Ecuación Bidimensional Del Calor a161g

Ecuación Bidimensional del Calor Henry Arias [email protected]  Resumen – En este documento se presenta una breve descripción sobre las ecuaciones diferenciales parciales, con su respectivo nombre y formulación, posteriormente se profundizará sobre el estudio de una ecuación en particular, que es la ecuación del calor bidimensional de estado estable. Se planteara un ejercicio, se lo resolverá analíticamente y luego se procederá a modelarlo en el software matemático Matlab, para corroborar nuestros resultados. Índices – laplaciano, Elíptica, Hiperbólica, Diricheft, Bidimensional Ecuaciones Parciales, Ecuación de Calor.

I. INTRODUCCIÓN Las Ecuaciones diferenciales Parciales de segundo orden de dos variables independientes se clasifican como elípticas, parabólicas e hiperbólicas. En general, las EDP solo implican derivadas parciales respecto a las variables espaciales y por tanto, las soluciones de esas ecuaciones solo se determinan por las condiciones de frontera. [1] Las ecuaciones parabólicas e hiperbólicas involucran derivadas parciales respecto a las variables espaciales así como el tiempo, por lo que las soluciones de esas ecuaciones generalmente se determinan a partir de las condiciones de frontera e iniciales. [1] Una solución de una EDP elíptica (tal como la ecuación de Laplace) puede describir un sistema físico cuyo estado está en equilibrio (estado estable), por ejemplo la ecuación del calor puede, describir un estado difucional, mientras que una EDP hiperbólica, por ejemplo la ecuación de la onda, puede describir un estado vibracional. [1]

II. MARCO TEÓRICO ECUACIÓN BIDIMENSIONAL DEL CALOR La Ecuación del Calor es apropiada para el abordaje de una Matemática Aplicada al contexto de carreras de Ingeniería pues involucra conceptos inherentes a disciplinas como Física y Termodinámica. [4] La ecuación del calor es un modelo matemático (quizás el más sencillo) que trata de describir la evolución de la temperatura en un cuerpo sólido. [4] Si queremos estudiar la distribución del calor de una placa plana, entonces hay que resolver la ecuación del calor bidimensional. [2] (

Nombre

Tipo

Laplace

Elíptica

Onda

Hiperbólica

Difusión

Parabólica

Helmholtz

Elíptica

Tabla 1.- cuadro comparativo de los diferentes tipos de ecuaciones con su respectivo nombre y tipo.

( )

El Laplaciano de la función T, es la suma de las segundas derivadas parciales de dos dimensiones de la función T con respecto a x e y es: [3] ( ) Ahora procederemos a reemplazar el Laplaciano en la ecuación original, quedándonos así la ecuación del calor Bidimensional. [3]

( Ecuación

)

)

( )

Donde T(x, y, t) es una función que depende del tiempo t ≥ 0 y de dos variables espaciales x e y que se mueven en una región del plano R, definida por la forma de la placa. [2] La constante (difusión térmica) es el resultado de la división de la conductividad térmica K con respecto a la densidad del material (masa por unidad de volumen), con el calor especifico c (por unidad de masa). [3] ( ) En esta sección centraremos nuestra atención en la situación estacionaria, donde la temperatura T no varía con el tiempo, de

modo que es una función solo de x e y. Así, nos interesa la temperatura estacionaria de la placa. En este caso, de modo que la ecuación (3) se convierte en la ecuación bidimensional de Laplace. [3]

( ) Esta importante ecuación diferencial parcial conoce como la ecuación de potencial. [3]

también se

necesita de tres condiciones de frontera homogénea, mientras la cuarta condición no debe ser homogénea. [2] III. DESARROLLO DEL EJERCICIO Encontrar la solución de transmisión de calor de una placa cuadrada, cuyas dimensiones son 1m por cada lado, está sometida en sus bordes a una temperatura de 0°, excepto en el tramo donde esta sometida a una temperatura ( ) ( )

PROBLEMAS DE DIRICHLET Determinaremos una solución de la ecuación particular de la ecuación de Laplace en una región plana acotada R mediante las condiciones adecuadas de frontera, para determinar la temperatura estacionaria en una placa con valores asignados en la frontera, debemos resolver el problema con valores en la frontera. [3] ( (

)

(

) (

(

) )

( ) )

( )

Para determinar una solución de la ecuación de Laplace es una región R con valores dados en la frontera, se llama Problemas de Dirichlet. Se sabe que si la curva frontera C y la función de valores en la frontera f se comportan relativamente bien, entonces existe una única solución del problema de Dirichlet (6), (7). [3] (

)

( )

(

)

( )

(

)

( ) (

)

( )

(

)

( )

(

)

( ) (

)

(

Fig. 2.-Grafica de la placa, con las dimensiones especificadas en el problema y sometidas a diferentes temperaturas a cada lado.

Solución: Para la resolución de esta ecuación diferencial parcial utilizaremos el método de series finitas.

)

En la siguiente grafica (Fig.1) se muestra una placa rectangular con los valores indicados en la frontera a lo largo de sus cuatro aristas, indicando el problema de Dirichlet. [3]

Dónde:

Por lo tanto:

Como el ejercicio es de estado estacionario, quiere decir que ya ha pasado mucho tiempo, ya no existe cambio temporal, por ende la función nos queda.

ecuacion de laplace.

Fig. 1.- Placa rectangular con todos los valores de frontera Especificados.

Para resolver la ecuación diferencial parcial por el método de variables separables y obtener su solución particular, se

Asumimos que la ecuación de Laplace.

( ) ( ) y reemplazamos en nuestra

( ( ))

(

(

Al derivar (x, y) nos quedaría:

(

( ( )))(

)(

( (

(

(

(

Dónde:

(

)

(

(

))(

))

))

)

(

Condición 2 de Diricheft

))

debe ser igual a cero:

))(

(

(

(

)

Para que se cumpla esta igualdad

Para que se cumpla la igualdad estas deben ser constantes:

)

(

)

))

(

))

Para todo (

( ( ))( ( )(

(

)

(

)

(

)) ))

Procedemos a despejar: Para que se cumpla esta igualdad, sen(n)=0; pero n no puede ser cero porque si no, no tenemos solución, pero sabemos que (

(

)(

Condición 3 de Diricheft √

(

)

)

(

))

(

( )))

para toda X

)(

( ))

( (

(

(

)(

)

) Para que se cumpla,

debe ser igual a 0

(

)(

(

))

Ultima condición de Frontera:

( (

(

Para todo

√

)

(

)

)

(

)

(

( ))

Para que la igualdad se cumpla:

)

m=1 Dónde:

( ) ( ) ( )

(

(

)

(

))(

(

)

(

))

Con esta ecuación de temperatura, procedemos a reemplazar la primera condición de frontera: Para

( ) Respuesta: ( )

(

)

(

)

Ahora procederemos a modelar nuestra Respuesta en el software matemático Matlab.

Aquí está el código implementado en el software matemático Matlab, con el que se procedió a realizar las diferentes gráficas, que denotaron la solucion de nuestro ejercicio. CODIGO MATLAB % Programa para graficar la solucion del ejercicio de ecuacion bidimensional del calor de una placa Cuadrada % Henry Arias, Tania Torres, Vinicio Llanos, Patricio Sumba

Fig. 3.-Grafica de la solución de la temperatura de la placa vista como un solido

x=0:0.01:1; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); T=(1/sinh(pi))*sin(pi*X).*sinh(pi*Y); surf(X,Y,T) surf(X,Y,T);view(2) surf(X,Y,T);view(2);colorbar title('Solucion de la transferencia de Calor en una Placa vista como un Plano') xlabel('coordenada x') ylabel('coordenada y')

IV.

CONCLUSIONES

1.- La ecuación de calor bidimensional, es muy importante ya que con ella se puede modelar como es el comportamiento de un sólido o una superficie que es sometida a ciertas temperaturas, obteniendo así una aproximación con la realidad.

Fig. 4.-Grafica de la solución de la temperatura en la placa, vista de frente representada en los ejes x eh y

2.- La solución del ejercicio planteado fue simulado en el software Matlab, quien nos mostró graficas de lo que está sucediendo en la placa del ejercicio, muy parecidas a lo que se planteó en el problema, demostrando así que nuestro cálculo es correcto. 3.- Las Ecuaciones Diferenciales Parciales, son muy importantes en el estudio de ingeniería, ya que estas nos permiten obtener un modelado matemático más exacto de lo que ocurre ya sea en un circuito eléctrico o en algún fenómeno físico. V. REFERENCIAS

Fig. 5.- Grafica de la solución de la temperatura en la placa, con una barra representativa de las intensidades de la temperatura en la placa en toda su altura

[1]

Dennis G. Zill.; Michael R. Cullen, “Ecuaciones Diferenciales, problemas con valores en la frontera” Séptima Edición.

[2]

J. Jones. (1991, May 10). Networks. (2nd ed.) [Online]. Disponible: http://www.atm.com

[3]

Henry Edwards; David Penney “Ecuaciones Diferenciales” Segunda Edición.

[4]

M. Braun; “Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones” Primera Edición.