Sistem Bilangan 2k2c5o

 Sistem

bilangan

› Setiap bilangan riil dapat dinyatakan sebagai bilangan desimal dimana :

x  xI  xF

› xI menyatakan bagian bulat (integral part) › xF menyatakan bagian pecahan (fractional part)

Penyajian bilangan bulat Setiap bilangan bulat N (dapat dinyatakan dalam bentuk desimal, perhatikan bahwa bilangan 2437 adalah : 2437 = 2000 + 400 + 30 + 7 = 2 x 103 + 3 x 102 + 3 x 101 + 7 x 100 Nilai 10, pada illustrasi di atas disebut basis. Secara umum setiap bilangan bulat N dapat dinyatakan dengan basis k seperti berikut ini: 

N  (an an1

a2 a1a0 ) k

N  ank  an1k n

n1

 an2k

dimana koefisien ai  k i

n 2



 a2k  a1k  a0 2

Contoh : 245 = 1x27 +1x26 +1x25 +1x24 +0x23 +1x22 +0x2 +1= 111101012 = 3x82 + 6x8 + 5 = 3658 = 2x102 + 4x10 + 5 = 24510 = Fx16 + 5 = F516 Catatan :  Bilangan Biner = bilangan berbasis 2  Bilangan Oktadesimal = bilangan berbasis 8  Bilangan Desimal = bilangan berbasis 10 (desimal), indeks basis biasanya tidak dituliskan  Bilangan Hexadesimal = bilangan berbasis 16, dimana digit-digitnya dinyatakan berturut-turut : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Cara mengkonversi bilangan ke basis lain : (kasus, N=245) 2 245 1

8 245 5

2 61 1

3

2 122 0 2 30 0

8 30 6

10 245 5 10 24 4

2

16 245 5

15  F

2 15 1 27 1 23 1

1 Sisa-sisa hasil bagi pada proses konversi dituliskan dalam urutan terbalik (dari bawah ke atas) untuk menyatakan konversi bilangan dengan basis tersebut. 245 = 111101012 = 3658 = 24510 = F516

Penyajian bilangan pecahan

Bagian pecahan dari suatu bilangan selalu dapat dinyatakan dengan :

Perhatikan contoh berikut ini :

Cara mengkonversi desimal pecahan ke basis lain : (kasus, ke basis 2) 2(0.24) = 0.48 b1 = 0 0.48 2(0.48) = 0.96 b2 = 0 0.96 2(0.96) = 1.92 b3 = 1 0.92 2(0.92) = 1.84 b4 = 1 0.84 2(0.84) = 1.68 b5 = 1 0.68 2(0.68) = 1.36 b6 = 1 0.36 2(0.36) = 0.72 b7 = 0 0.72 2(0.72) = 1.44 b8 = 1 0.44 2(0.44) = 0.88 b9 = 0 0.88 2(0.88) = 1.76 b10 = 1 0.76 2(0.76) = 1.52 b11 = 1 0.52 2(0.52) = 1.04 b12 = 1 0.04 2(0.04) = 0.08 b13 = 0 0.08 2(0.08) = 0.16 b14 = 0 0.16

2(0.16) = 0.32 b15 = 0 2(0.32) = 0.64 b16 = 0 2(0.64) = 1.28 b17 = 1 2(0.28) = 0.56 b18 = 0 2(0.56) = 1.12 b19 = 1 2(0.12) = 0.24 b20 = 0 2(0.24) = 0.48 b21 = 0 2(0.48) = 0.96 b22 = 0 2(0.96) = 1.92 b23 = 1 dan seterusnya.

0.32 0.64 0.28 0.56 0.12 0.24 0.48 0.96 0.92

Perhatikan bahwa b1 = b21 ; b2 = b22 ; b3 = b23 dan seterusnya 0.24 = 0.0011 1101 0111 0000 10102

Contoh : Konversi x = 0.1 ke dalam biner ; oktadesimal dan hexadesimal Konversi ke bilangan biner : 2(0.1) = 0.2 b1 = 0 0.2 2(0.2) = 0.4 b2 = 0 0.4 2(0.4) = 0.8 b3 = 0 0.8 2(0.8) = 1.6 b4 = 1 0.6 2(0.6) = 1.2 b5 = 1 0.2 2(0.2) = 0.4 b6 = 0 0.4 2(0.4) = 0.8 b7 = 0 0.8 dan seterusnya sehingga diperoleh : 0.1 = 0.0001 1001 1001 1001 1001 … 2 = 0.0001 10012

Konversi ke bilangan oktadesimal : 8(0.1) = 0.8 b1 = 0 0.8 8(0.8) = 6.4 b2 = 6 0.4 8(0.4) = 3.2 b3 = 3 0.2 8(0.2) = 1.6 b4 = 1 0.6 8(0.6) = 4.8 b5 = 4 0.8 8(0.8) = 6.4 b6 = 6 0.4 8(0.4) = 3.2 b7 = 3 0.2 dan seterusnya sehingga diperoleh : 0.1 = 0.0631 4631 4631 4631 … 8 = 0.0631 46318 Konversi ke bilangan hexadesimal : 16(0.1) =1.6 b1 = 1 16(0.6) = 9.6 b2 = 9 16(0.6) = 9.6 b3 = 9 16(0.6) = 9.6 b4 = 9 dan seterusnya sehingga diperoleh : 0.1 = 0.1999999999999 … 16 = 0.1916

0.6 0.6 0.6 0.6



Matlab menggunakan IEEE 64-bit dalam merepresentasikan semua bilangan dengan struktur bilangan sbb : S

Exponent

63

62

Mantissa 52 51

0 untuk bilangan positif S  b63   1 untuk bilangan negatif Bagian menyatakan nilai pecahan (seperti yang telah dibahas sebelumnya) yaitu 0,b51 b50 b49 … b0

0

Nilai exponen digunakan untuk menyatakan pengali pangkat dua dari bilangan pecahan.  Suatu bilangan dinyatakan dengan : (±0,b51 b50 b49 b48 … b0) x 2exp-1022 Contoh : 310 = 0 1024 0,110000000…0 1410 = 0 1026 0,111000000…0 -410 = 1 1025 0,100000000…0 





Penyelesaian soal analitik akan memberikan jawaban yang eksak, berbeda dengan penyelesaian dengan metode numerik mempunyai jawaban berupa nilai hampiran /pendekatan kecuali untuk sejumlah soal dengan jawaban bilangan rasional. Hal inilah yang mendasari sehingga diperlukan pengertian pendahuluan akan galat. Pada dasarnya galat didefisikan sebagai selisih antara nilai hampiran dan nilai eksak yang dinyatakan sebagai E = a’ – a dimana a’ adalah nilai hampiran dan a adalah nilai eksak. Galat seperti ini disebut sebagai galat mutlak.



Galat yang lain adalah galat relatif yang didefinisikan sebagai :

a'a galat absolut e  a nilai sebenarnya Dimana a ≠ 0.  Misalkan x = 3,141592 dan x’=3,14 maka galatnya adalah :  Galat absolut : E = x’ – x = 3,140000 – 3, 141592 = -0,001592 x' x  0,001592  Galat relatif : e    0,000507 x 3,141592 

Jika LSD (Least Significant Digit) adalah digit ke-d setelah titik desimal maka magnitude dari galat absolut tidak lebih besar dari setelah nilai LSD.

 x  x' x  10 1 2

d

Jika jumlah dari digit signifikat adalah s, maka magnitude dari galat relatif tidak lebih besar dari setengah nilai relatif.

x 

x x



x' x x

 12 10 s

   

  

Galat pemotongan. Galat karena representasi bit yang terbatas. Overflow/Underflow : hasil operasi yang sangat besar atau sangat kecil. Penjumlah antara bilangan yang sangat kecil dan sangat besar dengan selisih lebih dari 52 bit. Kehilangan signifikan karena pengurangan dua buah bilangan yang hampir sama. Perambatan galat. Galat yang disebabkan oleh algoritma, jumlah langkah dan lain-lain.

Perhatikan kedua fungsi berikut :

f1 ( x)  x ( x  1  x )

f 2 ( x) 

Seara analitik diketahui kedua fungsi ini sama.

x x 1  x



 

Perambatan galat terjadi dalam suatu operasi dimana nilai masukan yang mengadung galat akan menghasilkan operasi akan tetap mengandung galat. Jika diberikan dua buah bilangan x dan y yang masing-masing memiliki galat x dan y Maka magnitude galat absolut dari hasil operasi penjumlahan dan pengurangan diperoleh :  x  y  ( X  Y )  ( x  y )  ( X  x)  (Y  y )   x   y

 x y   x   y

 x y 

 x y X Y



X x X  Y y Y X Y



X x  Y  y X Y

 xy  XY  xy  XY  ( X   x )(Y   y )  X y  Y x  xy  X  y  Y  x

 xy 

 xy XY



y Y



x X

 x   y

 x/ y

X y  Y x X x X X x      Y y Y Y y Y2

 x/ y 

x/ y 

X y  Y x Y2

 x/ y X /Y



y Y



x X

 x   y