Peramalan Pasut Dengan Metode Least Square 6152n

PERAMALAN PASUT DENGAN METODE LEAST SQUARE

5 .1 .1

Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Linear Regression Method) merupakan metode analisis  harmonik  pasang  surut.  Dengan  metode  ini  kita  bisa  menentukan  amplitudo  (a)  dan  fasa  (  )  konstituen pasang surut dari data time series y(t) (elevasi muka air laut). Dengan diketahuinya  amplitudo  dan  fase  untuk  setiap  komponen  pasang  surut  kita  bisa  memprediksi  pasang  surut  untuk jangka waktu tertentu, serta menentukan elevasi muka air penting misalnya MSL, LLWL,  MHWL, dsb.    Prinsip  analisis  harmonik  pasang  surut  bertujuan  untuk  menghitung  pasang  surut  yakni  amplitudo dan fase komponen‐komponen pasang surut, sehingga dari keseluruhan konstanta ini  akan  dapat  dibentuk  grafik  yang  mendekati  data  pengukuran.  Salah  satu  metode  yang  dapat  digunakan  untuk  analisis  harmonik  pasang  surut  adalah  metode  Least  Square.  Dalam  Perhitungan  Pasut  ini,  metoda  Least  Square  digunakan  untuk  peramalan  pasang  surut.  Pada  bagian di bawah ini akan diuraikan metode Least Square untuk analisis harmonit pasang surut.  K

yˆ i  Ao    Ak cos  k t  Bk sin  k t  k 1

(1)   

dimana   

Ak, Bk  = 

koefisien yang dihitung dengan metode Least Square. 

 

K 

=   

jumlah konstituen yang diperhitungkan. 

 

k 

=   

nomor konstituen. 

 

k  

=  

kecepatan sudut (frekuensi) komponen pasut k 

Dari model pasang surut di atas dapat dijabarkan sebagai berikut.  K

K

k 1

k 1

yˆ i  Ao   Ak cos  k t   Bk sin  k t

(2)   

dengan   

A0 

=  

harga elevasi muka air rata‐rata.  N

 yi i i

=   

N  

 

 

 

Ak, Bk  =   

harga yang dicari. 

 

K 

=   

jumlah konstituen yang diperhitungkan. 

 

k 

=   

konstituen ke‐k. 

 

k 

=   

frekuensi sudut konstituen ke‐k. 

 

t 

=   

waktu (data lapangan). 

Berdasarkan metoda Least Square, error didefinisikan sebagai 

  y data  y mod el  

(3) 

atau  

  y i  yˆ i  

(4) 

Jika dinytakan dalam bentuk kuadrat, maka  N

N

i 1

i 1

2   2    yi  yˆ i   s

(5)   

Dengan mensubstitusikan Persamaan II.5, maka  2

K K    s    y i   Ao   Ak cos  k t i   Bk sin  k t i   i 1  k 1 k 1     N

(6) 

  2

K K   s    y i  Ao   Ak cos  k t i   Bk sin  k t i  k 1 i 1  k 1    N

(7) 

Kondisi  yang  diperlukan  agar  jumlah  kuadrat  selisihnya  minimum  adalah  turunan  parsial  Persamaan 7 terhadap komponen Ak dan Bk harus sama dengan nol. Dengan demikian maka 

s 0 Ak  

(8) 

N K K s    2  y i  Ao  Ak  cos  k t i  Bk  sin  k t i  cos  k t t  0 Ak i 1  k 1 k 1   

(9) 

s 0 Bk    

(10) 

N K K s    2  y i  Ao  Ak  cos  k t i  Bk  sin  k t i  sin  k t t  0 Bk i 1  k 1 k 1   

(11) 

dan 

  Dua persamaan terakhir dapat diuraikan sebagai berikut.  N

K

N

K

N

N

i 1

k 1

i 1

k 1

i 1

i 1

N

K

N

K

N

N

i 1

k 1

i 1

k 1

i 1

i 1

Ak  cos  k t t  cos  k t i  Bk  cos  k t t  sin  k t i  A0  cos  k t i   y i cos  k t i

(12)   

 

Ak  sin  k t t  cos  k t i  Bk  sin  k t t  sin  k t i  A0  sin  k t i   yi sin  k t i    

(13)   

Dalam bentuk matrik  K N cos  t cos  k t i   k i  k 1  i 1   K N   sin  k t i  cos  k t i k 1  i 1

N    Ak   N   A0  cos  k t i   y i cos  k t i  i 1 i 1 k 1      i 1         =   N N N K     sin  k t t  sin  k t i  B   A0  sin  k t i   y i sin  k t i  i 1 k 1 i 1   k   i 1  N

K

 cos  k t i  sin  k t i  

(13) 

  untuk 1 buah konstituen, K=1 

N 2  cos 1t i  i 1   N  sin 1t i cos 1t i  i 1

N



i 1

     

N  N   A cos  t y i cos 1t i    0 1 i  i 1 i 1           =      N N      B   A0  sin 1t i   y i sin 1t i  i 1   1   i 1

 cos 1t i sin 1t i   A1  N

 sin 2 1t i i 1

(14) 

  Untuk 2 buah konstituen, K=2, jika dinyatakan dalam persamaan matrik  

C X   D  

(15) 

Maka  N 2  cos 1ti  i 1 N   sin 1ti cos 1ti i 1 C    N  cos  t cos  t  2 i 1 i  i 1  N  sin  t cos  t  2i 1i  i 1

N

 cos  t sin  t 1 t

i 1 N

 sin i 1

2

1 i

1 i

N

 sin  t sin  t 2 i

1 i

i 1

N

i 1

i 1

2 i

 sin  t cos  t

 cos  t sin  t i 1

1 t

N

1ti

2 t

N

 cos  t cos  t

1 i

N

 cos i 1

2

2 i

 2 tt

N

 sin  t cos  t i 1

2 i

2 i



N

 cos  t sin  t  1 t

2 i

   sin 1ti sin 2ti   i 1   N  cos  t sin  t  2 t 2 i i 1   N  sin 2 2ti  i 1  i 1 N

   A1         B1    X          A2         B2   

(17) 

(16) 

dan  N   A0  cos 1t i  i 1  N A sin 1t i   0 i 1  D    N  A0  cos  2 t i  i 1  N  sin  2 t i  A0   i 1

N    y i cos 1t i  i 1   N   y i sin 1t i   i 1   N    y i cos  2 t i  i 1   N    y i sin  2 t i  i 1  

(18) 

  Untuk jumlah konstituen yang lain ditentukan dengan cara yang sama. Ukuran matrik dengan  N  buah konstituen adalah Matrik 2N x 2N.  Berikut adalah langkah‐langkah untuk menyesaikan Persamaan 15.  Akan dihitung 

X  

1 C 1 D C

dimana 

C

(19)   

 = determinan Matrik C.  

Menentukan Matrik C  Masukkan data k,ti.  Tentukan nilai komponen Matrik C.  N  cos 1t i cos 1t i  i 1  N  sin 1t i cos 1t i  i 1 . .  .  . . N K  cos  k t i  cos  k t i  i 1 i 1  N K  sin  t k i  cos  k t i  i 1  i 1

(20)    Misal untuk K=1. 

N

 cos 1t i sin 1t i

...........

i 1 N

 sin 1t i sin 1t i

...........

i 1

N

K

i 1

i 1

N

K

i 1

i 1

 cos  k t i  cos  k t i  sin  k t i  cos  k t i . . . . .

. . . . . N

K

 cos  k t t  sin  k t i i 1

i 1

N

K

 sin  k t i  sin  k t i i 1

i 1

...........

...........

N

K

i 1

i 1

N

K

i 1

i 1

 cos  k t i  cos  k t i  sin  k t i  cos  k t i

N

K



 cos  k t t  sin  k t i 

  N K   sin  k t i  sin  k t i  i 1 i 1  .   .   .  .   .  N K  cos  k t t  sin  k t i  i 1 i 1   N K sin  t sin  t  k i  k i  i 1 i 1  i 1

i 1

 

N

C11   =   

 cos 1t i cos 1t i i 1

(21) 

 

  N

C12   =   

 cos 1t i sin 1t i i 1

(22) 

 

  N

C21   =   

 sin 1t i cos 1t i i 1

(23) 

 

  N

C22   =   

 sin 1t t sin 1t i i 1

(24) 

 

    Sehingga Matrik C 

N 2  cos 1t i  i 1   N  sin  t cos  t 1 i 1 i  C =   i 1

N



i 1

       

 cos 1ti sin 1ti  N

 sin 2 1ti i 1

  Membentuk Matrik C, Matrik N x N    Menentukan Matrik X  Membentuk Komponen Matrik X  Komponen Matrik X terdiri dari konstanta konstituen Ak dan Bk  Membentuk Matrik {X}, Matrik N x 1 

(25) 

 A1  B   1  A2     B2   .    . X      .   .     .   .     AN  B   N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(26) 

 

 

 

 

 

 

 

 

(27) 

  Menentukan Matrik D  Masukkan Data    k   ti   yi  N



A0 

 yi i 1

N

    

Tentukan nilai komponen Matrik D.  N  A  0  cos 1t i  i 1  N   A0  sin 1t i i 1          N  A0  cos  k t i  i 1  N   A0  sin  k t i  D  =    i 1

 

N    y i cos 1t i  i 1   N    y i sin 1t i  i 1  .   .  .   .  .  N    y i cos  k t i   i 1  N    y i sin  k t i   i 1  

(28) 

Misal untuk K=1 

D11 

N

N

i 1

i 1

N

N

i 1

i 1

A0  cos 1t i   y i cos 1t i

= 

(29) 

 

   

D21 

A0  sin 1t i   y i sin 1t i

= 

(30) 

 

    Membentuk Matrik D, Matrik N x 1    Menghitung Konstanta Konstituen  Matrik Sasaran      Dihitung 

C X   D  X  

 

 

1 C 1 D C

, dimana 

C

 = determinan Matrik C  

Menghitung Determinan Matrik C.  Menghitung Invers Matrik C.  Menghitung Konstanta Konstituen {X}.  Substitusi Konstituen kedalam Model Pasang Surut  Memasukkan Konstanta Ao, A1, B1, A2,B2, ...  AN,BN kedalam Model Pasang Surut  K

yˆ i  Ao    Ak cos  k t  Bk sin  k t  k 1

(31)   

  Analisis pasang surut selanjutnya adalah menentukan phasa komponen pasang surut k (



 k , lihat 

Persamaan  II.3).  Misalkan  Ak  dan  k  pada  Persamaan  1  masing‐masing  disimbolkan  dengan  E  dan F. Kemudian Ak dan Bk pada Persamaan 31 dinyatakan dalam A dan B, maka hubungan E  dan F dengan A dan B secara sederhana dapat dinyatakan sebagai berikut.  E cos (t + F) = A cos t + B sin t 

(32) 

Bentuk cos (t+F) dapat dijabarkan sebagai berikut.  cos (t+F) = cos t cos F – sin t sin F  Sehingga 

(33) 

E cos (t+F) = E cos t cos F – E sin t sin F 

(34) 

E cos (t+F) = E cos F cos t + (‐ E sin F) sin t 

(34) 

 

  Maka Persamaan II.36 dapat ditulis dalam bentuk lain sebagai berikut.  E cos F cos t + (‐ E sin F) sin t =   

A cos t + B sin t 

(35) 

  

Dari persamaan di atas  E cos F = A 

 

 

 

 

 

 

 

 

(36) 

 

 

 

 

(37) 

Hubungan E dengan F dinyatakan sebagai berikut 

A   E =  cos F     

 

(‐ E sin F) = B 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(38) 

Hubungan F dengan B dinyatakan sebagai berikut. 

 B   F = Arc sin   E   

 

 

 

 

 

 

 

 

B B sin F = ‐  E  = ‐ A cos F   

 

 

 

 

 

 

(40) 

atau 

  Jika kedua ruas dibagi dengan cos F, maka: 

B sin F  A  cos F

(II‐46) 

atau  

tan F = 

B A   

(II‐47) 

  Jadi  

 

   F = arc tan 



B A 

(II‐48) 

dimana F adalah phasa komponen pasang surut (  



). 

(39)