Matrices 334e2c
This document was ed by and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this report form. Report 3b7i
Overview 3e4r5l
& View Matrices as PDF for free.
More details w3441
- Words: 652
- Pages: 5
EJERCICIOS resueltos (Matriz: conmutable, idempotente, nilpotente, involutiva, elemental, equivalente)
MATRIZ CONMUTABLE Las matrices A y B son conmutables si A.B=B.A Hallar todas las matrices A conmutables con B si:
A=
(ac bd )
y,
B=
(10 11)
Desarrollo:
A.B=
(ac
a+ b c +d
)
Λ
(a+c c
B.A=
b+ d d
)
Como A.B=B.A si son conmutables, entonces:
(ac a = a+c c+d = d
a+ b c +d
)
=
(a+cc
b+ d d
c=cV
c=0 c=0
)
a+b = b+d a=d
A es conmutable con B si
a, b, d Є R
BY: HUGO FABRICIO ANAGUANO ANGARA ALGEBRA LINEAL
Λ
a=d
Λ
c=0
MATRIZ IDEMPOTENTE
Una matriz se dice idempotente si y solo si A = A2
Pruebe que la siguiente matriz:
B=
(
2 −3 −5 −1 4 5 1 −3 −4
)
es idempotente.
Desarrollo:
B2 =
(
2 −3 −5 −1 4 5 1 −3 −4
) (
2 −3 −5 −1 4 5 1 −3 −4
*
) ( =
2 −3 −5 −1 4 5 1 −3 −4
)
=B
MATRIZ NILPOTENTE Dada la siguiente matriz A, demostrar que es nilpotente de orden 2
A=
(
0 −8 0 0 0 0 0 5 0
)
Desarrollo:
BY: HUGO FABRICIO ANAGUANO ANGARA ALGEBRA LINEAL
2
(
2
( )
A =
A =
0 −8 0 0 0 0 0 5 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
) ( *
0 −8 0 0 0 0 0 5 0
) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0
=
Se dice que es nilpotente de orden 2
MATRIZ INVOLUTIVA Dada la siguiente matriz A, demostrar que es una matriz involutiva A=
(10 −1 −1 )
;
Por demostrar: A2 = I
Desarrollo: A2 =
(10 −1 −1 )
*
(10 −1 −1 )
=
(10 01)
A2 = I
MATRIZ ELEMENTAL La matriz elemental es el resultado fundamental de fila a la matriz identidad
de
aplicar
Hallar una matriz elemental de la siguiente matriz:
BY: HUGO FABRICIO ANAGUANO ANGARA ALGEBRA LINEAL
una
operación
A=
(
0 2 5 −4 −1 0 3 2 1
)
Desarrollo:
A=
⇒
(
0 2 5 −4 −1 0 3 2 1
IA =
( ) 1 0 0 0 1 0 0 0 1
)
(
0 2 5 −1 1 1 3 2 1
≈
F2 + F3
≈
F2 + F3
)
( ) 1 0 0 0 1 1 0 0 1
Esta es una matriz
elemental
MATRIZ EQUIVALENTE
Sean A =
(
1 0 1 0 −1 1 −1 −2 1
)
y
R=
(
1 0 1 0 1 −1 0 0 0
)
a.- ¿A es inversible? b.- Demostrar que A inversible tal que R = P.A
≈
R. Es decir, determinar una matriz P
Desarrollo:
BY: HUGO FABRICIO ANAGUANO ANGARA ALGEBRA LINEAL
(
1 0 1 0 −1 1 (A I I) = −1 −2 1 F3 F1 1 0 1 1 0 0 0 1 −1 0 −1 0 0 0 0 1 −2 1
(
1 0 0 0 1 0 0 0 1 +
)
≈
)
(
)
1 0 1 1 0 0 0 −1 1 0 1 0 0 −2 2 1 0 1 F3 -2 R P F2
≈
(-1)F2 Conclusiones: a.- A no es inversible, puesto que A es equivalente a una matriz R escalonada reducida por filas que no es la matriz identidad
b.-
(
A
≈
1 0 1 0 1 −1 0 0 0
R y P =
)
(
1 0 0 0 −1 0 1 −2 1
)
donde P.A =
=R
BY: HUGO FABRICIO ANAGUANO ANGARA ALGEBRA LINEAL
(
1 0 0 0 −1 0 1 −2 1
) ( *
1 0 1 0 −1 1 −1 −2 1
)
=
MATRIZ CONMUTABLE Las matrices A y B son conmutables si A.B=B.A Hallar todas las matrices A conmutables con B si:
A=
(ac bd )
y,
B=
(10 11)
Desarrollo:
A.B=
(ac
a+ b c +d
)
Λ
(a+c c
B.A=
b+ d d
)
Como A.B=B.A si son conmutables, entonces:
(ac a = a+c c+d = d
a+ b c +d
)
=
(a+cc
b+ d d
c=cV
c=0 c=0
)
a+b = b+d a=d
A es conmutable con B si
a, b, d Є R
BY: HUGO FABRICIO ANAGUANO ANGARA ALGEBRA LINEAL
Λ
a=d
Λ
c=0
MATRIZ IDEMPOTENTE
Una matriz se dice idempotente si y solo si A = A2
Pruebe que la siguiente matriz:
B=
(
2 −3 −5 −1 4 5 1 −3 −4
)
es idempotente.
Desarrollo:
B2 =
(
2 −3 −5 −1 4 5 1 −3 −4
) (
2 −3 −5 −1 4 5 1 −3 −4
*
) ( =
2 −3 −5 −1 4 5 1 −3 −4
)
=B
MATRIZ NILPOTENTE Dada la siguiente matriz A, demostrar que es nilpotente de orden 2
A=
(
0 −8 0 0 0 0 0 5 0
)
Desarrollo:
BY: HUGO FABRICIO ANAGUANO ANGARA ALGEBRA LINEAL
2
(
2
( )
A =
A =
0 −8 0 0 0 0 0 5 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
) ( *
0 −8 0 0 0 0 0 5 0
) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0
=
Se dice que es nilpotente de orden 2
MATRIZ INVOLUTIVA Dada la siguiente matriz A, demostrar que es una matriz involutiva A=
(10 −1 −1 )
;
Por demostrar: A2 = I
Desarrollo: A2 =
(10 −1 −1 )
*
(10 −1 −1 )
=
(10 01)
A2 = I
MATRIZ ELEMENTAL La matriz elemental es el resultado fundamental de fila a la matriz identidad
de
aplicar
Hallar una matriz elemental de la siguiente matriz:
BY: HUGO FABRICIO ANAGUANO ANGARA ALGEBRA LINEAL
una
operación
A=
(
0 2 5 −4 −1 0 3 2 1
)
Desarrollo:
A=
⇒
(
0 2 5 −4 −1 0 3 2 1
IA =
( ) 1 0 0 0 1 0 0 0 1
)
(
0 2 5 −1 1 1 3 2 1
≈
F2 + F3
≈
F2 + F3
)
( ) 1 0 0 0 1 1 0 0 1
Esta es una matriz
elemental
MATRIZ EQUIVALENTE
Sean A =
(
1 0 1 0 −1 1 −1 −2 1
)
y
R=
(
1 0 1 0 1 −1 0 0 0
)
a.- ¿A es inversible? b.- Demostrar que A inversible tal que R = P.A
≈
R. Es decir, determinar una matriz P
Desarrollo:
BY: HUGO FABRICIO ANAGUANO ANGARA ALGEBRA LINEAL
(
1 0 1 0 −1 1 (A I I) = −1 −2 1 F3 F1 1 0 1 1 0 0 0 1 −1 0 −1 0 0 0 0 1 −2 1
(
1 0 0 0 1 0 0 0 1 +
)
≈
)
(
)
1 0 1 1 0 0 0 −1 1 0 1 0 0 −2 2 1 0 1 F3 -2 R P F2
≈
(-1)F2 Conclusiones: a.- A no es inversible, puesto que A es equivalente a una matriz R escalonada reducida por filas que no es la matriz identidad
b.-
(
A
≈
1 0 1 0 1 −1 0 0 0
R y P =
)
(
1 0 0 0 −1 0 1 −2 1
)
donde P.A =
=R
BY: HUGO FABRICIO ANAGUANO ANGARA ALGEBRA LINEAL
(
1 0 0 0 −1 0 1 −2 1
) ( *
1 0 1 0 −1 1 −1 −2 1
)
=
Related Documents 3m3m1z
Matrices 334e2c
April 2020 28
Matrices 334e2c
April 2020 30
Matrices 334e2c
May 2021 0
Matrices 334e2c
December 2019 89
Matrices 334e2c
September 2020 0
Matrices 334e2c
July 2020 0More Documents from "Andersson Flores" 4qs13
Matrices 334e2c
May 2021 0
80-092580 V.smile Backyardigans 6w3wp
November 2019 58
Motor De Jhondir 5z4a17
November 2019 49
Trabajo De Calicatas Terminado 4r1z5o
June 2020 3
Caracterizacion Ambiental 1b4q3j
December 2019 43