Vector Tangente, Normal Y Binormal 3a2p2i

Definiciones:

Z N

Sea C una curva en el espacio definida por la C función r (t); según hemos visto, dr/dt es un vector T en la dirección de la tangente a C. Considerando al B escalar t como la longitud de arco s medida a partir Y 0 de un punto fijo de C de la curva dr/dt es un vector tangente a C y que llamaremos T como se observa X en la figura de la derecha. La variación de T respecto de s es una medida de la curvatura de C y viene dada dT dT por: ds .La dirección de ds en un punto cualquiera de C es la correspondiente a la normal a la curva en dicho punto. El vector unitario N en dirección de la normal se llama normal principal a la curva. El vector unitario B definido por el producto vectorial: B  T  N , perpendicular al plano formado por T y N, se llama binormal a la curva C. Este sistema de coordenadas recibe el nombre de triedro intrínseco en el punto. Como a medida que varía s el sistema se desplaza, se le conoce con la denomonación de triedro móvil.

DEFINICIÓN DE VECTOR TANGENTE UNITARIO

Recordemos que una curva se dice que es suave en un intervalo si r´ es continua y no nula en dicho intervalo. Así pues, la suavidad es suficiente para garantizar que una curva posee vector tangente unitario en todos sus puntos.

Cálculo del vector tangente unitario EJEMPLO 1: Hallar el vector tangente unitario a la curva dada por:

Se calcula la primera derivada de r (t )  ti  t j cuando t  1 2

r (t ) i  2tj T ( t )   r(t )  i  2tj por tanto el vector tangente unitario es: r (t ) 1  4t

Cuando t =1, el vector tangente unitario es: T (1)  Ver figura de la siguiente diapositiva

i2j 5

2

La dirección del vector tangente unitario depende de la orientación de la curva. Si la parábola estuviera dada por:

r (t )  (t  2)i  (t  2) j 2

T(1) sería todavía el vector tangente unitario en el punto (1, 1), pero apuntaría en la dirección opuesta. DEFINICIÓN DE VECTOR NORMAL PRINCIPAL (UNITARIO)

Cálculo del vector normal principal (unitario) EJEMPLO 2: Hallar N (t) y N (1) para la curva representada por: r (t )  3ti  2t j 2

Derivando la función dada vemos que: r (t )  3i  4tj

y

r (t )  9  16t

De donde se deduce que el vector tangente unitario es: r (t ) 1 Vector tangente unitario T (t )   (3i  4tj ) r (t ) 9  16t 2

Ahora derivando T (t) respecto de t, tenemos: T (t ) 

1 16t 12 (4 j )  (3i  4tj )  (4ti  3 j ) 9  16t (9  16t ) (9  16t ) 2

2

3

2

9  16t 12 T (t )  12  (9  16t ) 9  16t

2

3

2

2

3

2

Por lo tanto el vector normal principal es: N (t ) 

T (t ) 1  (4ti  3 j )  T (t ) 9  16t 2

2

2

Cálculo del vector normal principal (unitario) …continuación

Cuando t = 1, el vector normal principal es:

1 N (1)  (4i  3 j ) 5 Tal como se muestra en la figura de la derecha:

DEFINICIÓN DE VECTOR BINORMAL El vector unitario B definido por el producto vectorial: B  T , N perpendicular al plano formado por T y N, se llama binormal a la curva C.

Cálculo del vector binormal Para calcularlo solo basta aplicar el producto cruz de los vectores T y N