Pre Y Post Multiplicacion 466016
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MATRICES DE TRANSFORMACION HOMOGENEA COMPUESTA PRE MULTIPLICACION Y POST MULTIPLICACION
Matriz de transformación homogénea: TRASLACIÓN: – Para un sistema OUVW trasladado únicamente un vector p = pxi + pyj + pzk con respecto al sistema fijo OXYZ. La matriz homogénea será la matriz básica de traslación:
ROTACIÓN: • Se pueden definir tres matrices homogéneas básicas de rotación según el eje sobre el que se realice dicha rotación.
COMPOSICIÓN DE MATRICES HOMOGÉNEAS Criterios de composición de matrices homogéneas Si el sistema fijo OXYZ y el sistema transformado OUVW son coincidentes, la matriz homogénea de transformación será la matriz identidad 4x4, I4.
1. PREMULTIPLICACION
– Si el sistema OUVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema fijo OXYZ, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá premultiplicar sobre las matrices de las transformaciones previas.
2. POSTMULTIPLICACION
– Si el sistema OUVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema móvil, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá postmultiplicar sobre las matrices de las transformaciones previas.
EJEMPLO 1. PREMULTIPLICACIÓN Se quiere obtener la matriz de transformación que representa al sistema OUVW obtenido a partir del sistema fijo OXYZ mediante un giro de -90º alrededor del eje OX, de una traslación de vector Pxyz(5, 5, 10) y un giro de 90º sobre el eje OZ: PLANTEANDO:
T =R ( x ,−90 ) ; T ( 5,5,10 ) ; R ( z , 90 )
Rotación de las matrices básicas
Sen(-90)=-1
sen(90)=1
Cos (-90)=0
cos (90)=0
[
1 0 0 0 0 1 T x ;−90= 0 −1 0 0 0 0
0 0 0 1
]
Translación de las matrices básicas
[
1 0 T p= 0 0
0 1 0 0
0 5 0 5 1 10 0 1
]
[
0 −1 0 0 1 0 0 0 T z ;90= 0 0 1 0 0 0 0 1
]
Nota. Se ordena las matrices de transformación básicas de derecha a izquierda del problema planteado; la multiplicación es de izquierda a derecha, por lo tanto se obtiene las siguientes matrices de transformación homogénea combinadas.
T z ;90
[
T=
0 −1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
] [ *
1 0 0 0
0 1 0 0
T x ;−90
*
0 5 0 5 1 10 0 1
][ *
* T p =T
1 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0
0 0 0 1
] [ =
0 0 −1 −5 1 0 0 5 0 −1 0 10 0 0 0 1
]
EJEMPLO 2: PREMULTIPLICACION Se requiere obtener la matriz de transformación que represente al sistema ouvw obteniendo a partir del sistema fijo. De una traslación del vector P (3 2 1) y da un giro de 90 grados sobre el eje OY, luego se traslada al punto P (5 6 7). PLANTEANDO:
T =T ( 3 21 ) ; R ( y 90 ) ; T (5 6 7 )
Rotación de las matrices básicas
sen(90)=1 cos (90)=0
[
0 0 R y ;90= −1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
]
Translación de las matrices básicas
[ ]
1 T1= 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 2 3 1
[ ]
1 0 T2= 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
5 6 7 1
Nota. Se ordena las matrices de transformación básicas de derecha a izquierda del problema planteado; la multiplicación es de izquierda a derecha, por lo tanto se obtiene las siguientes matrices de transformación homogénea combinadas.
T2
*
R y ;90
* T 1 =T
[ ] [ 1 0 0 0
T=
0 1 0 0
0 0 1 0
5 6 7 1
*
0 0 −1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
][ ] [ *
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 2 3 1
=
0 0 −1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
6 8 4 1
]
EJEMPLO 3. POSTMULTIPLICACIÓN Obtener la matriz de transformación que representa las siguientes transformaciones sobre un sistema OXYZ fijo: traslación de un vector Pxyz (3,10, 10); giro de -90º sobre el eje OU del sistema trasladado y giro de 90º sobre el eje OV del sistema girado: PLANTEANDO: T=T (p); R (u,-90); R (v, 90)
Rotación de las matrices básicas
Sen(-90)=-1
sen(90)=1
Cos (-90)=0
[
1 0 0 0 0 1 T U ;−90 = 0 −1 0 0 0 0
cos (90)=0
0 0 0 1
]
Translación de las matrices básicas
[
0 0 T V ;90= −1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
]
[
1 0 T p= 0 0
0 1 0 0
0 −3 0 10 1 10 0 1
]
Nota. Se ordena las matrices de transformación básicas de izquierda a derecha del problema planteado; la multiplicación es de izquierda a derecha, por lo tanto se obtiene las siguientes matrices de transformación homogénea combinadas.
T p∗RU ;−90
[
T=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 −3 0 10 1 10 0 1
] [ *
1 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0
0 0 0 1
RV ;90=T
*
][ *
0 0 −1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
] [ =
0 0 1 −3 −1 0 0 10 0 −1 0 10 0 0 0 1
]
EJEMPLO 4. POSTMULTIPLICACIÓN Obtener la matriz de transformación que representa las siguientes transformaciones sobre un sistema OXYZ fijo: traslación de un vector Pxyz (8 6 9); giro de 1800º sobre el eje Ow del sistema trasladado y giro de 90º sobre el eje OU del sistema girado: PLANTEANDO: T=T (p); R (w, 180); R (u, 90)
Rotación de las matrices básicas
Sen(180)=-1 Cos (180)=0
sen(90)=1 cos (90)=0
[
Rw ;180 =¿
−1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
]
[
1 0 Ru ;90= 0 0
0 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 0 1
]
Translación de las matrices básicas
[ ]
1 0 T p= 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
8 6 9 1
Nota. Se ordena las matrices de transformación básicas de izquierda a derecha del problema planteado; la multiplicación es de izquierda a derecha, por lo tanto se obtiene las siguientes matrices de transformación homogénea combinadas.
T p∗RW ;180
T=
[ ] [ 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
8 6 9 1
*
−1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
*
] [ *
RU ,90 =T 1 0 0 0
0 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 0 1
] [ =
−1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
8 6 9 1
]
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MECANICA ELECTROMECANICA
MATRICES DE TRANSFORMACION HOMOGENEA COMPUESTA
EJEMPLOS DE PRE MULTIPLICACION Y POST MULTIPLICACION
Estudiantes: Cerrogrande Choquecallata Jonathan Flores Ojeda Fernando Lizite Sepita Gustavo Victor Rocha Villegas jhonatan Villarroel Carreño Benjamin Docente: ing. Marco Arancibia Fecha: 1 de julio del 2016 Cochabamba – Bolivia
Matriz de transformación homogénea: TRASLACIÓN: – Para un sistema OUVW trasladado únicamente un vector p = pxi + pyj + pzk con respecto al sistema fijo OXYZ. La matriz homogénea será la matriz básica de traslación:
ROTACIÓN: • Se pueden definir tres matrices homogéneas básicas de rotación según el eje sobre el que se realice dicha rotación.
COMPOSICIÓN DE MATRICES HOMOGÉNEAS Criterios de composición de matrices homogéneas Si el sistema fijo OXYZ y el sistema transformado OUVW son coincidentes, la matriz homogénea de transformación será la matriz identidad 4x4, I4.
1. PREMULTIPLICACION
– Si el sistema OUVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema fijo OXYZ, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá premultiplicar sobre las matrices de las transformaciones previas.
2. POSTMULTIPLICACION
– Si el sistema OUVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema móvil, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá postmultiplicar sobre las matrices de las transformaciones previas.
EJEMPLO 1. PREMULTIPLICACIÓN Se quiere obtener la matriz de transformación que representa al sistema OUVW obtenido a partir del sistema fijo OXYZ mediante un giro de -90º alrededor del eje OX, de una traslación de vector Pxyz(5, 5, 10) y un giro de 90º sobre el eje OZ: PLANTEANDO:
T =R ( x ,−90 ) ; T ( 5,5,10 ) ; R ( z , 90 )
Rotación de las matrices básicas
Sen(-90)=-1
sen(90)=1
Cos (-90)=0
cos (90)=0
[
1 0 0 0 0 1 T x ;−90= 0 −1 0 0 0 0
0 0 0 1
]
Translación de las matrices básicas
[
1 0 T p= 0 0
0 1 0 0
0 5 0 5 1 10 0 1
]
[
0 −1 0 0 1 0 0 0 T z ;90= 0 0 1 0 0 0 0 1
]
Nota. Se ordena las matrices de transformación básicas de derecha a izquierda del problema planteado; la multiplicación es de izquierda a derecha, por lo tanto se obtiene las siguientes matrices de transformación homogénea combinadas.
T z ;90
[
T=
0 −1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
] [ *
1 0 0 0
0 1 0 0
T x ;−90
*
0 5 0 5 1 10 0 1
][ *
* T p =T
1 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0
0 0 0 1
] [ =
0 0 −1 −5 1 0 0 5 0 −1 0 10 0 0 0 1
]
EJEMPLO 2: PREMULTIPLICACION Se requiere obtener la matriz de transformación que represente al sistema ouvw obteniendo a partir del sistema fijo. De una traslación del vector P (3 2 1) y da un giro de 90 grados sobre el eje OY, luego se traslada al punto P (5 6 7). PLANTEANDO:
T =T ( 3 21 ) ; R ( y 90 ) ; T (5 6 7 )
Rotación de las matrices básicas
sen(90)=1 cos (90)=0
[
0 0 R y ;90= −1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
]
Translación de las matrices básicas
[ ]
1 T1= 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 2 3 1
[ ]
1 0 T2= 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
5 6 7 1
Nota. Se ordena las matrices de transformación básicas de derecha a izquierda del problema planteado; la multiplicación es de izquierda a derecha, por lo tanto se obtiene las siguientes matrices de transformación homogénea combinadas.
T2
*
R y ;90
* T 1 =T
[ ] [ 1 0 0 0
T=
0 1 0 0
0 0 1 0
5 6 7 1
*
0 0 −1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
][ ] [ *
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 2 3 1
=
0 0 −1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
6 8 4 1
]
EJEMPLO 3. POSTMULTIPLICACIÓN Obtener la matriz de transformación que representa las siguientes transformaciones sobre un sistema OXYZ fijo: traslación de un vector Pxyz (3,10, 10); giro de -90º sobre el eje OU del sistema trasladado y giro de 90º sobre el eje OV del sistema girado: PLANTEANDO: T=T (p); R (u,-90); R (v, 90)
Rotación de las matrices básicas
Sen(-90)=-1
sen(90)=1
Cos (-90)=0
[
1 0 0 0 0 1 T U ;−90 = 0 −1 0 0 0 0
cos (90)=0
0 0 0 1
]
Translación de las matrices básicas
[
0 0 T V ;90= −1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
]
[
1 0 T p= 0 0
0 1 0 0
0 −3 0 10 1 10 0 1
]
Nota. Se ordena las matrices de transformación básicas de izquierda a derecha del problema planteado; la multiplicación es de izquierda a derecha, por lo tanto se obtiene las siguientes matrices de transformación homogénea combinadas.
T p∗RU ;−90
[
T=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 −3 0 10 1 10 0 1
] [ *
1 0 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 0
0 0 0 1
RV ;90=T
*
][ *
0 0 −1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
] [ =
0 0 1 −3 −1 0 0 10 0 −1 0 10 0 0 0 1
]
EJEMPLO 4. POSTMULTIPLICACIÓN Obtener la matriz de transformación que representa las siguientes transformaciones sobre un sistema OXYZ fijo: traslación de un vector Pxyz (8 6 9); giro de 1800º sobre el eje Ow del sistema trasladado y giro de 90º sobre el eje OU del sistema girado: PLANTEANDO: T=T (p); R (w, 180); R (u, 90)
Rotación de las matrices básicas
Sen(180)=-1 Cos (180)=0
sen(90)=1 cos (90)=0
[
Rw ;180 =¿
−1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
]
[
1 0 Ru ;90= 0 0
0 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 0 1
]
Translación de las matrices básicas
[ ]
1 0 T p= 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
8 6 9 1
Nota. Se ordena las matrices de transformación básicas de izquierda a derecha del problema planteado; la multiplicación es de izquierda a derecha, por lo tanto se obtiene las siguientes matrices de transformación homogénea combinadas.
T p∗RW ;180
T=
[ ] [ 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
8 6 9 1
*
−1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
*
] [ *
RU ,90 =T 1 0 0 0
0 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 0 1
] [ =
−1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
8 6 9 1
]
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MECANICA ELECTROMECANICA
MATRICES DE TRANSFORMACION HOMOGENEA COMPUESTA
EJEMPLOS DE PRE MULTIPLICACION Y POST MULTIPLICACION
Estudiantes: Cerrogrande Choquecallata Jonathan Flores Ojeda Fernando Lizite Sepita Gustavo Victor Rocha Villegas jhonatan Villarroel Carreño Benjamin Docente: ing. Marco Arancibia Fecha: 1 de julio del 2016 Cochabamba – Bolivia
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