 x 2 x+1 x2 – 1 a) – + = 0 b) – =0 12 2 3 2 3 5) Calcule ∆ e diga, quantas raízes reais distintas possui cada equação. a) 9x2 + 6x + 2 = 0 b) 9x2 + 6x + 1 = 0 c) 9x2 + 6x – 1 = 0

d) x2 + 5x + 4 = 0 e) x2 + 4x + 4 = 0 f) x2 + 3x + 4 = 0

6) Para que valores de m a equação 9x2 + 6x + m = 0 ite raízes reais? 7) Para que valores de k a equação x2 + k x + 4 = 0 possui raízes reais e iguais? 8) Para que valores de m a equação 2x2 + x + m = 0 possui raízes reais distintas? 9) Para que valores de p a equação px2 + 2x + 3 = 0 não possui raízes reais? 10)Ache c de modo que a equação x2 + 8x – 2c = 0 tenha raízes reais. 11) Calcule os valores de r para os quais a equação x2 + 2rx + (r + 2) = 0 possui raízes reais iguais. Respostas: 1- a) S = { – 6, 6 }

e) S = – √2 , √2 2

2

i) S = { 0, – 5 } j) S =

0 , 11 2 0, 4 3

b) S = – 2 , 2 3 3

f) S= – 4 √3 , 4√3 3 3

k) S=

c) S = – √5 , √5 5 5 d) S = ∅

g)S= – 2 √2 , 2√2 5 5 h) S = ∅

L) S= – 1 , 0 2

2- a) S = { – 5, 3} b) S = 1 , 2 2

e) S=

–1,3 3 4

f) S = { 3 – √2 , 3 + √2 } 269


c) { – 1 , 7 }

g) S= {–1–√3, –1+ √3 }

d)S=

1 , 1 3 2

h) S = 1 + 3 √2 , 1 – 3√2 2 2

3- S=

2,1 2

4 - a) S = { 4,2}

5 - a) ∆ = – 36 , nenhuma b) ∆ = 0 , duas iguais c) ∆ = 72 , duas distintas

b) S = – 1, 5 2

d) ∆ = 9 , duas distintas e) ∆ = 0 , duas iguais f) ∆ = –7 , nenhuma

6- m≤1

8- m < 1 8

10- c ≥ – 8

7- k=±4

9- p > 1 3

11- R = 2 ou R = – 1



Função Do 2º Grau

Dados os números reais a, b e c, sendo a ≠ 0, podemos considerar a função que a todo número real x faz corresponder o número ax2 + bx + c. f: R → R, com f (x) = ax2 + bx + c. (∀x ∈ R) Esta função é denominada função polinomial do 2º grau ( ou também função quadrática). O gráfico é uma curva denominada parábola. Exemplos 1) f(x) = x2 – 4x + 3, onde a = 1, b = – 4 e c = 3. Temos: y s Nota: -O gráfico é a parábola desenhada na figura -8 -7 -6 -5 -4

ao lado. Observe que: D( f ) = R e Im ( f) = { y ∈ Ry ≥ – 1} =[– 1;∞[. Dizemos que essa parábola tem concavidade para cima. A curva é simétrica em relação à reta s assinalada na figura. O ponto v onde o eixo de simetria s corta a curva é denominada vértice da parábola.

3 21-

270

MATEMÁTICA O A O

-2 -1 0 1 2 3 4 - 1---- - v -2

5

x

2) f(x) = – x2 + 2x + 3, onde a = – 1, b = 2 e c = 3. Temos: Y 4 ----- V

-2



Nota:

3 --------210 -1 1 2 3 –2 –3 –4 –5

O gráfico é a parábola desenhada na figura ao lado. Observe que D(f )=R e Im(f )={y∈Ry ≤ 4} = ]∞; 4]. 4

Dizemos que essa parábola tem concavidade para baixo.

x

Concavidade Na função y = ax2 + bx + c,

quando a > 0, o gráfico é uma parábola de concavidade para cima; quando a < 0, o gráfico é uma parábola de concavidade para baixo.

Observe no exemplo 1 que a = 1, portanto a > 0 e a parábola é côncava para cima.No exemplo 2 temos a = – 1, portanto a < 0 e a parábola é côncava para baixo. 

Vértice – o a o

Quando vamos desenhar uma parábola é importante que fique bem claro qual é o vértice da mesma. Por isso, é interessante que saibamos previamente determinar o vértice. y Cálculo da abscissa do vértice xv O fato da curva ser simétrica s eixo de simetria em relação à reta s significa que se tomamos dois pontos y1=y2 ---------------------da parábola de abscissas yv -------------- v xv + k e xv – k, ∀k ∈ R,

xv – 1

xv

esses pontos têm a mesma ordenada y. –b xv= 2a

xv + 1 x

Cálculo da ordenada do vértice y v 271


O cálculo de yv pode ser feito substituindo x por – b temos: xv na função. Para x = xv = 2a –∆ v y = 4a Exemplo Em y = x2 – 4x + 3 temos a = 1, b = – 4 e c = 3. –b – (– 4) 4 xv = = = = 2 e yv = 22 – 4 . 2 + 3 = 4 – 8 + 3 = – 1 2a 2.1 2 – b2 + 4ac – (– 4)2 + 4 . 1 . 3 – 4 –∆ Ou então:, yv = = = = =–1 4a 4a 4.1 4 Logo, V = ( 2; – 1). EXERCÍCIO FUNÇÃO DO 2º GRAU – ( I )



1) Determine o vértice de cada parábola. a) y = 3x2 – 6x – 2 b) y = x2 +

c) y = 4x2 + 2x + 1

x _ 1 2

d) y = x2 + √2x

4

2) Para que valores de m o gráfico de y = (m – 4) x2 – 2x + m é uma parábola côncava para cima? 3) O vértice da parábola y = x2 + bx + c e o ponto V (– 3;1). Calcule b e c. 4) Sabe-se que a parábola y = x2 + bx + 2b a pelo ponto (1;7). Qual é o valor de b? 5) Calcule b e c sabendo que a parábola y = x2 + bx + c a pelos pontos (1;1) e (2.6). Nos exercícios de 6 a 10 temos funções quadráticas f(x) = ax2 + bx + c. para cada uma delas diga se o gráfico é parábola côncava para cima ou para baixo, ache o vértice e depois faça o gráfico. 6) f(x) = x2 – 2x + 2 272

MATEMÁTICA O A O

7) f(x) = x2 – 2x – 3 8) f(x) = – x2 + 5x – 3 9) f(x) = x2 – 2x + 1 10) f(x) = – x2 + 4x Respostas: 1) a) V = ( 1; – 5 )

c) V =

–1 ;3 4 4

b) V = – 1 ; – 5 4 16 2) m > 4

d) V= _√ 2 ; 1 2 2 4) b = 2

3) b = 6 e c = 10

5) b = 2 e c = – 2



Valor Máximo ou Mínimo:

Vamos determinar a imagem da função quadrática f(x) = ax 2 + bx +c: Im = { y ∈ R (∃x ∈ R  f(x) = y)} Devemos descobrir os valores de y para os quais existe x real satisfazendo f(x) = yv Temos: Caso a > 0, a função Im 2 f(x) = ax + bx + c tem imagem Im = { y ∈ R  y ≥ yv }. yv Observamos que, da esquerda para a direita, v os valores da função vão diminuindo até chegarmos em x = xv e depois eles vão aumentando. Dizemos xv que f é decrescente no intervalo ] –∞; xv ] e crescente –b em [ xv ; + ∞[ . Em x = xv = a função tem o seu 2a –∆ valor mínimo, que é f(x) = yv = .Também se diz 4a que x = xv é ponto de mínimo de f, neste caso.

273

x


Caso a < 0, a função

y ---------v

f(x) = ax2 + bx + c tem imagem Im = { y ∈ R  y ≤ yv }.

v

xv

Neste caso a função é crescente no intervalo ] –∞; xv ] e descrescente em [ xv ; + ∞ [. –b Em x = xv = a função tem o seu valor máximo, 2a –∆ que é f(x)= yv= .Também se diz , neste caso, que 4a x = xv, é ponto de máximo de f.

Exemplos 1) Na função f(x) 2x2 + 3x + 4 temos a = 2, portanto a > 0 (parábola côncava para cima). –b –3 xv = = y 2a 4 v – ∆ –b2 + 4ac 23 yv = = = 4a 4a 8 – 32 + 4 . 2 . 4 23 = = _ 3 x 4.2 8 4 O ponto de mínimo de f é x =_ 3 Im (f ) = y ∈ R y ≥ 23 o valor mínimo de f é : 23 4 8 8 2) Na função f(x) – 3x2 + 2x + 1 temos a= – 3, portanto a < 0 (parábola côncava para baixo) y xv = yv = =

–b 2a –∆

=

–2

=

1

–6 3 –b2 + 4ac

= 4a 4a – 22 + 4 . (– 3) . 1

=

4 -= 4

3 1 274

x

MATEMÁTICA O A O

4 (– 3)

3

O ponto de máximo de f é x =

3 1

Im (f ) =

3

y ∈ R y ≤ 4 3

o valor máximo de f é: 4 / 3

 Questão Comentada Determinar a área máxima que pode ter um retângulo de perímetro igual a 20 cm. Lembremos que a área S do retângulo de base x e altura h é S = x . h. Como o perímetro é 20 cm vem: x 2x + 2h = 20 ⇒ x + h = 10 ⇒ h = 10 – x Logo, h h S = x (10 – x ) = 10x – x2 = – x2 + 10x x Observe que a área S é uma função quadrática de x, com a = – 1 < 0. Então S tem um valor máximo que é: –∆ –b2 + 4ac –102 + 4 . (– 1) . 0 – 100 yv = = = = = 25 4a 4a 4 . (– 1) –4 A área máxima é 25 cm2.  EXERCÍCIO FUNÇÃO DO 2º GRAU – ( II ) Nos exercícios de 1 a 4 dê o ponto de máximo ou de mínimo de f, o valor máximo ou mínimo de f e determine a imagem dela. 1) f(x) = 5x2 + x + 2 2) f(x) = – x2 + 3x + 6 3) f(x) = 8 x + 2x2 4) f(x) = 6 – x – x2 5) Calcule m de modo que a função f(x) = mx2 + 2x + 1 tenha um valor mínimo igual a 1 4 6) Para que valor de x na função f(x) = 3 x 2 –12x + 7 tem o seu valor mínimo? 7)Uma bola é lançada para cima, verticalmente, tem sua altura h (medida em metros) dada em função do tempo t decorrido após o lançamento ( t medido em segundos) pela fórmula h = 20t – 5t 2. Calcule: a) o tempo decorrido até a bola chegar à altura máxima; b) a altura máxima da bola; c) o tempo decorrido até a bola cair no solo (isto é, até que se tenha novamente h=0) 275


8) Calcule a área máxima que pode ter um retângulo de perímetro igual a 40 cm. 9) Calcule o valor máximo que pode ter o produto pq sabendo que p e q são números reais positivos e p + q = 1. Respostas. 3)O ponto mínimo é – 2,

1)O ponto mínimo é _ 1 10 O valor mínimo de f é 39 20

7) a) 2 segundos

O valor mínimo de f é – 8.

b) 20 metros

Im (f) = { y ∈ R y ≥ – 8}

c)4segundos

4)O ponto máximo é _ 1

Im (f) = y ∈ R  y ≥ 39 20 3 , 2) O ponto máximo é

2 O valor máximo de f é 25 4

2 O valor máximo de f é 33 , 4 Im (f) = y ∈ R  y ≤ 33 4

8) 100 cm2 9) 1

Im (f) = y ∈ R y ≤ 25 4

4

5) m = 4 3 6) x = 2

 Raízes e sinais da função quadrática : o a o Para encontrar as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, devemos resolver a equação do 2º grau: ax2 + bx + c = 0 2 Sendo ∆ = b – 4ac os seguintes casos podem ocorrer: 1º) ∆ > 0 ⇒ há duas raízes reais distintas x’ e x” Neste caso a parábola corta o eixo dos x nos pontos de abscissas x’ e x”. Vejamos como são os sinais de f(x). Caso a > 0 y

y

Caso a < 0 +

+

+

x” –

x”

–

x’

x’

x –

x

( x < x” ou x > x’ ) ⇒ f(x) > 0 x" < x < x’ ⇒ f(x) < 0 ( x = x” ou x = x’ ) ⇒ f(x) = 0

( x < x” ou x > x’ ) ⇒ f(x) < 0 x" < x < x’ ⇒ f(x) > 0 ( x = x” ou x = x’ ) ⇒ f(x) = 0 276

MATEMÁTICA O A O

2º) ∆ = 0 ⇒ há duas raízes reais iguais x’ = x” Neste caso a parábola tangencia o eixo dos x no ponto de abscissa x’. Vejamos os sinais de f(x). Caso a > 0 Caso a < 0 y y x’ –

+

–

+ x’

x

x ≠ x’ ⇒ f(x) > 0 x = x’ ⇒ f(x) = 0

x ≠ x’ ⇒ f(x) < 0 x = x’ ⇒ f(x) = 0

3º) ∆ < 0 ⇒ não há raízes reais Neste caso a parábola não tem nenhum ponto comum com o eixo dos x.Vejamos os sinais de f(x). Caso a > 0 Caso a < 0 y y –

x –

– +

+ +

x

f(x) > 0, ∀x ∈ R f(x) < 0, ∀x ∈ R Exemplos 1) Estudar os sinais de f(x) = x2 – 6x + 8. Começando calculando ∆ e determinando as raízes de f(x). ∆ = ( – 6) 2 – 4 . 1 . 8 = 4 x’ = 4

y 277


raízes: x =

6 ± √4 2

x” = 2

+

+

A parábola corta o eixo dos x nos pontos de abscissas 2 e 4. como a =1 > 0, ela tem concavidade para cima. Temos, então: (x < 2 ou x > 4) ⇒ f(x) > 0 (x = 2 ou x = 4) ⇒ f(x) = 0 2 < x < 4 ⇒ f(x) < 0 2) Estudar os sinais de f(x) = – x2 + 2x – 1 Temos: ∆ = 22 – 4 . (– 1) ( – 1) = 0

2

–

4

y 1 x –

raízes: x =

–

–2 ± 0

=1 –2 A parábola tangencia o eixo dos x no ponto de abscissa 1. Como a = – 1< 0, ela tem concavidade para baixo, então: x ≠ 1 ⇒ f(x) < 0 x = 1 ⇒ f(x) = 0  EXERCÍCIO FUNÇÃO DO 2º GRAU (III) Nos exercícios de 1 a 5 estude os sinais de f(x). 1) f(x) = 6x2 – 5x + 1 2) f(x) = –x2 – 2x + 3 3) f(x) = x2 + 4x + 4 4) f(x) = x – x2 5) f(x) = x2 – 9 6) Determine os valores de c para os quais temos: x2 + 4x + c > 0, ∀x ∈ R. 7) Calcule os valores de m para os quais temos: – 2x2 + 6x + (m – 1) < 0, ∀x ∈ R. Respostas 1) f > 0 ⇒ x < f<0⇒

1 3

f=0⇒x=

1 3

ou x >

< x < 1

6) c > 4

1 2 1

7) m < _

2 1 ou x =

7 2

278

x

MATEMÁTICA O A O

3

2

2) f > 0 ⇒ – 3 < x < 1 f < 0 ⇒ x < – 3 ou x > 1 f = 0 ⇒ x = – 3 ou x = 1 3) f > 0 ⇒ x ≠ - 2 f<0⇒∄x∈R f=0⇒x=–2 4) f > 0 ⇒ 0 < x < 1 f < 0 ⇒ x < 0 ou x > 1 f = 0 ⇒ x = 0 ou x = 1 5) f > 0 ⇒ x < – 3 ou x > 3 f<0⇒ –3< x<3 f = 0 ⇒ x = – 3 ou x = 3

 INEQUAÇÃO DO 2º GRAU  Introdução: Chamamos inequações do 2º grau às sentenças: ax + bx + c > 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≤ 0 onde a, b e c são números reais conhecidos, a ≠ 0, e x é a incógnita. Fazendo y = ax2 + bx + c, resolver cada inequação acima significa determinar para quais valores reais de x temos, respectivamente: y > 0, y ≥ 0, y < 0, y ≤ 0 2

Isto pode ser feito analisando-se os sinais da função y = ax 2 + bx + c.

 Questões Comentadas 1. Resolver a inequação 2x2 – 5x + 2 > 0.

y

Começamos estudando os sinais de y = 2x2 – 5x + 2. ∆ = (– 5)2 – 4 . 2 . 2 = 9

+ 279

+


raízes: x = 5 ± 3 4

x’ = 2

x” = 1 2 a = 2 > 0 ⇒ parábola côncava para cima.

–

1 2

2

x

Resolvendo 2x2 – 5x + 2 > 0 significa dar os valores de x que tornam verdadeira a sentença y > 0. Observando o gráfico notamos que y > 0 é verdadeiro para x < 1 ou x > 2. 2 1 Resposta: S= x ∈ R  x < ou x > 2 2 2. Resolver a inequação x2 – 6x – 7 ≤ 0

y

2

Fazemos y = x – 6x – 7 ∆ = (– 6)2 – 4. 1 . (– 7) = 64 + + 6 ± 8 x’ = 7 raízes:x = 2 x” = – 1 –1 – 7 x a = 1 > 0 ⇒ concavidade para cima. Temos y < 0 para – 1 < x < 7, e y = 0 para x = – 1 ou x = 7. Logo, y ≤ 0 para – 1 ≤ x ≤ 7. S = { x ∈ R  – 1 ≤ x ≤ 7 }.  Inequações Produto e Quociente: o a o Novamente, a solução será feita analisando-se os sinais das funções y = ax + b e y = ax2 + bc + c.

 Questões Comentadas 1. Resolver a inequação 3x2 – 2x – 1 < 0. 1 – 4x2 1º) Sinais de y1 = 3x2 – 2x – 1 y + _ 1 3

2º) Sinais de y2 = 1 – 4x2 y

+ _

1

x

_

3º) Sinais de y1 / y2 _ 1 _ 1 2 3 y1 + + – y2 – + + y1 / y2 – + – 280

+ _ 1 2

1 2

1 2

1 – – +

+ – –

_ x

MATEMÁTICA O A O

y

1 < 0 a resposta é: y2 1 1 1 S = x ∈ R  x < _ ou _ < x < ou x > 1 2 3 2 1 1 1 = ] –∞;_ [∪]– ; [∪] 1; ∞ [ 2 3 2

Como queremos

=

2. Resolver a inequação (x2 + 2x – 3 ) (4x – 1) > 0. Façamos y1 = x2 + 2x – 3 e y2 = 4x – 1. Vamos estudar os sinais y1 e y2 separadamente e depois montar o quadro de sinais do produto y1 . y2 . 1º) Sinais de y1 ∆ = 22 – 4. 1 . ( – 3) = 16 1 raízes: x = – 2 ± 4 2 –3 a = 1 > 0 ⇒ conc. para cima

–

+ –

2º) Sinais de y2 = 1 – 4x2 raiz: 4x – 1 = 0 ⇒ x = a = 4 > 0 ⇒ y2

y 1 4

+ _

1 4

3º) Sinais de y1 . y2

1 4

-3 y1 y2 y 1 . y2

+ – –

– – +

1 – + –

+ + +

Como queremos y1. y2 > 0, a resposta é: S = x ∈ R– 3 < x <

1 4

ou x > 1

= ]–3;

1 4

[∪]1;+∞[

 EXERCÍCIO INEQUAÇÃO DO 2º GRAU 1) Sendo U = R, resolva as inequações do 2º grau: 281

a) x2 – 9x – 10 > 0 b) 6x – x2 > 0 c) x2 ≥ 4 d) x2 + 36 > 12x e) x2 < x + 1


f) x2 + 2x ≤ 12x – 1 2

h) (x + 5 )2 ≤ 20x i) 4m – 3 ≥ 3 + m(m – 1) 2 4 j) (t + 1) ( t – 1) ≥ – 3 k) (a + 2)2 ≥ 4(a2 + 2) L) x (x2 + 1) + (x + 2) (x – 2) ≥ x2 ( 2 + x) m) r3 – 1 < (r – 1) (r2 + 4 )

8

g) m2 – m + 1 < 2m2 + m + 2

n) t2 < 5

2) Determine o conjunto-solução das inequações abaixo,sendo U=R: a) ( x2 – 5x + 4 ) ( 2x2 – x – 1) > 0

h)

b) ( x – 4) (2x – x ) ≥ 0 2

< 0

2

c) ( x + x2 ) ( 5x – 1) < 0

4 – x2

i)

2

≤ 0

2

d) x (x + 3x +2 ) ≤ 0

x + 6x + 5

e) (2x – 3) (x – 3x – 10) (1 – x ) > 0 2

x2 – 16

x + 4x + 3

2

2

f) x ( x + 1) (x – 1 ) ≥ 0

j)

5x – 2

≥0

x (x – 9 )

2

2

g) 4x – 3x – 1 > 0 2x2 – x – 1 2

Respostas: 1)a) S= {x ∈ Rx < – 1 ou x > 10 }

h) S = { 5 }

b) S= {x ∈ R0 < x < 6}

i) S = { 3/2}

c) S= {x ∈ Rx ≤ – 2 ou x ≥ 2}

j) S = R

d) S= {x ∈ Rx ≠ 6}

k) S = ∅

e) S= {x ∈ R1 – √5 < x < 1 + √5 } 2 2 1 f) S = _ 2 g) S = { m ∈ R  m ≠ – 1 } 2) a) S =

l) S = ∅ m) S = { r ∈ R  1 < r < 3} n) S= { t ∈ R– √5 < t < √5 }

x ∈ R  x < _ 1 ou x > 4 2 282

MATEMÁTICA O A O

b) S = { x ∈ R  – 2 ≤ x ≤ 0 ou x = 2 } 1

c) S = x ∈ R  x < – 1 ou 0 < x <

5

d) S = { x ∈ R  x ≤ – 2 ou – 1 ≤ x ≤ 0 } e) S = x ∈ R  x < – 2 ou – 1< x < 1 ou f) S = { x ∈ R  x ≤ 0 ou x ≥ 1 } g) S =

x∈Rx < _

1 2

ou _

1 4

3 2

< x< 5

< x < 1 ou x > 1

h) S = { x ∈ R – 4 < x < 1 ou 3 < x < 4 } i) S = { x ∈ R  x < – 5 ou – 2 ≤ x < – 1 ou x ≥ 2 } j) S =

x ∈ R  x < – 3 ou 0 < x ≤

2 5

ou x > 3

 QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 01-(PUC-SP)Os pares ordenados (2,3) , (3,3) e (1,4) são elementos do conjunto A x B. Então: a) (1,3) , (2,4) e (3,4) estão necessariamente em A x B. b) (1,1) , (1,3) , (2,2), (2,4) e (3,4) estão necessariamente em A x B. c) (1,1) , (2,2) e (4,4) estão necessariamente em A x B. d) (3, 2) e (4, 1) estão necessariamente em A x B. e) Os elementos dados podem ser únicos de A x B. 02-(UF–MT)Sejam os conjuntos A e B tais que: A x B = {( – 1; 0),( 2 ; 0 ),(– 1; 2),( 2 ; 2), (–1;3),(2;3)} O número de elementos do conjunto A ∩ B é: a) 0

b) 1

c)2

d)3

e)4

03-(U.E.C.E) Se P = { 1,2,5,7,8}, então o número de elementos do conjunto W = {(x,y) ∈ p2; x < y} é: a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

04-(F.SANTANA) Seja a relação R, de A em A, definida por 283


(x;y) ∈ R ⇔

y = √x , se x é par y = x + 1, se x é impar Se A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, o número de pontos do gráfico cartesiano de R é: a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 05- (UF-Uberlândia) Dados os conjuntos A = {–1; 0; 1; 2} e B {0; 1; 2; 3; 4} qual, entre as relações seguintes, representa uma função de A em B? a) {(– 1; 0), (0;1), (1;2), (1;3),(2; – 4) b) {(–1; 1), (0;1), (1;0), (1;2)} c) {(0; – 1), (1;0), (2;1), (4;2)} d) {(– 1;1), (0;0), (1;1), (2;4)} e) {(– 1; 1), (0;2), (0;3), (1;4), (2;4)} 06- (PUC-SP) Os conjuntos A e B possuem, respectivamente, 3 e 4 elementos. Quantas funções de A em B têm o conjunto imagem igual a B? a) nenhuma b)34 c)43 d)3! e) 4! 07- (U.F.PE) Dados os conjuntos A = { a, b, c, d} e B = {1,2,3,4,5}, assinale a única alternativa que define uma função de A em B. a){(a,1), (b,3), (c,2)}

d) {(a,1), (a,2), (a,3), (a,4),(a,5)}

b){(a,3), (b,1), (c,5),(a,1)}

e) {(1,a), (2,b), (3,c), (4,d),(5,a)}

c) {(a,1), (b,1), (c,1), (d,1)} 08- (U.F.PA) Sejam os conjuntos A ={1,2} e B = {0,1,2}. Qual das afirmativas abaixo é verdadeira? a:ƒ : x → 2x é uma função de A em B. b:ƒ : x → x + 1 é uma função de A em B. c:ƒ : x → x2 – 3x + 2 é uma função de A em B. d:ƒ : x → x2 – x é uma função de B em A. e:ƒ : x → x – 1 é uma função de B em A. 09 – (U.F.PA) Dada a função ƒ de A = { 0,1,2} em B = {-2,-1,0,1,2} definida por ƒ(x) = x – 1, qual o conjunto imagem de ƒ?. a) { – 1, 0 , 1}

c) {0,1,2 } 284

e){0, –1,2}

MATEMÁTICA O A O

b) {– 2, – 1, 0, 1, 2}

d) {– 2, – 1, 0}

10-(GV-SP) O número de unidades produzidas (y) de um produto, durante um mês, é função do número de funcionários empregados (x) de acordo com a relação: y = 50√x . Se 49 funcionários estão empregados, podemos afirmar que: a) o acréscimo de um funcionário aumenta a produção mensal em 50 unidades. b) o acréscimo de 15 funcionários aumenta a produção mensal em 75 unidades. c) o acréscimo de 32 funcionários aumenta a produção mensal em 100 unidades. d) o acréscimo de 51 funcionários aumenta a produção mensal em 120 unidades.

11- (BB) Suponha-se que o número ƒ(x) de funcionários necessários para distribuir, em um dia, contas de luz entre x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função. 300x ƒ(x) = 150 – x Se o número de funcionários necessários para distribuir, em um dia, as contas de luz foi de 75, a porcentagem de moradores que as receberam é: a)25 b) 30 c) 40 d) 45 e) 50 12 – (BB) Em uma experiência realizada com camundongos, foi observado que o tempo requerido para um camundongo percorrer um labirinto, na enésima tentativa, era dada pela função 12 minutos.Com relação a essa experiência ƒ (n) = 3 + n pode-se afirmar que o camundongo : a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos. b) gasta cinco minutos e 40 segundos para percorrer o labirinto na quinta tentativa. 285


c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa. d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa. e) percorre o labirinto, numa das tentativas, em três minutos e 30 segundos. 13 – (CEF) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor de x de uma mercadoria é: a) f(x) = x – 3 b) f(x) = 0,97x

c) f(x) = 1,3x d) f(x) = – 3x

e) f(x) = 1,03x

14 – ( U.E.Londrina) Seja a função ƒ : R tal que ƒ(x) = ax + b. Se os pontos (0; – 3) e (2; 0) pertencem ao gráfico de ƒ, então a + b é igual a: a) 9 b) 3 c) 2 d) _ 3 e) – 1 2 3 2 15 – (FGV) O gráfico da função ƒ(x)= mx + n a pelos pontos (4,2) e ( - 1 , 6). Assim, o valor de m + n é: a) _ 13 b) 22 c) 7 d) 13 e) 2,4 5 5 5 5 16 – (PUC-SP) No conjunto dos números reais, a equação ax = b, na incógnita x: a)não pode ter infinitas soluções d)tem infinitas soluções se b≠ 0 b) sempre tem solução e) tem solução única se a ≠ 0 c) só tem solução se a ≠ 0 17 – (PUC-MG) Uma função do 1º grau é tal que ƒ (– 1) = 5 e ƒ ( 3)= – 3. Então ƒ (0) é igual a: a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) – 1 18-( UF-Viçosa) Uma função ƒ é dada por ƒ (x) = ax + b, onde a e b são números reais. Se ƒ (– 1) = 3 e ƒ ( 1) = – 1, então ƒ ( 3) é o número: a) 1 b) 3 c) – 3 d) 5 e) – 5 19- (U.E.BA)A função ƒ, de R em R,definida porƒ (x) = (k2 – 1) .x + 3, é crescente se, e somente se: a) k ≠ 1 e k ≠ – 1 b) k = 1 ou k = – 1 c) k > 0 d) – 1 < k < 1 286

MATEMÁTICA O A O

e) k < – 1 ou k > 1

20 – (CEF) Para produzir um objeto, uma firma gasta $ 1,20 por unidade. Além disso, há uma despesa fixa se $ 4.000,00, independentemente da quantia produzida. O preço de venda é de $ 2,00 por unidade. Qual é o número mínimo de unidades, a partir do qual a firma começa a ter lucro? a) 1 800 b) 2 500 c) 3 600 d)4 000 e) 5 000 21 – (BB)Um botânico mede o crescimento de uma planta,em centímetros, todos os dias. Ligando os pontos colocados por ele num gráfico, resulta a figura ao lado.Se for mantida sempre esta relação entre tempo e altura, a planta terá, no 30º dia, uma altura igual a: a) 5 cm altura em cm b) 6 cm 2 c) 3 cm d) 15 cm 1 e) 30 cm 5 10 tempo em dias 22-(BB) Duas funções importantes em finanças são: Receita Total: RT = P x Q e Custo Total: CT = CF + CVU x Q, onde : P = preço de venda unitário: CF = Custo fixo; CVU = custo variável unitário; Q = quantidade produzida e vendida. A Metalúrgica Atlas S.A. produz uma peça, para a qual são conhecidos os seguintes dados (mensais): P = $ 5.000,00 ; CF=$ 100.000,00;CVU=$ 2.000,00;Lucro= L = RT – CT = 800.000,00 A Metalúrgica Atlas, a fim de enfrentar seus concorrentes, decide reduzir em 20% o preço de venda unitário (P), mas pretende obter o mesmo lucro, através do aumento em Q. Este aumento (em %) deverá ser de: a) 20%

b) 150%

c) 40%

d) 50%

e) 10%

23- ( FUVEST) A tabela abaixo mostra a temperatura das águas do oceano Atlântico (ao nível do equador) em função da profundidade: Profundidade

Superfície

100m

500m

1 000m

3 000m

Temperatura

27º C

21ºC

7º C

4º C

2,8º C

287


itindo que a variação da temperatura seja aproximadamente linear entre cada duas das medições feitas para a profundidade, a temperatura prevista para a profundidade 400m é de: a) 16º C

b) 14º C

c) 12,5ºC

d) 10,5º

e) 8º C

24- (UF-GO) O menor múltiplo de 3 que satisfaz a inequação x + 5 < 2x – 1 é: a) 12

b) 9

c) 6

d) 3

e) 0

25-(UF-SE) Quantos números inteiros, estritamente positivos, satisfazem a inequação: 3 x+ < 3x – 4 ? 2 a) nenhum b) dois c) três d) quatro e) infinitos 26-(PUC-SP) O menor número inteiro k que satisfaz a inequação 8 – 3(2k – 1) < 0 é: a) – 2

b) – 1 c) 0

d) 1

e) 2

27-(CESGRANRIO) Os valores positivos de x, para os quais (x – 1) (x – 2) (x +3) < 0, constituem o intervalo aberto: a) (1,3 )

b) (2,3)

c) (0,3)

d) (0, 1)

e)(1,2)

28-(U.E.Londrina)Quantos números inteiros satisfazem a inequação 4–x

≥ 0?

1+x b) 3

a) 2

c) 4

d) 5

29-(UF-SE) O conjunto solução da inequação é: a) - 3; 5 2

c)

b)

d)

- 3; 5 2

- 3; 5 2 –∞; –3

288

e)

x+3

e) 6 ≤ 0, em R ,

2x – 5 – ∞; – 3 ∪

5 ;+ ∞ 2

MATEMÁTICA O A O

x – 2

30- (UFC) O domínio da função real g(x) =

é:

x–7 a) { x ∈ R ; x > 7}

b) { x ∈ R ; x ≤ 2}

c) { x ∈ R ; 2 ≤ x < 7 }

d) { x ∈ R ; x ≤ 2 ou x > 7} 31-(PUC-SP) Qual é a função do 2º grau cuja única raiz é – 3 e cujo gráfico a pelo ponto A = ( - 2 ; 5) ? a) f(x) = 5x2 + 30x + 45

d) f(x) = x2 + 10x + 21

b) f(x) = _ 5 x2 _ 5 x + 15 4 4 2

e) f(x) = – x2 + 9

c) f(x) = – 5x2 – 20x – 15 32- (F.Santana) sejam

5 e _ 3 , respectivamente, a soma e 2 2 o produto das raízes da equação 2x2 + bx + c = 0. O valor de b + c é: a) – 8

b) – 2

c) 1

d) 2

e) 8

33- (PUC-MG) O ponto extremo V da função quadrática ƒ(x) = x2 – 6x + 8 é: a) um máximo, sendo b) um mínimo, sendo c) um máximo, sendo d) um mínimo, sendo e) um mínimo, sendo

V = (3, - 1 ) V = (- 3, +1 ) V = (- 3, + 1 ) V = (3, + 1 ) V = (3, - 1 )

34 - (U.Fortaleza) Considere a função ƒ: R → R, definida por ƒ(x) = x2 – 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que: a) o vértice do gráfico de ƒ é o ponto (1, 4). b) ƒ possui dois zeros reais distintos. c) ƒ atinge um máximo para x = 1 d) o gráfico de ƒ é tangente ao eixo das abscissas. 35-(UC-MG) O valor máximo da função f(x) = – x 2 + 2x + 2 é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e)6 289


36-(GV-SP) O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por C = 2x2 – 100x + 5000. O valor do custo mínimo é: a) 3 250 b) 3 750 c) 4 000 d) 4 500 e) 4 950 37-(UN-Fortaleza) ABCD é um quadrado de área igual a 1(um). São tomados dois pontos P ∈ AB e Q ∈ AD tais que PA + AQ = AD. Então o maior valor da área do triângulo APQ é: D C Q A a) 1 2 b)

1 8

P

B

c) 1 4 e) 1 16

38-(GV-SP) A equação da parábola é: a) y = – 2x2 + 4x – 6 b) y = – 2( x – 3 ) (x – 1) c) y = 2 (x + 3 ) ( x – 1)

v 8

y

6

d) y = – 2(x + 3 ) ( x – 1) + 6 e) y = – 2x2 – 4x + 6

–3

1

4x – 1 39-(CESGRANRIO) Os valores de x tais que 2 são aqueles que satisfazem: x – 2x + 1 a) x > 4

b) x ≥ 4

c) x ≤ 1 4 290

d) x ≠ 1

x ≤ 0 e) x ≥ 1 4

MATEMÁTICA O A O

Respostas: 01) A

09) A

17) C

25) E

33) E

02) B

10) C

18) E

26) E

34) A

03) C

11) B

19) E

27) D

35) B

04) B

12) E

20) E

28) A

36) B

05) D

13) B

21) B

29) C

37) B

06) A

14) D

22) D

30) D

38) E

07) C

15) B

23) D

31) A

39)C

08) C

16) E

24) B

32) A



Introdução

 JURO SIMPLES Se A empresta a B a importância de R$ 100 pelo prazo de um ano, é comum que, ao final desse prazo, B devolva a A a importância de R$ 100 acrescida, digamos, de R$ 36 como uma compensação financeira denominada juro. Designando por capital a quantia emprestada, temos: R$ 100 são o capital R$ 36 são o juro O estudo que vamos iniciar agora – Matemática Financeira – , com todas as suas fórmulas e fatores, é feito em função do crescimento de uma certa quantia em dinheiro aplicada com o tempo, isto é, dos juros. Assim, podemos dizer que: Juro é a remuneração, a qualquer título, atribuída ao capital. 291


 Juro Simples No regime de capitalização a juro simples, por convenção, apenas o capital inicial rende juro, isto é, o juro formado no fim de cada período a que se refere a taxa não é incorporado ao capital para, também, render juro no período seguinte; dizemos, neste caso, que os juros não são capitalizados. Juro simples é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial .  Cálculo do Juro Simples: o a o Por definição, o juro simples é diretamente proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação, sendo a taxa de juro por período o fator de proporcionalidade. Assim, sendo: • C - o capital inicial ou principal; • j - o juro simples; • n - o tempo de aplicação; • i - a taxa de juro unitária. j=Cx i x n que é a fórmula de cálculo do juro simples.  Nota: é importante observar que essa fórmula só pode ser aplicada se o prazo de aplicação n é expresso na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa i considerada.

 Questões Comentadas 1) Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago? Resolução: Temos: C = 1.200 n=2a i = 30% a.a. = 0,3 a.a. Como: j = C x i x n Temos: j = 1.200 x 0,3 x 2 ⇒ j = 720 → Logo, o juro a ser pago é de: R$ 720

292

MATEMÁTICA O A O

2) Aplicou-se a importância de R$ 3.000, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,2% ao mês. Qual o valor do juro a receber? Resolução: Temos: C = 3.000 n = 3 me i = 1,2% a.m. = 0,012 a.m. Como: j = 3.000 x 0,012 x 3⇒ j = 108→O juro a receber é de:R$ 108  Taxas Proporcionais Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade. Dadas duas taxas (percentuais ou unitárias) i e i’, relativas, respectivamente, aos tempos n e n’, referidos à mesma unidade, temos: i n = 1 i’ n’ 

Nota: As taxas i e i’ devem ser ambas percentuais ou ambas unitárias. Assim, as taxas de 18% ao ano e 1,5% ao mês, por exemplo, são proporcionais, pois: 18 12 0,18 12 = ou = (1 ano = 12 meses) 1,5 1 0,015 1

 Questões Comentadas: 1) Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano. Resolução: Lembrando que 1a = 12 me, temos: Ik=

30

= 2,5

Isto é: 2,5% a.m

12 2) Calcule a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia. Resolução: Lembrando que 1me = 30 d, temos: i 0,08 = ⇒ i = 0,08 x 30 = 2,4 Isto é: 2,4% a.m. 30  Taxas Equivalentes 293


Duas taxas são equivalentes quando,aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo juro. Vamos calcular o juro produzido pelo capital de R$ 2.000: • à taxa de 4% ao mês, durante 6 meses; • à taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres. No primeiro caso, temos:

C = 2.000 n = 6 me i = 4% a.m. = 0,04 a.m.

Logo: j = 2.000 x 0,04 x 6 ⇒ j = 480 → isto é, o juro produzido é de R$ 480,00 No segundo caso, temos:

C = 2.000 n = 2 trimestres i = 12% a.t. = 0,12 a.t.

Daí: j = 2.000 x 0,12 x 2 ⇒ j = 480 → → isto é,o juro produzido é de R$ 480,00 Como os juros produzidos são iguais, podemos dizer que 4% a.m. e 12% a.t. são taxas equivalentes.  Nota: Assim podemos concluir que: Em regime de juro simples, duas taxas proporcionais são Equivalentes

 Questões Comentadas 1) Um capital de R$ 2.400 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano.Determine o juro obtido. Resolução: Temos: C = 2.400 n = 10 me i = 25% a.a. = 0,25 a.a. Como o tempo é dado em meses e a taxa é dada ao ano, antes de aplicarmos a fórmula devemos determinar a taxa mensal proporcional à dada: i = 0,25 a.a = (0,25 : 12) a.m. =

0,25

a.m

12 Logo: j = 2.400 x

0,25

x 10⇒ j = 500 → Isto é, o juro é de:R$ 500 294

MATEMÁTICA O A O

12 2) Calcule o juro correspondente a um capital de R$ 18.500, aplicado durante 2 anos , 4 meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano. Resolução: Como o tempo foi dado sob a forma de numeral complexo, a primeira coisa a ser feita é a obtenção do número de dias correspondentes, lembrando que: 1a = 360 d

e

1 me = 30 d

Assim: 2a 4 me 10 d = ( 2 x 360 + 4 x 30 + 10) d = 850 d* Temos, então: C = 18.500 n = 850 d i = 36% a.a. = 36 % a.d = 0,1% a.d. = 0,001 a.d. 360 Daí: j = 18.500 x 0,001 x 850 ⇒ j = 15.725 → Isto é, o juro é de: R$ 15.725

 EXERCÍCIO JURO SIMPLES – ( I ) 1) Calcule a taxa mensal proporcional a: a) 9% a.t.

b) 24% a.s.

c) 0,04% a.d

2) Calcule a taxa anual proporcional a: a) 1,5% a.m.

b) 8% a.t

c) 21% a.s.

d) 0,05% a.d.

3) Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre. 4) Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200, à taxa de 5% ao trimestre,durante 3 trimestres. 5) Um capital de R$ 56.800 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês, durante 2,5 meses. Calcule o juro produzido. 6) Calcule o juro resultante de uma aplicação de R$ 32.500, à taxa de 18% ao ano, durante 3 meses. 295


7) Calcule o juro de um capital de R$ 5.000, em regime de juro simples, durante 2 anos e 4 meses, à taxa de 24% ao ano. Respostas: 1) a) 3% a.m b) 4% a.m. c) 1,2% a.m. 2) a) 18% a.a. b) 32% a.a. c) 42% a.a. 3) 32% a.a 5) R$ 1,065 4) R$ 1.380 6) R$ 1.463

d) 18% a.a. 7) R$ 2.800

 Montante Já vimos que o montante (ou valor nominal) é igual à soma do capital inicial (ou valor atual) com o juro relativo ao período de aplicação, isto é: montante = capital inicial + juro ou valor nominal = valor atual + juro Assim, designando o montante por M, temos: M = C+j Lembrando que: j=Cxixn a fórmula pode ser escrita assim: M = C + C x i x n ou, colocando C em evidência:

M = C (1 + in)

 Questões Comentadas 1) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000 durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês? Resolução: Temos: C = 28.000 n = 15 me i = 3% a.m. = 0,03 a.m. Lembrando que: M = C(1 + in) vem: M = 28.000 (1 + 0,03 x 15) = 28.000 x 1,45 = 40.600, Isto é: M = R$ 40.600  Nota: 296

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A solução deste problema também pode ser obtida do seguinte modo: j = 28.000 x 0,03 x 15 = 12.600 Como: M = C + j Vem : M = 28.000 + 12.600 = 40.600, Isto é: M = R$ 40.600 2) Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de 14.800 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, no regime de juro simples? Resolução: Temos: M = 14.800 n = 18 me i = 48% a.a.= (48 : 12)%a.m.= 4%a.m. 0,04a.m. Substituindo esses valores na fórmula do montante obtemos: 14800= C(1+ 18 x 0,04) ou: C (1 + 18 x 0,04) = 14.800 14.800 Daí: 1,72 x C = 14.800 ⇒ C = ⇒ C = 8.604,65 1,72 Isto é: C = R$ 8.605 3) Uma concessionária vende um automóvel por R$ 15.000 à vista. A prazo, vende por R$ 16.540, sendo R$ 4.000 de entrada e o restante após 4 meses. Qual é a taxa de juro mensal cobrada? Resolução: Se o cliente resolver comprar a prazo, receberá financiamento para apenas R$ 11.000 (15.000 – 4.000) . O fato se a, então, como se o cliente tivesse recebido R$ 11.000 emprestados com o compromisso de devolver R$ 12.540 (16.540 – 4.000) após o prazo de 4 meses. Temos,

então: C = 11.000 n = 4 me

Como: M = C ( 1 + in) 297

M

=

12.540


Vem:

12.540 = 11.000 ( 1 + 4i)

12.540 ou: 11.000( 1 + 4i ) = 12.540 ⇒ 1 + 4i = ⇒ 1 + 4i = 1,14 ⇒ 11.000 ⇒ 4i = 1,14 – 1 ⇒ i = 0,14 ⇒ i = 0,035 4 Isto é: i = 0,035a.m.⇒ Logo a taxa de juro cobrada é de: 3,5% a.m. 4)

Uma pessoa aplica R$ 4.800 a 24% ao ano. Após algum tempo, a taxa é aumentada para 3% ao mês. Determine o prazo em que vigorou a taxa de 3% ao mês, sabendo que em 8 meses os juros totalizaram R$ 912. Resolução: Temos: C = 4.800 i1 = 3% a.m.= 0,03 a.m. n1 = n

C = 4.800 i2 = 24% a.a. = 2% a.m. = 0,02 a.m. n2 = 8 – n

Logo: j1 = 4.800 x 0,03 x n = 144 n j2 = 4.800 x 0,02 x ( 8 – n ) = 96 ( 8 – n ) Como: j1 + j2 = 912 Vem : 144n + 96 ( 8 – n ) = 912 ⇒ 144 n + 768 – 96 n = 912 ⇒ 144 n – 96 n = 912 – 768 ⇒ 48 n = 144 ⇒ n = 144 ⇒ n = 3 48 Isto é o prazo foi de 3 meses.  EXERCÍCIO – JURO SIMPLES ( II ) 1) Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 3.200, pelo prazo de 18 meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês? 2) Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 1.500 a ser resgatado por R$ 2.700 no final de 2 anos? 3) A que taxa o capital de R$ 24.000 rende R$ 1.080 em 6 meses? 4) Um capital de R$ 30.000, aplicado durante 10 meses, rende juro de R$ 6.000. determine a taxa correspondente. 5) Um capital emprestado a 24% ao ano rendeu, em 1 ano, 2 meses e 15 dias, o juro de R$ 7.830. Qual foi esse capital? 298

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6) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000, à taxa de 2,5% ao mês durante 2 anos. 7) Uma pessoa aplicou R$ 90.000 no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu o montante de R$ 180.000. Qual foi a taxa anual? 8) Qual é o tempo em que um capital de R$ 96.480, a 25% ao ano, rende R$ 79.395 de juro? 9) Sabendo que o juro de R$ 120.000 foi obtido com uma aplicação de R$ 150.000 à taxa de 8% ao trimestre, calcule o prazo. 10) Um capital emprestado a 1 3 % ao mês rendeu, em 1 ano, 5 1 mês e 10 dias, o juro de R$ 19.584. Qual foi esse capital? 11) Qual o capital que, à taxa de 2,5% ao mês, rende juro de R$ 126.000 em 3 anos? 12) Uma pessoa sacou R$ 21.000 de um banco sob a condição de liquidar o débito ao fim de 3 meses e pagar ao todo R$ 22.575. A que taxa de juro obteve aquele capital? 13) Por quanto tempo um capital deve ser empregado a 40% ao ano para que o juro obtido seja igual a 4 do capital? 5 14) Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20% ao ano? 15) Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juro simples, a que taxa foi empregado esse capital? 16) É mais vantajoso empregar R$ 5.260 a 24% ao ano ou R % 3.510 a 22% ao ano e o restante a 28% ao ano? 17) Determine o montante de uma aplicação de R$ 5.000, à taxa de 2% ao mês, durante 2 anos. 18) Empregam-se 2 de um capital a 24% ao ano e o restante a 3 32% ao ano, obtendo-se, assim, um ganho anual de R$ 8.640. Qual é o valor desse capital? 19) Qual o prazo para que uma aplicação de R$ 200.000, a 2,5% ao mês, renda um montante de R$ 240.000? 299


20) O capital de R$ 7.812 foi dividido em duas partes. A primeira, colocada a 4% ao mês, rendeu durante 5 meses o mesmo juro que a segunda durante 8 meses a 2% ao mês. Calcule o valor de cada parte. Respostas: 1) R$ 1.728

11) R$ 140.000

2) R$ 40% a.a

12) 2,5% a.m.

3) 0,75% a.m

13) 2 anos

4) 2% a.m

14) 10 anos

5) R$ 27.000

15) 12,5 % a.a.

6) R$ 8.000

16) indiferente

7) 20% a.a.

17) R$ 7.400

8) 3 anos, 3me. 15d.

18) R$ 32.400

9) 2 anos 6 me

19) 8 meses

10) R$ 91.800

20) R$ 3.472 e R$ 4.340

 DESCONTO SIMPLES 

Introdução

Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credor um título de crédito, que é o comprovante dessa dívida. Todo título de crédito tem uma data de vencimento; porém, o devedor pode resgatá-lo antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto. O desconto é uma das mais comuns aplicações da regra de juro. Além disso: • dia do vencimento é o dia fixado no título para o pagamento (ou recebimento) da aplicação; 300

MATEMÁTICA O A O

• valor nominal é o valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento); • valor atual é o líquido pago (ou recebido) antes do vencimento; • tempo ou prazo é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o de seu vencimento, incluindo o primeiro e não o último, ou, então, incluindo o último e não o primeiro. Assim: Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual. O desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominal ou valor atual. No primeiro caso, é denominado desconto comercial; no segundo, desconto racional.  Desconto Comercial: o a o  Definição Chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente ao juro simples, produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente, à taxa fixada.

 Valor do desconto comercial Chamando de: d o valor do desconto comercial N o valor nominal do título A o valor atual comercial ou valor descontado comercial n o tempo i a taxa de desconto Temos, pela definição: d=Nxixn que é o valor do desconto comercial.  Valor atual comercial 301


O valor atual comercial ou valor descontado comercial é dado por: A=N–d Substituindo d pelo seu valor obtido no desconto comercial, vem: A=N–Nxixn Daí:

A =N(1–ixn)

que é o valor atual comercial.  Nota: O desconto comercial só deve ser empregado para períodos curtos, pois para prazos longos o valor do desconto pode até ultraar o valor nominal do título.

 Questão Comentada Um título de R$ 6.000 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: a) o valor do desconto comercial; b) o valor atual comercial. Resolução: Temos: N = 6.000 n = 45 d i = 2,1% a.m. = 0,021 a.m. = 0,0007 a.d. Sabemos que:d = N x i x n Logo: d = 6.000x 0,0007x 45 ⇒ d = 189, Isto é, o desconto comercial é de: R$ 189 Como: A = N - d

Vem:

A = 6.000 – 189 ⇒ A = 5.811,

Isto é, o valor atual comercial é de: R$ 5.811  Taxa de Juro Efetiva A taxa de juro que no período n torna o capital A igual ao montante N é a taxa que realmente está sendo cobrada na operação de desconto. Essa taxa é denominada taxa de juro efetiva. Assim, simbolizando a taxa efetiva pó if , temos: C (1 + if x n) = M (valor do montante) Como: C = A e M = N Temos: A (1 + if x n ) = N Daí:

if = 302

d

MATEMÁTICA O A O

A x n

 Questão Comentada Um título de 6.000 foi descontado à taxa de 2,1% ao mês, faltando 45 dias para seu vencimento. Sabendo que o desconto comercial foi de R$ 189, calcule a taxa de juro efetiva. Resolução: Temos:

N = 6.000 d = 189 n = 45 d

Como: A = N – d ⇒ A = 6.000 – 189 ⇒ A = 5.811 189 189 Vem: if = = ⇒ if = 0,0007227 5.811x 45 261. 495 Isto é: if = 0,000723 a.d. ou if = 0,0217 a.m. ou if =2,17% a.m.  Nota: Assim, para que haja igualdade entre o capital empregado e o valor atual do título, é necessário que a taxa de juro seja maior que a taxa de desconto, cuja relação nos é dada pela fórmula: if =

d Axn

 EXERCÍCIO DESCONTO SIMPLES– ( I ) 1)

Uma duplicata cujo valor nominal é de R$ 2.000, foi resgatada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 30% ao ano. Qual o desconto comercial? 2) Um título no valor nominal de R$ 8.400, com vencimento em 18/10, é resgatado em 20/07. Se a taxa de juro contratada foi de 54% ao ano, qual é o valor comercial descontado? 3) Um titulo de R$ 4.800 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 4.476. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate. 303


4)

Uma duplicata de R$ 23.000 foi resgatada 112 dias antes de seu vencimento por R$ 21.068. Determine a taxa de desconto e a taxa efetiva.

5)

Quero substituir um título de R$ 5.000, vencível em 3 meses, por outro com vencimento em 5 meses. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 3,5% ao mês, qual o valor nominal comercial do novo título?

6)

Um título de valor nominal igual a R$ 6.300 para 90 dias deverá ser substituído por outro para 150 dias. Calcule o valor nominal do novo título, à taxa de 2,5% ao mês. Respostas: 1) R$ 100

2) R$ 7.266

3) 2 meses e 15 dias

4) i = 2,25% a.m. if = 2,46% a.m.

5) R$ 5.424

6) R$ 6.660

Desconto Racional

 

Definição Chamamos de desconto racional ou por dentro o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente.  Valor do desconto racional Chamando de: d r o valor do desconto racional A r o valor atual ou valor descontado racional Temos, pela definição: dr = Ar x i x n  O valor do desconto racional em função do valor nominal Como: A r = N – dr Daí :

dr=

Nxixn 1+ixn

que é o valor do desconto racional em função do valor nominal do título.  Nota: Lembrando que d = N x i x n e substituindo em d r , vem 304

MATEMÁTICA O A O

dr =

d 1 + in

, o que nos permite concluir que o desconto racional é menor que o desconto comercial.

 Questão Comentada Um título de R$ 6.000 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: a)o valor do desconto racional; b) o valor atual racional. Resolução: Temos: N = 6.000 n = 45 d i = 2,1% a.m. = 0,07 a.d. = 0,0007 a.d. a. Como: d r = N x i x n 1+ixn vem: d r =

6.000 x 0,0007 x 45 = 189 1+ 0,0007 x 45 1,0315

⇒ d r = 183,22 ⇒ isto é dr = R$ 183,00 b. Como: A r = N – d, vem: A r = 6.000–183, ⇒ isto é A r = R$ 5.817  Nota: Comparando o valor do desconto racional (R$ 183) com o valor do desconto comercial obtido (R$ 189), comprovamos a afirmação de que o desconto racional é menor do que o comercial.

 EXERCÍCIO DESCONTO SIMPLES – ( II ) 1) Determine o desconto* de uma promissória de R$ 3.000, à taxa de 40% ao ano, resgatada 75 dias antes do vencimento 2) Uma duplicata foi descontada pelo valor de R$ 234.375 cinqüenta dias antes de seu vencimento, à taxa de 45% ao ano. Qual o seu valor nominal? 3) Ao pagar um título de R$ 3.600 com antecipação de 90 dias, recebo um desconto de R$ 486. Qual é a taxa de desconto?

305


4) O valor atual de um título de R$ 4.800 é de R$ 4.380. Sabendo que a taxa bancária de desconto é de 3,5% ao mês, qual o tempo de antecipação? 5) Uma duplicata de R$ 69.000 foi resgatada antes do seu vencimento por R$ 58.909.Sabendo que a taxa de desconto foi de 3 1 % ao mês, qual o tempo de antecipação? 4 6) Uma empresa possui um titulo cujo valor nominal é de R$ 7.000, com vencimento daqui a 150 dias. Quantos dias antes do vencimento deve descontá-lo, à taxa comercial de 36% ao ano, para que possa adquirir mercadorias no valor de R$ 6.790? 7) Um comerciante vai a um banco e desconta uma nota promissória para 90 dias, à taxa de 3% ao mês, mais 1,5% de comissão. Sabendo que o liquido creditado para o comerciante foi de R$ 17.900, qual o valor da promissória? 8) Um título de R$ 27.000 foi descontado faltando 60 dias para o seu vencimento. Sabendo que o desconto foi de R$ 1.800, calcule a taxa de desconto e a taxa de juro efetiva ao ano. 9) Determine o valor do desconto e o valor atual racionais de um título de R$ 50.000, disponível dentro de 40 dias, à taxa de 3% ao mês. 10) Calcule o valor nominal de um título com vencimento para 60 dias, sabendo que a diferença entre os seus descontos comercial e racional, à taxa de 3% ao mês, é de R$ 408. * Neste texto,sempre que o “desconto” não for explicitado, você deve subentender “desconto comercial” Respostas 1) R$ 250 5) 135 dias 9) dr = 1923 Ar = 48.077 2) R$ 250.000 6) 30 dias 10) R$ 120.133 3) 4,5% a.m 7) R$ 20.000 4) 75 dias 8) 40% a.a. e 42,86% a.a.

 JURO COMPOSTO  Definição O regime de capitalização que vamos estudar é o mais comumente usado. Nele, o juro, a partir do segundo período, é calculado sobre o montante do período anterior. Daí afirmamos que neste regime “o juro rede juros”. 306

MATEMÁTICA O A O

Juro Composto é aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período anterior.  Cálculo Do Montante: o a o Consideremos, agora, um capital C, aplicado em regime de juro composto à taxa i. Temos: Período

Juro

Montante

1º

j1 = C x i

M1 = C + j1 = C + Ci ⇒ M1 = C(1 + i )

2º

j2 = M1 x i

M2 = M1+ j2 = M1 + M1 x i = M1 (1+i ) = C(1+i ) (1+ i) ⇒ M2 = C(1+i)2

3º

j 3 = M2 x i

M3 = M2 + j3 = M2 + M2 x i = M2 (1+i ) = C(1+i ) (1+ i )2 ⇒ M3 = C(1+ i)3

o que nos permite escrever, para o enésimo período: Mn = C( 1 + i )n Esta é a fórmula do montante em regime de juro composto, também chamada fórmula fundamental do juro composto, para um número inteiro de períodos. O fator ( 1 + i )n é denominado fator de capitalização ou fator de acumulação de capital. Nota: Ainda aqui, como em juro simples, a unidade para a resolução de um problema determinada pelo período financeiro a que se refere. 

 Questão comentada Calcule o montante produzido por R$ 2.000, aplicados em regime de juro composto a 5% ao mês, durante 2 meses. Resolução: Temos:

C = 2.000 n = 2 me i = 5% a.m. = 0,05 a.m 307


Substituindo esses valores em Mn vem: M2 = 2.000 ( 1 + 0,05 )2 Logo: M2 = 2.000 x 1,052 = 2.000 x 1,1025 ⇒ M2 = 2.205, Isto é, o montante é de: R$ 2.205  Tábua Financeira: o a o Para localizarmos nessa Tábua determinado valor de (1+ i ) n procuramos o quadro da taxa percentual correspondente a i (que, por questão didática, designaremos por tabela) e na primeira coluna dessa tabela o valor de n. O valor de ( 1 + i )n é aquele que figura na intersecção da segunda coluna com a linha do número de períodos (n). Nessa Tábua, o número de períodos é dado na unidade de tempo da taxa; assim, se a taxa é anual, n é o número de anos; se mensal, n é o número de meses etc. Exemplos: 1º) Temos: i = 20% a.a. = 0,2 a.a. n=5a Queremos determinar o valor de (1 + 0,2) 5 Localizamos, inicialmente, a tabela correspondente a i = 20%. Na primeira coluna procuramos o valor 5 de n. O valor de (1 + 0,2) 5 é aquele que se encontra na intersecção da quinta linha com a segunda coluna: 2,48832. Logo: ( 1 + 0,2)5 = 2,48832 2º) Temos:

i = 3% a.m. = 0,03 a.m. n = 1 a 4 me = 16 me

Logo, pela tabela correspondente a 3%, vem: ( 1 + 0,03)16 = 1, 60471  Questões Comentadas 1) Uma pessoa toma R$ 3.000 emprestados, a juro de 3% ao mês, pelo prazo de 10 meses,com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? Resolução: Temos: C = 3.000 n = 10 me i = 3% a.m. = 0,03 a.m. Como: Mn = C( 1 + i )n

vem: M10 = 3.000( 1 + 0,03 )10 308

MATEMÁTICA O A O

Consultando a Tábua Financeira, obtemos: (1 + 0,03)10 = 1,34392 Logo: M10 = 3.000 x 1,34392 ⇒ M10 = 4.031,76, Isto é, a quantia a ser devolvida é de: R$ 4.032 2) Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 22.125, sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juro composto. Resolução: Temos: Mn = 22.125 C = 11.000 i = 15% a.s. = 0,15 a.s. Substituindo esses valores na fórmula fundamental, vem: 22. 125 = 11.000 (1 + 0,15) n ou:

1,15n =

22.125 11.000

⇒ 1,15 n = 2,01136

Tábua Financeira: Pesquisando na tabela correspondente à taxa de 15%, na segunda coluna, verificamos que para n = 5 temos( 1 + i) n = 2,01136, Logo: n=5 isto é, o prazo é de: 5 semestres ou 2 anos e 6 meses

 EXERCÍCIO – JURO COMPOSTO 1) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.000, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 14 meses. 2) Determine o juro de uma aplicação de R$ 20.000, a 5% ao mês, capitalizado mensalmente durante 8 meses. 3) Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.800, em regime de juro composto, aplicado durante 4 meses, à taxa de 3,8% ao mês? 309


4) Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000, em regime de juro composto, produzirá um montante de R$ 146.853,00 à taxa de 3% ao mês, capitalizado mensalmente? Respostas: 1) R$ 12.101,00 2)R$ 9.549,00 3)R$ 7.894,00 4)13 meses

 QUESTÕES DE CONCURSOS E VESTIBULARES 01) (BNB) Em juros simples, a taxa de juros anual equivalente a 6% ao bimestre é: a) 18% ao ano b) 72% ao ano

c) 36% ao ano d) 12% ao ano

e) 6% ao ano

02) (BNB) O valor futuro de um título, contratado a juros simples, é igual ao dobro do seu valor inicial. Sabe-se que a taxa de juros da operação foi de 12,5% ao ano. Qual é o prazo de aplicação? a) 4 meses c) 1 ano e) 8 anos 310

MATEMÁTICA O A O

b) 4 anos

d) 8 meses

03) (TJ) Aplicado R$ 1.500,00 por um ano, obtive juros de R$ 405,00. No regime de juros simples, por quanto tempo eu devo aplicar o mesmo valor para obter uma renda de R$ 135,00? a) 4 meses e 15 dias b) 4 meses c) 2 meses e 20 dias

d) 2 meses e 10 dias e) 3 meses e 15 dias

04) (TJ) Uma pessoa aplicou, a juros simples, 3/5 do seu capital a 7% ao mês e o restante a 66% ao ano. ados 2 anos e 8 meses, recebeu um total de R$ 12.697,60 de juros. O capital aplicado por essa pessoa foi de: a) R$ 6.200,00 b) R$ 5.079,04

c) R$ 5.618,56 d) R$ 5.400,00

e) R$ 6.079,04

05) (SEFAZ) Um título de valor nominal de R$ 9.500,00 sofreu um desconto bancário à taxa de 60% ao ano, 90 dias antes do seu vencimento. Sabendo-se que as taxas e comissões cobradas pelo banco importaram em 2,5% do valor nominal do título, pode-se afirmar que o desconto bancário foi de: a) R$ 1.453,20 c) R$ 1.662,50 e) R$ 1.834,60 b) R$ 1.574,00 d) R$ 1.728,30 06) (TTN) José descontou 2 duplicatas em um banco, no regime de juros simples comerciais, a uma taxa de juros anuais de 15%. O primeiro título vencia em 270 dias e o segundo em 160 dias, sendo que o último era de valor nominal 50% superior ao primeiro. Sabendo-se que os dois descontos somara o valor de R$ 382,50 o titulo que produziu o maior desconto, tinha valor nominal em reais, de: a) R$ 1.800,00 c) R$ 1.900,00 e) R$ 1.750,00 b) R$ 1.700,00 d) R$ 1.850,00 07) (BB) José vai receber os R$ 10.000,00 da venda de seu carro em duas parcelas de R$ 5.000,00, sendo a primeira dentro de 30 dias e a segunda, dentro de 60 dias. Considerando uma taxa de desconto de 2% ao mês, o valor atual, que José deveria receber hoje, com a certeza de estar recebendo o mesmo valor que irá receber no pagamento, é de: a) R$ 9.709,65 c) R$ 9.729,65 e) R$ 9.749,65 b) R$ 9.719,65 d) R$ 9.739,65 08) (CEF) Suponha que R$ 20.000,00 sejam depositados numa caderneta de poupança que não possui correção monetária e 311


que rende 8% de juros ao semestre, compostos semestralmente. Se nenhuma retirada e nenhum deposito adicional foram feitos, então o valor total dos juros creditados no final de 2 anos é de: a) R$ 7.205,77 c) R$ 7.209,80 e) R$ 7.206,80 b) R$ 7.204,80 d) R$ 7.202,70 09) (CEF) Pretendendo guardar uma certa quantia para as festas de fim de ano, José depositou R$ 2.000,00 em 05/06/2003 e R$ 3.000,00 em 05/09/03. Se o banco pagou juros composto à taxa de 10% ao trimestre, em 05/12/03 José tinha um total de: a) R$ 5.320,00 c) R$ 5.620,00 e) R$ 5.720,00 b) R$ 5.480,00 d) R$ 5.680,00 10) (CSD-SP) Para a série de valores: 0, -1, -2, 5, 4, -3, -7, 2, -4, e 6: a)A média aritmética é 3,4 e a variância 16; b)A média aritmética é zero e a variância 4; c)A média aritmética é zero e a variância 16; d)A média aritmética é 3,4 e a variância 4; e)A média aritmética é zero mas a variância é impossível calcular; 11) (T.C.U.) Os preços do pacote de café (500g) obtidos em diferentes supermercados locais são: R$ 3,50, R$ 2,00, R$ 1,50 e R$ 1,00.Dados essas informações, julgue os itens que se seguem: (1) O preço médio do pacote de 500g de café é de R$ 2,00. (2) Se todos os preços tiverem uma redução de 50%, o novo preço médio será de R$ 1,50; (3) A variância dos preços é igual a 0,625; (4) Se todos os preços tiverem um aumento de % R$ 1,00, o coeficiente de variação dos preços não se altera; (5) Se todos os preços tiverem um aumento de 50%, a nova variância será exatamente igual à anterior, pois a dispersão não será afetada. 12) (T.T.N) Assinale a opção correta: a) A moda, a mediana e a média aritmética são expressas na mesma unidade de medida da variável a que se referem; b) A moda é uma medida de posição que permite dividir a distribuição em duas partes de igual freqüência; c) A média harmônica é a média geométrica dos inversos das determinações da variável; d) A média aritmética não é influenciada pelos valores extremos da distribuição; 312

MATEMÁTICA O A O

e) A moda e a mediana são influenciadas pelos valores extremos da distribuição. Considere a distribuição de freqüência transcrita a seguir para responder às questões ; 13, 14, 15 e 16 Diâmetro (cm) 4⊢ 6

Freqüências simples absoluta 6

6⊢ 8

8

8 ⊢ 10

12

10 ⊢ 12

10

12 ⊢ 14

4

13) (T.T.N) a) Mais de 85% as observações têm diâmetro não inferior a 6cm; b) 75% das observações estão no intervalo 6 ⊢ 12; c) A soma dos pontos médios dos intervalos de classe é inferior à soma das freqüências absolutas simples; d)

28% das observações estão no quarto intervalo de classe;

e)

Menos de 25% das observações têm diâmetro abaixo de 10 cm.

14) ( T.T.N) A média aritmética da distribuição é igual a: a) 8,90 cm

b) 9,15 cm

c) 9,00 cm

d) 8,80 cm

15) (T.T.N) A moda da distribuição é igual a: a) 9,4 cm b) 9,5 cm c) 9,7 cm d) 9,3 cm

e) 8,70cm e) 9,6 cm

16) (T.T.N) A mediana da distribuição: a) Pertence a um intervalo de classe distinto do que contém a média aritmética; b) É eqüidistante da média aritmética e da moda; c) È igual à média aritmética; d) È inferior à média aritmética; e) Coincide com o ponto médio de um intervalo de classe. Considere a distribuição de freqüência transcrita a seguir para responder às questões: 17, 18, 19 e 20. 313


Peso (kg) 2⊢ 4

Freqüências simples absoluta 9

4⊢ 6

12

6⊢ 8

6

8 ⊢ 10

2

10 ⊢ 12

1

17) (T.T.N) a) Menos de 20 das observações têm peso igual ou superior a 4kg: b) A soma dos pontos médios dos intervalos de classe é inferior ao tamanho da amostra; c) 8% das observações têm peso no intervalo de classe 8 ⊢ 10; d) 65% das observações têm peso não inferior a 4kg e inferior a 10 kg; e) Mais de 65% das observações têm peso maior ou igual a 4 kg. 18) (T.T.N) A média aritmética da distribuição á igual a: a) 5,21kg b) 5,19kg c) 5,30kg d) 5,27kg

e) 5,24 kg

19) (T.T.N) A mediana da distribuição é igual a: a) Menor que 5kg b) 5,10kg c) 5,20kg d) 5,30kg e) 5,00kg 20) (T.T.N) A moda da distribuição: a) É maior do que a mediana e do que a média geométrica; b) É um valor inferior à média aritmética e à mediana; c) Pertence a um intervalo de classe distinto do da média aritmética; d Coincide com o limite superior de um intervalo de classe. e) Coincide com o ponto médio de um intervalo de classe. Respostas: 1) C

12) A

2) E

13) B

3) B

14) A

4) A

15) D 314

MATEMÁTICA O A O

5) C

16) E

6) A

17) E

7) A

18) B

8) C

19) E

9) E

20) B

10) C 11) (1) certo (2) (3) (4) (5) errado

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