Trabajo Colaborativo Calculo Ii 68676m

TRABAJO COLABORATIVO CALCULO II

AREAS Y LOGITUDES MEDIANTE EL CALCULO INTEGRAL

TUTOR: LIC. ELIZABEHT ECHAVARRIA

INTEGRANTE: LUZ MERY CASTIBLANCO MARTINEZ COD. 1152040

INSTITUCION UNIVERSITARIA POLITECNICO GRAN COLOMBIANO BOGOTA 2018

Áreas y longitudes mediante el cálculo integral Ejercicio A continuación, se presenta un plano del primer piso de una casa en dos dimensiones: la medida del lado de cada cuadrado es de un metro, se omiten paredes internas, puertas y ventanas para facilitar los cálculos

Responder: a. Se quiere enbaldosinar toda la casa, por esto calcula el área de la casa utilizando como unidad el cuadrado de la cuadrícula. 𝑋 = 21 + 8 + 4 + 4 + 3 + 2 + 1 + 4 = 𝟒𝟕 Realizando la suma de los cuadrados que están entre la figura se obtiene que la figura tiene un área aproximada de 47 𝑚2

b. Ahora, use rectángulos para calcular el área de la casa, para esto realice el cálculo variando el número de rectángulos (cambie el número de rectángulos tres veces), por favor registre los datos obtenidos en la siguiente tabla. Número de intervalos

Estimado del área

8

39,4

15

41,8

45

46,8

Para 8 rectángulos, el área es en m2 ▭1 = 1 x 2 =2 ▭2 = 1 x 5 =5 ▭3 = 1 x 5 =5 ▭4 = 1 x 5,8 =5,8

-

- ▭5 = 1 x 6,8 = 6,8 - ▭6 = 1 x 5,8 =5,8 - ▭7 = 1 x 4,2 = 4,2 - ▭8 = 1,2 x 4 = 4,8

ÁTotal = 2 + 5 + 5 + 5,8 + 6,8 + 5,8 + 4,2 + 4,8 = 39,4 𝒎𝟐 Aproximadamente Para 15 rectángulos el área es en 𝑚2 ▭1 = 0,6 x 0,8 = 0,48 ▭2 = 0,6 x 2 = 1,2 ▭3 = 0,6 x 3,2 = 1,92 ▭4 = 0,6 x 5,4 =3,24 ▭5 = 0,6 x 5,4 = 3,24 ▭6 = 0,6 x 5,4 = 3,24 ▭7 = 0,6 x 5,8 = 3,48 ▭15= 0,4 x 4,6 = 1,84

-

- ▭8 = 0,6 x 6,8 = 4,08 - ▭9 = 0,6 x 7 =4,2 - ▭10 = 0,6 x 6,6 = 3,96 - ▭11 = 0,6 x 5,8 = 3,48 - ▭12 = 0,6 x 4,4 = 2,64 - ▭13 = 0,6 x 4 =2,4 - ▭14 = 0,6 x 4 = 2,4

ÁTotal = 41,8 𝑚2 c. Use la integral definida para calcular el área de la casa. 𝐓𝐑𝐀𝐌𝐎 𝟓 − 𝟔 TRAMO 4 – 5 𝒚 −𝒚

𝒇(𝒙) = 𝑺𝒆𝒏(𝒙) + 𝟒 𝑝1 (−𝟏, 𝟑)

𝟒−𝟑

𝒎 = 𝒙𝟐 −𝒙𝟏 = 𝟎+𝟏 = 𝟏 𝟐

𝟏

𝑝2 (𝟎, 𝟒)

𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 (𝒙 − 𝒙𝟏) 𝒚 − 𝟑 = 𝟏(𝒙 + 𝟏) 𝒚 = 𝒙 + 𝟒 → 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟒

𝐓𝐑𝐀𝐌𝐎 𝟐 – 𝟑 𝑝1 (−𝟑, −𝟏) 𝒎=

𝟏+𝟏 −𝟏+𝟑

=𝟏

𝑝2 (−𝟏, 𝟏) 𝒚 − 𝟏 = 𝟏 (𝒙 + 𝟏) 𝒚 = 𝒙 + 𝟐 → 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟐

𝐓𝐑𝐀𝐌𝐎 𝟐 – 𝟏 𝒑𝟏 (−𝟑, −𝟏) 𝒎=

−𝟑+𝟏 −𝟏+𝟑

= −𝟏

𝑝2 (−𝟏, −𝟑) 𝒚 + 𝟑 = −𝟏 (𝒙 + 𝟏) 𝒚 = −𝒙 − 𝟒 → 𝒇(𝒙) = −𝒙 − 𝟒

𝐓𝐑𝐀𝐌𝐎 𝟏 – 𝟏𝟎 𝝆𝟏 (−𝟏, −𝟑) 𝒎=

−𝟏+𝟑

=𝟏

𝟏+𝟏

𝝆𝟐(𝟏, −𝟏) 𝒚 + 𝟏 = 𝟏(𝒙 − 𝟏) 𝒚 = 𝒙 − 𝟐 → 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟐

𝐓𝐑𝐀𝐌𝐎 𝟏𝟎 − 𝟗 − 𝟖 𝝆𝒂𝒓𝒂𝒃𝒐𝒍𝒂 Ecuación Canónica

(𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝 (𝑦 − 𝑘) 𝑣(ℎ, 𝑘) 𝑣(3, −3) 𝑝=1 (𝑥 − 3)2 = 4(𝑦 + 3) 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = 4𝑦 + 12 x 2 − 6𝑥 − 3 = 4𝑦 x2 −6𝑥−3 4

=𝑦

→ 𝑓(𝑥) =

x2 −6𝑥−3 4

𝐓𝐑𝐀𝐌𝐎 𝟖 − 𝟕 𝒇(𝒙) = −𝟏 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒂𝒓𝒆𝒂𝒔 𝐓𝐑𝐀𝐌𝐎 𝟓 − 𝟔 𝟔,𝟐𝟖

(𝑺𝒆𝒏(𝒙) + 𝟒)𝒅𝒙 = [−𝑪𝒐𝒔(𝒙) + 𝟒𝒙]

𝑨=∫ 𝟎

𝑨 = (−𝟎, 𝟗𝟗 + 𝟐𝟓, 𝟏𝟐) − (−𝟏) = 𝟐𝟓, 𝟏𝟑 𝒎𝟐 𝐓𝐑𝐀𝐌𝐎 𝟒 − 𝟓 𝟎

𝑨 = ∫ (𝒙 + 𝟒)𝒅𝒙 = [ −𝟏 𝟎

𝑨=∫ [ −𝟏

x2 𝟐

x2 𝟐

+ 𝟒𝒙]

+ 𝟒𝒙] 𝟏

𝟕

𝟐

𝟐

𝐀 = (𝟎) − ( − 𝟒) = 𝑨 = 𝟑, 𝟓 𝒎𝟐 𝐓𝐑𝐀𝐌𝐎 𝟐 − 𝟑 −𝟏

𝑨 = ∫ (𝒙 + 𝟐)𝒅𝒙 = [ −𝟐 −𝟏

𝑨=∫ −𝟐

[

x2 𝟐

𝒙𝟐 + 𝟐𝒙] 𝟐

+ 𝟐𝒙]

𝟏 −𝟑 𝑨 = ( − 𝟐) − ( 𝟐 − 𝟒) = +𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝑨 = = 𝟎, 𝟓 𝒎𝟐 𝟐

𝐓𝐑𝐀𝐌𝐎 𝟐 − 𝟏, Restamos el tramo 2-3 entre -3 y -2 −𝟏

−𝟐

𝑨 = ∫ (−𝒙 − 𝟒)𝒅𝒙 − ∫ (𝒙 + 𝟐)𝒅𝒙 −𝟑

−𝟑

−𝟐 −𝒙𝟐 − 𝟒𝒙] − ∫ (𝒙 + 𝟐)𝒅𝒙 𝟐 −𝟑 −𝟑 −𝟏 −𝟗 𝟗 𝑨 = ⌈( + 𝟒) − ( + 𝟏𝟐)⌉ − ⌈(𝟐 − 𝟒) − ( − 𝟔)⌉ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟕 𝟏𝟓 𝟑 𝑨 = ( − ) − (−𝟐 + ) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝑨 = (−𝟒) + ( ) 𝟐 𝟕 𝑨 = − → 𝑨 = 𝟑, 𝟓 𝒎𝟐 𝟐 −𝟏

𝑨=∫

[

𝐓𝐑𝐀𝐌𝐎 𝟏 − 𝟏𝟎 𝟏

𝑨 = ∫ (𝑿 − 𝟐)𝒅𝒙 −𝟏

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙] −𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 −𝟑 𝟓 𝑨 = ( − 𝟐) − ( + 𝟐) = ( ) − ( ) = −𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝑨 = 𝟒 𝒎𝟐 𝟏

𝑨=∫ [

𝐓𝐑𝐀𝐌𝐎 𝟏𝟎 − 𝟗 − 𝟖 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟑 ) 𝒅𝒙 𝟒 𝟏 𝟓 𝟏 𝒙𝟑 𝑨= ∫ [ − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝒙] 𝟏 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏𝟐𝟓 𝟏 𝑨 = [( − 𝟕𝟓 − 𝟏𝟓) − ( − 𝟑 − 𝟑)] 𝟒 𝟑 𝟑 𝟏 −𝟏𝟒𝟓 −𝟏𝟕 𝑨 = [( )−( )] 𝟒 𝟑 𝟑 𝟏 −𝟏𝟐𝟖 −𝟑𝟐 𝑨= ( )=( ) = −𝟏𝟎, 𝟔𝟔 𝟒 𝟑 𝟑 𝑨 = 𝟏𝟎, 𝟔𝟔 𝒎𝟐 𝟓

𝑨= ∫ (

𝐓𝐑𝐀𝐌𝐎 𝟖 − 𝟕 𝟔,𝟐𝟖

𝑨=∫

−𝒅𝒙

𝟓 𝟔,𝟐𝟖

𝑨=∫

[−𝒙] = (−𝟔, 𝟐𝟖) − (−𝟓) = −𝟏, 𝟐𝟖

𝟓

𝑨 = 𝟏, 𝟐𝟖 𝒎𝟐 ∑A= Atotal 𝑨𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟏, 𝟐𝟖 + 𝟏𝟎, 𝟔𝟔 + 𝟒 + 𝟑, 𝟓 + 𝟎, 𝟓 + 𝟑, 𝟓 + 𝟐𝟓, 𝟏𝟑 𝑨𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟒𝟖, 𝟓𝟕 𝒎𝟐

d. Teniendo en cuenta el ítem b y c ¿Cuál es la mejor aproximación del área de la casa? Justifique su respuesta. Rta). La mejor aproximación la obtenemos con el ítem C, por que la integral definida tiene la propiedad de tomar rectángulos dentro de la figura de un anchor infinitamente pequeño, lo que a su vez se refleja en una mayor aproximación del resultado. e. Por seguridad el propietario quiere colocarle cerca eléctrica a la casa, para esto debe conocer ¿cuántos metros lineales de cerca necesita? Use técnicas de integración 𝑑𝑥 2

𝒃

𝒍 = ∫𝒂 √𝟏 + ( )

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑻𝑹𝑨𝑴𝑶 𝟓 − 𝟔 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛(𝑥) + 4

𝐶𝑜𝑠 2 x + 𝑆𝑒𝑛2 𝑥 = 1

𝑑𝑦 = 𝐶𝑜𝑠(𝑥), 𝑑𝑥

𝐶𝑜𝑠𝑥 = √1 − 𝑆𝑒𝑛2 𝑥

1 𝑑𝑥 = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝑑𝑦

𝐶𝑜𝑠𝑥 = √1 − (𝑦 − 4)2

𝑑𝑥 𝑑𝑦

= = √1 − (𝑦 − 4)2 =

6,28

𝐿 = ∫0

1 √[(1−(𝑦−4))] [(1+(𝑦−4))]

1

√1 + 1−(𝑦−4)2 𝑑𝑦

𝑳 = 𝟕, 𝟔𝟒𝒎 𝑻𝑹𝑨𝑴𝑶 𝟒 − 𝟓 0

𝑦=𝑥+4 →𝑦−4=𝑥

𝐿 = ∫−1 √2 𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝐿 = ∫−1 √2 [𝑦]

𝑑𝑦

=1

0

𝐿 = √2 m

𝑻𝑹𝑨𝑴𝑶 𝟒 − 𝟑 → 𝐿 = 2𝑚 𝑻𝑹𝑨𝑴𝑶 𝟑 − 𝟐 → 𝐿 = √8 𝑚 𝑻𝑹𝑨𝑴𝑶 𝟐 − 𝟏 → 𝐿 = √8 𝑚 𝑻𝑹𝑨𝑴𝑶 𝟏 − 𝟏𝟎 → 𝐿 = √8 𝑚 𝑻𝑹𝑨𝑴𝑶 𝟖 − 𝟕 → 𝐿 = 1,28 𝑚 𝑻𝑹𝑨𝑴𝑶 𝟕 − 𝟔 → 5𝑚 𝑻𝑹𝑨𝑴𝑶 𝟏𝟎 − 𝟗 − 𝟖 → 𝐿 = 4,59

𝑳𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟑𝟎, 𝟒𝟏 𝒎 Rta: Se necesitan 30,41 m lineales de cerca