Pac Inic Raciocinio Logico Karine Waldrich Aula 03 521l5l
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Raciocínio Lógico – Pacote para Iniciantes Aula 3 – Professora Karine Waldrich
1. Aula 3: Tópicos Iniciais de Estatística. . ......................................................... 2 1.1 Conceitos Iniciais . ..................................................................................... 2 1.2 Medidas de Posição . ................................................................................ 4 1.2.1 Média . ................................................................................................ 4 1.2.2 Moda . ................................................................................................. 5 1.2.3 Mediana . ............................................................................................ 7 1.3 Medidas de Dispersão . ........................................................................... 10 1.3.1 Desvio Padrão . ................................................................................. 10 1.3.2 Variância . ......................................................................................... 14 1.3.3 Coeficiente de Variação . .................................................................. 16 1.3.4 Variação relativa. .............................................................................. 16 2. Exercícios de fixação comentados . ............................................................. 18 3. Memorex . . ................................................................................................... 40 4. Lista das questões comentadas . . ................................................................ 43 5. Gabarito. . ..................................................................................................... 50
1. Aula 3: Tópicos Iniciais de Estatística. Olá, concurseiros! Hoje daremos prosseguimento ao nosso estudo de Raciocínio Lógico, especificamente adentrando na disciplina de Estatística. Começaremos falando um pouco sobre o objeto de estudo da Estatística, e dando conceitos iniciais que são essenciais para o aprendizado da matéria. Vamos lá? 1.1 Conceitos Iniciais Pessoal, Estatística nada mais é do que uma maneira de transformar dados em informações. Se eu digo assim: “Tenho 3 primos com 10 anos e 3 primos com 20 anos”. A Estatística é capaz de me dizer que a média de idade é de 15 anos. Entendem? Algo muito importante em Estatística, antes de qualquer coisa, é saber identificar a maneira como o examinador dispôs os dados. Ele pode ter colocado na forma de dados brutos. Por exemplo: 10, 20, 20, 10, 20, 10. Essas são as idades dos primos acima, só que sem qualquer tabulação. É como se eu tivesse vendo os tais primos, enfileirados de qualquer forma, e anotando numa prancheta. Se eu quiser arrumar um pouco mais os dados, colocando-os em ordem crescente ou decrescente, terei um rol: 10, 10, 10, 20, 20, 20. Ou então posso organizá-los numa tabela. Então terei dados tabulados: Idade (anos) 10 20
Número de primos 3 3
2
Ou então, posso fazer uma distribuição de freqüências. Na distribuição de freqüências, os dados estão em intervalos, como abaixo: Faixa etária (anos) 10 |----- 20 20 |----- 30
Número de primos 3 3
Na distribuição de freqüências, eu não posso afirmar que o meu primo tem exatamente 10 ou 20 anos. Os dados estão dispostos em classes: a primeira classe vai da idade de 10 anos até quase 20 anos. O símbolo do meio, |-----, significa intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. “Fechado à esquerda” indica que inclui o limite inferior, ou seja, os 10 anos. Já a segunda classe, que também é fechada à esquerda, vai de 20 a 30 anos. Uma definição muito importante em uma distribuição de frequências é o Ponto Médio da classe (PM). Ele é calculado da seguinte forma: PM = Limite inferior + Limite Superior 2 No nosso caso, o PM = 10 + 20 = 15. 2 Mais adiante iremos ver a aplicação prática do PM, não se preocupem, ok? Outra definição importante que devemos entender é a dos tipos de frequências. Para que a gente aprenda sobre elas apenas o que é realmente necessário, ou seja, que nos ajudará a resolver as questões, esquematizei todas na tabela abaixo. Primeiramente, vocês devem entender os conceitos de: • • • •
Frequência Absoluta: é a freqüência em número de elementos; Frequência Relativa: é a freqüência em percentual de elementos; Frequência Simples: é a frequência daquela classe especificamente; Frequência Acumulada: são as frequências simples somadas até determinada classe.
Freqüência Simples
Acumulada
Absoluta (f) Freqüência relativa simples:
Relativa (F) Freqüência relativa simples:
Símbolo: fi
Símbolo: Fi
Indica o número de elementos em cada classe.
Indica o percentual de elementos da classe, em relação ao total.
Freqüência absoluta acumulada (temos dois
Freqüência relativa acumulada (temos dois 3
tipos):
tipos):
Crescente: fac
Crescente: Frc
Indica o número de Indica o percentual de elementos somados até elementos somados até determinada classe, determinada classe, começando da primeira começando da primeira classe. Ou seja, se classe. Ou seja, se queremos saber a fac da queremos saber a Frc da terceira classe, devemos terceira classe, devemos fazer f1 + f2 + f3 fazer F1 + F2 + F3 Decrescente: fad
Decrescente: Frd
Indica o número de elementos somados até determinada classe, começando da última classe. Ou seja, se queremos saber a fac da antepenúltima classe, devemos fazer fn + fn-1 + fn-2
Indica o percentual de elementos somados até determinada classe, começando da última classe. Ou seja, se queremos saber a Frc da antepenúltima classe, devemos fazer Fn + Fn-1 + Fn-2
Agora vamos entrar no estudo das medidas estatísticas propriamente ditas. 1.2 Medidas de Posição
1.2.1 Média A média é a medida de posição mais usada. Quem nunca precisou calcular as médias das notas para ar de ano no colégio ou na faculdade??? Rs Existe uma equação de média para dados em forma de rol, para dados em forma tabulada e para distribuição de frequências. Ih!!!!!!! Vocês devem estar pensando que deverão “decorar” três equações, não é? Eu digo... não! Uma equação é derivada da outra, então basta que vocês decorem para a distribuição de frequências... Para as outras, basta uma leve “adaptação” rs. Bem, vamos a elas? Temos, para o rol, a equação abaixo, lembrando que n é o número total de elementos do rol.
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Não se assustem com o somatório. Ele indica que todos os elementos do rol serão somados, apenas isso. Adiante veremos a equação acima sendo aplicada... Já para os dados tabulados, temos:
Nesse caso, n é a soma de todas as freqüências. Aqui, teremos casa frequência multiplicada pelo dado o qual estamos lidando (na tabela que mostrei acima, seria a frequência multiplicada pela idade de cada primo). E para a distribuição de freqüências, temos:
Percebam que as três equações são bem parecidas! Para ar da equação para média do rol para a equação para média dos dados tabulados, basta acrescentar a freqüência absoluta simples. E para ar de equação dos dados tabulados para uma distribuição de freqüências, basta trocar o Xi pelo PMi, que é o nosso conhecido Ponto Médio da classe. Isso vai acontecer sempre, em todas as equações. Sempre que quisermos ar de equação do rol para dados tabulados e para distribuição de frequências faremos essas substituições, ou seja: ROL --> DADOS TABULADOS: acrescentar fi. DADOS TABULADOS --> DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS: trocar xi por PMi.1.2.2 Moda A moda, em grossas palavras, indica o item com maior quantidade de elementos em um rol, dado tabulado ou distribuição de freqüências. Por exemplo, no rol abaixo: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3 A moda é o 2, pois existem 4 elementos “2” no rol.
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Para os dados tabulados, é mais fácil ainda, não precisa nem somar, basta ver na tabela. Por exemplo, abaixo temos o número de casas por cores em uma rua: Cor Azul Branco Rosa Bege
Número de primos 3 5 4 1
Nessa rua, a moda é a casa na cor branca, pois a maior parte dos elementos do conjunto de casas da rua são brancas. Para a distribuição de freqüências, a moda requer o conhecimento de uma equação, ou melhor, de duas equações... Isso porque a moda de uma distribuição de freqüências pode ser calculada de duas maneiras, cada um produzindo um resultado. Cada equação leva o nome do seu autor: Czuber e King. Ou seja, temos a Moda de Czuber (lê-se quizuba) e a Moda de King. Quando a questão só pede a moda, sem dizer qual tipo, entendemos que ela está falando da Moda de Czuber, ok?
Explicando o que significa cada : = diferença anterior = frequência da classe modal – frequência da classe anterior (se nao existir é 0) = diferença posterior = frequência da classe modal – frequência da classe posterior (se nao existir é 0) Pessoal, classe modal é a classe que contiver maior frequência, ok? A Moda de Czuber é também chamada de moda dos deltas. Temos também a Moda de King:
Explicando o que significa cada frequência: fp = é a frequência da classe posterior à classe modal.
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fa = é a frequência da classe anterior à classe modal. A Moda de King é conhecida como moda das freqüências. 1.2.3 Mediana A mediana indica o elemento que ocupa a posição central do conjunto. Por exemplo, no rol abaixo, com 7 elementos: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3 A mediana desse rol é o “2”, pois esse elemento ocupa a posição central do rol. Vejam:
1
1
2
2
2
3
3
1º elemento
2º elemento
3º elemento
4º elemento = Elemento central = MEDIANA
5º elemento
6º elemento
7º elemento
Ok, para esse rol foi fácil achar a mediana, utilizando a sua plena definição, que é a de elemento central. Afinal é um rol de apenas 7 elementos. Inclusive, para o rol temos duas equações para o cálculo da mediana: uma para ser usada em caso de rol com n ímpar (como foi o caso do rol acima), e outra para ser usada em caso de rol com n par. Em caso de rol com n ímpar, temos: Posição central = n + 1 2 A mediana é o elemento correspondente à posição central encontrada. Por exemplo, no rol acima, temos: 7 + 1 = 8/2 = 4 --------------------> Mediana é o 4º elemento = 2 2 No caso de rol com n par, temos duas posições centrais a serem consideradas: Posição central 1 = n_ 2 Posição central 2 = a vizinha posterior. A mediana, neste caso, é:
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Mediana = Elemento Posição Central 1 + Elemento Posição Central 2 2 Por exemplo, no seguinte rol, com 10 elementos: 342, 345, 354, 354, 356, 378, 400, 432, 444, 444 Posição central 1 = 10/2 = 5 -------------------> Elemento correspondente = 356 Posição central 2 = 6 -------------------> Elemento correspondente = 378 Mediana = 356 + 378 = 367 2 Pessoal, a moda dos dados tabulados é feita exatamente da mesma maneira do que do rol. Não vou detalhar muito aqui para não ser redundante, mas farei uma questão adiante em que mostro o cálculo para vocês. É bem simples, não se preocupem. Para o cálculo da mediana de uma distribuição de frequências, existe uma equação que pode ser decorada. Mas, na verdade, ela é fruto de um raciocício, que acho interessante que vocês saibam. Vejam só a distribuição de frequências abaixo:
Faixa etária (anos) 0 |----- 10 10 |----- 20 20 |----- 30 40 |----- 50 50 |----- 60 60 |----- 70
Número de parentes na família 4 3 4 5 3 1
Esse conjunto possui 20 elementos (n = 20). A mediana será o elemento correspondente à posição central, ou seja, n/2 = 20/ 2 = 10. Então, nosso foco será na classe em que se encontra o 10º elemento. Se vocês perceberem, a primeira classe vai até o 4º elemento, na segunda classe temos do 5º até o 7º elemento, na terceira classe temos do 8º elemento até o 11º elemento. Ou seja, o 10º elemento se encontra na terceira classe. Agora, então, vamos focar na terceira classe, para encontrar o valor da mediana. Para isso, faremos nada mais nada menos do que uma “Regra de Três”. Vejam:
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A terceira classe vai de 20 a 30 anos. Chamamos o “20” de limite inferior da classe, e o “30” de limite superior. A diferença entre 20 e 30 anos é de 10 anos, e já sabemos que isso se chama a amplitude da classe (h). A classe inteira possui 4 elementos, e queremos saber qual o valor correspondente ao 3 elemento da classe (que é o 10º elemento da distribuição de frequências inteira). O raciocínio é o seguinte:
20 20
4 elementos ----------------------------------------------------------------------x -----3 elementos
30 30
O “X” corresponde à mediana. Ela está entre 20 e 30, e corresponde ao 3º elemento da classe, que possui, ao total 4 elementos, indo do 20 ao 30. Portanto, colocando em forma de regra de três, temos: 4 elementos ------------ que correspondem a 10 anos (30 – 20) o 3º elemento ---------- corresponde a X anos 4 ------------ 10 3 ------------ X 4X = 30 X = 7,5 Assim, o terceiro elemento corresponde à idade de 7,5 anos, dentro da classe. Para sabermos a mediana, precisamos somar com o limite inferior da classe, que é de 20 anos. Ou seja, a mediana desta distribuição de frequências é de 20 + 7,5 = 27,5 anos. Pelo desenho, temos:
20 20
4 elementos ----------------------------------------------------------------------27,5 -----Mediana 3 elementos
30 30
Essa regrinha de três que fizemos aqui, em estatística, tem nome especial. Ela se chama Interpolação da Ogiva. Não se preocupem em decorar esse verdadeiro palavrão rs. Para encontrar a mediana, fazemos uma interpolação da Ogiva para o elemento n/2. Vou ar a equação para o cálculo da mediana para vocês terem como consulta, mas peço que vocês não tentem decorá-la simplesmente, afinal ela é
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resultado do raciocínio que tivemos acima. É mais interessante que vocês entendam como a mediana é calculada do que simplesmente decorem uma equação, porque na hora da prova vocês teram tanta coisa para decorar e saber que é de 90% a chance de esquecerem a equação... Md = limite inferior + (n/2 – fac anterior).h fi 1.3 Medidas de Dispersão Veremos agora as medidas de dispersão mais utilizadas. Mas, antes de tudo: por que “medidas de posição” e “medidas de dispersão”? Qual a diferença? As medidas de posição indicam valores que, de alguma forma, podem representar um conjunto de dados. Já vimos que a média representa o valor intermediário entre todos, a moda é o valor mais comum e a mediana é o item central. Já as medidas de dispersão indicam a heterogeneidade dos itens! Por exemplo, vamos ver 2 rol diferentes: ROL 1: 1, 1, 2, 3, 3 A média desse rol é 2, certo? Rol 2 1, 1, 2, 2, 4 A média desse rol também é 2. Mas vejam como os itens são mais heterogêneos. No primeiro rol, a média está bem “próxima” de todos os itens: com mais ou menos 1 (2 –1, ou 2 + 1), chegamos a qualquer valor do rol. Já no segundo rol, temos um valor que se distancia em 2 unidades da média... Os itens são bem mais “dispersos”... Com certeza, mesmo tendo médias iguais, as medidas de dispersão do segundo rol serão maiores... Ficou claro esse entendimento inicial? Então vamos ar para as medidas propriamente ditas... 1.3.1 Desvio Padrão O desvio padrão é também chamado de dispersão absoluta. Uma maneira legal de vocês enxergarem a importância do desvio padrão é através da curva normal. Ela foi criada por um cientista chamado Gauss, que estudou e viu que
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muitas classificações na natureza poderiam ser representadas por essa curva, por exemplo, a altura de um adulto. Vejam abaixo:
Na curva normal, que também é chamada de curva do sino (porque ela parece um sino), a média é igual à moda e à mediana (no desenho, é indicada pelo símbolo μ). Vamos supor que μ seja a média de altura de um adulto, e que essa média seja de 170cm, ou seja, 1,70m. O símbolo σ indica o desvio padrão. Nessa curva, o desvio indica o número de itens inseridos no “sino” de acordo com seu afastamento da média. Vejam só: na área compreendida entre μ - 1σ e μ + 1σ, podem ser encontrados 68,26% dos itens da distribuição. Supondo que σ seja igual a 5cm, temos que, em uma população, 68,26% os adultos possua altura entre 170 – 5 cm e 170 + 5 cm, ou seja, 1,65m e 1,75m. Se afastando um pouco mais da média, temos que, entre μ - 2σ e μ + 2σ, são encontrados 95,46% dos itens da distribuição. Ou seja, no nosso exemplo da altura das pessoas, temos que 95,46% dos adultos possuem altura entre 1,60m (170cm – 10cm) e 1,80m (170cm + 10cm). Indo adiante, a curva normal indica que, entre μ - 3σ e μ + 3σ, são encontrados 99,73% da população. Ou seja, apenas 0,27% dos itens da distribuição se encontram fora desse intervalo. No nosso exemplo, é como se 99,73% das dos adultos tivessem altura entre 1,55m e 1,85m. Vocês entenderam? Por favor, hein pessoal, se alguém é maior do que 1,85m ou menor do que 1,55m... não fiquem se achando “anormais” viu?? Rs... Foi só um exemplo que criei, e ainda por cima com dados absolutamente hipotéticos, sem qualquer embasamento científico... rs Bom, agora que vimos uma aplicação do desvio padrão, vamos aprender a calculá-lo. Dessa vez, não tem como fugir, ele é encontrado através de uma equação. Quer dizer... de uma não... de 12 equações!! Oh, não... 12 equações para decorar...
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Calma, pessoal!!! Da mesma forma como para média, temos uma equação para rol, outra para dados tabulados e outra para distribuição de freqüências. Além disso, temos equações diferentes para itens pertencentes a uma amostra e itens pertencentes a uma população. Mas todas as equações são “interligadas”: sabendo uma, sabemos todas! Não se esqueçam disso... Ah, alguns estudiosos de estatística diferenciam a maneira como a média e o desvio padrão da amostra são conhecidos, em relação à média e ao desvio padrão da população. Para estes estudiosos, temos: = média amostral S = desvio padrão amostral µ = média populacional σ = desvio padrão populacional Se a questão não diferenciar, nós também não iremos fazê-lo, ok? Assim, para o caso de uma população, temos a seguinte equação para o rol:
σ= Para os dados tabulados, temos:
σ=
E para a distribuição de freqüências, temos:
σ=
Já para o caso de uma amostra, temos a seguinte equação para o rol. Reparem que a diferença para a equação anterior é o “-1” no denominador!
S= 12
Para os dados tabulados, temos (reparem o “-1”):
S= E para a distribuição de freqüências, temos (novamente, com “-1” no denominador):
S= “Ok, professora, até agora vimos 6 equações. Por que você disse que são 12?” Vamos lá. Essas 6 equações que vimos são equações simplificadas. Existem outras equações, que chamados de “desenvolvidas”. Elas são, a primeira vista, maiores, mais complicadas. Mas é o contrário. Vocês verão, com a resolução de questões, que usamos muito mais as equações desenvolvidas do que as equações simplificadas que vimos acima. Isso porque as equações desenvolvidas não utilizam a média. Nas equações simplificadas, é preciso calcular a média para depois calcular o desvio padrão. Já com as equações desenvolvidas, isso não é necessário. Então, temos a equação desenvolvida para o rol (população) abaixo:
σ=
]
Para os dados tabulados, temos:
σ=
]
E para a distribuição de freqüências, temos:
σ=
]
Analogamente às equações simplificadas que vimos acima, para a amostra basta adicionar o “-1”. Assim, temos, para o rol (amostra):
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S=
]
Para os dados tabulados, temos:
S=
]
E para a distribuição de freqüências, temos:
S=
]
Observação importante: Se a questão nada disser, temos POPULAÇÃO, e usamos as equações para população (sem o “-1”)!!!
Agora, aremos para a variância... Depois do que vimos para o desvio padrão, ela fica fácil, fácil!!! 1.3.2 Variância A variância, em meios práticos, não consegue ser tão clara como o desvio padrão. Então, vamos focar no seu cálculo, que é algo extremamente simples. Já vimos várias equações de desvio padrão. E sabem qual é a equação da variância? Variância = σ2 = S2 Fácil, não acham? A variância nada mais é do que o quadrado do desvio padrão. Então, se em todas as equações de desvio padrão tínhamos a raiz quadrada, basta tirarmos as equações da raiz para termos as equações da variância. Assim, temos a equação simplificada da população para o rol:
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σ2 = Para os dados tabulados, temos:
σ2 = E para a distribuição de freqüências, temos:
σ2 = Simplificada para amostra:
S= Para os dados tabulados, temos:
S= E para a distribuição de freqüências, temos:
S= Equação desenvolvida da variância para o rol (população) abaixo:
σ= Para os dados tabulados, temos:
σ= 15
E para a distribuição de freqüências, temos:
σ=
]
Analogamente às equações simplificadas que vimos acima, para a amostra basta adicionar o “-1”. Assim, temos, para o rol (amostra):
S=
]
Para os dados tabulados, temos:
S=
]
E para a distribuição de freqüências, temos:
S=
1.3.3 Coeficiente de Variação
O coeficiente de variação é também chamado de dispersão relativa (lembramse de que o desvio padrão é também chamado de dispersão absoluta?). Ele é uma medida adimensional. Ou seja, ele não possui unidade, ao contrário da média e do desvio padrão. O cálculo do coeficiente de variação é algo simples, e envolve o desvio padrão e a média, seguindo a equação abaixo: CV =
1.3.4 Variação relativa A variação relativa advém do coeficiente de variação, segundo a equação abaixo:
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Vr = CV2 =
Bem fácil, não acham? Agora que já vimos esses conceitos todos, vamos ar para os exercícios, afinal são com eles que vamos fixar a matéria!
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2. Exercícios de fixação comentados Vamos à primeira questão!
Questão 1 – CESPE/CEHAP//2009 Questão 1 – Vunesp/TJ-SP/Oficial de Justiça/2009 O custo médio nacional para a construção de habitação com padrão de acabamento normal, segundo levantamento realizado em novembro de Em2008, um mesmo de certo foi aplicadosendo por 8 R$ meses a uma foi de dia, R$ 1/3 670,00 por capital metro quadrado, 400,00/m2 taxarelativos de juro simples de 18% ao ano, e o restante foi aplicado também por às despesas com materiais de construção e R$ 270,00/m2 8 meses, mas a uma taxa de mesma juro simples de 21% ao ano.médios No final, obtevecom mão-de-obra. Nessa pesquisa, os custos regionais se apontaram um total depara R$ 6.800,00 de juros pelas duas aplicações. O valor total os seguintes valores por metro quadrado: R$ 700,00 aplicado foi R$ 660,00 (Sul), R$ 670,00 (Norte), R$ 640,00 (Centro-Oeste) (Sudeste), e R$ 630,00 (Nordeste). (A) R$ 51.000,00. (B) R$ 48.000,00. Sistema Nacional de Pesquisa de Custos e Índices da Construção (C) R$ 45.000,00. Civil. SINAPI/IBGE, nov./2008 (com adaptações). (D) R$ 42.000,00. (E)base R$ 40.000,00. Com nas informações apresentadas no texto, assinale a opção correta. (A) A média aritmética dos custos médios regionais por metro quadrado é igual ao custo médio nacional do metro quadrado. (B) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sul corresponde à mediana dos custos médios regionais por metro quadrado. (C) Mais de 65% do custo médio nacional do metro quadrado é relativo às despesas com materiais de construção. (D) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sudeste é 10% superior ao custo relativo à região Nordeste.
Essa questão fala sobre média e mediana. Vamos diretamente para as alternativas: (A) A média aritmética dos custos médios regionais por metro quadrado é igual ao custo médio nacional do metro quadrado. A questão diz que o custo médio nacional do metro quadrado é de 670,00. Vamos fazer a média aritmética dos custos regionais para saber se é igual? Média aritmética dos custos regionais = (Custo Regional Sudeste + Custo Regional Sul + Custo Regional Norte + Custo Regional Centro-Oeste + Custo Regional Nordeste)/5 18
Média aritmética dos custos regionais = (700,00 + 660,00 + 670,00 + 640,00 + 630,00)/5 = 660,00 Assim, a alternativa está errada, pois o custo nacional é de 670,00. (B) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sul corresponde à mediana dos custos médios regionais por metro quadrado. Vamos calcular a mediana. O primeiro o é identificar se estamos tratando de um rol ou de uma distribuição de frequências. Temos os seguintes valores: 700, 660, 670, 640, 630. Isso são dados brutos. Vamos organizá-los em ordem crescente, transformando-os num rol? Assim, temos: 630, 640, 660, 670, 700 – Rol dos custos médios regionais. O rol possui número ímpar de elementos (5). A posição central é (5 + 1)/2 = 3a. Assim, a mediana é 660, ou seja, o custo da região Sul. Assim, a alternativa está correta. (C) Mais de 65% do custo médio nacional do metro quadrado é relativo às despesas com materiais de construção. Temos aqui uma relação de porcentagem. O custo relativo ao material de construção é de 400 por metro quadrado, dentro de um custo médio nacional de 670. Para sabermos o percentual, basta dividir: 400/670 = 0,597 = 59,7%. Ou seja, a alternativa está errada. (D) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sudeste é 10% superior ao custo relativo à região Nordeste.
O custo no Sudeste é de 700, já o custo no Nordeste é de 630. Dividindo um pelo outro: 700/630 = 1,11 = 11% Ou seja, a alternativa está errada. Resposta: Letra B.
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Questão 2 – FCC/MPE-RS/Assessor/2008
Considere o histograma abaixo que apresenta a distribuição dos salários dos empregados em uma empresa no mês de dezembro de 2007:
O valor da mediana dos salários dos empregados, considerando os intervalos de classe do histograma abertos à esquerda e fechados à direita e utilizando o método da interpolação linear, é igual a (A) R$ 5.125,00. (B) R$ 4.125,00. (C) R$ 5.075,00. (D) R$ 4.750,00. (E) R$ 3.750,00.
Nessa questão, vamos utilizar nossos conhecimentos de cálculo da mediana de uma distribuição de frequências. O enunciado diz que os intervalos são abertos à esquerda e fechados à direita. Primeiramente, devemos transformar o gráfico na tabela de distribuição de frequências que conhecemos. Muita gente acha desnecessário, pensa que é mais rápido pular essa etapa e trabalhar diretamente com o gráfico. Eu acho que é melhor fazer a tabela, para não confundir. Além disso, é muito rápido! O enunciado já diz que no eixo horizontal estão os salários, e na vertical temos as frequências. Então, basta colocar na tabela: Salários (R$1000)
Frequência
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1 -----| 2 2 -----| 3 3 -----| 4 4 -----| 5 5 -----| 6 TOTAL
100 200 300 400 300 1300
Primeiramente, vamos calcular a classe central, correspondente ao que chamamos de fração da mediana (n/2). n/2 = 1300/2 = 650 O elemento 650 da distribuição de frequências está incluído na 4a classe, conforme podemos ver abaixo: Salários (R$1000)
Frequência
1 -----| 2 2 -----| 3 3 -----| 4 4 -----| 5 5 -----| 6 TOTAL
100 200 300 400 300 1300
fac (Frequência acumulada crescente) 100 300 600 1000 1300
O elemento 650 se encontra nesta classe
Ou seja, a quarta classe é a classe correspondente à fração da mediana, e é nela que faremos os cálculos: R$ 1000 (Diferença entre 5000 e 4000) ------------ 400 x -------------------------------------------------------------- 50 (650 – 600) 400x = 50000 x = 125 Reparem que o valor encontrado se refere à dentro da classe. Ou seja, se a classe 4 -----| 5 vai de 4.000 até 5.000 e possui 400 elementos, o elemento 150 da classe ganha recebe 4000 + 125 = 4125 reais. Assim, a mediana da distribuição de frequências é de 4125 reais. Resposta: Letra B.
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Questão 3 – CESPE/INSS/Analista do Seguro Social/2008
De acordo com dados do IBGE, em 2007, 6,4% da população brasileira tinha 65 anos de idade ou mais e, em 2050, essa parcela, que constitui o grupo de idosos, corresponderá a 18,8% da população. Com base nessas informações e nas apresentadas na tabela acima, julgue os itens seguintes.
Considere-se que os anos de idade estejam distribuídos de forma eqüiprovável na faixa de 15 a 18 anos. Nessa situação, a média e a mediana das idades nessa faixa serão ambas iguais a 16,5 anos. (A) Certo (B) Errado Essa questão parece difícil, mas é muito fácil. Tanto que para resolvê-la nem faremos contas. O enunciado diz assim: “Considere-se que os anos de idade estejam distribuídos de forma eqüiprovável na faixa de 15 a 18 anos.” O que isso significa? Ele quer dizer que, na faixa dos 15 até os 18 anos, a população é distribuída uniformemente. Ou seja, que se existem 10000 pessoas com 15 anos e um mês, também existem 10000 pessoas com 15 anos e 2 meses, e assim por diante. Se a frase dissesse assim: “Considere-se que os salários da empresa
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empresa estejam distribuídos de forma equiprovável entre o segurança e o presidente”, significaria que todos os salários seriam iguais. Entendido? Se os anos de idade estão distribuídos de forma equiprovável entre os três anos, isso quer dizer que o ano médio é exatamente o do meio, vocês não acham? Além disso, como a mediana procura a posição mais central, temos que a mediana é igual à média. Assim, a média entre 15 e 18 anos é de (18 -15)/2 = 16,5. A mediana possui o mesmo valor. Resposta: Certo.
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Questão 4 – FCC/TRT 4a Região/Analista Judiciário/2010
Um levantamento realizado em um setor de um órgão público, durante 250 dias úteis, forneceu a distribuição dos números de processos analisados apresentada no gráfico abaixo. No eixo horizontal constam as quantidades detectadas de processos e as colunas representam as respectivas quantidades de dias. Com relação a este levantamento, a média aritmética (número de processos por dia), a mediana e a moda são iguais, respectivamente, a (A) 3,48; 3,50 e 4,00. (B) 3,48; 4,00 e 4,00. (C) 4,35; 3,50 e 3,50. (D) 4,35; 3,50 e 4,00. (E) 4,00; 4,00 e 4,00.
Esse é um tipo clássico de questão, que pede as medidas de posição com base num gráfico (que pode ser transformado numa tabela de dados tabulados ou numa distribuição de frequências). Percebam que não estamos falando de
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uma distribuição de frequências, e sim de dados tabulados (aqui vamos resolver a questão da mediana com dados tabulados que citei anteriormente). Primeiramente, vamos fazer a transformação do gráfico na tabela. Vocês podem estar se perguntando qual dos eixos representa a frequência. Um macete é pensar que a frequência não segue uma ordem numérica, ao contrário dos intervalos das classes. Ou seja, enquanto o número de processos vai de 1 a 6, a frequência é “solta” (20, 30, 70, 80... etc). Assim, o histograma assume a seguinte forma: Número de Processos 1 2 3 4 5 6 TOTAL
Quantidade de dias 20 30 70 80 40 10 250
Primeiramente, vamos calcular a média. A equação já sabemos (equação da média para dados tabulados):
Então, precisamos calcular o termo fi.xi, para cada classe: Número de Processos (xi) 1 2 3 4 5 6 TOTAL
Quantidade de dias (fi) 20 30 70 80 40 10 N = 250
fi.xi
20 60 210 320 200 60 870
Assim, temos que:
Média = 870/250 = 3,48 processos por dia.
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A moda é aquela mais facinha de todos os tipos de organização de dados, lembram? Basta ver em que número de processos está a maior frequência. Vejam só: Número de Processos 1 2 3 4 5 6 TOTAL
Quantidade de dias 20 30 70 80 40 10 250
Ou seja, para esses dados, a moda é que hajam 4 processos por dia. Agora vamos resolver a mediana. Eu disse lá em cima que a maneira de resolver é semelhante ao rol. E é mesmo. Então, começaremos encontrando a posição central. Já que n é par (250), utilizaremos a equação Posição Central = n/2. Assim, a posição central está no item 125. A sua vizinha posterior é a 126. Ambas se encontram no número de processos igual a 4 por dia, vejam só: Número de Processos 1 2 3 4 5 6 TOTAL
Quantidade de dias 20 30 70 80 40 10 250
Fac 20 50 120 200 240 250
N esta classe se encontram os elem entos 125 e 126 dos dados!
A equação da mediana que usaríamos agora seria Md = (Elemento Posição Central 1 + Elemento Posição Central 2)/2. Mas nem é necessário fazer, certo? Como ambas as posições estão na quarta linha (correspondente a 4 processos por dia), (4 + 4)/2 = 4. Ou seja, a mediana é igual a 4. Resposta: Letra B.
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Questão 5 – FCC/SEFIN-RO/Auditor-Fiscal/2010 Em uma cidade é realizado um levantamento referente aos valores recolhidos de determinado tributo estadual no período de um mês. Analisando os documentos de arrecadação, detectou-se 6 níveis de valores conforme consta no eixo horizontal do gráfico abaixo, em que as colunas representam as quantidades de recolhimentos correspondentes.
Com relação às medidas de posição deste levantamento tem-se que o valor da (A) média aritmética é igual a metade da soma da mediana e a moda. (B) média aritmética é igual ao valor da mediana. (C) média aritmética supera o valor da moda em R$ 125,00. (D) moda supera o valor da mediana em R$ 500,00. (E) mediana supera o valor da média aritmética em R$ 25,00.
Mais uma vez, temos um gráfico que representa dados tabulados, e pede que calculemos média, moda, mediana... Vocês estão vendo como esse tipo de questão é recorrente em concursos? Vamos montar a famosa tabelinha para fazer os cálculos? Valores 500 1000 1500 2000 2500 3000 TOTAL
Quantidade de recolhimentos 30 50 60 30 20 10 N = 200
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Para calcular a média, utilizamos a já vista equação:
Calculando fi.xi, temos: Pecisamos calcular o termo fi.xi, para cada classe: Valores 500 1000 1500 2000 2500 3000 TOTAL
Quantidade de recolhimentos 30 50 60 30 20 10 N = 200
xi.fi 15000 50000 90000 60000 50000 30000 295000
A média é igual a 295000/200 = 1475. A moda já sabemos que é fácil, não é? O valor com maior quantidade de recolhimentos é o de 1500. Logo, essa é a moda. Para calcular a mediana, fazemos como para o rol. Temos número par de itens, ou seja, a posição central é n/2 = 200/2 = 100. A posição central 2 se encontra na quantidade seguinte, ou seja, 101. Vamos ver em que valor as posições se encontram. Valores 500 1000 1500 2000 2500 3000 TOTAL
Quantidade de recolhimentos 30 50 60 30 20 10 N = 200
Fac 30 80 140 170 190 200
A s posições centrais se encontram aqui, e o valor correspondente às duas é 1500.
Já sabemos que quando o valor é igual, a Mediana sai diretamente, certo? Ou seja, a Mediana aqui é de 1500. Vamos analisar as alternativas? (A) média aritmética é igual a metade da soma da mediana e a moda. A soma da mediana e da moda da 1500 + 1500 = 3000. Metade disso é 3000/2 = 1500. A média já vimos que vale 1475. Alternativa falsa.
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(B) média aritmética é igual ao valor da mediana. A média vale 1475, a mediana vale 1500. Falso. (C) média aritmética supera o valor da moda em R$ 125,00. A média vale 1475. A moda vale 1500. A moda é que supera a média, em 25. Falso. (D) moda supera o valor da mediana em R$ 500,00. A moda e a mediana são iguais, 1500. Alternativa falsa. (E) mediana supera o valor da média aritmética em R$ 25,00. Correto! A mediana vale 1500 e a média vale 1475. Resposta: Letra E.
Questão 6 – ESAF/RFB/AFRFB/2009
Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta:
29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28. (A) A média e a mediana das idades são iguais a 27. (B) A moda e a média das idades são iguais a 27. (C) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. (D) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074. (E) A moda e a mediana das idades são iguais a 27. Essa questão mistura os conhecimentos de medidas de posição e medidas de dispersão (no caso, o desvio padrão). É uma amostra e está em forma de dados brutos, pois os valores não estão em ordem (nem crescente nem decrescente). Vamos transformar num rol, colocando os dados em ordem?
29
23, 23, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 26, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 28, 28, 28, 28, 29, 29, 29, 30, 31, 32, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 41. Pronto. Agora os dados estão em ordem. Para calcular a média, devemos somar os valores e dividir pelo número de itens da amostra. Temos: = 1052 n = 37. A média é 1052/37 = 28,43. A moda é o valor que mais aparece, ou seja, 27. E a mediana do rol. Temos uma quantidade impar de valores. Ou seja, para calcular, fazemos (n + 1)/2 = (37 + 1)/2 = 38/2 = 19. O elemento correspondente a essa posição central é o número 27. Ou seja, a mediana é igual a 27. Só com isso já conseguimos achar a resposta (letra E), sem nem calcular o desvio padrão. Mas estamos aqui para aprender, certo? Vamos calculá-lo, então? Já adianto que vai dar um super-trabalho, essa questão foi feita para que não se calcule o desvio, pois são muitos valores. Primeiramente, o enunciado fala de amostra. Como é um rol, poderíamos usar a equação para o rol, não é mesmo? Mas percebam que são muitos valores repetidos. Para facilitar o nosso cálculo, o melhor é transformar o rol em uma tabela de dados tabulados. A equação do desvio padrão para amostra de dados tabulados é a seguinte:
S=
]
Então, devemos transformar o rol em dados tabulados e encontrar todos os termos pedidos na equação. Veja abaixo: Número Quantidade (xi) de vezes que aparece no rol = Frequência = fi
xi2
fi.xi
fi.xi2
23
2
529
46
1058
24
3
576
72
1728
30
25
4
625
100
2500
26
5
676
130
3380
27
6
729
162
4374
28
4
784
112
3136
29
3
841
87
2523
30
1
900
30
900
31
1
961
31
961
32
2
1024
64
2048
33
1
1089
33
1089
34
1
1156
34
1156
35
1
1225
35
1225
36
1
1296
36
1296
39
1
1521
39
1521
41
1
1681
41
1681
TOTAL
37
15613
1052
30576
Colocando os valores acima na equação de dados tabulados, temos:
S=
]
S=
S=
S= S=
= 4,30
31
Logo, o desvio padrão é de 4,30. Resposta: Letra E.
Questão 7 – ESAF/RFB/AFRFB/2009 A tabela mostra a distribuição de freqüências relativas populacionais (f’) de uma variável X: X –2 1 2
f' 6a 1a 3a
Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são, respectivamente: (A) μ x = − 0,5 e σ x2 = 3,45 (B) μ x = 0,5 e σ x2 = − 3,45 (C) μ x = 0 e σ x2 = 1 (D) μ x = − 0,5 e σ x2 = 3,7 (E) μ x = 0,5 e σ x2 = 3,7
Mais uma questão que mistura medidas de posição e de dispersão. Mas, agora, temos a variância. A questão fala em frequência relativa. Se você estivesse na prova, saberia o que é isso? Não. Eu também não costumo ver em lugar nenhum. Nessas horas, pessoal, entra a malandragem do concurseiro. Ele tem que perceber que, mesmo sem saber da onde o examinador tirou isso, ele tem conhecimentos para resolver a questão e deve pelo menos tentar resolver com o que sabe, sem se desesperar. Em 90% dos casos, ele conseguirá resolver a questão. Vamos lá? Estamos falando de dados tabulados de uma população, logo a equação é:
Número (xi)
fi
xi2
fi.xi
fi.xi2
-2
6a
4
-12a
24a
1
1a
1
1a
1a
2
3a
4
6a
12a
32
TOTAL
n = 10a
-5a
37a
A média é encontrada pela equação: µ = -5a/10a = -0,5 A variância é o quadrado do desvio padrão, ou seja:
σ= σ2 = (37a – (-5a)2/10a)/10a = (37a – 2,5a)/10a = 34,5a/10a = 3,45 Dessa forma, a resposta é a letra A. Resposta: Letra A.
Questão 8 – CESPE/MEC/Agente istrativo/2009 Os dados abaixo correspondem merendas escolares demandadas
às quantidades diárias de em 10 diferentes escolas:
200, 250, 300, 250, 250, 200, 150, 200, 150, 200. Com base nessas informações, julgue os próximos itens. O desvio padrão amostral dos números diários de merendas escolares é superior a 50. (A) Certo (B) Errado
Nessa questão temos dados brutos. Precisamos encontrar o desvio padrão. Podemos organizá-los em forma de rol ou de dados tabulados. Eu farei dados tabulados porque será mais fácil calcular o desvio, afinal temos números que se repetem. Vamos lá? Número (xi)
fi
xi2
fi.xi
fi.xi2
150
2
22500
300
45000
200
4
40000
800
160000
33
250
3
62500
750
187500
300
1
90000
300
90000
TOTAL
n = 10
2150
482500
O enunciado diz que se trata de uma amostra. A equação do desvio padrão para amostra é:
S=
]
Assim, temos: S= S=
S=
S=
=
Você chega nesse ponto na hora da prova. Como extrair a raiz desse valor. Se fizermos na calculadora, chegamos a 47,43. Ocorre que você não terá calculadora na hora da prova, não é mesmo? Vou ensinar, então, um método prático e rápido (na faculdade, chamávamos métodos como estes de “Métodos Ninja” rs) para você extrair a raiz de qualquer número, mesmo sem calculadora. Por exemplo, temos o número acima: quanto é
?
O 1: achar um quadrado perfeito próximo. Primeiramente, temos que ter em mente que é melhor trabalhar com números pequenos. Então, vamos escrever , afinal são a mesma coisa, certo? Então focaremos em 25 = 52.
. Qual o quadrado perfeito mais próximo? Resposta:
O 2: vamos trabalhar com: 22,5 = a raiz que eu quero;
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25 = quadrado perfeito mais próximo; 5 = raiz mais próxima. O 3: fazer uma divisão: NO NUMERADOR: A RAIZ QUE EU QUERO X QUADRADO PERFEITO MAIS PRÓXIMO NO DENOMINADOR: 2 (SEMPRE) X A RAIZ MAIS PRÓXIMA
Assim: 22,5 + 25 = 47,5 = 4,75 2x5 10 Assim, temos que . é aproximadamente 4,75. Pela calculadora, encontramos 4,743. Ou seja, é uma boa aproximação, não acham? Nosso
objetivo
é
encontrar , ou seja,
o
valor
de = 47,5.
.
Sabemos
que
Assim, a afirmação do enunciado está errada, pois o desvio padrão da amostra é de 47,5, ou seja, menor que 50.
Resposta: Errado.
Questão 9 – ESAF/ENAP/Estatístico/2006 Considere os seguintes conjuntos de observações referentes a cinco diferentes variáveis: A {1; 1; 1; 1; 1; 50}, B {1, 1, 1, 1; 50; 50}, C {1, 1, 1, 50, 50, 50}, D {1, 1, 50, 50, 50, 50}, E {1, 50, 50, 50, 50, 50}. O conjunto de observações que apresenta a maior variabilidade, medida pelo desvio-padrão, é o referente à variável (A) A. (B) B. (C) E. (D) D. (E) C. Nessa questão não precisamos nem fazer contas. Basta utilizar o conhecimento teórico que temos sobre o desvio padrão.
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Já sabemos que o desvio padrão é uma medida de dispersão que mede a heterogeneidade de um conjunto de dados em relação à média. E o que faz o desvio padrão ser alto? Ora, o fato de o conjunto possuir vários elementos diferentes! Conjuntos com elementos semelhantes possuem desvio padrão baixo... Dentre os conjuntos, qual possui o maior número de itens diferentes? O conjunto C, certo? Pois ele é a resposta... Apenas um comentário em relação à pegadinha da ESAF, realmente é uma banca muito da safada! Porque diabos colocar o conjunto C na alternativa E e vice-versa??? Tenho certeza que muita gente marcou a alternativa C por engano... Resposta: Letra E
Questão 10 – ESAF/IRB/Analista/2006 O grau ao qual os dados numéricos tendem a dispersar-se em torno de um valor médio chama-se (A) média. (B) variação ou dispersão dos dados. (C) mediana. (D) correlação ou dispersão. (E) moda.
Mais uma questão teórica da nossa querida ESAF... ela adora! O enunciado fala em “dispersar-se”... ou seja, estamos falando de medidas de dispersão. De cara, podemos eliminar as alternativas A, C e E, que falam sobre medidas de posição. A alternativa D fala em correlação. Correlação é a relação de interdependência existente entre duas variáveis. Por exemplo, se eu digo: “O número de acidentes nas estradas aumenta conforme diminui o preço da bebida”. Nesse exemplo, há uma correlação existente entre “número de acidentes” e “preço da bebida”. Assim, a correlação não tem a ver com dispersão. A letra B é a que indica o que estudamos: dispersão de dados, variância... enfim, a dispersão é maior quanto maior for a variação dos dados. Resposta: Letra B
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Questão 11 – FGV/SEFAZ-RJ/Fiscal de Rendas/2008 Uma companhia utiliza um sistema de avaliação de desempenho de seus funcionários por meio de dois indicadores de performance: Qualidade das tarefas e a Tempestividade com que as tarefas são realizadas. Os funcionários receberam, na última avaliação, as medidas indicadas na tabela a seguir:
Com base na tabela, é correto afirmar que: (A) a média aritmética não é uma boa medida para representar a performance dos funcionários em face do elevado nível de dispersão das avaliações. (B) as avaliações da Qualidade foram mais dispersas do que as avaliações da Tempestividade. (C) as avaliações da Qualidade foram mais homogêneas do que as da Tempestividade. (D) os funcionários demoram mais para realizar as tarefas, mas a qualidade das tarefas é melhor. (E) nada se pode afirmar sem o conhecimento do tamanho da amostra. Mais uma questão teórica, dessa vez da famigerada FGV... A questão fornece três dados sobre duas pesquisas: a média, o desvio padrão e o coeficiente de variação de cada uma delas. A primeira coisa que temos que ter em mente é que a média e o desvio padrão são medidas absolutas, ou seja, possuem unidade. Isso quer dizer que mesmo que o desvio padrão da qualidade seja de “10” e da tempestividade seja de “6”, isso não quer dizer que a qualidade possua maior dispersão do que a
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tempestividade. Isso porque o desvio padrão é uma medida absoluta. É como se dissessemos: “A casa fica a 20km daqui”. Daria para dizer se a casa é longe ou é perto? Não. Longe ou perto em relação a quê? 20km é um dado absoluto. Eu, por exemplo, moro em São Paulo hoje em dia, a aproximadamente 20km do meu trabalho. Para São Paulo, isso é perto. Mas, quando eu digo para o meu pai que dirijo todos os dias 20km para ir ao trabalho, ele acha um absurdo de longe, pois em Blumenau (minha cidade natal, onde meu pai mora) 20km é muito longe!!! Portanto, para avaliar essas pesquisas, é necessária uma medida de dispersão que não seja absoluta, e sim relativa... Opsss... sim! O coeficiente de variação é também chamado de dispersão relativa, lembram? Ele não possui unidade. Ou seja, seu valor pode ser comparado com outros valores... Por isso, o coeficiente de variação é a unidade ideal para resolvermos a questão. Vamos ficar de olho nele e reparar as alternativas? (A) a média aritmética não é uma boa medida para representar a performance dos funcionários em face do elevado nível de dispersão das avaliações. Falso. Não posso dizer que há um elevado nível de dispersão nas avaliações. Elevado em relação a quê? (B) as avaliações da Qualidade foram mais dispersas do que as avaliações da Tempestividade. Falso. Já sabemos que devemos atentar para o coeficiente de variação, que é medida ensional, ou seja, não depende de unidades e é relativa. E o que o coeficiente de variação diz: que a dispersão relativa da Tempestividade é maior. (C) as avaliações da Qualidade foram mais homogêneas do que as da Tempestividade. Verdadeiro. O coeficiente de variação das avaliações da Qualidade foi menor, ou seja, há menor variabilidade relativa. Ou seja, tais avaliações são mais homogêneas, realmente. (D) os funcionários demoram mais para realizar as tarefas, mas a qualidade das tarefas é melhor. Falso. Desde quando tempestividade tem a ver com tempo? (E) nada se pode afirmar sem o conhecimento do tamanho da amostra.
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Falso. Podemos afirmar algumas coisas analisando o coeficiente de variação, que é medida ensional! Resposta: Letra C
Pessoal, essa foi a nossa terceira aula. Nos vemos no fórum! Até a próxima! Karine
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3. Memorex PM = Limite inferior + Limite Superior 2 Freqüência Simples
Acumulada
Absoluta (f) Freqüência relativa simples:
Relativa (F) Freqüência relativa simples:
Símbolo: fi
Símbolo: Fi
Indica o número de elementos em cada classe.
Indica o percentual de elementos da classe, em relação ao total.
Freqüência absoluta acumulada (temos dois tipos):
Freqüência relativa acumulada (temos dois tipos):
Crescente: fac
Crescente: Frc
Indica o número de Indica o percentual de elementos somados até elementos somados até determinada classe, determinada classe, começando da primeira começando da primeira classe. Ou seja, se classe. Ou seja, se queremos saber a fac da queremos saber a Frc da terceira classe, devemos terceira classe, devemos fazer f1 + f2 + f3 fazer F1 + F2 + F3 Decrescente: fad
Decrescente: Frd
Indica o número de elementos somados até determinada classe, começando da última classe. Ou seja, se queremos saber a fac da antepenúltima classe, devemos fazer fn + fn-1 + fn-2
Indica o percentual de elementos somados até determinada classe, começando da última classe. Ou seja, se queremos saber a Frc da antepenúltima classe, devemos fazer Fn + Fn-1 + Fn-2
Média Rol
Dados Tabulados
Distribuição de Frequência
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Moda Rol
Item mais frequente
Dados Distribuição de Frequência Tabulado s Item mais Moda de Czuber: frequente
= diferença anterior = frequência da classe modal – frequência da classe anterior (se nao existir é 0) = diferença posterior = frequência da classe modal – frequência da classe posterior (se nao existir é 0) Moda de King:
fp = é a frequência da classe posterior à classe modal. fa = é a frequência da classe anterior à classe modal.
Mediana Rol n impar -> PC = (n + 1)/2 Md = elemento correspondente n par -> dois PCs PC1 = n/2 PC2 = a vizinha posterior Md = (Elemento PC1 + Elemento PC2)/2
Dados Tabulados Igual Rol
Distribuição de Frequências Md = lim inf + (n/2 – fac anterior).h fi 1) Aplicar para a classe correspondente à fração da mediana 2) É uma interpolação da ogiva para o elemento n/2
Desvio Padrão – Equações Simplificadas População Rol
σ=
Amostra
S=
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Dados Tabulados
Distribuição de Frequências
σ=
S=
σ=
S=
Desvio Padrão – Equações Desenvolvidas População
Amostra
Rol
S= σ= Dados Tabulados
σ=
]
] S=
]
] Distribuição de Frequências
σ=
]
S= ]
Se a questão nada disser, temos POPULAÇÃO, e usamos as equações para população (sem o “-1”)!!!
Variância = σ2 = S2
Coeficiente de Variação = CV =
Variação relativa = Vr = CV2 =
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4. Lista das questões comentadas Questão 1 – CESPE/CEHAP//2009 O custo médio nacional para a construção de habitação com padrão de acabamento normal, segundo levantamento realizado em novembro de 2008, foi de R$ 670,00 por metro quadrado, sendo R$ 400,00/m2 relativos às despesas com materiais de construção e R$ 270,00/m2 com mão-de-obra. Nessa mesma pesquisa, os custos médios regionais apontaram para os seguintes valores por metro quadrado: R$ 700,00 (Sudeste), R$ 660,00 (Sul), R$ 670,00 (Norte), R$ 640,00 (Centro-Oeste) e R$ 630,00 (Nordeste). Sistema Nacional de Pesquisa de Custos e Índices da Construção Civil. SINAPI/IBGE, nov./2008 (com adaptações). Com base nas informações apresentadas no texto, assinale a opção correta. (A) A média aritmética dos custos médios regionais por metro quadrado é igual ao custo médio nacional do metro quadrado. (B) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sul corresponde à mediana dos custos médios regionais por metro quadrado. (C) Mais de 65% do custo médio nacional do metro quadrado é relativo às despesas com materiais de construção. (D) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sudeste é 10% superior ao custo relativo à região Nordeste. Questão 2 – FCC/MPE-RS/Assessor/2008
Considere o histograma abaixo que apresenta a distribuição dos salários dos empregados em uma empresa no mês de dezembro de 2007:
O valor da mediana dos salários dos empregados, considerando os
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intervalos de classe do histograma abertos à esquerda e fechados à direita e utilizando o método da interpolação linear, é igual a (A) R$ 5.125,00. (B) R$ 4.125,00. (C) R$ 5.075,00. (D) R$ 4.750,00. (E) R$ 3.750,00.
Questão 3 – CESPE/INSS/Analista do Seguro Social/2008
De acordo com dados do IBGE, em 2007, 6,4% da população brasileira tinha 65 anos de idade ou mais e, em 2050, essa parcela, que constitui o grupo de idosos, corresponderá a 18,8% da população. Com base nessas informações e nas apresentadas na tabela acima, julgue os itens seguintes.
Considere-se que os anos de idade estejam distribuídos de forma eqüiprovável na faixa de 15 a 18 anos. Nessa situação, a média e a mediana das idades nessa faixa serão ambas iguais a 16,5 anos. (A) Certo (B) Errado
Questão 4 – FCC/TRT 4a Região/Analista Judiciário/2010
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Um levantamento realizado em um setor de um órgão público, durante 250 dias úteis, forneceu a distribuição dos números de processos analisados apresentada no gráfico abaixo. No eixo horizontal constam as quantidades detectadas de processos e as colunas representam as respectivas quantidades de dias. Com relação a este levantamento, a média aritmética (número de processos por dia), a mediana e a moda são iguais, respectivamente, a (A) 3,48; 3,50 e 4,00. (B) 3,48; 4,00 e 4,00. (C) 4,35; 3,50 e 3,50. (D) 4,35; 3,50 e 4,00. (E) 4,00; 4,00 e 4,00.
Questão 5 – FCC/SEFIN-RO/Auditor-Fiscal/2010 Em uma cidade é realizado um levantamento referente aos valores recolhidos de determinado tributo estadual no período de um mês. Analisando os documentos de arrecadação, detectou-se 6 níveis de valores conforme consta no eixo horizontal do gráfico abaixo, em que as colunas representam as quantidades de recolhimentos correspondentes.
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Com relação às medidas de posição deste levantamento tem-se que o valor da (A) média aritmética é igual a metade da soma da mediana e a moda. (B) média aritmética é igual ao valor da mediana. (C) média aritmética supera o valor da moda em R$ 125,00. (D) moda supera o valor da mediana em R$ 500,00. (E) mediana supera o valor da média aritmética em R$ 25,00.
Questão 6 – ESAF/RFB/AFRFB/2009
Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta:
29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28. (A) A média e a mediana das idades são iguais a 27. (B) A moda e a média das idades são iguais a 27. (C) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. (D) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074. (E) A moda e a mediana das idades são iguais a 27.
Questão 7 – ESAF/RFB/AFRFB/2009 A tabela mostra a distribuição de freqüências relativas populacionais (f’) de uma variável X: X
f'
46
–2 1 2
6a 1a 3a
Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são, respectivamente: (A) μ x = − 0,5 e σ x2 = 3,45 (B) μ x = 0,5 e σ x2 = − 3,45 (C) μ x = 0 e σ x2 = 1 (D) μ x = − 0,5 e σ x2 = 3,7 (E) μ x = 0,5 e σ x2 = 3,7
Questão 8 – CESPE/MEC/Agente istrativo/2009 Os
dados
merendas
abaixo escolares
correspondem
às
demandadas
em
quantidades 10
diárias
diferentes
de
escolas:
200, 250, 300, 250, 250, 200, 150, 200, 150, 200.
Com base nessas informações, julgue os próximos itens. O desvio padrão amostral dos números diários de merendas escolares é superior a 50. (A) Certo (B) Errado
Questão 9 – ESAF/ENAP/Estatístico/2006 Considere os seguintes conjuntos de observações referentes a cinco diferentes variáveis: A {1; 1; 1; 1; 1; 50}, B {1, 1, 1, 1; 50; 50}, C {1, 1, 1, 50, 50, 50}, D {1, 1, 50, 50, 50, 50}, E {1, 50, 50, 50, 50, 50}. O conjunto de observações que apresenta a maior variabilidade, medida pelo desvio-padrão, é o referente à variável (A) A. (B) B. (C) E.
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(D) D. (E) C. Questão 10 – ESAF/IRB/Analista/2006 O grau ao qual os dados numéricos tendem a dispersar-se em torno de um valor médio chama-se (A) média. (B) variação ou dispersão dos dados. (C) mediana. (D) correlação ou dispersão. (E) moda.
Questão 11 – FGV/SEFAZ-RJ/Fiscal de Rendas/2008 Uma companhia utiliza um sistema de avaliação de desempenho de seus funcionários por meio de dois indicadores de performance: Qualidade das tarefas e a Tempestividade com que as tarefas são realizadas. Os funcionários receberam, na última avaliação, as medidas indicadas na tabela a seguir:
Com base na tabela, é correto afirmar que: (A) a média aritmética não é uma boa medida para representar a performance dos funcionários em face do elevado nível de dispersão das avaliações. (B) as avaliações da Qualidade foram mais dispersas do que as avaliações da Tempestividade. (C) as avaliações da Qualidade foram mais homogêneas do que as da Tempestividade.
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(D) os funcionários demoram mais para realizar as tarefas, mas a qualidade das tarefas é melhor. (E) nada se pode afirmar sem o conhecimento do tamanho da amostra.
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5. Gabarito 1–B 2–B 3 – Certo 4–B
5-E 6-E 7-A 8 - Errrado
9–E 10 - B 11 - C
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1. Aula 3: Tópicos Iniciais de Estatística. . ......................................................... 2 1.1 Conceitos Iniciais . ..................................................................................... 2 1.2 Medidas de Posição . ................................................................................ 4 1.2.1 Média . ................................................................................................ 4 1.2.2 Moda . ................................................................................................. 5 1.2.3 Mediana . ............................................................................................ 7 1.3 Medidas de Dispersão . ........................................................................... 10 1.3.1 Desvio Padrão . ................................................................................. 10 1.3.2 Variância . ......................................................................................... 14 1.3.3 Coeficiente de Variação . .................................................................. 16 1.3.4 Variação relativa. .............................................................................. 16 2. Exercícios de fixação comentados . ............................................................. 18 3. Memorex . . ................................................................................................... 40 4. Lista das questões comentadas . . ................................................................ 43 5. Gabarito. . ..................................................................................................... 50
1. Aula 3: Tópicos Iniciais de Estatística. Olá, concurseiros! Hoje daremos prosseguimento ao nosso estudo de Raciocínio Lógico, especificamente adentrando na disciplina de Estatística. Começaremos falando um pouco sobre o objeto de estudo da Estatística, e dando conceitos iniciais que são essenciais para o aprendizado da matéria. Vamos lá? 1.1 Conceitos Iniciais Pessoal, Estatística nada mais é do que uma maneira de transformar dados em informações. Se eu digo assim: “Tenho 3 primos com 10 anos e 3 primos com 20 anos”. A Estatística é capaz de me dizer que a média de idade é de 15 anos. Entendem? Algo muito importante em Estatística, antes de qualquer coisa, é saber identificar a maneira como o examinador dispôs os dados. Ele pode ter colocado na forma de dados brutos. Por exemplo: 10, 20, 20, 10, 20, 10. Essas são as idades dos primos acima, só que sem qualquer tabulação. É como se eu tivesse vendo os tais primos, enfileirados de qualquer forma, e anotando numa prancheta. Se eu quiser arrumar um pouco mais os dados, colocando-os em ordem crescente ou decrescente, terei um rol: 10, 10, 10, 20, 20, 20. Ou então posso organizá-los numa tabela. Então terei dados tabulados: Idade (anos) 10 20
Número de primos 3 3
2
Ou então, posso fazer uma distribuição de freqüências. Na distribuição de freqüências, os dados estão em intervalos, como abaixo: Faixa etária (anos) 10 |----- 20 20 |----- 30
Número de primos 3 3
Na distribuição de freqüências, eu não posso afirmar que o meu primo tem exatamente 10 ou 20 anos. Os dados estão dispostos em classes: a primeira classe vai da idade de 10 anos até quase 20 anos. O símbolo do meio, |-----, significa intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. “Fechado à esquerda” indica que inclui o limite inferior, ou seja, os 10 anos. Já a segunda classe, que também é fechada à esquerda, vai de 20 a 30 anos. Uma definição muito importante em uma distribuição de frequências é o Ponto Médio da classe (PM). Ele é calculado da seguinte forma: PM = Limite inferior + Limite Superior 2 No nosso caso, o PM = 10 + 20 = 15. 2 Mais adiante iremos ver a aplicação prática do PM, não se preocupem, ok? Outra definição importante que devemos entender é a dos tipos de frequências. Para que a gente aprenda sobre elas apenas o que é realmente necessário, ou seja, que nos ajudará a resolver as questões, esquematizei todas na tabela abaixo. Primeiramente, vocês devem entender os conceitos de: • • • •
Frequência Absoluta: é a freqüência em número de elementos; Frequência Relativa: é a freqüência em percentual de elementos; Frequência Simples: é a frequência daquela classe especificamente; Frequência Acumulada: são as frequências simples somadas até determinada classe.
Freqüência Simples
Acumulada
Absoluta (f) Freqüência relativa simples:
Relativa (F) Freqüência relativa simples:
Símbolo: fi
Símbolo: Fi
Indica o número de elementos em cada classe.
Indica o percentual de elementos da classe, em relação ao total.
Freqüência absoluta acumulada (temos dois
Freqüência relativa acumulada (temos dois 3
tipos):
tipos):
Crescente: fac
Crescente: Frc
Indica o número de Indica o percentual de elementos somados até elementos somados até determinada classe, determinada classe, começando da primeira começando da primeira classe. Ou seja, se classe. Ou seja, se queremos saber a fac da queremos saber a Frc da terceira classe, devemos terceira classe, devemos fazer f1 + f2 + f3 fazer F1 + F2 + F3 Decrescente: fad
Decrescente: Frd
Indica o número de elementos somados até determinada classe, começando da última classe. Ou seja, se queremos saber a fac da antepenúltima classe, devemos fazer fn + fn-1 + fn-2
Indica o percentual de elementos somados até determinada classe, começando da última classe. Ou seja, se queremos saber a Frc da antepenúltima classe, devemos fazer Fn + Fn-1 + Fn-2
Agora vamos entrar no estudo das medidas estatísticas propriamente ditas. 1.2 Medidas de Posição
1.2.1 Média A média é a medida de posição mais usada. Quem nunca precisou calcular as médias das notas para ar de ano no colégio ou na faculdade??? Rs Existe uma equação de média para dados em forma de rol, para dados em forma tabulada e para distribuição de frequências. Ih!!!!!!! Vocês devem estar pensando que deverão “decorar” três equações, não é? Eu digo... não! Uma equação é derivada da outra, então basta que vocês decorem para a distribuição de frequências... Para as outras, basta uma leve “adaptação” rs. Bem, vamos a elas? Temos, para o rol, a equação abaixo, lembrando que n é o número total de elementos do rol.
4
Não se assustem com o somatório. Ele indica que todos os elementos do rol serão somados, apenas isso. Adiante veremos a equação acima sendo aplicada... Já para os dados tabulados, temos:
Nesse caso, n é a soma de todas as freqüências. Aqui, teremos casa frequência multiplicada pelo dado o qual estamos lidando (na tabela que mostrei acima, seria a frequência multiplicada pela idade de cada primo). E para a distribuição de freqüências, temos:
Percebam que as três equações são bem parecidas! Para ar da equação para média do rol para a equação para média dos dados tabulados, basta acrescentar a freqüência absoluta simples. E para ar de equação dos dados tabulados para uma distribuição de freqüências, basta trocar o Xi pelo PMi, que é o nosso conhecido Ponto Médio da classe. Isso vai acontecer sempre, em todas as equações. Sempre que quisermos ar de equação do rol para dados tabulados e para distribuição de frequências faremos essas substituições, ou seja: ROL --> DADOS TABULADOS: acrescentar fi. DADOS TABULADOS --> DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS: trocar xi por PMi.1.2.2 Moda A moda, em grossas palavras, indica o item com maior quantidade de elementos em um rol, dado tabulado ou distribuição de freqüências. Por exemplo, no rol abaixo: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3 A moda é o 2, pois existem 4 elementos “2” no rol.
5
Para os dados tabulados, é mais fácil ainda, não precisa nem somar, basta ver na tabela. Por exemplo, abaixo temos o número de casas por cores em uma rua: Cor Azul Branco Rosa Bege
Número de primos 3 5 4 1
Nessa rua, a moda é a casa na cor branca, pois a maior parte dos elementos do conjunto de casas da rua são brancas. Para a distribuição de freqüências, a moda requer o conhecimento de uma equação, ou melhor, de duas equações... Isso porque a moda de uma distribuição de freqüências pode ser calculada de duas maneiras, cada um produzindo um resultado. Cada equação leva o nome do seu autor: Czuber e King. Ou seja, temos a Moda de Czuber (lê-se quizuba) e a Moda de King. Quando a questão só pede a moda, sem dizer qual tipo, entendemos que ela está falando da Moda de Czuber, ok?
Explicando o que significa cada : = diferença anterior = frequência da classe modal – frequência da classe anterior (se nao existir é 0) = diferença posterior = frequência da classe modal – frequência da classe posterior (se nao existir é 0) Pessoal, classe modal é a classe que contiver maior frequência, ok? A Moda de Czuber é também chamada de moda dos deltas. Temos também a Moda de King:
Explicando o que significa cada frequência: fp = é a frequência da classe posterior à classe modal.
6
fa = é a frequência da classe anterior à classe modal. A Moda de King é conhecida como moda das freqüências. 1.2.3 Mediana A mediana indica o elemento que ocupa a posição central do conjunto. Por exemplo, no rol abaixo, com 7 elementos: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3 A mediana desse rol é o “2”, pois esse elemento ocupa a posição central do rol. Vejam:
1
1
2
2
2
3
3
1º elemento
2º elemento
3º elemento
4º elemento = Elemento central = MEDIANA
5º elemento
6º elemento
7º elemento
Ok, para esse rol foi fácil achar a mediana, utilizando a sua plena definição, que é a de elemento central. Afinal é um rol de apenas 7 elementos. Inclusive, para o rol temos duas equações para o cálculo da mediana: uma para ser usada em caso de rol com n ímpar (como foi o caso do rol acima), e outra para ser usada em caso de rol com n par. Em caso de rol com n ímpar, temos: Posição central = n + 1 2 A mediana é o elemento correspondente à posição central encontrada. Por exemplo, no rol acima, temos: 7 + 1 = 8/2 = 4 --------------------> Mediana é o 4º elemento = 2 2 No caso de rol com n par, temos duas posições centrais a serem consideradas: Posição central 1 = n_ 2 Posição central 2 = a vizinha posterior. A mediana, neste caso, é:
7
Mediana = Elemento Posição Central 1 + Elemento Posição Central 2 2 Por exemplo, no seguinte rol, com 10 elementos: 342, 345, 354, 354, 356, 378, 400, 432, 444, 444 Posição central 1 = 10/2 = 5 -------------------> Elemento correspondente = 356 Posição central 2 = 6 -------------------> Elemento correspondente = 378 Mediana = 356 + 378 = 367 2 Pessoal, a moda dos dados tabulados é feita exatamente da mesma maneira do que do rol. Não vou detalhar muito aqui para não ser redundante, mas farei uma questão adiante em que mostro o cálculo para vocês. É bem simples, não se preocupem. Para o cálculo da mediana de uma distribuição de frequências, existe uma equação que pode ser decorada. Mas, na verdade, ela é fruto de um raciocício, que acho interessante que vocês saibam. Vejam só a distribuição de frequências abaixo:
Faixa etária (anos) 0 |----- 10 10 |----- 20 20 |----- 30 40 |----- 50 50 |----- 60 60 |----- 70
Número de parentes na família 4 3 4 5 3 1
Esse conjunto possui 20 elementos (n = 20). A mediana será o elemento correspondente à posição central, ou seja, n/2 = 20/ 2 = 10. Então, nosso foco será na classe em que se encontra o 10º elemento. Se vocês perceberem, a primeira classe vai até o 4º elemento, na segunda classe temos do 5º até o 7º elemento, na terceira classe temos do 8º elemento até o 11º elemento. Ou seja, o 10º elemento se encontra na terceira classe. Agora, então, vamos focar na terceira classe, para encontrar o valor da mediana. Para isso, faremos nada mais nada menos do que uma “Regra de Três”. Vejam:
8
A terceira classe vai de 20 a 30 anos. Chamamos o “20” de limite inferior da classe, e o “30” de limite superior. A diferença entre 20 e 30 anos é de 10 anos, e já sabemos que isso se chama a amplitude da classe (h). A classe inteira possui 4 elementos, e queremos saber qual o valor correspondente ao 3 elemento da classe (que é o 10º elemento da distribuição de frequências inteira). O raciocínio é o seguinte:
20 20
4 elementos ----------------------------------------------------------------------x -----3 elementos
30 30
O “X” corresponde à mediana. Ela está entre 20 e 30, e corresponde ao 3º elemento da classe, que possui, ao total 4 elementos, indo do 20 ao 30. Portanto, colocando em forma de regra de três, temos: 4 elementos ------------ que correspondem a 10 anos (30 – 20) o 3º elemento ---------- corresponde a X anos 4 ------------ 10 3 ------------ X 4X = 30 X = 7,5 Assim, o terceiro elemento corresponde à idade de 7,5 anos, dentro da classe. Para sabermos a mediana, precisamos somar com o limite inferior da classe, que é de 20 anos. Ou seja, a mediana desta distribuição de frequências é de 20 + 7,5 = 27,5 anos. Pelo desenho, temos:
20 20
4 elementos ----------------------------------------------------------------------27,5 -----Mediana 3 elementos
30 30
Essa regrinha de três que fizemos aqui, em estatística, tem nome especial. Ela se chama Interpolação da Ogiva. Não se preocupem em decorar esse verdadeiro palavrão rs. Para encontrar a mediana, fazemos uma interpolação da Ogiva para o elemento n/2. Vou ar a equação para o cálculo da mediana para vocês terem como consulta, mas peço que vocês não tentem decorá-la simplesmente, afinal ela é
9
resultado do raciocínio que tivemos acima. É mais interessante que vocês entendam como a mediana é calculada do que simplesmente decorem uma equação, porque na hora da prova vocês teram tanta coisa para decorar e saber que é de 90% a chance de esquecerem a equação... Md = limite inferior + (n/2 – fac anterior).h fi 1.3 Medidas de Dispersão Veremos agora as medidas de dispersão mais utilizadas. Mas, antes de tudo: por que “medidas de posição” e “medidas de dispersão”? Qual a diferença? As medidas de posição indicam valores que, de alguma forma, podem representar um conjunto de dados. Já vimos que a média representa o valor intermediário entre todos, a moda é o valor mais comum e a mediana é o item central. Já as medidas de dispersão indicam a heterogeneidade dos itens! Por exemplo, vamos ver 2 rol diferentes: ROL 1: 1, 1, 2, 3, 3 A média desse rol é 2, certo? Rol 2 1, 1, 2, 2, 4 A média desse rol também é 2. Mas vejam como os itens são mais heterogêneos. No primeiro rol, a média está bem “próxima” de todos os itens: com mais ou menos 1 (2 –1, ou 2 + 1), chegamos a qualquer valor do rol. Já no segundo rol, temos um valor que se distancia em 2 unidades da média... Os itens são bem mais “dispersos”... Com certeza, mesmo tendo médias iguais, as medidas de dispersão do segundo rol serão maiores... Ficou claro esse entendimento inicial? Então vamos ar para as medidas propriamente ditas... 1.3.1 Desvio Padrão O desvio padrão é também chamado de dispersão absoluta. Uma maneira legal de vocês enxergarem a importância do desvio padrão é através da curva normal. Ela foi criada por um cientista chamado Gauss, que estudou e viu que
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muitas classificações na natureza poderiam ser representadas por essa curva, por exemplo, a altura de um adulto. Vejam abaixo:
Na curva normal, que também é chamada de curva do sino (porque ela parece um sino), a média é igual à moda e à mediana (no desenho, é indicada pelo símbolo μ). Vamos supor que μ seja a média de altura de um adulto, e que essa média seja de 170cm, ou seja, 1,70m. O símbolo σ indica o desvio padrão. Nessa curva, o desvio indica o número de itens inseridos no “sino” de acordo com seu afastamento da média. Vejam só: na área compreendida entre μ - 1σ e μ + 1σ, podem ser encontrados 68,26% dos itens da distribuição. Supondo que σ seja igual a 5cm, temos que, em uma população, 68,26% os adultos possua altura entre 170 – 5 cm e 170 + 5 cm, ou seja, 1,65m e 1,75m. Se afastando um pouco mais da média, temos que, entre μ - 2σ e μ + 2σ, são encontrados 95,46% dos itens da distribuição. Ou seja, no nosso exemplo da altura das pessoas, temos que 95,46% dos adultos possuem altura entre 1,60m (170cm – 10cm) e 1,80m (170cm + 10cm). Indo adiante, a curva normal indica que, entre μ - 3σ e μ + 3σ, são encontrados 99,73% da população. Ou seja, apenas 0,27% dos itens da distribuição se encontram fora desse intervalo. No nosso exemplo, é como se 99,73% das dos adultos tivessem altura entre 1,55m e 1,85m. Vocês entenderam? Por favor, hein pessoal, se alguém é maior do que 1,85m ou menor do que 1,55m... não fiquem se achando “anormais” viu?? Rs... Foi só um exemplo que criei, e ainda por cima com dados absolutamente hipotéticos, sem qualquer embasamento científico... rs Bom, agora que vimos uma aplicação do desvio padrão, vamos aprender a calculá-lo. Dessa vez, não tem como fugir, ele é encontrado através de uma equação. Quer dizer... de uma não... de 12 equações!! Oh, não... 12 equações para decorar...
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Calma, pessoal!!! Da mesma forma como para média, temos uma equação para rol, outra para dados tabulados e outra para distribuição de freqüências. Além disso, temos equações diferentes para itens pertencentes a uma amostra e itens pertencentes a uma população. Mas todas as equações são “interligadas”: sabendo uma, sabemos todas! Não se esqueçam disso... Ah, alguns estudiosos de estatística diferenciam a maneira como a média e o desvio padrão da amostra são conhecidos, em relação à média e ao desvio padrão da população. Para estes estudiosos, temos: = média amostral S = desvio padrão amostral µ = média populacional σ = desvio padrão populacional Se a questão não diferenciar, nós também não iremos fazê-lo, ok? Assim, para o caso de uma população, temos a seguinte equação para o rol:
σ= Para os dados tabulados, temos:
σ=
E para a distribuição de freqüências, temos:
σ=
Já para o caso de uma amostra, temos a seguinte equação para o rol. Reparem que a diferença para a equação anterior é o “-1” no denominador!
S= 12
Para os dados tabulados, temos (reparem o “-1”):
S= E para a distribuição de freqüências, temos (novamente, com “-1” no denominador):
S= “Ok, professora, até agora vimos 6 equações. Por que você disse que são 12?” Vamos lá. Essas 6 equações que vimos são equações simplificadas. Existem outras equações, que chamados de “desenvolvidas”. Elas são, a primeira vista, maiores, mais complicadas. Mas é o contrário. Vocês verão, com a resolução de questões, que usamos muito mais as equações desenvolvidas do que as equações simplificadas que vimos acima. Isso porque as equações desenvolvidas não utilizam a média. Nas equações simplificadas, é preciso calcular a média para depois calcular o desvio padrão. Já com as equações desenvolvidas, isso não é necessário. Então, temos a equação desenvolvida para o rol (população) abaixo:
σ=
]
Para os dados tabulados, temos:
σ=
]
E para a distribuição de freqüências, temos:
σ=
]
Analogamente às equações simplificadas que vimos acima, para a amostra basta adicionar o “-1”. Assim, temos, para o rol (amostra):
13
S=
]
Para os dados tabulados, temos:
S=
]
E para a distribuição de freqüências, temos:
S=
]
Observação importante: Se a questão nada disser, temos POPULAÇÃO, e usamos as equações para população (sem o “-1”)!!!
Agora, aremos para a variância... Depois do que vimos para o desvio padrão, ela fica fácil, fácil!!! 1.3.2 Variância A variância, em meios práticos, não consegue ser tão clara como o desvio padrão. Então, vamos focar no seu cálculo, que é algo extremamente simples. Já vimos várias equações de desvio padrão. E sabem qual é a equação da variância? Variância = σ2 = S2 Fácil, não acham? A variância nada mais é do que o quadrado do desvio padrão. Então, se em todas as equações de desvio padrão tínhamos a raiz quadrada, basta tirarmos as equações da raiz para termos as equações da variância. Assim, temos a equação simplificada da população para o rol:
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σ2 = Para os dados tabulados, temos:
σ2 = E para a distribuição de freqüências, temos:
σ2 = Simplificada para amostra:
S= Para os dados tabulados, temos:
S= E para a distribuição de freqüências, temos:
S= Equação desenvolvida da variância para o rol (população) abaixo:
σ= Para os dados tabulados, temos:
σ= 15
E para a distribuição de freqüências, temos:
σ=
]
Analogamente às equações simplificadas que vimos acima, para a amostra basta adicionar o “-1”. Assim, temos, para o rol (amostra):
S=
]
Para os dados tabulados, temos:
S=
]
E para a distribuição de freqüências, temos:
S=
1.3.3 Coeficiente de Variação
O coeficiente de variação é também chamado de dispersão relativa (lembramse de que o desvio padrão é também chamado de dispersão absoluta?). Ele é uma medida adimensional. Ou seja, ele não possui unidade, ao contrário da média e do desvio padrão. O cálculo do coeficiente de variação é algo simples, e envolve o desvio padrão e a média, seguindo a equação abaixo: CV =
1.3.4 Variação relativa A variação relativa advém do coeficiente de variação, segundo a equação abaixo:
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Vr = CV2 =
Bem fácil, não acham? Agora que já vimos esses conceitos todos, vamos ar para os exercícios, afinal são com eles que vamos fixar a matéria!
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2. Exercícios de fixação comentados Vamos à primeira questão!
Questão 1 – CESPE/CEHAP//2009 Questão 1 – Vunesp/TJ-SP/Oficial de Justiça/2009 O custo médio nacional para a construção de habitação com padrão de acabamento normal, segundo levantamento realizado em novembro de Em2008, um mesmo de certo foi aplicadosendo por 8 R$ meses a uma foi de dia, R$ 1/3 670,00 por capital metro quadrado, 400,00/m2 taxarelativos de juro simples de 18% ao ano, e o restante foi aplicado também por às despesas com materiais de construção e R$ 270,00/m2 8 meses, mas a uma taxa de mesma juro simples de 21% ao ano.médios No final, obtevecom mão-de-obra. Nessa pesquisa, os custos regionais se apontaram um total depara R$ 6.800,00 de juros pelas duas aplicações. O valor total os seguintes valores por metro quadrado: R$ 700,00 aplicado foi R$ 660,00 (Sul), R$ 670,00 (Norte), R$ 640,00 (Centro-Oeste) (Sudeste), e R$ 630,00 (Nordeste). (A) R$ 51.000,00. (B) R$ 48.000,00. Sistema Nacional de Pesquisa de Custos e Índices da Construção (C) R$ 45.000,00. Civil. SINAPI/IBGE, nov./2008 (com adaptações). (D) R$ 42.000,00. (E)base R$ 40.000,00. Com nas informações apresentadas no texto, assinale a opção correta. (A) A média aritmética dos custos médios regionais por metro quadrado é igual ao custo médio nacional do metro quadrado. (B) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sul corresponde à mediana dos custos médios regionais por metro quadrado. (C) Mais de 65% do custo médio nacional do metro quadrado é relativo às despesas com materiais de construção. (D) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sudeste é 10% superior ao custo relativo à região Nordeste.
Essa questão fala sobre média e mediana. Vamos diretamente para as alternativas: (A) A média aritmética dos custos médios regionais por metro quadrado é igual ao custo médio nacional do metro quadrado. A questão diz que o custo médio nacional do metro quadrado é de 670,00. Vamos fazer a média aritmética dos custos regionais para saber se é igual? Média aritmética dos custos regionais = (Custo Regional Sudeste + Custo Regional Sul + Custo Regional Norte + Custo Regional Centro-Oeste + Custo Regional Nordeste)/5 18
Média aritmética dos custos regionais = (700,00 + 660,00 + 670,00 + 640,00 + 630,00)/5 = 660,00 Assim, a alternativa está errada, pois o custo nacional é de 670,00. (B) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sul corresponde à mediana dos custos médios regionais por metro quadrado. Vamos calcular a mediana. O primeiro o é identificar se estamos tratando de um rol ou de uma distribuição de frequências. Temos os seguintes valores: 700, 660, 670, 640, 630. Isso são dados brutos. Vamos organizá-los em ordem crescente, transformando-os num rol? Assim, temos: 630, 640, 660, 670, 700 – Rol dos custos médios regionais. O rol possui número ímpar de elementos (5). A posição central é (5 + 1)/2 = 3a. Assim, a mediana é 660, ou seja, o custo da região Sul. Assim, a alternativa está correta. (C) Mais de 65% do custo médio nacional do metro quadrado é relativo às despesas com materiais de construção. Temos aqui uma relação de porcentagem. O custo relativo ao material de construção é de 400 por metro quadrado, dentro de um custo médio nacional de 670. Para sabermos o percentual, basta dividir: 400/670 = 0,597 = 59,7%. Ou seja, a alternativa está errada. (D) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sudeste é 10% superior ao custo relativo à região Nordeste.
O custo no Sudeste é de 700, já o custo no Nordeste é de 630. Dividindo um pelo outro: 700/630 = 1,11 = 11% Ou seja, a alternativa está errada. Resposta: Letra B.
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Questão 2 – FCC/MPE-RS/Assessor/2008
Considere o histograma abaixo que apresenta a distribuição dos salários dos empregados em uma empresa no mês de dezembro de 2007:
O valor da mediana dos salários dos empregados, considerando os intervalos de classe do histograma abertos à esquerda e fechados à direita e utilizando o método da interpolação linear, é igual a (A) R$ 5.125,00. (B) R$ 4.125,00. (C) R$ 5.075,00. (D) R$ 4.750,00. (E) R$ 3.750,00.
Nessa questão, vamos utilizar nossos conhecimentos de cálculo da mediana de uma distribuição de frequências. O enunciado diz que os intervalos são abertos à esquerda e fechados à direita. Primeiramente, devemos transformar o gráfico na tabela de distribuição de frequências que conhecemos. Muita gente acha desnecessário, pensa que é mais rápido pular essa etapa e trabalhar diretamente com o gráfico. Eu acho que é melhor fazer a tabela, para não confundir. Além disso, é muito rápido! O enunciado já diz que no eixo horizontal estão os salários, e na vertical temos as frequências. Então, basta colocar na tabela: Salários (R$1000)
Frequência
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1 -----| 2 2 -----| 3 3 -----| 4 4 -----| 5 5 -----| 6 TOTAL
100 200 300 400 300 1300
Primeiramente, vamos calcular a classe central, correspondente ao que chamamos de fração da mediana (n/2). n/2 = 1300/2 = 650 O elemento 650 da distribuição de frequências está incluído na 4a classe, conforme podemos ver abaixo: Salários (R$1000)
Frequência
1 -----| 2 2 -----| 3 3 -----| 4 4 -----| 5 5 -----| 6 TOTAL
100 200 300 400 300 1300
fac (Frequência acumulada crescente) 100 300 600 1000 1300
O elemento 650 se encontra nesta classe
Ou seja, a quarta classe é a classe correspondente à fração da mediana, e é nela que faremos os cálculos: R$ 1000 (Diferença entre 5000 e 4000) ------------ 400 x -------------------------------------------------------------- 50 (650 – 600) 400x = 50000 x = 125 Reparem que o valor encontrado se refere à dentro da classe. Ou seja, se a classe 4 -----| 5 vai de 4.000 até 5.000 e possui 400 elementos, o elemento 150 da classe ganha recebe 4000 + 125 = 4125 reais. Assim, a mediana da distribuição de frequências é de 4125 reais. Resposta: Letra B.
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Questão 3 – CESPE/INSS/Analista do Seguro Social/2008
De acordo com dados do IBGE, em 2007, 6,4% da população brasileira tinha 65 anos de idade ou mais e, em 2050, essa parcela, que constitui o grupo de idosos, corresponderá a 18,8% da população. Com base nessas informações e nas apresentadas na tabela acima, julgue os itens seguintes.
Considere-se que os anos de idade estejam distribuídos de forma eqüiprovável na faixa de 15 a 18 anos. Nessa situação, a média e a mediana das idades nessa faixa serão ambas iguais a 16,5 anos. (A) Certo (B) Errado Essa questão parece difícil, mas é muito fácil. Tanto que para resolvê-la nem faremos contas. O enunciado diz assim: “Considere-se que os anos de idade estejam distribuídos de forma eqüiprovável na faixa de 15 a 18 anos.” O que isso significa? Ele quer dizer que, na faixa dos 15 até os 18 anos, a população é distribuída uniformemente. Ou seja, que se existem 10000 pessoas com 15 anos e um mês, também existem 10000 pessoas com 15 anos e 2 meses, e assim por diante. Se a frase dissesse assim: “Considere-se que os salários da empresa
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empresa estejam distribuídos de forma equiprovável entre o segurança e o presidente”, significaria que todos os salários seriam iguais. Entendido? Se os anos de idade estão distribuídos de forma equiprovável entre os três anos, isso quer dizer que o ano médio é exatamente o do meio, vocês não acham? Além disso, como a mediana procura a posição mais central, temos que a mediana é igual à média. Assim, a média entre 15 e 18 anos é de (18 -15)/2 = 16,5. A mediana possui o mesmo valor. Resposta: Certo.
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Questão 4 – FCC/TRT 4a Região/Analista Judiciário/2010
Um levantamento realizado em um setor de um órgão público, durante 250 dias úteis, forneceu a distribuição dos números de processos analisados apresentada no gráfico abaixo. No eixo horizontal constam as quantidades detectadas de processos e as colunas representam as respectivas quantidades de dias. Com relação a este levantamento, a média aritmética (número de processos por dia), a mediana e a moda são iguais, respectivamente, a (A) 3,48; 3,50 e 4,00. (B) 3,48; 4,00 e 4,00. (C) 4,35; 3,50 e 3,50. (D) 4,35; 3,50 e 4,00. (E) 4,00; 4,00 e 4,00.
Esse é um tipo clássico de questão, que pede as medidas de posição com base num gráfico (que pode ser transformado numa tabela de dados tabulados ou numa distribuição de frequências). Percebam que não estamos falando de
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uma distribuição de frequências, e sim de dados tabulados (aqui vamos resolver a questão da mediana com dados tabulados que citei anteriormente). Primeiramente, vamos fazer a transformação do gráfico na tabela. Vocês podem estar se perguntando qual dos eixos representa a frequência. Um macete é pensar que a frequência não segue uma ordem numérica, ao contrário dos intervalos das classes. Ou seja, enquanto o número de processos vai de 1 a 6, a frequência é “solta” (20, 30, 70, 80... etc). Assim, o histograma assume a seguinte forma: Número de Processos 1 2 3 4 5 6 TOTAL
Quantidade de dias 20 30 70 80 40 10 250
Primeiramente, vamos calcular a média. A equação já sabemos (equação da média para dados tabulados):
Então, precisamos calcular o termo fi.xi, para cada classe: Número de Processos (xi) 1 2 3 4 5 6 TOTAL
Quantidade de dias (fi) 20 30 70 80 40 10 N = 250
fi.xi
20 60 210 320 200 60 870
Assim, temos que:
Média = 870/250 = 3,48 processos por dia.
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A moda é aquela mais facinha de todos os tipos de organização de dados, lembram? Basta ver em que número de processos está a maior frequência. Vejam só: Número de Processos 1 2 3 4 5 6 TOTAL
Quantidade de dias 20 30 70 80 40 10 250
Ou seja, para esses dados, a moda é que hajam 4 processos por dia. Agora vamos resolver a mediana. Eu disse lá em cima que a maneira de resolver é semelhante ao rol. E é mesmo. Então, começaremos encontrando a posição central. Já que n é par (250), utilizaremos a equação Posição Central = n/2. Assim, a posição central está no item 125. A sua vizinha posterior é a 126. Ambas se encontram no número de processos igual a 4 por dia, vejam só: Número de Processos 1 2 3 4 5 6 TOTAL
Quantidade de dias 20 30 70 80 40 10 250
Fac 20 50 120 200 240 250
N esta classe se encontram os elem entos 125 e 126 dos dados!
A equação da mediana que usaríamos agora seria Md = (Elemento Posição Central 1 + Elemento Posição Central 2)/2. Mas nem é necessário fazer, certo? Como ambas as posições estão na quarta linha (correspondente a 4 processos por dia), (4 + 4)/2 = 4. Ou seja, a mediana é igual a 4. Resposta: Letra B.
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Questão 5 – FCC/SEFIN-RO/Auditor-Fiscal/2010 Em uma cidade é realizado um levantamento referente aos valores recolhidos de determinado tributo estadual no período de um mês. Analisando os documentos de arrecadação, detectou-se 6 níveis de valores conforme consta no eixo horizontal do gráfico abaixo, em que as colunas representam as quantidades de recolhimentos correspondentes.
Com relação às medidas de posição deste levantamento tem-se que o valor da (A) média aritmética é igual a metade da soma da mediana e a moda. (B) média aritmética é igual ao valor da mediana. (C) média aritmética supera o valor da moda em R$ 125,00. (D) moda supera o valor da mediana em R$ 500,00. (E) mediana supera o valor da média aritmética em R$ 25,00.
Mais uma vez, temos um gráfico que representa dados tabulados, e pede que calculemos média, moda, mediana... Vocês estão vendo como esse tipo de questão é recorrente em concursos? Vamos montar a famosa tabelinha para fazer os cálculos? Valores 500 1000 1500 2000 2500 3000 TOTAL
Quantidade de recolhimentos 30 50 60 30 20 10 N = 200
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Para calcular a média, utilizamos a já vista equação:
Calculando fi.xi, temos: Pecisamos calcular o termo fi.xi, para cada classe: Valores 500 1000 1500 2000 2500 3000 TOTAL
Quantidade de recolhimentos 30 50 60 30 20 10 N = 200
xi.fi 15000 50000 90000 60000 50000 30000 295000
A média é igual a 295000/200 = 1475. A moda já sabemos que é fácil, não é? O valor com maior quantidade de recolhimentos é o de 1500. Logo, essa é a moda. Para calcular a mediana, fazemos como para o rol. Temos número par de itens, ou seja, a posição central é n/2 = 200/2 = 100. A posição central 2 se encontra na quantidade seguinte, ou seja, 101. Vamos ver em que valor as posições se encontram. Valores 500 1000 1500 2000 2500 3000 TOTAL
Quantidade de recolhimentos 30 50 60 30 20 10 N = 200
Fac 30 80 140 170 190 200
A s posições centrais se encontram aqui, e o valor correspondente às duas é 1500.
Já sabemos que quando o valor é igual, a Mediana sai diretamente, certo? Ou seja, a Mediana aqui é de 1500. Vamos analisar as alternativas? (A) média aritmética é igual a metade da soma da mediana e a moda. A soma da mediana e da moda da 1500 + 1500 = 3000. Metade disso é 3000/2 = 1500. A média já vimos que vale 1475. Alternativa falsa.
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(B) média aritmética é igual ao valor da mediana. A média vale 1475, a mediana vale 1500. Falso. (C) média aritmética supera o valor da moda em R$ 125,00. A média vale 1475. A moda vale 1500. A moda é que supera a média, em 25. Falso. (D) moda supera o valor da mediana em R$ 500,00. A moda e a mediana são iguais, 1500. Alternativa falsa. (E) mediana supera o valor da média aritmética em R$ 25,00. Correto! A mediana vale 1500 e a média vale 1475. Resposta: Letra E.
Questão 6 – ESAF/RFB/AFRFB/2009
Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta:
29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28. (A) A média e a mediana das idades são iguais a 27. (B) A moda e a média das idades são iguais a 27. (C) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. (D) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074. (E) A moda e a mediana das idades são iguais a 27. Essa questão mistura os conhecimentos de medidas de posição e medidas de dispersão (no caso, o desvio padrão). É uma amostra e está em forma de dados brutos, pois os valores não estão em ordem (nem crescente nem decrescente). Vamos transformar num rol, colocando os dados em ordem?
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23, 23, 24, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 26, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 28, 28, 28, 28, 29, 29, 29, 30, 31, 32, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 41. Pronto. Agora os dados estão em ordem. Para calcular a média, devemos somar os valores e dividir pelo número de itens da amostra. Temos: = 1052 n = 37. A média é 1052/37 = 28,43. A moda é o valor que mais aparece, ou seja, 27. E a mediana do rol. Temos uma quantidade impar de valores. Ou seja, para calcular, fazemos (n + 1)/2 = (37 + 1)/2 = 38/2 = 19. O elemento correspondente a essa posição central é o número 27. Ou seja, a mediana é igual a 27. Só com isso já conseguimos achar a resposta (letra E), sem nem calcular o desvio padrão. Mas estamos aqui para aprender, certo? Vamos calculá-lo, então? Já adianto que vai dar um super-trabalho, essa questão foi feita para que não se calcule o desvio, pois são muitos valores. Primeiramente, o enunciado fala de amostra. Como é um rol, poderíamos usar a equação para o rol, não é mesmo? Mas percebam que são muitos valores repetidos. Para facilitar o nosso cálculo, o melhor é transformar o rol em uma tabela de dados tabulados. A equação do desvio padrão para amostra de dados tabulados é a seguinte:
S=
]
Então, devemos transformar o rol em dados tabulados e encontrar todos os termos pedidos na equação. Veja abaixo: Número Quantidade (xi) de vezes que aparece no rol = Frequência = fi
xi2
fi.xi
fi.xi2
23
2
529
46
1058
24
3
576
72
1728
30
25
4
625
100
2500
26
5
676
130
3380
27
6
729
162
4374
28
4
784
112
3136
29
3
841
87
2523
30
1
900
30
900
31
1
961
31
961
32
2
1024
64
2048
33
1
1089
33
1089
34
1
1156
34
1156
35
1
1225
35
1225
36
1
1296
36
1296
39
1
1521
39
1521
41
1
1681
41
1681
TOTAL
37
15613
1052
30576
Colocando os valores acima na equação de dados tabulados, temos:
S=
]
S=
S=
S= S=
= 4,30
31
Logo, o desvio padrão é de 4,30. Resposta: Letra E.
Questão 7 – ESAF/RFB/AFRFB/2009 A tabela mostra a distribuição de freqüências relativas populacionais (f’) de uma variável X: X –2 1 2
f' 6a 1a 3a
Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são, respectivamente: (A) μ x = − 0,5 e σ x2 = 3,45 (B) μ x = 0,5 e σ x2 = − 3,45 (C) μ x = 0 e σ x2 = 1 (D) μ x = − 0,5 e σ x2 = 3,7 (E) μ x = 0,5 e σ x2 = 3,7
Mais uma questão que mistura medidas de posição e de dispersão. Mas, agora, temos a variância. A questão fala em frequência relativa. Se você estivesse na prova, saberia o que é isso? Não. Eu também não costumo ver em lugar nenhum. Nessas horas, pessoal, entra a malandragem do concurseiro. Ele tem que perceber que, mesmo sem saber da onde o examinador tirou isso, ele tem conhecimentos para resolver a questão e deve pelo menos tentar resolver com o que sabe, sem se desesperar. Em 90% dos casos, ele conseguirá resolver a questão. Vamos lá? Estamos falando de dados tabulados de uma população, logo a equação é:
Número (xi)
fi
xi2
fi.xi
fi.xi2
-2
6a
4
-12a
24a
1
1a
1
1a
1a
2
3a
4
6a
12a
32
TOTAL
n = 10a
-5a
37a
A média é encontrada pela equação: µ = -5a/10a = -0,5 A variância é o quadrado do desvio padrão, ou seja:
σ= σ2 = (37a – (-5a)2/10a)/10a = (37a – 2,5a)/10a = 34,5a/10a = 3,45 Dessa forma, a resposta é a letra A. Resposta: Letra A.
Questão 8 – CESPE/MEC/Agente istrativo/2009 Os dados abaixo correspondem merendas escolares demandadas
às quantidades diárias de em 10 diferentes escolas:
200, 250, 300, 250, 250, 200, 150, 200, 150, 200. Com base nessas informações, julgue os próximos itens. O desvio padrão amostral dos números diários de merendas escolares é superior a 50. (A) Certo (B) Errado
Nessa questão temos dados brutos. Precisamos encontrar o desvio padrão. Podemos organizá-los em forma de rol ou de dados tabulados. Eu farei dados tabulados porque será mais fácil calcular o desvio, afinal temos números que se repetem. Vamos lá? Número (xi)
fi
xi2
fi.xi
fi.xi2
150
2
22500
300
45000
200
4
40000
800
160000
33
250
3
62500
750
187500
300
1
90000
300
90000
TOTAL
n = 10
2150
482500
O enunciado diz que se trata de uma amostra. A equação do desvio padrão para amostra é:
S=
]
Assim, temos: S= S=
S=
S=
=
Você chega nesse ponto na hora da prova. Como extrair a raiz desse valor. Se fizermos na calculadora, chegamos a 47,43. Ocorre que você não terá calculadora na hora da prova, não é mesmo? Vou ensinar, então, um método prático e rápido (na faculdade, chamávamos métodos como estes de “Métodos Ninja” rs) para você extrair a raiz de qualquer número, mesmo sem calculadora. Por exemplo, temos o número acima: quanto é
?
O 1: achar um quadrado perfeito próximo. Primeiramente, temos que ter em mente que é melhor trabalhar com números pequenos. Então, vamos escrever , afinal são a mesma coisa, certo? Então focaremos em 25 = 52.
. Qual o quadrado perfeito mais próximo? Resposta:
O 2: vamos trabalhar com: 22,5 = a raiz que eu quero;
34
25 = quadrado perfeito mais próximo; 5 = raiz mais próxima. O 3: fazer uma divisão: NO NUMERADOR: A RAIZ QUE EU QUERO X QUADRADO PERFEITO MAIS PRÓXIMO NO DENOMINADOR: 2 (SEMPRE) X A RAIZ MAIS PRÓXIMA
Assim: 22,5 + 25 = 47,5 = 4,75 2x5 10 Assim, temos que . é aproximadamente 4,75. Pela calculadora, encontramos 4,743. Ou seja, é uma boa aproximação, não acham? Nosso
objetivo
é
encontrar , ou seja,
o
valor
de = 47,5.
.
Sabemos
que
Assim, a afirmação do enunciado está errada, pois o desvio padrão da amostra é de 47,5, ou seja, menor que 50.
Resposta: Errado.
Questão 9 – ESAF/ENAP/Estatístico/2006 Considere os seguintes conjuntos de observações referentes a cinco diferentes variáveis: A {1; 1; 1; 1; 1; 50}, B {1, 1, 1, 1; 50; 50}, C {1, 1, 1, 50, 50, 50}, D {1, 1, 50, 50, 50, 50}, E {1, 50, 50, 50, 50, 50}. O conjunto de observações que apresenta a maior variabilidade, medida pelo desvio-padrão, é o referente à variável (A) A. (B) B. (C) E. (D) D. (E) C. Nessa questão não precisamos nem fazer contas. Basta utilizar o conhecimento teórico que temos sobre o desvio padrão.
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Já sabemos que o desvio padrão é uma medida de dispersão que mede a heterogeneidade de um conjunto de dados em relação à média. E o que faz o desvio padrão ser alto? Ora, o fato de o conjunto possuir vários elementos diferentes! Conjuntos com elementos semelhantes possuem desvio padrão baixo... Dentre os conjuntos, qual possui o maior número de itens diferentes? O conjunto C, certo? Pois ele é a resposta... Apenas um comentário em relação à pegadinha da ESAF, realmente é uma banca muito da safada! Porque diabos colocar o conjunto C na alternativa E e vice-versa??? Tenho certeza que muita gente marcou a alternativa C por engano... Resposta: Letra E
Questão 10 – ESAF/IRB/Analista/2006 O grau ao qual os dados numéricos tendem a dispersar-se em torno de um valor médio chama-se (A) média. (B) variação ou dispersão dos dados. (C) mediana. (D) correlação ou dispersão. (E) moda.
Mais uma questão teórica da nossa querida ESAF... ela adora! O enunciado fala em “dispersar-se”... ou seja, estamos falando de medidas de dispersão. De cara, podemos eliminar as alternativas A, C e E, que falam sobre medidas de posição. A alternativa D fala em correlação. Correlação é a relação de interdependência existente entre duas variáveis. Por exemplo, se eu digo: “O número de acidentes nas estradas aumenta conforme diminui o preço da bebida”. Nesse exemplo, há uma correlação existente entre “número de acidentes” e “preço da bebida”. Assim, a correlação não tem a ver com dispersão. A letra B é a que indica o que estudamos: dispersão de dados, variância... enfim, a dispersão é maior quanto maior for a variação dos dados. Resposta: Letra B
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Questão 11 – FGV/SEFAZ-RJ/Fiscal de Rendas/2008 Uma companhia utiliza um sistema de avaliação de desempenho de seus funcionários por meio de dois indicadores de performance: Qualidade das tarefas e a Tempestividade com que as tarefas são realizadas. Os funcionários receberam, na última avaliação, as medidas indicadas na tabela a seguir:
Com base na tabela, é correto afirmar que: (A) a média aritmética não é uma boa medida para representar a performance dos funcionários em face do elevado nível de dispersão das avaliações. (B) as avaliações da Qualidade foram mais dispersas do que as avaliações da Tempestividade. (C) as avaliações da Qualidade foram mais homogêneas do que as da Tempestividade. (D) os funcionários demoram mais para realizar as tarefas, mas a qualidade das tarefas é melhor. (E) nada se pode afirmar sem o conhecimento do tamanho da amostra. Mais uma questão teórica, dessa vez da famigerada FGV... A questão fornece três dados sobre duas pesquisas: a média, o desvio padrão e o coeficiente de variação de cada uma delas. A primeira coisa que temos que ter em mente é que a média e o desvio padrão são medidas absolutas, ou seja, possuem unidade. Isso quer dizer que mesmo que o desvio padrão da qualidade seja de “10” e da tempestividade seja de “6”, isso não quer dizer que a qualidade possua maior dispersão do que a
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tempestividade. Isso porque o desvio padrão é uma medida absoluta. É como se dissessemos: “A casa fica a 20km daqui”. Daria para dizer se a casa é longe ou é perto? Não. Longe ou perto em relação a quê? 20km é um dado absoluto. Eu, por exemplo, moro em São Paulo hoje em dia, a aproximadamente 20km do meu trabalho. Para São Paulo, isso é perto. Mas, quando eu digo para o meu pai que dirijo todos os dias 20km para ir ao trabalho, ele acha um absurdo de longe, pois em Blumenau (minha cidade natal, onde meu pai mora) 20km é muito longe!!! Portanto, para avaliar essas pesquisas, é necessária uma medida de dispersão que não seja absoluta, e sim relativa... Opsss... sim! O coeficiente de variação é também chamado de dispersão relativa, lembram? Ele não possui unidade. Ou seja, seu valor pode ser comparado com outros valores... Por isso, o coeficiente de variação é a unidade ideal para resolvermos a questão. Vamos ficar de olho nele e reparar as alternativas? (A) a média aritmética não é uma boa medida para representar a performance dos funcionários em face do elevado nível de dispersão das avaliações. Falso. Não posso dizer que há um elevado nível de dispersão nas avaliações. Elevado em relação a quê? (B) as avaliações da Qualidade foram mais dispersas do que as avaliações da Tempestividade. Falso. Já sabemos que devemos atentar para o coeficiente de variação, que é medida ensional, ou seja, não depende de unidades e é relativa. E o que o coeficiente de variação diz: que a dispersão relativa da Tempestividade é maior. (C) as avaliações da Qualidade foram mais homogêneas do que as da Tempestividade. Verdadeiro. O coeficiente de variação das avaliações da Qualidade foi menor, ou seja, há menor variabilidade relativa. Ou seja, tais avaliações são mais homogêneas, realmente. (D) os funcionários demoram mais para realizar as tarefas, mas a qualidade das tarefas é melhor. Falso. Desde quando tempestividade tem a ver com tempo? (E) nada se pode afirmar sem o conhecimento do tamanho da amostra.
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Falso. Podemos afirmar algumas coisas analisando o coeficiente de variação, que é medida ensional! Resposta: Letra C
Pessoal, essa foi a nossa terceira aula. Nos vemos no fórum! Até a próxima! Karine
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3. Memorex PM = Limite inferior + Limite Superior 2 Freqüência Simples
Acumulada
Absoluta (f) Freqüência relativa simples:
Relativa (F) Freqüência relativa simples:
Símbolo: fi
Símbolo: Fi
Indica o número de elementos em cada classe.
Indica o percentual de elementos da classe, em relação ao total.
Freqüência absoluta acumulada (temos dois tipos):
Freqüência relativa acumulada (temos dois tipos):
Crescente: fac
Crescente: Frc
Indica o número de Indica o percentual de elementos somados até elementos somados até determinada classe, determinada classe, começando da primeira começando da primeira classe. Ou seja, se classe. Ou seja, se queremos saber a fac da queremos saber a Frc da terceira classe, devemos terceira classe, devemos fazer f1 + f2 + f3 fazer F1 + F2 + F3 Decrescente: fad
Decrescente: Frd
Indica o número de elementos somados até determinada classe, começando da última classe. Ou seja, se queremos saber a fac da antepenúltima classe, devemos fazer fn + fn-1 + fn-2
Indica o percentual de elementos somados até determinada classe, começando da última classe. Ou seja, se queremos saber a Frc da antepenúltima classe, devemos fazer Fn + Fn-1 + Fn-2
Média Rol
Dados Tabulados
Distribuição de Frequência
40
Moda Rol
Item mais frequente
Dados Distribuição de Frequência Tabulado s Item mais Moda de Czuber: frequente
= diferença anterior = frequência da classe modal – frequência da classe anterior (se nao existir é 0) = diferença posterior = frequência da classe modal – frequência da classe posterior (se nao existir é 0) Moda de King:
fp = é a frequência da classe posterior à classe modal. fa = é a frequência da classe anterior à classe modal.
Mediana Rol n impar -> PC = (n + 1)/2 Md = elemento correspondente n par -> dois PCs PC1 = n/2 PC2 = a vizinha posterior Md = (Elemento PC1 + Elemento PC2)/2
Dados Tabulados Igual Rol
Distribuição de Frequências Md = lim inf + (n/2 – fac anterior).h fi 1) Aplicar para a classe correspondente à fração da mediana 2) É uma interpolação da ogiva para o elemento n/2
Desvio Padrão – Equações Simplificadas População Rol
σ=
Amostra
S=
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Dados Tabulados
Distribuição de Frequências
σ=
S=
σ=
S=
Desvio Padrão – Equações Desenvolvidas População
Amostra
Rol
S= σ= Dados Tabulados
σ=
]
] S=
]
] Distribuição de Frequências
σ=
]
S= ]
Se a questão nada disser, temos POPULAÇÃO, e usamos as equações para população (sem o “-1”)!!!
Variância = σ2 = S2
Coeficiente de Variação = CV =
Variação relativa = Vr = CV2 =
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4. Lista das questões comentadas Questão 1 – CESPE/CEHAP//2009 O custo médio nacional para a construção de habitação com padrão de acabamento normal, segundo levantamento realizado em novembro de 2008, foi de R$ 670,00 por metro quadrado, sendo R$ 400,00/m2 relativos às despesas com materiais de construção e R$ 270,00/m2 com mão-de-obra. Nessa mesma pesquisa, os custos médios regionais apontaram para os seguintes valores por metro quadrado: R$ 700,00 (Sudeste), R$ 660,00 (Sul), R$ 670,00 (Norte), R$ 640,00 (Centro-Oeste) e R$ 630,00 (Nordeste). Sistema Nacional de Pesquisa de Custos e Índices da Construção Civil. SINAPI/IBGE, nov./2008 (com adaptações). Com base nas informações apresentadas no texto, assinale a opção correta. (A) A média aritmética dos custos médios regionais por metro quadrado é igual ao custo médio nacional do metro quadrado. (B) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sul corresponde à mediana dos custos médios regionais por metro quadrado. (C) Mais de 65% do custo médio nacional do metro quadrado é relativo às despesas com materiais de construção. (D) O custo médio por metro quadrado relativo à região Sudeste é 10% superior ao custo relativo à região Nordeste. Questão 2 – FCC/MPE-RS/Assessor/2008
Considere o histograma abaixo que apresenta a distribuição dos salários dos empregados em uma empresa no mês de dezembro de 2007:
O valor da mediana dos salários dos empregados, considerando os
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intervalos de classe do histograma abertos à esquerda e fechados à direita e utilizando o método da interpolação linear, é igual a (A) R$ 5.125,00. (B) R$ 4.125,00. (C) R$ 5.075,00. (D) R$ 4.750,00. (E) R$ 3.750,00.
Questão 3 – CESPE/INSS/Analista do Seguro Social/2008
De acordo com dados do IBGE, em 2007, 6,4% da população brasileira tinha 65 anos de idade ou mais e, em 2050, essa parcela, que constitui o grupo de idosos, corresponderá a 18,8% da população. Com base nessas informações e nas apresentadas na tabela acima, julgue os itens seguintes.
Considere-se que os anos de idade estejam distribuídos de forma eqüiprovável na faixa de 15 a 18 anos. Nessa situação, a média e a mediana das idades nessa faixa serão ambas iguais a 16,5 anos. (A) Certo (B) Errado
Questão 4 – FCC/TRT 4a Região/Analista Judiciário/2010
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Um levantamento realizado em um setor de um órgão público, durante 250 dias úteis, forneceu a distribuição dos números de processos analisados apresentada no gráfico abaixo. No eixo horizontal constam as quantidades detectadas de processos e as colunas representam as respectivas quantidades de dias. Com relação a este levantamento, a média aritmética (número de processos por dia), a mediana e a moda são iguais, respectivamente, a (A) 3,48; 3,50 e 4,00. (B) 3,48; 4,00 e 4,00. (C) 4,35; 3,50 e 3,50. (D) 4,35; 3,50 e 4,00. (E) 4,00; 4,00 e 4,00.
Questão 5 – FCC/SEFIN-RO/Auditor-Fiscal/2010 Em uma cidade é realizado um levantamento referente aos valores recolhidos de determinado tributo estadual no período de um mês. Analisando os documentos de arrecadação, detectou-se 6 níveis de valores conforme consta no eixo horizontal do gráfico abaixo, em que as colunas representam as quantidades de recolhimentos correspondentes.
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Com relação às medidas de posição deste levantamento tem-se que o valor da (A) média aritmética é igual a metade da soma da mediana e a moda. (B) média aritmética é igual ao valor da mediana. (C) média aritmética supera o valor da moda em R$ 125,00. (D) moda supera o valor da mediana em R$ 500,00. (E) mediana supera o valor da média aritmética em R$ 25,00.
Questão 6 – ESAF/RFB/AFRFB/2009
Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos completos dos alunos em um curso preparatório. Com relação a essa amostra, marque a única opção correta:
29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28. (A) A média e a mediana das idades são iguais a 27. (B) A moda e a média das idades são iguais a 27. (C) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. (D) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074. (E) A moda e a mediana das idades são iguais a 27.
Questão 7 – ESAF/RFB/AFRFB/2009 A tabela mostra a distribuição de freqüências relativas populacionais (f’) de uma variável X: X
f'
46
–2 1 2
6a 1a 3a
Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são, respectivamente: (A) μ x = − 0,5 e σ x2 = 3,45 (B) μ x = 0,5 e σ x2 = − 3,45 (C) μ x = 0 e σ x2 = 1 (D) μ x = − 0,5 e σ x2 = 3,7 (E) μ x = 0,5 e σ x2 = 3,7
Questão 8 – CESPE/MEC/Agente istrativo/2009 Os
dados
merendas
abaixo escolares
correspondem
às
demandadas
em
quantidades 10
diárias
diferentes
de
escolas:
200, 250, 300, 250, 250, 200, 150, 200, 150, 200.
Com base nessas informações, julgue os próximos itens. O desvio padrão amostral dos números diários de merendas escolares é superior a 50. (A) Certo (B) Errado
Questão 9 – ESAF/ENAP/Estatístico/2006 Considere os seguintes conjuntos de observações referentes a cinco diferentes variáveis: A {1; 1; 1; 1; 1; 50}, B {1, 1, 1, 1; 50; 50}, C {1, 1, 1, 50, 50, 50}, D {1, 1, 50, 50, 50, 50}, E {1, 50, 50, 50, 50, 50}. O conjunto de observações que apresenta a maior variabilidade, medida pelo desvio-padrão, é o referente à variável (A) A. (B) B. (C) E.
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(D) D. (E) C. Questão 10 – ESAF/IRB/Analista/2006 O grau ao qual os dados numéricos tendem a dispersar-se em torno de um valor médio chama-se (A) média. (B) variação ou dispersão dos dados. (C) mediana. (D) correlação ou dispersão. (E) moda.
Questão 11 – FGV/SEFAZ-RJ/Fiscal de Rendas/2008 Uma companhia utiliza um sistema de avaliação de desempenho de seus funcionários por meio de dois indicadores de performance: Qualidade das tarefas e a Tempestividade com que as tarefas são realizadas. Os funcionários receberam, na última avaliação, as medidas indicadas na tabela a seguir:
Com base na tabela, é correto afirmar que: (A) a média aritmética não é uma boa medida para representar a performance dos funcionários em face do elevado nível de dispersão das avaliações. (B) as avaliações da Qualidade foram mais dispersas do que as avaliações da Tempestividade. (C) as avaliações da Qualidade foram mais homogêneas do que as da Tempestividade.
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(D) os funcionários demoram mais para realizar as tarefas, mas a qualidade das tarefas é melhor. (E) nada se pode afirmar sem o conhecimento do tamanho da amostra.
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5. Gabarito 1–B 2–B 3 – Certo 4–B
5-E 6-E 7-A 8 - Errrado
9–E 10 - B 11 - C
50
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