Matrices 334e2c

Capitulo 1 1. MATRICES 1.1 Definición.- Una matriz es un arreglo rectangular de números reales ordenados en filas y columnas, se denota con las letras mayúsculas A,B,C,.... El conjunto de elementos o componentes se denota por aij y una matriz por: A = [aij]mxn = (aij)mxn , donde los subíndices indican i= la fila en la que está la componente y j la columna correspondiente. i.e.

A=(aij )mxn =

 a11 a12 ..... a1m   a a .... a  21 22 2m 

  :::::: ::: :::: :::::::::    an1 an2 :::: anm  nxm

donde aij ocupa la intersección de la i-ésima fila y la j-ésima columna.

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

1.2 Orden de una matriz El orden de una matriz está dado por el producto indicado mxn donde m y n son los sub índices de la matriz tales que m indica el número de filas y n el número de columnas. Ejemplo:

El orden de la matriz A=

 1 4 2 6  0 7 3 5  

es 2x4.

El conjunto de matrices de orden mxn con coeficientes k se denota por kmxn, es decir: kmxn={A/A=(aij)mxn} Ejemplo: Escribir explícitamente la matriz: a) A = (aij)k2x2/ aij = 2i-j b) B =(bij) k3x2/ bij = min{i,j} Solucion.

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2

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

Escribiremos las componente de cada matriz de acuerdo a lo que esta definido cada una de la matrices. a) Tenemos que A = (aij)k2x2/ aij = 2i-j entonces la matriz

A=

 a1 a12  a a   21 22  2x2

Donde: a11 = 2-1 = 1 ; a12 = 2-2 = 0 2(2)-1 = 3 ; a22 = 2x2-2 = 2

 A=

; a21 =

 1 0  3 2  

b) Como la matriz B esta definido por B =(bij) k3x2/ bij = min{i,j} entonces

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3

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

 b11 b12    de donde tenemos que B= b b  21 22   b31 b32  3x2 b11 = 1 ; b31 = 1 ;

b12 = 1 ; b32 = 2



b21 = 1

;

b22 = 2

;

 1 1   B= 1 2    1 2 3x2

1.3. Tipos de Matrices: 1.3.1.- Matriz Rectangular.- La matriz de orden mxn con m n, es una matriz rectangular.

-------------------------------------------------------------------

4

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

Ejemplo: Una matriz rectangular de orden 2x4 es

B=

 1 4 2 6  0 7 3 5  

1.3.2.- Matriz Columna.- La matriz de m filas y una sola columna se denomina matriz columna de orden mx1. Ejemplo:

  3   A= 2    4 

es una matriz columna de orden 3x1.

1.3.3.- Matriz Fila.- Es una matriz de orden 1xn de una sola fila y n columnas. Ejemplo L a matriz fila A = [1 2 4 5] es de orden 1x4.

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5

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

1.3.4.- Matriz Cero o Nulo.- Es una matriz cuyos elementos son todos nulos. i.e. A = (aij)mxn es una matriz nula si y solo si aij = 0 ,  i , j con i = 1,2,...,m y j = 1,2,...,n. Una matriz nula denotado por  Ejemplo :

 =

 0 0 0 0  0 0 0 0   2 x4

1.3.5.- Matriz Cuadrada.- Una matriz A de orden mxm es cuadrada si el número de filas es igual al número de columnas es decir m = n. El conjunto de matrices cuadradas se denota por Kmxm=Km. Ejemplo: Una matriz de orden 3x3 es

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6

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

 a11 a12 a13    A= a a a  21 22 23   a31 a32 a33  3x3 Obs. En una matriz Cuadrada de orden nxn, la diagonal principal es una línea formada por los elementos: a11 ,a22 , a33 ,..., ann y se denota por D(a11 ,a22 , a33 ,..., ann) Traza de una Matriz .- La traza de una matriz cuadrada A de orden nxn denotado por Tr(A) es la suma de todo los elementos de la diagonal principal. i.e. Tr(A) = a11 + a22 + a33 +...+ ann =  aii , i = 1,2,...n 1.3.6.- Matriz Identidad.- Una matriz identidad denotado por I, es una matriz cuadrada donde los elementos de la diagonal principal son todos, la unidad y los demás elementos son ceros. i.e

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7

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

I = (aij)nxn us una matriz identidad si y solo sí

 1 sí i  j   0 sí i  j

aij =

Ejemplo: Una matriz identidad de orden 3x3 es

 1 0 0   I= 0 1 0    0 0 1 3x3 1.4. Igualdad de Matrices. Definición.- Sea las matrices A=(aij)mxn y B=(bij)mxn, Se dice que la matriz A es igual a la matriz B sí y solo si son del mismo orden y sus respectivos componentes son también iguales. i.e. (aij)mxn = (bij)mxn si y solo si aij = bij Ejemplo. Dadas las matrices A y B tales que

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8

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

A = (aij)k2x2/ aij = 2i- (-1)j y B =

 x y 1   3x  y 3  

Hallar los valores de x e y sí A = B. Solución.

La matriz A expresado explícitamente es A =

 3 1  5 3  

como A

=B entonces los respectivos elementos de la matriz son iguales, es decir: x–y=3 3x – y = 5 de donde resolviendo el sistema tenemos que: x = 1 ; y = -2 1.5 Adición de Matrices.

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9

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

Definición.- Dadas dos matrices A = [aij]mxn y B = [bij]mxn, se denomina suma de A y B a otra matriz C = [cij]mxn, tal que cij = aij + bij donde [cij]mxn = [aij]mxn + [bij]mxn = [aij+ bij]mxn La adición de matrices es una ley de composición interna tales que un par de matrices del mismo orden hace corresponder en otra matriz del mismo orden llamado matriz suma. i.e +: Kmxn x Kmxn  Kmxn ([aij],[bij]) [cij] = [aij] + [bij] Ejemplo : Sean las matrices

A=

 3 1  5 4   2 x2

y B=

 1 7    2 0   2 x2

entonces la matriz suma C es

-------------------------------------------------------------------

10

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

C=

 3  ( )1 1 7   5  (2) 4  0   2 x2

C=

 2 8  3 4   2 x2

Propiedades Sí A , B y C Kmxn, entonces se cumple: i) ( A + B)  Kmxn ii) A + B = B + A iii) A + (B + C) = (A + B) + C iv)   Kmxn tales que A +  = A ,  A Kmxn

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11

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

v)  A Kmxn ,  B = -A Kmxn tales que A + B = A + (-A) =  Obs. i) ii)

Dos matrices del mismo orden se llama confórmales o compatibles respecto de la suma algebraica. Las matrices conformables respecto de la suma algebraica, siguen las misma propiedades y leyes de la adición que sujetan a los elementos que las componen.

1.6 .Producto de un Escalar por una Matriz. Definición.- Dado una matriz A=(aij)mxn y un R ,  0, el producto de  por A esta definido por A = (aij)mxn = (aij)mxn donde cada componente de A se multiplica por . Ejemplo :

 a11 a12 a13    A =  a a a  21 22 23   a31 a32 a33  3x3 -------------------------------------------------------------------

12

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

 a11 a12 a13    A = a a a  21 22 23   a31 a32 a33  3x3 Propiedades. Sea  y  dos escalares (números reales ) y A y B dos matrices de orden mxn, entonces se cumple: i)  (A + B) = A + B ii) ( )A =  (A) = ( A) iii) ( + )A =  A + A Ejemplo. Sean la matrices definidas por

A=

  3 5   2 2   2 x2

,

B=

 2  3 4 5    2x2

y

C=

  7 3  2  1   2 x2

Resolver las ecuaciones:

-------------------------------------------------------------------

13

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

a) 3(X – 2A) = 5(B - C) + 2(X – A - B) b) (X – A + B) = 2(X – 3(B + C) – (X + C)) Solución. Para poder resolver esta ecuación matricial se procede de la misma forma que se realiza en una ecuación lineal en R, para ello se aplica toda las propiedades de la adición y la multiplicación es decir: a) 3(X – 2A) = 5(B - C) + 2(X – A - B) 3X – 6A = 5B - 5C + 2X – 2A - 2B X = 4A + 3B - 5C

X=4

X=

  3 5   2 2   2 x2

+3

 2  3 4 5    2x2

-5

  7 3  2  1   2 x2

 12 20  6  9   35 15   8 8   12 15  10  5    2 x2   2x2   2 x2 +

-

 12  6  35 20  9  15  8  12  10 8  15  5 -------------------------------------------------------------------

14

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

X=

 X=

 29  4   6 28   2 x2

 b) Se procede en forma similar que en la parte a) X = A – 7B - 8C

 X=

 39 2    46 17   2 x2

1.7. Multiplicación de Matrices.Definición.- Sean las matrices A=[aij]mxp y B=[bij]pxn, dos matrices el producto de A y B denotado por AxB = AB es otra matriz C =(cij)mxn cuyos elementos de encuentran de la siguiente manera:

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15

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

Cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aiP bPj es decir :

 b1 j  

cij = [ai1 ai2



b2 j   ...a ] x  ::::     b pj  ip

cij es igual a la i-ésima fila de la matriz A por la j-ésima columna de la matriz B p

cij =  aik bkj k 1

Propiedades. Sí A , B y C son matrices de dimensiones compatibles(conformables) respecto de la suma y producto, entonces se tiene : i) ii) iii) iv)

(AB)C = A(BC) A(B +C) = AB + AC AB  BA  IKnxn tal que AI = IA = A ; I es la matriz identidad

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16

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

Observación : El producto de matrices AB esta definido si el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Ejemplo. Determinar la matriz E = ABC donde:

2  3    3 5 4   A= , B = 5 10 y   2 2 0     2x3  3  5 3x2

C=

  7 3  2  1   2 x2

Solución.

1.8.- Matriz Transpuesta. Definición.- Dada una matriz A de orden mxn, se llama matriz transpuesta de A ó traspuesta de la matriz A, a la matriz denotado por At, de orden nxm cuyos elementos se obtienen intercambiando las filas por las columnas en la matriz A. Ejemplo.

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17

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

La transpuesta de la matriz A =

 3 5 4  2 2 0   2 x3

de orden 2x3 es

la matriz

At =

 2 3  2 5 de orden 3x2    0 4 3x2

Propiedades. Sí At y Bt son, respectivamente, las transpuestas de las matrices de A y B las matrices, confórmales respecto a la adición y multiplicación, y ( un escalar cualquiera; entonces se cumple las siguientes propiedades: 1.- (At)t = A. 2.- (A)t = At. 3.- (A + B)t = At + Bt . 4.- (AB)t = At + Bt 5.- (AB)t = BtAt -------------------------------------------------------------------

18

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

6.- It = I 7.- (A-1) t = (At)-1 , A-1 es la inversa de la matriz A Ejemplo 1.9. Matrices Cuadradas Especiales. Son aquellas matrices cuadradas que tienen ciertas características o propiedades propias que diferencian de las otras, entre ellos tenemos los siguiente: 1.9.1.- Matriz Simétrica.- Una matriz cuadrada A = (aij)nxn , se dice que A es una matriz simétrica si y solo si es igual a la transpuesta de la matriz A. i.e. A es simétrica si y solo si A = At Ejemplo.

1 5 9   es una matriz simétrica puesto que La matriz A = 5 4 6    9 6 2 3x3 A = At

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19

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

Propiedad 1.- Si A es una matriz cuadrada entonces la matriz B definida por B = A + At es una matriz simétrica. 2.- Si A es una matriz simétrica entonces la matriz B definida por B = A , R es una matriz simétrica. Ejemplo.

 1 5 7   Sea la matriz A = 8 4 6 probar que la matriz B = A + A es    0 3 2 3x3 t

simétrica. Prueba.

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20

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

 1 5 7 1 8 0   entonces A =  5 4 3 de Como la matriz A = 8 4 6      0 3 2 3x3  7 6 2 3x3 t

donde la matriz definido por B = A + At

 1 5 7   es B = 8 4 6 +    0 3 2 3x3

1 8 0  5 4 3    7 6 2 3x3

-------------------------------------------------------------------

21

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

 2 13 7   B = 13 8 9 es una matriz simétrica puesto que B = B    7 9 4  3x3

t

1.9.2.- Matriz Antisimétrica.- Sea una matriz cuadrada A = (aij)nxn , se dice que la matriz A es antisimétrica si y solo si es igual al opuesto de su transpuesta. i.e. A es antisimétrica si y solo si A = - At Proposición. 1.- Si A es una matriz cuadrada entonces la matriz B definida por B = A - At es una matriz Antisimétrica. 2.- Si A es una matriz Antisimétrica entonces la matriz B definida por B = A , R es una matriz Antisimétrica. 3.- Toda matriz cuadrada se puede componer o expresar como la suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica. i.e. 1 t t A= 1 2 As + 2 Aa donde As = A + A y Aa = A - A AKnxn Ejemplo. -------------------------------------------------------------------

22

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

 1 5 7   Descomponer la matriz A = 8 4 6    0 3 2 3x3

como la suma

de una matriz simétrica y otra matriz antisimética. Solución. Sabemos que A = que:

1 2

As = 1 2



 1 5 7  8 4 6 

1 2

1 2

As +

+

1 2

Aa entonces se tiene



1 8 0  5 4 3 

 0 3 2 3x3  7 6 2 3x3

-------------------------------------------------------------------

23

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------



1 2

As

1 2

 13 7 1 2 2  13 9  =  2 4 2  es una matriz simétrica.  7 2 2 9   2  3 x3

Aa = = 1 2

 1 5 7  8 4 6    0 3 2 3x3

1 2

1 8 0  5 4 3    7 6 2 3x3

 0  32 72   1 2

3



3 2



2 0 

Aa = =



es una matriz antisimétrica



  72  32 0 3 x3 -------------------------------------------------------------------

24

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------



7

 0  32 72 

13 2 2   13 9   3 A =  2 4 2 +  2  7 2   2 9   7  2  3 x3  2

1

 

0 32  

 32 0 3 x3

 1 5 7   = 8 4 6    0 3 2 3x3

1.9.3.- Matriz Diagonal.- Una matriz cuadrada A, se dice que es una matriz diagonal si los elementos de la diagonal son no todos iguales a cero y los demás son todos ceros. i.e. D = (dji)nxn es una matriz diagonal si i solo sí dji =

 i sí i  j   0 sí i  j

Donde iR y existe al menos un i  0 La matriz diagonal se denota por D = diag(d11 d22 d33 ... dnn) Proposición. Si D = diag(d11 d22 d33 ... dnn) es una matriz diagonal entonces se cumple que -------------------------------------------------------------------

25

Aplicaciones --------------------------------------------------------------------------------------------r Dr = diag( ( d11

r d 22

r ... d nn ))

Ejemplo

 2 0 0   Sea la matriz D = 0 4 0    0 0 3 8 0 0    D = 0 64 0    0 0 27

entonces la matriz

3

1.9.4.-Matriz Escalar.- Una matriz diagonal se dice que es escalar si todo los elementos de la diagonal principal son iguales. i.e. La matriz D = (dij)nxn es escalar si i solo si D = I , R-{0} Ejemplo

-------------------------------------------------------------------

26

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

 2 0 0   Sea la matriz D = 0 2 0    0 0 2

 1 0 0   entonces la matriz D = 2 0 1 0    0 0 1 = 2I

1.9.5.- Matriz Triangular Superior.-La matriz cuadrada A = (aij)nxn cuyos elementos situados por debajo de la diagonal principal son todos ceros, se llama matriz triangular superior. i.e. A = (aij)nxn es Triangular Superior si i solo si aij = 0 ,  i > j

 2 7 9   La matriz A = 0 4 6    0 0 3

es una matriz Triangular

-------------------------------------------------------------------

27

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

Superior 1.9.6.- Matriz Triangular Inferior.-La matriz cuadrada A = (aij)nxn cuyos elementos situados por encima de la diagonal principal son todos ceros, se llama matriz triangular inferior. i.e. A = (aij)nxn es Triangular Inferior si i solo si aij = 0 ,  i < j

 2 0 0   La matriz A = 5 4 0    9 1 3 

es una matriz Triangular

inferior

1.9.7.- Matriz Periódica.- Sea la matriz cuadrada A = (aij)nxn , sí para un número entero y positivo p se cumple que Ap+1 = A , se dice que A es una matriz periódica de periodo p.

-------------------------------------------------------------------

28

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

Propiedad. Si A es una matriz periódica de periodo p y sea q = mp + 1 entonces A es una matriz periódica de periodo mp. i.e. Sí Ap+1 = A entonces Amp + 1 = A Ejemplo. Sí A es una matriz periódica de periodo igual a 4 . Hallar el periodo y calcular la matriz A101. Solución. 1.9.8.- Matriz Idempotente.- Una matriz cuadrada A, es idempotente si A es una matriz periódica de periodo igual a uno. i,e. Una matriz AKnxn es Idempotente si i solo si A2 = A. 1.9.9.-Matriz Nilpotente.- Una matriz cuadrada A, es nilpotente si para algún k  2 se cumple que Ak = 0 1.9.10.- Matriz Involutiva.- Una matriz AKnxn es Involutiva si i solo si 2 A = I , con IKnxn que es la matriz identidad

-------------------------------------------------------------------

29

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

Capitulo 2 2. DETERMINANTES 2.1.- Definición.- Determinante es un número real o escalar r asociado a una matriz cuadrada A y que se denota por  A  = det(A) = D(A) i.e. La determinante de una matriz cuadrada es una función definido por det: Rnxn  R / r = A . Por inducción se tiene:

-------------------------------------------------------------------

30

Aplicaciones --------------------------------------------------------------------------------------------i)

ii)

Para n = 1, A = (a11)1x1 ; entonces  A  = a11

Para n = 2, A =

a11 a22 – a21 a12

iii)

Para n = 3,

 a11 a12  a a   21 22 

; entonces  A  =

 a11 a12 a13    ; A= a a a  21 22 23   a31 a32 a33  3x3

entonces

-------------------------------------------------------------------

31

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

 A  = a11

a22 a23 a21 a23 - a12

a32 a33 a31 a33

+ a13

a21 a22 a31 a32  A  = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 ) – ( a31 a22 a13 + a21 a12 a33 + a32 a23 a11)

-------------------------------------------------------------------

32

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

En general se tiene si A =

 a11 a12 ..... a1n   a a .... a  21 22 2n 



 ::: ::: ::: ::: ::: :::     an1 an2 ::::: ann  nxn

entonces n

1 j

 A  =  (1) i 1

a1 j A(1 / j )

formula de

LAPLACE

donde A(1/j) es la sub-matriz que resulta de eliminar la primera fila y la j-ésima columna

La formula de expansión de Laplace o método de los menores complementarios Esta dada por n

 A  =  ( 1) i 1

i j

aij A(i / j )

donde A(i/j) es la sub-matriz que resulta de eliminar la iésima fila y la j-ésima columna de la matriz A Observación.

-------------------------------------------------------------------

33

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

Si la matriz A es de orden 3x3 entonces se puede aplicar la regla de SARRUS.

a11 a12 a13 a21 a22 a23

 A = Suma del producto de los elementos de la diagonal primario

Suma del producto de los elementos de la diagonal Segundario

a31 a32 a33

=

 A

= (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 ) – ( a31 a22 a13 + a21 a12 a33 + a32 a23 a11)

Propiedades Sea A , B matrices cuadradas de orden nxn y R, entonces se cumple que : 1.- det(A) = 0, si y solo si una fila o columna tienen todo sus elemento iguales a cero 2.- det(A) = det(At) 3.- det(AB) = det(A) det(B)

-------------------------------------------------------------------

34

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

4.- det(A-1) =

1 det( A)

5.- det(Am) = (det(A))m mZ+ 6.- det(A) = n det(A) 7.- Si la matriz A posee dos filas (o dos columnas) iguales o proporcionales, entonces det(A) = 0 8.- Sí A = (aij)nxn es una matriz triangular (superior o inferior), entonces det(A) = a11 a22 a33 ... ann 9.- Sí se intercambian 2 filas ó 2 columnas el determinante cambia de signo. 10.- Si a una fila (o columna) se le multiplica por una constante y se le suma otra fila (o columna) , el determinante de la matriz no Varia

-------------------------------------------------------------------

35

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

a11  b11 a12  b12 ... a1nb1n a21

a22

::::::: :::::::

:::::::::::: ::::::::: :::::::::::: :::::::::

an1

an 2

a11 a12 ... a1n

... a2n

... ann

=

a12 a21 ... a2n ::::::: :::::::: :::: an1 an2 ... ann

+

b11 b12 ... b1n a12 a21 ... a2n ::::::: :::::::: :::: an1 an2 ... ann 13.- det(In) = 1 14.- det() = 0 15.- Si dos matrices son equivalentes entonces sus determinantes de las matrices son iguales i.e.

-------------------------------------------------------------------

36

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

A B entonces det(A) = det(B)

ejemplo. si A = Calcular  A 

2 -3 -1 5 -2 5 0 1 3 0 -7 0 8 3 -2 4

Solución. Para calcular el determinante de la matriz A, observamos que el elemento a24 = 1 se puede designar como el elemento pivotal y la fila 2 la fila pivotal , esto con el objeto de transformar por medio de operaciones de fila , todos los elemento que se encuentren en la columna 4 , tengan valores iguales a cero, excepto el elemento pivotal, para ello se procede como sigue: - En la fila 1, se resta de la fila 1 , 5 veces la fila 2 - En la fila 4, se resta de la fila 4 , 4 veces la fila 2 - en la fila 3 no es necesario realizar la operación de filas puesto que el elemento a34 = 0

2 -3 -1 5 -2 5 0 1  A  = 3 0 -7 0 8 3 -2 4

f1-5f2

= f4-4f2

12 -28 -1 -2 5 0 3 0 -7 16 -17 -2

0 1 = +(1) 0 0

12 -28 -1 3 0 -7 16 -17 -2

 A  = (12x0x(-2) + 3(-17)(-1) + (-28)(-7)(16)) - ((16)0(-1) + 3(-28)(-2) + (-17)(-7)(12)) = ( 0 +51 + 3136) – ( 0 + 252 + 1428 ) -------------------------------------------------------------------

37

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

= 3187 – 1596   A  = 1591 Para asignar el elemento pivotal se recomiendo aquel elemento que tenga como valor igual a la unidad, en caso que no exista, se procede primero en determinar por medio de reducción de filas dicho elemento. La fila pivotal es la fila donde se encuentra el elemento pivotal. 2.2.- Matrices Escalonadas Una matriz A = (aij)mxn es una matriz escalonada , o se dice que esta en forma escalonada, si el numero de ceros anteriores a la primera componente distinta de cero de una fila crece fila por fila hasta llegar a filas en las que todas sus componente sean iguales a cero; esto es, si existe componentes distintas de cero. a1j1, a2 j2,...., ar jr, donde j1<j2<...<jr con la propiedad de que aij = 0 para i  r , j <ji y para i>r. Los elementos a1j1, a2 j2,...., ar jr, se denominan elementos distinguidos de la matriz escalonada A. Matriz escalonada reducida por filas Una matriz escalonada A = (aij)mxn se denomina matriz escalonada reducida por filas si los elementos distinguidos son: i) ii)

Las únicas componentes distintos de cero en sus columnas respectivas. Todas iguales a uno.

-------------------------------------------------------------------

38

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

Ejemplos. Las matrices siguientes son escalonadas y los elementos distinguidos se han encerrado con un circulo: 2 0 A= 0 0

3 0 0 0

2 7 0 0

1 5 6 -4 2 -3 4 0 0 0 8 3 0 0 0 0

1 0 B= 0 0

4 0 0 0

0 1 0 0

5 3 0 0

0 0 1 0

0 2 6 0

0 0 0 1

En el ejemplo la matriz B es una matriz escalonada reducida por filas mientras que la matriz A no lo es. 2.3.- Transformaciones Elementales. Sea A = (aij)mxn una matriz, la transformaciones elementales sobre la filas (o columnas) de la matriz A son: i) Intercambio de dos filas. ii) Multiplicar una fila por un escalar. iii) Sumar a una fila el múltiplo de otra fila. Si combinamos estas tres operaciones elementales, se reduce la matriz A hasta convertirla en otra matriz equivalente de la forma: Ip F.C.A = N(m-p)xp

Ipx(n-p) , donde F.C.A := N(m-p)x(n-p) mxn

forma canonica de la matriz A

-------------------------------------------------------------------

39

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

2.4.- Equivalencia de Matrices. Se dice que dos matrices AKmxn y BKmxn son equivalentes denotado por A ~ B ó AB, si B se puede obtener efectuando u numero finito de transformaciones elementales tales como: i) Multiplicación de una fila de A por un escalar c no nula. ii) Reemplazo de la r-ésima fila de A por la fila r más c veces la fila s, donde c es cualquier escalar y r s. iii) Intercambio de dos filas de A. 2.5.- Rango de una Matriz. 2.51.-Definición.- Sea AKmxn una matriz, el rango de la matriz A es el número real r, si existe una sub matriz cuadrada de A de orden rxr tales que  B 0 y el determinante de cualquier sub matriz cuadrada de A de orden mayor que al de B es cero. El rango de la matriz A se denota por (A) = r . Propiedades. 1.- Sea AKmxn una matriz entonces se cumple que: i) (A)  min{m,n} ii) (At) = (A) 2.- si A es una matriz cuadrada de orden nxn entonces se tiene que: i) si (A) = n entonces  A 0 . ii) si (A) < n, si y solo si  A = 0.

-------------------------------------------------------------------

40

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

Ejemplo.

-2 4 2 -2 Sea la matriz A = -1 -1 1 0 -2 1 2 -1 3x4 Hallar el rango de la matriz A. Solución Nuestro objetivo principal es transformar A en otra matriz equivalente cuyos elementos de la diagonal principal sea todos iguales a la unidad o alguno ceros y los que esten debajo o encima de los unos , sean ceros. A=

-2 4 2 -2 -1 -1 1 0 -2 1 2 -1 3x4

Efectuando reducción por filas se tiene la matriz B equivalente a la matriz A. 1 B= 0 0

0 -1 1/3 1 0 -1/3 0 0 0 3x4 (A) = 2

2.6.-Matriz no Singular.

-------------------------------------------------------------------

41

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

Una matriz AKnxn se dice que es no singular si y solo si  A 0 ó (A) = n. Sí  A = 0 ó (A) < n entonces la matriz A es singular. 2.7.-Matriz cofactor.- Sea AKnxn una matriz, se llama matriz de cofactores de A , a la matriz C = (cij) de orden nxn , tales que Cij = (-1)i+j A(i/j) donde A(i/j ) es la sub matriz que se forma al suprimir la fila i y la columna j en la matriz A. La matriz de cofactores de a se denota también como C = Cof(A) Ejemplo. Hallar la matriz Cof(A). Sí 1 0 A= 4 2 -1 1

0 3 2

3x3

Solución.

2.8.-Adjunta de una matriz.- Sea A = (aij)nxn una matriz cuadrada y C=(cij)mxm es la matriz de cofactores de A, se denomina matriz

-------------------------------------------------------------------

42

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

Adjunta A, denotado por Adj(A) a la matriz transpusta de C. i.e Adj(A) = Ct Propiedades. Sea A, B matrices cuadradas de orden nxn entonces se cumple: 1.- Adj(I) = I 2.- Adj(At) = (adj(A))t 3.- Adj(AB) = Adj(A) Adj(B) , con  A 0 y  B 0 4.- Adj(An) = (adj(A))n 5.- Adj(A) = n-1 Adj(A) , R 6.-  Adj(A) =  A

n-1

2.9.-MATRIZ INVERSA 2.9.1.-Definición.- Sea A una matriz cuadrada No Singular, la matriz inversa de A denotado por A-1, se dice que la matriz A es inversible si y solo si  B = A-1Knxn tales que AB = BA = I como : Observación.

-------------------------------------------------------------------

43

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

Si la matriz de A es de orden 2x2, para hallar la matriz inversa se cambia de posición, los elementos de la diagonal principal y cambiar de signo los elementos de la diagonal secundaria, la matriz así obtenida se divide por la det(A) i.e.

Si A =

 a1 a12  a a   21 22 2x2

1 es no singular entonces A = A -1

a22 -a21

Ejemplo.

Hallar la matriz inversa de A =

 2 1  0 1   2x2

Solucion.

2.9.2.-Teorema. Sea A una matriz cuadrada No Singular de orden nxn, entonces existe la matriz inversa de A tales que: -------------------------------------------------------------------

44

a

- 12

a11

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

1

A-1 = A Adj(A) Propiedades. Sea A, B matrices cuadradas No Singulares de orden nxn , entonces se cumple que:

1.- (A-1)-1 = A 2.- (AB)-1 = B-1 A-1 3.- (At)-1 = (A-1)t 4.- Adj(A-1) = (Adj(A))-1 5.- (An)-1 = (A-1)n 6.- I-1 = I 7.- (A)-1 =

1



A-1 ,   0

Ejemplo. Hallar la matriz inversa de A sí existe. Solución.

A=

1 -1 2 3 1 3 2 0 -1 3x3

-------------------------------------------------------------------

45

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

2.10.-METODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA El método para determinar la inversa de una matriz A, que es cuadrada, no singular y de orden nxn , por el método de eliminación Gausiana se procede de la siguientes manera: 1.- Para encontrar la inversa de la matriz A se escribe la matriz aumentada de A en la forma (A I). 2.- La matriz aumentada se transforma a través de transformaciones elementales de filas a la forma (I B). Para lo cual se debe tener presente lo siguiente: i) Dividir la primera fila de la matriz por la entrada en su primer columna; usar la fila resultante para obtener ceros en la primera columna de cada una de las otras filas. ii) Dividir la segunda fila por la entrada en su segunda columna; usar la fila resultante para obtener ceros en la segunda columna de las demás filas. iii) Se repite el procedimiento anterior hasta llegar a la fila n. Dividir la n-ésima fila por la entrada en su n-ésima columna; usar la fila resultante para obtener ceros en la n-ésima columna de las demás filas. -------------------------------------------------------------------

46

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

3.- B es la inversa de la matriz A. Ejemplo. Encuentre la inversa, si esiste, de la matriz. A =

0 -2 -3 1 3 3 -1 -2 -2

Solución. Siguiendo el procedimiento trazado tenemos. 0 -2 -3 (A I) = 1 3 3 -1 -2 -2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

en la fila 1, intercambio de la primera fila con la 1 3 3 0 1 0 0 -2 -3 1 0 0 -1 -2 -2 0 0 1

en la fila 3, Suma de la fila 1 y la fila 3 1 3 3 0 1 0 0 -2 -3 1 0 0 0 1 1 0 1 1 en la fila 2, se divide entre 2 1 0 0

3 3 0 1 1 3/2 -1/2 0 1 1 0 1

0 0 1

-------------------------------------------------------------------

47

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

en la fila 1, f1 –3f2 1 0 0

0 -3/2 3/2 1 1 3/2 -1/2 0 0 -1/2 -1 1

0 0 1

Continuando con el proceso tenemos 1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 1 -1

-2 3 -2

-3 3 -2

APLICACIONES I Escribir explícitamente las siguientes matrices. -------------------------------------------------------------------

48

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

1.- A = (aij)K4x4 / aij = (-j)i-1 2.- B = (bij)K3x4 / bij =

 2i  j sí (i  j)impar 

i j sí (i  j) par

3.- C = (cij)K4x3 / cij =

 min{i, j} sí i  j  4 

 (1)

max{i, j}

sí i  j  4

4.- D = (dij)K4x4 /

 i. j sí (i  j)impar d =  min{i, j} sí (i  j) par ij

5.- E = (eij)K4x4 / eij

 1  j sí i  j =  1  j sí i  j

II OPERACIONES CON MATRICES. -------------------------------------------------------------------

49

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

1- Sean las matrices A=

x-2y

x

3

x-y

,B= 2x2

2

y+4

3

4

2x2

-2 C=

-1 0

2x2

Sí A = B hallar la matriz E = A + 3C 2.-Hallar la matriz X en : 3(X+ 2A) – 2( 2X + B) = 4( B- 3A +X)

donde A =

 2 3  4 1  

y B = 2I - A

3.- Resolver el sistema: ( 2X + Y)t = ( 3Yt + Y)t + 2Y (2Y - At)t = 2( X + B)

-------------------------------------------------------------------

50

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

SI A =

 2 3  1 0   2 x2

,B=

 1 0  2 3   2 x2

4.- Calcular la matriz X, sí E = D, Donde t t t t t E = 2( CXt + 1 2 A ) + 2 (B A )

D = C (Xt + AB) + Bt Para

Ct =

 2 0  0 2   2x2

, At =

 1 2  0 1   2x2

y

C = At - B 5.- Calcular la matriz X, sí:

-------------------------------------------------------------------

51

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

 1 2 1   A= 0 1 3    0 0 1 3X 3  2 0 0   B = 0 2 0 y    0 0 2 3X 3 t

 1 0 2   C= 0 1 1    3 2 0 3X 3 6.- Calcular X, en : -------------------------------------------------------------------

52

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

A(X - B) = (Bt + ( 2X - Bt) At )t Donde

A=

 2 1  0 3   2x2

, B=

 4 3  6 9   2x2

7.- Halar la matriz E = AB2 sí:

 0 1 0   y A= 0 0 1    1 0 0 3X 3

-------------------------------------------------------------------

53

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

 0 0 1   B= 1 0 0    0 1 0 3X 3 8.- Sea A =

 3 2   15 8   2x2

,

B=

 4 2   15 7   2x2

y

f(x,y) = x2 – xy + y2 a) verificar que A y B conmutan. -------------------------------------------------------------------

54

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

b) Evaluar f(A,B). 9.- Sean las matrices:

A=

 2 1  3 4   2x2

, B=

 0 3 7  1 8 9   2 x3

 3 7 1   C= 2 6 1    1 4 0 3X 3 Sí E = ABC, hallar s = e11 + e12 + e23 10.- Un fabricante de zapatos los produce en color negro , gris y blanco para niños, damas y caballeros. La capacidad de producción (en miles de pares ) en la planta de Callao esta dada por la matriz siguiente: Hombres Mujeres Niños

Negro Gris Blanco -------------------------------------------------------------------

55

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

 30 34 20  45 20 16    14 26 25 La producción en la planta de villa el salvador esta dado por : Hombres Mujeres Niños

Negro Gris Blanco

 35 30 26  52 25 18     23 24 32

a) Determine la representación matricial de la producción total de cada tipo de zapatos a en ambas plantas b) Si la producción en la planta del callao se incrementa en un 50% y la de villa el salvador en un 25%, encuentre la matriz que representa la nueva producción total de cada tipo de calzado.

-------------------------------------------------------------------

56

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

c) ¿De que color de calzado se produce en mayor cantidad para hombres, mujeres y niños? Para el caso b). d) ¿De que color de calzado se produce en menor cantidad para hombres, mujeres y niños? Para el caso b). 11.- Susana gana $ 5 en una hora como institutriz, $6 la hora como mecanógrafa y $1.50 en una hora como niñera. El número de horas trabajadas en cada tipo de trabajo en un período de 4 semanas esta dado por la matriz A. I Institutriz Mecanógrafa Niñera

15 A= 6 2

II

Semana III

10 4 7

16 2 0

IV

12 3 4

a)

Determine la matriz de ingreso total por semanas de Susana.

b)

¿Cuánto es el ingreso máximo de Susana y a que semana le corresponde?

c)

¿Cuánto es el ingreso mínimo de Susana y a que semana le corresponde?

III. MATRICES CUADRADAS ESPECIALES 1.-Expresar las siguientes matrices como la suma de dos matrices una simétrica y la otra antisimentrica. a) A = (aij)K2x2/ aij = i +2j . -------------------------------------------------------------------

57

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

b) B = (bij)K3x3/ bij = 2i - j . c) C = (aij)K3x3/ cij = max{i,j}. d) D = (dij)K4x4/ dij = 2i – (-1)j. e) E = (eij)K3x3/

i j  2 eij =  i 2 j  2



sí i  j sí i  j

.

2.- probar que la siguientes matriz es idempotentes.

a) A =

 15 52    25 45

2 x2

3.- Sea A una matriz cuadrada, sí A es una matriz involutiva entonces probar que la matriz B = 1 2 (I - A) , es indempotente. 4.- Demostrar, sí A + B = I y AB = , entonces A y B son matrices Idempotentes.

-------------------------------------------------------------------

58

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

5.- Demostrar que si la matriz A e simétrica, entonces la matriz E = BtAB es simétrica, cualquier que sea la matriz cuadrada B. 6.- Sea la matriz B = (bij)K3x3/ bij = 2i - j , probar que la matriz B = AAt es una matriz simétrica. 7.-Sea A una matriz triangular definido por

 1 a b   A = 0 1 c , donde a,b,cR-{0}    0 0 1 3x3 probar que la matriz E = A + I, es nilpotente de índice 4 8.- Sea A una matriz definido por

 1 1 1    A = 2  1 0 , probar que la matriz A es periódica y    1 .0 .0  3x3 determinar su periodo. -------------------------------------------------------------------

59

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

9.- Mostrar que las matrices . 0 1 -1 4

-3

4

3 4

-3 3

4 3

A=

-1

B=

3x3

-1

-4 -3 Son involutivas. 10.-Mostrar que la0 matriz A=

-4

1

3

-1

-1

-3

4

3x3

,

1 -3 4 3x3 es una matriz nilpotente de indice 2. 11.-Sí A y B son matrices involutivas y

AB = BA =

-5

-8

0

3

5

0

1

2

-1

, 3x3

Hallar La traza de la matriz E = (A + B)2 IV. DETERMINANTES. Evaluar el determinante de cada una de las matrices.

-------------------------------------------------------------------

60

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

1.-

2.-

3

-2

4 a-b

5 a

2x2

a

a+b

2x2

a-2 -3 3.4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

-4 a-1 2 1

2x2

1

0

5

-2

1

-3

4

3

-2

-4

2

5

-1

0

6

1

-2

-1

4

6

-3

-2

4 x-2

1 4

2 3

1

x+1 -2

0

0 x-4 x-1

3

3x3

3x3

3x3

3x3

-3

-3

x+5 -3

-6

6 x-4

3x3

-------------------------------------------------------------------

61

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

9.-

10.-

11.-

12

13

x+3

-1

1

7

x-5

1

6

-6 x+2

2

5

-3 -2

-2

-3

2 -5

1

3

-2 -2

-1

-6

4

3x3

3

3

-2

-5

-5

2

8 -5

-2

4

7 -3

2

-3

-5

4x4

4

8

4x4

1

2

2

3

1

0

-2

0

3

-1

1 -2

4

-3

0

x+1

3

4x4

1

1

1

1

1-x

1

1

1

1

y+1

1

1 1 1 1-y 4x4 -------------------------------------------------------------------

62

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

V. RANGO DE UNA MATRIZ Y MATRICES ESCALONADAS 1.- Sean las siguientes matrices. i) Identificar en cada una de las matrices, las matrices: escalonada y escalonadas reducidas por filas. ii) Si la matriz es escalonada, identificar los elementos distinguidos y posteriormente hallar la suma de los elementos distinguidos. a) 1 2 -2 0 1

b)

c)

0

0

5

2

-4

0

0

0

7

3

0

1

7

-5

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

5

0

2

0

1

2

0

4

3

0

0

1

7

3x5

3x5

3x5

-------------------------------------------------------------------

63

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

d)

e)

f)

1

2

-1

2

1

0

0

3

-6

1

0

0

0

-6

1

1

0

0

0

0

1

-1

0

0

0

1

0

0

2

1

1

0

-3

0

0

0

3x5

3x4

3x3

2.- Sean las siguientes matrices. i) Reducir la matriz en su forma escalonada. ii) Reducir la matriz a la forma canónica por filas, esto es, a la forma escalonada reducida por filas. iii) Hallar el rango de la matriz. a)

1

-2

3

-1

2

-1

2

2

3

1

2

3

3x4

-------------------------------------------------------------------

64

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

b)

c)

d)

e)

f)

0

1

3

-2

2

1

-4

3

2

3

2

-1

1

3

-4

-4

1

-6

1

2

-5

3x3

1

2

-1

2

1

2

4

1

-2

3

3

6

2

-6

5

1

3

-1

2

0

11 -5

3

2

-5

3

1

4

1

1

5

0

1

3

-2

0

4

-1

3

0

0

2

1

0

5

-3

4

3x4

3x5

4x4

4x4

-------------------------------------------------------------------

65

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

g)

2

3

-2

5

1

3

-1

2

0

4

4

-5

6

-5

7

3x5

3.- describir todas las matrices escalonadas de orden 2x2 posibles que están en la forma escalonada reducida por filas. VI. INVERSA DE UNA MATRIZ 1.- Hallar la inversa de la siguientes matrices si existe. a) 2 -2 -4 b)

5

8

-2

0

1

7

-2

-4

2

2x2

2x2

c) 2x2

2.-Halla la matriz de cofactores , Adjunto y la matriz inversa si existe de las siguientes matrices. a) 1 2 2 3

1

0

1

1

1

3x3

-------------------------------------------------------------------

66

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

b)

c)

d)

e)

f)

3

-2

-4

2

5

-1

0

6

1

3

-2

4

0

2

-1

0

0

1

1

3

-2

2

5

-3

-3

2

-4

1

3

4

3

-1

6

-1

5

1

3x3

3x3

3x3

3x3

1

2

-2

3

3

-1

5

0

4

0

2

1

1

7

2 -3

4x4

-------------------------------------------------------------------

67

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

g)

2

4

3

2

3

6

5

2

2

5

12 -3

4

5

14 14

4x4

3.- Hallar la matriz X , sí C = B B y -1 C X AB = Donde

1 3

 5 1 0   Adj(A)= 2 4 1    1 2 1  

AI

,

,

A

>0

 3 2 1   B= 0 1 3    0 0 1  

4.- Hallar la matriz X , si se cumple que BXA = C donde B = Adj (A) , C = Adj (B) y

-------------------------------------------------------------------

68

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

 9 0 1   A= 0 2 0   1 1 1    5.- Sean las matrices:

1

0

1

2

A = 2 -2 0 -3

-1

y B= 3x3

0

2

2 -2 0 -3

-1

3x3

Determinar la matriz X que satisface la ecuación 0 0 AX = At + 2B 4.- Una empresa de productos químicos produce tres tipos de fertilizantes: económico , regular y súper . Cada tipo de fertilizante contiene nitratos , fosfatos y potasio en cantidades que se especifican a continuación: El tipo económico contiene -------------------------------------------------------------------

69

Aplicaciones ---------------------------------------------------------------------------------------------

dichos ingredientes en la proporción 3 : 6 : 1 , el tipo regular en la proporción 4 : 3 : 3 y el tipo súper en la proporción 2 : 5 : 3 . Cada mes la empresa obtiene un suministro de 6 toneladas de nitratos , 10 toneladas de fosfatos y 4 toneladas de potasio. Encontrar la producción mensual de cada tipo de fertilizante ( en toneladas ) con el suministro de ingredientes indicado.

-------------------------------------------------------------------

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