Trabajo Colaborativo Unidad 3 1r23

RAZONAMIENTOS LÓGICOS, INFERENCIA LÓGICA Y ARGUMENTOS LÓGICOS (INDUCTIVOS) TRABAJO COLABORATIVO TRES

VIVIANA MARCELA SANCHEZ JHON MARIO YEPES BLANCA CECILIA GONZÁLEZ GRUPO: 200611_182

PENSAMIENTO LÓGICO Y MATEMÁTICO

JULIAN DARIO GIRALDO TUTOR

UNIVERDIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD 26 DE JUNIO DE 2016 COLOMBIA

INTRODUCCIÓN Este trabajo colaborativo corresponde a la tercera unidad razonamientos lógicos, inferencia lógica y argumentos lógicos (inductivos) del curso Pensamiento Lógico y Matemático de la UNAD, en el cual se desarrollan las actividades planteadas dando a conocer las respuestas positivas al aprendizaje adquirido por los participantes del grupo en las anteriores unidades, dando facilidad para la elaboración de esta unidad en un trabajo colaborativo. En esta unidad se conceptualiza las terminologías, planteamiento y solución de problemas aplicando la tabla de verdad, razonamientos, inferencia y argumentos lógicos para concluir la validez o invalidez de la estructura del enunciado.

OBJETIVOS 

Desarrollar en los estudiantes habilidades para el aprendizaje colaborativo.



Incentivar a los estudiantes a investigar y estudiar individualmente los recursos otorgados y socializarlos con sus compañeros.



Aprender las terminologías del tema para facilitar el desarrollo.



Identificar la estructura de un enunciado



Determinar la validez de un argumento



Aprender la simbolización de la inferencia lógica



Resolver los ejercicios planteados aplicando las inferencias lógicas.

Resolución de problemas individuales

VIVIANA MARCELA SANCHEZ RENTERIA Aporte 1 PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMATICA Sea P una propiedad definida en los números naturales (enteros positivos). Si 1 satisface esa propiedad y además si a partir de cualquier natural n que satisface esa propiedad se llega a que n + 1, también la satisface, entonces cada número natural la satisface. Para probar que una propiedad P se cumple en los números naturales, usando el principio de inducción matemática, se siguen los siguientes pasos: 1°) Se comprueba para n = 1

(Comprobación).

2°) Se asume que se cumple para n = k

(Hipótesis de inducción).

3°) Se predice que se cumple para n = k + 1

(Tesis).

4°) Se demuestra que si se cumple para n = k, entonces se cumple para n = k + 1

(Demostración).

Observación: En algunos casos la propiedad se cumple a partir de un cierto natural m > 1. Dada esa situación, en el primer paso se comprueba para n = m. Ejemplo 1 Demuestre por inducción matemática que: Si n es un entero positivo, entonces n (n + 1) es divisible por 2. a) Sea n

=

1, entonces:

n (n + 1)

= 2

(Verdadero).

b) Sea n = k, entonces: k (k + 1) es divisible por 2

(Hipótesis de inducción).

c) Sea n = k + 1, entonces: (k + 1 ) (k + 2) es divisible por 2 d) Demostración:

(Tesis).

(k + 1) (k + 2) = k (k + 1) + 2 (k + 1) k (k + 1) es divisible por 2 2 (k + 1) es divisible por 2 Por lo tanto

(Por hipótesis de inducción).

(Entero par).

k + 1) (k + 2) es divisible por 2.

Ejemplo 2 Demuestre por inducción matemática que: 2 + 6 + 10 + . . . . . + (4 n – 2) a) Sea n

=

4n – 2 2n2

=

= 2n2

1, entonces: = 2

2 (Verdadero).

b) Sea n = k , entonces: 2 + 6 + 10 + . . . . . + (4 k – 2)

=

2k2

(Hipótesis de inducción).

c) Sea n = k + 1, entonces: 2 + 6 + 10 + . . . . . + (4 k – 2) + (4 (k + 1) – 2)

=

2(k + 1) 2

(Tesis).

d) Demostración: 2 + 6 + 10 + . . . . . + (4 k – 2)

=

2k2

(Por hipótesis de inducción). 2k2

2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 k – 2 ) + ( 4 ( k + 1 ) – 2 )

=

2 + 6 + 10 + . . . . . + (4 k – 2) + (4 (k + 1) – 2)

2k2 + 4k + 2

=

Por lo tanto 2 + 6 + 10 + . . . . . + (4 k – 2) + (4 (k + 1) – 2) Ejemplo 3 Demuestre por inducción matemática que: Si n es un entero positivo, entonces a 2 n – b 2 n es divisible por a + b. a) Sea n

=

1, entonces:

+ (4(k + 1) – 2)

=

2 (k + 1) 2

a 2n – b 2n =

a2 – b2

=

(a + b)(a – b)

(Verdadero).

b) Sea n = k, entonces: a 2 k – b 2 k es divisible por a + b

(Hipótesis de inducción).

c) Sea n = k + 1, entonces: a 2 ( k + 1 ) – b 2 ( k + 1 ) es divisible por a + b

(Tesis).

d) Demostración: a 2 k – b 2 k es divisible por a + b

(Por hipótesis de inducción).

a 2 (a 2 k – b 2 k) es divisible por a + b. b 2 k (a 2 – b 2) es divisible por a + b. a 2 (a 2 k – b 2 k) + b 2 k (a 2 – b 2) es divisible por a + . a 2k

+ 2

– a 2 b 2k + b 2k a 2 – b 2k

+ 2

es divisible por a + b.

Por lo tanto a 2 ( k + 1 ) – b 2 ( k + 1 ) es divisible por a + b. Aporte 2

SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH) Dados dos implicaciones, de las cuales, el antecedente de la una sea el consecuente de la otra (el mismo enunciado), podemos construir una nueva implicación cuyo antecedente sea el de aquella implicación cuya consecuencia sea el antecedente de la otra implicación, y cuyo consecuente sea el de ésta última, cuyo antecedente era consecuencia del primero. Expresado de otro modo, si una causa se sigue una consecuencia, y ésta consecuencia es a su vez causa de una segunda consecuencia, se puede decir que esa primera causa es causa de esa segunda consecuencia, del mismo modo que, si una bola de billar roja golpea a otra bola blanca que a su vez golpea a una bola negra, la bola roja es causa del movimiento de la bola negra. Expresado en forma de inferencia lógica: p→q

“Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola blanca se mueve”

q→r “Si la bola blanca golpea a la bola negra, la bola negra se mueve” ________________________________________________________________ p→r

“Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola negra se mueve”

SILOGISMO DISYUNTIVO (DS) Dadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyunción cuyos sean los antecedentes de los condicionales, podemos concluir en una nueva premisa en forma de disyunción, cuyos serían los consecuentes de las dos implicaciones. Lógicamente, si planteamos una elección entre dos causas, podemos plantear una elección igualmente entre sus dos posibles efectos, que es el sentido de esta regla. p→q

“Si llueve, entonces las calles se mojan”

r→ s

“Si la tierra tiembla, los edificios se caen”

pV r “Llueve o la tierra tiembla” ____________________________________________________ qV s

“Las calles se mojan o los edificios se caen”

APORTE 3 TERCER APORTE INDIVIDUAL Seleccionar uno de los siguientes enunciados y a través de las dos formas básicas de uso de las Tablas de Verdad y del uso de las Leyes de Inferencia demostrar la validez o no validez del argumento dado: Los estudiantes que conformaron el CIPAS de Álgebra Trigonometría y Geometría Analítica se han reunido y deben buscar bibliografía del tema de secciones cónicas, de lo cual conversan lo siguiente: “Vamos a consultar la tarea en el edificio de la biblioteca de la UNAD si está caluroso el día. Si no vamos a consultar la tarea en el edificio de la biblioteca de la UNAD, entonces vamos a hacer la consulta por el portal virtual E-Biblioteca. Si vamos a hacer la consulta por el portal virtual E- Biblioteca, entonces vamos a descargar el libro en PDF. Por lo tanto vamos a descargar el libro PDF. Solución: Este enunciado es u razonamiento inductivo P: esta caluroso el día Q: vamos a consultar la tarea en el edificio de la biblioteca de la Unad R: vamos a hacer la consulta por el portal virtual E- biblioteca.

S: vamos a descargar el libro pdf. Premisa 1: Premisa 2: Premisa 3:

p

q

r

Conclusión: S

s

Tabla de verdad

V V V V V V V V F F F F F F F F

V V V V F F F F V V V V F F F F

V V F F V V F F V V F F V V F F

V F V F V F V F V F V F V F V F

F F F F V V V V F F F F V V V V

V V V V F F F F V V V V F F F F

V V V V V V F F V V V V V V F F

V V V V F F F F V V V V V V F F

V F V V F F F F V F V V V F V V

V F V V F F F F V F V V V F F F

V V V F V V V V V V V F V V V V

La tabla de verdad es una contingencia. Demostración por leyes de inferencia Premisa 1: Premisa 2: Premisa 3: Premisa 4: Premisa 5:

Teniendo en cuenta el resultado que dio la tabla de verdad y al realizar la demostración de las leyes de inferencia, no pudo ser coherente con las premisa 4 y 5 para llegar a la conclusión por esta razón este argumento es inválido.

JHON MARIO YEPES APORTE 1 DEMOSTRACION POR CONTRAPOSICION

Este método se utiliza cuando queremos demostrar una implicación lógica, esta demostración consiste en negar la hipótesis y la conclusión combinándolas de lugar en la implicación lógica. La podemos representar simbólicamente así: Si tenemos p → q Aplicando el método por contraposición a la implicación anterior demostraremos su contrapositiva de la siguiente manera: ¬q → ¬p Con esto observamos que la implicación lógica y su contrapositiva son operaciones lógicas equivalentes, es decir si demostramos que la implicación lógica es verdadera significa entonces que su contrapositiva también es verdadera y viceversa. Ejemplo: Ay B son números reales, si AB es un numero par, entonces A y B son números pares. P: AB es un número par q: A es un numero par r: B es un numero par El antecedente de la implicación lógica AB son números pares, su negación seria AB no son números pares. Entonces tenemos que: ¬p: AB es un número impar El consecuente de la implicación está formado por la conjunción de dos proposiciones. Su representación será: q Λ r= A es un numero par y B es un numero par La negación seria: ¬(q Λ r)= ¬q V ¬r : A es un número impar o B es un numero impar

Ejemplo 2 Si llueve hace frio, si llueve entonces hace frio

Preposiciones P: llueve q: hace frio Representación simbólica (p → q) Contraposición (¬q → ¬p)= si no hace frio entonces no llueve APORTE 2

DILEMA CONSTRUCTIVO Es una regla de inferencia de lógica proposicional que consta de dos premisas condicionales con el mismo consecuente y una disyunción delos antecedentes. Esta inferencia dice que si p implica q y r implica s; o si q es falso o s es falso entonces p o r deben ser falsas, es decir si dos condicionales son verdaderas pero uno de sus consecuentes es falso entonces uno de sus antecedentes tienen que ser falso.

Notación formal {[ (p→q)Λ(r→s)] Λ(pVr)}→(qVs) Ejemplo P= llueve q= me mojo r= camino s= me canso

Premisas p→q = si llueve entonces me mojo

r→s= si camino entonces me canso pVr= si llueve o si camino q V s= me mojo o me canso (conclusión) Ejemplo 2 Si juan va a la Alaska se congela en invierno y si va a Miami se aza en verano. Sabemos que juan se va a Alaska o a Miami por lo tanto concluimos que juan se congela en invierno o se aza en verano P= juan se va para Alaska q= se congela en invierno r= juan se va para Miami s= se aza en verano Premisas p→q = si juan se va a la Alaska entonces se congela en invierno r→s= si juan se va a Miami entonces se aza en verano pVr= si juan se va a Alaska o se va a Miami __________________________________________ Conclusión-

qVs=se congela o se aza

LEY DE ABSORCIÓN Es una forma lógica de argumento válido, en la cual la regla establece que si p implica q entonces p implica p y q. con esta regla es posible introducir conjunciones en prueba, con la ley de absorción el termino q es absorbido por el termino p en la consecuencia formalmente; es decir la preposición p es dominante ante las demás preposiciones, por lo tanto las preposiciones son iguales a p Ejemplo p= va a llover q= llevo mi abrigo

Premisa: Conclusión:

p→q p→(pΛq)

si va a llover entonces llevo mi abrigo si va a llover, entonces va a llover y llevo mi abrigo

Aporte 3 Todos nos sentimos afligidos por la situación ocurrida en Ecuador el día 16 de Abril, por el Terremoto que ha generado una tragedia para los habitantes de dicha Nación, analicemos lo siguiente: “Si hay una situación de calamidad pública, el índice de sobrevivientes disminuye. Si llegan tardíamente las ayudas internacionales, las esperanzas de la recuperación social serán menores. Si el índice de disminuye y las esperanzas de la recuperación social son menores, entonces la sociedad irá recuperándose lentamente. La calamidad pública es un hecho y las ayudas internacionales llegan de manera tardía. Luego, la sociedad irá recuperándose lentamente”. Solución La estructura del enunciado corresponde a un razonamiento inductivo Preposiciones p= hay una situación de calamidad publica q= el índice de sobrevivientes disminuye r= llegan tarde las ayudas internacionales s= la esperanza de recuperación social es menor t= la sociedad ira recuperándose lentamente Premisas P.1= p→q P.2= r→s P.3= (qΛs)→t Conclusión= t Representación en tabla de verdad {(p→q)Λ( r→s)Λ (qΛs)}→t

La anterior tabla nos conduce a una contingencia lo cual indica que el razonamiento no es valido

p T T T T T T T T T T T T T T T T F F F F F F F F F F F F F F F F

q T T T T T T T T F F F F F F F F T T T T T T T T F F F F F F F F

r T T T T F F F F T T T T F F F F T T T T F F F F T T T T F F F F

s

t

T T F F T T F F T T F F T T F F T T F F T T F F T T F F T T F F

T F T F T F T F T F T F T F T F T F T F T F T F T F T F T F T F

{(p→q)Λ(r→s)Λ(qΛs)}→t T F T T T F T T T T T T T T T T T F T T T F T T T T T T T T T T

Demostración por leyes de inferencia Premisas.1= p→q

Premisas.2= r→s Premisas.3= (qΛs)→t P.4= (pΛr) →s P.5= r→(sVt)

MPP (1) HS (4)(6)

P.6= t

BLANCA CECILIA GONZALEZ Aporte 1 METODOS DE DEMOSTRACIÓN

Es necesario reconocer que la demostración es un razonamiento que prueba la validez de un nuevo conocimiento; es el enlace entre los conocimientos recién adquiridos y los conocimientos anteriores. Los procedimientos de demostración permiten establecer la conexión lógica entre las proposiciones fundamentales de la teoría, sus consecuencias sucesivas, hasta deducir la conclusión o tesis que así se demuestra. Ahora hablaremos de lo que es una demostración directa.

DEMOSTRACIÓN DIRECTA: La demostración directa es una proposición t denominado teorema, es un conjunto de proposiciones o premisas que son postulados o proposiciones de validez aceptada y de las cuales se infiere t como consecuencia inmediata. Ejemplo Dada las premisas 1. p →~q 2. r→q Concluir: t. p →~r Demostración: puesto que r→q es equibvalente a ~q→~r, MTT se tiene la premisa: 3. ~q→~r, ahora de las premisas 1 y 3 se puede concluir t, es decir, como p→~q y ~q →~r, entonces, p→~r. por SH

Se plantea una proposición, en la forma si p entonces q, donde p se denomina hipótesis (condición suficiente) y q, se llama tesis o conclusión (condición necesaria). Por ejemplo, si llueve la pista está mojada; esto es: que es una condición suficiente para que se aniegue la pista, es que llueva. Y si llueve necesariamente se moja la pista. En el contexto matemático, de la verdad de la hipótesis se llega a la verdad de la conclusión, usando proposiciones cuya certeza se conoce previamente.

En la demostración directa, la conclusión se establece al combinar lógicamente los axiomas, definiciones, y teoremas previos. Por ejemplo, la demostración directa puede ser usada para establecer que la suma de dos enteros pares es siempre par:

Considere dos enteros pares x e y. Como son pares, pueden ser escritos como x = 2a e y = 2b, respectivamente, para enteros a y b. Luego la suma x + y = 2a + 2b = 2(a+b). Por lo tanto x+y tiene un factor de 2 y, por definición, es par. Por lo tanto la suma de dos enteros pares es par.

También un teorema se puede enunciar en la forma "p si, sólo si q", que conlleva dos enunciados "si...entonces". Se prueba " si p...entonces q" y además, " si q... entonces p". Como ejemplo, es un número impar si, sólo si es par. Enunciados de esta índole, en la práctica, pueden demostrase directamente los dos o bien por reducción la absurdo. Lo importante es el enlace bicondicional.

DEMOSTRACIÓN INDIRECTA:

Se realiza una demostración indirecta cuando se establece la validez de una tesis t probando que las consecuencias de su contraria son falsas. El método de demostración indirecta se basa en el hecho de que si ~t es falsa, entonces t es verdadera (negar-negado). La mejor manera hacerlo es demostrando que ~t no es compatible con las afirmaciones dadas en la hipótesis. Ejemplo Construir la demostración indirecta de: Si x² es par, entonces x es par, (con x entero) Supongamos que existe al menos un entero x tal que x² es par y x es impar. Analizando en la demostración directa, se sabe que si x es impar, entonces x² es impar, luego es imposible que x sea impar y que x² sea par.

Aporte 2 MPP o Modus Ponendo Ponens: La regla Ponendo ponens significa “Afirmar lo afirmado” y en una condicional establece que si el antecedente se afirma, necesariamente se afirma el consecuente. Se puede decir entonces que e l condicional es aquella operación que establece entre dos enunciados una relación de causa o efecto. Ejemplos "Si Juan estudia, aprende", encontramos que Juan estudia, ¿Que podemos concluir? ...... "que Juan aprende". Declaración de proposiciones p = Juan estudia q = Juan aprende Las premisas del razonamiento corresponden a los enunciados que llevan a la conclusión, en este razonamiento encontramos como premisas: PREMISA MAYOR:

p --> q = Si juan estudia, entonces aprende.

PREMISA MENOR:

p = Juan estudia.

CONCLUSIÓN:

q = Juan aprende

Otra forma de escribir esta ley de inferencia es: (p --> q)^p = Si juan estudia, entonces aprende. y ocurre que estudia. Observa que esta es la conjunción de las premisas. Si el razonamiento es válido, la conjunción de las premisas siempre implicará la conclusión, luego: [(p --> q)^p]--> q = Si juan estudia, entonces aprende. y ocurre que estudia luego aprende. En conclusión, esta es la representación del MPP: [(p --> q)^p]--> q Recordemos la primera representación aprendida: p --> q se lee Si Juan estudia, entonces aprende p se da que Juan estudia _________ esta línea se lee: en conclusión q se lee Juan aprende En conclusión, el MPP, y en general cualquier ley de inferencia se puede representar así: p --> q p _____ q O se puede representar como la conjunción de las premisas implicando la conclusión: [(p --> q)^p]--> q REGLA

TP (Mdus tollendo pones)

A˅B ¬B _______ A El Modus Tollendo Tollens o MTT Tollendo tollens significa “negado, niego” si de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado (Efecto), eso nos conduce a negar el antecedente (Causa), puesto que si un efecto no se da, su causa no ha podido darse. Veamos un ejemplo de este razonamiento: "Si Juan estudia, aprende", encontramos que Juan no estudia, ¿Que podemos concluir? .... "que Juan no aprende". Modus Tollendo Tollens, puede ser representada como sigue: p = Juan estudia q = Juan aprende Esta ley de inferencia se representará así: p --> q se lee Si Juan estudia, entonces aprende ¬p se da que Juan no estudia _________ esta línea se lee: en conclusión

¬q se lee Juan no aprende Podemos representar el MTT como: [(p --> q)^¬p]--> ¬q

REGLA TT (Modus tollendo tollens) A→B ¬B ------¬A aporte 3 RESOLUCIÓN DE PROBLEMA

Si Bibiana aprueba el periodo académico entonces Johanna y Santiago sus hermanos se enojan con ella. Y si no aprueba el periodo académico, pierde los beneficios de la beca obtenida en la Universidad. Pero, Bibiana aprueba el periodo académico o no lo aprueba. Por lo tanto, Johanna y Santiago sus hermanos se enojan con ella o pierde los beneficios de la beca obtenida en la Universidad.

p. Bibiana aprueba el periodo académico q. Johanna y Santiago se enojan con ella r. pierde los beneficios de la Universidad Premisa 1 ( p → q ) Si Bibiana aprueba el periodo académico entonces Johanna y Santiago

sus hermanos se enojan con ella.

Premisa 2 (~p → r) Y si no aprueba el periodo académico, pierde los beneficios de la beca obtenida en la Universidad Premisa 3

(p v ~p)

Pero, Bibiana aprueba el periodo académico o no lo aprueba Conclusión (q v r) Por lo tanto, Johanna y Santiago sus hermanos se enojan con ella o pierde los beneficios de la beca obtenida en la Universidad. [( p → q ) ^ (~p → r) ^ (p v ~p)] → (q v r)

REPRESENTACIÓN TABLA DE VERDAD

p

q

r

~p

V V V F V V F F

(p→q)

V V

(~p → r)

F F

( p → q ) ^ (~p → r)

F F

(q v r)

V V

( p → q ) ^ (~p → r) → (q v r)

V V

V V F F F F

F F V V F F

V F V F V F

F F V V V V

F F V V V V

F F F V F V

F

V

V

F F V F V

F V V V F

V V V V V

La resolución del problema da una tautología por consiguiente el razonamiento es VALIDO.

Demostración por leyes de inferencia Premisa 1

(p→q)

Premisa 2

(~p → r)

Premisa 3

(p v ~p)

Conclusión (q v r) __________________________

4

~p

5 6

TT (1), (3) HS (1), (4)

(q v r)

p→q

DS (1), (2) CONCLUSION

“Bibiana aprueba el periodo académico entonces Johanna y q→ r

Santiago se enojan con ella”

“Johanna y Santiago se enojan con ella y pierde los beneficios de la

Universidad”

p V ~p Bibiana aprueba el periodo académico o no lo aprueba ____________________________________________________ q˅ r

“Johanna y Santiago se enojan con ella o

pierde los beneficios de la Universidad”

Teniendo en cuenta el resultado que dio la tabla de verdad y al realizar la demostración de las leyes de inferencia por silogismo disyuntivo se puede decir que este razonamiento es válido.

FASE GRUPAL Ana revisa las notas que lleva hasta el momento en el curso de Pensamiento Lógico y Matemático, y se da cuenta que debe realizar muy bien las tareas faltantes para alcanzar a ganar el curso, observa que está a punto de abrirse el foro del trabajo Colaborativo Tres y entonces se hace la siguiente autorreflexión: “Si soy disciplinada en mis estudios entonces entrego mis aportes significativos a tiempo o resuelvo mis inquietudes del tema con mi tutor. Si me dedico a rumbear, pasear, entonces no entrego mis aportes significativos a tiempo. Si en las noches veo video-tutoriales del tema entonces no necesito resolver mis inquietudes del tema con mi tutor. Soy disciplinada en mis estudios y en las noches veo video-tutoriales del tema. Por lo tanto entrego mis aportes significativos a tiempo”. La estructura del enunciado corresponde a un razonamiento deductivo. P: disciplinada en los estudios q: entrego aportes a tiempo r: resuelvo inquietudes con el tutor s: me dedico a rumbear, pasear t: ver tutoriales Identificación de las premisas simples: Premisa 1: p-> (q v r) Premisa 2: s ->~q Premisa 3: t->~r Premisa 4: p ^ t Conclusión: q Tabla de verdad [(P-> (q v r) ^ (s->~q)] ^ [(t->~r) ^ (p ^ t)]->q p

q

r

s

t

qvr

(p->(q

~

s->

(P->(q v r) ^

~r

t->

p^

(t-> ~r) ^ (p ^

[(P->(q v r) ^ (s-> ~q)] ^[(t->~r)

[(P->(q v r) ^ (s->~q)]

q

~q

(s-> ~ q)

~r

t

t)

^ (p ^ t)]

^[(t->~r) ^ (p ^ t)]->q

v r)

V V V V V V V V V V V V V V V V F F F F F F F F F F F F F F F F

V V V V V V V V F F F F F F F F V V V V V V V V F F F F F F F F

V V V V F F F F V V V V F F F F V V V V F F F F V V V V F F F F

V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F

V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F

V V V V V V V V V V V V F F F F V V V V V V V V V V V V F F F F

V V V V V V V V V V V V F F F F V V V V V V V V V V V V V V V V

F F F F F F F F V V V V V V V v F F F F F F F F V V V V V V V V

F F V V F F V V V V V V V V V V F F V V F F V V V V V V V V V V

F F V V F F V V V V V V F F F F F F V V F F V V V V V V V V V V

F F F F V V V V F F F F V V V V F F F F V V V V F F F F V V V V

F V F V V V V V F V F V V V V V F V F V V V V V F V F V V V V V

V F V F V F V F V F V F V F V F F F F F F F F F F F F F F F F F

F F F F V F V F F F F F V F V F F F F F F F F F F F F F F F F F

F F F F F F V F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F

V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V F F F F F F F F

Demostración por leyes de inferencia: Premisa 1: P -> (q v r) Premisa 2: s ->

q

Premisa 3: t -> r Premisa 4: p ^ t Premisa 5: t Premisa 6: r Premisa 7: p

sim de

Premisa 8: q V r

MPP de 7 y 1

Premisa 9: q

sim de 8

REFERENCIAS Unidad 3: validez de razonamiento lógico y leyes de inferencia http://www.eneayudas.cl/induccionmatematica/induccionmatematica.htm http://www.colegiosansaturio.com/deptomatesweb/SANSAMATES/Trabajos/juegosestrategia_sara2rodriguez2cc/prop.htm