Vectores Del Plano Real 3u1935

Vectores del Plano Real Contenido de esta página:  

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Introducción Conceptos y definiciones de vector, vector opuesto, módulo de un vector, suma y resta de vectores, vector que une dos puntos, vectores proporcionales, vectores perpendiculares, producto por un escalar, producto escalar de dos vectores y ángulo que forman dos vectores. 22 Ejercicios resueltos sobre los conceptos y las operaciones anteriores.

Introducción Tanto los puntos del plano como los vectores quedan determinados por sus coordenadas. Podemos decir que la diferencia entre ambos es que el punto representa un lugar del plano y el vector representa un desplazamiento. Por ejemplo, el punto P = (1, -1) representa el punto del plano con dichas coordenadas, el punto en sí; mientras que el vector de coordenadas (1, 1) representa un desplazamiento de una unidad a la derecha y una unidad hacia abajo. Si vemos los vectores como desplazamientos, es lógico hablar de su dirección, sentido y módulo (el módulo es la longitud del vector, la longitud del desplazamiento ). Asimismo, también es lógico sumar vectores o aumentar su longitud (multiplicarlo por un escalar). También, de este modo tiene sentido que podamos representar el mismo vector en cualquier punto del plano: podemos realizar el mismo desplazamiento desde cualquier punto. Esta sección es una introducción a los conceptos básicos de los vectores del plano real . Estos conceptos son los mismos que los de los vectores del espacio tridimensional. También diremos que, en las Matemáticas, los vectores del plano conforman un espacio vectorial, que es una determinada estructura que nos permite demostrar teoremas y propiedades cuyas aplicaciones resultan útiles en otros campos de la ciencia, especialmente en la Física.

Definición de Vector

Ver Concepto y Ejemplo Un vector del plano

es

v1 es la primera coordenada y v2 es la segunda coordenada. Representamos el vector en el plano como una flecha que parte del origen (0, 0) y termina en el punto que tiene las mismas coordenadas que el vector: P = ( v1 , v2 ). Ejemplo:

Conceptos:

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El sentido del vector es el sentido que indica la flecha al representar el vector (la flecha tiene que apuntar siempre al punto de las coordenadas del vector). La dirección del vector queda determinada por el ángulo que forma con el eje de abscisas (o de ordenadas). Notemos que para una misma dirección existen dos sentidos. El módulo del vector es la longitud de éste. Más adelante veremos cómo calcularlo a partir de sus coordenadas.

Nota: podemos representar el mismo vector en otro punto del plano (en vez de en el origen) si mantenemos el sentido y el módulo ya que el ángulo que forma con los ejes es el mismo.

Vector Opuesto

Ver Concepto y Ejemplo

Módulo de un Vector

Ver Concepto y Ejemplo

Vector Unitario

Ver Concepto y Ejemplo

Suma de Vectores

Ver Operación y Ejemplo

Resta de Vectores

Ver Operación y Ejemplos

Vector que une dos Puntos

Ver Operación y Ejemplo

Vectores Proporcionales

Ver Operación y Ejemplo

Vectores Perpendiculares

Ver Operación y Ejemplo Sea el vector

Consideremos ahora los vectores que se obtienen al cambiar el orden de las coordenadas y el signo a una de ellas:

Entonces, estos dos últimos vectores, y , son perpendiculares al primero, . Es decir, tanto como forman un ángulo recto con . Notemos que los vectores

y

son el mismo vector pero de sentido opuesto.

Ejemplo:

Los vectores de la imagen son

Producto por un Escalar

Ver Operación y Ejemplo

Ya vimos el producto de un vector por un escalar en el apartado de vectores proporcionales. Sea α un número real (un escalar) y sea el vector

Entonces, el producto del vector por el escalar es

Estos vectores tienen la misma dirección que pero módulo distinto (siempre que α sea distinto de 1). Además, si α es positivo, tienen el mismo sentido; si es negativo, tienen sentido opuesto.

Producto Escalar de Vectores: Ángulo entre Vectores

Ver Operación y Ejemplo Sean los vectores

Entonces, se define el producto escalar de dichos vectores como

donde α representa el ángulo que forman los vectores. El producto se denomina escalar ya que el resultado es un escalar (un número real). Otra forma de calcular dicho producto es multiplicando y sumando las coordenadas de los vectores:

Puesto que ambas formas proporcionan el mismo resultado, podemos unirlas para obtener el ángulo a partir de las coordenadas de los vectores (y sus módulos, que se obtienen a partir de las coordenadas):

Ejemplo:

Calculamos su producto escalar a partir de las coordenadas:

Ahora calculamos los módulos de los vectores para aplicar la fórmula anterior y obtener el ángulo que forman:

Por tanto, el ángulo es

Ejercicios Resueltos

1. Suma y Resta de Vectores y Producto por un Escalar Ejercicio 1 Sean los vectores

Calcular las siguientes sumas y restas:

Ver solución

Ejercicio 2 Sean los vectores

Calcular, geométricamente, las siguientes sumas y restas de vectores:

Ver solución

Ejercicio 3 Sean los puntos

Encontrar el vector que va de P a Q y el vector que va de Q a P. Ver solución

Ejercicio 4 Sean los puntos

Encontrar el vector que va de P a Q y el vector que va de Q a P. Ver solución

Ejercicio 5 Sean los puntos

Encontrar el vector que va de P a Q y el vector que va de Q a P. Ver solución

Ejercicio 6

Sea el vector

Obtener el vector igual a

pero con sentido contrario. Ver solución

Ejercicio 7 Sea el vector

Obtener el vector simétrico de

respecto del eje de abscisas. Ver solución

Ejercicio 8 Sea el vector

Obtener el vector simétrico de

respecto del eje de ordenadas. Ver solución

Ejercicio 9 Encontrar el vector punto A al punto B:

que va del punto O al punto P y el vector

que va del

Explicar la relación existente entre ambos vectores. Ver solución

2. Módulo de Vectores, Vectores Unitarios y Vectores Proporcionales

Ejercicio 10 Calcular el módulo de los siguientes vectores del plano:

¿Un vector queda determinado por su módulo? Es decir, si dos vectores tienen el mismo módulo, ¿son el mismo vector? Ver solución

Ejercicio 11

¿Cuántos vectores unitarios existen? Los vectores unitarios son los que cumplen que su módulo es 1:

Ver solución

Ejercicio 12 Calcular un vector que sea unitario (módulo 1) y tenga la misma dirección y sentido que

¿Existen más vectores unitarios con la misma dirección y sentido que el vector Ver solución

3. Demostración de las propiedades del Módulo de Vectores Ejercicio 13 Sea

un vector cualquiera, demostrar que:

Es decir, el módulo de un vector es 0 sólo si es el vector nulo v=(0,0)v=(0,0)

y si

es el vector nulo, entonces su módulo es 0. Ver demostración

?

Ejercicio 14 Sea

un vector cualquiera y λ un número real (un escalar), demostrar que:

Ver demostración

Ejercicio 15 (dificultad alta) Sean

y

dos vectores arbitrarios. Demostrar que

El producto de la izquierda es el producto escalar de dos vectores; el producto de la derecha es el producto de los números reales. En la izquierda, las barras son un valor absoluto; en la derecha, las barras son los módulos. Ver demostración

Ejercicio 16 (dificultad muy alta) Sean

y

dos vectores arbitrarios. Demostrar que

Ver demostración

4. Producto Escalar de Vectores y Ángulo entre Vectores Ejercicio 17 Sean los vectores

Calcular los siguientes productos escalares:

Ver solución

Ejercicio 18 Calcular el ángulo que forman los vectores

Los llamamos así porque son los vectores de la base canónica del plano. Ver solución

Ejercicio 19 Calcular el ángulo que forman los vectores

Ver solución

Ejercicio 20 Demostrar que los vectores

y

son perpendiculares a

Además, demostrar que los vectores

y

:

son paralelos entre sí.

Se supone que x,y≠0x,y≠0

Ver demostración

Ejercicio 21 Demostrar que los vectores

y

son paralelos a

:

Si ambos son paralelos, ¿por qué el ángulo que forman con

es distinto?

Ver demostración

Ejercicio 22 Encontrar el vector unitario que forma un ángulo de 60 grados con el vector

Ver solución