Caudal Maximo 2go5s

P  1 P P  1 

1 T

Si se supone que la no ocurrencia de un evento en un año cualquiera, es independiente de la no ocurrencia del mismo, en los años anteriores y posteriores, entonces la probabilidad de que el evento no ocurra en n años sucesivos es :

 1 P.P....P  P  1   nFactores  T

n

n

5

Ing. Paz Muro, Hansel.



La probabilidad de que el evento, ocurra al menos una vez en n años, sucesivos, es conocida como riesgo o falta R, y se representa por:

R  1 P

n n

 1 R  1  1   ......(3.0)  T Con

el parámetro riesgo,

es posible determinar cuáles

son

las

implicaciones, de seleccionar un periodo de retorno dado de una obra, que tiene una vida útil de n años. 1.1. Ejemplo aplicativo Determinar el riesgo o falla de una obra que tiene una vida útil de 15 años, si se diseña para un período de retorno de 10 años. Solución: Para el ejemplo: T = 10 y n = 15 Sustituyendo en la ecuación (3.0), se tiene: 15

1  R  1  1    10  R  0.7941  79.41% Si el riesgo es de 79.41%, se tiene una probabilidad del 79.41% de que la obra falle durante su vida útil.

2. METODO DIRECTO Este es un método hidráulico, llamado de Sección y Pendiente, en el cual el caudal máximo se estima después de pasos de una avenida, con base en datos específicos obtenidos en el campo. Los trabajos de campo incluyen: 1. Selección de un tramo del río representativo, suficientemente profundo, que contenga al nivel de las aguas máximas. 2. Levantamiento de secciones transversales en cada extremo del tramo elegido, y determinar: A1, A2 = áreas hidráulicas

6


P1, P2 = perímetros mojados R1, R2 = radios hidráulicos ; 3. Determinar la pendiente S, de la superficie libre de agua con las huellas de la avenida máxima en análisis. 4. Elegir el coeficiente de rugosidad “n” de Manning de acuerdo a las condiciones físicas del cauce (tabla 3.0). Tabla 3.0: Valores de n dados por Horton para ser usados en las fórmulas de Kutter y de Manning

7


8


Rugosidades de canales naturales

5. Aplicar la fórmula de Manning

Dónde: Q = caudal máximo, m3/s n = coeficiente de rugosidad A = área hidráulica promedio, m2 R = radio hidráulico promedio, m S = pendiente, m/m

3. METODOS EMPIRICOS Existe una gran variedad de métodos empíricos, en general todos se derivan del método racional. Debido a su sencillez, los métodos empíricos tienen gran difusión, pero pueden involucrar grandes errores, ya que el proceso de escurrimiento, es muy complejo como para resumirlo en una fórmula de tipo directo, en la que solo intervienen el área de la cuenca y un coeficiente de escurrimiento.

9


3.1. Método racional El uso de este método, tienen una antigüedad de más de 100 años, se ha generalizado en todo el mundo, En mayo de 1989, la universidad de Virginia, realizo una conferencia internacional, en conmemoración del Centenario de la Formula Racional. El método puede ser aplicado de pequeñas cuencas de drenaje agrícola, aproximadamente si no exceden a

.

En el método racional, se supone que la máxima escorrentía ocasionada por una lluvia, se produce cuando la duración de ésta es igual al tiempo de concentración

. Cuando así ocurre, toda la cuenca

contribuye con el caudal en el punto de salida. Si la duración es mayor que el

, contribuye asimismo toda la cuenca, pero en ese caso la

intensidad de la lluvia es menor, por ser mayor su duración y, por tanto, también es menor el caudal. Si la duración de la lluvia es menor que el

la intensidad de la lluvia

es mayor, pero en el momento en el que acaba la lluvia, el agua caída en los puntos más alejados aún no ha llegado a la salida, sólo contribuye una parte de la cuenca a la escorrentía, por lo que el caudal será menor. Asentando este planteamiento, el caudal máximo se calcula por medio de la siguiente expresión, que representa la formula racional:

Y si i (intensidad) se expresa en mm/h, A (área de la cuenca) en Km², y Q (caudal) en m3/s la expresión es: ⁄

En donde: Qmáx

: Caudal máximo en la sección de cálculo

C

: Coeficiente de escorrentía medio ponderado de la cuenca

A

: Área total de la cuenca vertiente en la sección de cálculo

10


i

: Intensidad media máxima para una duración igual al tiempo de concentración, de la sección de cálculo.

A continuación se detallan los fundamentos teóricos para determinar cada una de las variables mencionadas anteriormente. 3.1.1. Determinación del coeficiente de escorrentía La escorrentía, es decir, el agua que llega al cauce de evacuación, representa una fracción de la precipitación total. A esa fracción se le denomina coeficiente de escorrentía, que no tiene dimensiones y se representa por la letra C

El valor de C depende de factores topográficos, edafológicos, cobertura vegetal, etc. Valores del coeficiente de escorrentía (Fuente: Manuel de Conservación del suelo y del agua, Chapingo, México, 1977)

Representan valores del coeficiente de escorrentía en función de la cobertura vegetal, pendiente y textura.

11


Valores C para zonas urbanas

Se muestran coeficientes de escorrentía para zonas urbanas, los cuales son bastante conservadores, para que puedan ser usados para diseño. Cuando el área de drenaje (Cuenca) está constituida por diferentes tipos de cubierta y superficies, el coeficiente de escurrimiento puede obtenerse en función de las características de cada porción del área como un promedio ponderado

Dónde: A1

: Área parcial i que tiene cierto tipo de superficie

C1

: Coeficiente de escurrimiento correspondiente al área A1

12


3.1.2. Cálculo de curvas de Intensidad-Frecuencia-Duración. El método utilizado relaciona simultáneamente las tres variables Intensidad-frecuencia-Duración, en una familia de curvas cuya ecuación es: ⇒ Dónde: K, m y n son constantes que se calculan mediante un análisis de correlación lineal múltiple T: Período de retorno en años d: Duración en minutos i : Intensidad en mm/h 3.1.3. Tiempo de concentración (tc) Se denomina tiempo de concentración, al tiempo transcurrido, desde que una gota de agua cae, en el punto más alejado de la cuenca hasta que llega a la salida de ésta (estación de aforo). Este tiempo es función de ciertas características geográficas y topográficas de la cuenca. El tiempo de concentración debe incluir los escurrimientos sobre terrenos, canales, cunetas y los recorridos sobre la misma estructura que se diseña. Todas aquellas características de la cuenca tributaria, tales como dimensiones, pendientes, vegetación, y otras en menor grado, hacen variar el tiempo de concentración. Existen varias formas de hallar el tiempo de concentración tc , de una cuenca 3.1.3.1.

Medida directa usando trazadores:  Durante

una

lluvia

intensa,

colocar

un

trazador

radioactivo, en la divisoria de la cuenca  Medir el tiempo que toma el agua para llegar al sitio de interés (estación de aforo).

13


3.1.3.2.

Usando las características hidráulicas de la cuenca  Dividir la corriente en tramos, según sus características hidráulicas.  Obtener la capacidad máxima de descarga de cada tramo utilizando el método de sección y pendiente.  Calcular la velocidad media correspondiente a la descarga máxima de cada tramo.  Usar la velocidad media y la longitud del tramo para calcular el tiempo de recorrido de cada tramo.  Sumar los tiempos recorridos para obtener tc.

3.1.3.3.

Estimando velocidades  Calcular la pendiente media del curso principal, dividiendo el desnivel total entre la longitud total.  De la tabla 3.1, escoger el valor de la velocidad media en función a la pendiente y cobertura.  Usando la velocidad media y la longitud total encontrar tc. Tabla 3.1: Velocidades medias de escurrimiento por laderas (m/min)

3.1.3.4.

Usando valores obtenidos por Ramser En cuencas agrícolas, con pendientes medias de 5 %, y con largo dos veces el promedio de su ancho.

14


3.1.3.5.

Usando formulas empíricas:

3.1.3.5.1.

Fórmula de kirpich Según Kirpich, la fórmula para el cálculo del tiempo de concentración es:

Donde: √

; ; ⁄

(

(

⁄

)

)

Donde: tc = tiempo de concentración, en min L = máxima longitud del recorrido, en m H = diferencia de elevación entre los puntos extremos del cauce principal, en m 3.1.3.5.2.

Fórmula australiana En los estudios realizados en Australia (1977), el tiempo de concentración se calcula de la siguiente forma:

Donde: tc = tiempo de concentración, en min L = longitud de la corriente, en Km A = área de la cuenca, en Km2 S = pendiente del perfil de la corriente, en m/Km

15


3.1.3.5.3.

Fórmula de George Rivero Según Rivero, el tiempo de concentración se puede calcular con la siguiente fórmula:

Donde: tc = tiempo de concentración, en min L = longitud del canal principal, en Km p = relación entre el área cubierta de vegetación y el área total de la cuenca, adimensional. S = pendiente media del canal principal, en m/m 3.1.3.5.4.

FORMULA DEL SCS Para cuencas pequeñas, menores de

, el U.S.

Soil Conservation Service, propone la siguiente formula:

Donde: =tiempo de concentración en min. L= longitud hidráulica de la cuenca, en m, y se define mediante la siguiente ecuación:

A= área de la cuenca, en has N= número de curva, adimensional. S= pendiente promedio de la cuenca, en %

16


3.1.4. Ejemplo de aplicación: Calcular el caudal máximo para un periodo de retorno de 10 años en una cuenca de 3.9 km2. Son conocidas las curvas intensidadduración-frecuencia las cuales están representadas por la ecuación siguiente:

El tiempo de concentración es de 2 h y el área de la cuenca está constituida por diferentes tipos de superficie, cada una con su correspondiente coeficiente de escurrimiento, y sus características son las siguientes: 55% bosque

C=0.2

10% tierra desnuda

C=0.6

20% pavimento bituminoso

C=0.85

15% campos cultivados

C=0.1

Solución  Se debe obtener primero el valor del coeficiente de escurrimiento representativo, el cual va a ser función del área de influencia, se tiene (según la ecuación):

 La intensidad de lluvia para 2h de duración y un periodo de retorno de 10 años es:

⁄

17


 El caudal máximo, según la ecuación 3.2, es igual a:

⁄ 3.2. Método racional modificado Este método amplía el campo de aplicación del método racional, porque considera el efecto de la no uniformidad de las lluvias mediante un coeficiente de uniformidad, el caudal máximo de una avenida se obtiene mediante la expresión:

Dónde: Q = Caudal punta para un periodo de retorno determinado (m3/s) I = Máxima intensidad para un periodo de retorno determinado y duración igual al tiempo de concentración (mm/h) A = Superficie de la cuenca (Km2) C = Coeficiente de Escorrentía CU = Coeficiente de Uniformidad

El coeficiente de uniformidad corrige el supuesto reparto uniforme de la escorrentía dentro del intervalo de cálculo de duración igual al tiempo de concentración en el método racional, este se puede determinar según la siguiente expresión:

El Tc esta expresado en horas, este método es recomendado para el diseño de alcantarillas en carreteras. 3.2.1. Ejemplo de aplicación Se pretende diseñar una alcantarilla en una carretera a 10 Km de la comunidad de Aiquile, que tiene una cuenca de aporte de 12 Km2, se ha determinado el tiempo de concentración de 1.54 18


horas, del análisis de precipitaciones máximas se determinó la relación intensidad-duración-frecuencia de la estación Aiquile, como:

La pendiente de la cuenca es de 6%, el suelo es semipermeable con muy poca vegetación: a) determinar el caudal de diseño por el método racional b) determinar el caudal de diseño por el método racional modificado.

Solución: a) Para una alcantarilla se escoge un periodo de retorno de 25 años, para poder determinar la intensidad de diseño.

x 25 i mm/ h  275.9833847 0.6529949478 92.4

0.1801789906

 25.656(mm / h)

De la información de la cuenca se determina un coeficiente de escurrimiento C=0.55 de la tabla B-1, entonces el caudal de diseño de la alcantarilla es:

Q  0.278CIA  Q  0.278 x0.55 x 25.656 x12  Q  47.074 m

3

s

3

El caudal de diseño para la alcantarilla es de Q  47.074 m s

b) Por el método racional modificado se necesita determinar el coeficiente de uniformidad como sigue a continuación:

tc1.25 1.541.25 CU  1  1.25  CU  1   CU  1.10916 tc  14 1.541.25  14 19


Entonces el caudal de diseño es:

Q  CUx0.278CIA  Q  1.10916 x0.278 x0.55 x 25.656 x12  Q  52.21 m

3

s

3.3. Método de Mac Math La fórmula de Mac Math, para el sistema métrico, es la siguiente: ⁄

⁄

Donde: Q = caudal máximo con un período de retorno de T años, en m3/s C = factor de escorrentía de Mac Math, representa las características de la cuenca I = intensidad máxima de la lluvia, para una duración igual al tiempo de concentración tc y un período de retorno de T años, mm/hr A = área de la cuenca, en has S = pendiente promedio del cauce principal, en %

De los parámetros que intervienen en esta fórmula, sobre el que se tiene que incidir, es sobre el factor C, el cual se compone de tres componentes, es decir: C = C1 + C2 + C3 Donde: C1 = está en función de la cobertura vegetal C2 = está en función de la textura del suelo C3 = está en función de la topografía del terreno. Estos valores se muestran en la tabla Tabla 3.2: Factor de escorrentía de Mac Math

20


3.4. Fórmula de Burkli – Zieger La fórmula planteada por Burkli – Zieger, para el cálculo del caudal máximo, es:

Q  0.022CiA 4

S .........(3.9) A

Donde: Q = caudal máximo, en m3/s C = variable que depende de la naturaleza de la superficie drenada, cuyo valor se muestra en la tabla 6.7 I = intensidad máxima, en cm/hr A = área de drenaje, en has S = pendiente media de la cuenca, en %

Tabla 3.3: Valores de C para la fórmula de Burkli - Zieger

3.5. Fórmula de Kresnik Kresnik, plantea para el cálculo del caudal máximo, la siguiente ecuación: Q 

32 A .........(3.10) (0.5  A )

Donde: Q = caudal máximo, en m3/s α = coeficiente variable entre 0.03 y 1.61 A = área de drenaje, en Km2

21


3.6. Método del número de curva Este método fue desarrollado por el Servicio de Conservación de Suelos (SCS) de los Estados Unidos; tiene ventajas sobre el método racional, pues se aplica a cuencas medianas como también a cuencas pequeñas. El parámetro de mayor importancia de la lluvia generadora, es la altura de esta, pasando su intensidad a un segundo plano. Su principal aplicación es la estimación de las cantidades de escurrimiento tanto en el estudio de avenidas máximas, como en el caso del cálculo de aportaciones liquidas. El nombre del método deriva de una serie de curvas, cada una de las cuales lleva el número N, que varía de 1 a 100. Un número de curva N = 100, indica que toda la lluvia escurre, y un número N = 1, indica que toda la lluvia se infiltra; por lo que los números de curvas, representan coeficientes de escorrentía. Este método es utilizado para estimar la escorrentía total a partir de datos de precipitación y otros parámetros de las cuencas de drenaje. El método fue desarrollado utilizando datos de un gran número de cuencas experimentales, y se basa en la siguiente relación:

F Q  .........(3.11) S Pe Donde: F = infiltración real acumulada (L) S = infiltración potencial máxima (L) Q = escorrentía total acumulada (L) Pe = escorrentía potencial o exceso de precipitación (L)

Pe se define como: Pe  P  La.........(3.12)

Mientras que F es definida como: F  Pe  Q.........(3.13)

22


El término La (sustracciones iniciales) es definido como la precipitación

acumulada hasta el inicio de la escorrentía y es una

función de la intercepción, almacenamiento en depresiones e infiltración antes del comienzo de la escorrentía. Sustituyendo (3.12) en (3.11) resulta:

Pe  Q Q  S Pe 2 Pe  PeQ  SQ Pe 2  ( Pe  S )Q De donde:

Q

Pe 2 .........(3.14) Pe  S

Reemplazando (3.12) en (3.14) se tiene:

Q

 P  La 

2

P  La  S

.........(3.15)

Los autores del método, por datos experimentales obtuvieron una relación entre La y S, la cual es: La  0.2S.........(3.16)

Esta relación es bastante aceptable para situaciones promedio. Si se reemplaza la ecuación (3.16) en la ecuación (3.15), se obtiene: ( P  0.2 S ) 2 P  0.2 S  S ( P  0.2 S ) 2 Q .........(3.17) P  0.8S Q

Donde: Q = escorrentía total acumulada P = precipitación S = infiltración potencial máxima

23


Esta es la ecuación principal del método. Se debe tener presente que en esta ecuación, P y S deben tener las mismas unidades y el Q obtenido, también tendrá esas mismas unidades. El SCS después de estudiar un gran número de pequeñas cuencas estableció una relación para estimar S a partir del número de curva N, mediante la siguiente ecuación: N

1000 .........(3.18) 10  S

O también: 1000 N 1000 S  10.........(3.19) N

10  S 

En esta última ecuación S está expresado en pulgadas, para expresarlo en centímetros, hay que realizar la transformación de unidades: 2.54cm  1000  S   10  pu lg x 1 pu lg  N  2540 S  25.4(cm).........(3.20) N

Sustituyendo (3.20) en (3.17) y realizando operaciones resulta:

  2540   P  0.2  N  25.4     Q   2540  P  0.8   25.4   N 

2

 PxN  508  5.08 N    N Q  PxNx 2032  20.32 N N   N ( P  5.08)  508 2    N2   Q N ( P  20.32)  2032 N 2

24


 N ( P  5.08)  508 .........(3.21) Q N  N ( P  20.32)  2032 2

Donde: Q = escorrentía total acumulada, en cm P = precipitación de la tormenta, en cm N = número de curva En la ecuación (3.21) se debe cumplir que:

N ( P  5.08)  508

0

Ó P

508  5.08 N

Si P está en mm y Q en mm, la ecuación (6.22) se escribe como:

  N ( P  50.8)  50802  Q  .........(3.22)  N  N ( P  203.2)  20320  Siendo Pmin 

5080  50.8 N

25


La figura3.2 muestra el grafico de la ecuación 3.21 para diferentes valores de curvas “N”

26


El SCS presenta la tabla 3.4, la cual permite determinar el número de curva N para diferentes prácticas agrícolas, diferentes condiciones hidrológicas y grupo hidrológico de suelos. La tabla 3.4 fue elaborada para una relación La = 0.2 S y para una condición de humedad antecedente promedio (CHA II). Para aclarar los conceptos de los parámetros, del cual depende el número de curva N de la tabla 3.4, se indican algunas definiciones. Tabla 3.4: Numero de curva N para complejos hidrológicos de suelo cobertura (para condición de humedad antecedente II e La=0.2S)

27


3.6.1. Condición hidrológica La condición hidrológica se refiere a la capacidad de la superficie de la cuenca para favorecer o dificultar el escurrimiento directo, esto se encuentra en función de la cobertura vegetal, puede aproximarse de la siguiente forma:

3.6.2. Grupo hidrológico del suelo Define los grupos de suelos, los cuales pueden ser: Grupo A, tiene bajo potencial de escorrentía Grupo B, tiene un moderado bajo potencial de escorrentía Grupo C, tiene un moderado alto potencial de escorrentía Grupo D, tiene un alto potencial de escorrentía

Una descripción detallada para definir el grupo de suelo se muestra en la tabla 6.9. Para aclarar conceptos y entender la descripción de la tabla 3.5, se indican las siguientes definiciones: 

Porcentaje o tasa de infiltración: es el porcentaje de agua que penetra en el suelo superficial y que es controlado por condiciones de superficie.



Porcentaje o tasa de transmisión: es el porcentaje de agua que se mueve en el suelo y que es controlado por los horizontes.

28


Tabla 3.5: Clasificación hidrológica de los suelos.

El método del SCS distingue tres clases de tierras según su uso y tratamiento, estas son: 

Tierras cultivadas.



Tierras cubiertas de pastos o hierbas.



Tierras cubiertas de bosques y arboledas.

3.6.3. Uso de la tierra o tratamiento El uso de la tierra es la cobertura de la cuenca e incluye toda clase de vegetación, escombros, pajonales, desmontes, así como las superficies de agua (lagos, pantanos, ciénagas, fangales, etc.) y superficies impermeables (carreteras, cubiertas, etc.).

29


El tratamiento de la tierra se aplica sobre todo a los usos agrícolas de la tierra e incluye las prácticas mecánicas tales como sistemas de bordos, curvas de nivel, terraplenado y ejecución de prácticas para el control de erosión y rotación de cultivos.

El uso de la tierra y las clases de tratamiento se obtienen rápidamente ya sea por observación o por medición de la densidad y magnitud de escombros y cultivos en áreas representativas. 3.6.4. Condición de humedad antecedente (CHA) La condición o estado de humedad tiene en cuenta los antecedentes previos de humedad de la cuenca; determinado por la lluvia total en el período de 5 días anterior a la tormenta. El SCS usa tres intervalos de CHA: 

CHA-I, es el límite inferior de humedad o el límite superior de S. Hay un mínimo potencial de escurrimiento. Los suelos de la cuenca están lo suficientemente secos para permitir el arado o cultivos.



CHA-II, es el promedio para el cual el SCS preparó la tabla 3.4.



CHA-III, es el límite superior de humedad o el límite inferior de S. Hay máximo potencia de escurrimiento. La cuenca está prácticamente saturada por lluvias anteriores.

El SCS presenta la tabla 3.6, para estimar CHA, considerando el antecedente de 5 días de lluvia, el cual es simplemente la suma de la lluvia, de los 5 días anteriores al día considerado. Taba 3.6: Condición de humedad antecedente propuesto por SCS

30


La tabla 3.4 permite calcular el número de curva N(II) para CHA-II, si se tiene CHA-I o CHA-III el número de curva equivalente se calcula con las siguientes ecuaciones:

N( I ) 

4.2 N ( II ) 10  0.058 N ( II )

N ( III ) 

23N ( II ) 10  0.13N ( II )

.........(3.23) .........(3.24)

La tabla 3.7 también permite determinar los números de curva equivalentes CHA-I ó CHA-III, conocido el número de curva para CHA-II (N(II)). Tabla 3.7: Número de curvas para casos de condición de humedad antecedente I y III

3.6.5. Estimación del caudal máximo La parte medular del método es la utilización de la tabla 3.8, la cual es el resultado de una serie de estudios llevados a cabo por el SCS, sobre las intensidades, duraciones y cantidades de lluvia que deben de ser empleadas al calcular el gasto de pico de una avenida de determinado período de retorno. La tabla fue derivada para una duración de tormenta de 6 horas y relaciona el tiempo de 31


concentración en horas, con el llamado: Gasto Unitario (q) cuyas unidades son: m3/seg/mm/km2. Los rangos de aplicación del método empírico del SCS se deducen de la tabla 3.8, es decir, para tiempos de concentración de hasta 24 horas, ya que el método del SCS para la estimación de la escorrentía Q no tiene limitaciones. El proceso para el cálculo del caudal máximo utilizando la metodología del SCS, es como sigue: Paso 1: Se determinan las siguientes características fisiográficas de la cuenca: A = área de la cuenca, en Km2 tc = tiempo de concentración, como se indicó en el capítulo del método Racional, en horas N = número de curva de escurrimiento para la condición media de humedad en la cuenca, adimensional, puede corregirse para CHA-I o CHA-III, con las ecuaciones (3.23) ó (3.24) Paso 2: Se calculan las lluvias de duración 6 horas y períodos de retorno de acuerdo a las avenidas del proyecto. Lo anterior, con base en las curvas P – D -Tr construidas para la cuenca del proyecto. Paso 3: Con base en el número N de la cuenca, se calcula la escorrentía para cada una de las lluvias determinadas en el paso anterior, por medio de la ecuación (3.22)

  N ( P  50.8)  50802  Q  .........(3.22)  N  N ( P  203.2)  20320  Siendo: Q = escorrentía, en mm. P = lluvia de duración 6 horas y determinado período de retorno mm.

32


Paso 4: De la tabla 3.8, en función de la magnitud del tiempo de concentración se determina el valor del gasto unitario (q), interpolando linealmente si es necesario.

Tabla 3.8: Gasto unitario q (m3/s/mm/km2), en función del tiempo de concentración Tc (horas)

Paso 5: Por último, se multiplican el gasto unitario (q), la escorrentía (Q), y el área de la cuenca (A), para obtener el gasto máximo (Qmax) en m3/seg, esto es:

Qmáx  qxQxA.........(3.25) 3.6.5.1.

Ejemplo aplicativo Durante

una

tormenta

se

produjo

una

altura

de

precipitación de 150 mm, sobre un área sembrada de pastos, con buena condición hidrológica y que tiene suelos de alto potencial de escurrimiento (grupo D). Si la condición de humedad antecedente es II, estimar el valor del escurrimiento directo que se produce. Solución:  En la tabla 3.4 para: 

una CHA-II



uso de la tierra pastos



condición hidrológica buena



grupo hidrológico de suelo D

Se tiene un número de curva N = 80.

33


 Sustituyendo valores en la ecuación (3.22), se obtiene:

  N ( P  50.8)  50802  Q  .........(3.22)  N  N ( P  203.2)  20320   80(150  50.8)  50802  Q   80 80(150  203.2)  20320  120648256  Q  Q  93.88mm  1285120  Una forma gráfica de calcular la escorrentía es utilizar la figura 3.2, para esto:  En el eje X, eje de precipitación ingresar P = 150 mm = 15 cm  De este punto trazar una vertical, hasta interceptar a la curva N = 80  Por este punto trazar una horizontal, hasta cortar con el eje Y, eje de escorrentía. En este eje se lee Q = 9.4 cm

En una cuenca de 150 Ha, existe una zona de 90 Ha con cultivos en surcos rectos, con condición hidrológica buena y con un suelo con moderado alto potencial de escorrentía (grupo C); la zona restante de 60 Ha, está cubierta de bosque con condición hidrológica buena y con un suelo con alto potencial de escorrentía (grupo D). Si la condición de humedad antecedente es II, estimar el valor del escurrimiento directo que se produce, para una lluvia de 120mm. Solución:  Para la zona de 90 Ha, de la tabla 3.8, para: 

Una CHA-II



Uso de la tierra: cultivos



Tratamiento surcos rectos



Condición hidrológica buena

34




Grupo hidrológico de suelo C

Se tiene N = 85.  De igual manera para la zona de 60 Ha, para: 

Una CHA-II



Uso de la tierra: bosques



Condición hidrológica buena



Grupo hidrológico de suelo D

Se tiene N= 77.  El escurrimiento directo para estos números de curvas serán: Para N = 85, de la ecuación (6.22), se tiene:

 85(120  50.8)  50802  Q   85 85(120  203.2)  20320  Q  79.10mm

Para N= 77, se tiene:

  77(120  50.8)  50802  Q   77  77(120  203.2)  20320  Q  60.81mm

 El promedio ponderado de estos escurrimientos, en función del área sería: Q

Q A i

AT

i



Q1 A1  Q2 A2 A1  A2

79.10 x90  60.81x60 150 Q  71.78mm Q

35


 Si se calcula el número de curva ponderado en función del área sería:

N

N A i

AT

i



N1 A1  N 2 A2 A1  A2

85 x90  77 x60 150 N  81.8mm N

Para este número de curva ponderado, de la ecuación (6.22), resulta:

 81.8(120  50.8)  50802  Q  81.8 81.8(120  203.2)  20320     Q  71.52mm Nota: Como se observa de los resultados obtenidos de los pasos 3 y 4, los escurrimientos estimados para la cuenca, son parecidos, ya sea calculando el escurrimiento ponderado en función del área, o calculando el escurrimiento, una vez obtenido el N ponderado, en función del área. 4. METODOS ESTADISTICOS Los métodos estadísticos, se basan en considerar que el caudal máximo anual, es una variable aleatoria que tiene una cierta distribución. Para utilizarlos se requiere tener como datos, el registro de caudales máximos anuales, cuanto mayor sea el tamaño del registro, mayor será también la aproximación del cálculo del caudal de diseño, el cual se calcula para un determinado período de retorno. Por lo general, en los proyectos donde se desea determinar el caudal de diseño, se cuenta con pocos años de registro, por lo que, la curva de distribución de probabilidades de los caudales máximos, se tiene que prolongar en su extremo, si se quiere inferir un caudal con un período de retorno mayor al tamaño del registro. El problema se origina, en que existen 36


muchos tipos de distribuciones que se apegan a los datos, y que sin embargo, difieren en los extremos. Esto ha dado lugar a diversos métodos estadísticos, dependiendo del tipo de distribución que se considere. Explican los métodos de: 

Gumbel



Nash



Levediev

Gumbel y Nash consideran una distribución de valores extremos, con la única diferencia, que el criterio de Nash es menos rígido que el de Gumbel, pues permite ajustar la distribución por mínimos cuadrados. Por otra parte, Levediev considera una distribución Pearson tipo III. En forma práctica, se recomienda escoger varias distribuciones y ver cual se ajusta mejor; esto requiere que se tengan los datos necesarios para poder aplicar alguna prueba estadística, como la prueba de bondad de ajuste.

4.1. Método de Gumbel Para calcular el caudal máximo para un período de retorno determinado se usa la ecuación:

Qmax  Qm 

Q (Y  LnT ).........(3.26) N N

Siendo: N

Q 

Q

2 i

i 1

 NQm2

N 1

.........(3.27)

Donde: Qmáx = Caudal máximo para un período de retorno determinado, en m3/s N = Número de años de registro Qi = Caudales máximos anuales registrados, en m3/s N

Qm 

Q i 1

N

i

= Caudal promedio, en m3/s

T = Período de retorno.

37


 N , Y N = Constantes función de N, tabla 3.9 (variables reducidas)  Q = desviación estándar de los caudales Para calcular el intervalo de confianza, o sea, aquel dentro del cual puede variar Qmáx dependiendo del registro disponible se hace lo siguiente: a) Si φ = 1-1/T varía entre 0.20 y 0.80, el intervalo de confianza se calcula con la fórmula:

Q   N m

Q N N

.........(3.28)

Donde: N = número de años de registro

N m = constante en función de φ, tabla 3.10

 N = constante en función de N, tabla 3.9  Q = desviación estándar de los caudales, ecuación (3.27) b) Si φ> 0.90, el intervalo se calcula como:

Q

1.14 Q

N

.........(3.29)

c) La zona de φ comprendida entre 0.8 y 0.9 se considera de transición, donde ΔQ es proporcional al calculado con las ecuaciones 3.28 y 3.29, dependiendo del valor de φ. El caudal máximo de diseño para un cierto período de retorno será igual al caudal máximo con la ecuación (3.26), más el intervalo de confianza, calculado con (3.28) ó (3.29).

Qd  QMáx  Q.........(3.30)

38


Tabla 3.9: Valores de YN y Nσen función de N

39


Tabla 3.10 Valores de N m en función de φ

40


4.1.1. Ejemplo aplicativo Se tiene el registro de caudales máximos de 30 años para la estación 9-3 Angostura, como se muestra en la tabla 3.11 En este río se desea construir una presa de almacenamiento, calcular el caudal de diseño para el vertedor de demasías, para períodos de retorno 50 y 100 años respectivamente. Utilizar el método Gumbel.

Tabla 3.11 Caudales máximos de la estación Angostura para el período 1970 – 1999.

Sumatoria de la columna (2): ΣQ = 28 748 Sumatoria de los cuadrados de la columna (2): ΣQ2 = 40595.065 Solución: 1. Cálculo del promedio de caudales Qm: De la tabla 3.11, si se suma la columna (2) y se divide entre el número de años del registro, se obtiene: Qm 

3 28748  958.3 m s 30

41


2. Cálculo de la desviación estándar de los caudales σQ: Con Qm, sumando los cuadrados de los caudales de la tabla 3.11 y utilizando la ecuación (3.27), se tiene:

40595065  30 x(958.30) 2 Q    Q  670.6893 29 3. Cálculo de los coeficientes  N , Y N : De la tabla 3.9, para N = 30 años, se tiene:

Y N = 0.53622 y  N =1.11238

4. Obtención de la ecuación del caudal máximo: Sustituyendo valores en la ecuación (3.26), se tiene:

670.6893 (0.53622  LnT ) 1.11238  634.9959  602.9318 LnT

Qmax  958.30  Qmax

5. Cálculo del caudal máximo para diferentes T: Para T = 50 años

:

Qmax = 2993.68 m3/s

Para T = 100 años

:

Qmax = 3411.60 m3/s

Para T = 50 años

:

φ = 1- 1/50 = 0.98

Para T = 100 años

:

φ = 1- 1/100 = 0.99

6. Cálculo de φ:

7. Cálculo del intervalo de confianza: Como en ambos casos φ es mayor que 0.90, se utiliza la ecuación (6.30), es decir:

1.14 x670.6893 1.11238 3 Q  687.34 m s Q

42


8. Cálculo del caudal de diseño: De la ecuación (3.30), se tiene: Para T = 50 años

:

Qd = 2993.68 + 687.34

Qd = 3681.02 m3/s Para T = 100 años

:

Qd = 3411.60 + 687.34

Qd = 4098.94 m3/s 4.2. Método de Nash Nash considera que el valor del caudal para un determinado período de retorno se puede calcular con la ecuación:

Qmax  a  b log log

T .........(3.31) T 1

Donde: a,b = constantes en función del registro de caudales máximos anuales Qmáx = caudal máximo para un período de retorno determinado, en m3/s T = período de retorno, en años Los parámetros a y b se estiman utilizando el método de mínimos cuadrados, con la ecuación lineal: Q = a + bX, utilizando las siguientes ecuaciones: a  Qm  bX m .........(3.32) N

b

 X Q  NX i

i 1

i

i 1

Qm .........(3.33)

N

X

m

2 i

 NX

2 m

Siendo:

X i  log log

T T 1

43


Donde: N = número de años de registro Qi = caudales máximos anuales registrados, en m3/s N

Qm 

Q

i

i 1

, caudal medio, en m3/s

N

X i = constante para cada caudal Q registrado, en función de su período

de retorno correspondiente N

Xm 

X i 1

N

i

, valor medio de las Xs

Para calcular los valores de Xi correspondientes a los Qi, se ordenan éstos en forma decreciente, asignándole a cada uno un número de orden mi; al Qi máximo le corresponderá el valor 1, al inmediato siguiente 2, etc. Entonces, el valor del periodo de retorno para Q i se calculará utilizando la fórmula de Weibull con la ecuación: T

N 1 .........(3.35) mi

Finalmente, el valor de cada Xi se obtiene sustituyendo el valor de (3.35) en (3.34). El intervalo dentro del cual puede variar el Qmax calculado por la ecuación (3.31), se obtiene como:

S xq2  1 1  Q  2  (X  Xm)  Sqq  ......(3.36) N 2 ( N  1) N  2 S xx  S xx  Sqq

2

Siendo: Sxx=

∑

∑

Sqq=

∑

∑

Sxq=

∑

∑

∑

44


De la ecuación (3.36), se ve que ΔQ sólo varía con X, la cual se calcula de la ecuación (3.34), sustituyendo el valor del periodo de retorno para el cual se calculó el Qmax. Todos los demás términos que intervienen en la ecuación (3.36) se obtienen de los datos. El caudal máximo de diseño correspondiente a un determinado periodo de retorno será igual al caudal máximo obtenido de la ecuación (3.31), más el intervalo de confianza calculado según la ecuación (3.36), es decir:

Qd  QMáx  Q 4.2.1. Ejemplo aplicativo Para los mismos datos de la tabla 3.11, calcular el caudal de diseño utilizando el método de Nash, para períodos de retorno de 50 y 100 años. Solución: 1. Ordenando en forma descendente, los valores de los caudales de la columna 2, de tabla 3.11, se obtiene la columna 2 de la tabla 3.12. 2. Cálculos preliminares: Las columnas de la tabla 3.12, se obtienen de la siguiente forma: Columna (1):

Número de orden

Columna (2):

Caudales

máximos

ordenados

en

forma

descendente Columna (3): Weibull : T 

Período de retorno, obtenido con la fórmula de

n 1 m

Columna (4): Cociente

T T 1

Columna (5): X  log log

T T 1

Columna (6): Producto Q × X 45


Tabla 3.12: Organización de caudales para el cálculo con el método de Nash

46


De la tabla 3.12, se tiene:

 Q  28749  Q  40595.065  X  17.8528  X  17.6256  QX  25554.28 2

2

3. Cálculo de Qm y Xm: 3 28749  958.3 m s 30 17.8528 Xm   0.5951 30

Qm 

4. Cálculo de los parámetros a y b: De la ecuación (3.33), se tiene: 25554.28  30 x( 0.5951) x958.3 17.6256  30 x( 0.5951) 2 b  1206.3152 b

De la ecuación (3.32), se tiene: a  958.3(1206.3152) x(0.5951) a  240.4218

5. Cálculo del caudal máximo: Sustituyendo los valores de los parámetros a y b, en la ecuación (3.31), se tiene: Qmax  240.4218  1206.3152log log

T T 1

Luego: Para T = 50 años, Qmax = 2721.5783 m3/s Para T = 100 años, Qmax = 3087.3680 m3/s 6. Cálculo de las desviaciones estándar y covarianza

S xx  30 x17.6256  (17.8528) 2  210.0455 SQQ  30 x 40595065  (28749) 2  391346949 S XQ  30 x(25554.28) 2  28749 x(17.8528)  253378.2528 7. Cálculo del intervalo de confianza: Sustituyendo en la ecuación (3.36), se tiene:

47


 391346949 1 1 (253378.2528)2  2  ( X  0.5951) x x 391346949    302 x 29 28 210.0455  210.0455 

Q  2

Q  2 14994.1360  14571.0472( X  0.5951)2 8. Cálculo del caudal de diseño: Para T = 50 años, Qd = 2721.5783 + 429.5412 = 3 151.12m3/s Para T = 100 años, Qd = 3087.3680 + 491.4586 = 3 578.83m3/s 4.3. Método de lebediev Este método está basado en suponer que los caudales máximos anuales son variables aleatorias Pearson tipo III. El caudal de diseño se obtiene a partir de la fórmula: Qd  Qmax  Q.........(3.37)

Donde: Qmax  Qm ( KCv  1).........(3.38)

Y Q

AEr Qmax .........(3.39) N

Los términos que aparecen en las ecuaciones anteriores tienen el siguiente significado: A= Coeficiente que varía de 0.7 a 1.5, dependiendo del número de años del registro. Cuantos más años de registro haya, menor será el valor del coeficiente. Si N es mayor de 40 años, se toma el valor de 0.7. CS= Coeficiente de asimetría, se calcula como: 3

 Qi   1   i 1 Q Cs   m 3  .........(3.40) NCv N

Por otra parte, Lebdiev recomienda tomar los siguientes valores: Cs = 2Cv para avenidas producidas por deshielo

48


Cs = 3Cv para avenidas producidas por tormentas Cs = 5Cv para avenidas producidas por tormentas en cuencas ciclónicas Entre estos valores y el que se obtiene de la ecuación (3.40), se escoge el mayor. Cv= Coeficiente de variación, que se obtiene de la ecuación: 2

 Qi   1   i 1  Qm  .........(3.41) Cv  N N

Er= Coeficiente que depende de los valores de Cv (ecuación 3.41) y de la probabilidad P = , su valor se encuentra de la figura 3.3 K= Coeficiente que depende de la probabilidad P = , expresada en porcentaje de que se repita el caudal de diseño y del coeficiente de asimetría CS (tabla 3.13) N= Años de observación ΔQ= Intervalo de confianza, en m3/s Qd= Caudal de diseño, en m3/s Qi= Caudales máximos anuales observados, en m3/s Qm= Caudal promedio, en m3/s, el cual se obtiene de N

Qm 

Q i 1

N

i

.........(3.42)

Qmax= Caudal máximo probable obtenido para un periodo de retorno determinado, en m3/s

49


Figura 3.3 Valores de Er en función de Cv y p

50


Tabla 3.13 Valores de K

51


52


5. CONCLUSIONES 

Se identificó el método directo para hallar el caudal máximo de una cuenca, siguiendo paso a paso el procedimiento para su aplicación.



Se aplicaron los distintos métodos empíricos como el método racional, el método racional modificado, el método de Mac Math y el método de número de curva, para determinar el caudal máximo de una cuenca, de acuerdo a datos de estaciones hidrométricas (caudales medios mensuales) y a las características de sus cuencas (área, altitud, longitud y pendiente del curso principal).



Se encontró el valor del caudal máximo de una cuenca, mediante la aplicación de métodos estadísticos; tales como : Método de Gumbel, el Método de Nash y el Método de Lebediev

6. BIBLIOGRAFIA: 

Máximo Villón Béjar, Cálculos hidrológicos e hidráulicos en cuencas hidrográficas



Helmer Rodríguez Soriano,(2009), Material de apoyo didáctico para la enseñanza y aprendizaje de la asignatura de hidrología civ-233, Cochabamba – Bolivia:

53


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