Medidas De Tendencia Central Y Dispersion V1.1 10d68

Estadística básica Unidad 3. Medidas de Tendencia Central y Dispersión

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Unidad 1. La libertad: facultad inherente a todo ser humano Contenido I.

Presentación de la unidad........................................................................2

II.

Medidas de tendencia central..................................................................2 a.

Media.........................................................................................................2 i.

Fórmula para datos no agrupados..........................................................2

ii.

Fórmula para datos agrupados en frecuencias.......................................2

iii. Fórmula para datos agrupados en intervalos.........................................3 b.

Mediana.....................................................................................................3 iv. Mediana en datos agrupados por intervalos...........................................4

c.

Moda ........................................................................................................5

v. III.

Moda en datos agrupados por intervalos...............................................5 Medidas de dispersión..........................................................................6

a.

Recorrido...................................................................................................6

b.

Varianza....................................................................................................6 vi. La fórmula de la varianza para datos no agrupados es:.........................6 vii.

c.

Varianza para datos agrupados por intervalos....................................7

Desviación típica.......................................................................................7 viii.

En datos no agrupados........................................................................7

ix. En datos agrupados por intervalos.........................................................7

En datos agrupados por intervalos

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Unidad 1. La libertad: facultad inherente a todo ser humano

I. Presentación de la unidad Para cualquier conjunto de datos estudiados es importante tener un resumen de la información y sus características. Esta información indica cómo se comporta la población de datos que tienes. Para resumir la información se utilizan dos tipos de valores que, en vez de representar cada uno de los datos, representan conjuntos de datos. Estos dos tipos de indicadores estadísticos son: las medidas de tendencia central, que muestran hacia qué valores se agrupan o acumulan los datos; y las medidas de dispersión, que de forma contraria a las anteriores, muestran cómo se dispersan o separan los datos.

II. Medidas de tendencia central Las medidas de tendencia central son los valores que representan un conjunto de datos de forma tal que te ayudan a saber dónde están acumulados los datos sin indicar cómo se distribuyen. Se llaman así porque tienden a ubicarse en la parte central del conjunto de datos. Las medidas de tendencia central más comunes son: la media aritmética (conocida como media o promedio), la mediana y la moda. a. Media La media aritmética o, simplemente, media, se denota por x la letra μ según se calcule en una muestra o en la población, respectivamente. La media es resultado de dividir la suma de todos los valores de los datos entre el número total de datos. La manera como se organizan los datos: no agrupados y agrupados (por frecuencias o intervalos), determina la expresión de la fórmula para calcular la media. i. Fórmula para datos no agrupados Los datos no agrupados son aquellos datos que se organizan en una tabla de datos, es decir, cada valor se representa de manera individual. Las fórmulas para calcular la media son:

En estas fórmulas la diferencia radica en que, el total de la población se representa con la letra N y el total de la muestra se representa con la letra n.

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Unidad 1. La libertad: facultad inherente a todo ser humano ii.Fórmula para datos agrupados en frecuencias Los datos agrupados en frecuencias son aquellos que se organizan en una tabla de frecuencias, es decir, las tablas que contienen, en una columna, el valor de la variable y, en otra columna, la frecuencia o el número de veces que se repite cada valor en una serie de datos. Las fórmulas para calcular la media con los datos organizados de esta manera son:

iii.Fórmula para datos agrupados en intervalos Los datos agrupados en intervalos son los que se organizan dentro de un rango establecido entre un límite inferior y un límite superior. Recuerda que las tablas de intervalos muestran el número de datos que abarca cada intervalo (frecuencia por intervalo). Las fórmulas para calcular la media con los datos organizados de esta manera son:

a. Mediana La segunda medida de tendencia central es la mediana, esta se define como: El valor que divide en dos partes iguales una serie de datos, es decir, la cantidad de datos que quedan a la derecha de la mediana es igual a la cantidad de datos que quedan a la izquierda. Se representa por Me. Para calcular la mediana, debes hacer lo siguiente:

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Unidad 1. La libertad: facultad inherente a todo ser humano Para cuando la cantidad de valores es impar

Ordena los valores de menor a mayor y busca el valor del centro. Por ejemplo:

Para cuando la cantidad de valores es par

Ordena los valores de menor a mayor, busca y promedia los valores del centro. Por ejemplo: 1. Supón que tienes los siguientes

1. Supón que tienes los siguientes

valores: 5, 7, 2, 3, 1, 6, 9, 8, 6, 4, 7, 1 ,3, 2

valores: 2, 4, 0, 8, 6, 4, 7, 1, 1, 0, 8, 6, 9 2. Ordena: 0, 0, 1, 1, 2, 4, 4, 6, 6, 7, 8, 8, 9 3. El dato que divide a la mitad es: 4, por lo tanto Me: 4

2. Ordena:

1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9 3. Busca y promedia los datos del

centro: 4+5=9/2= 4.5, por lo tanto Me: 4.5

i. Mediana en datos agrupados por intervalos Cuando quieres calcular la mediana en datos agrupados por intervalos, tienes que buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas, es decir, es necesario localizar el intervalo donde se encuentre N/2, para ello utiliza la siguiente fórmula: Donde: Li es el límite inferior del intervalo donde se encuentra la mediana. n/2 es la división de las frecuencias absolutas entre 2. Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior al intervalo de la mediana. fi es la frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra la mediana. ai es la amplitud del intervalo. Ejemplo: EB_U3_EjemploMedianaXIntervalos.pdf

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Unidad 1. La libertad: facultad inherente a todo ser humano a. Moda

La tercera medida de tendencia central es la moda. La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta, es decir, el valor que se repite más veces en una serie de datos. La moda se denota por Mo.

Cuando todos los valores de la distribución de datos tienen igual número de frecuencia, se dice que no hay moda. i. Moda en datos agrupados por intervalos

Cuando la distribución de datos es por intervalos de clase, primero se localiza el intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta utilizando la siguiente fórmula para calcular la moda: Donde: Li es el límite inferior del intervalo donde se encuentra la mediana. fi es la frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra la mediana. fi-1 es la frecuencia absoluta del intervalo anterior al intervalo modal. fi+1 es la frecuencia absoluta del intervalo siguiente al intervalo modal. ai es la amplitud del intervalo. Ejemplo: EB_U3_EjemploModaXIntervalos.pdf

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I. Medidas de dispersión A diferencia de las medidas de tendencia central, que miden acumulaciones en un solo punto, las medidas de dispersión miden el grado de separación o alejamiento que tiene una variable estadística con respecto a una medida de posición o tendencia central. Dicho grado de separación indica lo representativa que es la medida de posición con respecto al conjunto total de datos. A mayor dispersión, menor representatividad de la medida de posición y viceversa. a. Recorrido El recorrido representa la diferencia que hay entre el primero y el último valor de la variable, también se le conoce como rango y se denota por Re. La fórmula para calcularlo es: Donde: máx xi es el valor máximo de la variable min xi es el valor mínimo de la variable Por ejemplo: Si tienes la siguiente distribución de datos: 69, 68, 52, 57, 69, 71, 78, 52, 74, 74, 69, 52, 76, calcula el rango, sustituyendo los valores Re=78-52=26 b. Varianza La varianza mide la mayor o menor dispersión de los valores de la variable respecto a la media aritmética. Siempre es mayor o igual que cero y menor que infinito. Se define como la media de los cuadrados de las diferencias del valor de los datos menos la media aritmética de éstos. i. La fórmula de la varianza para datos no agrupados es: Para calcularla en una población:

Donde:

Para calcularla en una muestra:

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es la suma de los cuadrados de los valores de X menos la media

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Unidad 1. La libertad: facultad inherente a todo ser humano ii.Varianza para datos agrupados por intervalos

La fórmula para calcular la varianza en datos agrupados por intervalos es la siguiente: Para calcularla en una población:

Donde: Fi es la frecuencia del intervalo. Mci es la marca de clase del intervalo.

µ,

Para calcularla en una muestra:

es la media de la distribución de datos.

a. Desviación típica La desviación típica o estándar muestra qué tan alejado está un dato del valor de la media aritmética, es decir, la diferencia que hay entre un dato y la media aritmética. Se denota como S o σ según se calcule en una muestra o en toda la población, respectivamente. Se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza. Se expresa mediante las siguientes fórmulas: i. En datos no agrupados Para una población:

Para una muestra:

ii.En datos agrupados por intervalos Para una muestra:

Para una población:

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