Mgeo_u1_a2_jasd 6w303e
This document was ed by and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this report form. Report 3b7i
Overview 3e4r5l
& View Mgeo_u1_a2_jasd as PDF for free.
More details w3441
- Words: 1,964
- Pages: 14
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos
Universidad Abierta y a Distancia de México Licenciatura en Matemáticas Unidad 1 Actividad 2. TEOREMAS Y PROPIEDADES
Segundo semestre. Materia: Geometría. Facilitador: Damayanti Gómez García.
Nombre: Javier Sotelo Derbez. Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos Matricula: AL12521094. 1. Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas. 2. Coloca una F si la oración es falsa y V si es verdadera. 3. Argumenta tu respuesta.
a. Sean los planos P1, P2 y P3 contenidos en E donde no se da el caso que sean paralelos entre ellos; entonces, la intersección entre ellos es una línea recta R. Respuesta: F, este enunciado es verdadero en todos los casos para dos planos y solo en caso que los planos formen ángulos diedros para tres planos o más. Ya que la el conjunto de puntos de una intersección de tres planos puede dar una recta, un punto o estar vacío sin que sean paralelos. Fuente: geometría plana y del espacio y trigonometría, Baldor.
Fuente imagen: http://es.slideshare.net/ciberteacher/ngulo-diedro
b. Dadas tres rectas R1, R2 y R3 en un plano P. Si entre estas tres rectas dos de ellas son paralelas y la tercer recta corta oblicuamente a las dos que son paralelas, el punto en el que las interseca es el punto de intersección de las paralelas.
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos Respuesta: F, la recta interseca alas rectas paralelas por separado, en puntos diferentes, el mismo enunciado tiene una contradicción al final hablando del punto de intersección de las paralelas.
c. Todas las rectas de un plano tienen un punto central. Respuesta: F, para que tuviera un punto central deberemos definir un segmento de recta, la recta en el espacio se considera infinita, esto sería verdadero solo para un segmento de recta.
Fuente imagen: http://www.librosvivos.net/smtc/PagPorFormulario.asp? TemaClave=1036&est=0
d. Dos ángulos adyacentes, si son agudos, en algunos casos juntos pueden llegar a formar un ángulo recto. Respuesta: V, un ángulo agudo se define como menor a 90°, si los valores de los ángulos son tales que la suma es igual a 90°, entonces son complementarios y forman un ángulo recto.
Fuente imagen: http://www.aplicaciones.info/decimales/geoele04.htm
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos
e. Sean dos ángulos, los cuales son suplementarios, entonces la suma de ambos es de 180º. Respuesta: V, se define como ángulos suplementarios a los que su suma sea 180°.
Fuente imagen: http://www.monografias.com/trabajos41/angulos-triangulos/angulostriangulos2.shtml
f.
Una línea recta R1 corta a R2 en un ángulo recto por su punto central, R 1 se llama una recta perpendicular de R2.
Respuesta: V, al cortar en ángulo recto aun line a la otra por definición son líneas perpendiculares.
Fuente imagen: paralelas.html
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/perpendiculares-
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos
g. Los ángulos internos de un triángulo, son a su vez ángulos colaterales internos por pares.
Respuesta: V, al tomar la línea común al par de ángulos tomados en cuenta, y realizar trazos auxiliares, los ángulos corresponden a colaterales internos.
Fuente imagen: http://s.todoexpertos.com/s/md/a40cfccb32cc788ea0858d6c5364032c.png h. Todos los ángulos alternos externos, si fueran adyacentes, entonces serían suplementarios. Respuesta: F, solo seria verdadero para colaterales externos, no alternos y solo si las líneas intersecadas son paralelas.
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos Fuente imagen: http://microrespuestas.com/wp-content/s/2013/06/angulos-alternosexternos.jpg
i.
Las bisectrices de un triángulo rectángulo dividen a sus tres ángulos en pares de ángulos complementarios.
Respuesta: F, los ángulos complementarios suman 90°, esto solo ocurriría en un triangulo rectángulo y solo con uno de sus ángulos.
Fuente imagen: http://www.universoformulas.com/wp-content/s/2014/04/bisectriztriangulo-520x245.jpg
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos
1. Realizalas siguientes demostraciones
j.
Sean los puntos A, B y C colineales. Si
´ BC
no contiene al punto A, entonces dado
´ ´ ´ = BD + DC ´ AD BC el punto central D de se cumple que 2
.
Como D es el puntomedio del segmento BD , entonses se asume que : BD=DC si BD=DC BD + BD=DC + DC =BD + DC , 2 BD=2 DC=BD + DC , 2 BD 2 DC BD + DC BD + DC = = , ENTONCES BD=DC = 2 2 2 2 SI
BD + DC =AD ENTONCES 2
BD =DC= AD ,COMO EL PUNTO MEDIO DE ENTRE BY C ES EL PUNTO D Y LOS SEGMENTOS BC ,CD Y AD SON IGUALES , POR LO TANTO NO EXISTE UN PUNTO CUYA DISTANCIA SEA IGUAL A AD Y NO ESTE CONTENIDO ENTONCES SE DEMUESTRA QUE NO EXISTE PUNTO A . SOLO PODRIA SER ASI : ´ ´ ´ > BD + DC PARA QUE EL PUNTO− A−NO ESTE EN EL SEGMENTO BC , AD 2
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos ES DECIR LA DISTANCIA DEL PUNTO A AL PUNTO D DEBE SER MAYOR QUE LA DISTANCIA DE LOS PUNTOS B O C AL PUNTO D .
k. Sean A, B, C, D y E puntos colineales tales que
´ ) =75 m ( AE
y
´ ) +1=m( BC ´ ) m( AB ;
´ ≡ DE ´ ≡ 2 CD ´ AB . Entonces, si
determinar
las
medidas
´ , BC ´ , CD ´ y DE ´ AB . Se sume que son puntos colinealesy consecutivos por las determinaciones solicitadas.
´ ) =75 m ( AE que es la longitud total. Si
´ ≡ DE ´ ≡ 2 CD ´ y AB+ ´ BC+ ´ CD ´ + DE=75 ´ ´ ) +1=m( BC ´ ) AB y m( 2 CD
´ ( 2 CD ´ +1 ) + CD ´ + 2 CD=75=7 ´ ´ entonces sustituimos 2 CD+ CD+1, 74 ´ ´ ´ 7 CD=75−1, 7 CD=74, CD= , 7 74 74 74 74 ´ ( 2 CD ´ +1 ) + CD ´ + 2 CD=75=2 ´ 2 CD+ + 2 +1 + + 2 =75 7 7 7 7
(
)
74 74 74 74 ´ BC+ ´ CD ´ + DE ´ en terminos de CD=2 ´ AB+ + 2 +1 + +2 =75 7 7 7 7
( )(( ) )( ) ( )
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
de
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos Solución:
74 ´ AB=2 =2 ( 10.57 )=21.14 7
( )
74 ´ BC= 2 +1 = ( 2 ( 10.57 ) )+ 1=22.14 7
(( ) )
´ = 74 =10.57 CD 7
( )
74 ´ DE=2 =2 (10.57 )=21.14 7
( )
21.14+22.14 +10.57+21.14 ≈ 74.99
l.
Sean dos ángulos. Si ambos ángulos tienen al mismo ángulo como complementario, entonces ambos ángulos son congruentes.
∠ A + x=90 ° Y ∠ B+ x=90° , ENTONCES ∠ A + x=∠ B+ x ∠ A=∠ B+ x−x , ENTONCES ∠ A=∠ B ∠ A ≡∠ B
m. Sean dos ángulos opuestos, entonces la bisectriz de ambos ángulos está sobre la misma recta. Dadas dos rectas r y s, del plano, que se cortan en el punto P, dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro:
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos
En la figura de abajo los ángulos en amarillo y en verderespectivamente, son opuestos por el vértice. Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
POR DEFINICION: Bisectriz: es la recta que divide en dos partes iguales a un ángulo.
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos
Si ∡AOC es opuesto al ∡DOB por el vertice , por teorema:
∡ AOC=∡ DOB entonces
∡ AOC ∡ DOB = , 2 2
∡ AOM =∡ MOC Y ∡ AOM + ∡ MOC=∡ AOC entonces ∡ MOC +∡ MOC=∡ AOC →
2 ∡ MOC ∡ AOC ∡ AOC = → ∡ MOC= 2 2 2
∡DON =∡NOB Y ∡DON +∡NOB=∡DOB entonces
∡ DON + ∡ DON =∡ AOC →
como
2 ∡ DON ∡ DOB ∡ DOB = → ∡ DON = 2 2 2
∡ AOC ∡ DOB = entonces ∡ MOC=∡ DON 2 2
como se demostro losangulos ∡MOC=∡DON son iguales y si son opuestos por el vertice , por reciproco de teorema, entonces estan formados por lainterseccion de 2 rectas o segmentos de rectas , una de el lasla bicectriz mencionada .
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos n. Sea el triángulo definido por los puntos A, B y C. El segmento
´ CD , se forma así un ángulo
´ AC
se extiende por
∢ BCD
cuya bisectriz está dada
por la recta que contiene al segmento de recta
´ CE . Si los ángulos
otro segmento
´ ∢ CAB= ∢ CBA , entonces los segmentos AB
y
´ CE son paralelos.
Para esta demostración usaremos los teoremas que dicen: 1. La suma de los ángulos internos de un triangulo es de 180°. 2. Todo ángulo externo de un triangulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. 3. Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos internos iguales. 4. Y su reciproco: si una secante forma con rectas de un plano ángulos alternos internos dichas rectas son paralelas.
Usaremos la siguiente figura para ilustrar la demostración:
Figura: minúsculas = ángulos y mayúsculas = puntos Se tiene como datos Por el teorema 2 el Por definición el segmento
∢ CAB= ∢ CBA ∢ f =∢ b + ∢c
o lo mismo y el
∢ b = ∢a
∢h =∢ b + ∢a
´ CE parte en 2 ángulos iguales el ángulo ∢h
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos ∢h =∢ e + ∢d Tenemos que
Y ∢ e = ∢d
∢h =∢ b + ∢
Entonces ∢ b + ∢a =∢ e + ∢d
ay∢=∢ h e + ∢d
y teníamos que ∢ a = ∢b
Entonces sustituimos ∢ a + ∢a =∢ e + ∢e
y
∢ e = ∢d
simplificando 2 ∢ a=2 ∢ e
∢ a=∢ e Los ángulos
∢ a =∢ e
Si consideramos el segmento
son como se ve en la figura son alternos internos.
´ AC
como secante de las rectas
´ y CE ´ GF , por el
reciproco del teorema arriba enunciado (5) si una secante forma con rectas de un plano ángulos alternos internos iguales dichas rectas son paralelas, COMO SE QUERIA DEMOSTRAR.
o. Sea el paralelogramo en forma de romboide definido por los puntos A, B, C y D. Un segmento de recta
´ AC
es una de las diagonales del romboide, entonces los
ángulos de los vértices B y D son congruentes. Para esta demostración usaremos las siguientes definiciones y teoremas: 1. 2. 3. 4.
Si los lados opuestos son paralelos dos a dos se llama paralelogramo. Todo paralelogramo tiene sus lados opuestos iguales. Dos triángulos son iguales si tienen sus 3 lados respectivamente iguales. Dos triángulos son iguales si tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales. 5. Corolario del teorema anterior: si dos triángulos son iguales, tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales. Usaremos la siguiente figura para ilustrar la demostración:
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos
por la propiedad 1 y 2 se tiene que :
´ = BC ´ , AB ´ = DC ´ , AC ´ = AC ´ ´ ´ AD y AD ∥ BC , Entonces se forman los triángulos
∆ ABC Y ∆ ADC
por el teorema 3: ∆ ABC ≡ ∆ ADC Entonces por el corolario del teorema 4 tenemos que:
∠ ABC ≡∠ ADC Como se quería demostrar.
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
´ ∥ DC ´ AB
Universidad Abierta y a Distancia de México Licenciatura en Matemáticas Unidad 1 Actividad 2. TEOREMAS Y PROPIEDADES
Segundo semestre. Materia: Geometría. Facilitador: Damayanti Gómez García.
Nombre: Javier Sotelo Derbez. Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos Matricula: AL12521094. 1. Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas. 2. Coloca una F si la oración es falsa y V si es verdadera. 3. Argumenta tu respuesta.
a. Sean los planos P1, P2 y P3 contenidos en E donde no se da el caso que sean paralelos entre ellos; entonces, la intersección entre ellos es una línea recta R. Respuesta: F, este enunciado es verdadero en todos los casos para dos planos y solo en caso que los planos formen ángulos diedros para tres planos o más. Ya que la el conjunto de puntos de una intersección de tres planos puede dar una recta, un punto o estar vacío sin que sean paralelos. Fuente: geometría plana y del espacio y trigonometría, Baldor.
Fuente imagen: http://es.slideshare.net/ciberteacher/ngulo-diedro
b. Dadas tres rectas R1, R2 y R3 en un plano P. Si entre estas tres rectas dos de ellas son paralelas y la tercer recta corta oblicuamente a las dos que son paralelas, el punto en el que las interseca es el punto de intersección de las paralelas.
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos Respuesta: F, la recta interseca alas rectas paralelas por separado, en puntos diferentes, el mismo enunciado tiene una contradicción al final hablando del punto de intersección de las paralelas.
c. Todas las rectas de un plano tienen un punto central. Respuesta: F, para que tuviera un punto central deberemos definir un segmento de recta, la recta en el espacio se considera infinita, esto sería verdadero solo para un segmento de recta.
Fuente imagen: http://www.librosvivos.net/smtc/PagPorFormulario.asp? TemaClave=1036&est=0
d. Dos ángulos adyacentes, si son agudos, en algunos casos juntos pueden llegar a formar un ángulo recto. Respuesta: V, un ángulo agudo se define como menor a 90°, si los valores de los ángulos son tales que la suma es igual a 90°, entonces son complementarios y forman un ángulo recto.
Fuente imagen: http://www.aplicaciones.info/decimales/geoele04.htm
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos
e. Sean dos ángulos, los cuales son suplementarios, entonces la suma de ambos es de 180º. Respuesta: V, se define como ángulos suplementarios a los que su suma sea 180°.
Fuente imagen: http://www.monografias.com/trabajos41/angulos-triangulos/angulostriangulos2.shtml
f.
Una línea recta R1 corta a R2 en un ángulo recto por su punto central, R 1 se llama una recta perpendicular de R2.
Respuesta: V, al cortar en ángulo recto aun line a la otra por definición son líneas perpendiculares.
Fuente imagen: paralelas.html
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/perpendiculares-
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos
g. Los ángulos internos de un triángulo, son a su vez ángulos colaterales internos por pares.
Respuesta: V, al tomar la línea común al par de ángulos tomados en cuenta, y realizar trazos auxiliares, los ángulos corresponden a colaterales internos.
Fuente imagen: http://s.todoexpertos.com/s/md/a40cfccb32cc788ea0858d6c5364032c.png h. Todos los ángulos alternos externos, si fueran adyacentes, entonces serían suplementarios. Respuesta: F, solo seria verdadero para colaterales externos, no alternos y solo si las líneas intersecadas son paralelas.
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos Fuente imagen: http://microrespuestas.com/wp-content/s/2013/06/angulos-alternosexternos.jpg
i.
Las bisectrices de un triángulo rectángulo dividen a sus tres ángulos en pares de ángulos complementarios.
Respuesta: F, los ángulos complementarios suman 90°, esto solo ocurriría en un triangulo rectángulo y solo con uno de sus ángulos.
Fuente imagen: http://www.universoformulas.com/wp-content/s/2014/04/bisectriztriangulo-520x245.jpg
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos
1. Realizalas siguientes demostraciones
j.
Sean los puntos A, B y C colineales. Si
´ BC
no contiene al punto A, entonces dado
´ ´ ´ = BD + DC ´ AD BC el punto central D de se cumple que 2
.
Como D es el puntomedio del segmento BD , entonses se asume que : BD=DC si BD=DC BD + BD=DC + DC =BD + DC , 2 BD=2 DC=BD + DC , 2 BD 2 DC BD + DC BD + DC = = , ENTONCES BD=DC = 2 2 2 2 SI
BD + DC =AD ENTONCES 2
BD =DC= AD ,COMO EL PUNTO MEDIO DE ENTRE BY C ES EL PUNTO D Y LOS SEGMENTOS BC ,CD Y AD SON IGUALES , POR LO TANTO NO EXISTE UN PUNTO CUYA DISTANCIA SEA IGUAL A AD Y NO ESTE CONTENIDO ENTONCES SE DEMUESTRA QUE NO EXISTE PUNTO A . SOLO PODRIA SER ASI : ´ ´ ´ > BD + DC PARA QUE EL PUNTO− A−NO ESTE EN EL SEGMENTO BC , AD 2
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos ES DECIR LA DISTANCIA DEL PUNTO A AL PUNTO D DEBE SER MAYOR QUE LA DISTANCIA DE LOS PUNTOS B O C AL PUNTO D .
k. Sean A, B, C, D y E puntos colineales tales que
´ ) =75 m ( AE
y
´ ) +1=m( BC ´ ) m( AB ;
´ ≡ DE ´ ≡ 2 CD ´ AB . Entonces, si
determinar
las
medidas
´ , BC ´ , CD ´ y DE ´ AB . Se sume que son puntos colinealesy consecutivos por las determinaciones solicitadas.
´ ) =75 m ( AE que es la longitud total. Si
´ ≡ DE ´ ≡ 2 CD ´ y AB+ ´ BC+ ´ CD ´ + DE=75 ´ ´ ) +1=m( BC ´ ) AB y m( 2 CD
´ ( 2 CD ´ +1 ) + CD ´ + 2 CD=75=7 ´ ´ entonces sustituimos 2 CD+ CD+1, 74 ´ ´ ´ 7 CD=75−1, 7 CD=74, CD= , 7 74 74 74 74 ´ ( 2 CD ´ +1 ) + CD ´ + 2 CD=75=2 ´ 2 CD+ + 2 +1 + + 2 =75 7 7 7 7
(
)
74 74 74 74 ´ BC+ ´ CD ´ + DE ´ en terminos de CD=2 ´ AB+ + 2 +1 + +2 =75 7 7 7 7
( )(( ) )( ) ( )
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
de
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos Solución:
74 ´ AB=2 =2 ( 10.57 )=21.14 7
( )
74 ´ BC= 2 +1 = ( 2 ( 10.57 ) )+ 1=22.14 7
(( ) )
´ = 74 =10.57 CD 7
( )
74 ´ DE=2 =2 (10.57 )=21.14 7
( )
21.14+22.14 +10.57+21.14 ≈ 74.99
l.
Sean dos ángulos. Si ambos ángulos tienen al mismo ángulo como complementario, entonces ambos ángulos son congruentes.
∠ A + x=90 ° Y ∠ B+ x=90° , ENTONCES ∠ A + x=∠ B+ x ∠ A=∠ B+ x−x , ENTONCES ∠ A=∠ B ∠ A ≡∠ B
m. Sean dos ángulos opuestos, entonces la bisectriz de ambos ángulos está sobre la misma recta. Dadas dos rectas r y s, del plano, que se cortan en el punto P, dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro:
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos
En la figura de abajo los ángulos en amarillo y en verderespectivamente, son opuestos por el vértice. Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
POR DEFINICION: Bisectriz: es la recta que divide en dos partes iguales a un ángulo.
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos
Si ∡AOC es opuesto al ∡DOB por el vertice , por teorema:
∡ AOC=∡ DOB entonces
∡ AOC ∡ DOB = , 2 2
∡ AOM =∡ MOC Y ∡ AOM + ∡ MOC=∡ AOC entonces ∡ MOC +∡ MOC=∡ AOC →
2 ∡ MOC ∡ AOC ∡ AOC = → ∡ MOC= 2 2 2
∡DON =∡NOB Y ∡DON +∡NOB=∡DOB entonces
∡ DON + ∡ DON =∡ AOC →
como
2 ∡ DON ∡ DOB ∡ DOB = → ∡ DON = 2 2 2
∡ AOC ∡ DOB = entonces ∡ MOC=∡ DON 2 2
como se demostro losangulos ∡MOC=∡DON son iguales y si son opuestos por el vertice , por reciproco de teorema, entonces estan formados por lainterseccion de 2 rectas o segmentos de rectas , una de el lasla bicectriz mencionada .
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos n. Sea el triángulo definido por los puntos A, B y C. El segmento
´ CD , se forma así un ángulo
´ AC
se extiende por
∢ BCD
cuya bisectriz está dada
por la recta que contiene al segmento de recta
´ CE . Si los ángulos
otro segmento
´ ∢ CAB= ∢ CBA , entonces los segmentos AB
y
´ CE son paralelos.
Para esta demostración usaremos los teoremas que dicen: 1. La suma de los ángulos internos de un triangulo es de 180°. 2. Todo ángulo externo de un triangulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. 3. Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos internos iguales. 4. Y su reciproco: si una secante forma con rectas de un plano ángulos alternos internos dichas rectas son paralelas.
Usaremos la siguiente figura para ilustrar la demostración:
Figura: minúsculas = ángulos y mayúsculas = puntos Se tiene como datos Por el teorema 2 el Por definición el segmento
∢ CAB= ∢ CBA ∢ f =∢ b + ∢c
o lo mismo y el
∢ b = ∢a
∢h =∢ b + ∢a
´ CE parte en 2 ángulos iguales el ángulo ∢h
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos ∢h =∢ e + ∢d Tenemos que
Y ∢ e = ∢d
∢h =∢ b + ∢
Entonces ∢ b + ∢a =∢ e + ∢d
ay∢=∢ h e + ∢d
y teníamos que ∢ a = ∢b
Entonces sustituimos ∢ a + ∢a =∢ e + ∢e
y
∢ e = ∢d
simplificando 2 ∢ a=2 ∢ e
∢ a=∢ e Los ángulos
∢ a =∢ e
Si consideramos el segmento
son como se ve en la figura son alternos internos.
´ AC
como secante de las rectas
´ y CE ´ GF , por el
reciproco del teorema arriba enunciado (5) si una secante forma con rectas de un plano ángulos alternos internos iguales dichas rectas son paralelas, COMO SE QUERIA DEMOSTRAR.
o. Sea el paralelogramo en forma de romboide definido por los puntos A, B, C y D. Un segmento de recta
´ AC
es una de las diagonales del romboide, entonces los
ángulos de los vértices B y D son congruentes. Para esta demostración usaremos las siguientes definiciones y teoremas: 1. 2. 3. 4.
Si los lados opuestos son paralelos dos a dos se llama paralelogramo. Todo paralelogramo tiene sus lados opuestos iguales. Dos triángulos son iguales si tienen sus 3 lados respectivamente iguales. Dos triángulos son iguales si tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales. 5. Corolario del teorema anterior: si dos triángulos son iguales, tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales. Usaremos la siguiente figura para ilustrar la demostración:
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
Geometría Unidad 1 Conceptos básicos
por la propiedad 1 y 2 se tiene que :
´ = BC ´ , AB ´ = DC ´ , AC ´ = AC ´ ´ ´ AD y AD ∥ BC , Entonces se forman los triángulos
∆ ABC Y ∆ ADC
por el teorema 3: ∆ ABC ≡ ∆ ADC Entonces por el corolario del teorema 4 tenemos que:
∠ ABC ≡∠ ADC Como se quería demostrar.
Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología | Matemáticas
´ ∥ DC ´ AB
More Documents from "Javier Sotelo" io3o
Mgeo_u1_a2_jasd 6w303e
April 2020 22
Xiaomi Redmi Note 7 _ Caracteristicas Y Especificaciones 5q3f6y
June 2022 0
Concepto Sana Posesion 435b4u
June 2021 0
3.8. Certificado Copnia s4o3v
May 2022 0
Resumen Pelicula La Meta 2f365k
December 2019 52