Ejercicios Resueltos De Fundamentos Matemáticos - Lidia Huerga Pastor 5o4f5k

...

CLn ) •

n •

K bn / 1 .1 5 . Producto de m atrices. P a r a m ultiplicar dos m atrices A y B , el núm ero de columnas de A ha de ser igual al número de filas de B . E n ton ces, si A = (a¿¿)mxp

y B = ( 6,¿ ) pxn, la m atriz producto C = A B = A B = (c,¿) es la m atriz m x n cuyos elementos son P

Cij — Qi\b\j + Oi2^2j + ’ ’ ’ H* Qipbpj — ^ ^ îk^kj k=l

esto es, el elem ento (¿, j ) de la m atriz C se obtiene m ultiplicando

la fila¿ de A

por la colum na j de B según la regla 1.14. 1 .1 6 . Propiedades de la sum a de m atrices y del prod u cto p o r un número: (1 ) C onm u tativa: .4 + B = B + .4. (2 ) A sociativa: (.4 + B ) + C = A + { B + C ). (3 ) Elem ento neutro: la m atriz nula 0 (todos sus elem entos son cero) cumple .4 + 0 = A. (4 )

Elem ento opuesto: to d a m atriz .4 tiene una m atriz opuesta —A, que se

obtiene cam biando de signo todos los elementos de A y cum ple que A + (—A ) = 0.

18

IN TRO DUCCIÓ N AL ÁLG K liR A L IN EA L

(5 ) D istributiva de escalares respecto de la sum a de m atrices: k (A + B ) = kA + kB. ( 6 ) D istr ituitiva resp ecto de la sum a de escalares: (k + h )A = kA + hA. (7 ) A sociativa m ixta: k (h A ) = (fcft)A. ( 8 ) El núm ero 1 es el elem ento unidad: 1 •.4 = A. 1 .1 7 . Propiedades del prod u cto de m atrices: (1 ) A sociativa: A (B C ) = ( A B ) C . (2 ) Distributiva: -por la izquierda: A (B + C ) = A B + A C -por la derecha: (B + C )D = B D + C D . (3 ) A sociativa entre números y m atrices: (h A )(k B ) = ( h k ) ( A B ). (4 ) Elem ento identidad: 7mA = .4, A In = A p a ra to d a A e Observación: E l producto de m atrices no cumple la propiedad conm utativa» esto quiere decir que hay parejas de m atrices tales que A B ^ B A . E s to no impide que existan parejas de m atrices que sí conm utan. 1 .1 8 . E n el conjunto A/nxn de las m atrices cuadradas de orden n , el producto es una ley in tern a que cum ple las propiedades anteriores 1 .1 6 -1 .1 7 , adem ás hay elem ento neutro p a ra el prod ucto: la m atriz identidad de orden n I = In que cum ple .4 •I = .4 y I •.4 = .4 p a ra to d a m atriz .4 € A7nxn. 1 .1 9 . M atriz invertía. Se dice que la m atriz cuadrada .4 es inverstblt o veyular o que tiene inversa, si existe una m atriz A " 1 ta l que .4 .4 “ 1 = I y A " 1.4 = 7. L a m atriz A - 1 se llam a inversa de .4, Si existe, es única. Propiedades: (1 ) ( A S ) " 1 = B ^ A ' 1, (2 ) (A - 1 ) - 1 = A. 1 .2 0 . M atriz traspuesta de A es la m atriz A* que se obtiene a p a rtir de A cam biando filas por colum nas, esto es, las columnas de A f son las filas de A. Propiedades: (1 ) (A + B ) f = A ‘ + S . ( 2 ) (kA ) 1 = kAK (3 ) ( A S ) 4 = B K A .

19

I a' j

k r o c í o s

R

u s i j k i .t o s

dio

F

u n d a m e n t o s

M

a t k m

At

ic o s

dienten. Se d en ota rang(*4).

T eo m n a d el rango'. E n cualquier m atriz, el núm ero de filas linealniente in dependientes coincide con el m añero de columnas linealmente independientes1. Según esto, el rango de una m atriz es el número de filas o de colum nas linealmente independientes. E l rango de u n a m atriz escalonada es igual al núm ero de filas no nulas. 1 .2 2 . T ran sfon n acion cs d c in m t a k s . L a s siguientes transform aciones aplicadas a una m atriz perm iten obtener o tra que tiene el m ism o rango; (1 ) In tercam b iar de posición dos filas entre sí. (2 ) M ultiplicar una fila por un número distinto de cero. (3 ) Sum ar a u n a fila un m últiplo de o tra : F j —> F j + kF¡. (4 ) Suprimir una fila que sea nula, proporcional a o tra o com binación lineal de otras. (5 ) L as cu atro propiedades anteriores son ciertas tam bién cam biando las pa labras fila y filas por colum na y colum nas, respectivam ente. Las propiedades anteriores nos perm iten calcular el rango de una m atriz por el m étodo de Gauss. D e t e r m i n a n t e s . A p lic a c io n e s 1 .2 3 . D eterm in an tes de orden 2. D ada la m atriz cu ad rad a de segundo orden

Ql2 ) , se llam a determ inante de A al número real

d c t(.4 ) = |A| =

an a¿\

a \2

(J22

— Gil * a 22 - C¡12 * fl2 |.

Dados dos vectores a = ( a i , 02 ) y 6 = ( 6 1 , 62 ) de K 2, se llam a determ inante de a

1 El conc ept o de independencia lineal se est udi a con det all e en el T e m a 2

20

IN TRO DUCCIÓ N AL Á L G E B R A L IN EA L

y b al determ inante de la m atriz 2 x 2 cuyas filas son ( a i , a 2) y (^1 ^ 2 ), esto es,

d e t(a , b) =

Q,\ 0 2 — ü\b2 — 82^1 bt b2

1 .2 4 . D ttenninante# da oidan 3. Duda la m atriz cu ad rad a de tercer orden .4 (
Qi3

^21 <322

^23

&31 ^32

G33

an d e t(A ) = |.4| =

=

a n d 22 <*33

+ <*12 a 23 <*31 + <*13 <*21 a 32

<*12 CS21 CS33 -

“ <*) ] tt2 3 <*32 “

t t i 3 0 2 2 <*31 •

P a r a recordar su expresión so utiliza el esquema de la F ig u ra 1.1.

Figura 1.1. Regla de Sarrus

Dados tres vectores á = ( a x ,a 2 , a 2), b = ( 6 1 . 62 ^ 3 ) y c = (c j, C2 , C3 ) do R 3, se llam a determ inante de 3, 6 y c al determ inante de la m atriz 3 x 3 cuyas filas son las com ponentes de dichos vectores, esto es: ai

02

Q3

Cl

&2 C2

C3

d e t(a , 6 , c ) —

=

O í b 2 C3 +

ü 2 b 2 Cx +

0 3 ^ 1 ^ 2 — f l3&2 c l “ a 2^1 c 3 — d \ b 2 C2 .

1 .2 5 . Propiedades de los determ inantes: (1 ) El determ inante de una m atriz es igual al de su traspuesta: |A| = |<4e|. (2 ) Si una fila o colum na es sum a de dos, entonces cl determ inante es sum a do dos determ inantes que tienen en osa fila o colum na los prim eros y segundos

21

E

je r c ic io s

R

e s u e l t o s

F

d e

u n d a m e n t o s

M

a t k m

At

ic o s

sum andos, respectivam ente, y en las dem ás los m ism os elem entos que el determ i nante inicial: d e t(S + d, 6 , c) = d et(ñ , 6 , c) + d et(d , 6 , c) a -\

-+ -

6

d \

a

2

^ 2

+

a

3

+

a

d a =

2

.

b 2

& 3

6

.

b 2

C l

C 2

C 3

C l

C 2

+

C 3

o

d

x

d 2

d a

6

.

6 2

6 3

C l

C 2

C 3

(3 ) Si se m ultiplican todos los elem entos de una fila (o colum na) por un nú m ero, el determ inante queda m ultiplicado por dicho número:

kci\ d e t(fcá , 6 , c) = fcd et(á, 6 ,c )

0 o

kd2

bi

kd2 b2

Cl

C2

di

«3

63

= k bi

d2 b2

C3

Cl

C2

C3

63

(4 ) Si se perm utan dos filas (o colum nas), el determ inante cam bia de signo:

d e t(a , 6 ,c ) =

d e t( 6 ,a , c)

o O

aj

a2

61

62 C2

Cl

Q3 ^3 —

b\ ai

b2 a2

&3 a3

C3

Cl

C2

C3

(5 ) Si una fila (o colum na) es to d a de ceros, el determ inante vale ü: d e t(á , 6 , 0 ) = 0 . ( 6 ) Si dos filas (o colum nas) son iguales o proporcionales, el determ inante es 0: d e t ( á ,á , 6) = 0

y

d c t(á , fcá, 6) = 0 .

(7 ) Si una fila (o colum na) es com binación lineal de las restan tes filas (co lum nas), el determ inante es ü: d e t ( á , 6 , evá + 0 b ) = 0 . Y recíprocam ente, si un determ inante es 0 , tiene una fila y u n a colum na que es com binación lineal de las dem ás. Dicho de o tro m odo: si á , 6 , c son vectores de K 3 , entonces a , b y c son linealmente independientes si y sólo si d e t(ñ , 6 , c) ^ 0 . ( 8 ) Si a una fila (o colum na) se le sum a un m últiplo de o tra , el determ inante no varia: dot (a, 6 , c ) = d c t ( 5 ,5 + k a , c). (9 ) E l determ inante del producto de dos m atrices es igual al producto de los determ inantes de las dos m atrices:

\AB\ = |.4| B |.

22

IN TRO DUCCIÓ N AL ÁLO KÍiRA L IN EA L

1 .2 6 . Si en una m atriz seleccionam os k filas y k colum nas, los elem entos en los que se cruzan form an una subm atriz cu ad rad a de orden k . E l determ inante de esa subm atriz se llam a m en or de orden k de la m atriz inicial. 1 .2 7 . Si <*n una m atriz cu ad rad a n x n destacam os un elem ento

al suprimir

su fila y su colum na se obtienen una subm atriz (n — 1) x (n — 1). Su determ inante es un menor de orden n — 1 que se llam a m en or com plem en tario del elemento o¿¿ y se designa por Qij. Se llam a adjunto de a ij al número .4¿¿ = (—l ) t+J* •

es

decir, al menor com plem entario precedido del signo + o — según que la sum a i + j de los subíndices sea par o im par, respectivam ente. 1 .2 8 . D esarrollo de un d eterm in an te p o r una fila o columna. E l determ inante de una m atriz cu ad rad a es igual a la sum a de los elem entos de una fila o colum na m alquiera, m ultiplicados por sus adjuntos correspondientes. P o r ejem plo, el desarrollo por la prim era fila es: d e t(A ) = a n A n 4- G12 A \2 -f •••4- a in A\n 1 .2 9 . Cálculo del rango de una m atriz p o r determ inantes. El rango de una m atriz es el m áxim o orden de sus m enores no nulos. E sto significa que ra n g (A ) = k si y sólo si existe un menor de orden k no nulo y todos los menores do orden k + 1 son cero. E s ta propiedad se puedo simplificar de la siguiente forma: ran g (A ) = k si y sólo si existe un m enor Ai* de orden k no nulo y todos los orlados de orden k + 1 de ese m enor son cero. Un orlado de orden k + 1 de Ai* se obtiene añadiendo una fila y una colum na de A que no estén en A/*. P o r ejem plo, si la m atriz .4 tiene 3 filas í q , F 2 y F 3 y 4 columnas C j, C 2 , C 3 y C 4 y un menor no nulo de orden 2 A/2 es el formado por las dos prim eras filas y colum nas, esto es, M¿ = {F i,F ¿ > C i,C 2 ) í entonces los orlados de orden 3 serían {F i, F¿, F ¿ ;C i,C 2 ,C a ) y ( F i , F 2 ,i* 3 ; C i , C ^ C i ) (y no hay m ás). Si .4 tu viera 4 filas habría o tro s dos orlados m ás, cam biando en los anteriores F 3 por F 4 : (F u F 2j F4 ; C u C2i C3) y (F ly F 2, F4 ; C ly C2i C4). 1 .3 0 . Sea .4 una m atriz cuadrada. En ton ces .4 :iene inversa (es regular) si y sólo si \A\ ^ 0 E n este caso, la inversa .4 “ l viene dada por la fórmula A -’ ^ A d j ^ y , siendo A d j(A ) la m atriz ad ju n ta de .4 que se obtiene al sustituir ca d a elemento

a tj de .4 por su adjunto correspondiente AXj.

23

I a' j

k r o c í o s

1.31.

R

u s i j k i .t o s

dio

F

u n d a m e n t o s

M

a t k m

At

ic o s

Teorem a de R ouché-Frobenius. L a condición necesaria y suficiente p a ra que

ten ga solución el sistem a 0.\\X \ + Q .y iX 'i + ^ 1 3 ^ 3 +

**

a 2 \x \ + « 22^2 + «23^3 +

(S)

«m l^ l +

<*m 2% 2 +

+ d\n X n = +

b\

& 2nx n — b 2

HHdmn%n ” b

a m Z£3 +

es que el rango de la m atriz de los coeficientes, A , coincida con el rango de la m atriz am pliada, .4*, siendo: / « 11

021

.4 =

\«m l

&\2

ai3

...

«ln ^

Ü 22

fl2 3

...

02n

«m 2

0 ,„ 3

. ..

i * » »i

— ~

( « 11

«12

Oí3

...

«ln

& i\

«21

«22

fl2 3

...

02n

h

«m 2

am 3

...

«m n

b „J

\ flm l

E s decir, el sistem a ( S ) tiene solución * * ran g(A ) = ra n g (A *). A dem ás, en este caso, el número de p arám etro s de los que depende la solución es igual al número de incógnitas (n ) m enos el rango de A. 1 .3 2 .

Un sistem a de ecuaciones lineales es un sistem a de C ram er si el núm ero de

ecuaciones es igual al núm ero de incógnitas n y el determ inante de la m atriz de los coeficientes .4 es distinto do cero.

Reyla de Cramer'. Todo sistem a de C ram er tiene solución única y é s ta viene dada por: _

Xí

d e t ( 6 , c 2 , . . . , cn)

d e t ( c i ,6, > . . , Q

_

_

d e t ( c i , c 2 , . . . , c » ) 5 ’ ” 1 Xn

d e t ( c i , c 2, . . ..C n)' Xl

d e t ( c i , c 2, . .. , 6 ) d e t(c j, c 2, . . . , c n ) 1

siendo c i , c 2, . . . , c n las colum nas de la m atriz .4 y ó la colum na de los térm inos independientes, por lo tan to d c t(.4 ) = d c t(c j, c 2

2. E JE R C IC IO S R E S U E L T O S 2.1.

S is te m a s lin e a le s

E j e r c i c i o 1 . 1 . Resuélvase el sistem a escalonado

(3 x + y- z = 9 ¡ y + 3z = - 5 [

24

2z =

—4

Cn).


S o lu c ió n . P rim ero se halla z en la te rce ra ecuación: z = - 2. Se sustituye en la segunda y se obtiene y: y - 6 = —S => y = l. P o r últim o, se sustituyen en la p rim era ecuación los valores de y y z y se halla x : 3 a : + l + 2 = 9 ^ a : = 2. Como hay solución única ( 2 , 1 , —2 ), el sistem a es com patible determ inado. A este procedim iento se le llam a Au&titnción h a d a atrá*. Los sistem as linea les, en general, se resuelven aplicando las transform aciones de equivalencia 1.4, convirtiéndolos en escalonados. Veamos cóm o se procede en el siguiente ejercicio. E j e r c i c i o 1 .2 . Resuélvase el siguiente sistem a por el m étodo dt Gausft y clasifíquese: ( x - 3y + 2 z = - 2

) 2x - 6y - 2 = - 2 \ - 3 t + 7y + 2z = 4 S o lu c ió n .

Si se p arte de

la prim era ecuación como ecuación base y se

elim ina la

x en la segunda ecuación

y en la te rce ra , la prim era transform ación de equivalen cia sería m ultiplicar la prim era ecuación por —2 y sum arla a la segunda (véase 1 .4 (c )). La segunda transform ación de equivalencia es m ultiplicar por 3 la prim era ecuación y su m arla a la tercera. E s ta s dos transform aciones se indican com o sigue:

E¿ —►E¿ + ( —2 ) •E i, E¿ £ 3 + 3 •É\. Se pueden hacer en un sólo paso y resu lta el sistem a

( x - 3j¿ + 2 z = - 2 { y -5 z = 2 ( - 2 y + Sz = - 2 A h ora si se usa la segunda ecuación com o ecuación base, se m ultiplica por 2 y se sum a a la te rce ra ( £ 3 —» £ 3 + 2 E 2 ), resulta y a un sistem a escalonado que se resuelve por sustitución h acia a trá s com o hemos visto en el ejercicio anterior:

(

x - 3y + 2z = - 2 y -5 z = 2 - 2z =

2

( x = -9 -►

< y = —3 [

(1. 1)

2 = -1

Com o hay solución única, el sistem a es com patible determ inado. 25

I a' j

k r o c í o s

R

u s i j k i .t o s

dio

F

u n d a m e n t o s

M

a t k m

At

ic o s

E j e r c i c i o 1 .3 . Resuélvase y dasifíquese:

2x — 3y + 2z = 5 3x - 4y + 6z = 6 4 j - 7y _ 2z = 9 S o lu c ió n . Se aplica pí m étodo de Gauss para llevarlo a la form a escalonada:

i

I( 2 x - 3 y + 2z = b 3x —4y + 6z = 6 4a: - 7t/ - 2z = 9 ( 1 ) E 2 -►

2^2

- 3 £ i,

( 2x — 3y + 2z = 5 -^-4 ^ y + 62 = —3 ( £ 3 -4

( 2x — 3y + 2z = 5 -^-4 ^ y + 62 = —3

- 2 y - 12z = - 2 2 ^ 3 - 4 £ i . ( 2)

£ 3 -4 £ 3

( +

0=

8

2^ 2-

L a últim a ecuación es una contradicción, lo que significa que no hay solución. P o r tan to, el sistem a es incom patible. E j e r c i c i o 1 .4 . Resuélvase y dasifíquese:

3x - y + 2z = 4 b x - by + 4z = 9 4 j + 2y + 2z = 3 S o lu c ió n . Se aplic a el m étodo de Gauss para llevarlo a la form a escalonada:

3x - y 4 - 2z = 4 bx - by + 4z = 9 4 x + 2y + 2z = 3

( 3 x - y + 2z = 4 -^4 ¡ - I 9 y + 2z = 7 [ lü y - 2z = - 7

( 1 ) E 2 -4 3 £ 2 ~ 5i?i, £ 3 “4 3 £ 3 ” 4 ^ i. Como las dos últim as em an ón os son proporcionales, se suprim e una de ellas, por ejemplo la últim a (véase 1 .5 (c )). E l sistem a resultante en form a escalonada í 3x - y + 2z = 4

{

, 0. ( }

-1 0 y + 2 z = 7

3 incógnitas. Se despeja en la segunda ecuación z en función

tiene 2 ecuaciones

y

de y, y después se

sustituye en la prim era, despejando de ella x en función de y.

P o r lo tan to , el sistem a tiene infinitas soluciones que dependen de y. Realizando estas operaciones: 3x - y

-10 y

26

2z = 4 2z = 7

3x = 4 + y - 2 _ 7+lOy z = 2

7 + 10 y

x = - 1 - 3y


se obtiene la solución = 7+ 10?/ z = y libre,

que puede expresarse en form a param ó trie a:

x —- 1 -3 A y= A z = 7 + l2Q A Partiendo del sistem a ( 1. 2) , tam bién so podía haber despejado en la segunda ecuación y en función de z y luego, después de sustituir en la prim era, despejar x en función de z , en cuyo caso quedaría com o incógnita libre z en vez de y. E j e r c i c i o 1 .5 . Resuélvase el Ejercicio 1.2 por el m étodo de. G ouss reducido, esto es, de forma esquem ática, om itiendo las incógnitas. S o lu c ió n . Se om iten las incógnitas y se colocan en una ta b la (m atriz) todos los coeficientes de las incógnitas (incluyendo los que son 0 ) ju n to con los términos independientes, de la siguiente form a:

L as tros prim eras colum nas form an la m atriz do los coeficientes del sistem a, y las 4 colum nas, la m atriz am pliada. P a r a resolver este sistem a, se lleva a la form a escalonada com o los anteriores, aplicando las transform aciones elementales que se indican a continuación: -3

2

-5

-1

2 (1 )

Ei

->

Bi -

2 £ *i, £ 3 -> £ 3 4- 3 £ i .

(2 ) £ 3 - * £ 3 + 2 £ 2 .

E l sistem a resu ltan te es escalonado (véase el prim er sistem a de (1. 1) ) y se resuelve por sustitución h acia atrás, obteniéndose z = - 1 , y = - 3 , x = - 9 .

27

E

je r c ic io s

R

e s u e l t o s

d e

F

u n d a m e n t o s

M

a t k m

At

ic o s

E j e r c i c i o 1 .6 . Resuélvanse por el m étodo de G auss y dasifiquea.se:

2x — y

x + 3t¿ - 5z + 4 t = - 2 &r 2y l 6* = 8

.<*)

+ tu = 0

= 0 5;r - i/ + 2 + uj = 0 5X - 2j/ - z + 2 w = 0

x - 2y + z

4 j - 9 y + 7z + 7 ¿ = - 1 4

S o lu c ió n , ( a ) Usando el m étodo de G auss reducido: 1 -3 4 (1 ) ^

3 -2

5

-

7

9

-2 8

4

6

-9 7

'

\
- 1 4 ,'

- 4 ¿?2 + 3 E i , E 3 - 4

Ei

\ 0

3 7

-5 -9

4 3

-2 1

27

-9

-2 2 -6

- 4 E i.

Como la tercera ecuación es proporcional a la segunda, se suprim e y nos queda un sistem a escalonado con 2 ecuaciones y 4 incógnitas:

( x + 3y — 5z + 4£ = —2 |

7y - 9 z + 3£ =

2

y por tan to, tenem os 2 grados de indeterm inación, las soluciones dependen de 2 parám etros y cl sistem a es com patible indeterm inado. Si se despejan x e y en función de z y t , se tiene, de la segunda ecuación: 7j, = 2 + 9 z - 3 £ ; y = 2 + 9 * ~ 3 ¿ ,

y susti:uycndo esto valor en la prim era , = - 2 - 3 ¡/ + 5 Z - 4 < = - 2 - 3 2 + 97Z - 3 f + 5 Z - 4 < = - 2 0 + ^

- 19f.

Haciendo z = A, t = //, p a ra cualesquiera números reales A y / / (p arám etro s), las solucionen del sistem a en form a p aram étrica son:

x

- 2 0 + 8 A - 19// 2 + 9A-3// ------------=------------ , y --- ----------=--------- , z = A, t = //.

( 6 ) Se tr a ta de un ¿asíema hom ogén eo y a que todos los térm inos independientes son cero. E s te tipo de sistem as siempre son com patibles pues iten la solución nula o trivial (x = y = z = w = 0 ), pero pueden tener m ás soluciones. P o r el

28


m étodo de Gauss se tiene: / 2

1 5 \5

-1 -2 -1 -2

0 1 1 -1

1 0 1 2

0 0

(

(i)

U

0

)

^

2

1

-1 -2

3

U

1

0

0 1 1 -1

(1) E% —►£ 3 —E\i £ 4 “ ►£ 4 —2i?i.

^

1 0

0 0

U

u

0

oy

( 2)

0\

( 2

1

-1 -2

0 1

1 0

0

4

U

U

U

u

0

-1

0

0 /

^1

(2) Ez —►£ 3 -f- £i«

E s te es y a un sistem a escalonado en el orden ( £ i , £ 2 , £ 4 , £ 3 ) y en las incóg nitas ( w , y yz yx ) (esto significa que I o se halla x en £ 3 , luego z en £ 4 , después í/ en £ 2 y por últim o

en £ 1 ). E l sistem a escalonado resultante y su solución son: 2x - y

+w x - 2y + z

(

4x x

= 0

=0

| x =0 [ z =0

= 0 - 2

( iv = 0 I y = i)

= 0

P o r tan to, tiene solución única x = y = 0, z = 0, w = 0 , y es un sistem a E j e r c i c i o 1 .7 . Los valores do a y h p ara los cuales los sistem as com patible determ inado.

( c \ í x + y= 4

fc \ í

' 1

'

\x-i/ = 6

a x + by = 9 \ 2 a x + (6 + l ) y = 9a

son equivalentes son (elíjanse las opciones co rrectas): (a ) a = 5, b = 3 . (b) a = 2,

6 = 1. (c ; No hay solución, (d) Ninguna de las anteriores. S o lu c ió n . Dos sistem as son equivalentes si tienen las m ism as soluciones. L a solu ción del primero es x = 5, y = —1. E sto s valores han de ser la única solución del segundo sistem a. Sustituyendo en (S 2 ) se obtiene el sistem a de incógnitas (a , 6) siguiente: f 5a- 6= 9 Í5a-ó= 9 \1 0 a — 6 — 1 = 9a

\ a —6 = 1

E s te sistem a tiene com o única solución a = 2, 6 = 1. C on ello, parece que la respuesta co rre cta es (b ), sin em bargo esto 110 es correcto. Al sustituir a = 2 y 2X y “ ^

{

4 x + 2 i/ — 18 ’ ^

,s*ste m a es com patible

indeterm inado (ya que la segunda ecuación es proporcional a la p rim era y se puede suprim ir), tiene infinitas soluciones dadas por x = A, y = 9 - 2A (eutre

29

E

je r c ic io s

R

e s u e l t o s

d e

F

u n d a m e n t o s

M

At

a t k m

ic o s

ellas, x = 5, y = - 1 ) y, por tan to , este sistem a 110 es equivalente a ( S i ) . En consecuencia, no hay valores de a y b p ara los cuales ( S i ) y (S 2 ) son equivalentes. L a única opción co rre cta es (c ).

2 .2 .

M a tr ic e s

E j e r c i c i o 1 .8 . D adas las m atrices .4 =

/-4 U

5

2'

-2

3,

1 y B =

0

G

: )

■

calcúlense (a ) .4 + B y (6 ) 2 .4 - 3 £ .

S o lu c ió n , (a) A + B = ^ ^

<*>“

- “

= ( /

^

“

í

^

•

) - ( í.

E j e r c i c i o 1 .9 . D adas las m atrices .4 = ^

0

3 ) =

3

-1

4\

-2

5

6)

(

-17

13

-13

-4

3 )1

y 5 = | -2 3

4

-3\

0 1 1 2 /

,

hállense A B y B A f . S o lu c ió n . Obsérvese que el prod u cto A B se puede h acer porque es ( 2 x 3 ) - ( 3 x 3 ) , con lo que resu lta u n a m atriz 2 x 3 :

i

)

-

C

16

-2

-2

23

í

)

■

Nótese que c „ = 3 - 1 + ( - 1 ) •( - 2 ) + 4 - 3 = 17, c , 2 = 3 - 4 + ( - 1 ) - ü + 4 - 1 = 15, etc. Como .4 f es de dimensión 3 x 2, el producto B .4 f tam bién se puede hacer porque es (3 x 3 ) • (3 x 2 ), y resu lta una m atriz 3 x 2 :

£ .4 *

30

/ 1

4

-3 \

/ 3

-2 \

/ —13 ()\

=í -2

0

1

(- 1

5 = 1 - 2

\ 3

1

2 /

\ 4

6 /

10

V 16 1 1 /

.

IN TRO DUCCIÓ N AL Á LO KÍiRA LIN EA !,

/-3' E j e r c i c i o 1 . 1 0 . D adas las m atrices .4 = ( —2

—5

3) y B =

j 2 ] ,hállense,

si os posible, (a ) .41?, (b) B A , (c ) AtB , (d ) B tAt. S o lu c ió n , (a) Obsérvese que .42? es un producto del tipo (1 x 3) • (3 x 1) que sí se puede hacer, y se obtiene una m atriz 1 x 1 , es decir, un número:

A B = (-2

-5

3) ( / ]

= ( ( - 2 ) ■( - 3 ) + ( - 5 ) ■2 + 3 ■ 1) = ( - 1 ) .

(íi) 2?.4 es dol tipo (3 x 1) •(1 x 3) = 3 x 3 . O perando resulta: / 6

15

-9 '

3) = ( - 4

-1 0 -5

6

-3 \

BA = |

2

1

(-2

-5

J

\-2

].

3

( c ) A lB es del tipo (3 x 1) • (3 x 1), y por tan to, no se puede hacer. (d ) 2?'.4' es del tipo (1 x 3) • (3 x 1) = 1 x 1. Efectuando se tiene:

B tA t = ( —3

2

1) ( - 5 ^

=(-1).

N ótese que se verifica la propiedad ( A B ) É = B tAt (véase 1.20). E j e r c i c i o 1 . 1 1 . Con las m atrices

*-(?

s4) - - ( i

i

s ) .* - g

=:

com pruébense (a ) la propiedad distributiva: .4 ( B + C ) = .4 2 ? + .4 C y ( B + C ) D 2?D + C D y ( 6 ) la asociativa: (.4 2 ?)D = A {B D ). S o lu c ió n , (o ) P a r a el lado izquierdo de la prim era igualdad, se tiene ^ Í2 A (S + C ) = ( 1

-4 \ ( - 2

-3

3\

=

/ —12

-1 0

2\

.

31

E

je r c ic io s

R

e s u e l t o s

d e

F

u n d a m e n t o s

M

a t k m

At

ic o s

y para el lado derecho

AB + AC =

2

_4\ / - 5

1

2

'2

1

3 J 1 -2

3

0

1

i -2

=

- 10

1 ^-1 1

10

4U 2j

r 10

y 15

-4 ' 3

0

2

-

'3

-4

4

-2

l\ \)

•10 0

'

-1 0

■

(

i

2

2'

6

que son iguales. A nálogam ente, p a ra la segunda igualdad:

(B + C )D =

BD + CD =

(¿ ) Veamos ah o ra la propiedad asociativa:

Í2

(A B )D =

-4 \ / - 5

1,1

22

3 /

\ -2

1

2

3

0

-2 -11

-1 0 10

4 2

\

-4 9 J '

A {B D ) =

'2

1

'2

-4 3

- 4 \ / —13\

1

3 J \-1 2 J “ 1 - 4 9

Nuevam ente se obtiene el m ism o resultado. E j e r c i c i o 1 . 1 2 . Calcúlese ol rango do las m atrices

( A =

32

y B =

/ 22 '

1

-2

1

0

7'

2

3

0

-1

0

0

1

2

\ -l

-1

3

-3 -1

2 7/


S o lu c ió n . ♦ M atriz A Si se aplican las transform aciones que conservan el rango (véase 1 .22 ) , resulta: / 1 ( :

2 -2

3\ 5 iü

/l 0

2 -4

3 \ 2

/I 0

2 -4

\ -l

10

9/

\0

12

~ q)

\0

0

(1 ) F j - 4 F j - F i , F 3 -4 F 3 + F i .

3\ 2 . 0/

(2 ) F 3 - 4 F 3 + 3 F j.

Com o la m atriz que resu lta y a es escalonada y tiene dos filas 110 nulas, el rango es 2 (vésase 1 . 2 1 ). • Se procede de la m ism a form a con la m atriz D : -2

1

0

2

3

0

-1

0

1

2

-3

\ -l

-1

3

-1

/1

/I 0

-2 1

1 2

0 -3

0

7 -3

-2 4

-1 -1

V>

(\ %

7^

/I (i)

0 0

\

•2

1

0

7

-2

-1

-1 4

1

2

-3

2

-3

4

-1

14/

(\ (3).

4

0

-2 1

1 2

0 -3

0

0

-1 6

20

0

10

-1 0

14 y

0

0

-2 1

1 2

-3

0 ^0

0 0

1

-1

-4

5

(1

7 ^

2 2

-2

1

1 0 0

2 1 0

ü

(5),

-V

7 \

->

0 ^0

7 \ 2 -2 8

2 0 ,i

0 -3

7' 2

-1

2

1

1,

(1) F 2 -> F 2 - 2 F i, F 4 -> F 4 4- Fi. ( 2 ) Intercambiar F 2 y F 3 . (3) F 3 -4 F 3 - 7 F 2, F 4 -4 F 4 + 3 F 2 . (4) F 3 -4 F 3 / 4 , F 4 -4 F 4/IO e intercambiar F 3 y F 4 . (5) Fh -> F 4 + 4 F 3 . Luego, por 1.21, r a n g ( £ ) = 4.

2 3.

D e t e r m in a n te s . A p lic a c io n e s

E j e r c i c i o 1 . 1 3 . D adas las m atrices A = ^

^

y B = ^ ^

< com prué

bese que |AB| = |-4||S|.

33

E

R

je r c ic io s

e s u e l t o s

F

d e

M

u n d a m e n t o s

At

a t k m

ic o s

S o lu c ió n . B a s ta h acer las operaciones indicadas en los dos m iembros de la igual dad. En efecto, se tiene que

6\ ( 3

U

v 5

/-24 \-33

1 6’ 8

'4

|.4| D\ =

- 2\

O

(4 l¿ £ | =

3

-2 '

- 6

1

-2\ -2/

= -18, y

= 2-(-9)=-18,

/6

1

4'

E j e r c i c i o 1 .1 4 . Calcúlese el determ inante de la m atriz 1 2

3

5

V

4

2,

(a ) utilizando la regla de Sarrus y (íi) desarrollando por la 2 n fila. S o lu c ió n , (o ) A plicando la regla de Sarrus ¡véase 1.24) resulta:

6 2

1 3

4 5 = 6 - 3 - 2 + 4 - 2 - 4 + l - 5 - 7 —4 - 3 - 7 — 1 - 2 - 2 — 6 - 5 - 4 = - 1 0 5 .

7

4

2

( 6 ) Desarrollando por la 2a fila (véase 1 .2 8 ), la fórm ula es: |A| =

021^21 +

(¡2 2 -4 2 2 +

(¡2 3 ^ 2 3 =

0 2 l(-C V 2 l) +

022022 +

023 (-C *2 3 ).

E n este caso se tiene que:

6

1

4

2

3

5 = 2

7

4

2 =

2

1

4

4

2

6 4

+ 3

7

+ 5-Í-

2

6

1

7

4

- ( - 1 4 ) ) + 3 •( - 1 6 ) + 5 •( - 1 7 ) = 2 8 - 4 8 - 8 5 = - 1 0 5 .

E j e r c i c i o 1 .1 5 . Calcúlense los siguientes determ inantes “consiguiendo ceros” en alguna línea (fila o colum na): 3 o)

34

4 5

-2

-5

1 2 3 - 4

■

W

11 2

8 6

4

9

ü

3

5

4

1

-1

2

-3

2 y 1

1 0 (c) 0 6

0 1 -1 1

0 1 -2 1

2 -1 1 0


S o lu c ió n . E l m étodo m ás usual p a ra calcu lar determ inantes de orden m ayor que 3 es consiguiendo ceros en alguna fila (o colum na). Se consigue que todos los elem entos d e la fila, excep to uno, sean cero sum ando un m últiplo de una colum na fija, y luego se desarrolla el determ inante por los elem entos de dicha fila. Veamos cóm o se utiliza en los ejemplos propuestos. 3

-2

-5

a l P o ra calcular 4 1 2 , com o el elemento 022 es 1, vam os a desarrollar 5 3 - 4 el determ inante por la 2a colum na, pero previam ente se consiguen ceros en dicha colum na, sum ando m últiplos adec\mdos de la fila 2 a la fila 1 y a la fila 3, en concreto, los expresados m ediante las fórmulas

del siguiente m odo: 3 4

-2 1

-5 2

5

3

-4

O)

11 4

0 1

- 1

-7

0

-1 0

11 -7

2

-1

-1 0

= -117

(2) Se desarrolla por la 2* columna. ( 6)

P a ra calcu lar este segundo determ inante se observa que el elem ento

3 = 1

(y que 0,22 es 0 ) y se desarrolla por la 3a colum na consiguiendo previam ente ceros en ella, p ara lo que se sum an m últiplos adecuados de la fila 3a a la fila I a y a la

9

2

6

0

5

4

1

3 (i) 2

- 1

2

-3

(i } 7 .

-9

8

0

1

2

6

0

3

5

4

1

2

14

14

0

7

11

-1 0

0

4

0

0 =* 7

2

1

1

2

1

4

03

8

1

2

6

14

14

3 ® 77

0

11

1

4a , com o sigue:

-1 0

-4

0

-9

2 2

-8 6 2

1 3 1

= 7 •( - 4 0 ) = - 2 8 0 ,

(1) F\ -4 F\ - 4 F 3 , F 4 -4 F 4 + 3f3. (2) Se desarrolla por la 3a columna. (3) Se saca factor a 7 en la 3a fila. (4) Fi -» F i — F 3 , F 2 -» F 2 — 3 F 3 . (5) Se desarrolla por la 3a columna.

35

E

je r c ic io s

R

e s u e l t o s

d e

F

M

u n d a m e n t o s

At

a t k m

ic o s

(c ) A continuación, se desarrolla el determ inante por la I a fila, por medio de las operaciones indicadas al final.

1 u

0 6

0 1 -1 1

0 1 -2 1

(3 )

2 -1 1 0 1 -1 0

1

0 1

U

O)

0 6

0 1 -2 1

-

1

1 -2 0

-1 1 -11

0

1

1

1

1

- 1

-1

-2

1

1

1

-12

-1 2

1 ^ - l l .

=

11.

(1) C 4 -> C 4 - 2 C V ( 2 ) Se desarrolla por la 1 K fila. (3) F 3 -4 F 3 - F\. (4) Se desarrolla por la 3 ft fila. E j e r c i c i o 1 .1 6 . Calcúlense los determ inantes que siguen y hállense los valores de a que los anulan: 2

a)

1

-1

0

a —6

3

a + 1

2

ü

y

(*)

a

1

1 1 1

a

1 1

1 1

a

1 1 1

1

a

S o lu c ió n , (o ) Calculem os el determ inante por la regla de Sarrus (véase 1 .2 4 ): 3 ( a + 1) + (a - 6 ) (a + 1) - 12 = a 2 - 2 a - 15. P a r a hallar los valores de a que lo anulan, b asta igualar a 0 y resolver la ecuación:

a 2 - 2 a - 1 5 = 0 => g = - 3 , a = 5. (b) (1 ) Se sum a las colum nas 2a , 3 a y 4a a la I a ,

(D

a+ a+

3 1 3 a

1 1

1 1

a+

3 1

a

1

a -h 3 1

1

a

(2 )

( 4)

36

a + 3)

1 1

1 a

1 1

1 1

1

1

a

1

1

1

1

a

a + 3 )( a -- 1 ) 3 1

® ( a + 3 )

1

1

1

1

0

o -l

o

o

0

0

a —1

o

o

o

a —1


(2) En la primera fila se saca factor comCm a {a 4- 3). (3) Se resta la I a fila a las otras tres. (4) El valor del determinante es el producto de los elementos de la diagonal por ser una matriz triangular. E s claro que los valores que anulan el determ inante son a = - 3 y a = l . E j e r c i c i o 1 .1 7 . O bténgase la m atriz inversa de 3

2) ¿,)

( . M = ( yo ¿

y(*)*

=

^

4

5\

1 5

8/

S o lu c ió n , ( a ) Se aplica la fórm ula d ad a en 1.30 que se resum e en el siguiente esquema: K ) ^

K ) ^

A d j(.4) = (.4 ,j)

A d j(,4 )! n

-4 _ 1 = ± - A d j(,4 )! .

(1, 3)

(0 ) Se calcula |.4| y sólo si es distinto de 0 seguimos adelante. (1 ) Se form a una nueva m atriz con los menores com plem entarios do cad a elemento. (2 ) Se cam b ia de signo altern ativam ente cada elem ento p ara obtener los ad ju n to s y la m atriz adjunta. P a r a m atrices 2 x 2 y 3 x 3, los signos de los adjuntos son los que siguen:

(3 ) Se traspone la m atriz. (4 ) Se divide ca d a elem ento por \A\. Si no son divisibles, se suele dejar fuera de la m atriz el factor j^j. Según ese esquem a se tiene que |.4| = 3,

(

í

í

)

^

(

?

S

M

’

i

?

)

*

(

-

«

?

)

■

Se puede com probar que el resultado es correcto haciendo el prod u cto .4 .4 - 1 que tiene que ciar la m atriz identidad de orden 2 .

37

E

je r c ic io s

R

e s u e l t o s

F

d e

u n d a m e n t o s

M

At

a t k m

ic o s

( 6 ) A plicando el esquem a anterior, se tiene:

( 0 ) |B| =

2

3

5

4 3

1 5

3 = 16 + 27 + 10 0 - 15 - 3 0 - 96 = 2.

8

(1 ) Los menores com plem entarios son: 1

3

«11 = 5

8 3

ct2 \ =

«31 =

mm

= -7 ,

4

5

8

5 3

5

1

3

=

-1 ,

j

= 4,

3

« 12 = 3

«22 =

«32 =

8 2

5

3

8

2

5

4

3

= 23,

cvj3 =

= 1,

«23 =

4J = -14,

/-7 (2 ) L a m atriz ad ju n ta es A d j(¿?) = J 1 \

(3 ) y (4 ) L a m atriz inversa de B es B

«33 =

-23 1 4 14

4

1

3

5

2

3

3

5

2

3

4

1

= 17,

= 1,

=

-

10.

17 \ - 1 ]. -10/

1/ ~ 7 1 1= s j ^231 1 \ 17

-1

* \ 14 -10/

E j e r c i c i o 1 .1 8 . ¿ P a r a qué valores del parám etro fe tiene inversa la m atriz .4 = k 1 3 -ib k -2 1? - 2k

2k

2k -

6

S o lu c ió n . L a m atriz .4 tiene inversa si y sólo si |.4| ^ 0.

¿1 =

f— efe

- 2 fe

1 fe

3

O)

-2

2 fe 2 fe - 6

— fe fe

fe + 1

3

-2

- 2 fe

0 0

® -(f c + 1)

2fe - 6

-fe

- 2 fe

-2 2 fe - 6

= - ( f e + l ) ( - 2 f e 2 + 6 f e -4 f e ) = - ( f e + l ) ( - 2 f e 2 + 2fe) = 2 f e ( f e + l ) ( f e - l ) , (1) C j -> Cj -b Por tan to , |.4|

(2) Se desarrolla por la 2a columna, ^

0

<=► fe ^

—1 , 0, 1. Así pues, .4 tiene inversa p a ra todos los

valores de fe distintos de - 1 , 0 y 1 .

38


E j e r c i c i o 1 .1 9 . Estúdiese en función del parám etro m el rango de la.s m atrices

ím

2

1

m

(0 ) . 4 = 1 1

-m

1

1

0

1

m + 1/

\m

\

/1 y (b) B =

1

2

,

2 \

m

2m

2

m + 2/

\m

S o lu c ió n , (a ) U n m enor de orden 2 no nulo es, por ejem plo, el que está dado por

( F u F 3 ; C 2 ,C 3): 2

1

0

2

=

1

^

0. m

2

1

-m

m

0

Orlando con la colum na C\ y con la fila F 2 » resulta

1 1 = 2m - 2 . 1

Se tiene que 2 m - 2 = 0 s i m = l . P o r lo tan to , si m ^ 1, se sigue que el rango de A es 3 (véase 1 .2 9 ). P a r a m = 1, se sustituye en la m atriz inicial y se obtiene una m atriz escalonada

1

2

1

_i

1 1\ 1 1 1 2 /

1 0 (1) F 2

/I

\0

2

1

1\

_3

o

—2 0

2

0

/I 0

-3

1/

\0

0

1 1 0

0

0 1

F 2 - F i , F 3 -4 F 3 - F i. (2) F 3 —» F 3 - j F j .

A hora es claro que el rango de e s ta m atriz es 3 (véase 1. 21). E n conclusión, ra n g (A ) = 3 p a ra to d o valor de m .

(b) E l único m enor de orden 3 es el siguiente: B\ =

1

1

2

1

0

0

2

m

2m

2

m - 2

2m - 4

m

2

m + 2

m

2 - m

2- m

= (m. - 2 ) ( 2 - m )

1

2

1

1

-2 <2) m A 2 - m

2m - 4 A 2 - m

= (m. - 2 ) :

(1) C 2 -> C 2 - C U C 3 - > C 3 - 2 C ! . (2) Sf desarrolla por C\. (3) Se saca factor común a m - 2 en F\ y a 2 - m en F j. P o r tan to, \B\ ^ 0 p ara m ^ 2 y, p a ra estos valores, el rango

de

1 P a r a m = 2 se sustituye en la m atriz inicial y resulta ( 2 2

B es 3. 1 2 2

2\ 4 . Si se 4/

39

E

je r c ic io s

R

e s u e l t o s

F

d e

M

u n d a m e n t o s

At

a t k m

ic o s

pasa esta m atriz a la form a escalonada (o bien observando que las 3 filas son proporcionales) se ve que el rango es 1 . E n resum en, si m 7^ 2, ra n g (¿?) = 3 y si m = 2 , ran g (¿?) = 1. E j e r c i c i o 1 .2 0 . Resuélvanse por la regla de C ram er los sistem as

[ 2 x — y = 11

, .

( 3 x + 2y - x = ñ

(a ) \ 4 x + Zy = 7 y ( 6 ) k y

/ "

y + * = 8n

[4 x + y - 2z = 0

2 ^

S o lu c ió n , (a ) E l determ inante de la m atriz de los coeficiente es \A\ =

-1 ^

10 ^ 0 , por tan to , com o tiene el m ismo número de incógnitas que de ecuaciones, se puede aplicar la regla de C ram er (véase 1.32):

x =

11

-1

7

3 1

40 10

4

4

2

11

4

7

-3 0

v

y

’

1

= -3 .

10

4

3 ( 6 ) E l determ inante de la m atriz de los coeficiente es \A\ =

1

2 - 1

-1

1

4 1 -1 3 + 8 — 1 —4 — 3 + 2 = 5. Com o el sistem a tiene el m ism o número de ecuaciones que de incógnitas y \A\ ^ 0, es un sistem a de C ram er, tiene solución única y ésta viene dada por la regla de C ram er (véase 1.32):

x =

6 8 0

2 - 1 -1 1 1 -1 1

8

3

6 - 1

3

2

1

8

1

-1

6 8

4

0 - 1

4

1

0

5' V

4

1

1 38 5 ’ 2

4

1

4

70 5

S o lu c ió n . L a m atriz de los coeficientes y la m atriz am pliada son, respectivam ente:

.4 =

40

'2

5

3 - 4

3' 4

.4* =

'2

5

3

3 - 4

4


E s claro que ra n g (A ) = ra n g (.4 ‘ ) = 2 y a que, por ejem plo, el m enor de orden dos g

_54 = —2 3

0.

Com o el núm ero de incógnitas i's 3 , el sistem a es com patible iiuleLormimulu y el número de p arám etro* de los que dependen las soluciones es 1. T a ra despejar dos de las incógnitas en función de la te rce ra , utilizarem os en este caso la regla de C ram er. P a r a ello seleccionam os el m enor de orden dos de A dado por las 2 3 colum nas I a y 3a, y a que su valor es = - 1 y de este m odo no aparecerán 3 4 denominadores en las soluciones. Pasando al segundo m iembro la incógnita X 2> cix^ corresponde a la colum na que no está en ol menor seleccionado, se obtiene el sistem a

2 x i + 3 x a = 1 - 5x2 3 x i + 4 x 3 = 4 + 4x2 y por la regla de C ram er resulta:

x, =

1-5x2

3

4 + 4x2

4

4 - 2 0 x 2 - 1 2 - 1 2 x 2

— 8 + 32x2,

- 1

8 + 8x 2 - 3 + 15x: ^3 =

= - 5 - 23x'

- 1

y la solución del sistem a es x\ = 8 + 3 2 A, X 2 = A, X 3 = —5 — 2 3 A, con A € E j e r c i c i o 1 .2 2 . Resuélvase* la ecuación m atricial A X = B , siendo

A =

S o lu c ió n . E s te tipo de ecuaciones puede abordarse por dos vías, una global y o tra usando los elem entos de la m atriz incógnita X . I a vía, E 11 ol m étodo global se despeja la m atriz X . P a r a ello es preciso com probar previam ente que A tiene inversa, lo cual es cierto porque \A\ = 1. En ton ces, multiplicando por la izquierda los dos m iembros d e la ecuación A X = B por .4 - 1 , resulta

A - l ( A X ) = A~ 1B .

(1 .4 )

41

E

je r c ic io s

R

e s u e l t o s

d e

F

u n d a m e n t o s

M

a t k m

At

ic o s

Usando la propiedad asociativa del producto, la propiedad de la inversa (A - 1 .4 =

I ) y la propiedad de la identidad (¡nC = C p a ra to d a m atriz C de dimensión n x m ), se tiene que .4- 1 ( A X ) = (A - 1 A ) X = I X = X , con lo que la ecuación (1. 4) se escribe

X = A ~ l B, y y a está despejada X . P a r a hallar el valor de X , se obtiene la m atriz inversa de .4 , . 4- 1 , según el procedim iento descrito en el ejercicio 1. 17, y resulta

,-i

=

ií 3 -4

1V 2

-2 1 0

- 1

con lo que

X = A~l B =

3 -4

2

-2 1 0

(~

-1

1

- 2

l

V4

2a vía. U sando incógnitas individuales p ara ca d a elem ento de la m atriz X. Obsérvese que com o .4 es 3 x 3 y B es 3 x 1, forzosam ente X tiene que ser una m atriz 3 x 1, es decir que X será de la forma X =

lI x\ y .

En ton ces la ecuación

A X — B , se escribe:

1 2 -2

2 5 -4

3\ í x\

í-1

fe

<£>

( x + 2 y + 3z = —1 ¡ 2x + by + 7z = - 2 [-2x-4y-5z = 4

N ótese que la m atriz de los coeficientes de este sistem a os ju stam en te la m atriz .4. Llevando este sistem a a la form a escalonada m ediante las transform aciones:

E 2 ^> E 2 - 2 £ i , E s

E s + 2 E\, se obtiene: x + 2y + 3z = —1 y+z = 0 z = 2

x = —3 y= - 2 z = 2

E j e r c i c i o 1 .2 3 . D iscútanse, en función del parám etro k , los sistem as

/ \ j x —3y = k /,<. ( k x — Zy = k + 3 W \ - 2 x + (h + l ) y = 2 y W [ x A { k - 4 ) y = 2

42


S o lu c ió n . D iscutir un sistem a consiste en indicar de qué tipo es en función de los valores que puede to m ar el p arám etro. P a r a ello se usa el teorem a de RouchéFrÓbenius (véase 1.31). ( a) L a m atriz de los coeficientes y la m atriz am pliada son, respectivam ente:

.4* =

E l único m enor de orden 2 de .4 os |.4| = k + 1 — 6 = k — 5 , y se tiene que

\A\ = 0 precisam ente si k = 5. Los casos a distinguir son |.4| ^ 0 o |,4| = 0 , esto es, k ^ 5 o k = 5. • Si k

5, entonces ran g (A ) = ra n g (A *) = 2 = n° de incógnitas, y por ta n to el

sistem a es com patible determ inado. Su solución se puede calcular p o r la regla de C ram er:

k

-3

2

k + 1

1 -2

k2 + k + 6

\A\

fc-5

’

y

\A\

k

2

2 + 2k k - 5'

• Si k = 5, se sustituye en el sistem a inicial, y resu lta A* = ^ ^

6^ Ü ) ' ^ ° r

tan to , es claro que ra n g (A *) = 2 (es fácil encontrar un m enor de orden 2 no nulo) y com o ran g (A ) = 1, el sistem a es incom patible ya que ra n g (A ) ^ ran g(A *). (6 ) L a m atriz de los coeficientes y la m atriz am pliada expresadas conjunta m ente son: A * =

k

-3

1

A;- 4

k + 3'

E l único menor de orden 2 de .4 es \A\ = k 2 - 4A: + 3. Resolviendo la ecuación k 2 - 4fc + 3 = ü ^ k = 1, k = 3. P o r consiguiente, |A| = 0 4=> k = 1 o k = 3 , lo que nos lleva a los siguientes casos: • Si k

1y k

3, entonces ra n g (A ) = ra n g (A *) = 2 = n° de incógnitas, y por

43

E

je r c ic io s

R

e s u e l t o s

d e

F

u n d a m e n t o s

M

a t k m

At

ic o s

tan to el sistem a es com patible determ inado. Su solución es: fc + 3

-3

k 2 + 3fc - 4A; - 12 + 6

Jfc-4

x =

( j f c - 3 ) ( l f c - 1)

1-41

(k - 3)(fc + 2)

A:+ 2 A: - 1 ’

~ (Ar - 3) ( Ar - i)

fc A;+ 3 1

2 l-4|

2k - k - 3 (fe _

3)(fe _

fc - 3 i)

1

(fe _ 3 ) ( f c — i )

A

Si A: = 1, se sustituye en el sistem a inicial, y resu lta A* =

- r

1

-3

1

-3

. E s claro

que ran g(A *) = 2 y ran g (A ) = 1 , por tan to , el sistem a es incom patible. Si A: = 3, se sustituye en el sistem a inicial, y resu lta .4* =

'3

-3

1

- 1

6’

. Como

son dos filas proporcionales, ran g (A ) = ran g(A ‘ ) = 1 y por tan to el sistem a es com patible indeterm inado. E l n° de parám etros de los que depende la solución es n° de incógnitas—rango = 2 — 1 = 1. Se puede elim inar una ecuación, por ejemplo la prim era, y se despeja x en función de y en la segunda:

x = 2+ A

{x - y = 2

y =

X

E j e r c i c i o 1 .2 4 . D iscútanse, en función del p arám etro, los sistem as:

1 x - 2y + 2 = 1

x + y =1 my + 2 = 0

2 x + k y —z =

(a ) {

3 r + 4y - 2z = - 3

( 6)

y

x + (m + l ) y + m z = m + 1

2x - y = a

c) \ a x + 3 y = 4 3x — y = 2 (2

S o lu c ió n , (o ) L a m atriz am pliada es .4* = j 1 \3

k

-1

—2

1

4

-2

E l único m enor de orden 3 de .4 es \A\ = 5A; - 10 = 5 (A; - 2 ), y se tiene que |.4| = 0 p a ra A: = 2, lo que d a lugar a los siguientes casos: • A;

2. En ton ces ra n g (A ) = ra n g (A *) = 3 = n° de incógnitas, y por ta n to el

sistem a es com patible determ inado. Su solución se halla con la regla de C ram er,

44


y resulta:

X

2-k

|Ar] =

1

1

—

5 k - 10

MI

,=w_

-1

—

.4|

5 ’

13

bk - 1 0 1

z =

A.

bk + 1 4

|.4|

bk - 1 0 1

donde hemos denotadlo A x a la matriz- que resulta de sustituir en la m atriz .4 la colum na correspondiente a la incógnita x por la colum na de térm inos indepen dientes. Análogam ente Ay y .4 ..

• k = 2. Se sustituye en la m atriz am pliada inicial, y resulta:

ra n g (A *) = 3 y a que el m enor de orden 3 correspondiente a las columnas ( Ci , C 21 C 4 ) es no nulo (es ju stam en te \A~\ = 6fc-bl4 con k = 2 ). E 11 consecuencia, com o ran g (A ) = 2 , el sistem a es incom patible.

(¿ ) L a m atriz am pliada es .4* =

E l único m enor de orden 3 de .4 es |.4| = m 2 —m , y se tiene que |A| = 0 p ara m = 0 o m = l , l o que d a lugar a los siguientes casos: •

1. En ton ces ra n g (A ) = ra n g (.4 *) = 3 = n° de incógnitas, y por

ta n to el sistem a es com patible determ inado. Su solución se halla con la regla de C ram er, y resulta: _

x =

| A , |

14

_

m4 m A —m

z = \ éii = = 14

IA,

m m —1 1

m'

m

m 2 —m

m —1

y =

•4i

—m m A —m

-1 m —11

m = ü. Se sustituyo en la m atriz am pliada

A* =

45

E

je r c ic io s

R

e s u e l t o s

d e

F

u n d a m e n t o s

M

a t k m

At

ic o s

Com o la fila 3 es igual a la fila 1, ran g (A ) = rang(<4*) = 2, y por tan to , el -sistema es com patible indeterm inado (las soluciones dependen de 1 p arám etro ). Se elimina la tercera ecuación y se resuelve el sistem a pasando, por ejemplo, la x al segundo miembro (nótese que forzosam ente la z se tiene que quedar en el prim er miembro, pues los m enores de orden 2 no nulos de .4 siempre tienen la 3 a colum na): r x + y

=1 2 =

{

r y = l - x

0

^

2 =

{

0

o en form a p aram étríca x = A, y = 1 — A, z = 0. • m = 1. Se sustituye en la m atriz am pliada inicial, y se lleva a la form a escalo nada:

1 (1) F 3

1 1 2

0 1\ M. / I 1 0 1 2/ \o F3 -

F i.

1 1 1

í

0 i\ 1 í» 1 0 Í3 0 1 1 \o

)

(2) F 3 - » F 3 -

1 1 0

0 1 0

F 2.

Que es claram en te un sistem a incompatible. n

-1

(c ) L a m atriz am pliada es .4* = I a \3

3 - 1

E n este caso, se calcu la |.4‘ | y se iguala a 0 , y sólo en esos casos p o d rá ser com patible. \A*\ = - a 2 - 7 a + 8 , y se tiene que \A*\ = 0 si a = 1 o a = - 8 . • a

l y a ^ - 8 , En ton ces ra n g (A ) = 2 ^ ra n g (.4 *) = 3, y por tan to , el sistem a

es incompatible. • a = 1. So sustituye en la m atriz am pliada inicial, y resulta:

Seleccionando el m enor de orden 2 de A correspondiente a ( F j , F 3 ):

2

-1

3

-1

=

1,

por tan to, ra n g (A ) = ran g (.4*) = 2 = n° de incógnitas, por lo que el sistem a es com patible determ inado. A p artir de las ecuaciones I a y 3 a se resuelve el sistem a y se obtiene:

( 2x - y = 1 [ 3 x - y

46

=

2

(x = 1 ^

i y =

1

IN TRO DUCCIÓ N AL ÁLO K U R A L IN EA L

• a = - 8 . E s sim ilar al caso anterior. Con el mismo m enor se observa que el sistem a es com patible determ inado. De nuevo, con las ecuaciones I a y 3a se resuelve el sistem a y resulta: ( 2x - y = - 8 1 3z - y = 2

^

47

T em a 2 ES P A C IO S V E C T O R IA L E S

1.

R E S U M E N D E R E S U L T A D O S T E Ó R IC O S

2 .1 .

Considérese un conjunto no vacío E en el que están definidas dos operaciones: (a ) Suma: E x E

ü+ v € Ey

£ , (ü, ü)

(b) Prod u cto por un número real: R

x E

E , (a , ü)

a •ü = a ü € E .

Se dice que ( £ , + , * ) es un espacio vectorial si se cum plen

las siguientes pro

piedades: (1 ) A sociativa:

(ü 4- ü ) 4-

w

—

ü

+

(v 4-

w ).

(2 ) C onm utativa: ü + v = v + ü. (3 ) Elem ento neutro: existe un elemento que se designa por 0, ta l

que cual

quiera que sea el elemento ü € E se verifica ü 4 0 = ü. (4 ) Elem ento opuesto: C ualquiera que se a el elem ento —ü € E (opuesto de ü) ta l que ü 4- (—■ ü ) = 0.

ü € E , existe otro

(5 ) cv(ü + ü) = a ü + a v . ( 6 ) (a + $ )ü = a ü + 0 ü. (7 ) cv(Sü) = {a& )u. (8) 1

ü = ü.

Donde ü , v, w son elem entos de E y c*? ¡3 c e M. A los elem entos de E se les llam a vectores y a los elem entos de R (números) se les llam a tam bién escalaros. 2 .2 .

Los siguientes conjuntos son espacios vectoriales con las operaciones indica

das: ( 1 ) K n con las operaciones (fli, 0 2 , . . . , dn) +

( & l i & 2i • • • i & n ) =

(a l +

1a 2 +

&2i • • • i

+

& n )i

49

E

je r c ic io s

R

e s u e l t o s

d e

F

u n d a m e n t o s

M

a t k m

At

ic o s

Q ( a l i a 2i • • • i ® n ) — (cVCZi, C*Q2i • • • i

( 2 ) R[x] el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales con las operaciones usuales de suma, y prod u cto por un número. (3 ) E l conjunto M m x» de to d as las m atrices de dimensión

m x n con las

operaciones sum a y producto por un número. (4 ) E l conjunto ^*(**1) = { / : A K } de todas las funciones de A en K , donde A es un conjunto cualquiera, con las operaciones sum a y producto por un número usuales: (a ) ( / + g) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) y (b) (.a f ) ( x ) = otf(x), Vx e A. E n todo lo que sigue E es un espacio vectorial. 2 . 3 . Regias de cálculo: (1) c*Ü = 0, Ve* € R. (2) Oü = 0, Vü € E . (3) cvü = 0 => a = 0 o ü = 0. (4) ( - l ) ü = - u , Vü € E . (5 ) (-c v )ú = c * ( - ú ) = - n ú , Ve* € R , u € E . ( 6 ) ü — v = ü + (—■ v ) y —(ü 4- v ) = —ñ —v , Vü, v € E . 2 . 4 . Un subconjunto no vacío V de E es un subespacio vectorial

(o simplemente

subespacio) si cum ple las dos propiedades siguientes: (a ) Vü, t> € V ^

ü + ti € V (V es cerrado p ara la sum a).

(b) Ve* € R» Vü € V ^ c*ü € V (V es cerrado p a ra el producto por escalares). 2 . 5 . C aracterización de. su bespacio :

V c E es un subespacio vectorial

Vü, v € V , Ve*, £ € M: c*ü + ¡3v € V .

2 . 6 . Si V es un subespacio vectorial de E , entonces es espacio vectorial con las operaciones definidas en E . 2 . 7 . Sean ü j, t¿2 >•••> vectores de £ . Se dice que el vecto r ü € E es comfttnactrfn lineal de üi , Ü 2 , . . . ,ü n si existen números Ai, A2 A„ tales que ü = Ajüi + A2Ü2 + •••+ Artün.

5 0

ESPACIOS V E C T O R IA L E S

2 . 8 . El conjunto de to d as las com binaciones lineales de ü j, Ü2

ün es un subes-

pació vectorial de £ , que se d en ota (üi , ü 2, . . . , ün} y se llam a subespacio gen erado por ü i, t¡2 , . . . , ün , es decir: < C t ••-ifi») = {Alfil + A2 Ü2 + ■■■ + K ñ n ; A < € R , i = 1 , 2 , . . . , n }. 2 . 9 . So dice que ñ i , Ü 2 , ■■■, ü n form an un m t e m a g en erad or de E si todo vector

v de E es com binación lineal de th , th , >* ., úm esto es, si E = {ü\, t¿2 , . . . , ñ *). 2 . 1 0 . Un conjunto de vectores .4 = { üi , V 2 , . . . ,üp) es linealm ente dependien te o

hgado (o los vectores son linealm ente dependientes) si al m enos uno de ellos es com binación lineal de los demás. E n caso con trario, se dice (pie es linealment?. in dependiente o libre (o que los vectores son linealmonto independientes). 2 . 1 1 . C aracterización de la independencia lineal. E l conjunto <4 = { v i , V 2 , . . . , v p} es lineal m ente independiente si y sólo si la igualdad Aiüi + A2Ü2 H

b XpVp = 0 im plica que Aj = 0, A2 = 0 , . . . , XD = 0,

es decir, si la ú nica com binación lineal de los vectores

, 02 , . . . , vp que d a el vector

D es la trivial. E n caso contrario, es lineal m ente dependiente, es decir, si existen números Ai, \¿>. . . , A/; no todos cero, tales que Aitq + A2E 2 H------- h^ pvp = 0 (algún A, * 0 ) . 2 . 1 2 . Sea . 4 = {Di, € 2 , . . . , vp} y supongam os que ningún vt = 0. En ton ces .4 es linealmente dependiente si y sólo si algún vector vt es com binación lineal de los

an teriores. 2 . 1 3 . Propiedades do dependencia c independencia lineal: (1 ) 0 € .4 ^ .4 os ligado. (2 ) A c B y A ligado ^ B es ligado. (3 ) A C B y B libre => .4 es libre. (4 ) Si en .4 hay dos vectores iguales o proporcionales (ü y cvü), entonces .4 es ligado. 2 . 1 4 . El conjunto B = { é j , ? 2 >•••>£ « }

Ulia

E ^

(a ) es linealmente independiente y (b) es un sistem a generador de £ , es decir, si todo vector de E es com binación lineal de c i , é 2, . . . ,é n.

51

E

je r c ic io s

R

e s u e l t o s

F

d e

u n d a m e n t o s

M

a t k m

At

ic o s

2 . 1 5 . L a expresión de todo vecto r v respecto de una base B = { e j , e2 , . . . , en} es única, es decir, si se tiene

v = cvjéi + cv2é2 H entonces cv, =

= £2

b cvnén =

+ £ 2é2 H-------- b

a Ti = A*.

2 . 1 6 . Sea B = { é i , é2, . . . , én } una base d e £ . En ton ces p ara cad a vector v existen números únicos Aj , A2

An tales que £ = A iéi + A2é2 H

b AnCn*

Los números (Aj, A2, . . . , An) se llam an coordenadas de v r e s p e t o de la base B .

T to m n a de Steinitz. Si { é i , é 2 , o s un sistem a generador de £ y {v\,V 2 ,. “ ,vp } es un conjunto linealm ente independiente, entonces p < n y se pueden sustituir p de los vectores é j , é 2 , . . . , én por los vectores v i , € 2, . . . , vp ob

2.17.

teniéndose un nuevo sistem a generador. 2 . 1 8 . T eorem a de la base . T odas las bases de un espacio vectorial E tienen el m ismo núm ero de elementos. E s te número com ún se llam a dim en sión del espacio

E y se indica d im (£ ) = n. 2 . 1 9 . E n to d o espacio vectorial E de dimensión n se cum plen las siguientes pro piedades: (a ) Todo conjunto de n + 1 o m ás vectores es linealmente dependiente. (b) T odo conjunto de n vectores que sea linoalmente independiente es una base. (c) Todo conjunto de n vectores que sea sistem a de generadores de E es base. (d) Teorem a de la base incom pleta. Todo conjunto A = {iu,i>2, •••>^p} lineal m ente independiente puede am pliarse a u n a base. 2 . 2 0 . Si G = {t>-j, ü2, . . . , üm } es un sistem a generador de £ y alguno de ellos es com binación lineal do los dem ás, entonces se puede suprim ir y los que quedan siguen siendo un sistem a generador de £ . De todo sistem a generador de £ finito se puede e x tra e r u n a base. 2 . 2 1 . Si V es un subcspacio vectorial de un espacio vectorial £ de dimensión n, entonces d im (V ) < n. Si, en p articu lar, dim(V’) = n , entonces V = E .

52


2 . 2 2 . Rango de un conjunto de vectores S = { v i , V 2 , . . . , vp} es el núm ero m áxi mo de vectores linealm ente independientes. Se verifica que el rango es igual a la dimensión del subespacio generado por los vectores: ra n g (S ) = •••,üp)E l rango de un conjunto de vectores es igual al rango de la m atriz .4 cuyas filas son las coordenadas de los vectores fy, i b , . . .

en cualquier baso de E .

2 . 2 3 . E cu acion es p aram ctricas e im plícitas de tm subespacio. E s te ap artad o se ha desarrollado com pletam ente m ediante los ejercicios resueltos (véanse los ejercicios 2 .2 5 a 2 .3 0 ). 2 . 2 4 . L a intersección de subespacios es \in subespacio. 2 . 2 5 . L a sum a de dos conjuntos .4 y D de E y denotada .4 + B y es el conjunto de to d as las sum as 5 + 5 , con 5 € .4 y b € B . L a sum a U + V de dos subespacio» U y V de E es un subespacio. Se dice que E es ¿urna directa de U y V , y se denota

E = U i ú E = U -\-V y \%, expresión de cad a vecto r é € E com o é = ü + ü, con ñ € b y v € V, es única. Se verifica que E es la sum a d ire cta de U y V si y sólo si (1 ) E = U + V y (2 ) U n V = { 0 }. 2 . 2 6 . F órm u la de G rassm ann. L a dimensión del subespacio sum a verifica: d im (í/ + V ) = d im (í/) + d im (V ) - dim(C7 n V). 2 . 2 7 . U es un subespacio su plem en tario de V si V 0 U = E . 2 . 2 8 . C am bio de base . P a r a co n cre ta r vam os a suponer que E es de dimensión 3. F ija d a una base .4 = { 5 j , ¿22> 0 3 } en ei espacio E , cualquier v ecto r v de E se puede expresar por sus coordenadas ( 2 1 , 2 2 , 2 3 ) en dicha base A: v = x\á\ + 2 2 3 2 + 2 3 5 3 . Se representará a v por su vector colum na coordenado, denotado y definido por

( Xl\

= I * 2 I = (*1, * 2 , 3:3 )* •

w Supongam os que B = { 6 1 , 62 , 6 3 } es o tr a base do E . P o r sor .4 base, c a d a vector de la “nueva base” B puede expresarse de form a única com o com binación lineal de los elementos de la “antigua base” A , del siguiente modo:

61 = cviüi + CV2Ü2 + CV3 5 3 62 = f t 5 i + £ 2^2 + Í3 Ü 3 h = 7 1 ^ 1 + 7 2 ^ 2 + 7303

53

I a' j

k r o c í o s

R

u s i j k i .t o s

dio

F

u n d a m e n t o s

M

a t k m

At

ic o s

Se denota por P la trasp u esta de la m atriz c e coeficientes anterior, esto es:

01

/ cv j

7A

P = I cv2 02 72 J \“ 3 Ps 7 3 / (obsérvese que las colum nas de P son los vectores do B expresados en la base .4). E s ta m atriz P se llam a m atriz d el cam bio de base (o m atriz de tratm eión ) desde la antigua base .4 h a sta la nueva base B . L a m atriz P es inversible. Teorema. El m ismo v ecto r v en la base B tendrá o tra s coordenadas ( t q , y2 , 1/3 ), esto es: v = y\b\ + t/2&2 + 1/363 . En ton ces se tiene que [v} a =

P

’ [¡iU

( 2 .1 )

y, por consiguiente, [v]b = P ’ l [v]^. Nótese que a pesar de llam arse P la m atrw del cam bio de base desde la antigua base .4 h a sta la nueva base B , e s ta m atriz P transform a las coordenadas “nuevas” (en la base B ) en las coordenadas “viejas” (en la base A ) , m ientras que P - 1 a ctú a al reves. P tam bién se llam a por este m otivo m atriz del cam bio de coordenadas de la base B a la base .4 (nótese que cam bia el orden). Cuando se quiera indicar las bases, se escribirá P = [ P ]* . L a fórm ula ( 2. 1) en form a expandida es:

Si se d en ota

/ xA

/ q j

0! 7 A

I x2 ] =

( c*2

0 2 72 ] . { S/2

\W

\<*3

03 7 3 /

= |x 2

y

=

/yA

\¿te/

, entonces la fórm ula (2.1) se expresa

x a = P •¿te.


S u b e s p a c io s . C o m b in a c io n e s lin e a le s . S i s t e m a s d e g e n e r a d o r e s

E j e r c i c i o 2 . 1 . Pruébese que el conjunto W = { ( z , y , z) € M3 : x + y - z = es un subespacio vectorial de M3 .

54

0}


S o lu c ió n . Obsérvese que W co n sta de aquellos vectores con la propiedad de que la sum a de las dos prim eras com ponentes m enos la te rce ra es cero, E s te conjunto es no vacío, por ejem plo, los vectores ( 1 , 3 , 4 ) , ( - 2 , 5 , 3 ) o ( - 1 , - 1 , - 2 ) son elementos do W . P a ra probar que os subespacio, usaremos la caracterización 2.5. Sean 5 = ( a i , a 2 , 0 3 ) y 6 = ( 6 1 , b¿ , 63 ) dos elementos genéricos de W y cv, 0 € R. E n ton ces hay que probar que

a a + £ 6 = a ( a i , a 2, 0 3 ) + £ ( 6 1 , 62 , 63 ) = (aa-i + /?&i,cva2 + 0 b2)Cíaz + £ 63 ) es un oioraonto de W , esto os que (evaj + 0 b^) + (cva2 + 0 b2) — (eva^ + £ 63 ) = 0 , o e<\\üvalent em ente eva, + 0 bx + cva2 + 0 b2 - aa-j - £ 6 3 = 0 .

( 2 .2 )

A h ora por hipótesis, á € W im plica a i + a 2 - a 3 = 0, y b € W im plica bi 4- b2 — í>3 = 0. M ultiplicando la prim era ecuación por cv y la segunda por 0 se tiene rvai + cva2 — cva3 = 0 y 0b\ + 0 b 2 — 0b$ = 0. Sum ando estas dos igualdades resu lta cvci + cva2 - cva3 + £61 + 0 b 2 - £ 6 3 = 0, Se roordona cl prim er m iembro de e sta igualdad (usando las propiedades 0 , y > 0} .

(d) D = { ( x , y , z ) € R 3 : y = 2x, z = x - y}. S o lu c ió n , ( a ) A no es subespacio porque ( 0 , 0 ) ^ A y se sabe que p ara que sea subespacio el elemento neutro de la sum a en H2, que es ( 0 , 0 ), tiene que ser un elem ento de A.

(b) B tam p o co es subespacio porque aunque cum ple que si ü € B entonces cvü € B Vcv € R , no es cerrad o p ara la sum a. P o r ejem plo: ü = ( 1 , 3 , 0 ) € v = ( 0 , 2 , 4 ) € B , pero ü + v = ( 1 , 5 , 4 ) ^ B. ( c) C tam p o co es subespacio porque aunque es cerrad o p a ra la sum a, ya que si ñ , v € C entonces ü + v € C, p a ra el producto p o r un núm ero no lo es, por ejemplo, ñ = ( 3 , 1 ) e C pero p a ra cv = - 2 se tiene ( —2) •ñ = (—6 , - 2 ) ^ C .

5 5

E

je r c ic io s

R

e s u e l t o s

d e

F

u n d a m e n t o s

M

a t k m

At

ic o s

(<¿) D sí es subespacio y se com prueba como en el ejercicio 2 . 1 , con la salvedad de que hay que usar las dos ecuaciones que definen D en vez de una sola. E n general, se verifica que si W es el coujuuto de to d as las soluciones de un sistem a homogéneo de m ecuaciones y n incógnitas, entonces W es un subespacio vectorial de R n, E j e r c i c i o 2 . 3 . Se consideran los vectores do R 3 , ü = (2, - 1 , 1 ) y v = (1, - 3 , 2 ) . ( а) Hállense a = 2ü — 3ñ, 6 = —4ü + 2v y c = 3(5ü + 2v) — 4 (3 ñ + ü). ( б ) Com pruébese que d = 4 á + 36 es com binación lineal de ü y v sin calcu lar las com ponentes de d. (c ) Generalícese el resultado anterior, esto es, pruébese que si c es com binación lineal de a y 6 y a y 6 son am bos com binación lineal de ü y vy entonces c es combinación lineal de ü y v. S o lu c ió n , (o ) No hay m ás que efectuar las operaciones indicadas: S =

2ü — 3ü =

2

■( 2 ,

-1 ,1 )

-

3 ■(1 , - 3 , 2 )

= (4,

— 2, 2) -

(3, - 9 ,

6) =

(1, 7,

—4 ).

N ota: En R 3, la diferencia de dos vectores a y 5 se puede obtener con la expresión a - 5 = ( a , , 0 2 , 0 3 ) - ( 6 ,, 62 , 63 ) = ( a , - 6 , , a 2 - 6 2,0 3 - 63 )*

6 = - A ü + 2ü = (—4 ) •(2, - 1 , 1 ) + 2 •( 1 , - 3 , 2 ) = ( - 8 , 4, - 4 ) + (2, - 6 , 4 ) = ( - 6 , - 2 , 0 ). Se utilizan las propiedades de cálculo del espacio vectorial p ara hallar c:

c = 3 (5 ú + 2v) - 4 (3 ñ + ú) = 15ú + 6 ú - 12ú - 4ú = 3ú + 2v = ( 6 , - 3 , 3 ) + ( 2 , - 6 , 4 ) = (8 , - 9 , 7 ) .

(b) Se utilizan com o antes las propiedades de cálculo del espacio vectorial: ¿ = 4 5 + 36 = 4 (2 ü - 3ü) + 3 ( - 4 ü + 2u) = 8 ü - 12v - 12ü + Qv = - 4 ü - 6 ü, lo cual prueba que d es com binación lineal de ü y v con coeficientes - 4 y - 6 . Si se calcula, se obtiene d = ( - 1 4 , 2 2 , - 1 6 ) . ( c) E n efecto, com o c es com binación lineal de o y 6 será c = A iá + A26 p ara ciertos números Ai, A2 . Com o ó y 6 son am bos com binación lineal de ü y v será

5 6


a = cvju 4- cv2 V y b = P i u + f c v , p a ra ciertos números cvj, « 2 , A , 0 2 - Se sustituye en la expresión de c y se opera

c = Ai(t* iü + cv2ü) + A2( A ü +

= Ajcviü + Aicv2t) + A2£ i ü + A2£ 2ü

= (Aj a i + A2(fli)ñ + (A,cy2 + A2j¿32)D = ii\u + / / 2C, donde /¿i = A^cvi + A2/?i y / / 2 = A ia 2 + A2lS2 son núm eros. L a expresión anterior, c = /íjü 4-

prueba que c es com binación lineal de ü y v.

Se puede generalizar aún m ás: si v es com binación lineal de los vectores á i , á 2 , . . . ,áp y c a d a uno de los vectores á i , á 2, . . . ,áp es com binación lineal de ñ j , ü2, . . . , ü », entonces i; es com binación lineal de ñ j , ü2, . . . , ün. E j e r c i c i o 2 .4 . E 11 R 3 so consideran los vectores ü = ( 1 , 2 , - 1 ) y v = ( 2 , 1 , - 3 ) . ( а) ¿ E s a = ( —1 , 4 , 3 ) com binación lineal de ü y v? ( б ) ¿ E s 6 = (4, —2, —5 ) com binación lineal de ü y v? (c ) Sea w = ( 3 , 5 , —1). ¿ E s b = (4, —2, —5) com binación lineal de ü, v y w ? S o lu c ió n , (a ) Según la definición (véase 2. 7), hay que ver si existen números Ai y A2 tales que Ajú + A2ü = a , es decir,

Igualando com ponente a com ponente, Ai y A2 han de ser solución del siguiente sistem a (de 3 ecuaciones), que se resuelve:

i (1) E i

-4

E i -

2 £ i,

£ 3 -4 £ 3

+ £

1.

(2) La 2* ecuación se suprime porque es múltiplo de la 3 H. Hay solución (ú nica), por ta n to , a es com binación lineal de u y u , en concreto, á = 3ü — 2v.

57

E

je r c ic io s

( 6)

R

e s u e l t o s

d e

F

u n d a m e n t o s

M

a t k m

At

ic o s

A h ora hay que hallar los números Ai y A2 que cum plen Aju + A2u = 6 ,

esto es, At ( l , 2, - 1 ) + A2 ( 2 , 1, - 3 ) = (4, - 2 , - 5 ) . Se opera en el lado izquierdo exactam en te igual que antes y se obtiene (A, + 2A 2 , 2 A, + A2, - A , - 3A2) = (4, - 2 , - 5 ) . E s ta ecuación vectorial es equivalente al siguiente sistem a que se resuelve: Aj + 2 A2 — 4 2A , + A2 = - 2

Ai + 2A2 ------ 1

(i)

-3 A 2 = - 1 -A 2 = - l

- A , - 3A 2 = - 5 (1) £ 2

E 2 “ 2£ i , £ 3 -4 £ 3 + £ 1.

De la te rce ra ecuación debería ser A2 = 1 y de la segunda, A2 = 1 / 3 , lo cual es imposible, lo que significa que no hay solución. P o r tatito , el vector b no es com binación lineal de ü y v. (c )

A hora hay que hallar los núm eros A i, A2, A3 tales que Aiü + A2ü + A3 tZ> = 6 ,

es decir, A, ( 1 , 2 , - 1 ) + A2 ( 2 , 1, - 3 ) + Aa ( 3, 5, —1) = (4, - 2 , - 5 ) . Se opera en el lado izquierdo y resulta (A , + 2A2 + 3As, 2A, + A2 + 5A3 , - A, - 3A 2 - As) = (4, - 2 , - 5 ) . E s ta ecuación vectorial es equivalente al siguiente sistem a que se resuelve por el m étodo de Gauss: Ai + 2A 2 + 3A3 =

4

2 Ai + A2 + 5A3 = —2 —Ai — 3A 2 — A3 = —5 4 \ _2 | ^ -5

/I í 0

2 -3

3 -1

4 \

/I

2

3

-1 0 ]

^ (o

0

-7

\0 -1

2

0 - 1 2

- 1 /

(1) £2 - 4 £ 2 - 2 £ i , £ 3 - 4 £ 3 + E\. (2) £ 2 -4 £ 2 - 3 £ 3 . (Obsérvese que las columnas de la matriz ampliada non justamente ú, v, w y 5)

E s ta ú ltim a m atriz corresponde al sistem a

Ai + 2A 2 4- 3 A3 — 4 -7 A s = - 7 —A2 + 2 A3 = —1

58


De la segunda ecuación se deduce que A3 = 1, se sustituye en la te rce ra y se obtiene A2 = 3 y se sustituyen am bos en la prim era y resulta Aj = - 5 . Com o hay solución, se puede concluir que 6 sí es com binación lineal de ü , v y w y en concreto

6 = —5ñ 4- 3ü 4 w. E j e r c i c i o 2 . 5 . E s tú dioso, con la definición, si los siguientes conjuntos de vecto res son sistem a de generadores de R 2: (а ) . 4 = { ( 2, 3) , ( 1, 1) } . ( б) 5 = { ( - 2 , 4 ) , ( 3 , - 6 ) } . ( c) C = { ( 1 , - 1 ) , ( 1 , - 2 ) , ( 1 , 1 ) } . ¿H ay unicidad de expresión? S o lu c ió n , ( a ) P a r a probar que .4 es sistem a generador (véase 2 .9 ) hay que probar que todo vector ü = (a, 6) de R 2 es com binación lineal de ( 2 , 3 ) y ( 1 , 1 ) , es decir, dado (a, 6) hay que probar que existen números A, / / tales que A(2, 3) + / i ( l , 1) = (a, b). Se op era y resu lta ( 2 A + / / , 3 A + / / ) = (a, 6), de aquí se obtiene el siguiente sistem a que se resuelve:

(1) E 2 Se despeja

¡1

E 2 — E\.

de la prim era ecuación y se sustituye el valor obtenido de A:

fi = a — 2X = a — 2 (6 — a) = 3 a — 26. P o r tan to, hay solución A = 6 - a,

= 3a - 26 y, en consecuencia, .4 es un sistem a

generador de R 2. N ota: E sto s sistem as en los que algunos coeficientes son letras, suele ser m ás cóm odo resolverlos por la regla de C ram er. Se deja al lecto r que lo resuelva por este m étodo y com pruebe que el resultado coincide con el expuesto aquí. ( 6 ) A hora, dado (a, 6) hay que hallar A, / / tales que A ( - 2 , 4) + / i ( 3 , - 6 ) = (a, 6). Se op era, se igualan com ponentes y se obtiene el siguiente sistem a que se resuelve: 2A 4 3 ¡i — a 4A - 6 // = 6

(i)

2A 4 3p = a 0 = 2a 4 6

5 9

E

je r c ic io s

R

e s u e l t o s

d e

F

u n d a m e n t o s

M

a t k m

At

ic o s

( 1) E2 —» E2 4 - 2E \. Al m ultiplicar la prim era ecuación por 2 y sum ársela a la segunda, resulta 0 =

2 a + b, lo cual significa que p a ra que haya solución se tiene que verificar que 2 a + b = 0 , pero esto no tiene por que ser cierto y a que (a , 6) es un vector arbitrario de R 2 (por ejemplo, el vector ( 3 , 1 ) 110 lo cum ple). P o r tan to , B no os un sistem a generador de R 2. (c ) A hora hay que hallar los números Ai . A 2 ,A3 tales que

A , ( l, —l ) + A2( l , - 2 ) + A3 ( l , l ) = (a,&). Do aquí, so obtiene el siguiente sistem a que so resuelvo:

P u esto que está escalonado y hay 2 ecuaciones y 3 incógnitas, es com patible indeterm inado, tiene infinitas soluciones que dependen de 1111 p arám etro. Usando A3 = t com o p arám etro, resulta A2 — —a — b + 2 t Aj = a - ( - a - 6 + 2¿) - t = 2 a + 6 - 3f. P o r tan to, C es un sistem a generador de R 2. pero 110 hay unicidad de expresión. P o r ejemplo, si (a, 6) = (—1 , 3 ) entonces A, = 1 - 3í,

A2 = - 2 + 2¿,

A3 = t

son los coeficientes de las infinitas formas que se tienen de expresar ( - 1 , 3 ) como com binación lineal de üi = ( 1 , - 1 ) , Ü2 = (1, —2) y Ü3 = ( 1 , 1 ) . P o r ejemplo,

-si t = 0 ^ (A i, A¿, A3) = ( 1 , —2 , 0 ), esto es (— 1 , 3 ) = «1 — 2 ü¿, -si t = 1 => (Ai, A2, A3 ) = ( - 2 , 0 , 1 ) , esto es ( - 1 , 3 ) = - 2 u\ + U3 , -si t = 2 ^

(Aj, A2, A3 ) = ( - 5 , 2 , 2 ) , esto es ( - 1 , 3 ) = - 5 u x + 2 u 2 + 2 i¿3 .

E j e r c i c i o 2 .6 . Sea V el subespaeio de R 3 generado por los vectores V\ =

6 0


S o lu c ió n . Com o V es el conjunto de to d as las com binaciones lineales de v i y V2 f hay que ver si ü es com binación lineal de v\ y lo que equivale a estudiar si existen números A, // tales que Atq + fiv 2 = ñ , esto es A(2, - 1 , 2 ) + / / ( 2 , 1 , 4 ) = (4, - 1 , 5 ) . E s ta ecuación equivale al siguiente sistem a que se resuelve a continuación. 2A + 2/i = 4

( -A+/i = -l

_ A + /¿ = - 1 - w 2A + 4/ / = 5 [

2A + 2/¿ = 4 2A + 4/ / = 5

( - A + /i = - l (

( - A + /i = - l

4/ / = 2 6/ / = 3

(

2/¿ = 1 0 = 0

(1) E i -4 £ 2, E i -► £i* (2) E 2 -► E 2 4- 2 £ i , £ 3 -► £ 3 + 2 £ i. (3) £2 —►£ 2/ 2 » £ 3 —►—2£3 + 3£2. E l sistem a tiene solución (única) // = 1 / 2 , A = 3 / 2 . Luego ú es un elemento de V. Se plantea de m an era sim ilar p ara -íü. De la ecuación A(2, - 1 , 2 ) + / / ( 2 , 1 , 4 ) = ( 0 , 5 , 3 ) se obtiene el siguiente sistem a que se resuelve con los pasos ( 1 ) y ( 2 ) anteriores. 2A + 2/¿ = 0

(

- A + // = 5

_A + /i = 5 - l < 2A + 2 / i = 0 2A + 4/¿ = 3 ( 2A + 4/¿ = 3

f - A + // = 5 -Ki { 4/ i = 10 (

6 / / = 13

E s claro que este sistem a es incom patible, pues de la segunda ecuación debería de sor // = 5 /2 y de la to rcera, // = 1 3 / 6 , y osto os imposible. P o r tan to , w no es un d em en to do V.

{b) Hay que hallar k de m odo que existan los números A, /¿ tales que A(2, - 1 , 2 ) + / / ( 2 , 1 , 4 ) = (2, k , - l ) . E s to equivale a que ten ga solución (sea com patible) el sistem a de m atriz am pliada

C om o el rango de A es 2, el único m enor de orden 3 de .4*, que es |.4* |, lia de ser cero. Como

\A*\ = —2 H- 4A; — 8 — 4 — 2 — 8 A: = —16 — 4fc,

61

E

je r c ic io s

R

e s u e l t o s

d e

F

u n d a m e n t o s

M

a t k m

At

ic o s

resulta que |.4*| = - 1 6 - 4 A ; = ü p ara A; = - 4 . P a r a este valor, el vecto r (2, A;, - 1 ) = (2, - 4 , - 1 ) es un elem ento de V. N ota: Tam bién se puede resolver el sistem a form ado por las ecuaciones I a y 3a , y los valores obtenidos se sustituyen en la 2 n y se halla el valor de k.

2 2.

D e p e n d e n c ia e in d e p e n d e n c ia lin eal

E j e r c i c i o 2 . 7 . Estúdiese, con la definición o caracterización , si son linealmente independientes (libros) los siguientes conjuntos de vectores, y en caso negativo, exprésese uno de los vectores com o combinación lineal de los anteriores. (a ) { ( 4 , - 2 ) , ( 3 , 1 ) } . ( *) { ( 6 , - 4 ) , ( - 9 , 6 ) } , ( c) { ( 2 , 1 ) , ( - 1 , 3 ) , ( 2 , 2 ) } . S o lu c ió n , (a ) Se aplica la caracterización 2. 11, la cual dice que la única solución de la ecuación vectorial Aiñi + A2^2 + •••+ Apvp = 0 es la trivial (Ai = 0 , A2 = 0 , ...,

= 0 ). E n nuestro caso, la ecuación A(4, - 2 ) + / ¿ ( 3 , 1) = ( 0, 0) ,

da lugar al sistem a f 4A + 3 // = 0 \ - 2 A + // = 0 cuya única solución es A = 0,

= 0. (Obsérvese que es homogéneo y es un sistem a

do C ram er). P o r ta n to , es lineal m onte independiente.

(b) A hora la ecuación A(6 , —4 ) + / / ( —9 , 6 ) = ( 0 , 0 ) lleva al sistem a f 6 A - 9fi = 0

\ - 4 A + 6/x = 0 Com o son dos ecuaciones proporcionales, se elimina la segunda y se despeja A de la prim era y resu lta A =

con ¡x libre, por tan to hay infinitas soluciones. Por

consiguiente, el segundo conjunto es linealmente dependiente. E l segundo vector ( —9 , 6 ) = ^ ( 6 , - 4 ) es un m últiplo del primero.

62


Nótese que en K 2 (y en general en K n) dos vectores 110 nulos son linealmente dependientes si y sólo si sus com ponentes son proporcionales. (c ) A lo ra de la ecuación A , ( 2 , l ) + A2 ( - 1 , 3 ) + A3 ( 2 , 2 ) = ( 0 , 0 ) se obtiene el sistem a equivalente

í 2A, - A2 + 2A3 = 0 [ Ai + 3A 2 + 2 A3 = 0 Com o es homogéneo, tiene 3 incógnitas y el rango de la m atriz de los coeficientes es 2, es un sistem a com patible indeterm inado que tiene infinitas soluciones. Con esto es suficiente p ara concluir que el conjunto m linealm ente dependiente. P a r a expresar un vecto r com o com binación lineal de los anteriores, (seré el tercero, puesto que los dos prim eros son linealmente independientes) se resuelve el sistem a. Se elimina A3 de la segunda ecuación con la transform ación £ 2 —►£ 2 —£ 1 , y resulta f 2A , - A2 + 2A3 = U \ -A,+4A2

=0

So usa A2 = t com o p arám etro, de la segunda ■'cuación Aj = 4 se sustituye en la prim era y se despeja A3 = ^ (—2 •i t + 1) = t . U na solución es, p o r ejemplo p ara t = 2, (Ai, A2, A3 ) = ( 8 , 2, —7 ), esto significa que

8 •( 2 , 1 ) + 2 •( - 1 , 3 ) + ( - 7 ) •( 2 , 2 ) = ( 0, 0) . O lo que es lo m ismo 8 ü i + 2 ü 2 —7ü 3 = 0 (que expresa el vecto r 0 com o com binación lineal 110 trivial de ü j, ü 2 y ü3) . De aquí se puede despejar ü 3 y expresarlo como com binación lineal do los anteriores (com o indica la caracterización 2. 12); 7ü 3 =

Sü) + 2 ú 2 y m ultiplicando los dos m iembros por } resu lta ñ 3 =

+ ? ñ 2*

E j e r c i c i o 2 .8 . E n el espacio vectorial K 3 , está di ese si los siguientes conjuntos son linealmente independientes: (a ) A = { ( 3 , 3 , 2 ) , ( 1 , 1 , - 2 ) , ( 2 , 2 , 3 ) } . ( * ) £ = {( 1 , 2 , - 3 ) , (2,1,3), (1,0,1)}. ( c ) C = { ( l , 2 , - 3 ) , ( 2 , 1 , 3 ) } . _____________________________________________________ S o lu c ió n , (a ) Se va a usar com o antes la caracterización (bula por la propiedad 2. 11. Así pues, se form a una com binación lineal de los vectores igualada al vector 0 de R 3: A1 ( 3 , 3 , 2 ) + A2 ( l , l , - 2 ) + A3 ( 2 , 2 , 3 ) = ( 0 , 0 , 0 ) .

63

E

je r c ic io s

R

e s u e l t o s

F

d e

u n d a m e n t o s

M

a t k m

At

ic o s

E s ta ecuación da lugar al siguiente sistem a equivalente» que se resuelve por el m étodo de Gauss.

1 1 -2

2 o\ 2 U ^ 3

•V

/3

1

2 0\

/o

(\ 8ü

U U ul

(3

1

v

°

(1) E 2 -> E 2 - £ 1 , £ 3 ->

0

£3

7

y

r.

2

7

4- 2Ei. (2) Se suprime E 2.

E ste sistem a es com patible indeterm inado, tiene infinitas soluciones y, por tan to , .4 es linealm ente dependiente.

(b) De la ecuación A, ( 1 ,2 , - 3 ) + A * (2 ,1 ,3 ) + A 3 ( l ,0 ,1) = (0, U, 0 ), se obtiene el siguiente sistem a equivalente, que se resuelve por el m étodo de Gauss.

1 2

2 1

-3

3

1 °\ 0 0 ] 1 0/

<1

2 \v- 4

2 1 1

1 °\ ( 1 ( 5 0 °) 2 \v - 6 0 0/

2 1 0

1 0 0

( 1 ) E 3 ^ E 3 - E i . ( 2 ) E 3 ^ E 3 - E 2. E ste sistem a e s tá y a escalonado. De la 3a ecuación se deduce que Ai = ü, y sustituyendo hacia a trá s se obtienen A2 = 0 y A3 = 0 , tiene pues solución única la trivial, y por ta n to , B es linealm ente independiente. (c )

C om o un sub conjunto do un conjunto libre es libre {véase 2 .1 3 (3 )) y se ha

probado en el ap artad o anterior que B es libre, se concluye (pie C es libre. E j e r c i c i o 2 .9 . Estúdiese si los siguientes conjuntos son linealmente indepen dientes en el espacio vectorial E de las funciones de R en K.

(a) A = { / i ( t ) = s e n i, / 2(t) = c o s í, / 3 ( i ) = l ) . (¿ ) B = { / i ( ¿ ) = s e n i, / 2(¿) = c o s í, f^(t) = 1 + s e n i, / 4 (¿) = 2 - c o s í } . (c ) C = fifi) — h { t ) — ce}, siendo a , b y c números positivos distintos. S o lu c ió n , (o ) A ntes de com enzar se recuerda que el elem ento neutro de E es la fundón cero 0 : R

R definida por 0 (t) = 0 p a ra todo t € R .

Usarem os la caracterización d ad a en 2.11. Se form a la com binación lineal de las fundones igualada a la función cero: A1/1 + A2 /2 + A3 / 3 = 0. E s ta igualdad

G4


equivale a decir que A j/j (i) + \ 2 f 2 {t) + A3 / 3 (t) = 0 p a ra todo valor de í € R . Se sustituyen las funciones con cretas y se obtiene Ai s e n í + A2 c o s í + A3 = 0

Vi € M.

(2 .3 )

C om o, intuitivam ente, parece imposible que con una com binación lineal no trivial do sen i, c o s í y 1 resulte la función con stan te 0 , se va a dem ostrar este hecho con rigor. P a ra ello se obtiene un sistem a de ecuaciones con incógnitas Ai, A2 y A3 dando valores particulares a í en (2 .3 ): í = 0 ^

A i - 0 + A2 - 1 + A3 = 0 ^

A2 + A3 = 0

i = 7T => Ai •0 + A2 • ( —1) + A3 = 0 => Ai • 1 + A2 •0 + A3 = 0 ^

í = tt/2 ^

—A2 + A3 = 0 Ai + A3 = 0

Se resuelve el sistem a y la única solución que tiene es Ai = 0, A2 = 0, A3 = 0 , lo que dem uestra que el conjunto A es linealmente independiente.

(b) Se form a la com binación lineal de las funciones igualada a la función cero: Ai sen ¿ + A2 Cos¿ + A3 (1 + s e n i) + A4 Í2 - c o s í) = 0

Vi € M.

O perando se tiene (Ai + A3 )s e n t + ( A2 ~ A4 ) eos t + (A3 + 2 A4 ) • 1 = 0 Vi € R . Según el ap artad o anterior, el conjunto de funciones {s e n í ,

c o s í, 1 } es lineal-

m ente independiente, por ta n to , se deduce que los coeficientes de la com binación lineal anterior son cero, esto es

(

Aj + A 3 = 0

) A2 - A 4 = () \ A3 + 2A4 = 0

f

Ai=2A4 a2 = a4

\ A3 = —2A4

H ay pues infinitas soluciones, por ejem plo, A4 = 1, Ai = 2 , A2 = 1, A3 = —2. Con estos valores se verifica 2 / i + — 2 / 3 + / 4 = 0. Se despeja / 4 y resulta

Í a = - 2 / i - h + 2 / 3 , es decir, 2 - c o s í = - 2 s e n í - c o s í + 2 (1 + s e n í)

Vi € R .

E 11 consecuencia, B es linealm ente dependiente. (c ) Se form a la com binación lineal de las funciones igualada a la función cero: Aiae + A2bl + A3 C¿ = 0

Vi € M.

6 5

I a' j

k r o c í o s

R

u s i j k i .t o s

dio

F

u n d a m e n t o s

Se dan a t los valores 0, 1 y

M

a t k m

At

ic o s

y resulta el sistem a

2

A i + A2 +

=

0

aAi + 6A2 + CA3 = 0 a 2Ai + 62 A2 + c2 As = 0 E s te sistem a es de C ram er porque tiene 3 ecuaciones, 3 incógnitas y ol determ i nante do la m atriz de los coeficientes vale

1

1 i

a b a 2 b2

1 c c2

(i)

1

0

0 (2 )

a

b — a c —a a 2 b2 _ a 2 q2 _ a b- a

b —a t?-a-

c- a

(6 - a )(6 + a )

(c - a ) ( c + a

c —a c2 - a 2

= (6 - a ) ( c - a

1

1

b+ a

c+ a

= (6 — a ) ( c — a ) ( c — 6 ) (1) C 2 -> C 2 — C i, C3 -» C 3 — C i. (2) Se desarrolla por F\. (3) Se sara. factor a b —a en C\ y a. c —a en Cq. quo es distinto de 0 porque los núm eros a, b y c son distintos. P o r tan to , por tratarse de un sistem a homogéneo, la única solución es la trivial y, en consecuencia, las funciones a \ b f y c( son lincálm ente independientes.

2 .3 . B a s e s . D im e n s ió n . C o o r d e n a d a s E j e r c i c i o 2 .1 0 . Estudióse, con la definición, si es una base de R 3 el conjunto j? = { g 1 = ( 0 , 0 , 1 ) , ñ 2 = (Oí 1 1 ~ 2 ) , S 3 = ( - 1 , 4 , 2 ) } . ____________________________ S o lu c ió n . Se utiliza la definición 2 .1 4 . E n prim er lugar se estudia si B es lineal* m ente independiente. De la ecuación A ^ O , 0 , 1 ) + A2 ( 0 , 1, - 2 ) + A a(— 1 , 4 , 2 ) =

(0, 0, 0),

resulta el siguiente sistem a

Aj

-A * =

0

A2 + 4 A 3 =

0

A* = 0 a2 = o

— 2 A 2 4- 2 A 3 =

0

A, = 0

'

P u esto que sólo tiene la solución trivial, B es linealm ente independiente.

6 6


E n segundo lugar se estudia si B es un sistem a de generadores de M3 . Dado un vector cualquiera ü = (a , 6 , c) € R 3 , hay que hallar los números Aj, A2, A3 tales que Ajüi 4- A2ñ 2 + A3 U3 = ñ , esto es A , ( 0 , 0 , l ) + A2 ( 0 , l , - 2 ) + A3 ( - l , 4 , 2) = (a, 6 , c). Do aquí resulta ol siguiente sistem a do incógnitas Aj, A2 , A3 —A3 = a A2 4- 4 A3 = b

—>

Ai — 2A 2 + 2 A3 = c

| A3 = - a < A2 = 6 + 4 a

\ Ai = c + 2(6 + 4 a ) — 2 ( —a ) = 10 a + 26 + c

P o r tan to, hay solución y se sigue que B es un sistem a

de generadores y en

consecuencia, B es una base do R 3. E j e r c i c i o 2 . 1 1 . Pruébese que ñ\ = ( 2 , 5 ) y ú 2 = ( 1 14 ) form an una baso de R 2 y hállense las coordenadas del vecto r v = ( 4 , 7 ) en dicha base. S o lu c ió n . Com o la dimensión de R 2 es 2 , por la propiedad 2 .1 9 (b ), es suficiente probar que ü i, ü 2 son linealm ente independientes: i/A ,> a _ m / 2 A + / / = 0 (i) / 2 A + // = 0 í> = 0 A( 2 , 5) + / * ( l , 4 ) — ( 0 , 0 ) =► | 5 A + 4 í ( = ||- > [ _ 3A = |) - > ( A = 0 ( 1) E l

El - 4 E i .

Com o únicajncntc tiene la solución trivial, los vectores son linealm ente inde pendientes. P a r a hallar las coordenadas de v = ( 4 , 7 ) (véase 2. 16) , hay que expresarlo com o com binación lineal de Gj , ü 2. P o r tan to , hay que hallar los núm eros x e y tales que I ( 2, 5 , + S ( M , = ( V ) . ( 1 ) E 2 -> E 2 —4Ei. P o r tan to, las co orden atlas de v en dicha base son ( 3 , - 2 ) . E j e r c i c i o 2 . 1 2 . ( a) Pruébese que üi = ( 2 , 1 , 0 ) , ü 2 = ( 0 , 1 , - 1 ) y ü 3 = ( 3 , 0 , 1 ) form an una base de R 3 . ( 6 ) Hállense las coordenadas del vecto r x> = ( 5 , 1 , 2 ) resp ecto de la base anterior, (c ) Sabiendo que las coordenadas de w en la base del ap artad o (a ) son (—1, 3 , 2 ) , determ ínense las coordenadas de w en la base canónica de R 3 .

6 7

I a' j

k r o c ío s

R

u s i j k i .t o s

d io

F

u n d a m en to s

M

a tk m

At i c o

s

S o lu c ió n , (o ) C om o la dimensión de K 3 es 3, por la propiedad 2. 19( b) , es sufi ciente probar que t ¡ i , ü 2 ,tí 3 son linealm ente independientes.

2Aj + 3A3 — 0 A, + A2 = U —A2 + A3 = o

Ai(2 , 1, 0) + A 2(0 , 1, - 1) + A 3(3 ,U ,1) = (0 ,U, u)

A, = 0 A2 = u a3 = o

Com o la única solución es la trivial, se deduce que ú i, ñ 2 y Ú3 form an una base deK3. ( b ) Hay que expresar v com o com binación lineal de los vectores de la base: A j ( 2 , 1 , 0 ) + A2 ( 0 , 1, - 1 ) + A 3 ( 3 , 0 , 1 ) =

(5 ,1 ,2 ).

Do aquí resu lta el siguiente sistem a que se resuelvo a continuación. 2 A1

+ 3A3 — 5

Ai + A2

2A 1

= 1

— A2 + A3 = 2

1)

£3

£3

+ 3A3 — 5

A, + A2 Ai

= 1

+ A3 = 3

Aa ^

A i + A2

Ai

-1

—

1

+ A3 =

3

4- fy . (2) E \ -> E \ - 2Et'

So despeja sucesivam ente de la I a ecuación, 3A y 2a y se obtiene A# = - 1 , Aj = 4 y A2 = - 3 . P o r tan to , las coordenadas de v en la base D = { új , ú2 < Ú3 } son [v]B = (4, - 3 , - 1 ) . ( c) E s suficiente con aplicar la definición de coordenadas resp ecto de una base y operar: [ü>]s = (—1 , 3 , 2 ) im plica

w = - ü , + 3ü 2 + 2ü 3 = - ( 2 , 1 , 0 ) + 3 • ( 0 , 1 , - 1 ) + 2 • ( 3 , 0 , 1 ) = ( - 2 , - 1 , 0 ) + (0,3, - 3 ) + ( 6 , 0, 2) = ( 4 , 2 , - 1 ) = 4 * (1, 0, 0) + 2 * (0, 1, 0) - (0,0,1). P o r tan to, las coordenadas de w en la base canónica son ( 4 , 2 , —1). E j e r c i c i o 2 .1 3 . ( a ) Pruébese que el conjunto de polinomios

B = {p ,(;r ) = 1 + x, p 2{x) = x + x 2, pz(x) = 1 + x 2} es une. base del espacio vectorial Pa[x] do todos los polinomios de grado menor o igual que 2 . ( 6 ) Hállense las coordenadas del polinomio p ( x ) = 2 — x + 4 x 2 respecto de la base anterior.

0 8


S o lu c ió n , (a ) Hay que probar que B es linealmente independiente y que es un sistem a de generadores de T 2[x]. E n prim er lugar se dem uestra que es linealmente independiente. A ip ite ) + A spate) + Aspate) = 0 So sustituyen los polinomios y se opera: A , ( l + x ) + A2( x + x 2) + Aa(l + x 2) = 0. Aj + A jx + X2x + A2x 2 + A3 + A32:2 = 0 . (A, + As) + (A, + \2)x + (A2 + A3 t e 2 = 0. A h ora,

teniendo en cu en ta que 0, el elem ento neutro de 7*2 [2 ],

es el polinomio

que tiene todos los coeficientes igual a 0 , se igualan coeficientes y se obtiene el siguiente sistem a (pie se transform a en uno escalonado. Ai + A3 - 0 Ai + A2 = 0 A2 + A3 = 0 ( 1 ) £ 2 —► £ 2 -

£ i«

+

A3 -

0

A2 -

A3 =

0

Ai

^

Ai ^

\

A2 + A3 = 0 (2 ) £ 3

-4 £ 3

-

+ A3 — 0 A2 — A3 = 0 2 A3 = 0

£2-

Se resuelve h a d a a trá s y se obtiene A3 = 0 ,A 2 = 0 , A i = ü, con lo que se concluye que B es lineahnente independiente. E 11 segundo lugar, se prueba que es un sistem a de generadores. U 11 polinomio cualquiera de V 2[x) viene dado por a + bx + ex2. Prob em os que es com binación lineal de p ite ), J>2 te ) y J>3 t e ) ’ A, (1 + x ) + X2(x + x 2) + A3 ( l + x 2) = a + b¿r + c x 2. Se op era y resulta: (Ai + A3 ) + (Ai + X2)x + (A2 + X¿)x2 = a + bx + c x 2. Se igualan coeficientes y se obtiene el siguiente sistem a que se resuelve siguiendo los mismos p osos que el anterior: A1

+ A3 — a

Ai 4- A2 = b X2 + A3 = c (1 ) £ 2 - »

(i)

Ai

A2 - A 3 =

£ 2 — £ 1 . (2 ) £ 3

Ai

+ A 3 — a 6 - a

A2 + A3 = c

^

+ A3 = a A2 — A3 = 6 — a 2 A3 = c — b + a

-> £ 3 — £ 2 -

6 9

E

j e r c ic io s

R

esu elto s

d e

F

u n d a m en to s

M

atkm

At i c o

s

De la 3a ecuación se tiene que A3 = \ ( a —6 + c ) y sustituyendo en las otras dos resulta Aj = a - | ( a - 6 + c ) = | ( a + 6 - c ) , A2 = 6 - a + | ( a - 6 + c ) = | ( - a + 6 + c ) . P o r tan to, com o existe solución, A, = l ( a + b - c ), A2 = l ( - a + 6 + c), A3 = l ( a - 5 + c),

(2 .4 )

B es un sistem a de generadores y en conclusión, B es una base de P 2 [x], y P °r consiguiente la dimensión de este espacio vectorial es 3.

(b)

P a r a hallar las coordenadas de p ( x ) = 2 — x + 4 x 2 en la base B , en este

caso, como en el ap artad o anterior realm ente se han hallado las coordenadas de un polinomio genérico a + bx + e x 2 (ecuación (2 .4 )), b a sta ah o ra elegir como valores particulares a = 2, 6 = - l y c = 4 y hallar los correspondientes valores A¿, i = 1 , 2 , 3 , y se obtiene; Ai = 5 ( 2 - 1 - 4 ) =

A2 = ^ ( - 2 - 1 + 4 ) = £ y A3 = |( 2 + 1 + 4 ) = |.

E j e r c i c i o 2 .1 4 . ( q ) Pruébese que el siguiente conjunto es una baso del espacio vectorial E = A/ 2* 2 de las m atrices de orden 2 x 2

( b ) Hállense las coordenadas de la m atriz C = ( ^

^ J en la base B .

S o lu c ió n . ( 0 ) Se com prueba, en prim er lugar, que B es libre p ara lo que se parte de la igualdad

X3 A3 +

A i . 4 i + A 2 <42 4 -

A4 A 4 =

0,

donde Ó es la m atriz nu la de orden 2 x 2 , es decir 0 = ( ^

-

70

o

V

C

í

-

a1 + a2

a , - a 2\

/o

o\

A3 + A4

A3 - A 4 J

\o

oy

^V

°

i

W

S

»


Igualando térm ino a térm ino, se obtiene el siguiente sistem a: Ai + A2

Ai + A2

—0

A, = 0

Ai — Aj

- 2 A2 A3 + A4 = 0

= 0 As + A4 = 0

A2 = 0 A3 = 0

A3 - A4 = 0

-2 A 4 = 0

A4 = 0

(1) Ei -4 E 2 - E\¡ E 4

E 4 - E¿.

P o r tan to , B es libre. E n segundo lugar se prueba que es un sistem a de gene radores. D ada u n a m atriz A cualquiera de A/2 x 2 , A = ^

^ , hay que encontrar

los números At, i = 1 , . . . , 4 talos que A1 A 1 + A 2 /Í 2 + A 3 /I 3 + A 4.44 = A. Se sustituye y se opera com o antes y se llega al siguiente sistem a que se resuelve siguiendo los mismos pasos. A i + A2

Ai — A2

A i + A2

— g

= ó <1^ A3 + A4 = c

—2A2

Ei

E i - E \, E±

Ai — ^ ( a + 6)

= b —a

A2 = 5 ( 0 - 6)

c

A3 = 5 (0 + d)

A 3 + A4 =

- 2 A4 = d - c

A3 — A4 = d ( 1)

— g

A4 = J ( c - d )

E± - E i.

Com o hay solución única, B es un sistem a de generadores y, en consecuencia, B es una base. P o r consiguiente, el espacio vectorial A/ 2x2 es de dimensión 4 . En general, el espacio vectorial A/mxn es de dimensión m n. ( b ) P a ra hallar las coordenadas de la m atriz C , b asta aplicar las fórmulas anteriores con los valores a = 3, ó = —1, c = 7 y d = l y s c obtiene A, = 1 (3 - 1) = 1, A2 = 1 (3 + 1) = 2 , A3 = 1 (7 + 1) = 4 , A4 = 1 (7 -

1)= 3 .

P o r tan to, las coordenadas de C en la base B son (1, 2 , 4 , 3). E j e r c i c i o 2 .1 5 . Sea B = { e i , e2,

e3 , 64 } una base del espacio

vectorial E .

Estúdiosc si los siguientes conjuntos son bases de E : B\ = { é i , é\ + é2, é\ + é3 - é4 }, B 2 = {é 4 , é3 - é4 , é 2 - é3 , éi - é2, éi + é 2 + é3 + é4 } y ¿?3 = { £ 4 , é3 - 64 , é 2 + é3 - 64 , éi - é 2 + é3 - 64 }. S o lu c ió n . P u esto que todas las bases tienen el m ismo número de elem entos y B tiene 4 elementos, se tiene que B\ y B 2 no son base ya que tienen 3 y 5 elementos, respectivam ente. P a r a ver si B% es base, es suficiente com probar si es libre, ya

71

E

j e r c ic io s

R

esu elto s

d e

F

u n d a m en to s

M

a tk m

At i c o

s

que un conjunto libre de 4 elem entos en un espacio de dimensión 4 es base (véase 2 .1 9 (b )).

X\é4 + A2 (¿3 - 64 ) + A3(é2 + 63 - 64 ) + A4 (é i - 1% + ¿3 - 64 ) = 0 . So opera y resulta Al 64 + A2?3 — A204 + Aaé2 + A363 — A364 + A461 — A402 + A463 — A404 = 0, A4 É1 + (A3 — A4 ) é 2 + (A 2 + A3 + A4 )é 3 + (Al — A2 — A3 — A4 )é 4 = 0. P u esto que B es libre, se sigue que todos los coeficientes han de ser cero y se obtiene el siguiente sistem a.

Í

A4 = 0 A3 - A 4 = 0

f A4 = 0 I A3 = 0

A2 H- A3 + A4 = 0

| A2 = 0

A, - A2 - A3 - A4 = 0

[ A, = 0

P o r tan to, £ 3 os libro y com o la dimensión do E os 4 , cualquier conjunto libro de 4 elementos es una base (véase 2 .1 9 (b )), con lo que se concluye que B% es una base de E . E j e r c i c i o 2 . 1 0 . Se dice que una m atriz cuadrada A os an tisim étrica si A = - A 1. Pruébese que el conjunto S de todas las m atrices cuadradas de orden 3 x 3 Sant¡sim o lu c ió n . P o r es definición S = { Avectorial e : .4AÍ=3 x -3 A . Se utilizará la propiedad étricas un subespacio de y e} hállese su dimensión. 2 .5 p ara com probar que S es un subespacio. Sean A, B € S y oct0 € R . En ton ces hay que probar que OiA + f i B € S , lo que equivale a decir que cv.4 + ¡3B = —(cv.4 + & B ) 1. E n efecto,

- { a A + p B Y = -[(c v A )t + (,S.B)t] = -(cv A * + P B 1) = - a A l - P B 1 ® < * { - # ) + p { - B t) ® a A + p B . (1) ( X + y ) ' = X l + Y l (víase 1.20). (2) ( n X Y - n X 1. (3) - ( X + Y ) = - X - Y . (4) - a X = a { - X ) . (5) A.B
Z\ z 2 X4 x$

23 \

x7 xs

xg)

( 72

y e s 1111 elemento de S si y


sólo si A = -< 4 É, es decir, si y sólo si

22

23 \ xe J

X5 xg

—

29/

(-x 1

—24

-2 7

- 22 V- 2 3

-X5

“ 26 —29

-2 6

E s ta igualdad d a lugar al siguiente sistem a (se han suprim ido 3 ecuaciones ya que están sus opuestas): 2 j

=

' x\ = 0

— X \

x5= 0

X 4 = —X 2 X 7 = -2 3 25

2 2 *2 3 , x q

=

-

29 = 0 24 = —22

25

Xa =

-2 6

27 =

-2 3

29 =

-2 9

xa = - 2 o

libres. P o r tan to , usando los p arám etros 2 2 = a , 2 3

=

0,

2q

= 7 , resulta

que las m atrices de S son de la form a

=

+

+ 7 -1I 3 ,

donde .4,=

.4,=

.43 =

P o r tan to , .4 i, A 2 y A3 son generadores de S y es fácil com probar que son lineal m ente independientes, por lo q\ie form an u n a base de S y, en consecuencia, la dimensión de S es 3.

2 4.

C a m b io d e b a se

E j e r c i c i o 2 . 1 7 . Sean .4 = { e \, 62 } y B = { i q , 1*2 } dos bases de R 2 relacionadas por las expresiones

2 , = 3 r , + 62 ,

Ü2 = Sf’ j + 2 ^2 '

( а ) Obténganse

las coordenadas de v en la base B si en la base .4 son ( - 4 , - 1 ) .

( б ) O bténganse (c ) ¿C uáles son

las coordenadas de w en la base .4 si en la base B son ( - 5 , 4 ) . las coordenadas de üi en la base .4 ?, ¿y en la base £ ?

(d ) ¿Cuáles son

las coordenadas de é\ en la base .4 ?, ¿y en la base B ?

73

E

j e r c ic io s

R

esu elto s

d e

F

u n d a m en to s

M

a tk m

At i c o

s

S o lu c ió n . E n este ejercicio, con la intención de clarificar ideas 110 se va a usar el ap artad o 2. 28, sólo la definición de coordenadas (ap artad o 2. 16). ( а) P o r definición de coordenadas se tiene que v = —4 é j — é 2 y hay que hallar (Ai, A2) de form a que v =

-4é]

-

é2 =

A , Ú ! + A2Ú2 >

Se sustituye y se opera — 4 é i — 62 = =

A i ( 3 e i + 6 2)

A 2 ( 5 e i -|- 2 e 2 ) =

3 A i e i -|- A i e 2 H- 5 A 2 e i H~ 2 A 2 e 2

( A i + 2 A2) ^2.

(3A i + 5A 2)éi +

So igualan coeficientes (en una base hay unicidad de expresión) y se obtiene el siguiente sistema. f 3A , + 5A 2 = - 4

[

-X2 = -1 \Ai+2A2= - 1

m í

Ai + 2A 2 = - 1

í A2 =

1

^ \ A i = -3

(1) E\ -► £1 - 3 £ 2. Por tan to , las coordenadas do

v

en la base B son ( - 3 , 1 ) .

( б ) P o r definición de coordenadas w = —5 ü i + 4 ü 2> con lo que se tiene que

w = —5 (3 é i + é2) + 4 (5 é i — 2 é 2) = 5 é i + 3 é 2. P o r consiguiente, las coordenadas de w en la base .4 son (5, 3). (c ) B a s ta tenor en cu en ta la relación üi = 3 é i + é 2 y de aquí las coordenadas de G, en la base A son ( 3, 1) . P a ra hallar las coordenadas de üi en la base B = { üi , ü2} es suficiente observar que ü i = l ü i + 0 ü 2, lo que equivale a decir que las coordenadas de üi en la base B son ( 1, 0) .

(d) A nálogam ente, e\ = 1 •l\ + 0 •é2> P °? 1° que las coordenadas de baso A son ( 1 , 0 ).

en la

P a ra obtener las coordenadas de éi en la base B hay que expresar t\ como combinación lineal de üj y ü 2 y proceder como en el ap artad o (a) .

t\ = Ai (3éi + é2) + A2 (5 é i + 2 e 2) = (3Ai + 5A2)e i + (Ai + 2A 2) e 2.

74


E s ta ecuación da lugar al siguiente sistem a. Í 3 A , + 5A 2 = 1

{

Xj

(1)

+ 2X 2 = 0 -4

-A2 = 1

O)/

[

Xj + 2X2

= 0

í A2 = - 1 { Xj = 2

- 3E2.

P o r tan to, las coordenadas de

é\en la base D son (2, - 1 ) .

E j e r c i c i o 2 . 1 8 . Resuélvase el ejercicio anterior usando cálculo m atricial.

S o lu c ió n . Se va a usar el ap artad o 2 .2 8 . Se sabe que si un vector ü se exp resa en las dos bases A y B com o

ü = x ]e ] + x 2e 2 = j/iúi + y2ñ2, entonces la relación entre

X = [u]a =

{ X i , x 2f

e Y

= [u]s = (2/1,1/2)*

e stá d ad a por [ti]^ = P [ u}b 0 bi°n X = P Y , siendo P la m atriz del cambio do baso desde .4 h a sta B . C om o ü\ = 3Fi + é 2 y ü2 = 5éj + 2é2, se tiene que

Si llamam os Q a la m atriz inversa 1 de P , es decir, Q = P

1 =

entonces el paso de X a Y está dado por Y = Q X , es decir:

A partado ( a) . Se tiene que ( x i yx 2) = ( —4 , - 1 ) , se aplica la ecuación anterior ( 2 .6 ) y so obtiene

L a m a tr iz in v e r s a s e o b tie n e con l a fó r m u la d a d a e n l a c u e stió n 1 .3 0 . A s i s e h a r á e n lo s u c e s iv o sin

menci onarl o.

75

E

j e r c ic io s

R

esu elto s

d e

F

M

u n d a m en to s

a tk m

At i c o

s

que son las coordenadas de € en la base B . A partado ( 6 ) . Se tiene que (íft,ífe) = ( - 5 , 4 ) , y p o r m edio de (2 .5 ) se obtiene

(

s

)

-

G

S

)

(t)

-

(pie son las coordenadas de w en la base A. A partado ( c) . Y a se vio que no había que h acer ningún cálculo. A partado ( d) . Sólo se verá el cálculo de las coordenadas de é\ en la base B . Entonces se tiene que (x\sX2 ) = ( 1 , 0 ) , se aplica (2 .6 ) com o en el ap artad o (a ) y so obtiene (yi, jfe) = (2, - 1 ) , que son las coordenadas de éi en la base B . H ubiera bastado tener en cu en ta qtie la l ft colum na de P ~ l son las coordenadas de t\ en la base B . NOTA. E s in teresante observar que la m atriz Q del cam bio de base desde B h a sta A se puede obtener expresando los vectores éi y éo com o com binación lineal de los vectores ñ\ y Ü2 , p a ra ello b a sta resolver el siguiente sistem a vectorial, en el que se despeja éj y é 2 en función do ü\ y Ü2 '

(

3éj + é 2 =

\ 5é i + 2e2 = Ü2

(2) ( é 2 = - 5 t ¿ i + 3t¿2

(i) f 3éi + é 2 = \ —éi

= —2ñi + Ü2

\ éi = 2ñi — Ü2

(1) £<2 -> E 2 — 2 E i . (2) E 2 -> —E 2 , sustituir éi en E i y despejar I 2 .

E n consecuencia la m atriz Q es la trasp u esta de los coeficientes de éi = 2ñ\ —Ü2

y €2 = - 5 ü i + 3 Ü2 , ** decir, Q = ( j

3 * ] » (lue coincide con P ” 1.

E j e r c i c i o 2 .1 9 . E 11 R 2 se consideran las bases A = {i¿i = (1, 3 ), i¿2 = (1, —2 ) } y B = { * = (3,2), = (5,3)> (а ) Si las coordenadas de w en la base A son ( 4 , 2 ) , ¿cuáles son sus coordenadas en la base B ? ( б ) ¿C uáles son las coordenadas de üi en la base .4? (c ) ¿C uál es la m atriz del cam bio de base desde la base .4 liasta la baso B'í (d ) Generalícese, es decir, si A, B y C son bases de un espacio E , P es la m atriz del cam bio de base desde C h a sta .4 y Q es la m atriz del cam bio de base desde C h asta B , ¿cuál es la m atriz del cam bio de base desde .4 h a s ta B ? Apliqúese al ap artad o anterior.

76


S o lu c ió n . A ntes de resolver este ejercicio, nótese que se proporcionan las com po nentes de los vectores de las bases, lo cual equivale a que se dan las coordenadas de los vectores tíi, tj2,

^2 en

base can ón ica de R 2: C = {é\ = ( 1 , 0 ) , é 2 = ( 0 , 1 ) } .

( a) Por definición de coordenadas, se tiene que w = 4 ñ j + 2 ü 2 y resulta tú = 4 • ( 1 , 3 ) + 2 • ( 1 , - 2 ) = ( 6 , 8 ). É s ta s son las coordenadas de w en la base canónica, esto es, w = 6 éi + 8 é2. A h ora se pueden hallar las coordenadas de w en la base B con cálculo m atricial o planteando una ecuación. donde Q = í 2

Con cálculo m atricial sería [iv]c =

k_ l r _,

[
/ -3 V 2

5

_ 3 J K8J

3 ) ' ^ or k*411*0 ’

f 22

v _ 12y

Planteando una ecuación, hay que resolver la ecuación Aiî + A2 ü2 = ( 8 , 8 ). De aquí se tiene

Aj ( 3 , 2 ) + A2 ( 5 , 3) — ( 6 , 8 )

3Aj + 5A2 — 6 2A, + 3 A 2 = 8

(i) f 3 A1 + 5A2 —

6

A2 = - 1 2

\

Ai = 2 2 A2 = - 1 2 ( 1 ) E 2 -► - 3 £ a + 2 £ i . P o r tan to, las coordenadas de ti) en la base B son ( 2 2 , - 1 2 ) . ( 6 ) A hora hay que resolver la ecuación Aiñi + A2ü 2 = th , esto es:

*,(l,3) + i j (l,- 2 ) = ( 3 , 2 ) ^ {

3

) ;

!

^

2i{

X'_+¿ Z j ,

A. = !

\ — Á2 — z7

(1) E 2 —> E 2 — ZE\. Así pues, las coordenadas de v\ en la base A son ( 8 / 5 , 7 / 5 ) ,

77

E

j e r c ic io s

R

h s u k i .t o s

d e

F

u n d a m en to s

M

atkm

At i c o

s

Hay que exp resar vi y u2 com o combinación lineal de uj y u2. E n el

( c)

ap artad o anterior se ha hecho p a ra t?i, nos falta t)2. Aj + A2 = 5 3A, - 2 A 2 = 3

A , ( i , 3 ) + A2( l , - 2 ) = ( 5 , 3)

(i) ( Aj + A2 = 5 ^ \ -5A2 = -12

A, -- & M G \ — 12

A

2

-

y

( 1 ) EJ2 —^ E 2 — 3f?i. Por consiguiente, las coordenadas de ü2 en la base .4 son ( 1 3 / 5 , 1 2 / 5 ) . Teniendo en cu en ta los apartad os (b) y (c), se tiene

V\ = f ü l + gÜ 2 ,

V2 = y Ü l + ^ Ü2.

P o r tan to , la m atriz del cam bio de base desde la base .4 h a sta la base B es

R=(i

? )-*(?

(d)

!!)■

Sea tí) un vecto r cualquiera del espacio. Según la definición de m atriz de

cambio de base, si P es la m atriz de cambio desde C h a sta A , se tiene [tí)]c = P[w}¿. Del m ism o m odo, si Q es la m atriz de cam bio desde C h a sta B , entonces [üj]c = Q [ü)]s- Se igualan am bas expresiones: P[ w ]a = —

d

w»].4 = p

- i

y

sigue que

<3M s>

igualdad de la que se deduce que la m atriz del cam bio de base desde .4 h a sta B es R = P ~ l Q. Se aplica este resultado al ap artad o anterior y se tiene que i 7? = ^ > Q = X

| -2 5 1 -3

al ser P =

^

y Q =

^2

- 1 3 1 2

3) *

5\ _ , / 8 3 5 17

13 12

m a triz P 08 â m atriz del cam bio

de base desde .4 h a s ta P , y com o se ve coincide con la obtenida en el ap artad o anterior.

78


E j e r c i c i o 2 . 2 0 . Se consideran en K 3 la base canónica C = {e i = ( 1 , 0 , 0), t 2 — ( 0 , 1 , 0 ) , é3 = ( 0 , 0 , 1 ) } y la base B = { * , = ( 1 , 0 , 3 ) , « 2 = ( 1 , 1 , 4 ) , ü3 = (0,1,3)}. ( а) Si lan coordenadas de v en la base B son (3, —2, 2 ), determ ínense sus coor denadas en la base canónica. (б) ¿CuAles son las coordenadas de w = ( —1, - 1 , 1 ) en la base B ? S o lu c ió n . E s te ejercicio se va a resolver utilizando la expresión m atricial del cam bio de coordenadas expuesto en el ap artad o 2 .2 8 . Se deja al lecto r que lo resuelva por el m étodo de plan tear una ecuación com o en el ejercicio 2. 17.

1

1 0'

canónica C h a sta B es P = I

L a m atriz do)cam bio do baso desdo la

3

0 11 4 3,

A continuación, se halla la inversa de esta m atriz por elm étodo descrito en la n o ta del ejercicio resuelto 2. 18, esto es, se despejan los vectores ét en función de los

Üj.

+ 3 e 3 = uy

( éj

Él + *2 + 4*3 = $2 *2 + 3*3 — t¿3

*2 + É3 = —Üi + Ü2 —¿ *2 + 3*3 = t¿3

= “^ tíl

2é2 = - 3 ü i + 3 ü 2 — 1¿3 2*3 =

Üi -

Ü2

\u2 - § t ¿3

ei =

I( 2 ei = —tíi + 3t¿2 — 3i¿3

i

*1 + 3 *3 = Ü, *2 + É3 = - Ü i + Ü 2 2*3 = Üi - Ú2 + Ú3

+ 3*3 = U\

§Ü 2 - 5 U3

e3 = ÍU i* - \u2 + íu 3 2 2

+ Ü3

(1) £ 2 -► £ 2 - £ 1. (2) £ 3 -► £ 3 - £ 2 . (3) £2

2 £ j - £ 3 , £1

2£i -

3£3.

De aquí se obtiene que la m atriz del cam bio de base desde la base B h a sta la /-I -3 1 base C , y por tan to , m atriz inversa de P , es P 1 = ^ I 3 3 —1 \ -3 (a )

-1

1

Se sabe que la relación entre las coordenadas de un vector ü cualquiera en

am bas bases es [ü\c = P[ü]¿?. P o r ta n to , aplicado al vecto r vy las coordenada* de

v en la base can ón ica son

® ]c =

/I 0 \3

1 1

°\

( 3

4

3/

- 2 V 2

1

7 9

I a' j

k r o c ío s

( 6)

R

u s i j k i .t o s

d io

F

u n d a m en to s

M

a tk m

At i c o

s

1 [^ ]c - P o r ta n to , la.s coor

A h ora, se aplica la relación inversa: [w]b = P

denadas de w en la base B son 5 \ 2

=7 i C>

\ 2 /

2.5.

R a n g o . B a s e d e u n s u b s e p a c io g e n e r a d o

E j e r c i c i o 2 . 2 1 . D eterm ínese el rango de los vectores u =

( 1 , —1 , 2 ) , v =

-2,1,1) y * = (4,-1,-7). S o lu c ió n . E l rango es igual al rango de la m atriz cuyas filas son los vectores dados (véase 2 .2 2 ), y el rango de la m atriz se calcula reduciéndola a la form a escalonada utilizando operaciones elementales entre filas.

(1) F 2 -> F 2 4- 2 F i, F 3 -» F 3 - 4 F i . (2) F 3 -> F 3 4- 3 F 2 . P 01 tan to , el rango es 2 y consecuentem ente, los vectores ü, v y w son linealm ontc dependientes, G eneran un subespacio de dimensión 2. E j e r c i c i o 2 . 2 2 . D eterm ínese si los vectores úi = ( 1 , 3 , 2 , - 3 ) , ü¿ = ( 2 , 5 , 3 , - 2 ) , i¿3 = ( - 1 , 1 , 2 , 4 ) y Ü4 = ( - 3 , ü, 3 , 4 ) forman una base de R 4* E n caso negativo, encuéntrese un su b conjunto lineal m ente independiente m axim al y amplíese a una base. S o lu c ió n . So construye la m atriz .4 cuyas filas son los vectores dados y se reduce a form a escalonada:

(\

3

2

-2

0

-1

-1

4

4

0

4

4

1

9

9

-& )

/ 1

3

2

-3 \

2

5

3

-1

1

2

^ -3

0

3

n

-3 \

$

0 0

3 -1 0 0

2

-3 \

-1

4

0

17

0

31)


n

(\

3

2

0 0 ^0

- 1

- 1

4

0 0

0 0

1

-3 \

0 /

+ 3iq (1) F2 -4 F¡ 2 F u F 3 F 3 + Fi -► (2) -4 F t + 4^2, F a -4 F 4 + 9 F 2. (3) F 3 -4 f t / l ? , ¿M -4 17F4 - 31Fj.

Com o el rango de A es 3, los vectores 110 son linealmente independientes y, por tan to , no son base de R 4 . Según hem os visto, las 3 prim eras filas de .4 (puesto que no se han cam biado de orden) llevan a una m atriz escalonada de rango 3 , y por ta n to , form an un sub conjunto lineal m ente independiente m axim al. P a r a am pliar este sub conjunto a una base (véase 2. 19( d) ) , se pueden utilizar los vectores de la base canónica. Com o u n a m atriz escalonada de la m atriz form ada /I 3 2 -3 \ con sus filas es I 0

—1

—1

0

0

\0

4

, se puede añadir com o te rce ra fila ( 0 , 0 , 1 , 0 ) ,

\)

ya que se obtiene una nueva m atriz tam bién escalonada y, p o r tan to , sus 4 filas son linealmente independientes y, en consecuencia, una base de R 4 . Así pues, una base de R 4 e s tá form ada por ü j, t¿25 $ 3 y ( 0 , 0 , 1 , 0 ) . E j e r c i c i o 2 . 2 3 . D eterm ínese una base del subespacio S de R 3 generado por los vectores 5 = (3, —1, —4 ), 6 = ( 1 , 2 , 1 ) y c = ( 4, 3, —1). Com pruébese que w = ( 2 , 3 , 1 ) es un elem ento de S y hállense sus coordenadas respecto de la base anterior. S o lu c ió n . Se estudia si son linealm ente independientes formando la m atriz .4 cuyas filas son dichos vectores, pero en el orden b, a, c, y se lleva a la form a escalonada: /I ,4=13

2

1 \

-1

-4

\4

3

(1) F 2

-1/

/I ^ ( O

2

1 \

-7

- 7 ] ^

/I 2 1 (O 1 1

\0

-5

-5 /

\0

0 0

F 2 - '¿F\, F% -4 F 3 - 4 F i. (2) F 2 -4 f a / ( - 7 ) , F% -4 7 F 3 - 5 fa .

P o r tan to , el rango es 2 = d im (S ) y una base de S son los vectores ó, y 6. Com o B = { á , 6 } es u n a base de S , la com probación de que w es un elemento de S y el cálculo de las coordenadas se realiza sim ultáneam ente, ya que w es un

81

E

R

j e r c ic io s

esu elto s

d e

F

u n d a m en to s

M

a tk m

At i c o

s

elemento de S si y sólo si existen números Aj , A 2 (justam ente las coordenadas pedidas) tales que w = A já + A26 .

3Aj + A2 — 2 -7A, = - 1 -7A, = - 1

(1)

£<2

-> E 2 — 2E\, E 2 -> F 3 — E\.

Como la tercera ecuación es equivalente a la segunda se suprim e y el sistem a tiene solución única. Se despeja en la segunda ecuación, Ai = j , se sustituye en la prim era y resu lta A2 = y . P 01 ta n to , las coordenadas de w en la base B son ( 1 / 7 , 1 1 / 7 ) y w es un elemento de S. E j e r c i c i o 2 .2 4 . D eterm ínese una baso del subespacio S de R 4 generado por los vectores ( 1 , 4 , - 1 , 3 ) , ( 1 , 3 , - 1 , 2 ) , (2, —1 —2, - 3 ) y ( - 3 , 2 , 3 , 5 ) y extiéndase dicha base a una base* de R 4 si es necesario.______________________________________ S o lu c ió n . P a r a determ inar el rango de los vectores dados (y por tan to la dimen sión del espacio generado S) se halla el rango de la m atriz form ada con dichos vectores com o filas:

' 1 1

4

-1

3

-1

3 2

2

-1

-2

-3

\\- 3

2

3

5 )

n (i)v —►

0 0

4

-1

3

-1

0 0 0

-1

-9 14

-9 14 )

n 0 0

^0

4

-1

-1

0 0 0

0 0

\

-1

0 0 /

(1) £2 -» F 2 - F 1 , F 3 -» F 3 - 2 F 1 , F 4 -» F 4 + 3 F 1 . (2) F 3 -» F 3 - 9 F 2 , F 4 -> F 4 -bl 4 F 2. Por tan to , el rango es 2 = d im (S ) y una base e s tá form ada por los dos primeros vectores ( 1 , 4 , - 1 , 3 ) y ( 1 , 3 , - 1 , 2 ) , y a q u e al llevar a la form a escalonadas la m atriz 110 se ha cam biado el orden do las filas. Adem ás, es claro que añadiendo los vectores (0, 0 , 1 , 0) y ( 0 , 0 , 0 , 1 ) se obtie ne una base de R 4 porque la m atriz que resulta al añadir estos dos vectores es escalonada de rango 4.

82


2.6.

E c u a c i o n e s d e u n s u b e s p a c io

E j e r c i c i o 2 . 2 5 . O bténganse las eouaciones p aram étricas e im plícitas del subespao io S de R 2 generado por ( 2, 1) . S o lu c ió n . P o r definición, S es el conjunto de todas las com binaciones lineales de

á = ( 2 , 1 ), es decir S = { x € K 2 : existe A € R tal que x = A á). Si x = (a?, y), entonces la ecuación vectorial x = Aá en coordenadas es (x¡y) = A( 2 , 1 ), que es equivalente a / x = 2A

l y= \ que son las ecuaciones param e tricas. P a r a obtener la ecuación o las ecuaciones im plícitas, y p ara ser sistem áticos y proceder con las m ism as ideas en los siguientes ejercicios, obsérvese que decir que x = Aá p a ra algún A € R equivale a decir que r a n g {¿ , á } = 1 (y a que a # 0 es linealmente independiente). E s to equivale a decir que el rango de la m atriz

(2

l)

^ ^ a SU VeZ

a

(lue todos los orlados de orden 2 del

m enor |2| valen cero. E n este caso, el único orlado de orden 2 que hay es d e t(x , á). P o r tanto:

x

y

2

1

= 0 &

x - 2y = 0 ,

que os la ecuación im plícita (o cartesian a) del subospacio S . Nótese que se tr a ta de una re cta que p asa por ( 0 , 0 ) . Los subespacios de dimensión 1 son rectas que pasan por el origen. E j e r c i c i o 2 . 2 6 . O bténganse las ecuaciones p aram étricas e im plícitas del subespacio U de R 3 generado por ( 3 , 4 , —1). S o lu c ió n . L a ecuación vectorial es x = Aá, donde x = ( z , y , 2 ), á = ( 3 , 4 , - 1 ) y A € R es el p arám etro. E s ta ecuación en coordenada* es {x , y , z) = A( 3 , 4, - 1 ) , y si se igualan las com ponentes se obtienen las ecuaciones param étricas:

83

E

j e r c ic io s

R

esu elto s

d e

F

u n d a m en to s

M

a tk m

At i c o

s

P a ra obtener las ecuaciones im plícitas, no hay m ás que observar com o antes las siguientes equivalencias:

x = Xa <^> rang{.f, ñ ) = 1 ** rani I

3

4

_ ¡ ) = 1,

y e s ta últim a equivale a que todos los orlados de orden 2 del m enor |3| son cero, es decir: x

3 4

y = 0

'

x

z

3 - 1

= 0

Se calculan estos dos determ inantes de orden 2 y resulta

( 4 j - 3y = 0 \ x + 3 z = 0, que son las ecuaciones im plícitas del subespacio V . G eom étricam ente este subespacio es una re c ta que pasa por ( 0 , 0 , 0 ) . E je rc ic io

2 . 2 7 . D eterm ínense las ecuaciones p aram étricas e im plícitas del

subespacio U de R 3 generado por los vectores a = ( 4 , 1 , 2 ) y 6 = ( - 1 , 1 , 3 ) . S o lu c ió n . L a ecuación vectorial es x = Aa + /¿5, siendo x = (x , y, z ), y A,/¿ € R los parám etros. Se escribe e s ta ecuación en coordenadas (z,y,z) = A(4,l,2) + / / ( - l , l , 3 ) , se opera, se igualan las com ponentes y se obtienen las ecuaciones param étricas:

x = AX - fi

Í

V = X + fi 2 = 2X + 3¡1 .

Obsérvese que los coeficientes de A form an el vecto r a y los do p , el vector 6 . Antes de seguir, se h ace n o ta r que a y b son lincalm entc independientes, y por consiguiente, r a n g {á , 6 } = 2. P a ra obtener las ecuaciones im plícitas, b asta tener en cu en ta las siguientes equivalencias:

x = \ci + ¡ib o

( x r a n g jz , á, 6} = 2 <=*> ran g I 4

y z\ 1 2 = 2 .

W 1 84

V


Com o hay un m enor de orden 2 no nulo, la últim a condición equivale a

x

y

z

4 -1

1 1

2 = 0 & 3

x - U y + bz = 0 )

(se ha desarrollado el determ inante por la prim era fila) que es la ecuación im plícita de U. G eom étricam ente U es un plano que p asa por ( 0 , 0 , 0 ) . Todos los subespacios de dimensión 2 son planos que pasan p o r el origen. Así por ejem plo, el plano generado por ( 1 , 0 , 0 ) y ( 0 , 1 , 0 ) es el plano cartesiano x y (de ecuación im plícita z = 0). E j e r c i c i o 2 . 2 8 . O bténganse las ecuaciones param ótricas o im plícitas del subospaeio S de R 4 generado por los vectores ñ = ( 3 , - 1 , 0 , 2 ) y v = ( - 2 , 4 , 1 , 1 ) . S o lu c ió n . L a ecuación vectorial es x = Aü + uv , siendo x = ( 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 )? y A, / / *= IR 1os parám etros. Se escribe esta, ecuación en coordenadas: ( 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2:4 ) = A(3, - 1 , 0 , 2) + / / ( - 2 , 4 , 1, 1) , se igualan las com ponentes y se obtienen las ecuac iones param ótricas: X j = 3A — 2¡1

x 2 = - A + 4 ¡1 xz= X4 = 2A + //. P a r a obtener las ecuaciones im plícitas, nótese que ü y v son linealmente inde pendientes y se tienen las siguientes equivalencias:

(

X\

3 -2

X2

23

—1 0 4

1

24 \

2

=2.

l)

Com o el menor de orden 2 form ado con las filas 2 y 3 y colum nas 2 y 3 es no nulo, esto es

^

j jé 0, la ú ltim a condición equivale a decir que los orlados do orden

3 de este menor han de cero:2 3 21 ser *2 3 -1 0

-2

4

1

*2 = 0,

-1 4

23 0 1

24 2 = 0 1

85

E

je r c ic io s

R

e s u e l t o s

d e

F

u n d a m e n t o s

— X\ — 3 ^ 2 +

M

a t k m

10^3 =

At

ic o s

0,

—2 X 2 +

9X3 — X 4 =

0,

que son las ecuaciones im plícitas del subespacio S. E j e r c i c i o 2 .2 9 . O bténganse las ecuaciones p aram étrieas e im plícitas del subes pacio S de R 4 generado por los vectores üj = ( 2 , 1 , 0 , - 3 ) , Ü2 = (0, - 1 , - 2 , 0 ) y ü3 = ( 3 , 0 , 1 , - 1 ) . S o lu c ió n . En prim er lugar obsérvese que los vectores u j, i¿2 y U3 son linealmente 2 1 0 independientes y a que el m enor de orden 3 siguiente

0

-1

7* 0. P o r lo

-2

3 0 1 tan to , son una base de S. Caso con trario, lo prim ero sería encontrar una base y tra b a ja r con ella, pues los cálculos se simplifican. L a ecuación vectorial es x = Aii¿i + A2 Ú2 + A3 U3 , siendo x = ( x i , X 2 , X 3 , X4 ), y Ai , A2 , A3 € R los p arám etros. Se escribe esta ecuación en coordenadas: (xi,

X o , X 3 , X 4)

=

A i(2,1 ,0 ,

—3 ) +

A ^ (0 , — 1,

—2 , 0 ) -1-

A3 ( 3 , 0 , 1

, —1 ) ,

se opera, se igualan las com ponentes y se obtienen las ecuaciones param étrieas: X i = 2 Aj

+ 3 A3

x 2 = Ai - A2 X3 = — 2A2 4- A3 X4 — —3 Ai — A3 . P a ra obtener las ecuaciones im plícitas, b asta observar las siguientes equiva lencias:

x = A, úi + A2 ú 2 + A3 Ú3

r a n g { x , ú i , Ú 2 , Ú3 } = 3

o

rang

7Xi 2

0 3

x 2 X3 1 0 -

x4x 3

- 1 - 2 0 0 1 - 1 /

= 3.

Com o hay un m enor do orden 3 no nulo, la últim a condición equivale a •n 2

0 3

8 0

*2

1 -1 0

£3 0

x4 -3

-2

0

1

-1


Com o hay dos ceros en la tercera fila, se aprovechan y este determ inante de orden 4 se calcula del siguiente modo: X\

X2

2

X3

X4

0

-3

O)

x4

Xj

X2

2

1

-2

-3

X3 -

2X 2

0

-1

-2

0

0

-1

0

0

3

0

1

-1

3

0

1

-1

( 3)

=

O

5 x i — 7 ( x 3 — 2 x 2 ) + &C4 =

4

X\

X3 — 2x¿

2

-2

-3

3

1

-1

5x i

4 - 14^2 — 7 x 3

X

+ 8x 4

•

(1) Q -» C 3 — 2 C 2. (2) Se desarrolla por la 3a fila. (3) Se desarrolla por la I a fila. P o r consiguiente, la ecuación im plícita de U es 5 x j + 14x2 ~ 7x 3 + 8x 4 = 0 .

G eom étricam ente U es un hiperplano que pasa p o r (0, 0 , 0 , 0 ) . Los subespacios de dimensión 3 do TU4 son hiperplanos qno pasan p o r el origen. E j e r c i c i o 2 .3 0 . O bténganse las ecuaciones p aram étricas y bases de los subes pacios de

de ecuaciones implícitas: o) 2 x — 3t/ + 4 z = ü,

x + 2y - z = 0 3 x — y 4 - 3z = 0

(6)

S o lu c ió n . P a r a obtener las ecuaciones p aram étrieas de un subespacio a p a rtir de la im plícita o im plícitas, hay que resolver el sistem a de ecuaciones que define el subespacio, expresando las soluciones en form a param étrica. (a )

E l prim er subespacio está definido por 2 x - 3 y + 4 z = 0. E s te sistem a

con una única ecuación y 3 incógnitas es com patible indeterm inado y el número de parám etros de los que dependen las soluciones es 3 - 1 = 2. Se despeja x en función de y, z y resulta: 3y-4z 3 A x = - 2 - ¿ ----------► * = \ y - 2 z

-►

|A - 2 fi = A =

/i

que son las ecuaciones parain ctricas. De aquí se obtiene la ecuación vectorial ( z , t / , z ) = A ( §, 1 , 0 ) + / | ( —2 , 0 , 1 ) , que exp resa que S es el subespacio generado por (| , 1, 0) y (—2 , 0 , 1 ) . Com o son linealinente independientes, form an una base

87

E

j e r c ic io s

R

esu elto s

d e

F

u n d a m en to s

M

atkm

At i c o

s

de S . Nótese que estos vectores son los coeficientes de A y ¡i en las ecuaciones parainétricas. ( b ) Se lleva el sistem a a la form a escalonada:

x + 2y - z = 0 m í x + 2y - z = 0 \ Z x - y + 3 z = Ü ~*\ -7 y + 6 z = Ü í

( 1) E 2

E 2 — ZE\.

Ahora se despeja x e y en función de z. De la segunda ecuación resulta y Si ahora se despeja x en ia prim era y se sustituye se tiene que 6

¥*■

-5

x = - 2 y + z = - 2 ■j z + z = - y z . Luego, las ecuaciones p arain étricas son - 5 V

6.

.

x = — A, y = ^ A, 2 = A, y la ecuación vectorial (x, y , z ) = A 1 ). U n a b a se d e lsu b e sp a cio e s y tam bién lo sería este vector m ultiplicado por 7 , es decir ( —5 , 6 , 7 ) .

1)

NOTA: Recordem os que o tra form a de resolver el sistem a de la p a rte ( 6 ) es utilizar la regla de C ram er del siguiente m odo. Se elige un m enor de orden 2 no nulo de la m atriz do los coeficientes, por ejemplo el form ado por los coeficientes 2 -1 de y y z, = 5 ^ 0 . En ton ces se pasa x (la incógnita cuyos coeficientes -1 3

110 están cn el m enor seleccionado) al segundo m iembro y se aplica la regla de Cram er:

2y - z = - x .y + 3z = - 3 í

y =

z =

—3x —3x

6r

—

5

—6 1 —1

—? x

6

6

y la ecuación vectorial del subespacio sería ( x , t / , z ) = M ( 1 >X 5 ~ r ) ’ Que coincide con la anterior.


2.7.

O p e r a c io n e s c o n s u b e s p a c io s . S u m a d i r e c t a

E j e r c i c i o 2 . 3 1 . E n R 4 se consideran los sub espacios

U\ = { x € R 4 : x\ + 2x 2 - x$ + 2 x 4 = 0 } y C/ 2 = { x € R 4 : 2 x i + 3x2 ~ 2x 3 + IÜ J 4 = 0 , l e í + 8x 2 ~ 3x3 + X 4 = 0 } , siendo x = ( x i , X 2 , X 3 , X 4 ). O bténganse bases y la dimensión de (A , U 2 y U\ C\l¡2 . ¿ E s el subespacio U\ + U2 igual a R 4? S o lu c ió n . P a r a hallar las bases do U\ y U2 s e resuelven los sistem as homogéneos que los definen. P a r a U\: x\

+ 2 ^ 2 — £ 3 4- 2 x 4 =

0

—» X i = —2 x 2 + 3 3 — 2 x 4 .

Luego los elem entos de CA son todos los de la forma ( X i , X 2 , X 3 , X4) = ( - 2 x 2 + X 3 - 2x 4 , X 2 . X 3 , X4 ) = X 2 ( - 2 , 1 , 0 , 0 ) + 3 3 ( 1 ,0 , 1 . 0 ) + z 4 ( - 2 , 0 , 0 , 1) = A , ( - 2 , 1 , 0 , 0 ) + A2 ( 1 , 0 , 1 , 0 ) + A3 ( - 2 , 0 , 0 , 1), donde se han sustituido las incógnitas libres X 2 , X 3 y X 4 por los p arám etros A i, A2 y A3 , respectivam ente- E s claro que los vectores

a

=

(— 2 , 1 , 0 , 0 ) ,

b =

( 1 , 0 , 1 , 0)

y c = ( - 2 , 0 , 0 , 1 ) form an una base de U\ y a que son sistem a de generadores y linealmente independientes, por tan to , la dimensión de U\ es 3. P a r a U2 '

í 2 x i + 3x2 - 2x 3 + IOX4 = 0 \ 3 x i + 8x 2 — 3 x 3 + X 4 = 0

m f 2 x i + 3x 2 - 2 x 3 + 10^4 = 0

[

—7 x 2

+ 28x 4 =

0

( 1 ) E 2 —> - 2 E 2 + 3 E i. Se despeja X 2 en la segunda ecuación y se tiene que X 2 = 4 x 4 . Se despeja x i en la prim era, se sustituye X 2 y resulta: x j = ^ ( - 3 •4 x 4 + 2 x 3 - 10 ^ 4 ) = 3 ( 2*3 - 2 2 x 4) = x 3 - l l x 4 . P o r consiguiente, los vectores de U2 son todos los de la form a ( x i , x 2, X

3, x

4) =

(x3 -

1 1 x 4 , 4 x 4 , X 3 , x 4 ) = X3 ( l , 0 , 1 , 0 ) + x 4 (— 1 1 , 4 , 0 , 1 ) .

89

I a' j

k r o c ío s

R

u s i j k i .t o s

d io

F

u n d a m en to s

M

a tk m

At i c o

s

De aquí, una base de U2 son los vectores ( 1 , 0 , 1 , 0 ) y ( - 1 1 , 4 , 0 , 1 ) , y por lo tan to, la dimensión de U2 es 2 . E l subespacio U\ por definición, viene determ inado por el sistem a de ecuaciones que resu lta de añadir a la ecuación im plícita de U\ las de {¡2 ya que

x € U\ n U2 si y sólo si x € U\ y x € U2>es decir, si cumplo las ecuaciones de U\ y las de U2 . Se resuelve el sistem a de 3 ecuaciones resultante:

Í

x\ + 2 x 2 — X 3 + 2 x 4 = 0

( x\ + 2 x 2 - X 3 4- 2 x 4 = 0

2x j + 3 x 2 - 2x 3 + IOX4 = 0

*-l ¡

3 x i + 8x 2 — 3x3 + X4 = 0

-X 2

+ 6x 4 = 0

2x2

— 5x4 = 0

[

( x , + 2x 2 - x 3 + 2x 4 = 0 ( x,=x3 \íi ) - X2 + 6 x 4 = 0 -► { x 2 = 0

7x4 = 0

[

(1) E 2 -»

£2

- 2EU

£3

-»

£3

[

- 3£L. (2)

x4 = 0

£3

£3

+ 2£2.

Por ta n to , los vectores de U\ n U2 son todos los de la form a (X i,X 2,X3,X4)

=

(x 3,0 ,X 3 ,0 )

= x 3 ( l , 0 , 1 , 0 ) = A( l , 0 , 1 , 0 ) ,

y de aquí se sigue que una base de U\C\U2 está con stitu id a por el vector ( 1 , 0 , 1 , 0 ) . P o r consiguiente, la dimensión de U\ iH í / 2 os 1. Utilizando la fórm ula de G rassm ann (véase 2. 26) , se tiene que dim(C/i + ( / 2) = d im (t/i) + d im f L y — dim (£/i C\U2 > = 3 + 2 — 1 = 4. Com o cl espacio R 4 es de dimensión 4 , se concluye que U\ + U2 = R 4 (véase 2 .2 1 ). P ero e s ta sum a no es d irecta porque U\ fl U2 ¿ { 0 } (véase 2 .2 5 ). E j e r c i c i o 2 .3 2 . E 11 R 4 se consideran los subospacios S\ = { ( x i , X 2 , x 3 , X 4 ) € R 4 : 3x, - x 3 + 2 x 4 = 0, 2 x , + x 2 - x 4= 0 } y S 2 = ( ( 3 , 1 , 2 , 0 ) , ( 1 , 0 , - 2 , 1 ) ) . Determ ínense una base y la dimensión de S i, S2, S i n S 2 y S i + S2. S o lu c ió n . P a r a hallar una base de Si se resuelve el sistem a homogéneo que lo define (en este caso, b a sta con observar que se pueden dejar com o p arám etros x i

y *4) í 3x, -S 3 + 2x4 = 0 _ f x 3 = 3xi+2x4 \ 2x i + x 2 - x4 = 0 [ x 2 = - 2x i + x 4 P o r tan to , los vectores de Si son todos los de la form a ( x i , x 2, X 3 , x 4 ) =

DO

(xi, - 2 x i + x 4 ,3 x i + 2x 4 ,x4 ) =

x i( l, - 2 , 3 , 0 ) + x 4( 0 ,1,2,1),


y es claro que { a = d im (S i) = 2.

(1,-2,3,0),

b =

( 0 , 1 , 2 , 1 ) } es una base de S i. Luego,

R especto a S 2 , com o los vectores c = ( 3 , 1 , 2 , 0 ) y d = ( 1 , 0 , - 2 , 1 ) son sistem a de generadores linealm ente independientes, forman una base de S 2 . Luego, S 2 es tam bién de dimensión 2 , P a r a determ inar Si H S 2 , se utilizan las ecuaciones parainétrieas de S 2 ;

X\ = 3A H- (i, X2 = A, 2 3 = 2A — 2(i, X4 = (x.

(2 .7 )

Los vectores de Sj n S 2 han de ser de la form a (2 .7 ) y han de verificar las ecuaciones que definen S 2 . En ton ces, se sustituyen estos valores en las ecuaciones im plícitas do S i y se tiene r 3(3A + (i) - (2A - 2(1) + 2(1 = 0

í 7A + 7(i = 0

í A= 0

\

\ 7X + ¡i = 0

i n = 0

2(3A + /i) + A - / t = 0

A h ora se sustituye en (2 .7 ) y resu lta que el único vecto r de S i n S 2 es ( 0 , 0 , 0 , 0 ) . P o r tan to , d im (S i D S 2) = 0. Aplicando la fórm ula de G rassm ann (véase 2. 26), se dínluee que diir.(Si + S 2) = d im (S i) + dim fS s) - d im (S i n S 2 ) = 2 + 2 - 0 = 4, y en consecuencia, teniendo en cu en ta 2. 21, se tiene que Si + S 2 = R 4 < E 11 este caso la sum a es d irecta porque S i n S 2 = { 0 } (véase 2 .2 5 ). U n a base de S i + S 2 es cualquier base de R 4 . Tam bién u n a base es B = { á , 6 , c, d ) porque se sabe que B es un sistem a de generadores de S i + S 2 y que Com o L\ son to d as las com binaciones lineales de 5 = ( 1 , 2 , —3) y 6 = ( 2 , 1 , 0) y L 2 son todas las com binaciones lineales de c = ( —2 , —1 , 3 ) y d = ( —1, 4, —2 ), se tiene que

w = a a + 0 b + Ac — \xd.

01

E

j e r c ic io s

R

esu elto s

d e

F

M

u n d a m en to s

a tk m

At i c o

s

Luego, L\ + L 2 es el subespacio generado por á , 6, c y d. P o r ta n to , la dimensión de L\ 4 - ¿ 2 es el rango de la m atriz .4 cuyas filas son los 4 vectores, y se halla reduciéndola a la form a escalonada:

( 1

.4 =

2 -2

U

2

1 -1

0

4

-V

3

(\

2

0 0

-3 3

^0

6

(0

-¥

3^

(\

2

0 0

1

(2)

6 -3

-i

-5 )

(\ 3^ 0 -2 (3) 3 0

0 0

^0

7y

^0

F4 -h Fi. (2) F 2 -> F 2 /( - 3 ) , F 3 -> F 3 4- F2, F 4 -> F 4 4- 2F2. (3) F 3 -> 3F 4 -

2 1

0 0

3\ -2 3

0 /

(li F 2 - * F 2 - 2Fi, F 3 -» F 3 + 2 F i, F 4

7 F3 .

Ahora es claro que el rango de .4 es 3, y por ta n to , d im (¿ i + ¿ 2) = 3. Como la dimensión del espacio R 3 es tam bién 3 , se sigue que L\ + i 2 = R 3, luego una baso de. L\ 4* L¿ os cualquier baso de R 3 . También sería baso ol conjunto { a , 6 , c } según se h a com probado al llevar .4 a la form a escalonada. Si se aplica la fórm ula de G rassm ann (véase 2. 26), se tiene que 3 — d im (¿ i 4 - ¿ 2) = d i m ( ¿ i ) 4* d i m ( ¿ 2) — d im (¿ j n ¿ 2) = 2 4* 2 — d im (L j n ¿ 2)1 de donde se deduce que d im (L i fl ¿ 2 ) = 1 * P o r tan to , la sum a L\ + ¿ 2 n<> w directa. P a ra hallar una base del subespacio L\ ñ L¿ se utilizarán las ecuaciones param étricas de L\ y L 2. Se busca un vector x que se pueda escribir en la form a evá 4- ¡5b y en la form a Ac 4- ¡id. P o r tan to , se h a de verificar evá 4- 0 b = Ac + //d, o equivalentemente a á + f í b — Ac — //d = 0. Se sustituyen los vectores, se opera y esta ecuación nos conduce al siguiente sistema:

( ev + 2ifl + 2 A- b/ / = 0

e v + 2 ifl + 2A + / / = 0 2rv 4- jfl + A - 4/x = 0 —3 a — 3A + 2/¿ = 0

(,} 1

{ e v + 2 ifl + 2A + // = 0

- 3 / 3 - 3A - 6 /x = 0

13

£ + A+ = 0 -3 A - 7fi = 0

6/3 + 3A + h¡i — 0

( 1 ) E 2 ^ E 2 - 2F i , F 3

E

3

4

-

3

E

1

.

(

2

)

E

2

-

»

E

a

/

(

-

3

)

,

E

3

F 3 + 2 F 2.

E ste sistem a as com patible indeterm inado, se p asa // al o tro m iembro y se despeja h acia a trá s : A = ^ / / , P = —2 / / + g/j = g//, cv = — — 2A — \i = 3//. Se utiliza de parám etro (p ara no tener denom inadores)

a = 9¿, £ =

= 3¿ y se tiene

A = - 7 ¿ , // = 3¿.

Si se da a t el valor t = 1, se obtiene cv = 9,

= 1, A = —7 y /i = 3 y resu lta el

vecto r é = 9 á + 6 = 9 •( 1 , 2 , - 3 ) + ( 2 , 1 , 0 ) = ( 1 1 , 1 9 , - 2 7 ) . E l m ismo resultado se obtiene si se calcula - 7 c + 3d = t. Así pues, é es una base de L\ n L 2.

92


NOTA. P a r a h allar una base de L\ n l 2 tam bién se podrían haber obtenido las ecuaciones im plícitas de L\ y £ 2 (u n a ecuación p ara cad a uno de ellos) y haber resuelto el sistem a form ado p o r am bas ecuaciones com o se ha hecho en el ejercicio 2 .3 0 (6 ). Una te rce ra posibilidad es obtener la ecuación im plícita de L\ y utilizar las ecuaciones p aram étrieas de L 2 com o se h a expuesto en el ejercicio 2 .3 2 p ara obtener los vectores de L i C\

Se deja al lector que desarrolle estas dos ideas

p ara obtener una base. E j e r c i c i o 2 .3 4 . E n cl espacio R 3 determ inóse un subcspacio suplem entario del

z) € R 3 : x = 4 z } . ¿ E s único?

subespacio S =

S o lu c ió n , Los elem entos de S son todos los vectores de la form a

(x, y, z) = (42, y, z) = * ( 4 , 0 , 1 ) + y ( 0 , 1 , 0) . P o r tan to, una base de S es B = { ( 4 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 0 ) } . Un subespacio suplem entario de S es cualquier subespacio U tal que S © U = R 3 (véase 2 .2 7 ). Com o S es de dimensión 2 , se sigue que U es de dimensión 1. P a r a obtener U se am plia la líase B de S a una base de R 3 . E s to se puede hacer de m uchas formas. P o r ejemplo, es claro que se si añade ( 0 , 0 , 1 ) se obtiene una base de R 3 ya que la m atriz form ada con los tres vectores com o filas es escalonada. Por tan to , un suplem entario es U\ = { ( 0 , 0 , 1 ) ) . También se puede añadir a B el vecto r ( 1 , 0 , 0 ) y se obtiene o tra base de R 3 , ya que el determ inante de los tres vectores es no nulo. P o r tan to , el subespacio U2 = ( ( 1 , 0 , 0 ) ) es tam bién un suplem entario de S. E n general, hay infinitos subespacios suplementarios de un subespacio. G eom étricam ente, S es un plano que pasa por el origen y cualquier re cta que pase por el origen y que no esté contenida en dicho plano es un subespacio suplem entario de S. E j e r c i c i o 2 .3 5 . E n R 3 so consideran los subcspacios U\ = ((2, - 1 , 3), ( 1 , 1 , 2)> y C/ 2 = <(1,4, -2 ) > . ( а ) Pru éb ew que U\ ® U2 = R 3 , ( б ) Obténgase la descom posición de w = ( —3 , 0 , 0 ) en la form a t¿i + t¿2 con « i € U\ y ü 2 € Ü2 S o lu c ió n . (« ) P u esto que los generadores dados p a ra U\ son una base, la ecuación

03

E

j e r c ic io s

R

h s i j k i .t o s

d e

x

F

u n d a m en to s

y

atkm

At i c o

s

z

im plícita de U\ es 2 - 1 3

1

M

1

= 0 , o equivalentemente —5x — y + 3z = 0.

2

P a ra obtener la intersección Uj n U¿, se hallan las ecuaciones p aram ótricas de

x = X, y = iX, 2 = - 2 A , y se sustituye en la ecuación im plícita de U\ - 5 A - (4A) + 3 ( - 2 A ) = 0 => - 1 5 A = 0

A = 0.

P o r tan to, el único vecto r de U\ fl U2 os (0, 0, 0) y, en consecuencia (vóaso 2 .2 5 ), la sum a U\ 0 U2 es d irecta. Com o la dimensión de U\ 0 U% es 3 (por la fórmula de G rassm ann ), se concluye que ÍA © t /2 = ( 6) Hay que encon trar ü , € U\ y ü 2 € ÍA tales que üj + ü 2 = w. Com o los generadores de U\ son a = (2, —1 , 3 ) y b = ( 1 , 1 , 2 ) y de f/ 2 es c = ( 1 , 4 , —2 ), será ü i = a a + 0 b y üo = Ac. P o r tan to , hay que hallar los números cv, 8 y A que satisfacen n( 2, - 1 , 3 ) + 0 ( 1 , 1 , 2 ) + A(l, 4, - 2 ) = ( - 3 , 0 , 0 ) . E s ta ecuación equivale al siguiente sistem a que se resuelve com o sigue. 2cv + £ + A

3

- a + 8 + 4A = 3cv + 28 — 2A =

0 0

^

3cv - 3A = - 3 -c v + £ + 4 A = 0 5cv

- 10A =

0

cv —cv 4 cv

- A = -1 + 4A = 0 - 2A =

0

(1) E , -> E , - E 2, E3 -> E3 - 2E2. (2) E i -> E i/3 , E 3 -> E 3 / 5 . (3) E i -> E i - E 3 . Luego ü , = —2a + 2 b = —2 •(2, —1 , 3 ) + 2 •( 1 , 1 , 2 ) = ( —2 , 4 , —2) € IA (nótese que verifica la ecuación im plícita de U\) y ü 2 =

( —l ) c = ( —1) • ( 1 , 4 , —2) =

( - 1 , - 4 , 2 )* U 2. NOTA: O tra form a de encon trar los vectores úi y ú 2 es por medio de las ecuaciones p aram étricas de í / 2 y de la ecuación im plícita de U\ del siguiente m odo: será ti) = ti, + Ac, y se despeja ti,, ti, = w - Xc = ( - 3 , 0 , 0 ) - A ( l , 4 , - 2 ) = ( - 3 - A, - 4 A , 2 A ) .

94


Com o este vector e s tá en U2 verifica su ecuación: - 5 ( - 3 - A) - ( —4 A )+ 3 (2 A) = 0. De aquí se obtiene que A = - 1 , y por consiguiente ü j =

( —2 , 4 , - 2 ) y ü 2 =

( - 1 ) 2 = ( - 1 , - 4 , 2). E j e r c i c i o 2 . 3 6 . E n R 3 so consideran los sub espacios £' = { ( z , y , í ) í E R 3 : * = 0 } y V = { C s , i í , * ) e R s : x = - 3 z } . ( o) Pruébese que U + V = K 3, pero la sum a U + V no es directa. ( 6 ) Descom póngase w = ( —1, - 2 , 2) en la form a ü 4- v, con ü € U y v € V, de dos formas distintas. S o lu c ió n . E s claro que U n V e s tá form ado por las soluciones delsistem a r

í 2 = U

¿ = o

| x = —3 z

^ x = ü

P o r tan to, los vectores de U n V son de la form a ( x , y , z ) = ( 0 , y , 0) = y ( 0 , 1, 0) . Luego, una base de U n V es { ( 0 , 1 , 0 ) } . También es claro que una base de U es { ü , = ( 1 , 0 , 0 ) , fi2 = ( 0 , 1 , 0 ) } y una base de V es { v x = ( 0 , 1 , 0 ) , v2 = ( - 3 , 0 , 1 ) } . Luego, por la fórm ula de G rassm ann, d in i(í/ + V ) = d iin (í/) + d im (V ) - d im (í7 n V ) = 2 + 2 - 1 = 3. E n consecuencia, U + V = R 3 y la sum a no es d irecta porque U n V ^ { 0 } . ( ¿) P a ra encontrar ü e U y v e V tales que w = ü + t; se utilizan las bases t ¡ i , ü 2 de U y v\¡v2 de V, y hay que hallar nfuneros A i, A2, A|ü| + A2ü 2 +

y / / 2 tales que

= $> es decir,

A, ( 1 , 0 , 0 ) + A2 ( 0 , 1 , 0 ) + / ¿ i ( 0 , 1 , 0 ) + / ¿ 2 ( - 3 > 0 , 1) = ( - 1 , - 2 , 2 ) . E s ta ecuación es equivalente al siguiente sistema: f A, \

{

- 3 //2 = - l ^2 + ^ 1

—» < P i = - 2 - A2

= -2

fl 2 =

f A, = 5

2

{ fi 2 = 2

E l sistem a tiene infinitas soluciones. Si se utiliza A2 = t com o parám etro se tiene que Ai = 5, A2 = t, fi\ = —2 — t,

— 2.

P o r ejemplo, dos soluciones serían:

0 5

E

j e r c ic io s

R

esu elto s

d e

F

u n d a m en to s

M

atkm

At i c o

s

-si t = 1 resu lta Aj = 5, A2 = 1, /¿i = - 3 , \i2 = 2, y se obtienen u = 5 - ( 1 , 0 , 0 ) + 1 •( 0 , 1 , 0 ) = ( 5 , 1 , 0 ) y t? = ( - 3 ) ( 0 , 1 , 0) + 2* ( - 3 , 0 , 1 ) = ( - 6 , - 3 , 2 ) . -si t = 0 resu lta Aj = 5, A2 = 0 , //j = - 2 , //2 = 2, y se obtienen ü = ( 5 , 0 , 0 ) y t> — ( - 6 , - 2 , 2 ). Queda claro que la descom posición do los vectores de R 3 011 la form a ü + v 110 es única, en contraposición con el ejercicio anterior que sí e ra única.

96

T ema 3 A P L IC A C IO N E S L IN E A L E S

1. R E S U M E N D E R E S U L T A D O S T E Ó R IC O S 3 . 1 . Sean E y V dos espacios vectoriales. Se dice que la aplicación / : E —» V es una aplicación lineal si p a ra todo 6 , b € E y para to d o A € R se cum ple: ( 1 ) / ( a + 5) = / ( a ) + / ( 5 ) y (2 ) / ( Aá) = A/ ( a ) . Si, adem ás, / es biyectiva, / se llam a isomorfismo. Si V = E , f se llam a

endornorfisrno de E . Se denota por ¿ ( £ , V ) al conjunto de todas las aplicaciones lineales de E en

V. 3 . 2 . C aracferáacsd n . / : E -► V es una aplicación lineal si y sólo si / ( A ñ + /¿ 6) = A / ( á ) + / ¿ / ( 6 ) p ara todo a , b € E , A, / i € M. 3 . 3 . Propiedades de las aplicaciones lineales. (1 ) /(O e ) = Ov' (Os y Ov' designan el vecto r cero de E y V, respectivam ente). (2 ) / ( - » ) - - / ( » ) . (3) / ( A i á i + \¿a ¿H el suinatorio:

^

hAn5n) = A i / ( á i ) + * 2 / ( 62 ) H

h * n / ( 5 n), o usando

) = £ ? = 1 **/(**)•

(4 ) Si 5 es un subespacio vectorial de E , entonces f ( S ) = { f ( x ) : x € 5 } es un subespacio vectorial de V. E n p articu lar, / ( £ ) es un subespacio vectorial de V , que se llam a imagen de / y se d en ota I m / . (5 ) Si U es un subespacio vectorial de V , entonces / ” l ( U) = { x € E : / ( x ) €

U ) es un subespacio vectorial de E . E 11 particu lar, / “ ' ( { O } ) es un subespacio vectorial de E , que se llam a m¿c/eo de / y se denota ker / . ( 6 ) Conservan la dependencia lineal, es decir, transform an un conjunto li nealmente dependiente en otro linealm ente dependiente. De o tro m odo, si .4 =

0 7

E

j e r c ic io s

R

esu elto s

d e

F

M

u n d a m en to s

a tk m

At i c o

s

{ « i , u 2) . . . , un} es ligado, entonces f ( A ) = { / ( « i ) , / ( t i 2) , . . . , / ( « « ) } es ligado. Consecuencia 1. Si C = { v i , V 2 , ••- , v n} es libre y se tiene, / ( « » ) =

1 ,2

t =

n , entonces { ü i , ü2, . . . , ün } es libre, Consecuencia 2. L a imagen de una base de £ es un sistem a generador de

/ ( £ ) = Im/. 3 . 4 . Si £ es de dimensión finita, una aplicación lineal / : £ —» V queda com pletam ente determ inada dando las im ágenes f ( K ) =

de los elem entos de una

base { c i , 62 , . . . , é^ } de £ y a que, dado ü € £ , será ü = Yl?=i ^ * Y P ° r tan to, / ( « ) = ET . 1 W (é O = E r = , ^ . 3 . 5 . M a ím asociada, D ada una aplicación lineal /

4

: £

V y bases B e =

do £ y 2?v = {E 11 V2 Vm} do V , entonces ca d a uno de los n vectores / ( é j ) , / ( é 2 )> . . . , / ( é * ) es un vector de V y, por ta n to , será u n a com bi nación lineal de los elem entos de la base B y de V de la form a

{é\,6

2

/ ( é l ) = a n Üi + a 2 \V2 --------- b Om\Vm

f (^2 ) = ^ 12^1 + ^ 22^2 + •••+ Gm2 vm

f

( é n

)

—

d

i n

ú

i

+

( l 2 n

V

2

H

------------------------ b

CIm

n

V m

<

Se llam a m atriz asociad a a / en las bases B e = {é ¿ } y B y = { ú¿} (o simplemente m atriz de / ) , denotada [/]|¡, a la trasp u esta de la m atriz de los coeficientes an teriores. E s to es, las colum nas de [f\\ son las coordenadas de los vectores }{é\), / ( é 2), . . . , / ( é rt) en la base {€ * }: /

[f]l\ =

fljl

Ui2

•"

f l j i

C I2 2

'

®ml

"

flin ^ < * 2 n

2 * * * &mn J

N ótese que es u n a m atriz de m (la dimensión del espacio final) filas y n (la dimensión del espacio inicial) colum nas. Si / : £ —» £ es un endomorfismo y se elige la m ism a base {é * } en el espacio inicial y final, a la m atriz [f]g\ se le llam a m atriz de / en la base { é j y se d en ota [/]#>. 3 . 6 . Teorema. E n la situación del ap artad o anterior, si x es un vecto r cualquiera de £ se exp resará com o x = x j é j + X 2 é 2 H

b x nén> entonces su im agen, / ( x ) ,

viene dada por [/(* )]* = [ / ] * [ * k

08

(3 .1 )

A PLIC A C IO N ES LIN EA LES

E s decir, si f ( x )

= y\Vi + y2v2 + ( x u x 2 i . . . ,* « ) * , A = [ / ] £ , entonces

ymVm} Y =

/

d\ \

d\2

V2

a 21

a 22

Vmj

®ml

®m2

't f i '

Y = A X , o desarrollado

(yi, y2

•• •

ym )\ X =

d in

•• • Ü2n

** *

22

&mn/ \*^n /

que es la espresidn matricial de / . E l sistem a que resulta de igualar com ponente a com ponente d a lugar a las ecuaciones de la aplicación lineal f : y\ — d \\X \ +

d\

2X 2

+

' "

+

a \n % n

y2 = a 2lXi + a 22x 2 + •••+ ÜtoXn ym =

3.7.

Q m l X\ + d m 2 ^ 2 +

* * * + ^m nX n

Operaciones con aplicaciones. (a )

5um a. D adas dos aplicaciones (lineales o no) / , y : E —> V , se llam a sum a

de f y g, denotada / +
Vx € £ .

(b) Producto p o r un número. D ad a una aplicación f : E

V y un número

real A € H, se llam a prod u cto de A por / , denotada A /, a la aplicación definida por (A f ) ( x ) = A} { x )

Vi € E .

(c) Composición. Sea W o tro espacio vectorial. D adas dos aplicaciones /

:

E -* V y g : V W, llam a com posición de / y
V xeE.

E —►V son aplicaciones lineales, entonces f + g es lineal.

(b) Si / : E - * V es lineal, entonces A / es lineal p ara todo A € R . (c) Si / : E

V y g :V

W son lineales, entonces g o f es lineal.

Adem ás, el conjunto £ ( £ , V) es un espacio vectorial con las operaciones sum a y producto por un número.

09

E

j e r c ic io s

R

esu elto s

d e

F

u n d a m en to s

M

a tk m

At i c o

s

3 . 8 . Sean B e = { é j , é 2 ) . . . , é^ } lina ba.se de £ y ¿?v = { vi , € 2 , . . . , vm } u n a base de V . Entonces la aplicación M : £ ( £ , V ) —> A/mXrt, definida por M ( f ) = [/]|¡, es decir, que asigna a c a d a aplicación lineal / : E —» V la m atriz de / en las bases {é * } y { i * } es un isomorfismo de espacios vectoriales, esto es, p ara todo par /,
Aí ( A/ ) - A A / ( / ) , o sea, [ A/ ] £ -

A[/]*;.

(3 ) A/ es biyectiva. 3 . 9 . Sean / : E - » V y g : V -> IV aplicaciones lineales y ¿?£ = { é j , ¿ 2 , . . . , én }, S v = {Di, C2 , . . . , vm } y B\y = {tSj, t0 2 , . . . ,

bases, respectivam ente, de £\ V

y W . Si la m atriz de / en las bases {é * } y { £* } es A y la m atriz de g en las bases {fl«} y { ^ * } es S , entonces la m atriz de g o / sea, A /( í? o / ) = A / ( ^ ) A / ( / ) , o de o tro modo:

en las bases {é ¿ } y {tD¿} es B A , o

[ W ] § > = [
(3.2)

E n esquema:

E {é,}

-U A

V {ü,}

-JL, B

w {w,}

^

M (g ° f) = B .A .

3 . 1 0 . El cambio de base en un espacio visto c om o una aplicación lineal. Dadas dos bases B = { é j , e 2, . . . , en) y B f = {é?v e 2) . . . , é!n} de E relacionadas por las expresiones

é\ = pu ¿ú +P2\^2 + ' " + Pntfi» ^2 = Pl2t\ + P 22^2 H HPn 2^n

(3. 3)

éít — PlnCl + P 2nC2 + * * * + Pnn^m sabemos que la trasp u esta de la m atriz de los coeficientes anteriores es la m atriz

P del cam bio de base desde B h a sta B r (véase 2 .2 8 ). Si consideram os la aplicación lineal identidad I d : E - » E y com o base en el espacio inicial B' y en el espacio final B , entonces com o /d ( é ') = e\ = 2 = 1 , 2 , . . . , n (las ecuaciones (3 .3 )), se tiene que la matriz da la aplicación I d v.n las basas inicial {r'} final {é ¿ } es la matriz P del cambio de base desde la base {é ¿ } hasta la base {é^}, esto

y

es

mi = p .

N aturalm ente, el cam bio inverso es [Jd]2 = P - 1 .

1 00

( 3.4)


Si se aplica ( 3. 1) , resulta [ * k = [J d ( x ) k =

[*]*;,

que es la fórmula del cam bio de coordenadas de un vecto r x al cam biar de base (véase 2.28). 3 . 1 1 . Matriz de una aplicación lineal cuando cam bian las bases en el espacio

inicial y en el f i n a l Sea / : E —> V una aplicación lineal que en las bases { é , } de E Y {^ t } de V tiene m atriz asociad a A, es decir, A = [/]f\ Si P es la m atriz de cam bio de base desde la base {é * } h a s ta la base { é ' } y Q es la m atriz de cambio de base desde la base {ü<} h a sta la base { £ ' } , entonces la m atriz de / en las bases { ? ' } y { E '} es .4' = Q ~l AP.

(3 .5 )

E s to se sigue de lo siguiente. Se considera el esquema

E { EJ}

E P

{e ¿ }

A

V {vt}

V Q- 1

{D '} ’

se aplica (3.2) a la igualdad / = I d o f o l d y se obtiene [/]**, =

y

por últim o, teniendo en cu en ta (3 .4 ) resulta justam ente (3 .5 ). 3 . 1 2 . Matriz de ur¿ endom orfismo cuando cambia la base. Considerem os un cn* domorfismo / : E —►E y u n a base { é t } de E y supongam os que la m atriz de / en la base { é * } es A. Si se considera o tra base { é ' } y la m atriz del cam bio de base desde {é * } h a sta { é ¡ } es P (véase ( 3. 3) ) , entonces la m atriz de / en la base { é '} es

A ' = P~'AP. (E s ta fórmula es un caso particu lar de (3 .5 )). 3 . 1 3 . Matrices equivalentes.

Sean las m atri res cuadrarlas A , B £ WmXn. Se di ce

que .4 es equivalente a B siexisten m atrices regulares P € A/nxn y Q € Afmxm tales que B = Q A P . Propiedades: (1 ) Si .4 es equivalente a B y entonces B es equivalente a .4 y se dice que .4 y

B son equivalentes. (2 ) Se cum ple la propiedad transitiva: si .4 es equivalente a B y B es equiva lente a C , entonces A es equivalente a C .

101

E

j e r c ic io s

(3 )

R

esu elto s

d e

F

u n d a m en to s

M

a tk m

At i c o

s

L as m atrices asociadas a una aplicación lineal / : E

V en diferentes

bases son equivalentes (véase 3. 11). 3 . 1 4 . Caracterización. A y B son equivalentes si y sólo si tienen el m ism o rango. 3 . 1 5 . Matrices semejantes. Sean las m atrices A, A' € Mnxn> Se dice* que .4 es sem ejante a .4' si existe una m atriz regular P € M nxn » llam ada m atriz de paso desde A h a sta A', ta l que Al = P “ l A P . Propiedades: (1 ) Si A es sem ejante a £ , entonces B es sem ejante a A y se dice que A y B son semejantes. (2 ) Se cum ple la propiedad transitiva: si .4 es sem ejante a B y B es sem ejante a C , entonces .4 es sem ejante a C. (3 ) L as m atrices asociadas a un endomorfismo / : E —►E en distintas bases son sem ejantes (véase 3. 12). 3 . 1 6 . Se dice que la m atriz cu ad rad a .4 es diagonalizable si existe una m atriz diagonal D que sea sem ejante a .4, es decir, si existe una m atriz regular P tal que

D = P -'A P es una m atriz diagonal. Se dice entonces que D es una matriz diagonal o diagonalización de A. 3 . 1 7 . Sea A una m atriz de dimensión n x n . El número real A es un valor propio o autovalor de A si existe un vecto r ü € R n , ü ^ Ó, ta l que Aü = Aü (aquí ü es un vector colum na), A l vecto r ü se lo llam a vector pro pio o autovector de A asociado a A (o de valor propio A). P o r tan to , un vector no nulo ü es un vecto r propio de A si existe un número real A tal que Aü = Aü. 3 . 1 8 . Dado A € R , el conjunto E ( A) de to d cs los vectores propios asociados a A, ju n to con el vecto r cero, es un subespacio vectorial de R n , llam ado espacio propio de A. 3 . 1 9 . Se llam a polinomio característico de .4 al polinomio

= |A — f/|, y

ecuación característica de A a la ecuación p¿(t) = 0. E l polinomio característico es el mismo para dos m atrices sem ejantes, es decir, si A y B son sem ejantes, entonces sus polinomios característico s son idénticos. El recíproco es falso (véase el ejercicio 3 .2 6 ).

1 02


3 . 2 0 . Caracterización de los valores propios. Las siguientes afirm aciones son equi valentes para el núm ero real A: (a ) A es un valor propio de A, (b) La m atriz A - XI es no regular, es decir, |.4 - A/| = 0 . (c) A es una raíz del polinomio característico P a {1) de A, o lo (pie es lo mismo» A es una solución de la ecuación ca ra cte rística de .4. Consecuencia. Los valores propios de .4 son las raices del polinomio ca ra cte rístico de A. 3 . 2 1 . El espacio propio E { A) de A es el conjunto do todas las soluciones, X = ( x i , X 2 , . . , £ n) f, del sistem a homogéneo (.4 - AI ) X = 0. 3 . 2 2 . Sea A un valor propio de .4. L a multiplicidad algebraica de A es la multipli cidad de A com o raíz del polinomio característico de A. E s to significa que si k es la multiplicidad algebraica de A, entonces j u ( f ) es divisible entre (i — A)*, pero no lo es entre (t — A)fc+1, esto es, existe un polinomio g(t) ta l que = (t —X)kg(t) y g W ¿ 0L a multiplicidad geométrica do A es la dimensión do su espacio propio, esto es, d im (£ (A )). 3 . 2 3 . Sea .4 € A/n x n . L a m atriz .4 es diagonalizable (sem ejante a u n a m atriz diagonal D ) si y sólo si .4 tiene n vectores propios linealm ente independientes» es decir, si existe una base de R n form ada p o r vectores propios de A, que se llam a

base de diagonalización. E n tal caso, los elementos diagonales de D son los valores propios de .4 y D = P ~ l A P siendo P la m atriz cuyas colum nas son los n vectores propios (pie son baso do R n. 3 . 2 4 . Si üj , Ü2 > •••» üp son vectores propios de una m atriz .4 correspondientes a valores propios distintos, entonces ü i, Ü2, . . . , ñp son linealmente independientes. 3 . 2 5 . Si A, es un valor propio de .4 con m ultiplicidad algebraica cv* y multiplicidad geom étrica d*, entonces

1 < di < ai. 3.20.

.4 es diagonalizable si y sólo si p a ra cad a uno de los valores propios Aj,

A2 , . . . , Ap de .4 distintos, se tiene que su multiplicidad algebraica es igual a su multiplicidad geom étrica, es decir,

Qi = dt

p ara todo i = 1 , 2 , . . . , p.

1 0 3

I a' j

k r o c ío s

R

u s i j k i .t o s

d io

F

u n d a m en to s

M

a tk m

At i c o

s

Además, en este caso, una base de diagonalización se obtiene reuniendo las bases de los espacios propios £ ( A j ) , £ ( A 2 >, . . . , E[Xp). 3 . 2 7 . Si el polinomio característico de la m atriz .4 6 A i x n tiene n raíces distin ta s Ai , A 2 , . . . , A n> entonces .4 es diagonalizable y u n a m atriz diagonal de .4 está form ada por los núm eros Aj, A2 , . . . , A* en la diagonal (y el resto ceros).


A p lic a c io n e s lin e a le s

E j e r c i c i o 3 . 1 . Sea / : R'^ —►R 2 la aplicación definida por / ( x , y , z) = (3 x - 2 z , x - y + z). ( а) Sean los vectores ü = (2, —1 , 1 ) y v = ( 1 , 2 , —5). Hállense f ( u ) , f ( v ) y com pruébese que / ( ü + t>) = f ( ü ) + f { v ) . ( б ) Pruébese que / es lineal. S o lu c ió n , (a ) P a r a hallar f ( ü ) = / ( 2 , - 1 , 1 ) b a sta elegir los valores x = 2,

y = - 1 , 2 = 1 en la expresión de / y resulta / ( 2 , —1 , 1 ) = (3 • 2 - 2 • 1 , 2 - (—1) + 1) = ( 4 , 4 ) . Del mismo modo, / ( * ) = / ( 1 , 2 , - 5 ) = ( 3 •1 - 2 •( - 5 ) , 1 - 2 + ( - 5 ) ) = (13, - 6 ). P a r a com probar la igualdad f ( ü + ú) = f(Ü) + /(&)> hallemos am bos por separado: • Prim er miembro,

f ( ü + v) = / [ ( 2 , - 1 , 1 ) + ( 1 , 2 , - 5 ) ] = / ( 3 , 1, - 4 ) = ( 3 •3 - 2 •( - 4 ) , 3 - 1 - 4) = (17,-2). • Segundo miembro,

m

+ m

= f ( 2 - 1 , 1 ) + / ( 1 , 2, - 5 ) = ( 4 , 4 ) + (13, - 6 ) = (17, - 2 ) ,

y efectivam ente, coinciden.

1 04


( 6 ) P a ra probar que / es lineal, se u sará la caracterización 3. 2, esto es / ( A á + ¡ib) = A / ( á ) + p f ( b ) p a ra todo á , 6 € R 3 , A, // e R .

(3 .6 )

Sean 5 = ( a i , a 2 , az) y 6 = ( 61 , 62 . &3 ) dos vectores cualesquiera de R 3 y A,/¿ € R. Entonces Aá + /¿6 = A( aj , 0 2 , 0 3 ) + fi(bu b¿, 63 ) = (Agj, Ao2, Aa3 ) + [fib\ ,¿¿ 62 , ^ 63 ) = (Aaj +

Xa.2 + ¿¿62 ,

+ ^ 63).

P o r tan to, el prim er m iem bro de (3 .6 ) vale / (Aá + //&) = / ( Aai + /i&i, Aa 2 + //&2, ^ 0 3 + p h ) = (3i Aoj + f¿b\) — 2 (Aa 3 + /i&3 ), (Aaj + pb\) — (Aa 2 + /¿ 62) + (A03 + ¿¿63 )) =

( 3 A o j -|- 3 ^ ¿ 6 j — 2 A a 3 — 2 ^ 6 3 , A o j -|-

p b \ —A q 2

— /¿6 2 H- ^ 0 3 -I- ¿¿ 63 ) .

E l segundo m iem bro de (3 .6 ) es A / ( á ) +/ / / ( &) = A / ( a i , a 2, a 3) + / / / ( 6i, 62 , 63 ) = A (3oj — 2 0 3 , a i — a 2 + 0 3 ) + /¿(36j — 263,61 — &2 + 63 ) = (3Aai - 2Ací3, Aai - Aa2 + Aa3 ) + (3/¿&i - 2/¿6a, yb\ - p h + p h ) = (3Aai — 2 Aa3 H- 3î6| — 2fib¿, Aoj — Ao2 + A03 H- fibi —fib¿ H- ¿¿63 ), que coincide con el resultado obtenido p a ra el prim er miembro. NOTA. E 11 general, tina aplicación lineal de R n en R es de la forma

f(x i,x ¡

x „ ) = p l x l + p 2x2 + ■■■+P„xn ,

(3 .7 )

donde Pi - ■>Pn son núm eros, y una aplicación lineal de R n en R m viene dada por F ( x ) = ( / i ( x ) , / 2 ( x ) , . . . , / m ( x ) ) , donde x = (x j , x 2, . . . , x n), y c a d a / , es de la form a

(3 .7 ), ca d a una de

ellas con sus propios números px.

E j e r c i c i o 3 . 2 . Estudíese si las siguientes aplicaciones son lineales:

(a) (b) (c) (d)

f f f f

:R ¿ -> R 2 d ad a por / ( x , y) = (x + y>xy). :R 2

R 2 dada por f { x , y ) = ( x + 2 , 3 x - y).

:R 2 -► R 2 dada por f { x , y ) = (|x|, y - x). :R i -► R 3 d ad a por

/ ( x , y , z)

= ( x, y , 0).

S o lu c ió n , ( a ) E s claro, de acuerdo con la n o ta del ejercicio anterior, que la segunda com ponente de / dada p o r / 2 ( x , y ) = x y no es lineal. E n efecto, p ara

1 0 5

E

j e r c ic io s

R

esu elto s

d e

F

u n d a m en to s

M

a tk m

At i c o

s

com probarlo b a sta con encon trar dos vectores u y v p a ra los cuales / 2 (u +t>) / 2 (« ) H- / 2 (v ). P o r ejem plo, ti = ( 1 , 1 ) , t; = ( 2, 2) , entonces / a ( * + « ) = / a [ ( l , 1) + ( 2, 2) ] = / a( 3 , 3) = 3 . 3 = 9, m ientras que / a ( « ) + /a (v ) = / a ( l , 1) + / a ( 2 , 2) = 1 . 1 + 2 . 2 = 1 + 4 = 5.

(b) P a r a e s ta función no se cum ple que /(O ) = 0 (véase 3. 3( 1 ) ) y a que /(O ) = / ( 0 , 0 ) = ( 2 , 0 ), por ta n to / no es lineal. (c ) L a p rim era com ponente de / d ad a por f i { x , y ) = \x\ no es lineal, por tan to, / no es lineal. P a r a com probarlo, sean por ejemplo, ü = ( 5 , 1 ) y v = ( - 3 , 4 ) , entonces / ( « + ü) = / [ ( 5 , 1) + ( - 3 , 4 ) ] = / ( 2 , 5 ) =

(|2|,

5-

2)

=

(2,

3),

m ientras que

m

+ m

= f ( 5 , 1 ) + / ( - 3 , 4 ) = (|5|, - 4 ) + (I - 3|, 7) = (5, - 4 ) + ( 3 , 7 ) = ( 8, 3) .

(d) A h ora las 3 com ponentes de / , dadas por f \ ( x yy yz) = x, f 2( x yy yz) = y y f z { x ¡ y ,z ) = 0 (función cero de R 3 en R ) son lineales de acuerdo con la n o ta del ejercicio 3. 1, y por ta n to , / es lineal. L a com probación se h aría com o en el citado ejercicio. L a aplicación / de este ap artad o (<¿) tiene una interpretación geom étrica sen cilla: a ca d a punto P = (a, 6 , c ) del espacio R 3 se le asigna el punto P' = (a, 6 , 0), que es su proyección sobre el plano x y (de ecuación z = 0 ). E j e r c i c i o 3 . 3 . Sea /

: R 3 —> R 4 la aplicación lineal que verifica f(ü \ ) =

(1, - 1 , - 3 , - 2 ) y f { ü 2) = ( - 3 , 0 , 2 , 2 ) siendo ü\ = ( 2 , 1 , 3 ) y ü2 = ( - 1 , 2 , 4 ) . Há llense, si es posible, las imágenes de á = 3 ü i + 2ü2) 5 = üi - ü 2, 5 = ( - 5 , 0 , - 2 ) y d = ( 1 , 5 , 7 ) . Y si fuese / ( 0 , 0 , 1 ) = ( 0 , 1 , 1 . 0 ) , ¿se podría hallar /(
1 06


1 °)

f { a ) = /(3 t ¿ i + 2 u2) = 3 / ( u i ) + 2 f ( u 2) = 3 •( 1 , - 1 , - 3 , - 2 ) + 2 • ( - 3 , 0 , 2 , 2 ) = ( - 3 , - 3 , - 5 , - 2 ) .

2°) /(i)» /(ü i-Ü 2 )*/(ü i)-/(« 2 )*(l,-l,-3 ,-2 )-(-3 ,0 ,2 ,2 )

(4,-1,-5,-4). y u2:

3o) P a r a hallar / ( c ) hay que exp resar c como com binación lineal de Aj ñj + A2Ü2 = c im plica

A, = - 2 A¿ = 1 P o r tan to, c = —2u\ +

y en consecuencia

f ( c ) = / ( - 2 « t + ü2) = - 2 f ( ü x) + / ( f i 2) = - 2 • ( 1 , - 1 , - 3 , - 2 ) + ( - 3 , 0 , 2 , 2 ) = ( - 5 , 2 , 8 , 6 ). 4o) P a r a hallar / (d) hay que proceder del mismo m odo: 2A, - A2 = 1 Aj + 2 X2 = 5 3A, + 4A 2 = 7 (1) £2

( \

2A, - A2 = 1 5Ai = 7

I 11A,

=11

£2 + 2 £ i , £3 -► £3 + 4 £ i .

E s te sistem a no tiene solución, lo cual significa que d 110 es com binación lineal de ñj y t¡2 , y por ta n to , sólo con esos d atos no es posible hallar f ( d ) . Con las im ágenes de ü j y ñ 2 m ediante una aplicación lineal, se puede hallar la im agen de cualquier vector ñ de la form a ü = Ai üi + X2ü 2y y a que f ( ü ) = / ( Aiñi + A2ñ 2) = + A2 / ( Ü 2 )i poro sólo de ósos. P o r últim o, si f ( ü 3 ) = ( 0 , 1 , 1 , 0 ) , con C3 = ( 0 , 0 , 1 ) , entonces so exp resa d com o com binación lineal de ñ\, u2 y U3 y se tiene 2Ai -

Ai ( 2 , 1 , 3 ) + A2 ( —1 , 2 , 4 ) + Aa ( 0 , 0 , 1 ) = ( 1 , 5 , 7 ) ^

A2

= 1

Aj + 2A2

= 5

3Aj + 4A 2 +

A3

= 7

1 0 7

E

j e r c ic io s

R

esu elto s

d e

F

u n d a m en to s

M

a tk m

At i c o

s

( 2A ,-A 2 = 1 ^

j

5A ,

= 7

11A1 + A 3 = 11

a2= ! J

A, = |

[ A3 = - f

(1) £2 -► £ 2 + 2¿?i, ¿?3 -4 £ 3 4- AE\ . Luego

/(<*) = / ( I « i + | « a -

f

« 3 ) = É / ( « i ) + jj/(«a) - f / ( « a )

= |( 1, - 1 , - 3 , - 2 ) + | ( - 3 , 0 , 2 , 2 ) - f ( 0 , 1 . 1 , 0 ) = ( - 4 , = ® - 5 , | ) . R ealm ente, ah o ra { ü , , ü2, Ü3 } es una base de M3 y com o cualquier vector ü d e R 3 es com binación lineal de ü j, ü 2 , 2 3 , se tiene 2 = Aj üj + A2ü 2 + A3 Ü3 y w puede hallar su imagen (véase 3 .3 (3 )): / ( A , ñ , + A2 ü 2 + A3 C3 ) = A , / ( ü i ) + A2/ ( ü 2) + A3 / ( Ü 3 ). E j e r c i c i o 3 . 4 . Sea A € A / 2 x 2 una m atriz fija y / : A/3 X2 ►A/3 X 2 la- aplicación definida por f ( X ) = X A , X € AÍ3 x 2 « Pruébese que / es lineal. S o lu c ió n . Utilizarem os la caracterización 3.2 y las propiedades del producto de m atrices (véase 1. 17). E n prim er lugar observemos que / está bien definida ya que X es de dimensión 3 x 2 y .4 de dimensión 2 x 2 , con lo que el producto X A se puede hacer y es de dimensión 3 x 2 . Sean X , Y € A/3 X 2 y A, /i € K. Entonces

j ( X X + f i Y ) (= ' (XX + ( l Y ) A ® (A X )A + ( fiY ) A ® A (JfA ) + f i( Y A ) = *f(X )+ iif(Y ), (1) Por definición de / . (2) Distributiva por la derecha. (3) Los escalares salen fuera. lo cual prueba que / es lineal. E j e r c i c i o 3 . 5 . Estúdiese si las siguientes aplicaciones del espacio vectorial E =

V[x\ de los polinomios on x en sí mismo son aplicaciones lineales: (a ) Sea a { x ) € P [.r] un polinomio fijo y f { p { x ) ) = a(x )p(x). (ó) f ( p ( x ) ) = p(:r + 2 ), es decir, / asigna a cad a polinomio /?(*) el polinomio que resulta de sustituir x por x + 2. (c) f ( p ( x ) ) = p(x)p(x). S o lu c ió n , (a ) E s ta aplicación sí es lineal. En efecto, sean p ( x ) y q(x) dos polino-

108


inios genéricos y A,/i € R , entonces

f {X p (x ) + p q { x ) ) = a (x )(A p (x ) + p q { x ) ) = A a (x )p (x ) + / / a ( x ) g ( x ) = X f{p{x))+ /,f{q{x)). (b) P a ra entender bien esta aplicación, hallemos la im agen de un polinomio concreto, por ejemplo, de p ( x ) = 4 — 5 x + 3 x 2. Entonces f ( p ( x ) ) = 4 - 5 (x + 2 ) + 3 (x + 2 ) 2 = 4 - 5 x - 1 0 + 3 ( x 2 + 4 x + 4 ) = 6 + 7 x + 3 x 2. A h ora es claro que si p ( x ) y q(x) son dos polinomios cualesquiera y A € R , entonces / ( p ( x ) + q{x)) = p { x + 2 ) + q(x + 2 ) =

+ f{ q { x ) ) y f{Xp{x)) =

Ap ( x + 2 ) = A / ( p ( x ) ) , lo que prueba que / es lineal. (c ) E s ta aplicación no es lineal. P a r a com probarlo es suficiente elegir, por ejemplo, p (x ) = 1 + x y g (x ) = x , entonces

f { p { x ) + q(x)) = f { l + x + x ) = f { l + 2x) = (1 + 2 z ) ( l + 2 z ) = 1 + 4 x + 4 x 2, m ientras que

f { p ( x ) ) + f ( q ( x ) ) = (1 + x ) ( l + x ) + x x = 1 + 2x + x 2 + x 2 = 1 + 2x + 2x 2 , que es un polinomio distinto del anterior.

2.2.

A p lic a c io n e s lin e a le s y m a t r i c e s

E j e r c i c i o 3 . 6 . Se considera la aplicación lineal / : R 3

R 2 definida por

f { x , y , z ) = ( x - 3 y - z , 2 x + y - 4 z ). ( a ) Hállese la m atriz do / en las bases canónicas.

(b) Hállese / ( 3 , —1 , 1 ) usando la expresión de / y m ediante cálculo m atricial. S o lu c ió n . L as bases canónicas de R 3 y R 2 son, respectivam ente, { ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) } y { ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) } . L as coordenadas do ua vector en la base can ón ica coin ciden con sus com ponentes. P a r a h allar la m atriz de / hay que hallar las imágenes de los vectores de la base canónica de R 3 y expresarlos en la base canónica de R 2,

1 0 9

E

R

je r c ic io s

e s u e l t o s

F

d e

M

u n d a m e n t o s

a t k m

At

ic o s

sus coordenadas son las colum nas de la m atriz de / (véase 3 .5 ), / ( 1 j0 , 0 ) = (1 ,2 ) /(0,1,0) = (-3,1) / ( 0 , 0,1) = ( - 1 , - 4 ) . P o r tan to, la m atriz de / en las bases canónicas es

( 6 ) Usando la expresión de / , / ( 3 , - 1 , 1 ) = (3 + 3 - 1 , 2 •3 - 1 - 4 ) = ( 5, 1) . M ediante c álculo m atricial (véase 3. 6), las coordenadas de / ( 3 , - 1 , 1 ) en la base canónica de R 2 son

E j e r c i c i o 3 . 7 . Determ ínense bases y la dimensión del subespacio im agen do / , Im / , y del núcleo, ker / , p ara la aplicación lineal / : R 3 f

(

x

i , x 2)xz)

=

(-xj

+

2 x

2

R 3 d ad a por

- 2 x 3 , 2 x ! + x 2 - 3 x 3 , 3 x j - x 2 - x¿).

S o lu c ió n . Sabem os que si { é j = ( 1 , 0 , 0 ) , é 2 = ( 0 , 1 , 0 ) , é3 = ( 0 , 0 , 1 ) } es la base canónica de R 3, entonces s\i im agen es un sistem a generador de Im / (véase 3 .3 (6 )), luego / ( é i ) = ( - 1 , 2 , 3 ) , / ( e 2) = ( 2 , l , - l ) , / ( é 3) = ( - 2 , - 3 , - l ) son generadores de I m / . Se escriben estos vectores com o colum nas y se obtiene la m atriz A, que es la m atriz asociad a a / en las bases canónicas, y se llalla su rango, que coincide con la dimensión de I m / :

/_ 1 .4=

2 \ 3

2 - 2\ 1 -3 -1 -1/

-►

/-I

2

- 2\

/-I

2

- 2\

0 \ 0

5 5

-7 -► 0 -7 / \ 0

5 0

-7 . 0 /

P o r tanto cl rango es 2, la dimensión de I m / es 2 y una base e sta ría form ada, por ejemplo, p o r las dos prim eras colum nas de la m atriz .4 ya que son linealmente independientes.

110


El núcleo de / son los vectores 2 = ( 2 1 , 2 2 . 2 3 ) tales que / ( 2 ) = ( 0 , 0 , 0 ) , es decir, las soluciones del sistem a homogéneo

Í

- x i + 2 2 2 - 223 = 0

2 2 i + 2 2 - 32 3 = 0 32j - 22 - 23 = 0

L a m atriz de los coeficientes de este sistem a es ju stam en te la m atriz anterior A y la am pliada se obtiene añadiendo una colum na de ceros. P o r ta n to , cuando la hem os llevado anteriorm ente a la form a escalonada, hem os resuelto el sistem a por el m étodo de G auss reducido y hem os obtenido

í - 2 |+ 2 2 2 - 2 2 3 = 0 \

5X2 “ 723 = 0

2 ! = 2 ' I x z - 223 = ¡S2 3 \ 2 2 = ^23

_ f

P o r consiguiente, el núcleo e s tá form ado por todos los vectores de la forma (3 1 , 2: 2 , 3 3 ) = ( 5 3 3 , £ 3 3 , 3 3 ) = 3 3 ( 5 , 5 , 1 ) , y, en consecuencia, u n a base del núcleo os el vector ( 5 , 5 , 1 ) y su dimensión os 1 . NOTA. Según se h a com probado al resolver esto ejercicio, la dimensión del espacio im agen, Im / , es igual al rango (r ) de la m atriz A de / y la dimensión del núcleo, puesto (pie la m atriz de los coeficientes del sistem a homogéneo es A, es igual al núm ero incógnitas libres, (pie es igual al núm ero de incógnitas menos el rango, n — r . E s te es un resultado im portante que

se llam a teorema de la

dimensión y dice así: Si f : E —» V es una aplicación lineal entre espacios dimensión finita, entonces

de

d i m ( £ ) = d i m ( I m / ) + di m( ker / ) .

E j e r c i c i o 3 . 8 . Sea / : K 2 —►R 3 la aplicación lineal cu y a m atriz en las bases canónicas es

(а ) Calcúlese / ( 3 , 1 ) . ( б ) Hálleuse las ecuaciones de / . (c ) Hállese la antiim agen de w = ( 0 , 1 , —2 ), que se denota por / - 1 (w ) y es el conjunto de los vectores 2 € K 2 cu y a im agen es w, es decir, f ( x ) = w.

111

E jercicios R esueltos de F undamentos MatkmAticos

S o lu c ió n , (o ) Se u.sa 3 .6 y se obtiene

[/<3' i ) k = ( )

í) ©

= 0

■

P o r tan to, / ( 3 , 1) = ( 5 , 1 , 1 ) . (6 )

Se aplica o tra vez 3 .6 a un vecto r arbitrario ( x i , x 2) y se obtienen las

ecuaciones en la form a ( t q , y i ,y z ) = / ( x i , x 2): t/A

y2 ll' J

2\

/ I =

-1 4 \ 0

1/

/ x j + 2x 2

,

,

( '

M=

( Vi = x i + 2 x 2 - x , + 4 x 2 \ *> { y2 = - s i + 4 x 2 \ x2 ) \ ys = x 2 \

( c) E n el sistem a anterior, h ay que hallar ( x j , x 2) siendo {y\^y2 ^yz) = ( 0 , 1 , —2), x j + 2x 2 =

0

xi 1 4x2 —

1

x j + 2x 2 = 0 xj = 9

x2 = -2

x2 = -2

com o estos dos valores 110 verifican la I a ecuación, el sistem a es incom patible, no tiene solución, por tan to , / “ *( 0 , 1 , —2 ) = 0 . E j e r c i c i o 3 . 9 . D ad a la aplicación lineal / : K 4 —» K 4 tal que e-, = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) - > ( 2 , - 1 , - 1 , 0 ) é2 = ( 0 , 1 , 0 , 0 ) - > ( - 1 , 1 , 0 , - 1 ) e3 = ( 0 , 0 , 1 , 0 ) - 4 ( 1 , 0 , 1 , - 1 ) «4 = ( 0 , 0 , 0 , 1 ) - ^ ( 0 , - 1 , - 1 , 2 ) ( a) Hállese la im agen del vector v = ( 2 , 5 , 6 .7). ( b ) Hállese la antiim agen de los vectores w i = (0, —2 , —4 , 4 ) y W2 = ( 1 , 0 , 0 , 1 ) . (c ) ¿Perten ece ü = (1, 2, 3 , 4 ) al núcleo de / ? S o lu c ió n , (a ) Com o { e i , e 2 , e 3 , 64 } es la base canónica de R 4 , se tiene que la m atriz de / , que es un endomorfismo, en la base canónica es

f 2

-1 -1

1 12

-1 1 0 -1

i

0 1 -1

0 \ -1 -1


P o r tan to, aplicando el resultado 3.6 se tiene que / 2

-1 - 1 1 [/(« )]« . = - 1 0 \0 - 1 -

\ 1 (2\ 0 - 1 5 1 - 1 6 1 / {V

(

-4 -3

\

y en consecuencia f ( v ) = (5, - 4 , - 3 , 3 ) . (6)

L a antiim agen de un v e c t o r a = (a , 6, c, d) , / - 1 (ü>), e s tá form ada p o r todos

los vectores x = (2 1 , 3 2 , 3 3 , 3 4 ) € K 4 tales que f ( x ) = w. U tilizando la expresión m atricial p ara obtener el vecto r im agen (véase 3 .6 ) se tiene / 2

-1 -1 1 - 1 0 \ 0 - 1 -

1 0 ' 0 -1 1 - 1 1 2 /

2x\ - 2 2 + 2 3

fa\ b c \d)

X2 X3 \x * /

= a

—2 i + 2 2 —

2

1

- 24 = b +

2

3

—

2

4

=

C

- 2 2 - 2 3 + 224 = d

L a m atriz de los coeficientes de este sistem a es la m atriz de / . Se resuelve este sistem a por el m étodo de G auss reducido, pero intercam biam os de orden las dos prim eras ecuaciones /-I

2 -1

V0

1 -1 0 -1

0 1 1 -1

-1 0 -1 2 /-i

0 0 \0

/_ 1 b\ a (i)v 0 —y c ( d)

1 1 0 0

0 1 2 0

-1 -2 -2 0

1 1 -1 -1

0 1 1 -1 b

-1 -2 0 2

b

\

a + 26 c- 6 d

/

^

c + 26 a+ 6+ c a + 2b + d)

(3 .8 )

( 1 ) £ 2 -> Bi + 2E u £ 3 -> £ 3 + £*1 . (2) £ 3 -> £ 3 + £ 2 , £ 4 -> £ 4 + £ 2 . L a últim a ecuación 0 = a + 2é + d es una condición necesaria y suficiente p ara que el sistem a ten ga solución, y a que si se verifica, se pueden hallar las incógnitas

2 j , 2 2 , 2 3 , 2 4 y una de estas dos últim as es libre. P o r ta n to sólo tienen an ti imagen los vectores (a , 6 , c, d) que verifican la ecuación a + 26 + d = 0

(3 .9 )

(é sta es realm ente la ecuación, cn las variables (a, b, c , d), dei subcspacio im agen, del cual son generadores las 4 colum nas de la m atriz .4 ). A h ora se p articu lariza p ara los vectores

y H 2 del enunciado.

1 1 3

E

j e r c ic io s

R

esu elto s

d e

F

u n d a m en to s

M

a tk m

At i c o

s

• V ector iüi = (0, - 2 , - 4 , 4 ) , Se sustituye en (3 .9 ) y resu lta 0 + 2 ( - 2 ) + 4 = 0, por tan to sí hay solución. Sustituyendo en (3.8), el sistem a a resolver sería

-2 4 = -2 2 2 + 2 3 - 224 = - 4 223 - 224 = - 6

- X \ + X

2

1 + 24) - 24 + 2 = 1 —► < 2 2 = - 4 - ( - 3 + 2 4 ) + 224 = - 1 + 2 4 (

X\ =

(—

\ 2 3 = - 3 + 24

Luego / - 1 (w 1 ) son todos los vectores de la forma ( 2 2 , 2 2 , 2 3 , 2 4 ) = (1, - l + 2 4 , - 3 + 2 4 , 2 4) = (1, - 1 , - 3 , 0 ) + 2 4 ( 0 , 1 , 1 , 1 ) = (1, - 1 , - 3 , 0 ) + A ( 0 , 1 , 1 , 1 ) .

• V ector W2 = ( 1 , 0 , 0 , 1 ) . Se sustituye en (3 .9 ) y resulta 1 + 2 0 + 1 = 2, como

110 se verifica la ecuación, el sistem a (3 .8 ) no tiene solución y en consecuencia NOTA. E n el resultado obtenido p a ra el vecto r w\ es fácil com probar que el vecto r ( 0 , 1 , 1 , 1 ) es una base del núcleo y que / ( l , —1, —3 , 0 ) = uq. E n general, p ara una aplicación lineal / se ticno que f ~ * { w ) = ñ + ker / , donde a os un vector que cumple f { á ) = xv. (c )

B a s ta hallar la im agen de u com o en el ap artad o (o ) y se obtiene f ( ü ) =

(3, - 3 , - 2 , 3 ) , com o no es 0, ü no es un elemento del núcleo. E j e r c i c i o 3 . 1 0 . L a m atriz de la aplicación lineal /

: R 3 —> R 3 en la base

canónica es /I

01

.4=12

20

\0

k1

donde k es un número real. (a ) P a ra k = 0, determ ínense los vectores 2 € K 3 tales que f ( x ) = x. (ó) Determ ínese k si / ( —1 , 1 , 1 ) = 0. (c ) Hállese k si / ( 3 , 1 , —1) está en el subespacio U de ecuaciones 2 + z = 0, - y + 2 = 0, S o lu c ió n , (o ) Si el vecto r 2 es ( 2 , y, z), hay que resolver la ecuación


( \

Z =

0

y

-

=

2

x

P o r tan to, los vectores x que cumplen f ( x ) = x ¡con A: = 0) son todos los vectores de la forma

( * lIÍI* ) = ( * I - 2 ® , 0 ) = * ( l I - 2 , 0 ) = A ( l I - 2 , 0 ) . Form an un subcspacio de diincnsión 1, de base (1, —2, 0).

(b) Se h alla la im agen de ( —1 , 1 , 1 ) m ediante la expresión m atricial (véase y se obtiene ( 0 , 0 k + 1 ), y se iguala al vecto r cero, es decir ( 0 , 0 k + 1 ) = ( 0 , 0 , 0 ) y se deduce que k + 1 = 0 , por tan to , k = - 1 . ,

,

(c) A hora se tiene / ( 3 , 1 , - 1 ) = ( 2 , 8 , k - 1), y este vecto r lia de verificar las dos ecuaciones del subcspacio. Se sustituye y resulta:

2 + fc \ -8 + í

1 = 0 1= 0

^

í k = - 1 \ k = 9

P o r tan to, no hay solución. No hay ningún valor de k p ara el cual / ( 3 , 1, - 1 ) esté en el subcspacio U. E j e r c i c i o 3 . 1 1 . P a r a una aplicación lineal / : R 3 -► R 3 se tiene (0,1,0)->(0,2,3) (1 , 0 , 0 ) - > ( 1 , 2 , 0) HAlíese el transform ado (im agen) de ( 3 , 2 , 1 ) sabiendo que el vecto r ( 1 , 1 , 1 ) está en el núcleo. S o lu c ió n . Sea t\ = ( 1 , 0 , 0 ) , I 2 = ( 0 , 1 , 0 ) y 63 = ( 0 , 0 , 1 ) la base can ón ica de R 3 y supongamos que } { t z ) = (a , 6 , c) . Entonces la m atriz de / en la base canónica es

C om o ( 1 , 1 , 1 ) está en el núcleo, se tiene / ( 1 , 1 , 1 ) = ( 0 , 0 , 0 ) y por tanto

1+2 = 0 4 + 6 = 0 3+ c = 0

1 1 5

3.6)

E

j e r c ic io s

R

esu elto s

d e

F

u n d a m en to s

M

a tk m

At i c o

s

E n consecuencia,

[/((3,2,l)]g i=

/I

0

-1 \

/3 '

2 \0

2 3

-4 -3/

2] = \1

O tra form a de resolver la prim era p arte de este ejercicio sería la siguiente. Sea

ü = ( 1 . 1 , 1 ) = éi + 6 2 + 6 3 . Com o f ( ü ) = 0 se sigue que / ( é i ) + / ( é 2) + / ( é 3) = 0 . Despejando de e s ta ecuación, / ( é 3) = - / ( é , ) - / ( é 2) = - ( 1 , 2 , 0 ) - ( 0 , 2 , 3 ) = ( - 1 , - 4 , - 3 ) . E j e r c i c i o 3 . 1 2 . Se consideran las aplicaciones lineales / , g : R 3

R 2 cuyas

m atrices en las bases canónicas, respectivam ente, son

(а ) Hállese la m atriz do las aplicaciones 4 / y 3 / — 2 g. ( б ) O bténgase la m atriz de / - g de dos formas: I o) simplificando la expresión

f ( x ) - g (x) y a p artir de ella la m atriz y 2o) usando el resultado 3.8. S o lu c ió n , (o ) Se sigue del resultado 3 .8 : A f(4/)=4A f(/)=4( - 1

°2

A / ( 3 / - 2g) = 3 A / ( / ) ~ 2 A / ( s ) = 3 = i -7

-4

\U

4

_32) = ( - /

°

7 \ - 6/ *

(b) I o) (/

116

2 , 2 3 ) = f { x \ , x 2 , ^ 3 ) - g { x u * 2 iX3 )

l

“ ).

_32 ) " 2 ( _ 24

\ J)


De aquí, se hallan las im ágenes de los vectores de la base can ón ica y se obtiene la m atriz de / - g:

(-3

-2

U

2 \

1

-V'

2o) Aplicr.ndo el resultado 3 .8 se tiene: »/(/ - » ; = « ( / ) - « (» ) = ( - 1

°

32) - ( 24

1

;)

= ( - 3

- 2

22)

que coincide, lógicam ente, con la anterior. E j e r c i c i o 3 . 1 3 . Se consideran las aplicaciones lineales / : R 3 —» R 2 y g : R * cuyas m atrices en las bases canónicas, respectivam ente, son

A =

v

B =

(ü ) Hállese (g o / ) ( —1 , 2 , 1 ) . ¿Se puede com poner / o g ?, ¿ y / o / ? ( 6 ) Determ ínense las m atrices de g o f y f o g en las bases canónicas. (c ) O bténganse las ecuaciones de / , g y f o g . Obténganse tam bién las ocuaciones de e s ta últim a haciendo la composición. S o lu c ió n , (a ) Se ap lica la definición de com posición y la fórm ula m atricial p ara el cálculo de la imagen:

(g o / ) ( —! , 2 , 1 ) = f l [ / ( —1 , 2 , 1 ) ] = B [ ¿ ( - 1 , 2 , 1)‘

L a aplicación com p u esta f o g e s tá bien definida porque el espacio final de g, que es R 3, coincide con el espacio inicial de / . En cam bio / o / no está definida, no se puede com poner / con / porque el espacio de llegada de / no coincide con el espacio de p artid a. Sólo se puede com poner una aplicación lineal con olla m ism a si es un endomorfismo. ( 6 ) Se aplica 3 .9 y so sigue que las m atrices da g o f y f o g son, respectivam ente,

M ( í o / ) = M(s ) M ( / ) = Í o ^

- 2j

(

3

1

0 - 2

-1' 2

3 - 3 = I 0 -3

3

4

-4

-3

3

117

E

j e r c ic io s

R

esu elto s

d e

F

M

u n d a m en to s

atkm

At i c o

s

Las ecuaciones de f , 9 y f o g son las siguientes.

( c)

De/:

yi\ _ ,y2)

1 lo

I M 2 ) (!*/

-2

. / !/i = 3 a :i + a : 2 - 3:3 I V2 = -

2

x

2

+

2

x

3

De g: y' \ P2

=

y j

( 1 0

-2

l - l

1

y i = X ! + 2x2

2

j/2 = - 2x2 t/3 = -x -¡ + x 2

De f o g\

yx = 4 Xi + 3^2 y2 = —2 x i + 6x 2

(3.10 )

Haciendo la composición

(f

°9)(Xl>X2) = =

f ( g ( x 1, X 2 ) )

(3(xi + 2x 2) +

=

(3xj + 6 x 2 -

=

(4x, + 3 x 2, - 2

( - 2

= x

/ ( x i + 2 x 2, - 2 x 2, - X j + X2)

2) -

2x2 + xj x j

+

(1) Usando las fonaciones de

( - x j + x 2), - 2 ( - 2 x 2, 4x 2 -

x

2) + 2 ( - x j + x 2))

2 x j + 2 x 2)

6 x 2),

g.

(2) Usando las ecuaciones de / .

q u e coincide co n la exp resión (3 .1 0 ), o b te n id a a n te rio rm e n te u tilizan d o la m a triz d e / o g.

1 18


2.3.

M a tr iz d e u n a a p l ic a c ió n lin e a l a l c a m b ia r la b a s e

E j e r c i c i o 3 . 1 4 . Sea / : M3 - » R 2 la aplicación lineal que en las bases canónicas { ¿ j , c 2, } de R 3 y {ü-j, « 2 } de R 2 tiene la m atriz

-

G

V

-

1 ,

)

-

Se considera en R 3 la base f e f e f e } definida por

v\ = l 2 + 6 3 ,

+ 63,

v2 =

1)3 = 6 ! + l 2.

¿C u ál es la nueva m atriz de / ? (E n R 2 se conserva la base { Qi , U2 }). S o lu ció n » P a r a clarificar ideas, en la resolución de este ejercicio y el siguiente 110 se u sará 3.11, sólo la definición de m atriz de una aplicación lineal respecto de dos bases (véase 3 .5 ). Hay que hallar / f e ) » / f e ) y / f e ) y expresarlos en la base f e } . Como .4 = se tiene m

w

=

if\ k iz h

=

M

¿ h

(véase 3 .6 ). E n p articu lar, aplicada e s ta fórm ula a x = ib , v2, V3 resulta

[ /« * ,= (3

[ / f e ) ] .,

=

( 3

- 2‘

2‘

- 3)

_ 3j )

Luego, la m atriz de / en las bases

i;jt4‘

= ( - 0

0

( J

]

=

( g J

= . / (c3) =

«1 +

5 Ü2

} y f e } es

l-l

0

5,

119

E

R

j e r c ic io s

esu elto s

d e

F

u n d a m en to s

M

a tk m

At i c o

s

E j e r c i c i o 3 .1 5 . Siguiendo con ei ejercicio anterior. (а ) Se elige ah o ra en R 2 la base { ^ 1 , ^ 2 } tal que ñq = üj + 2 ü 2,

w2 = 3üj + 5 ü 2.

(3. 11)

¿C u ál es la m atriz de / en las bases { é j y { $ * } ? (б) ¿CuÁl es la m atriz de / en las bases {ú¿} y S o lu c ió n , (o ) P o r definición de m atriz de / en las bases { e * } y {u * } (la m atriz .4) se tiene / ( é l ) = 2üi + 3ñ2 ,

/ ( é 2) = - ü i + 2ü 2,

/ ( é 3) = üi ~ 3ü2 ,

(3. 12)

Hay que exp resar estos 3 vectores com o com binación lineal de üq y w2. Se despeja de (3. 11) los vectores ü\,Ü2 en función de tDi y W2 '.

{

üi + 2t¿2 = tZq

3ü l + 5Ü2 = W2

u\ ü2

{

í

( üj = Wj — 2ü2 1 Ü2 = 3üq — W2

üi + 2ü2 = tZq

1 —Ü2 = —3lZ>i +W 2

= uq — 2(3uq — w2)

= 3wi - w2

( u\ = —5t¿q + 2w2 \ ü2 = 3tZq- w2

(3. 13)

Se sustituyen estos vectores en (3. 12) y se obtiene / ( é i ) = 2 ( —5tDi + 2 ^ 2 ) + 3(3tDi - 1D2 ) = - m

+ Ü2 ,

/ ( é 2) = —(—5^1 + 2w2) + 2(3üq — w2) = lltDi — 4w2, / ( é 3) = (—5 í23i + 2 íZ>2) — 3(3ñq — ñ>2) = —14 í23i + 5 íZ>2 . P o r tan to, por definición, la m atriz de / en las bases {é * } y { # * } es

H * -

(b)

( Y

-4

■

A h ora hay que hallar f ( v 1) , f ( v 2) y f ( v 2) y expresarlos en la base {t23,}.

Los tres vectores f ( v 1 ), f { v 2)>f(v$) están calculados en el ejercicio anterior (en la base { i b } ) , y p a ra determ inar sus coordenadas en la base {te *} usam os ( 3. 13) y resulta

} { v 1) = - ü 2 = —(3tDi - w 2) = -3t& ! + w2, f ( v 2) = 3ü i = 3 ( —5tDi + 2ñ>2) = —15tDi+ 6ü)2, /(D 3) = ü i + 5i¿2 = ( —5iZq + 2w2) + 5(3tDi — w 2) = lOtDi — 3w2>

1 20

A P L IC A C IO N E S LIN EA LES

E n consecuencia, por definición, la m atriz de / en las bases {0 * } y { ñ ;,} es

/_ 3 !

\J\m

E je rc ic io

-1 5 6

10\ _3 J •

Resuélvanse los dos ejercicios anteriores usando cálculo m atri

cial. S o lu c ió n . Aplicarem os lo expuesto en 3. 11 en nada uno de los apartad os. (E jercicio 3. 14) L a m atriz del cam bio de base desde { e * } h a sta {0 * } es P '{) 1 1\ 1 1

ü 1

1 . P o r tan to , la m atriz de / en las bases { 0 * } y { ú* } es 0/

(E jercicio 3 . 1 5 a ) L a m atriz del cam bio de base desde { u , } h a sta {i ü ,} es Q

2

g J • P o r consiguiente, la m atriz de / en las bases { é t } y

« " M

í

- .

3

í

- M

í

í

es

f

(E jercicio 3. 156) Teniendo en cu en la lo anterior y 3. 11, la m atriz de / en las bases {0 * ) y {ü>*} es

Q -'A P = Q - > ( A P ) = ( - ¡

V ) ^

J J)

= ( - 3

- 61 5

% ).

Nótese que los resultados coinciden con los obtenidos en los dos ejercicios anteriores.

121

E

j e r c ic io s

R

esu elto s

d e

F

u n d a m en to s

M

a tk m

At i c o

s

E j e r c i c i o 3 . 1 7 . U na aplicación lineal / de un espacio vectorial de dimensión 2 en sí mismo tiene por m atriz en la base { é j , é2)

*

-

(

:

5

!

■

)

Determ ínese, sin y con cálculo m&t ricial, la m atriz de / en la base {úi< ^2 } que

vi = éi - é2,

v2 = é i + 3 é 2.

S o lu c ió n , ( a ) Sin cálculo m atricial. P o r definición de m atriz de un endomorfismo

} { h ) = - 3 é , - 2é2 .

/ ( é i ) = 2éi + 3 ? 2j

A h ora se hallan / ( d i ) y so expresan en la base {ú¿}* P o r definición do

los vi y

aplicando la lincalidad

f { v i ) = / ( é i - é2) = / ( é i ) - / ( é 2) = (2éi + 3 é 2) - ( - 3 é i - 2é2) f ( h ) = / ( e » + ¿ 2 ) = / ( e » ) + 3 / ( g a) = (2éj + 3éa) + 3 ( - 3 é j - 2 é a) ( 3 '14) = - 7 c j - 3 é 2. Hay que expresar estos dos vectores com o com binación lineal de V\ y v2. Prim ero se obtienen éi y é2 en función de v\ y v 2:

í

éi — é2 = v\ 1 éi+3é2 = ü 2

( 1^ í éi - é2 = vi (2) í 4 é i = 3üi + v2 1 4é2 = - ü i + ü 2 1 4é2 = - ü i + ü 2 éi = \v 1 + \V2

*2 =

+ 4 C2

(1) E 2 -> E 2 - E \. (2) E l -> 4 E i 4- E 2. Se sustituyen estos dos vectores en (3. 14) y resulta / ( ü 1 ) = 5 ( 3 ÜI + 3 S2 ) + 5 ( ^ * 0 , + \v2) = ^ 0 , + ^ 02 /(© 2 ) = - 7 ( j 0 1 + J 0 2 ) - 3 (^ Í0 1 + ± 0 2) = = ^ 0 1 - ^ 0 2 . P o r tan to, la m atriz de / en la base { ú*} es

[/k = i l

2

1 22

i

2

(3. 15)


(6 )

Con cálculo m atricial. L a m atriz del cam bio de base desde {£ * } h asta

es P = ^ ^

. Según el resultado 3. 12, la m atriz de la aplicación lineal en la

nueva base {S *} es

-i1) C S : ’ ) ( - !

í)-U ?

=¡ )

E j e r c i c i o 3 . 1 8 . S c a / : R 3 - » R 3 la aplicación lineal determ inada por ( 1 , 0 , 1 ) —►tDi = ( 1 , 1 , 1 ) ( 0 , 1 , 1 ) - >t D2 = ( 1 , 2 , 1 ) ( 0 , 0 , 1 ) - X B 3 = ( 2 , 3 , 2) (а ) Obténgase la m atriz de / en la base canónica. ( б ) Com o tZ>3 = tZ>i + ^ 2 , a p artir de aquí, utilizando la linoalidad, determ ínese un vector que esté en el núcleo. S o lu c ió n , (a ) Sea { £ 1 , 6 2 , 6 3 } la base can ón ica de R 3 . Los vectores gj =

(1,0,1) =

éi +

63 ,

(0,1,1) =

é'2 =

£3

c3,

i 2 -

=

(0,0,1) =

é3

(3.10)

form an una base de R 3 ya que la m atriz form ada con ellos es de rango 3. Por tan to , según cl enunciado del ejercicio, se tiene que la m atriz de / en las bases {e'}y{sjes

A

=

[

/

1

* ‘

=

(

l

I

Í

)

‘

E n e s ta ocasión, en vez de un cam bio de base en el espacio inicial, vam os a seguir el siguiente esquema r

3

{é ,}

K3

B

{ 5 '}

_/_►

K3

.4

{Si}

Com o / = / o /rf, aplicando la fórm ula (3. 2), se sigue que

LflS = [/o " ] í: = [/]5["]5123

E

j e r c ic io s

R

esu elto s

d e

F

M

undam entos

atkm

At i c o s

L a m atriz B = [/
+ é3 =

t\

f

éi =

t\ -

é 2 + é3 = t'2 -> < é 2 = é'2 - ég

63 = eá

0 1 0 ° V-l -1 V

ti«' _” / I

é3 =► [

4

I é3 = e'3

.

Luego

-1 -1 2\ -2 -1 3 -1 -1 2/

[/& =

•

Com o /( e 'j ) = tüi, / ( e 2) = w 2, / ( e ^ ) = tü3 , tüi + u ’2 - u >3 = 0 y / es lineal, se deduce que / ( é \ + é 2 — 63 ) = 0 , y por tan to , el vector

(b)

e; + 6% - g ^ = ( i , o , i ) + ( 0 , 1 , i ) - ( o , 0 , 1 ) = ( 1 , 1 , 1 ) es un vector del núcleo de / . E j e r c i c i o 3 . 1 9 . O bténgase la m atriz, en la base canón ica, de la aplicación lineal / • h? 2 x 2

A^2 x 2 d ad a por

f(X ) = XB, donde B = ^ ^

^

.

S o lu c ió n . Aunque 110 se pide en el ejercicio, la com probación de la linealidad de / se haría com o en el ejercicio 3.4 . Hay que hallar las im ágenes de la base canón ica, que e s tá form ada p o r las m atrices

!)■ * -(!

!)•

Entornes

f i A 1) = A 1B = ( 1Q ¡ ¡ V - 1

1 24

_24 ) = ( - 1

¡ f ) = - 4 1 + 2A 2 ,


J ( A 2) =

a 2b

-1

=

3

-1 3

0

-1 3

/ ( .4 4 ) = A 4B = ( J

M - 4)

/ 3

-4

1,0

0

/ 0

0'

1 - 4 J - 1U 2

)

2

/O \3

2 )

- 4 )

— 3 .4 j — 4.42,

0 -4

= 3.43 - 4 .4 4

P o r tan to, la m atriz de / en la base canónica es

2

3 -4

0 0

0

0

-1

3

0

2

-4 )

( ~1

^0

0 \ U

E j e r c i c i o 3 . 2 0 . D eterm ínese la m atriz de la aplicación lineal / : P 2 W

P 2W

dada por / ( p ( * ) ) = Ídx'p (x ) = p '(x en la base B = { 1 + *r, 1 — 2 x yx + x 2}. (Aquí ¿

indica derivada respecto a x).

S o lu c ió n . H allarem os la m atriz de / en la base canónica C = { l yx yx 2} y después harem os un cam bio de base. E s claro que las im ágenes de los elem entos de la base son

n » = £ 1 = 0, m

= ¿ x = i

n **) = &

= **.

'0

1

0'

P o r tan to, la m atriz de / en la base canónica es .4 = | 0

0

2 ].

0

0

0,

L a m atriz del cam bio de base desde la base can ón ica C h a sta la base B es 1 1 ()'

E

j e r c ic io s

R

esu elto s

d e

F

undam entos

M

atkm

At i c o s

Fox últim o, aplicando el resultado 3 .1 2 se obtiene la m atriz de / en la base B :

Á = P ~ lAP

2 .4 .

0

1

0

1

1

0

0

0

2

1

-2

1

0

0

0

0

0

1

3

T

T

0

0

0

M a t r i c e s e q u iv a le n te s y m a t r i c e s s e m e ja n te s

E j e r c i c i o 3 .2 1 . Se considera la m atriz A equivalentes a .4 y o tra m ás que sea semejante. S o lu c ió n . De acuerdo con la definición (véase 3 .1 3 ), la m atriz .4 es equivalente a la m atriz B si existen m atrices regulares P y Q talos que B = Q A P . Pero usaremos la caracterización 3 .1 4 : «4 y B son equivalentes si y sólo si tienen el m ismo rango. Tuesto que |A| ^ 0, el rango de A es 2 y por ta n to , cualquier m atriz 2 x 2 de rango 2 es equivalente a A, p o r ejemplo,

No sería equivalente a

porque esta m atriz tiene rango 1.

P a ra hallar una m atriz sem ejante a .4, utilizarem os la definición (véase 3 .1 5 ), según la cual A es sem ejante a AI si existe una m atriz invcrsible P ta l que AI =

P

l A P . A sí, por ejem plo, si se elige com o m atriz P

A' = P - ]A P

es sem ejante a A.

126


E j e r c i c i o 3 . 2 2 . D eterm ínese si las m atrices .4 = ^

^

y B = ^ ^

^

son

semejantes. S o lu c ió n . P a r a determ inar si la m atriz B es semejante a .4 hay que ver si existe una m atriz inversible P tal que B = P ~ ]A P . M ultiplicando a la izquierda por P y se obtiene la condición equivalente

P B = AP, siem pre que P sea inversible. Estudiem os si existe una ta l m atriz P . É s ta será de la form a P = ^

'a

c

b\ ( - 1 d) \ 0

^ , entonces la igualdad P B = A P equivale a

4\

/I

lJ “ U

2' 5

a

d

—a

4 a + 6'

a + 2c

6 + 2d'

—c

4c + d

3 a + 5c

36 + 5 d

Se iguala térm ino a térm ino y se resuelve el sistem a -a

= a + 2c

a

0

4 a + 6 = 6 + 2d —c = 3 a + 5c

0

(i)

ü ->

4c + d = 3 6 + 5 d

0

=0 - 2c - d = 0 c =0 + c

36 - 4 c + 4d = 0

(1) E%^*E2 — 2Ei, E% -> E% — E\. Com o la única solución del sistem a es a = 0, 6 = 0 , c = 0 y d = 0 , se tiene que P = (o

o ) ’ ^ com o 110 cs >n v m ible, w concluye que B no es sem ejante a A.

E j e r c i c i o 3 . 2 3 . Estúdiese si las m atrices A =

2) ^ ^ = (o

2 ) SOn

semejantes. S o lu c ió n . Se procede com o en el ejercicio anterior. Sea P =

a

b

entonces

de la igualdad P B = A P se obtiene * c

b\ ( l l \ - ( l d ¡\ 0 2 J \0

0\ /a 2) le

6\

(a d )**[c

a + 26\ _ / a 6 ' c + 2 d l ~ \2c 2 d

127

I a' j

k r o c ío s

R

u s i j k i .t o s

d io

F

undam entos

M

atkm

At i c o s

Se iguala térm ino a térm ino y se resuelve el sistem a

a = a a + 26 = b c= 2c c + 2d = 2d

b = —a r .

=

f)

a y d libres

P o r tan to , to d as las m atrices P de la form a P =

ad

a ü

—a d

, con a , d €

0 (p a ra que P sea inversible) verifican las condiciones y, en conclusión, A es

sem ejante a B .

2 .5 . V a lo r e s p r o p io s y v e c t o r e s p ro p io s . D ia g o u a liz a c ió u

/ 3 E j e r c i c i o 3 .2 4 . Se considera la m atriz . 4 = 1 —6

0 -4

0 \ -3 .

\ 8 6 5 / ( а) Estudíese si los vectores ü = ( 1 , 1 , - 2 ) y v = (1, - 3 , 5 ) son vectores propios do .4. (б) ¿E s A = 2 un valor propio do .4? (utilícese sólo la definición). ¿ Y A = 1? (c )

¿ P a ra algún valor de k el vecto r ( 0 , 1 , k ) es un vecto r

(d )

¿Se puede deducir de

propio de

.4?

los apartad os anteriores si .4 es diagonalizable?

S o lu c ió n , ( a ) De acuerdo con la definición (véase 3 .1 7 ), un vecto r no nulo ü € M3 os un vector propio de .4 si ,4ñ = Aü p a ra algún núm ero A. Se recu erd a que cuando se utiliza cálculo m atricial y las bases canónicas, los vectores se escriben como vectores colum na. P o r tan to

Com o no existe A tal que (3, - 4 , 4 ) = A ( l , l , - 2 ) , se concluye que u no es un vecto r propio de .4. Se procede del m ismo m odo con v:

1 28


E s claro que Av = (3, - 9 , 1 5 ) = 3• (1, —3 , 5 ) = 3t?, p o r ta n to v es un vecto r propio de A y el valor propio asociado es A = 3. (&) Segúu la definición (véase 3. 17), A es un valor propio si p a ra algún vector w ^ 0 se tiene Aw = Aw. Veamos si existe w = ( z , y , z) que cum pla lo anterior con A = 2. 3 x = 2x AtZ> = 2tD ^

^

x = 0 —6 j — 6y — 3z = 0 8 2 + Qy + 3z = 0

{

- 6 x - Ay - 3z = 2y Sx + 6 í/ + 5z = 2 z

2 = 0

z = -2 y

P o r tan to, todos los vectores w de la form a ( x , y , z ) = ( 0 , t / , - 2 t/) = y ( 0 , 1 , - 2 ) son los vectores propios asociados al valor 2 , y por consiguiente, A = 2 sí es un valor propio. (c )

E l vecto r ( 0 , 1 , k ) es un vector propio de A si . 4 ( 0 , 1 , k ) 1 = A ( 0 , 1 ,fc) p ara

algún número A. Operando

o\

m

1 1 =

/

o

\

/o

0

\k

\ 6 + 5A: /

6 + 5A: = \k

\ AA:

E s te sistem a no os lineal por la presencia del producto

Ak.

0

_ 4 - 3k = A

A { 1 1=> { —4 — 3A; 1 = | A

k)

=

El valor

A

= - 4 - 3k

de la segunda ecuación se sustituye en la tercera, 6+ 5A ; = (—4 —3 * ) * =*► 6+5A ; = —4 * - 3 * 2 =* 3* 2 + 9 * + 6 = ()=*> A;2 + 3 A ; + 2 = 0. E s ta ecuación de grado 2 tiene dos soluciones k = —1 y k = —2. • Si k = - 1 , entonces

A

= —4 - 3 •( - 1 ) = - 1 y el vecto r propio es ( 0 , 1 , - 1 ) ,

• Si k = - 2 , entonces

A

= - 4 - 3 •( - 2 ) = 2 y el vecto r propio es ( 0 , 1 , - 2 ) .

(d )

R ecapitulando, en el ap artad o (a ) se lia obtenido que

= (1, —3 , 5 ) es

un vector propio de valor propio Ai = 3 y cu cl ( c ) (cl resultado de ( 6 ) está contenido en el de ( c ) ) que los vectores Ü2 = (Oí 1 , —1 ) y Ü3 = ( 0 , 1 , —2 ) son vectores propios de valores propios, respectivam ente, A2 = —1 y A3 = 2. Como

129

E

j e r c ic io s

R

esu elto s

d e

F

M

undam entos

atkm

At i c o s

los valores propios son distintos, por el resultado 3 .2 4 , los vectores ü i , Ü 2 ,Ü3 son linealmente independientes, y por ta n to , una base de R 3. P o r el resultado 3.23, puesto que tenem os una base de R 3 form ada por vectores propios de A y se concluye que .4 es diagonalizable y, adem ás, una diagonalización de .4 y la m atriz de paso, respectivam ente, son

n jo \()

0 -1

0\ 0

0

2/

(\ y

P = U 3 \ 5

0 \ 1 ,

0 1 -1

-2/

las cuales cum plen D = P - 1 .4 P . E j e r c i c i o 3 . 2 5 . Determ ínense los valores propios de las siguientes m atrices y está diese si diagonalizan, indicando, en su caso, una diagonalización: -5

S o lu c ió n , (o ) Sabem os que los valores propios de una m atriz .4 son las raíces del polinomio característico (véase 3 .2 0 ). É s te es igual a

pA( t ) = \ A - t I \ =

-5

9'

-3

7,

- 5 - í -3

-t

9 7 - 1

= ( - 5 _ t)(7 — í) + 2 7 = í 2 — 2í — 8 . Se resuelve la ecuación ca ra cte rística t 2 — 2t — 8 = 0 y se obtienen las soluciones

t = —2 y i = 4, que son los valores propios. C om o la m atriz es 2 x 2 y tiene 2 valores propios distintos, se deduce que .4 es diagonalizable (véase 3 .2 7 ) y una m atriz diagonal os

-2 0

0\

4

(b) E l polinomio característico de la segunda m atriz es p B (t) = |B - t i |=

3

2'^

-1

ly

-

1

1 v0

= (3 - ¿)(1 - ¿) + 2 = í 2 - 4í

()' 1

3 - 1 -1

2 1-t

5.

E sto polinomio no tiene raíces (reales) y a que el discrim inante do la ecuación

t2 - 4f + 5 = 0, b2 - 4 a r = ( - 4 ) 2 - 4 1 - 5 =

- 4 , es negativo. P o r tan to , D no

tiene valores propios, y en consecuencia, no es diagonalizable. (c ) El polinomio característico de la te rce ra m atriz es

P c (t) = \ C -t I \ =

1 30

3 - t

1

0 3 - t

= ( 3 - t ) 2 = ( í - 3 ) 2.


E s claro que la única raíz es t = 3 con m ultiplicidad (algebraica) 2. Sólo con esta información no se puede saber si es diagonalizable, se n ecesita la dimensión del subespacio propio E ( 3 ). É s te es el conjunto de to d as las soluciones del sistem a homogéneo (C 1 — 3 1 ) X = 0, donde X = resuelve a continuación

(G

s ) - c . :)) (:k

m

(x^yY (véase 3 .2 1 ). E s te sistem a se

:

?)

m

m

:

k

)

Igualando térm ino a térm ino se obtiene x = 0, y libre. P o r tan to , el espacio propio E ( 3 ) e s tá form ado por todos los vectores de la form a ( 0 , t/) = t/(0, 1). Es pues un espacio de dimensión 1 (m ultiplicidad geom étrica). Com o la multiplicidad algebraica no coincide con la geom étrica, se deduce que C no es diagonalizable (véase 3 .2 6 ). E j e r c i c i o 3 . 2 6 . Propóngase un ejemplo de una m atriz que ten ga el mismo polinomio característico que la m atriz C del ejercicio anterior y que no sea sem ejante a C . S o lu c ió n . C om o queremos que no se a sem ejante a C\ vam os a buscar si hay una m atriz diagonal .4 que ten ga <4 m ismo polinomio característico que C . L a m atriz

A será de la form a A = í q

A -i¡\ =

^ • Su polinomio característico es

a - i

0

0

b —t

= (a - i)(b - t) - 0 = t 2 - (a + b)t + ab.

E l polinomio característico de C es (t — 3 ) 2 = se deduce

- 6 ¿ + 9 . Identificando coeficientes

( a+ b= 6 | ab = 9

Despejando en la prim era ecuación b = 6 — a y sustituyendo en la segunda a (6 —

a ) = 9. De aquí, a 2 - 6 a + 9 = 0, ecuación cuya única solución es a = 3 y por tan to , 6 = 3 . Así pues la m atriz .4 =

3^ = ^

,n *s,no polinomio característico

que C . Sin em bargo no es sem ejante a C. E n efecto, si lo fuera, existiría una m atriz regular P ta l que -i C = P - ' A P = P .~- il 3 I P = 3P ~ l P = 3/ ,

131

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s

M a t k m At i c o s

lo cual es u n a contradicción pues es claro que C ^ 37. También se p o d ría haber argum entado del siguiente m odo: C 110 es sem ejante a .4 porque si lo fuera, C sería diagonalizable y según se h a visto en el ejercicio anterior, C no es diagonalizable. E j e r c i c i o 3 .2 7 . Se considera la m atriz .4 = [ 2 7 llO

-2 8 y

(a ) Pruébese que es diagonalizable y hállense una d iagonal iz ación y una m atriz de paso. ( b ) Utilícense los resultados obtenidos p ara calcu lar .4 5. S o lu c ió n , (o ) El polinomio característico de la m atriz .4 es |.4 - tl\ =

27 - 1

-7 5

10

-2 8 - 1

= (2 7 - ¿)(—2 8 - t) - 7 5 0 = t2 + 1 - 6 .

L as ralees de este polinomio, que son los valores propios de .4, son ¿1 = —3 y

¿2 = 2. P u esto que .4 es 2 x 2 y tiene 2 valores propios distintos, es diagonalizable (véase 3 .2 7 ) y una m atriz diagonal es D = ^ ^

^ •

P a ra obtener una m atriz de paso P desde .4 h a sta D hay que determ inar una base en ca d a uno de los espacios propios. P a ra hallar una baso del espacio propio E ( —3 ) del valor propio —3 hay que resolver el sistem a homogéneo ( . 4 — (—3 ) 7 ) X = 0 , donde X = (2 , y f (véase 3.21). E n general, la m atriz .4 — A7 se obtiene restando A a los elem entos de la diagonal principal de ,4. E n este cano, .4 — ( —3 )7 se halla restando —3, es decir, sum ando 3 , a los elementos de las diagonal de A> y se tiene la ecuación /3 0

U

—75\ f x \

/0 \

í 3 0 x - 7hy = 0

, 0

K

n

f 2 = |a

- 2 5 ) U = ( o ) ^ { 10, - 25y = 0 “^ { 2a: —5¡/ = 0 -►| y = ¿

(nótese que en el prim er sistem a las dos ecuaciones son proporcionales por lo que se suprimo la prim era y la segunda se simplifica dividiendo entre 5 ). P o r tan to, los vectores propios asociados al valor propio —3 son todos los de la form a

(x ,¡/) = ( § R , n ) = n ( | , l ) . U n a base de este espacio propio es ( | , 1 ). P a r a evitar denom inadores, m ultiplica m os por 2 y resulta ( 5 , 2 ) , que tam bién es una base.

1 32


A continuación se halla una base del espacio propio £ ( 2 ) del valor propio 2. P a r a ello hay que resolver el sistem a homogéneo (.4 - 2 ¡ ) X = 0. De aquí /2 5

[ lO

-7 5 \ /x \ /0 \ í 2 5 * - 75u = 0 -3 0 ) y = W - ( l 0 , - 3 0 , = 0

f “ ►{

0

f x = 3r*

A = °

y= n

P o r tan to, el subespacio propio son los vectores de la form a ( x, j / ) = (3cv, cv) = c i ( 3, 1), y u n a base es ( 3 , 1 ) . P o r consiguiente, puesto que las colum nas de la m atriz P son los vectores propios, uno p a ra ca d a valor, siem pre que formen una base de R 2, se tiene

'■ 6 y sabem os que se verifica D = P

9-

%A P (véase 3.23).

(b)

P a ra la m atriz D hallada en el ap artad o anterior, y en general p a ra las m atrices diagonales, es m uy sencillo calcular sus potencias ya que

*

- (-o*

5 ) ( - 0*

£ ) 7 y on general, D " = ^ P a r a hallar

H

. E n particu lar,

.4r> se despeja

i) ■

5) - ( (7

‘7

5).

D: = ^

.

.4 de la igualdad D = P “ 1. 4 P , m ultiplicando a la

izquierda por P y a la d erecha por P ~ l y resu lta .4 = P D P - 1 . Con e s ta expresión ya es sencillo obtener las potencias de .4:

A2 = A ■A = P D P - 1 •P D P - 1 = P D 2P ~ \ A3 = .4 2 •.4 = P D 2P ~ 1 •P D P ' 1 = P D * p - \ Y en general, An = P D nP ~ l . E n particular

? ) ( - r

¿ )(v

_ / —1215

96\ / - I

3 \ _ /1407

“ l -4 8 6

32) { 2

- 5 / ~ ( 55 0

7

-4 1 2 5 \ -1618 J *

133

E je r c ic io s

R esu elto s

F u n d a m en to s

d e


E j e r c i c i o 3 . 2 8 . Estúdiese si la m atriz .4 = ^ ^

es diagonalizable y, en

su caso, encuéntrense u n a diagonalización y una m atriz de paso. S o lu c ió n . El polinomio característico es

\A - 1¡\ =

-3 - 1

6

1

-2 - 1

= (-3 - t)(-2 -

- 6 = ¿2 + 5¿.

Los valores propios de A son las raíces de este polinom io, es decir 11 = 0 y 12 = —5. P u esto que .4 es 2

x2

y tiene 2 valores propios distintos, es diagonalizable (véase

3 .2 7 ) y una m atriz diagonal es D =

.

P a ra obtener una m atriz de paso P desde .4 h a sta D hay que determ inar una base en ca d a uno de los espacios propios. P a ra h allar una base del espacio propio £*(0) del valor propio 0 hay que resolver el sistem a homogéneo (A - 0 •¡ ) X = 0, es decir, A X = 0, o se a la ecuación

P o r tan to, una base del espacio propio E ( 0 ) es ( 2 , 1) . A hora hallam os una base del espacio propio E ( —5 ) del valor propio - 5 . Hay que resolver el sistem a homogéneo (A — ( —5 )/)-A = 0, o sea /2

6\/aA

(1

3J

L

/0\

H

0

M

( 2 z + 6u = 0 z + % = 0

, - { -

0

n

f x = —3 n

+ 3» = »

= „

P o r tan to, una base dol espacio propio E ( - 5 ) es ( - 3 , 1 ) . E n consecuencia, una m atriz de paso desde A h a sta D es P = ^

.

NOTA. E l espacio propio del valor propio 0 coincide con el núcleo de la aplica ción lineal definida por la m atriz A . Y en general, el espacio propio del valor propio A coincide con el núcleo de la aplicación lineal A - A /, esto es, E ( A) = k e r ( A - A/). -3

3

-2 \

E j e r c i c i o 3 . 2 9 . Estúdiese si la m atriz A = | —2

2

—2

es diagonalizable

6 -3 5 / y, en su caso, encuéntrense una diagonalización y una m atriz de paso.

1 34


S o lu c ió n . El polinomio característico es -3 - í

3

-2

-2

2 -t

-2

6

-3

5 - í

,4 - tr\ =

1 t) - 2 6

W

0 2- <

1 -2

-3

5 - t

3- í

0

3 - í

-2

2 - 1

-2

6

-3

5 - t

® (3-í)

1 -2

0 2 - <

0 0

6

-3

- 1 - í

= (3 -i)(2 -i)(-l-i). (1) F] -4 F\ 4- £ 3 . (2) Se saca factor a 3 - í en F j. (3) C 3 -4 C 3 - Ci. (4) Se desarrolla por la fila 1. Los valores propios de A son las raíces de este polinomio, que son ¿1 = 3, t 2 = 2 y Í3 = —1. P u esto que A es 3 x 3 y tiene 3 valores propios distintos, es /3 0 0 \ diagonalizablo (vónnc 3 .2 7 ) y una m atriz diagonal ce D = { 0 2 0 . Vü

0

- 1/

P a r a obtener una m atriz do paso P desde .4 h a sta D hay que determ inar una base en cada uno de los espacios propios. U n a base delespacio propio £*(3) del valorpropio 3 se halla resolviendo la ecuación (.4 — 3 / ) X = 0, o sea la ecuación /-6

3

-2

-1

\ 6

-3

fx \ -2 \ [y = 2 ) \z) -2 \

(i) ( —4 x + 4 y \

f - 6 x + 3y - 2 * = 0

/0 \ 0 \0/

= ¡J

- 2 z - a - 2 z = 0 (

6 * - 3 | / + 2z = 0

=0

Q

- 2 x - t/ - 2 z = 0 '

-

*2

(1) Como £ 3 = - £ 1 , se suprime £ 3 , E\ -4 £ 1 - £ 3 *

(2) Se despojan y, 2 en función dn j ■ o, P o r tan to, una base del espacio propio £ ( 3 ) es ( 1 , 1 , ^ r ) , o bien, m ultiplicando por 2, el vector (2,2, - 3 ) . U n a base del espacio propio £ ( 2 ) del valor propio 2 se halla resolviendo la

135

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


ecuación (.4 - 2 ¡ ) X = 0, es decir /-5

3

- 2 \ fx \

-2

0

-2

\ 6

-3

L

/0 \ =

0

3 ) \z) í

í ^

\0/

-2 x [

- 5 x + 3y - 2 z = Ü

-2 x

{

-5 x + 3 y - 2 z = 0 6 x - 3|/ + 3 z = 0

í x = a

- 2 2 = 0 -4^

x

+ z= 0

-2z = 0

i/ = cv

l z = ~a

( 1 ) £ 3 -» £ 3 + £ i . (2) Como ¿?2 * —2 £ 3 , se suprime £ 2 y se despejan

en función de x « cv,

Por consiguiente, una base del espacio propio £ ( 2 ) es ( 1 , 1 , - 1 ) . Por últim o, hallam os una base del espacio propio £ ( - 1 ) del valor propio - 1 resolviendo la ecuación (.4 - ( - 1 ) / ) X = 0, esto es -2 -2

3 3

6

-3

-2 \ /x \ /0 \ -2 ( y = j 0 \ 6 / \z)

( 1 ) Como E 2 = Eiy se suprime E 2 ,

( - 2 x + 3y - 2z = 0 ¡ - 2 x + 3y - 2z = 0 { 6 z - 3 y + 6z = 0

\0/

£3

-»

£3

+ £ 1.

(2) Se despejan y, z en fundón de x * í*. Por tan to , una baso del espacio propio £ ( - 1 ) es ( 1 , 0 , - 1 ) . E n consecuencia, los vectores de las bases» de los tres espacios propios, vistos com o vectores colum nas, dan lugar a la m atriz de paso desde .4 h a sta D , esto es /2 1 1\ P = (2 1 0 1. E s ta m atriz, según sabem os, cum ple que D = P l A P . \“ 3

-1

-1 /

NOTA. P a r a determ inar el polinomio característico, el cálculo del determ i nante de la m atriz .4 - t i , aunque algo laborioso, pueda hacerse por la R egla de Sarrus y se obtiene

p {t) = _ t * + 4 ¿ 2 _ f _ 6 . P a r a hallar u n a raíz de este polinomio de grado 3, se prueba entre los divisores del térm ino independiente que son ± 1 , ± 2 , ± 3 y ± 6 . R esu lta p ( l )

136

^ 0 y p ( - l ) = 0.


Con u n a raíz y a es suficiente, pues com o es grado 3, al dividirlo entre t + 1, el cociente es de grado 2 y se pueden hallar sus raices por la fórm ula de la ecuación de grado 2. Así pues, se hace la división entre t + 1 por la regla de Ruffini -1

-1 -1

4

-1

-6

1

-5

6

5

-6

0

y resulta

p (t) = - í 3 + 4 f2 - 1 - 6 = (t + l ) ( - í 2 + 51 - 6). L as o tra s raíces y a se obtienen fácilm ente resolviendo la ecuación —¿2 + 5¿ —6 = 0 y son 3 y 2. /-11 8

-8 -8\ E j e r c i c i o 3 .3 0 . Estudíese si la m atriz .4 = 5 8 ] es diagonalizable 4 1 4 y, en su caso, encuéntrense una diagonalización y una m atriz de paso.

V

S o lu c ió n . El polinomio característico es -1 1 - 1 .4 - tl\ =

-8

-8

8

5 - 1

8

4

4

1 —¿

1 3 - 1) 8

4 3-í)( -3

1

0

5- 1

8

4

1 -i

-3 - t

-3 - t

0

8

5 - 1

8

4

4

1 —¿

1

0

0

8

-3 - 1

8

4

0

l - ¿

® (-3 -i)

- 0 ( 1 - 0 == (« +

3 ) 2( l -

o.

(1) F\ -> Fi 4- F 2 . (2) Se saca factor a - 3 — t en F\. (3) C 2 -> C 2 — (4) Se desarrolla por la fila 1. L as raíces de este polinomio, que son los valores propios de A , son ¿i = —3 y ¿2 = 1 cuyas m ultiplicidades (algebraicas) son 2 y 1, respectivam ente. P a ra decidir si .4 es diagonalizable, por el criterio 3.26, es suficiente estudiar la dimen sión del espacio propio £ ( —3 ) del valor propio —3, y a que al ser —3 la fínica raíz de multiplicidad m ayor que 1 es la única que podría 110 verificar la condición “m ultiplicidad algebraica — m ultiplicidad geom étrica”. Nótese que cuando la mul tiplicidad algebraica es 1, forzosam ente la multiplicidad geom étrica es 1 tam bién (véase 3 .2 5 ).

137

E

j e r c ic io s

R

esu elto s

d e

F

undam entos

M

atkm

At i c o s

Hallemos una ba.se del espacio propio £ ( - 3 ) del valor propio - 3 resolviendo la ecuación (A - (—3 )7 ) J\T = 0:

- S x - Sy - 8 2 = 0 Sx + Sy + —0 4 * + 4^ + 4 * = o

x = -c v - 0 X

y = CV

y

2 = 5 ( 1 1 Como las 3 ecuaciones son equivalentes, se suprimen E\ y E 2 y se simplifica

¿?3 dividiendo entre 4. (2) Se despeja x en función de y = o y z » / ? . Por tan to , los vectores de £ ( —3 ) son todos los de la form a

(x, y,z) = (-a - P, 0t,p) = o t ( - l , 1,0) + / 3 ( - l , 0,1), y, consecuentem ente, una base del espacio propio £ ( —3) es { ( —1 , 1 , 0 ) , ( —1 , 0 , 1 ) } . P u esto que su dimensión es 2 — multiplicidad algebraica, se concluye que A es /-3 0 0' diagonalizable (véase 3 .2 6 ). U na diagonalización de .4 os D = j 0 V o

—3

0

0

1,

P a ra determinar* la m atriz do paso P falta solam ente hallar una base dol espacio propio £ ( 1 ) del valor propio 1. P a r a ello se resuelve la ecuación ( A - I ) X = 0: -12 - 8 -8 - 12 x - 8 y - 82 = 0 Sx + 4y + 82 = 0 = 0 4 x + 4y

(

‘i x + 2y + 2z = ti i!¿ J - 4 * - l y - 0 3 { x+ y =0

x= a y = -a

(1) E 2 -» E 2 + E l, E l -> £?i/(-4), E l -> £ 3 / 4 . (2) Como E 2 = (—4)£k, se suprime E 2 y se despejan y, 2 en función de x = a. Por ta n to , el vecto r (1, —1,

es una base de E { 1). M ultiplicándolo por 2,

se tiene com o base el vecto r (2, - 2 , - 1 ) , que será la te rce ra colum na de la m atriz do paso P . E 11 consecuencia, seleccionando la base de f / ( —3) y la de P ( 0 ) com o columnas -1 -1 2 de la m atriz P se tiene que P = \ 1 0

138

0 1

—2 -1


NOTA- U n a diagonaliz ación de una m atriz A> cuando exista, es una m atriz diagonal D que no es única y a que se puede cam biar el orden de los elementos de dicha diagonal. F ijad a D y la m atriz de paso P tam p o co es única, en cad a espacio propio se puede elegir la base que se quiera, y un espacio vectorial tiene infinitas bases. El orden de las colum nas de P viene dado por el orden en que estén colocados los valores propios en D.

í 4

4 -3

—1\ E j e r c i c i o 3 . 3 1 . Estudíese si la m atriz . 4 = 1 - 3 1 l e s diagonalizable Ve 2 -V y, en su caso, encuéntrense una diagonalizaoión y una m atriz de paso. S o lu c ió n . El polinomio característico es 4 - t .4 - tl\ =

4

-1

-3 - 1 2

-3 6

1

1 -4 - i 1

(i)

1-t -3

1 - t -3 - 1

0 1

6

2

-4 - i

0

-3

-3 - ¿

1

6

2

-4 - 1

= d -t)

1

0

0

-3

-¿

1

6

-4

-4 - f

(4) (1) Fi -» F i 4- F 2 . (2) Se saca factor a 1 —t en F i. (3) C 2 -> C 2 — C\. (4) Se desarrolla por la fila 1. L as ralees de este polinomio, que son los valores propios de .4 , son t\ = 1 y ¿2 = - 2 cuyas m ultiplicidades (algebraicas) son 1 y 2, respectivam ente. P a r a decidir si .4 es diagonalizable, com o quedó claro en el ejercicio anterior, es suficiente estudiar la dimensión del espacio propio £ ( - 2 ) del valor propio - 2 . U n a base del espacio propio £ ' ( - 2 ) se halla resolviendo la ecuación (A ( - 2 ) I ) X = 0: 6

4

-3

-i 2

6

Í T\ 1 -2/ r\z ) -1 \

=*

6x + Ay — z = 0 _3* _ y + z = 0 6x + 2y - 2 z = 0

\o/

= 0 \ -3 x - y + z = 0

(i) f

3x + 3y

=

íü \ o

m

x = c* y= -a z = 2a

139

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


(1) Como £3 = ( - 2 ) £ ,21 se suprime £3, E\ -> £1 + £ 2 . ( 2 ) Se despejan y, * en fundón de x = c*. Por tan to , una base de £ ( —2) es { ( 1 , —1, 2 ) } y su dimensión es 1. E n conse cuencia, rom o es d istin ta de la multiplicidad algebraica, se deduce que ,4 no es di agonal isable (véase 3 .2 6 ). E j e r c i c i o 3 . 3 2 . Sea p (t) = —¿3 + 2 f + 4 el polinomio característico de una m atriz

A. Indíquense, de las siguientes, las afirm adones correctas: (a ) A es de dimensión 4 x 4 . ( 6 ) 2 es un valor propio de A . (c ) .4 diagonaliza. (d ) E l determ inante de .4 es 4. S o lu c ió n , (a ) E l grado del polinomio característico es igual al orden de la m atriz cuadrada, por tan to , .4 es de dimensión 3 x 3, y por consiguiente, (a ) es falsa.

(b) De acuerdo con 3 .2 0 , un número A es un valor propio de A si y sólo si es una raíz del polinomio característico . Veamos pues si 2 es raíz de p(t): p ( 2 ) = - 2 3 + 2 * 2 + 4 = - 8 + 4 + 4 = 0. Luego 2 es u n a raíz, y en consecuend a, 2 es un valor propio de A. (b) es cierta. (c ) Se hallan los valores propios de .4 resolviendo la ecuación p(t) = 0. Puesto que 2 es una raíz, se faetoriza aplicando la regla de Ruftini;

-1

ü

2

4

-4

-4

-1

-2 -2

-2

0

2

y se obtiene

p{t) = - ¿ 3 + 2f + 4 = {t - 2 ) ( - ¿ 2 - 2* - 2). Se resuelve la ecuación

- ¿ 2 - 2 f - 2

= 0 y resulta que 110 tiene soluciones (reales)

porque el discrim inante de esta ecuación es b2 — 4 a c = ( —2 ) 2 — 4 • ( —1) • ( —2) = —4 < 0 . C om o la única raíz de p (t) es 2 con m ultiplicidad 1 , se sigue que .4 no es diagonalizablo. Obsérvese que si .4 fuese diagonalizablc sería sem ejante a una m atriz diagonal D con valores en la diagonal Aj , A2 , A3 (no necesariam ente distintos) y el polinomio característico debería tener 3 raíces, co n tad a ca d a una tan tas veces com o indique su m ultiplicidad. E 11 conclusión, (c ) es falsa. (d )

E l polinomio característico viene dado por p(t) = |.4 — t i |. Si se elige el

valor t = 0 , resulta |A |=p(0),

1 40


esto es, eí determ inante de .4 es igual al término independiente del polinom io

cam cteristico. E n este caso, j?(0) = 4 = |.4|, luego (d ) es correcta. E j e r c i c i o 3 . 3 3 . Sean A y B las m atrices / a

0

6

. 4 = 1 2 \ ü

6

-c

a

c

\ ) ,

5

=

)

( i

0

0 \

2 \ 3

2

0 . 2 )

-1

donde .4 depende de los p arám etros a, 6, c € K. ( a ) Hállense los valores de a, 6 , c p a ra que .4 tenga com o vector propio a v = ( 1 , 2 , 2 ) , asociado al valor propio A = - 1 . ( 6 ) Determ ínese si la m atriz B es sem ejante a la m atriz .4 p a ra los valores de a , 6 y c obtenidos en el ap artad o anterior. S o lu c ió n , (a ) L a m atriz .4 tiene com o vecto r propio a n = ( 1 , 2 , 2 ) con autovalor asociado A = —1 si se cum ple que Av = —

0 ó \ / i \ 2 6 -c 2 = O a c / \ 2 /

Luego hay que resolver el sistem a

/ 1 \

a

í a + 26

= -1

{ 26- 2 c = - 4 [2 a + 2c = - 2

2 \ 2 /

( a+26 = —1 ( a + 26 = —1 {4 { 26 - 2c = - 4 ^ I 2 b -2 c—-4 [ -4 6 + 2c = 0 { -2 6 = - 4

( a = —5

-4

c = 4 { 6= 2

(1) E 3 -» E 3 — 2 E i. (2) E% -> E 3 4P o r tan to, la m atriz .4 resultante es / .4 = \ (6 )

-5

0

2

2

2 - 4

0

—5

4

L a ecuación ca ra cte rística de la m atriz B es \B - tl\ = 0, donde / es la

m atriz identidad de dimensión 3. Calculando, 1

B - t l |=

0

2 3

0

2- ¿ Ü -1 2 - 1

= ( l - í ) ( 2 - o 2.

Luego la ecuación ca ra cte rística de 5 es (1 — t ) ( 2 —t ) 2 = 0 . Si B fuese semejante a A , am bas m atrices tendrían la m ism a ecuación ca ra cte rística (véase 3. 19) y, en

141

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


particu lar, los m ism os autovalores, que son las soluciones de dicha ecuación. Sin em bargo, p a ra los valores de a, b y c obtenidos en el ap artad o anterior, A = - 1 es autovalor de A, pero claram ente no es au to valor de B (de hecho, los au to valores de i? son Aj = 1 y A^ = 2). P o r consiguiente, se deduce que .4 y D no son m atrices semejantes. E j e r c i c i o 3 . 3 4 . Estúdiese en función de los p arám etros a, 6 € R si la m atriz / a l 6 \ .4 = 1 0 2 0 es diagonalizable.

\0

1

-l)

S o lu c ió n . El polinomio característico es

a - t

1

b

0

2 - 1

0

|A - 1¡\ =

— (a - 0 ( 2 - 0 ( - l “ 0 '

1- 1 -t

0 (1) Se desarrolla por C\.

E s claro que los autovalores son Aj = —1, A2 = 2 y A3 = a. Vam os a distinguir varios casos según que a coincida o no con alguno de los dos prim eros autovalores. Caso 1. S i a ^ - l y a ^ 2 , entonces .4 tiene 3 autovalores distintos y, por tan to , es diagonalizable. Caso 2. Si a = - 1 . entonces .4 tiene los autovalores - 1 y 2 con multiplicidades 2 y 1, respectivam ente. P a r a decidir si .4 es diagonalizable hay que hallar la dimensión del espacio propio £ ( —1) asociado al valor propio —1. C on a = —1, se tiene que

b \

/ - l l .4 = 1 0 \0

2

0

/() y

A - (-1)/ = A + / =

1 - 1 /

0 \0

1 bs 3

0

1 ü,

P o r tan to, la ecuación (A — (—l ) / ) - V = 0, con X = ( 2 , 2/, z)*, d a lugar al sistem a

y + bz = 0 3y =0 y =0

bz = 0 y= 0

Subcaso 2.1. Si 6 ^ 0, entonces de la I a ecuación se sigue que z = 0 , y como en la 2 a ecuación y = 0, los vectores de E ( —1) son todos los de la form a

{ x , y , z ) = ( z , 0 , 0) = * ( 1 , 0 , 0).

1 42


U n a base de £ ( - 1 ) es { ( 1 , 0 , 0 ) } y su dimensión es 1. Luego A no diagonaliza. Subcaso 2.2. Si b = 0, entonces la I a ecuación es 0 = 0 y se puede suprim ir y sólo queda la ecuación y = 0 ( * , * libres). P o r tan to , los vectores de £ ( - 1 ) son todos los de la form a

{ x ,y ,z ) = (* , 0 , z ) = * ( 1 , 0 , 0 ) + * ( 0 , 0 , 1 ) . U n a base de £ ( - 1 ) es { ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) } y su dimensión es 2. Luego .4 diagonaliza. C aso 3. Si a = 2, entonces A tiene los autovalores - 1 y 2 con multiplicidades 1 y 2, respectivam ente. P a r a decidir si .4 es diagonalizable hay que hallar la dimensión del espacio propio £ ( 2 ) asociado al valor propio 2. Con a = 2 , se tiene que

(2

16 \

.4=10 \0

2

0 1-1 /

/0 y

.4 -2 /=

1

0 0 \0 1

6 \ 0 1 . -3/

P o r tan to, la ecuación (A — 21 ) X = 0 , con X = ( * , t/, z ) 1 da lugar al sistem a

( y + bz = 0 (i) { y-3z = 0 ( 1)

El

-»

Es¿ , E2

(y - 3 z =

{)

( 6 + 3)z = 0

-» £ 1 — £2-

Subcaso 3. 1. Si b ^ - 3 , entonces de la 2 a ecuación se sigue que z = 0, se sustituye en la I a y se tiene y = 0 ( * es libre). P o r tan to , los vectores de £ ( 2 ) son todos los de la form a ( * , 0 , 0 ) = * ( 1 , 0 , 0 ) . P o r consiguiente, una base de £ ( 2 ) es { ( 1 , 0 , 0 ) } y su dimensión es 1. E n consecuencia, corno 110 coincido con la multiplicidad algebraica, A no es diagonalizable. Subcaso 3.2. Si b = —3, entonces la 2 a ecuación es 0 = 0 y se puede suprimir y sólo queda la ecuación y - 3z = 0, es decir, y = 3z ( * , z libres). P o r tan to , los vectores de £ ( 2 ) son todos los de la forma

( x , y , z ) = ( * , 3 z , z) = * ( 1 , 0 , 0 ) + * ( 0 , 3 , 1 ) . Luego, una base de £ ( 2 ) es { ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 3 , 1 ) } y su dimensión es 2 , que coincide con la multiplicidad de la raíz 2, y por consiguiente, .4 es diagonalizable. E n la Tabla 3.1 se resum en los resultados obtenidos.

143

E je r c ic io s

R esu elto s

F u n d a m en to s

d e


a a

6 V6

Sí

a = —1

6 0 6= 0

No Sí

a = 2

6* -3

No

II l

—1, 2

¿A diagonaliza?

Sí

T a b l a 3 . 1 . R e s u m e n d e l a d i s c u s i ó n d e l E j e r c i c i o 3 .3 4

f- 7 E j e r c i c i o 3 .3 5 . E stú d icsc si la m atriz A =

0 1

n 0

0 0

^ -6

1 n

4^ n

-3 i

n

es diagonali-

3y

zable. S o lu c ió n . E l polinomio característico es

-7 - t

0

1

0

-1 - í

0

4 0

0

0

-3 - t

0

-6

0

1

3 - 1

A - t i |=

= : - i - < ) (- 3 - < )

-7 - 1 -6

3 -t

= (-i -t)

-7 - 1

1

4

0

-3 - 1

0

-6

1

3- 1

= ( _ l _ t ) ( - 3 - * ) [ ( - 7 - t ) ( 3 - * ) + 24]

= ( _ i _ ¿ ) ( - 3 _ ¿)(¿* + 4f + 3) = {t + 1)2 (¿ + 3 ) 2. (1) Se desarrolla por Ci- (2) So desarrolla por Fz La*> raíces de este polinomio, que non los valores propios de A, son 11 = —1 y

t2 = —3 con m ultiplicidades (algebraicas) 2 y 2, respectivam ente. Hay que hallar la dimensión de los espacio propios £*(—1) y £ *(—3) U na base del espacio propio £ ( —1) del valor propio —1 se halla resolviendo la ecuación (A - ( —1)/)J\T = 0: /-6

0

1

4'

0

0

0

0

0

0 - 2 0

V -6

0

1

4j

(A

/ 0\

y

0

z

0

- 6 / + z + 4¿ = 0

-2 z = 0 - 6 x 4* 2 + 4¿ = 0

(i)

2= 0

w

(1) Como Ez = E i, se suprime Ez y se despeja x en función de t (y y t son libres).

1 44


Los vectores de £ ( - 1 ) son todos los de la forma ( * , y, z , t ) = ( | t , y , 0 , í ) = y ( 0 , 1 , 0 , 0 ) + * ( § , 0 , 0 , 1 ) .

P o r tan to, una baso do £ ( - 1 ) os { ( 0 , 1 , 0 , 0 ) , ( § , 0 , 0 , 1 ) } y su dimensión os 2. No se puedo d escartar que A soa diagonalizable porque coincido con la multipli cidad. U n a base del espacio propio E ( - 3 ) del valor propio - 3 se halla resolviendo la ecuación [A - ( - 3 ) / ) X = 0:

/ - 4

0

0

2

1 0

0

0 0

0 1

\ -6

0

y

/0 \ 0

0

z

0

ey

\ u

( A

- 4 x + 2 + 4¿ = 0 2y = 0 - 6 x + z + 6¿ = 0

w

- 4 x + z + 4t =

z = 0

y = - 2 x + 2¿ =

y = 0 x = t

0

(1) E% -4 £ 3 - E\> t os libro. Los vectores do £ ( —3) son todos los de la forma

(x ,y ,z ,t ) = (t,0, 0 ,í ) = <(1,0,0,1). P o r tan to, una base de £ ( —3) es { ( 1 , 0 , 0 , 1 ) } y su dimensión es 1. Com o no coincide con la m ultiplicidad de la raíz —3, se concluye que .4 no os diagonalizable.

145

T ema 4 F U N C IO N E S D E U N A V A R IA B L E

1.

R E S U M E N D E R E S U L T A D O S T E Ó R IC O S

E l c o n ju n to d e lo s n ú m e r o s r e a le s 4 . 1 . Oi'dtn de R . Sobre el conjunto de los números reales está definida la relación do orden t;< ” (m enor o igual que). Dados x , y, z € R , se verifica 1. x < x (propiedad reflexiva), 2. S i x < 2/ y y < x , entonces x = y (propiedad an tisim étrica), 3. Si x < y y y < z, entonces x < z (propiedad tran sitiva), 4. O bien x < y ) o bien y < x (orden to tal). 4 . 2 . Intervalos en R . Sean a, 6 € R , con a < 6. A través de la relación de orden anterior se definen los siguientes conjuntos, llamados intervalos: (a, b) =

{x € R

[a, 6] =

{x € R

[a, 6) =

{x € R

a<

x < 6 } (intervalo abierto),

:

o.<

x < 6 } (intervalo cerrado),

:

a<

x < 6 } , ( a , 6] = { x € R : a < x < 6},

:

(a, + o o ) = { x € R : x > a } , ( —o o , a ) = { x € R : x < a } (intervalos abiertos),

[a, + o o ; = { x € R : x > a ) , ( —o o ,a ] = { x € R : x < a ) (intervalos cerradlos). P a r a definir el concepto de distan cia entre números reales, es necesario intro ducir previam ente la fundón valor absoluto. 4.3.

Valor abaoluto. E l valor absoluto es la función | • | r R —►[0 ,+ o o ) definida

del siguiente m odo: (4.1)

1 4 7

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


4 . 4 . P ropiedades del valor absoluto. Sean x , y € R . Se cum plen las siguientes propiedades: 1. 1* > n , 2. \x = 0 4=í> x = 0, 3. \x 'V\ = NI

|y|>

4. \x + y| < |x + y (desigualdad trian gular), 5.

\x < y <= > - y < * < í/'

4 . 5 . D istancia entre dos núm eros reales. Darlos x , y € R , la distan cia entre x e y es el valor d ( x , ¡ / ) : = \x - y\. 4 . 6 . Recta ampliada. Se define la re c ta am pliada com o el conjunto R = R U { —o o ,+ o o }. E n R se m antienen las m ism as operaciones que en R y adem ás se tiene que x + (+ o o ) = + o o , Vx € R \ { - o o } , X

• (+ 0 0 ) = + 0 0 , Vx € (O, + o o ],

X

( - o o ) •x = —oo, Vx € (O, + o o ],

•( + 0 0 ) = - 0 0 , Vx € [ - 0 0 , 0 ) ,

( —oo) * x = + o o , Vx €

= O, Vx € R , x

x + (—oo) = —oo, Vx € R \ {+ o o } ,

[—o o ,0 ),

g = i c o , Vx € R \ { 0 } ,

= O, Vx € ( 0 , 1),

x +co = + o o , Vx € (1, + o o ],

(+ o o )x = + o o , Vx € (O, + o o ],

(+ o o )x = O, Vx € [ - o o , 0 ) .

Sin em bargo, hay operaciones que no están definidas p a ra ciertos elem entos de R , dando lugar a indeterm inaciones, las cuales se recogen en el siguiente punto. 4 . 7 . Indeterm inaciones.

+ 0 0 + ( - 0 0 ),

ioo.O,

jj,

g

,

0o ,

1±~,

(+ o o )° .

4 . 8 . Cota de un conjunto. Sea A c R un conjunto no vacío. Se dice que un punto c € R es una c o ta superior del conjunto A si a < c p ara to d o a € A. A nálogam ente, un punto c € R es una co ta inferior de .4 si c < a p a ra todo

a e A.

1 48

F U N C IO N E S D E UNA VAHIAIil.E

4 . 9 . Conjunto acotado. Sea A C K un conjunto no vacío. Se dice que A está acotad o superiorm ente si existe una c o ta superior de A. E l conjunto .4 e s tá acotado inferior m ente si existe una c o ta inferior de A. Si el conjtinto .4 e s tá aco tad o superior e inferiormente, entonces se dice que .4 es un conjunto acotad o. 4 . 1 0 . Supremo e ínfimo de tm conjunto. D ado un conjunto no vacío A C R , se dice que un número real, que se denota com o sup .4, es el suprem o de .4, si satisface las dos propiedades siguientes: 1. sup 4 es una c o ta superior de ,4, 2. sup .4 < c, p ara to d a c o ta superior c de .4. E s decir, sup .4, si existe, es la m enor de las cotas superiores de A. Si adem ás se cum ple que sup .4 € A, entonces se dice que sup A es el m áxim o de A, y se d en ota, en este caso, com o n iá x A . Análogam ente, un núm ero real, que se denota com o inf A, es el ínfimo de A , si verifica las siguientes propiedades: 1. ínf A es una c o ta inferior de A, 2. c < ínf A, p a ra to d a c o ta inferior c de A. P o r tan to, ínf A, si existe, es la m ayor de las cotas inferiores de A. Si se cumplo adem ás que ínf A € A , entonces ínf A so denom ina m ínim o de A y se denota com o mín A. 4 . 1 1 . A xiom a del supremo. Sea A c R superiorm ente, entonces existe sup A.

un conjunto no vacío. Si A está acotado

Análogam ente, si A e s tá acotad o inferiormente, entonce» existe ínf AS u c e s io n e s d e n ú m e r o s r e a le s 4 . 1 2 . Sucesión. U n a sucesión de núm eros reales { x n } es u n a aplicación que asocia a cad a número n atu ral n un núm ero real x n. 4 . 1 3 . L ím ite de una sucesión. Sea { x n } una sucesión.

149

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


(a ) L a sucesión { x n} tiene lím ite l € R , y se d en ota lím x n = 1, si p a ra cad a

n— *oc

£ > 0 existe no € N ta l que p ara to d o n > no se tiene que \xn — i| < e. (b) El lím ite de { x n } es + o o , si p ara ca d a e > 0 existe tiq € N ta l que x n > é, para todo n > no(c) El lím ite de { x n} es - o o , si lím - x n = + o o, Si la sucesión { x n} tiene lím ite finito, se dice que { x n} es convergente. 4 . 1 4 . Unicidad del límite. E l lím ite de una sucesión convergente es único. 4 . 1 5 . P ropiedades del límite.. Sean {tfn } o { y n} dos sucesiones. Si { # n } y {ifo } son convergentes, entonces lím (xn ± yn) =

(a ) n

(b)

lím x n ±

— * o c

n

lím (xn n—ôo

yn) =

(

— * o c

lím yn , n

— * o c

lím X n ) ( lím \n—*oo / \n—*00

7/n ),

/

(c) Si 2/n ^ 0, p ara to d o n € N y lím yn ? 0, entonces rwo© _ «/ -Wi n-»o© yn

lím x n n—>0© lím yn »o© n

—

, v lím yn (d) lím Í^Kn) = ( lím x n , si z n > 0 p ara todo n € N y no resulta una ' n-* o© ' ' \n—>o© / indeterminación. 4 . 1 6 . Sucesión acolada. Se dice que una sucesión { x n } es a co ta d a si existe un número real M > ü ta l que |a?n| < A/, p a ra todo n € N. 4 . 1 7 . Teorema. T od a sucesión convergente es acotad a. 4 . 1 8 . Propiedad del em paredado. Sean { s w} , { j f o } y { z n } tres sucesiones de nú meros reales tales que yn < x n < zn) p ara todo n € N. Si lím yn = lím zn = l ) nô© nô© entonces lím x'n n = l. n

— * o c

Como consecuencia se tienen los siguientes resultados.

1 50


4 . 1 9 . Teorem a. Sean { z n} e {yn } dos sucesiones. (a ) Si lím yn = 0 y \xn \< y n, p ara todo n € N , entonces lím x n = 0. n —^ o o

n —^ oo

(b) Si lím x n = 0 y {y n \ es aco ta d a , entonces lím (x n ■yn ) = 0. rwo© rwo© (c) Criterio de com paración. Si lím x n = + o o y x n < j/n, p a ra todo n € N, n*ô© entonces lím yn = + oo.

n— *oc

4 . 2 0 . Sucesiones m on óton as. (a ) Se dice que { x n } es m onótona creciente (respectivam ente, estrictam en te creciente) si x n < x n+i» p ara todo n € N (respectivam ente, xn < x n+\> pare todo n € N). (b) Se dice que { x n} es m onótona decreciente (respectivam ente, estrictam en te decreciente), si x n > x^ + ii p a ra todo n € N (respectivam ente, x n > a n+ i, para todo ri € N ). (c) L a sucesión {tfn } es con stan te si x n = z n+ i, p ara todo n € N. P a r a sucesiones m onótonas el recíproco del resultado 4 . 1 7 tam bión se cumplo; 4 . 2 1 . Teorema. Sea {x n } una sucesión m onótona. E n ton ces, { x n} es convergente si y sólo si es acotad a. L a siguiente propiedad es útil p a ra calcular lím ites con la indeterm inación 0o Ó ( + 0 0 )°. 4 . 2 2 . Sean { x n } e {j/n } dos sucesiones, donde [x n} es de térm inos positivos. Se tiene que lím x l" =

n —♦ o o

. t vn\ lím e (x" ) =

n —♦ o o

lím ey"

. /

«

n —♦ o o

lím V nln(xn)

= e » -* ~

.

E l siguiente resultado perm ite calcu lar limites con la indeterm inación l ±oc. 4 . 2 3 . Sea {Xn} una sucesión. Si lím x n = ± o o , entonces n—>o© lím ( l + — ) y xn j

" =e.

n -» c ©

151

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


L ím ite s d e f u n c io n e s r e a le s E n lo que sigue, se considera que I es un intervalo de la re c ta real y se denota por 7 = o / =

m enor intervalo cerrado que contiene a / , m ayor intervalo abierto contenido en / .

_

o P o r ejemplo, si I = (a , 6], con a, b € R, a < 6, entonces / = [a, 6] y / = (a , b). 4 . 2 4 . Lím ite de una fun ción en tm punto. Sean / : / —» R y xq € / . (a ) Se dice que / tiene límite l € R en xq. y se d en ota lím f ( x ) = í, si p ara X -> X Q

'

cada € > 0 existe S > 0 ta l que si x € / y 0 < |x — xo| < í» entonces |/(x) - ¿| < e. (b) El lím ite de / en xo es + c o , si p a ra cad a e > 0 existe 5 > 0 verificando que f ( x ) > £ , p ara to d o x e / tal que 0 < |x — x q | < 5. (c) El lím ite de / en xo es - o o , si lím - / ( x ) = + oo. 4 . 2 5 . Lím ite en el infinito. Sea a € R. (a )

L a función / : [a, + c o ) —» R tiende hacia l € R cuando x tiende a + o o , y se denota por lím f ( x ) = i, si p a ra cada e > 0 existe 5 > 0 ta l que si x € / r —M-oo y x > í , entonces |/ ( x) - í| < e.

(b)

La función / : ( - o o , a] -► R tiende hacia l € R cuando x tiende a - o o , y se d enota por

lím

x —* — o o

f ( x ) = l> si p a ra cada e > 0 existe S > ü ta l que si x € I

y x < 5, entonces |/ ( x) — l\ < £. 4 . 2 6 . Unicidad del límite. E l lím ite de una función, si existe, es único. 4 . 2 7 . Lím ite lateiul. Sean / : I - » R y xq € 7- Se dice que / tiene límite por la izquierda l € R en x o , y se d en ota

lím f ( x ) = í, ai lím /i /r x - o e x o ) ^ ) = ^ X -* X

q

x

->

x q

donde /|/n(-oe,*o) denota la función / restringida al conjunto I n ( - o o , x o ) . De m odo análogo, / tiene lím ite por la derecha i € K en xo, y se denota lím f ( x ) = l, si lím /|/n(i0,+co)(a:) = l X - * X ¡

1 52

X -* X Q


4 . 2 8 . Sean / : I —►R , xo € / y l € M. E l lím ite de / en xo existe y es igual a l si y sólo si existen los límites laterales de / en xq y son iguales a í, es decir, lím f ( x ) = l <==> lím f ( x ) = I _ >10

lím f ( x ) = í.

C om o consecuencia, si los lím ites laterales en Xo son distintos, o alguno 110 existe, entonces 110 existe el límite de / en xo4 . 2 9 . P ropiedades del límite. Sean f yg : I —» R , xo € / y A € K. Si existen lím f ( x ) y lím t?(x), entonces x —» x o

x —* x o

(a ) '

(b)

límf ( x ) ,

lím A / ( x ) = A X -> X Q

'

X -> X Q

lím { f { x ) ± g { x ) ) =

(c)

lím f { x ) ± X —* X Q

X —» X Q

lím g(x), X —* X Q

lím { f ( x ) • g(x )) = ( lím f ( x ) ] • ( lím ¡>(a:)'),

x -»x o

V x -»x o

i

\

x

->

i

x q

(d) si g {x ) ^ 0, p a ra todo x € / , entonces lím f ( x H"1 ^ = T £^ r T > x-*xo g tx ) hrti g ix )

x— *xo

(e) si f í x ) > 0, p ara todo x €

entonces \ ( lím gU

/ =

( * '< * > )

siem pre y cuando los límites en (a )-(e ) no den lugar a una Indeterm inación. E sta s propiedades se verifican tam bién p a ra límites en el infinito y p a ra límites laterales.

Propiedad de.l emparedado. Sean / : / —►R , xo € I y g y h dos funciones talos que / c dom¿i, / c dom h y g (x ) < f ( x ) < /¿(x), p ara todo x € / , x ^ xq. Si lím g(x) = lím h (x ) = l € R , entonces lím / ( x ) = i. 4.30.

1 —>10

'

x —>xo

'

1 —>10

'

E s ta propiedad tam bién se satisface considerando límites en el infinito. Como consecuencia, se tienen los siguientes resultados.

153

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


4 . 3 1 . Teorema. Sean / : / —» R , x o € I y g una función ta l que I C do ni g. (a ) Si lím g ( x ) = 0 y |/(x)| < g (x ), p a ra todo x e / , entonces lím f ( x ) = 0. x —►xo

x —►xo

^w yw

(b) Si lím f ( x ) = 0 y g está a co ta d a en un intervalo abierto J C I que contiene X^Xrt a Xo, es decir, existe M > 0 tal que |ff(x)| < A /, p a ra todo x € J> entonces lím / ( x ) •g {x ) = 0. x -» x o

P a ra calcular límites con la indeterm inación l ± cc es necesario el resultado que se m uestra a continuación, 4 . 3 2 . Sea / : I

R y xo € 7. Si lím / ( x ) = ± o o , entonces

l

/ lílll

\/(*)

1 + -jrr^

* -» x 0 V

= e.

f{x)j

L a igualdad anterior tam bién se verifica p ara límites cuando x —> ± o o . E1 siguiente resultado relaciona los límites de funciones con los límites de sucesiones y es m uy útil p a ra dem ostrar que el lím ite de una función en un punto de R no existe. 4 . 3 3 . Sean /

: / - » R y xo € 7. Se tiene que

lím f ( x ) = í € R si y sólo si

x —»xO

lím f [ x n) = l p ara to d a sucesión {^ n } C / tal que lím x n = xq.

n —* oq

n —> oq

Como caso p articu lar, si

lím x - > +

f ( x ) = l € R , entonces lím f ( n ) = l. L a

o ©

n

- * o

c

'

'

propiedad tam bién es cie rta p a ra límites cuando x —►± o o . 4 . 3 4 . Asíntotas de uno fu n ció n . Sea / : / —►R una función y xo, (a ) Se dice que la re cta x = xo es una asíntota vertical de / si lím / ( x ) = ± o o

o

lím / ( x ) = ± o o . x -> x .

x -*x n

(b) Se dice que la re cta y = yo es una asín tota horizontal de / si lím f ( x ) = yo

x —»— o o

1 54

o

lím

x —» + o o

f ( x ) = y0.

€ R.


(c) Se dice que la re c ta y = m x + n es una asín tota oblicua de / si lím

X —►— Q Q

lím x-»+oe

^

^ = m, X

= m,

x

lím ( / (x) — m x ) = n,

X —» — Oo

o

lím ( / ( x ) - m x ) = n. x-»+oe

F u n c io n e s c o n tin u a s 4 . 3 5 . Continuidad en un punto. U n a función / : I —> R es continua en un punto xq € / si

lím f { x ) = f { x o). X^XO E n caso contrarío se dice que / es discontinua en Xq. 4 . 3 6 . Se dice que una función / : I —►R es continua en un conjunto A C I si es continua en ca d a punto

xq

€ A.

E n los dos resultados siguientes se describen propiedades de las funciones continuas en un punto. 4 . 3 7 . Sean f , g : / -► R* Si / y g son continuas en xq € / , entonces f ± g y

f •g son continuas en xo. A dem ás, si g {x ) ^ 0 , p ara todo x € / , la función £ es tam bién continua en xo. 4 . 3 8 . Sean / : / - » R y f ? : J - » R , donde / ( / ) C «/- Si / es continua en xq € / y

g es continua en / ( x o ) , entonces g o f es continua en xo. A continuación se enuncian tres conocidos teorem as sobre continuidad, que se refieren a im portantes propiedades que cumple una función continua en un intervalo cerrado [a, 6] C R . Así pues, se considera en estos resultados u n a función / : [a, 6] -> R . 4 . 3 9 . Teorema de Bolzano. Si / es continua en [a, 6] y / ( a ) •f ( b ) < 0 (o equiva lentem ente, si f ( a ) y f ( b ) tienen distinto signo), entonces existe c € (a, 6) ta l que

m

= o.

4 . 4 0 . Teorem a de los valores inte.mte.dios. Si / es continua en [a, 6], entonces p ara todo d € R ta l que f ( a ) < d < f ( b ) o f ( b ) < d < f ( a ) existe c € (a , b) que verifica

f ( c ) = d.

155

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


4 . 4 1 . Teorema de Bolzano-W eierstrass. Si / : [a, 6] —» K es una función continua, entonces / alcan za el valor m ínim o y el valor m áxim o en [a, 6]. E s decir, existen c, d € [a, ó] tales que /(c ) < f{x ) < /(d),

para todo x € [a, 6],

E n el siguiente ap artad o se presenta un procedim iento p ara determ inar de form a aproxim ada soluciones de la ecuación f ( x ) — 0 , siendo / continua en [a, 6]. E s te procedim iento se conoce com o m étodo de la bisección y consiste en aplicar recurrentem ente el teorem a de Bolzano. 4 . 4 2 . Método de la bisección. P a r a aplicar el m étodo de la bisección se parte de un intervalo cerrado [a, 6] en el que se satisfaga el T eorem a de Bolzano, el cual garantiza la existencia de al m enos una solución de la eeuación f ( x ) = 0 en [a, 6]. El m étodo de la bisección perm ite obtener u n a aproxim ación a una de esas soluciones tan buena com o se quiera. E s te m étodo consiste en lo siguiente: 1. Se divide el intervalo [a, 6] en los subintervalos [a, cj] y [cj,6], donde c\ : = os ol punto medio de [a, 6]. 2.

Se calcu la

/ ( c i ) . Puede ocu rrir uno de los tres casos siguientes:

2.1. f ( c i ) = 0. En ton ces c\ es solución de la ecuación f ( x )

= 0, y se

concluye. 2.2. / ( a ) / ( c j ) < 0. E n este caso, aplicando el teorem a de Bolzano seg aran tiza la existen cia de una solución en [a, cj], y se ha acotad o la búsqueda do soluciones a un intervalo de longitud la m itad que ol intervalo [a, 6]. 2.3. f ( c \ ) ' f { b ) < 0. En ton ces por el teorem a de Bolzano existe una solución en el intervalo [cj,6]. 3.

Se repiten

los pasos 1 y 2 p ara el intervalo [a, c{\ si tuvo lugar el caso 2.2

o p a ra [c\, 6] si ocurrió el caso 2 .3 , h asta obtener una aproxim ación a

la

solución con un error tan pequeño com o se quiera. 4 . 4 3 . En la n-ésim a iteración del m étodo de la bisección se obtiene una aproxi m ación Cn a una solución c de f ( x ) = 0 con un error m enor que

es decir,

F U N C I O N E S D E U N A VAUIAliT .E

F u n c io n e s d e r iv a b le s 4 . 4 4 . Función derivadle. D erivada. Se dice que una función / : / —» M es derivable o en un punto xq € / si existe y es finito el límite / ' ( * , ) := lim / ( * » + ' ■ ) - / ( * » ) = llm Í Ü J W h->0 I - lo E l valor / ( x o ) es la derivada de / en el punto

x

q

.

.

o 4 . 4 5 . Se dice que la función / : / —» R es derivable en un conjunto A c 7 , si es derivable en c a d a punto xo € A. 4 . 4 6 . IntarprvtaciÓn geom étrica da la derivada y recta tangente. L a derivada de

o

una función / : / —►R en un punto xo € / es la pendiente de la re c ta tangente a la gráfica de / en el punto ( x o , / ( x o ) ) . D icha re cta tan gen te tiene por ecuación

V = f ( x o ) + / ; ( x o ) ( x - x 0 ). Intuitivam ente, / es derivable en xq ai cam bia de form a suave, sin form ar un pico, en las proxim idades de este punto, lo que significa que en un entorno de Xo la gráfica de / so aproxim a a la re c ta tangente en (xo, yo), Hiendo yo = / ( x o ) . 4 . 4 7 . Teorema. Si / : I —> R es derivable en xo € / , entonces es continua en xo4 . 4 8 . P ropiedades y reglas de derivación. Si / , g : I - » R son dos funciones o derivahíos en un punto xq € / y k € R entonces k f y f ± g y f ■g son derivables en Xo y se tiene que (•o ( k - m x o ) = k - f ( x o ) , (b) ( f ± g ) , (xo) = f , ( x o ) ± ^ ( x o ) ,

(c) ( / ■g )'(ra ) = f ' ( x o) ■s (to ) + / ( j o ) ■g'(xo). (d) Si adem ás g ( j ) ^ 0 p ara todo x € I , entonces ¿ es tam bién derivable en Jo y se verifica que A ', s)

^ _ / ' ( J o ) - g( zo) - f ( x 0) -g'(xq)

( 0>

(fl(ô ))2

157

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


4 . 4 9 . Regla de la caden a . Sean / : / —» K , g : J M ta l que / ( / ) C « / y sea o o xq € / , ta l que / ( x o ) € J . Si / es derivable en xo y 9 es derivable en / ( x o ) , entonces

g o / es derivable en xo y ( J O / ) ' ( | B O ) - Í #( / ( « 0 ) ) * / #(®0). 4 . 5 0 . Derivada lateral. Se dice que una función / : / —►R es derivable por la izquierda en un punto xo € / si existe y es ñnito el límite

n

j :=

1(m

=

+

h -> 0 -

h

1(m / M - / W x^ x-

X -

XQ

E l valor /'{X q ) se denom ina derivada por la izquierda de / en Xq. A nálogam ente, la función / es derivable por la derecha en xo si existe y es finito el límite

f p//-.+\ (x q ) .

f { x 0 + h) - f ( x o) 1/ i/_ lím — -----------j -— —— - — lím

h->0+

h

/ ( * ) - f ( x o)

x->x+

X - Xq

so denom ina derivada por la derecha de / on xq.

E l valor

y

4.51.

Sea / : I

R y xo € / . L a función / es derivable en xo si y sólo si existen

y son iguales las derivadas laterales de / en xo. P o r ta n to , si / es derivable en xo, se tiene que / '( x q ) = / ' ( Xq ) = / ' ( x j ). Los siguientes teorem as son im portantes resultados del cálculo diferencial p ara funciones / : [a, 6] -► R . 4 . 5 2 . Teorema del valor m ed io , de Lagrange o de los increm entos fin itos. Si / : [a, 61 que

R es continua en [a, 61 y derivable en (a , 6), entonces existe c € (a , 6) tal

4 . 5 3 . Teom m a de Rolle. Si / : [a, 6] -► R es continua en [a, 6], derivable en (a , 6) y / ( a ) = / ( 6 ) , entonces existe c € (a, 6) tal que f ' ( c ) = 0. Obsérvese que el teorem a de Rolle es un caso p articu lar del teorem a del valor medio.

1 58

F U N C IO N E S D E UNA VAIMAÍiUt

Teorem a de Cauchy o del valor m edio generalizado. Si / , g : [a, 6] —» K son continuas en [a, 6], derivables en (a , b) y g' no se anula en (a , 6), entonces existe c € (a , b) tal que m - f(a ) _ fie) 4.54.

5 ( 6) - < ? ( a )

ár'(c)'

L a siguiente regla es consecuencia del teorem a de C auchy y es m uy utilizada en el cálculo de límites de funciones p a ra resolver indeterm inaciones del tipo g y ±o© ±QO 4 . 5 5 . Regla de L 'Húpital Sean / , g : [a, 6] - » R y xq e (a , 6) . Supóngase que f y g son continuas en [a, 6] y derivables en (a, 6) y que cf(x ) ^ 0 en (a, 6) salvo quizás en el punto xa. Si lím f ( x ) = lím ofir) = 0 o lím f ( x ) = lím oía;) = ± o o , y x->x<¿ v ' X->X<j v ' x->x<¿ v ' X->X<j s '

f f {x)

existe lím

,, , (puede ser ± o o ) , entonces

g^x)

lím m

X -* X Q

y (x )

=

lím ™ x - * x q

g'{x)

E s te teorem a tam bién se satisface p a ra los límites laterales cuando x -► a + y cuando x - * b~ y tam bién p a ra límites en el infinito.

P anto fijo de una junción. Sea g : [afi] un punto fijo de g si g (x ) = x . 4.56.

R y x € [a, 6]. Se dice que x es

G eom étricam ente, los puntos fijos de g son aquéllos en los que la gráfica de g c o rta a la re c ta de ecuación y = x. U n a de las aplicaciones que tiene el estudio de los puntos fijos do una fundón es la de obtener soluciones aproxim adas de una ecuación. E n efecto, resolver la ecuación f ( x ) = 0 es equivalente a encon trar los puntos fijos de la función g (x ) =

f(x ) + x . A con:inuación, se explica ol m étodo del punto fijo, que perm ite calcu lar do form a recurrente aproxim aciones a puntos fijos de una función. 4.57.

Método del punto fijo. Sea y r [a, 6] —►M una función continua y xo € [a, 6]

un punto cualquiera, que se considera el prim er iteran te. El m étodo del punto fijo consiste en construir la sucesión definida recurrentem ente como x rt+ i = g { x n).

(4 .2 )

1 5 9

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


Si e s ta .sucesión converge, lo hace h acia un punto fijo. E s decir, si lím x n = x €

n— *oc

[a, 6], entonces x es un punto fijo de g. El siguiente teorem a da condiciones suficientes p ara (pie la sucesión (4. 2) sea convergente y así garan tizar la existencia de un punto fijo do g. 4 . 5 8 . T e o m n a del punto f ij o . Sea g : [a,b] -► R una función derivable en (a, 6). Si g([a, 6]) C [a, 6] y existe k € [ 0 , 1 ) tal que lí/faOI < fc, p a ra todo z € (a , 6), entonces

] y la sucesión (4. 2) converge hacia

ese punto fijo considerando com o prim er iterante cualquier punto xq € [a, 6]. E n el siguiente resultado se d a u n a co ta del erro r com etido al ap roxim ar el punto fijo por el iteran te n-ésimo. 4 . 5 9 . Teorema. Con las m ism as hipótesis que en el T eorem a 4 .5 8 se verifica que

kn \x n - * \ < — - j ( 6 - a)4 . 6 0 . Punciones m on ótonas. Sea / : I -► R. (a ) L a función / es creciente en I (respectivam ente, estrictam en te creciente) si p ara cualquier par de puntos 2 1 ,2 2 € / tales que 2 1 < 2 2 se tiene que

j { x 1 ) < / ( 2 2) (respectivam ente, / ( 2 1 ) < / ( 2 2)). (b)

La función

/ es d e m c i e n t e en / (respectivam ente, e.ntrictame.nte d ed u cien

te) si p ara cualquier par de puntos x \< 22 € / tales que } { x í ) 5 / ( ^ 2 ) (respectivam ente, f { x 1 ) > / ( 2 2)).

2 1 < 2 2 se tiene que

(c) L a función / es constante en I si f ( x ) = c € R , p ara to d o 2 € I. E l siguiente teorem a es consecuencia del teorem a del valor m edio y establece condiciones p a ra sabor si una función es creciente, decreciente o constante. 4 . 6 1 . Teotv.ma. Supóngase que / es abierto y sea / : / —►R una fundón derivable en / . (a ) Si / ' ( * ) > 0 en / , entonces / es creciente en I. Si f ' { x ) > 0 en / , / es estrictam en te creciente en / .

1 60


(b) Si f ( x ) < 0 en 7, entonces / es decreciente en L Si f ' ( x ) < ü en 7 , / es estrictam ente decreciente en 7. (c) L a función / es con stan te en 7 si y solam ente si f { x ) = 0 , p ara todo x € 7. o R y xo € / .

4 . 6 2 . Extremos relativos. Sea / : 7

(a ) Se dice que / tiene un m áxim o relativo (o m áxim o local) en xo si existe un intervalo abierto (c, d) C 7 tal que xo € (c, d) y / ( x o ) > f ( x ) , p ara todo x € (c, d ). (b) Se dice que / tiene un m ín im o relativo (o mínimo local) en xo si existe un intervalo abierto (c, d) c 7 tal que xo € (c, d) y / ( x o ) < } { x ) y p a ra todo x € (c, d). Si las desigualdades en (a) y (b) son estrictas para x ^ xo, se dice que / tiene un m áxim o (respectivam ente, un m ínim o) relativo e stricto en xo. Se dice que la función / tiene un extrem o relativo en xo si tiene un m áxim o o un mínimo relativo en ese punto. o 4 . 6 3 . Punto critico. Sea / : 7 -► R y Xo € 7 - Se dice que Xo es un punto crítico de /

si f ' { x o)

=

0

o

/

no es dcrivable en xo.

o 4 . 6 4 . Teorema. C ondición n ecesaria de extremo relativo . Sea / : 7 —» R y xo € 7 . Si / es derivable en xo y tiene un extrem o relativo en este punto, entonces / ; (xo ) = 0

(es decir,

xq os

un punto crítico do

/).

4 . 6 5 . Condición suficiente de extrem o relativo. Sea / intervalo abierto ta l que (c, d)

C

: 7

R y sea (c ,d ) un

7 y Xo € (c, d).

(a ) Si / es creciente en (c, xo] y decreciente en [xo, d), entonces / alcan za un m áxim o relativo en xo. (b) Si / es decreciente en ( c, xq ] y creciente en [xo, d), entonces / alcan za un mínimo relativo en xo. (c) Si / en creciente en (c, Xo), decreciente en (xo, d) y continua en Xo, entonces / alcanza un m áxim o relativo en xo. (d) Si / es decreciente en (c, x o ), creciente en (xo, d) y continua en xo, entonces / alcanza un mínimo relativo en

xq

.

161

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


Si en los apartad os (a )-(d ) anteriores, la m onotonía de / es estricta , entonces la conclusión es que el extrem o relativo es estricto. 4 . 6 6 . Condición suficiente de extrem o relativo con derivabilidad. Supóngase que I es abierto. Sea / : I R dos veces derivable en I y xo € / ta l que f ' ( x o) = U. (a )

Si } " { xq) <

0 , entonces / alcanza un m áxim o relativo en lo .

(b)

Si f " { x o) >

0, entonces / alcanza un mínimo relativo en xq.

4 . 6 7 . Extrem os absolutos. Sea / : / 4 M y l o € / . (a )

Se dice que

/ tiene un m áxim o absoluto en xo si f ( x o) > / ( z ) , Vx € I-

(b)

Se dice que

/ tiene un m ín im o absoluto en xq si f ( x o) < f { x ) , Vx € / .

Se dice que la función / tiene un e xtrem o absoluto en xo si tiene un m áxim o o un mínimo absoluto en ese punto. 4 . 6 8 . Sea / : [a, 6] —> R una función continua. P o r cl T eorem a 4. 41, / alcanza el mínimo y el m áxim o absolutos en [a, 6], Se verifica que ca d a uno de los extrem os absolutos se alcan za o bien en un extrem o relativo de / en el intervalo (a, 6), o bien en un extrem o del intervalo, es decir, en x = a ó en x = 6. 4 . 6 9 . Funciones convexas y cóncavas . Sea / : I —►R. (a ) L a función / es con vexa en I si f ( t x i + (1 — t ) x 2 ) < í / ( a q ) + (1 — t ) f ( x 2 ), para todo x\¡X 2 € / , y p ara todo t € [0,1]. E s decir, / es convexa si los segm entos que unen cualquier par de puntos de la gráfica de / quedan por encim a de dicha gráfica. (b) L a función / es cón cava en / si - / e s convexa. 4 . 7 0 . Teorema. Supóngase que I es abierto y sea / : I —> R u n a función derivable en I. Se tiene que (a ) / es convexa en I si y sólo si f ' es creciente en I. (b) / es cóncava en / si y sólo si / ' es decreciente en I. 4 . 7 1 . Condición suficiente de convexidad y concavidad. Supóngase que / es abier to y sea / : / - > M u n a función dos veces derivable en / .

162


(a ) Si f " ( x ) > 0 en 7, entonces

/ es convexa en 7.

(b) Si f " ( x ) < 0 en / , entonces

/ es cóncava en 7. o : 7 —» R . Se dire que xq € / es nti punto

4 . 7 2 . Punto de inflexión. Sea /

de

inflexión si en oso punto / p asa do ser eóncava a eonvoxa> o doser eonvoxa

a

cóncava. 4 . 7 3 . Supóngase que 7 es abierto. Sea / : 7 —» R una función dos veces derivablc en 7 y xq € 7. Si zo es un punto de inflexión, entonces / " ( xq) = 0. 4 . 7 4 . Supóngase que 7 es abierto. Sea / : 7 —►R una función n veces derivable en 7 y zq € 7. Supóngase que n z o ) = r(z o ) = -

= / (n- 1( za) = 0,

y

/ tB(®o)?4 0.

Si n es im par, entonces Zo es un punto de inflexión de / . A dem ás, si f^n {x o) > 0, la función pasa de ser cóncava a convexa en zq; y si /^n (zo) < 0 , / p asa de ser convexa a ser cóncava. 4 . 7 5 . Teorema de Taylor . Supóngase que 7 es abierto. Sea / : 7 —►R una función n + 1 veces derivable en un punto zq € 7. Entonces, p a ra c a d a z € 7 existe c perteneciente al intervalo de extrem os xo y x tal que / ( * ) = / ( * , ) + 7 ^ 2 ) (z - Xa) + t ^

+ í

^ (n + 1 ) !

(x _

) [x _ Xa)2 + . . . +

{x _ Xo)n

^ Xo)

'

4 . 7 6 . Polinom io de Taylor y resto de Lagrange. E n el teorem a anterior, al poli nomio

W

= /(aro) +

- io ) +

- * 0) 2 + ■■■+

se le llam a polinomio de Taylor de orden n de / en

ñ- w

xq

- * ü )n

y al térm ino

= F ? i y r ( :c - " 0 ,',+1

so lo denom ina rosto do Lagran ge do orden n. Teniendo on cu en ta el Teorom a 4. 75, ol error com etido al aproxim ar f ( x ) por PrXx ) es T?n(z), donde c es un valor perteneciente al intervalo abierto de extrem os Zo y z y se verifica que lío. x -* x o

> - Pf

> = 0.

(X — X o ) n

Se llam a polinomio de M ac Laurin al polinomio de Taylor en zq = 0.

1 6 3

I a' j

k r o c ío s

R

u s i j k i .t o s

d io

F

u n d a m en to s

M

a tk m

At i c o

s

2 . T A B L A D E D E R IV A D A S A continuación, se presenta u n a relación de derivadas inm ediatas. 4.77. =

¿ [ / ( a ) ] " = « l / C * ) ] " - 1 ■/ ' ( * ) .

VneZ

4.78.

-j-\ fx = — } £&

n ^ a :n -1

-y- \ / f { x ) = --------

,

* , / / CT)» n > / [ / ( ^ ) ] rt_1

^

Vn€N \{0}

4.79. ¿ 1 ^

1

¿ I /,/

vv

/ '( *

d ¿ h l{f{x )) = W )

hl * = P

4 .8 0 .

4.81. ^ o * = o * •lu(o),

= a /( l ) •ln (a) •/ ' ( x ) ,

Va > 0.

4.82. — sen x = cosx,

dx

— s e n í / ( x ) ) = e o s í / ( x ) ) •f ' ( x )

dx

4.83. ^

cosa: = - sena:,

^ c o s ( / ( x ) ) = - s e n ( / ( x ) ) •f ( x )

4.84.

d 1 < * y - t a n x = — t— = 1 4- t an x , dx c o s ¿x

í tan(/W) = ^ ¡ T W ) = {1+ta“2W *)» ■f'W 4.85.

d dx

— cot x

¡ s co,(/(l))=

1 64

1 . 2 \ t— = —(1 4- c o t x ) , sen^ x ' = ~ { 1 + " , 2 ( / W ) ) ' /,(I)

F U N C IO N E S DK UNA VAUIAIÜ.K

4 .8 6 .

- r - s e c ( / ( x ) ) = sec ( f ( x ) ) •t a n ( / ( x ) ) •f* { x ) itX

— s e c x = s e c x •ta n a :, LÍX 4.87. —

CSC

X = — C SC x •cotx,

^ c s c ( / ( x ) ) = —c s c (/(x )) •c o t(/(x )) •f ' ( x )

4 .8 8 .

d dx

arcscn x =

.

1

, v /T ^ 1

d /c/ „ — a r c s p n (/(x )) = dx w w /

f' { x ) - [/(*)}

4.89. i dx

are eos x = — .

1

,

d ,, — are c o s í / ( x ) ) = dx "

/ '( x ) ^ /i _ [/( *) ]

2

4 .9 0 . d I d u f'(x ) — a rría n a: = -------------- — a r c t a n j ( x ) ) = dx 1 + x2 ’ dx ' 1 + [/(x)]2

3. 3.1.

E JE R C IC IO S R E S U E L T O S E l c o n j u n t o d e lo s n ú m e r o s r e a le s . S u c e s io n e s

E j e r c i c i o 4 . 1 . Determ ínense
(6 ) S = { x € R : |x| < 1 } ,

(c) C = { x € R : |x| > 1 ),

(tí) D = { x € R : |x — 3| < 5 ).

S o lu c ió n , ( a ) Se tiene que \x —1| = 2 si y sólo si o bien x —1 = 2 o bien x —1 = —2 (véase 4.3), os decir, si y sólo si x = 3 ó x = - 1 . P o r tan to , .4 = { - 1 , 3 } . (6) Teniendo en cu en ta la propiedad número 5 en 4. 4, la desigualdad |x| < 1 es equivalente a - 1 < x < 1. Luego B = [ - 1 , 1 ] . ( c) Obsérvese que C es el conjunto de los puntos x € R tales que x ^ B . Así pues, C = ( - o o , - l ) u ( l , + o o ) .

1 6 5

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


(d) De m odo análogo al ap artad o ( 6), se tiene que |x - 3| < 5 si y sólo si - 5 < x — 3 < 5, o equivalentem ente, - 5 + 3 < x < 5 + 3 , po r lo que D = [ - 2 , 8 1 . E j e r c i c i o 4 . 2 . Determ ínense el suprem o y el ínfimo, si existen , de los siguientes conjtintos contenidos en R .

[a) A = [ - 1 , 3 ) U ( 5 , + o o ) ,

16) B = { x € R : \x - 5| < 2 } ,

[c) C = {x € R : x 2 - 2 x - 3 < 0 } ,

Id) D = { x € R : x 2 > 4 } .

S o lu c ió n , (a ) C laram en te, .4 e s tá aco tad o inferiorm ente (véanse 4 .8 y 4 .9 ) y ínf .4 = - 1 . A dem ás, obsérvese que el ínfimo de .4 pertenece a A> luego es, de hecho, el m ínim o de A, es decir, m í n . 4 = ínf .4 = - 1 (véase 4. 10). Sin em bargo, el supremo de .4 no existe y a que el conjunto no está acotad o superiorm ente. (6 ) E l conjunto B se corresponde con el intervalo abierto ( 3 , 7 ) y a que |x - 5| < 2 « = > —2 < x — 5 < 2 « = > —2 + 5 < x < 2 + 5 « = > 3 < x < 7, luego ínf B = 3 y sup B = 7. Así pues, B es un conjunto acotad o (véase 4. 9). En este caso, ni el ínfimo ni el suprem o de B pertenecen a B , por lo que ínf B no es mínimo y s u p B no es m áxim o de B . (c ) Resolviendo la inecuación x 2 - 2 x - 3 < 0 , resu lta que

x € C

—1 < x < 3,

por tan to, C = [—1, 3], deduciéndose que í n f C = —1 y s u p C = 3 y que, por tanto, C es un conjunto acotad o. E n este caso, tan to el ínfimo com o el supremo de C pertenecen a C , luego mín C = ínf C = - 1 y m áx C = sup C = 3. (d ) D es el conjunto de los puntos x € R que satisfacen la inecuación x 2 - 4 > 0, que tiene p o r solución ( - o o , - 2 ) U (2, + o o ). P o r consiguiente, D no e s tá acotado ni superior ni inferiorm ente, concluyéndose que no existen el ínfimo ni el supremo de D. E j e r c i c i o 4 . 3 . Dem uéstrese a p artir de la definición que lím ^ + 1 — 2. nô©

TI

S o lu c ió n . Según la definición de lím ite de una sucesión (véase 4. 13) , dado e > ü hay que dem ostrar que existe un núm ero natural no ta l que 2n + l n

166

< £,

p a ra todo n > no.

F U N C I O N E S I>K U N A V A R l A I i !.E

P a r a cualquier n € N se tiene que 2n + l

n P o r tan to,

,

¿

2 n + 1 - 2n

1

1

n

n

n

- 2| < € si y sólo si £ < * , o equivalentem ente, n >

Así

pues, si se considera no cualquier núm ero natural m ayor que £ , entonces p ara lo que implica que ¿ < € p a ra todo n > no-

todo n > no se tiene que n > no >

E j e r c i c i o 4 . 4 . Considérense las sucesiones: (« ) í í - 1) " } ,

W {s e n (m r )},

(c ) {c o s ( m r ) },

( < o { ^ } .

(<0 { ( - l f c o s M } ,

(/) { ( ! ) " } ■

Indique las afirm aciones correctas: 1. Las sucesiones ( a ) , (é) y ( c ) son no convergentes. 2. Las sucesiones (6 ) y (e ) son convergentes. 3. L uí- sucesiones (o ) y ( / ) son no convergentes. 4. La? sucesiones ( d) , ( e ) y ( / ) son convergentes. S o lu c ió n . L a sucesión ( a ) altern a consecutivam ente los valores - 1 y 1, con signos opuestos, por ta n to , no es convergente. E s te tipo de sucesiones se denominan alternadas. Con respecto a la sucesión (b), se tiene que sen (m r) = 0, p ara todo n € N, luego se tr a ta do la sucesión con stan te {() } , que evidentem ente converge h acia 0. P o r o tra p arto, la sucesión (c ) es tam bién altern ada, puesto que . s f eos n7r) = <

y

1 1

si n im par si n par,

así pues, no es convergente. E l término general de la sucesión (d ) se escribe com o producto de la sucesión a co ta d a {se n ( * y ) } y la sucesión { ¿ } , que tiende h acia 0 , luego por cl T eorem a 4 .1 9 (b ) se deduce que la sucesión (d ) converge hacia 0. P a r a la sucesión (e ) se tiene que ( —l ) n cos(n7r) = 1, p a ra todo n € N , por tan to , (e ) es la sucesión constan tem ente igual a 1 y converge h acia 1.

167

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


Fox último, resulta que

por lo que la sucesión ( / ) tam bién es convergente. Así pues, las afirmaciones correctas son la núm ero 2 y la núm ero 4. E j e r c i c i o 4 . 5 . Estudíese la m onotonía de la sucesión { x n} en cad a uno de los siguientes casos: ( a ) x n = ( —l ) 2" , { b } x n = en , _________________________ ( c ) ^

S o lu c ió n , (o )

= ^ »

( d ) S n = ( - j ) " __________________________

Obsérvese que p ara cad a n € N se tiene que

( - 1 ) 271 = 1. P o r tan to,

la sucesión { ( — l ) 2n} es constantem ente igual a 1 (véase 4 .2 0 (c )). (6 )

C laram en te, x n = en < en+1 = x n+\. Luego la sucesión { e n } es e stricta

m ente creciente (véase 4 .2 0 (a )). (c ) P a r a cad a n € N se tiene que

* n+l

(n + l ) + l

n + 1

n + l

n

Xn_

n (n — 2) - (n + l ) 2

~

n (n + 1 )

1 _

^n

n (n + l )

Así pues, x n+x —x n < p ara todo n € N, deduciéndose que { * - — } es e stricta m ente decreciente (véase 4 .2 0 (b )). (d ) Los tres prim eros térm inos de la sucesión son X\ = - 5 , 2 2 = \ y x ¿ =

y

se tiene que x\ < X2 y X2 > x¿. P o r consiguiente, e s ta sucesión no es ni m onótona creciente ni m onótona decreciente. E j e r c i c i o 4 . 6 . Estúdiese la m onotonía y acotación de las siguientes sucesiones:

¿Q ué se puede decir sobre la convergencia de las sucesiones anteriores? S o lu c ió n , (o ) Se t r a t a de una sucesión oscilante, ya que to m a consecutivam ente los valores 5, g , 5 , ^

P o r tan to , no es m onótona. Sin em bargo, sí es a co ta d a ya

que el m áxim o valor que to m a es 5 y el mínimo g.

168


( b ) R esulta que n + 1

n

ne —n —1

gn+1 =

x n - x n+í = — -

n ( e — 1) — 1

. > 0,

ya que n (s - 1) - 1 > 0 y en+1 > 0, p ara todo rt € N. Luego x n > x n+\, por lo quo la sucesión {:cn } es estrictam en te decreciente (véase 4. 2ü( b)) . Po r ot r a parte, puesto qup en > n, p a ra todo n € N, se tiene (pie |^| = -fr < 1. P o r consiguiente, la sucesión { ^ } tam bién es acotad a. C laram ente, la sucesión del ap artad o (a ) no es convergente, por ser oscilante, lo que dem uestra que el recíproco del T eorem a 4. 17 no se cum ple. C on resp ecto a la sucesión del ap artad o (b), puesto que es m onótona y a co ta d a , se concluye por (4 T eorem a 4.21 (jue es convergente, de hecho, converge h acia 0 , y a que

1

Tí

= — < — , p ara todo n € N, 6

y com o línin—*co

6

= 0, se deduce por 4 . 19 ( a ) que l í n v ^ ^ = 0.

E j e r c i c i o 4 . 7 . Calcúlense los siguientes límites de sucesiones: lím ( - 4 n 2 + n ) ,

(a ) n

(c

- * o

c

v

( 6 ) lím ^

'

n - » o ©

( 2 n2 - n \ n

lím r - 5 - — n—»co \ 5 n ¿ + n /

,

d)

5

3 . n

J

+

6

í l n ¿- n\ " lim 3 n—*co \ 4 n6 + 3 /

S o lu c ió n , (u) Cuando se t r a t a de calcu lar el límite de u n a sucesión cuyo térm ino general es un polinom io, es conveniente sacar factor com ún a la potencia de m ayor grado del polinom io. De este modo, lím n 2 ( - 4 +

lím í - 4 n 2 + n) = n

— * o c

'

(6)

n

V

— * o c

lím n 2

= T i

/

n

— » o o

Se obtiene una indeterm inación del tipo

P a r a calcu lar el límite de

este cociente de sucesiones polinóm icas, se divide num erador y denom inador por

ns ydonde g = m á x { 5 1 , 5 2 }i siendo 91 y 92 <-1 grado del polinomio del num erador y el grado del polinomio del denom inador, respectivam ente. E n este caso se divide por na , resultando lím n

- * o

o

3~ 2" = 5

n

*

+

b

lím n

- * o

o

= 5 = o. 5

+

- %

5

1 6 9

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


(c ) El grado del num erador y del denom inador es 2. Luego dividiendo por n 2 am bos térm inos, se deduce que r 2 r¿ -n y 2 - i 2 hm - 0 ------= um , —r « ? , n->o© 5 n ¿ + n oo 5 + i 5 y l í n i ^ * ( g £ í “ ) “ = ( | ) + °° = O, y a que g < 1 . (d ) Se tiene que l í n i „ ^ ( + + ) = \ y línin^co k = °> Por ta n t0

E j e r c i c i o 4 . 8 . Calcúlense los siguientes límites de sucesiones: a ) lím ( v n + 1 — y/ñ), n—*°° ’

( 6 ) lím

1

y/n 2 _|_ 3 _ y^n 2 _ n

S o lu c ió n , ( a ) R esu lta u n a indeterm inación del tipo + o o - oo. E n esta situación, se procede m ultiplicando y dividiendo por el conjugado de >/n + 1 - y/ñ: lím ( v n + l — n-*CO '

(6 )

( V ñ T T - y/ñ){y/n + 1 + v ^ ) ,_____ y/n + 1 + yjn

=

lím tWOO

=

n + l-n 1 1 hm .-------— = hm .-------— = ------ = U. n-»cc ^/n + 1 + y/n n-»cc ^/n + 1 + \/n +oo

A parece una indeterm inación del tipo + 0 0 - 0 0 en el denom inador, por lo

que se m ultiplica y se divide la expresión por el conjugado de \/n 2 + 3 - s/n 2 - n, resultando que ,, hm

1 ,______ , n-*ocy/ n 2 + 3 _ ^ 2 v

_ n

=

,, \/n 2 + 3 + \/n2 - n hm n->ce (v^ri2 + 3 - \/rc2 - rc)(Vrc 2 + 3 + \/n2 - n )

v^n2 + 3 + \/n 2 - n

" n-Ío© n 2 + 3 - (n 2 - n)

\^n2 + 3 + \/n 2 - n " n

’

E n este punto, se obtiene una indeterm inación del tipo ^ 22. P a r a elim inarla, se procede dividiendo num erador y denom inador p o r la poten cia de m ayor grado de

n que aparece en la expresión. E n este caso, se divide p o r n (obsérvese que aunque

1 70


en el num erador ap arece el monomio n 2, al estar introducido dentro de una raíz cu ad rad a la m ayor poten cia del num erador es Vñ? = n ) y se tiene que [¡m

+ ^

_

TI + o

n -» o c

+ ^

[¡m

_

1 + 4

n -» o c

i¡m y ^ + y 1 +

n -» o c

a

E j e r c i c i o 4 . 9 . Calcúlense los siguientes límites de sucesiones: /

.)

1 1\

*

a) lím ( ------- 7 ) nôc

,

n —4 7

( 6 ) lím V 3 n - 2 , v n-> oc

(c )

/ i1 lím n- >ocV5n —

\ n* 2

S o lu c ió n , (o ) R esu lta una indeterm inación del tipo l +oc. E s te tipo de límites se resuelven con el núm ero e, P a r a ello, se opera convenientem ente p ara que en el térm ino general de la sucesión ap arezca la expresión del resultado 4.23: n+3

n+3

=

n - 4

1+

5

\ n+3

TI - 4

-

I 1 + i= 4 5n4-l 5

n—4

1 \ 2f Í -¿ 4 ('* + 3 ) =

1

1

n —4 5

n —4 5

P o r tan to, por 4 .2 3 se tiene que

líin

n + 1

>cc V n

n—4

\ n+3

4 /

5

=

ií líin n

= ellm"

n—4

> o o

2 _

6n+lB n-4~ •»

5n+ 15 n -4

= e

5

_

( 6 ) Obsérvese que V 3 n — 2 = (3rc —2)

\

, luego al considerar el lím ite cuando

n tiende hacia infinito, se obtiene m ía indeterm inación del tipo (+ o o )° . Puesto que la sucesión {3 n — 2 } es de térm inos positivos, ya que 3 n — 2 > 1, p ara todo n € N , por 4 .2 2 se tiene que lím (3n - 2 ) ¿ = lím e > (3rt- 2) = eUm— n— too n —» c c

lnQn—2) ^

171

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


Luego hay que determ inar l í m ^ - ^

P a ra ello, obsérvese que 0 < lu x < z ,

p ara todo x > 1 (véase la F ig u ra 4. 1), p o r lo que, en p articu lar, 0 < ln (3n — 2 ) < 3n - 2 y l n ( 3 n - 2)

_ ln(3n~2)

n2

. 3n - 2

n2

n2

”

Com o 1ínin-ôc ZSpZ = 0, aplicando 4 . 1 9 ( a ) se obtiene que lím ^ o © ifl^ ~ 2^ = 0 y, por tan to , lím a_>0O(3n - 2 ) ^ = e° = 1.

Figura 4.1. Funciones f( x ) (c )

y p(x) * ln(s).

E n este caso, se obtiene 0 +o° = 0 . P a ra com probarlo (aunque no es necesa

rio) se puede proceder com o sigue. L a sucesión j

^

^érininos positivos,

pues 5n — 2 > 0, p ara to d o n € N, p o r lo que de nuevo por 4 .2 2 se tiene que

2

n-*oc y 5tt — 2 /

= ljm e n 2 ln & h z = elím„-,©on2 (lnl-ln(5n-2)) n-*oc =

g lim n _ .d e - n 2ln ( & n - 2) =

g ( - o c )(+ o c ) =

g -o e =

q

E j e r c i c i o 4 . 1 0 . Calcúlense los siguientes límites de sucesiones:

.... a hm

6n

v ' n-»o© 5 +

6

sen(7rn2) + cos(n7r) hm — - --------------- -—

n-*oc

n

S o lu c ió n , ( a) R esu lta una indeterm inación del tipo 6n

1

/6\n

5n + 2 “ 5n 5 2 “ 25 ’ U /

1 72

n! hm —

n-*oc nn

Sin em bargo, obsérvese

que 6n

(c

’


P o r tanto, 6" ^ (6)

5

^

1

/6\ ^ °

= 25‘

5

, = + 0 °-

L a sucesión {sen (7m 2)+ c o s (rc 7 r)} es acotad a, y a q u e aplicando la desigual

dad triangular (véase 4. 4) se tiene que |sen(?rn2) + cos(n?r)| < |sen(7rn2)| + |cos(nff)| < 1 + 1 = 2. P o r o tra parte, la sucesión { £ } tiende h acia 0 cuando n tiende a infinito, luego por 4. 19(b) se tiene que

sen(?m 2 )+ c o s (rc 7r) 1 ( . 2x , , lnn --------------------------- = hm - scnÍTrn ) + cos(n7r)) = 0. n

n -»o ©

n -» o ©

Ti

v

'

"

(c ) Obsérvese que n! < nn _ 1 , p a ra todo n > 1. E n efecto, se tiene que

n\ = n (n - l) ( n - 2 ) - - - 2 - l < n - í i - n - - - n - l = nn_1, (por ejemplo, p a ra n = 4 : 4 ! = 4 ' 3 * 2 ' l < 4 •4 •4 •1 = 4 3). Teniendo en cuenta esta desigualdad, resu lta que

n\ _ n\ nn

nn “

nn 1 _ 1 nn

n'

y puesto que límn-»co - = 0, por 4 . 1 9 (a ) se tiene que lím n-»co

3 2.

= 0.

L ím ite s d e f u n c io n e s r e a le s

E j e r c i c i o 4 . 1 1 . Calcúlense, si existen, los siguientes límites: (a ) lím (e1 -1 + \x — 2|), x —*1 '

(b) lím X + X r-*3

12,

X — á

(c)

S o lu c ió n , (o ) E s claro que lím ( e * - 1 + \ x - 2|) = e1-1 + |1 - 2| = 1 + 1 = 2.

173

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


( 6 ) Al calcular este lím ite, resu lta una indeterm inación del tipo que x 2 + x — 12 = ( 2 —3 ) ( x + 4 ). P o r tan to,

Obsérvese

,, x 2 -\-x - 12 ,, (x — 3 )(x + 4 ) , , , , „ h m ----------- — = hm ---------^ 1 = l u n f a + 4) = 7. x ->3 x - 3 x ->3 x - 3 x-> 3 v ' De nuevo, se obtiene la indeterm inación jj. Teniendo en cu en ta (pie sen 2 x =

(c)

1 — cos2 x resulta 1 _ co s2 x ( X P - c o s a ; 1) • + c o s a ;') lím — %= lím -2------------ ^ = lím ^ ' 1 X —» ícosx—^ ^ íc o s x —^ I - ,í COS2— ^2 sen 2 x — £1

= JT . -

(d)

(

+ c“ * )

t

= -

(

t

+ T

)

E n este caso, el num erador tiende h acia 5o =

=

1 y el denom inador se

aproxim a h acia 0 tom ando valores positivos (lo cual se indica con 0 + ), ya que

x 2 > 0. p ara to d o x € K. P o r ta n to , se tiene que i' 1 = +, o o . h m -5*s = prx x - > 0

x

2

0

+

E j e r c i c i o 4 . 1 2 . Calcúlense, si existen, los siguientes límites: 2^3

Q j.

(o)x^ + o c(^ _2)(3^ + l)’ (c )

lím x -> + o c $ 2

+ tq + 1 +

W x ij+ c o T ^ ’

t X*

{d)

—1

lím

x-»-oe

í !_ f ! 2x2

+ 1

S o lu c ió n , ( a ) R esu lta una indeterm inación del tipo Com o se t r a t a del límite en + o c de un cociente de polinomios, se procede dividiendo num erador y deno m inador por x 9, donde g = m á x { 0 1 , 02)1 siendo 01 y 02 el grado del polinomio del num erador y el del denom inador, respectivam ente. Obsérvese que el denom inador es igual a 3 x 3 + x 2 - 6 2 - 2, por tanto, 01 = 02 = 3 y hay que dividir num erador y denom inador por x 3 , resultando

2x 3 „ ¿ j ‘ 2x3 — tttt:----- tt = hm x - í + o o (x 2 - 2 )( 3 x + 1) x - í + o o Jy . (3 x 3 + x 2 - 6 2 - 2) hm

=

1 74

2

lím r ^ + c c 3 +1 IX - x4 ¿ - A x °

2 3+ 0 - 0 - 0

3*


(6 ) En este caso, se divide num erador y denom inador p o r x ¿ y se tiene que

lím X - » + C ©

j - ^ = 1

lím

X2

-

T Í -

X - M - C ©

-

= - i - = 0 . 1

0

-

1

L a potencia de m ayor grado del num erador es x s = x 3 y la del denom ina

( c)

dor es tam bién x 3 , y a que la m ayor p oten cia de v/ 2 x 6 + 1 es x ? = x 2. Así pues, dividiendo num erador y denom inador por x 3 se tiene que \/ 3 x ti + 2 x

Urr>

_

x-!+ \ c ¿/ 2xtí + 1 + x 3 - 1

=

ito

v

x -» + 0 ©

Jy . ( ^/2xtí + 1 + x 3 - 1)

=

y

3 / 2 x ^ 4 -l

^ •V 3 x 6 + 2x

, 1

1

ii„,

= ^

x -» + 0 ©

\ ^ r - + 1 - ít

3/ 2

,

, 1

1

1

+ 1 - p-

1

= A

(d ) Dividiendo num erador y denom inador por x 3 resulta

lím

x2 - x 3 0 2

X -> -0 © 2 x 2 +

1

=

lím

«i - 1 -1 y — p = ñ r = - l ( - o o ) = +oo.

* - > - 0© ¿ +

- j*

O"

'

'

E n el cálculo de este lím ite, cuando x to m a valores negativos cad a vez m ás pe queños, el denom inador | + dj se aproxim a hacia O tom ando valores negativos, lo cual se h a indicado con la notación O- . P o r ta n to , ¿ 1 j tiende h acia —oo y ( i - 1) •t t - t ftc aproxim a h a d a ( - 1 ) ( —oo) = + o o . r

E j e r c i c i o 4 . 1 3 . Calcúlense, si existen, los siguientes límites: ( a ) l í m -------—, ' ' x— *2 X - 2

(b) lím — , x—»0

X

\c)

lím — — x-»-oo ex +

S o lu c ió n , (a ) Al calcular el lím ite, el num erador tiende h acia 2 y se anula el denom inador, por lo que el lím ite es o bien + o c , o bien —oo o no existe. Cuando

x se aproxim a h acia 2 por la izquierda, es decir, tom ando valores c a d a vez más próxim os a 2 y menores que 2, el denom inador se aproxim a h acia ü tom ando valores negativos, lo cual significa que X 2 lim = — = —oo. x —»2“ x — 2 O ./

1 7 5

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


A nálogam ente, se deduce que

vnm -----x = —2 = + 0 0 . x _>2+ x - 2 0+ Com o los limiten laterales no coinciden, se concluye que no existe el límite. (¿ ) E s claro que j x [ __r —i

x

\1

< o > O

si x si x

P o r tanto, lím — = lím - 1 = - 1 , i- * o - x x-*o-

lím — =

lím 1 = 1,

x

y puesto que los límites laterales son distintos, no existe el límite. (c ) Se tiene que ,,

4X3

4 ( —oo)3

—oo

r —5“ ce ex + 2 “ e - ° ° + 2 “

0 + 2 00 ’

E j e r c i c i o 4 . 1 4 . Calcúlense, si existen, los siguientes límites: , . (a )

lnn x -*+ o o

sen i + 1 j— , X4

(b)

lnn

x 2e“ T

v ' x -*+ o c x 2 +

e?

S o lu c ió n , ( a ) E l num erador s e n x + 1 es una función a co ta d a y a que aplicando la desigualdad triangular (véase 4. 4) se deduce que |s e n x + 1| < |senx| + |1| = |senx| + 1 < 1 + 1 = 2. Además, d* tiende liacia O cuando

x

tiende a + oü . P o r tan to , por la propiedad

4.31 (b) se concluye que hm x-»+o©

(b)

sen x + 1 r— = 0.

X4

E l num erador tiende h acia ( + 0 0 ) • 0, que es una indeterm inación, y el

denom inador h acia + 0 0 . Sin em bargo, obsérvese que


E n la segunda desigualdad se ha tenido en cuenta que z 2 + ex > x 2, por lo que

X'¿x+ ex < ~z- De este m odo, se puede simplificar el factor x 2 en el num erador y en el denom inador, resultando e- x , que tiende hacia 0 cuando x tiende a + 0 0 . E s ta forma do pro redor s u e l o sor útil para calcu lar l í m i t e s m ediante la propiedad d e l em paredado. En virtud de esta propiedad (en concreto de la propiedad 4. 31 (a) ), se deduce (pie lím

t

2p “

x

J L £ — = 0. t-*+ oo + e1 (c ) Obsérvese que la fundón f ( x ) = eos ( ? ) to m a valores en [—1,1] perió dicam ente, por lo que es lógico pensar que l í m ^ o / C z ) 110 existe. L a form a de dem ostrarlo es utilizando el resultado 4. 33, según el cual si límM o / ( ^ ) = ^ en tonces límn->o©/( xn) = í, p ara cualquier sucesión {x n } que converja h acia 0, Considérense las sucesiones {x n } = { ¿ }

y {yn} = { 271+1 }• A m bas sucesiones

convergen h acia ü y se verifica que lím f ( x n) — lím / ( — ^ = n—►oo ' n->00 \ 2 n /

lím eos | -a - | = lím cos(2n?r) = 1, n->oo \ ¿ / n-»oo

lím f { y » ) = lím f ( 0 1 ) = lím c o s í — | = lím c o s [ ( 2 n + l ) 7 r ] = - 1 . n->o© 71->©C \2ft + l / n->o© \ —J — j n->o© LV ' J Com o p ara {x n } e {yn } los lím ites anteriores son distintos, por 4 .3 3 se concluye que no existe límite. (d ) Se tiene que |cos ( ^ ) j < 1 y 21 — 1 tiende h acia 0 cuando x se aproxim a h acia 0. Luego por 4 .3 l ( b) resu lta que

3.3.

F u n c io n e s c o n tin u a s

E j e r c i c i o 4 . 1 5 . Estúdiese la continuidad de la función / : R -► R definida por:

( f(x ) = 1 (

x +10 \x\ + 4

_ 3 X 2 + 3X + |

si x < - 2 si - 2 < x < 2 si x > 2

1 7 7

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


S o lu c ió n . L a función / e s tá definida a trozos a p a rtir de las funciones / i ( x ) = x + 1 0 , f i (x ) = \x\ + 4 y / 3 (x ) = —| x 2 + 3 x + 1 , que son continuas en R , y a que f\ y

son polinóm icas y

es la sum a de la función valor absoluto, que es continua

en E , con la función constantem ente igual a 4. P o r ta n to , / es continua en todo E salvo quizás en los puntos x = —2 y x = 2, por ser los puntos de cam bio de un trozo a o tro de la función. Se tiene que / ( - 2 ) = - 2 + 10 = 8 . Puesto que / e s tá definida de diferente form a a la izquierda y a la derecha de x = —2, p a ra determ inar lím x _»_2 f ( x ) hay que calcular los límites laterales, que son: lím

f{x )=

x -*-2 ~

f(x )=

lím

lím

(x + 10} = - 2 + 10 = 8,

x -*-2 ~

lím (Ixl + 4 ) = I - 21 + 4 = 6.

Com o los límites laterales no coinciden, no existe límT_»_ 2 / ( x ) (véase 4 .2 8 ) y por tan to / no es continua en x = - 2 (véase 4 .3 5 ). til timo, considérese el punto x = 2. Se tiene que / ( 2 ) = |2| + 4 = G y los límites laterales son: P ot

lím f ( x ) = lím (\x\ + 4 ) = |2| + 4 = 6, *->2“ x-*2“

Um m

=

( - ^ a + S . + 5 ) = - § * + 3 ■2 + ¡ = 6.

D ado que los límites laterales son am bos iguales a 6 , se tiene que U m /( s ) = 6 = /(2 ),

por tan to / es continua en x = 2 (véase 4 .3 5 ). Luego es continua en R \ { - 2 } . E n la F ig u ra 4 .2 se representa la función. Obsérvese que en el punto x = - 2 la función tiene una discontinuidad de salto fin ito , que tiene lugar cuando los límites laterales en un punto son finitos pero no coinciden. E j e r c i c i o 4 . 1 6 . E s tá dioso la continuidad do la función

' e* g{z) =

1 78

2C O^S I 1 2

1 si x < 0 si 0 < X < 5¿ si X = | si x > |

FUN CIO N ES D E UNA V A RIA RLE

Figura 4.2. Gráfica de / . S o lu c ió n . Las funciones g\ (x ) = eT — 1, ¿73 (x ) = 1 y 54 (x ) = 2 son continuas en R y la función c?2 (^ ) =

es continua en K salvo en los puntos donde c o s x = 0 ,

luego on particular g 2 es continua en el intervalo abierto ( 0 , f ) * Po r tanto, g es continua en R salvo quizá en los puntos de unión de los trozos, que son x = 0 y x = f . Se tiene que g ( 0 ) = e° - 1 = 0 y lím g(x) = lím (e * - 1) = e° - 1 = 0, x->o-*v ' x-»o-v '

lím g (x ) = lím SCn x- » o+* v ' x-» 0 + c o s x

= 7 = 0.

1

C om o los límites laterales coinciden y son iguales a <7 ( 0 ), la función g es continua en x = 0. P o r o tra p arte. h m g[x) =

sen 2 x h m -----------= X -. 5 - c o s x

2 senxcosx hm ------------------ = cosx

ir

hm l s e n x = 2 sen — = 2,

2

lím p( x ) = lím 2 = 2 . *-> 5 + *-> 5 + E 11 el cálculo del prim er lim ite, se ha utilizado la identidad trigonom étrica sen 2 x = 2 sen x eos x, p ara poder simplificar y así eliminar la indeterm inación Así pues, los límites laterales de g en x = \ son finitos c iguales a 2 , deduciéndose que lím r _»* g (x ) = 2. Sin em bargo, com o g por lo que g no

oh

) = 1, resulta que límx_>*
),

continua en osle punto.

E n la Figu ra 4 .3 se m u estra la gráfica, de; g. E n d punto x = ^ la función no coincide con el lím ite, pero se podría haber evitado la discontinuidad en ese punto definiendo g (| ) = 2. P o r este m otivo, cuando existe el lím ite de una función en un punto pero la función no está definida en dicho p unto o to m a un valor diferente al d d límite, se dice que la función tiene una discontinuidad evitable en ese punto.

179

[<'j R i t c i c

io n

R

e x iir l t o s

ijk

F

iin o a m e n t o s

M

a t e m á t ic o

*

Figura 4.3. Gráfica (le g.

E j e r c i c i o 4 . 1 7 . D adas las siguientes funciones, eslúdiese si verifican las hipó tesis del teorem a de Bolzano en Los intervalos que se indican. (o ) f ( x ) = x * + 2x2 - x - 4 en cl intervalo [1,2]. (6)

/(*) = ^

en el intervalo [1,3].

(c ) f ( x ) = t a n * en cl intervalo [ J , 2jL] (d ) f ( x ) = ex + e_3T - 4 en cl intervalo [O, 2]. S o lu c ió n , ( a ) L a función / verifica las hipótesis del teorem a de Bolzano en el intervalo [1,2] (véase 4 .3 9 ) y a que es continua por ser polinóm ica y se tiene que / ( 1 ) = - 2 y / ( 2 ) = 10. con lo que / ( 1 ) . / ( 2 ) < 0. (6)

E n esle caso, / no verifica las hipótesis de) teorem a de Bolzano en cl inter

valo [1,3] y a que, aunque presenta cam bio de signo en los extrem os del intervalo, tío os eoTilínua oti dicho inlorvalo, l.iono una discontinuidad en cl punió x = 2 (c) L a función / no verifica las hipótesis dol teorem a de Bolzano en el intervalo [ f i j l y a que no es continua en didio intervalo, presenta una discontinuidad en el punto x = ^ ,

[d) L a función / verifica las hipótesis del teorem a do Bolzano en cl intervalo [0,2] va que es continua p o r ser sum a de exp oncnd alcs y una constan te, y se tiene que /(O) = - 2 v / ( 2 ) = 3, 39 con lo que /(O) •/ (2) < 0. E n las Figu ras 4 .4 -4 .7 se m uestran las gráficas de / p ara c a d a uno de los cu alro

IS O


casos. Obsérvese que en los casos (o ) y (d ) la fundón / satisface las hipótesis del teorem a de Bolzano en el intervalo indicado, luego la ecuación f ( x ) = 0 tiene una raíz en dicho intervalo, que se corresponde con la coordenada x del punto de corte de la gráfica de / con cl eje X (véanse las Figuras 4 .4 y 4. 7). Sin em bargo, en los casos ( 6 ) y (d ) no se verifican las hipólesis del teorem a de Bolzano, por lo que no so puedo garantizar la existen cia do raíces do f { x ) = 0 en ca d a intervalo indicado. De hecho, com o se puede ver en las F ig u ras 4 .5 y 4. 6, f { x ) = 0 no tiene raíces en estos dos casos.

F ig ura. 4 .4 . ( a )

F ig u r a 4 .5 . (6 )

F ig u ra 4 .6 . (c )

F ig u ra 4 .7 . (<¿)

E j e r c i c i o 4 . 1 8 . Com pruébese que la ecuación x + s c n x — 1 = 0 tiene al menos una solución real. S o lu c ió n . Considérese la fundón real de variable real f ( x ) = x + s e n x - 1. Se tr a ta de encontrar un intervalo cerrad o en cl que / verifique cl Lcorcma de Bolzano. L a función os conlinua en R por ser sum a de funciones continuas, con lo que es suficiente encon trar dos valores en los que presente cam bio de signo. L a imagen m ás sencilla de obtener es la del 0 (pie vale /(O ) = - 1 . Como / ( i ) = 1 + * ” * = i ' resulta que / ( O ) •/ ( 3 ) < 0 y por tan to cl teorem a de Bolzano garan tiza la existencia de al m enos una soludón en d intervalo (0 , | ) . E n la Figu ra 4 .8 se puede ver que la fundón / c o rta al eje X , L a coordenada

x de ese punto do corlo se corresponde con la solución de la ecuación f ( x ) = 0.

181

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


Figura 4.8. x + seno; — 1 * 0 tiene solución on [0, j ] .

E j e r c i c i o 4 . 1 9 . Com pruébese que f ( x ) = 4 x 2 — 1 verifica las hipótesis del teorem a de Bolzano en el intervalo [0,2] y apliqúese el m étodo de la bisección p ara aproxim ar la solución de la ecuación f ( x ) = I) en dicho intervalo. S o lu c ió n . P o r el teorem a de Bolzano se tiene (pie si / es continua en el intervalo

[a , 6] y presenta distinto signo en los extrem os del intervalo, entonces existe al m enos un punto c € (a , 6) que es solución de la ecuación f ( x ) = 0. E ste resultado posibilita la obtención de valores aproxim ados de la solución de la ecuación f ( x ) = 0 por el m étodo de la bisección (véase 4. 42) , que consiste en obtener el punto m edio c\ del intervalo [a, b], calcu lar f(c\ ) y com probar con cuál de los extrem os de [a, 6] la función / presenta cam bio de signo. Considerando el intervalo de extrem os esc valor y el punto C\ com o nuevo intervalo se re ite ra el proceso de bisección. E n este caso, f ( x ) = 4 x 2 — l e s continua en el intervalo dado y se tiene que / ( O) = —1 y / ( 2 ) = 15, luego /(O ) •/ ( 2 ) < 0, con lo que se cum ple el teorem a de Bolzano. E n consecuencia, la ecuación 4 x 2 - 1 en el intervalo [0,2].

= 0 tiene al m enos u n a solución

P a ra aproxim ar esa solución por el m étodo de la bisección, se obtiene el punto medio del intervalo, es decir C\ = ^

= 1 v se calcu la la im agen do esc punto,

/ ( 1 ) = 3. Com o / ( 0 ) •/ ( I ) < 0 se considera el nuevo intervalo [0,1] en el que / cumple tam bién el teorem a de Bolzano. Se repite el proceso y se obtiene el valoi o

1 82

^

Com o / ( | ) = 0, el


valor x = \ es la solución buscada y no hay que continuar. Con este ejemplo sencillo sólo se pretende ilustrar el m étodo de la bisección ya que, obviam ente, en este caso resolviendo la ecuación de segundo grado o despejando la x se ten d ría esta solución de una m an era m ás d irecta. E j e r c i c i o 4 . 2 0 . D ada la ecuación x 3 - 2x - 5 = 0 ,

( a ) justifiqúese que tiene al m enos una solución en el intervalo [2, 3], ( b ) obténgase el núm ero de iteraciones necesario p a ra conseguir, por el m étodo de la bisección, una aproxim ación de la solución con error menor que 0,05, (c) calcúlense los tres prim eros valores de aproxim ación por el m étodo de la bisección. S o lu c ió n , (a ) Sea f ( x ) = x 3 - 2 x - 5 . L a función / es continua por ser polinóm ica y se tiene que / ( 2 ) = - 1 y / ( 3 ) = 16, con lo que / ( 2 ) •/ ( 3 ) < 0 y se verifica el teorem a de B ol 2 ano, el cual garan tiza la existencia de al m enos una solución de la ecuación x 3 — 2x — 5 = 0 en el intervalo ( 2, 3) . (b)

Por el m étodo do la bisección, so construyo una sucesión de puntos medios

de intervalos, do form a que el prim ero es C\ = = | = 2 ,5 y que el error que se com ete al aproxim ar la solución c por el valor cn obtenido en la n-ésim a iteración está acotado com o sigue (véase 4. 43):

A p artir de la acotación anterior, se puede calcular el núm ero n de iteraciones necesarias p ara obtener una aproxim ación de la solución con error menor que un valor dado.

E li

este caso se debe cum plir que n sea tal que

| c „ - C| < ^ < 0 , 0 5 ;

(c )

¿ <

2

" ;

20 < 2";

n >

5.

Como / ( 2 ) = - 1 y / ( 3 ) = 16, hay al monos una solución cn el intervalo

(2, 3 ). Por el m étodo de la bisección, se calcu la el pinito medio del intervalo y su im agen, con lo que se tiene:

Cl = ^

= i b 2’5; /
183

E jR fic ic io *

R esu elto s d e F u n d a m en to s

M a t e m á t ic o s

Com o / ( 2 ) •/ ( | ) < 0, por el teorem a de Bolzano hay al menos una solución en el intervalo (2, | ) . R eiterando el proceso se obtiene un nuevo punto medio y su imagen, es decir: 2 + 5 /2 c 2

=

—

9 = | -= 2 ,2 5 ; / ( c 3) = / ( ? ) = -

1,89.

Com o / ( 2 ) •/ ( § ) < 0, al m enos hay una solución en el intervalo (2, j¡). Conti nuando con cl proceso de bisección, se obtiene un nuevo punto m edio y su imagen:

2 C3 = Com o / ( 2 ) ' f ( y ) ^

^

= iZ = 2 , 125; / , : « ) = / ( ¥ )

= 0,35.

teorem a de Bolzano g aran tiza que existe al m enos una

solución en el intervalo ( 2 , y ) Obsérvese que tras tres iteraciones la solución e s tá en un intervalo de am plitud 0 ,1 2 5 que será cl m áxim o error que se com ete al aproxim ar la solución real c por su aproxim ación C3 , y a que se tiene que: , 3 -2 103 — el < 23

= 0.125.

E n la F ig u ra 4 .9 se m uestra la solución de f ( x ) = 0 en [2,3] y las tres prim eras aproxim aciones a dicha solución por el m étodo de la bisección.

Figura 4.9. Aproximaciones a la raíz de r 2 - 2x - 5 = 0 en [2,3]. E j e r c i c i o 4 . 2 1 . Dem uéstrese que f ( x ) = ex + x verifica el teorem a de Bolzano en el intervalo [—1 , 0 ] y apliqúese el m étodo d é la bisección p ara obtener bus cu atro prim eras aproxim aciones a la solución de la ecuación ex + x = 0. Calcúlese una co ta del erro r que se com ete al utilizar esta últim a aproxim ación.

1 84


S o lu c ió n . L a función d ad a es continua en K por ser sum a de la exponencial, que es continua, y u n a polinóm ica. A dem ás com o / ( —1) = e- 1 - 1 = ^ - 1 < 0 y f(0 ) = f presenta cam bio de signo en los extrem os del intervalo y el teorem a de Bolzano asegura que existe al m enos un punto c € (—1 ,0 ) que es solución de la «niación. A continuación, se calculan las cu a tro primeras aproxim aciones a dicha so lución por el m étodo de la bisección. E l prim er valor cj es el punto m edio del intervalo [—1 , 0 ], es decir: = _ 1 = —0,5 ; f ( d ) = f ( - i )

c, -

* 0 ,1 0 6 5 > 0.

C om o / ( - 1 ) • f { - % ) < 0, por el teorem a de Bolzano hay una solución en el intervalo ( - 1 , - 5 ) , y el punto m edio de este intervalo es el valor de la segunda iteración por este m étodo. = _ 1 ~ 1 / 2 = - | = - 0 , 7 5 ; f ( c 2) = / ( - | ) ^ - 0 , 2 7 7 6 < 0.

C om o / ( - j ) •/ ( - £ ) < c3 -

la solución e s tá en el intervalo ( - j j ,

~ 3 / 4 ~ 1 /2 = - | = - 0 ,6 2 5 ; / ( c 3 ) - / ( - J ) -

- 0 , 0 8 9 7 < 0.

C om o / ( - § ) • / ( —§ ) < 0, la solución está en el intervalo ( - § 1 - 5 )- E n conse cuencia la c u a rta aproxim ación a la solución de la ecuación por el m étodo de la bisección es: * -

-

4

- - 0 ,5 6 2 5 .

E l error que se com ete utilizando este valor como aproxim ación de la solución está acotad o como sigue;

|C« - c| < Q ~ 2(4~ 1) = ¿

= 0 ,0 6 2 5 ,

E n la Tabla 4 .1 se resum en los cálculos realizados. E 11 la F ig u ra 4 .1 0 se m uestra la gráfica de / , en la que se puede ver que c o rta al eje X en el intervalo (—1 ,0 ], y en la Figu ra 4 .1 1 se m u estra la gráfica de / am pliada en torno al intervalo [—1 ,0 ], en la que se han representado las cu a tro prim eras aproxim aciones a la solución de f(x ) = 0.

185

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s

Iteración

a

b

1 2

-1 -1

0

3 4


-0 ,7 5

-0 ,5 - 0 ,5

m — — —

- 0 ,6 2 5

- 0 ,5

—

r — a+b C~ 2

m

m

E rror

+ + +

- 0 ,5 - 0 ,7 5 - 0 ,6 2 5

+

0,5 0 ,2 5 0,1 2 5

+

- 0 ,5 6 2 5

—

0,0625

— —

T a b la 4 .1 . M é t o d o d e la b is e c c ió n a p lic a d o a f ( x ) = e r + x e n ( - 1 ,0 ] .

3 .4 .

D e r iv a d a s

E j e r c i c i o 4 . 2 2 . Calcúlense, utilizando la definición, las derivadas de las siguien tes funciones en el punto que se indica: ( “ ) /(a=) = T F T , en i = 0 , (b)

g(x) =

( x — l)ex ,

en

x =

1.

S o lu c ió n , ( a ) Hay que calcular el siguiente límite Ihn / ( 0 + f t > - / ( 0 > = lim f e t + 1 = lini M 2 /. + D = ^ 2 h + l_ = 1 " “o k ""o k " " o 2 h (h + 2) ““o 2 ( k + 2) 4' Com o el límite existe y es finito, / es derivable un x = 0 y f ' ( 0 ) = | (véase 4 .4 4 ).

(b) Su tiene que s . (i , = llm á i ± > p m

h-*Q

k

= llm

= llm e, « =

h-*Q

n

h-*Q

,

E j e r c i c i o 4 .2 3 . Calcúlense las derivadas de las siguientes funciones:

(a ) f ( x ) = x 3 + t m ix ,

(b) g ( x ) = í V ,

(c ) h ( x ) =

S o lu c ió n . Consúltese, si es necesario, la tabla de la subseoción 2. (a )

L a derivada es inm ediata, pues es la sum a de las derivadas de x 3 y ta n x ,

respectivam ente (véase 4 .4 8 (b )): /'( x ) = 3x2

1 CO S2 X

186

FU N CIO N ES D E UNA VARIADLE

Figura 4.10. Gráfica do f( x ) = x + ex.

Figura 4.11. Aproximaciones a la raíz, do ex -\-x ^ 0.

( 6 ) Hay que aplicar la regla del prod u cto p ara las funciones g\{x

= *2 y

¿72 (x ) = ex (véase 4 .4 8 (c )), obteniéndose g'{x) = 2 x eL + x 2ex = x e x (2 + x).

(c ) En este caso, se aplica la regla del cociente p a ra las funciones h\(x) = x + c o s x y h 2 {x) = s e n x (véase 4 .4 8 (d )) y se tiene que , _

(1 — s e n x ) s e n x — ( x + c o s x ) c o s x _ s e n x — x c o s x — 1 sen *6 x sen^x

h ( x ) ---------------------

(recuérdese que sen2 x + eos 2 x = 1 ).

187

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


E j e r c i c i o 4 .2 4 . Calcúlense las derivadas de las siguientes funciones: (o ) f ( x ) = aictan (5a:4) >

( 6 ) 5 (3:) = ( z 5 + 2x3 — l ) 4 ,

(c ) h (x ) = \a ( * § $ ) >

W p(x) = V ^ T F .

S o lu c ió n . Consúltese la tab la de la subsección 2 , si es necesario. (a ) L a función / es la com posición de la función arco tan g en te con la polinóm ica

f i ( x ) = b x 4. Así pues, p ara calcu lar la derivada se aplica la regla de la cadena (véase 4 .4 9 ). E n la aplicación de e s ta regla, siem pre se deriva M e fuera hacia dentro”.

f ( x ) _______ 1

20j-3 _

I[X)

¿>

1 + (5 x 4) 2

20. a 1 + 25x8 ’

( b ) Aplicando la regla de la cad en a (primero se deriva la poten cia a la c u a rta y después se m ultiplica por la derivada de

x*

+ 2 x 3 — 1 ) se tiene que

g'(x) = 4 ( z 5 + 2 z 3 - l )3 • (bx4 + bx 2). (c ) Se tiene que h es la com posición de la función logaritm o con la función (x ) = 1 ^ 2 * A plicando la regla de la cadena se tiene que ,

fi (x i

_

(d)

1

2x (x — 2) — (x 2 + 1 ) •1 _

sz ± l

(x - 2 )2

x - 2

x 2 —i

x2+ l

x

- 1

(x -2 )2

_ x2 (a:2

+

l)(a^

x —

1

— 2)

L a función p es la com posición de la función raíz cu ad rad a con p i (x ) =

x 3 + 2*. De nuevo, por la regla de la cad en a resulta

p ' ( l )

=

2

7

5

f

+

F

'

( 3 l 2

+

2 '

l n 2 ) -

E j e r c i c i o 4 .2 5 . Calcúlense las derivadas de las siguientes funciones: (a ) f ( x ) =

( i ) g(x) = ¡E2 s e iia :c o s (:k 3 ),

(c ) h (x ) =

(<¿) p {x ) = (x2 + 1 )* .

S o lu c ió n . Consúltese la ta b la de la subsección 2 , si es necesario.

188

—i


(а ) Aplicando la regla del cociente, resulta

tn \ _ f[x )

“ * ) “ (x ln a 0 * 1 _ x — ln x — 1

+ x

[x — 1)2

•

Obsérvese que p ara calcu lar la derivada del num erador de / hay que aplicar la regla del producto. ( б ) Considérense las funciones 0 i ( x ) = x 2 s e n x y 0 2 ( x ) = c o s (3 x 3). P o r la regla del producto, se tiene que $ ; (s ) = 9 \ { * ) ' 9 2 { x ) + 9 \ { x )

92(x)

= ( 2 x s e n x + x 2c o s x ) ’ C os(3x3) + úr2 s e n x ) • ( - 9 x 2 s e n (3 x 3)) = 2 x s e n x c o s ( 3 x 3) + x 2 c o s x c o s ( 3 x 3) - 9 x 4 se n x 8 e n (3 a ^ ), donde ha habido que aplicar la regla del producto p a ra calcular* la derivada de g\ y la regla de la cad en a p ara calcu lar la derivada de 0 2 .

(r) Fin este ceso, hay que api ¡ce r la regla de la. cadena, sucesivas veres (prim ero se deriva la exponencial, después la p oten cia cu ad rad a del coseno, seguidamente el coseno y por últim o la función h j ( x ) = x 2 + l):

t í { x ) = ec<* 2(*2+1> * 2 c o s (x 2 + l ) ( - s e n ( x 2 + 1 ) ) . ( 2 x ) = -4 x e ° ° * 2*x 2+ 1* c o s (x 2 + l ) s e n ( x 2 + 1). (d )

L a función p tiene la form a p ( x ) = p ifx )? 2^ , siendo P i ( x ) = x 2 + 1 y

p 2 (x ) = x. E s te tipo de función se llam a potencial-exponencial. L a derivada se obtiene tom ando logaritm os:

p (x ) = (x 2 + l ) x

h ( p ( x ) ) = ln ( ( * 2 + l ) r )

! » ( ? ( * ) ) = * ln ( * 2 + 1 )

(obsérvese que x 2 + l > 0, p a ra todo x € K , por lo que existe ln (x 2 + l ) ) . Derivando a am bos lados de la ú ltim a igualdad se tiene que

—

■j/{x) = ln (z 2 + 1 ) +

y despejando en la igualdad anterior, resulta p »

= (ln (z 2 + 1 ) +

■P ( z ) = ( l n ( z 2 + 1 ) +

) ■i * * + ^

180

E je r c ic io s

3 .5 .

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


R e g la d e L ’ H ó p ita l

E j e r c i c i o 4 .2 6 . Calcúlense los siguientes límites: W fc í!+ £ ^ , ' x->¿ x 2 - 4

( i ) ito 5 5 t e 2 ,

x-*u

(c )

xex

,lm í . *-►+©© 2 X

S o lu c ió n , (o ) E n el cálculo de este lím ite, se obtiene una indeterm inación del tipo § y vam os a estudiar si es aplicable la regla de L 'H óp ital (véase 4 .5 5 ). Las funciones / i ( x ) = x 2 + x — 6 y f 2 (x) = x 2 — 4 son derivables en R p o r ser polinómicas y f 2(x) = 2x ^ 0 en un intervalo pequeño que contenga al punto

x = 2. A dem ás, se tiene que u /'( * ) u 2x + l lím = lím —r — i —*2 J 2 \X) x ^*2 2x

5 = 7. 4

P o r tan to , por la regla de L ’Hópital, „ x2+ x - 6 „ fí(x ) 5 lirn — r— — = hm - 4 4 4 = - . x ->2 x 2 - 4 x-*2 f 2(x) 4 Obsérvese que o tra form a de proceder os determ inando la fracción irreducible equivalente a *

P a r a ello, se calculan los factores simples del num erador y

del denom inador. E s fácil ver que x 2 + x - 6 = ( x - 2 ) ( x + 3 ) y x 2—4 = ( x - 2 ) ( x + 2 ) . P o r consiguiente, x2+ x - 6 ( x - 2 ) ( x + 3) x + 3 5 hm — ----- -— = hm -f ^ ^ = hm = -. x -»2 X 2 - 4 x->2 (x - 2 ) ( X + 2 ) x->2X + 2 4 (é ) Se obtiene una indeterm inación del tipo jj. C laram en te, las funciones / i ( x ) = s e n (x 2) y f 2 {x) = xe® son derivables en R , y a que la prim era es com posi ción de la función seno con u n a poünóm ica, am bas derivables en R , y la segunda es producto de una polinóm iea con una exponencial, tam bién derivables en R. Además, f 2(x) = ex + x é 1 = ex ( x + 1)

0 en un intervalo pequeño que contenga

a x = 0 , y el siguiente límite existe:

f¡(x )

hm ^577—f x-ô / ' ( x )

v

2 x c o s ( x 2)

0

= hm — — '—r r = T = 0 . x-ô e * (x + 1 ) 1

P o r tan to, aplicando la regla de L ’H ópital se tiene que

,ím í í < í ! > = iím |< í > = o. xeF x —*o j 2\x)

x —*0

IDO


(c ) R esulta una indeterm inación del tipo L a s funciones / i ( x ) = x 2 y / 2 (x ) = 2^ son derivables en R y f 2 l {x) = 2J,ln (2) ^ 0 , p a ra todo x € R . Si lím x —> + o q

existe, entonces por L ’H ópital se tendría que / g

U

')

lím x “ +oc

=

f 2(x)

lím x “ +oc

f 2{x)

=

lím x “ +oc

__ — __ 2T ln( 2 ) '

E n cl últim o lím ite se obtiene, de nuevo, la m isma indeterm inación. E s claro que

f\ Y ¥2 son derivables en R y f 2 ( x ) = 2? (ln 2 ) 2 ^ 0, p ara to d o x € R . Además, rhm -¿7 / ? (7*-r ) = rhm o w 2. ^ = 0 , x->+o© / j (x ) x->+o© 2 ^ (ln 2 ) 2 luego por la regla de L 'H óp ital se tiene que

1(m m OO

/ 2 (x )

=

fia = x -*+ o o

^ (x )

=

m i-*+ c o J " (x )

E j e r c i c i o 4 . 2 7 . Calcúlense los siguientes límites:

(a ) lím ( 0 * J x—*0+ \ 2 X -

1

- -V

(ó)

X J

1 (c )

lím ( - — x-H-oc \ x “ 3 /

2

lím

,

(c )

X —+ + 0 O

lím x ( e * — 1 ).

X —+ + O C

S o lu c ió n , (o ) P a r a valores de x positivos próximos a 0 , 21 - 1 to m a valores positivos v próxim os a 0 , por lo que lím ^ r = +oo* P o r o tra p arto, lím - = i-»o+ ¿x — 1 x-* 0 + x + 0 0 . Así pues, resu lta una indeterm inación del tipo + 0 0 — ( + 0 0 ). P a r a evitarla, se opera: lím _ = x— \ 2X - 1 x}

x7 * + '

x-»o+ x ( 2 x - 1 )

E n este punto se obtiene una indeterm inación del tipo

E s fácil ver, y se deja

com o ejercicio p a ra cl lector, que se satisfacen las condiciones de la regla de L ’Hópital P o r ta n to , en virtud de e s ta regla x _ 2* + l

„

x-loV x ( 2 x — 1 ) ” A

1 - 2* ln 2 2 X - l + x 2 x ln 2

1 - ln 2 F

+ °°‘

101

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


( 6 ) Se obtiene u n a indeterm inación del tipo l +0° . P a r a calcu lar este lím ite se utiliza el resultado 4 .3 2 . Obsérvese que X X

5x

1

X -

1

- 3

l

x - 3

5x

5x

-1

=

i

=

a; - 3

1+

P o r tan to , según 4 .3 2 se tiene que

10® 5=3

*-3-

1ÍH1 l

x -> + oc V X

(c )

=

o —3

lím x^+oe

i +

= -límt -.+ee

£— 2

10* = *4°

733

R esu lta una indeterm inación del tipo (+ o o )° . P a r a calcu lar este lim ite, se

razona del siguiente m odo. Supóngase que

x * * - 1 = i . En ton ces, tom ando

lím

X —* - 1 - 0 0

logaritm os se tiene que lím

x -* + o e

ln (* ^ )= ln ¿ \

lux

lím

x -* + o e X 2 — 1

/

— luí

(obsérvese que com o se considera el lím ite cuando x tiende a + 0 0 se puede su poner que x ^ lím

ln x

x - M - c © X% — 1

> 0, p o r lo que I11 ^x*3 *^ está bien definido). A h ora, al calcular

resulta una indeterm inación del tipo

+QO

que se resuelve fácilmente

aplicando la regla de L ’Hopital (com pruébese que se cum plen las condic iones p ara aplicar e s ta regla). P o r tan to , se tiene que lím

ln x

x —►+00 X 2 — 1

=

lím

=

x -» + o © 2 x

lím

1

x -» + o © 2 x 2

= 0,

luego ln i = 0 , y en consecuencia, i = 1 es el valor del limite.

(d) Al calcular este lím ite, resu lta la indeterm inación ( + 0 0 ) 0. P a r a eliminarla, se opera convenientem ente p a ra obtener una indeterm inación del tipo § ó j| | y com probar si, de este m odo, se puede aplicar la regla de L ’H ópital. E n este caso, la form a de proceder es la siguiente. Obsérvese que x ( e * - 1) =

lím x f e * - i ) = x —» -h o o '

102

lím

x -»+ c ©

e*

-1

por lo que

F U N C I O N E S D E U N A VA I D A NT. E

y en este óltim o lím ite, se obtiene la indeterm inación §. E s fácil ver que se cumplen las hipótesis de la regla de L ’H ópital. Así pues, en virtud de esta regla se tiene que _ i

I lím x ( e * - 1 ) =

x^ + ce

'

lím

x^+oe

—

-

=

lím

x ^ + o e ____ L

lím

=

lím

x^+oe

e * = e° = 1 .

X 1

X

E j e r c i c i o 4 . 2 8 . Calcúlese

i

ln x

x -^ + o o

X

ln t i y dedúzcase el valor de lím ------ . n —►oo

S o lu c ió n . R esu lta una indet orín inación
n

Se puedo aplicar L ’H ópital,

y se tiene que lím

x -» + o ©

— X

=

lím

1 = 0.

X -H -O © X

P o r consiguiente, aplicando el resultado 4 .3 3 se deduce que lím n-»e© n

3 .6 .

= 0.

F u n c io n e s d e r iv a b le s

E j e r c i c i o 4 . 2 9 . Sea / la función definida del siguiente modo: í

4

f{x ) = l x + A { - i x 2 + Zx + 2

si x < 0 si 0 < x < 2 si x > 2

Estúdiese la derivabilidad de / y determ ínese r . S o lu c ió n . L as funciones f i ( x ) = 4 , f i { x ) = x + 4 y f z { x ) = —\x2 + 3 x + 2 son derivables en R por ser poli Húmicas. S\is derivadas son, respectivam ente, f { (a:) = 0 , f'2(x) = 1 y f$ (x ) = - x + 3. P o r tan to , / os derivable en R salvo quizás en los puntos x = 0 y x = 2 , por sor los puntos do cam ino do definición do / . E s fácil ver, y se deja com o ejercicio p a ra el lector, (pie / es continua en R . Así pues, para analizar la dorivabilidad e n x = 0 y x = 2 y dado que / e s tá definida de diferente form a a la izquierda y a la derecha de estos puntos, hay que estudiar las derivadas laterales en ca d a uno de ellos. En concreto, p a ra

x

= 0 hay que

1 0 3

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


calcular los límites (véase 4 .50) r ( 0 - ) = lím /( ° + h) - / ( ° ) J ^ ; h->oA

y *

/ '(„ + ) = lím / ( O + f c ) - / ( « ) . M ; h->o+ h

E n el límite por la izquierda, A se aproxim a a 0 tom ando valores negativos y p ara A < 0 se tiene que /(O + A) = / i ( 0 + A), luego /'( 0- ) =

lím / ( ° + » > - / ( ° > = ,ím A (0 + ^ ) - / . ( 0 ) = / í ( 0 - ) . h-»oA h->oti

Com o f\ es derivable en R , y en particular en x = 0 , por 4 .5 1 se tiene que / { ( 0 “ ) = / í ( 0 ) = 0, P o r tan to , / ' ( 0 ” ) = / J ( 0 ) = 0, De form a análoga, en el límite por la derecha A se aproxim a a 0 a través de valores positivos, y p a ra A > 0 y m uy próxim o a ü se tiene que / ( 0 + A) = / 2(ü + A). A dem ás, / ( 0 ) = f¿ ( 0 ) por lo que

f m

= Hm / ( " + * ) - / ( » > = h-*0+

A

, ím w h-»0+

+

y - m ti

= /í(0 + ) = /í(0 ) = L

P u esto que los límites laterales do / en x = 0 no coinciden, / ' ( 0 ) no existe (véase 4 .5 1 ), por lo que la función / no os derivable 011 x = 0. Con respecto a x = 2, p ara A < 0 y próxim o a cero, se cum ple que 0 < 2 + A < 2, luego / ( 2 + A) = / 2 (2 + A) y

f' { 2 ~ ) =

lím / ( 2 + ft) ~ / ( 2 ) = línl ^ ± ^ Á h—>0 ti h— >0 ti

Í ^

= / ' ( 2- ) = / ' ( 2 ) = l .

P a r a A > 0, se tiene que 2 + A > 2 . P o r tan to , f { 2 + A) = fz ( 2 + A). Además, / ( 2 ) = / 3 ( 2 ), por lo que

f(2 + )=

lím / ( 2 + ft) - / ( 2 ) =

1Jm / 3 ( 2 + f t ) - / 3 ( 2 ) = y , (2 + )

Com o los límites laterales de / en x = 2 coinciden y am bos to m an tiene que / es derivable en x = 2 y / ' ( 2 ) = 1 . Por tan to , / es derivable en R \ { 0 } y la derivada viene d ad a por:

f'(x ) =

0 1 —x + 3

1 04

si x < 0 si 0 < z < 2 si x > 2

= y , (2 ) = ,

el valor 1, se


Figura 4.12. Gráfica de f .

Figura 4.13. Gráfica de / '.

Obsérvese que en x = 0 la función / ' no e s tá definida, ya que no existe / ' ( 0 ) . E n la Figu ra 4 12 so representa la función /

E n ella se ap recia que la gráfica

de / se pliega de un m odo m uy pronunciado, formando un pico, cn x = 0. E ste hecho indica que la función no en derivable cn x = 0 , com o se h a dem ostrado. Sin em bargo, en un entorno de x = 2 la gráfica cam bia con suavidad, lo cual se debe, cn este caso p articu lar, a que la re cta y = x + 4 es precisam ente la re cta tangente a la gráfica de h { x ) cn el punto x = 2* P o r ello, / sí es derivable cn este punto. P o r otro lado, cn la Figu ra 4 .1 3 se m uestra la gráfica de / ' . Analizando esta gráfica se puede esbozar la de / . En efecto, se tiene que f * { x ) > 0 cn (—oo, 3], y f ' { x ) < 0 en [3 ,+ o o ), lo que im plica por el resultado 4 .6 X (a )-{b ) que / es

1 9 5

H

j

R itc ic

io n

R

e x iir l t o s

d k

F

iin o a m e n t o s

M

a t e m á t ic o

*

creciente en ( —0 0 ,3 ] y es decreciente en [3, + 0 0 ), com o se puede ver en la Figura 4 .1 2 . E n p articu lar, f ' ( x ) = 0 en ( —00,0 ), lo cual significa que / es con slan le en ese intervalo (véase 4 .6 l ( c ) ) . P o r últim o, / y(3l = 0, luego x = 3 es un punto crítico (véase 4 .6 3 ) y puesto que / es creciente a la izquierda de x = 3 y es decreciente a la derecha, se deduce que x = 3 es un m áxim o relativo (véase la Figu ra 4 .1 2 ). E j e r c i c i o 4 .3 0 . Estudioso la derivabilidad de la función g (x

x 2 + x - 6 |.

S o lu c ió n . E n prim er lugar, es claro que g es continua 011 R por ser com posición de una función polinóm ica con la función valor absoluto, que es continua en R . Por o tra parte, puesto que g e s tá definida a partir del valor absoluto, p ara estudiar la derivabilidad conviene exp resarla com o una función a trozos. P a r a ello, hay que determ inar los intervalos en los que el polinomio p (x ) = x ¿ + x — 6 es positivo y los intervalos en los que es negativo. L a s soluciones de la ecuación p ( x ) = 0 son x = —3 y a; = 2 , luego p ( x ) = (x + 3 )( x — 2 ), deduciéndose que p ( x ) < ü si —3 < x < 2 y j?(x) > 0 si x < —3 ó x > 2. Por tan to,

Í

x ¿ + x — 6 si x < —3 - x 2 - ¿r + 6 s i - 3 < x < 2 x 2 + x - 6 si x > 2

E n la Figu ra 4 .1 4 se representa la gráfica del polinomio p y en la F ig u ra 4 .1 5 la gráfica de la función g.

F ig u ra 4 .1 4 . G r á f i c a d e

p(x) = x 2 4- x —6

F ig u r a 4 .1 5 . G r á f i c a de

g(x) = \x2 4- x —6 |

A continuación, se estudia la derivabilidad de g. E s claro que g es derivable en R \ { —3 , 2 } ya que está definida a trozos por los polinomios p y —p. P o r o tra parte, en la Figu ra 4 .1 5 se observa que la gráfica de g se pliega form ando dos picos en

x = —3 y x = 2, lo cual significa que g 110 es derivable en estos dos puntos. Aún así. se dem uestra que la función no es derivable en x = 2. Se deja com o ejercicio p ara el lecto r com probar la no derivabilidad de g en x = —3.

1 9 6


P a r a x = 2, hay que estudiar las derivadas laterales:

ñ r ) = I t a » (2 + ', > - » (2) y K } hôh

y

*

s ' ( 2 +) =

y < >

I t a » (2 + ', > - » ( 2 ) .

h^ 0+

h

E n la derivada por la izquierda, h se aproxim a a 0 tom ando valores negativos y p ara h < 0 so tiene que p (2 + h) = —p (2 + /i). Por tan to , teniendo en cu en ta 4 .5 0 y 4 .5 1 resulta que

g'{2~) =

lím ^

h— *0~

+

=

n

,íln H O E * * ? - ( - * > ( ¡ 9 = ^

h— *0~

h

= _ 5,

C on respecto al lím ite por la derecha, h tiende a 0 a través de valores positivos, y p a ra h > 0 y próxim o a 0 se tiene que g(2 + h) = p (2 + h). Así puos,

g'(2+) = lím s { 2 + !i) - g { 2 ) = j, p{2 + h) - p { 2 ) = , (2 + ) = 5 * ' ' h-.o+ /i />-»o+ h y K ' s '( 2 + ), se tiene que g'( 2 ) no existe, deduciéndose que g no es

C om o g '{l~ )

derivable en x = 2 . E j e r c i c i o 4 . 3 1 . EstAdíese la continuidad y la derivabilidad de la función / definida romo

!

e*

si x < 1

e

si 1 < x < 4

?^ = 4 S ¡a :> 4 S o lu c ió n . L a función / e s tá definida a trozos por m edio de las funciones f\ (x ) = eX> / 2 ( z ) = e y h i x ) — x7l $ x - 4 > k&s funciones / i y ¡2 son derivables en R , por tra ta rs e de una exponencial y do una función constan te, respectivam ente, P o r o tra p arte, / 3 es derivable en R m enos en los puntos donde sí1 anula el denom inador, por ser un cociente de funciones polinómieas. El denom inador de / 3 se anula en los puntos x = —1 y x = 4 , luego f s es derivable al m enos en M\{ —1 , 4 } y en p articu lar en (4, H-oo), que es el dominio en el que está definida en este caso. Así pues, / es derivable y, por consiguiente, continua en R salvo quizá en los puntos x = 1 y x = 4. P a r a estudiar la continuidad en x = 1, se calculan los límites laterales: lím f ( x ) =

x —♦1 —

lím e* = e,

x —♦1 —

lím f { x ) = x -H +

lím e = e. x -H +

P u esto que los lím ites laterales son am bos iguales a e, se tiene que límx_»i f ( x ) = e, que coincide con / ( 1 )> por tan to , / es continua en x = 1 .

107

E je r c ic io s

R esu elto s

F u n d a m en to s

d e


P a ra analizar la derivabilidad de la función en x = 1 hay que estudiar las derivadas laterales /'(!-)=

lím K

h->o-

+ Q - M , n

/ '( !+ ) =

lím / ( 1 + f c) - / ( 1 ) .

n

P a r a la derivada por la izquierda, 1 + h < 1 y / ( I + h) = / i ( l + /i), por lo que /'(!-)=

lím / ( 1 + * ) - / ( 1) = lím M h—*0 /l h—*0

i ± ^ M /l

l = / í ( 1 - ) = /í(1 ) = ,

P o r o tra p arte, en la derivada por la derecha, h se aproxim a h acia 0 tom ando valores positivos, por lo que p ara valores de h positivos y m uy próxim os a 0 se tiene que 1 < 1 + A < 4 y / ( I + A) = / 2 U + h). A dem ás, / ( 1 ) = / 2 U ) , resultando / '( l + ) =

lím W

+ * )-/(!) =

lím

+ A) ~

= / ' ( 1+) = / ' ( i) = 0 .

Com o / ' ( l - ) ^ / ' ( l + ), no existe f ' ( 1 ) , por lo que / no es derivable en x = 1 . E n el punto x = 4» se tiene que / ( 4 ) = e y lím } ( x ) =

lím e = e,

x->4-

lím f ( x ) =

lím , ^ = lím — — 7 = * - * - (x - 4 ) ( x + 1) *-m +x+1 5

D ado que los límites laterales de / en x = 4 no coinciden, no existe lím / ( x ) , y

x— *4

la función tiene una discontinuidad de salto finito en x = 4. P o r 4 .4 7 , tam p o co es derivable en este punto. E n resum en, / es continua en R \ { 4 } y derivable en R \ { 1 , 4 } . En la Figu ra 4.1C se representa la gráfica de / . E j e r c i c i o 4 . 3 2 . Estudíese la continuidad y la derivabilidad de la función g definida como

f 9{x )= j

x2 x 2 ln x

. -x 2+ 1

si x < 0 si 0 < x < 1 si l < x

S o lu c ió n . L a función g está definida a trozos por las funciones g i( x ) = x 2,

02 (x ) = x 2 l n x y 03 (x ) = - x 2 + 1. E n la Figu ra 4 . 1 7 se m u estra su gráfica. Las funciones g\ y 03 son derivables en R por ser polinóm icas, y sus derivadas son, respectivam ente, 0 Í ( x ) = 2 x y g'^(x) = - 2 x . A su vez, d o m 02 = (0 ,+ o o ) y

108

FU N CIO N ES D E UNA VARIADLE

Figura 4.16. Grálica de f .

Figura 4.17. Grálica de g .

en ese dominio os claro que g i es derivablo y mi derivada es g^fa) = 2^r ln ce + x. P o r todo lo anterior, g es dcrivable y por tan to continua en R salvo quizá en los puntos x = 0 y x = 1. A continuación, se analiza la derivabilidad en x = 0. P a r a ello, hay que estudiar las derivadas laterales ^ (O - ) y 5 ; (0 + ). L a derivada por la izquierda es s '( O - ) =

lím g ( 0 + ft) - gtO) =

llm 8 . ( ° + * ) - 8 . ( ° ) = 8 Í ( 0 - ) = 8 Í ( 0 ) = 0 ,

De m odo análogo, en el lím ite por la derecha, h se aproxim a h acia 0 tom ando valores positivos, p o r lo que p ara valores de h positivos y m uy próxim os a 0 se tiene que 0 < h < 1 y g (h ) = g 2 (h). E n este caso, <72 no os dcrivable en x = 0, ya

1 9 9

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


que este punto no pertenece a su dominio ( 5 2 ( 0 ) no está definido). Sin em bargo, obsérvese que ]fm 32( h ) - g ( 0 ) =

lfm 9(0 + h) - 9 (0) =

, (n +) =

a

]fm h 2 \nh — Q

k

k

lím h h i h .

=

h->0+

R esulta una indeterm inación del tipo ()• ( —0 0 ). Se procede expresando el producto

h I11 h como un cociente, p ara así obtener una indeterm inación del tipo ^ 2 y poder aplicar la regla de L ’H ópital (com pruébese que se satisfacen las condiciones p ara aplicar e s ta regla): lím h h x h = ^->0 +

lím 0+ ¿

=

lím -A- =

lím ( - / i ) = 0 . 0+

Com o los límites laterales de g en x = 0 coinciden, g es derivable y por consiguiente continua en x = 0 y í / ( 0 ) = 0 . Con respecto a x = 1, se tiene que s , (l - ) =

,¡m

g d

h-*0~ =

+

ft) - 8 d )

=

n

llm

9 2 { í - h )

h-*0~

1¡m/ < 1 + ' ■ ) - » < 11 =

- g 2(l)

= g y(1- ) = g y(1) =

1 ,

n

II,„J S ^ z R z M »

= ¿ (1 + ) = ¿ ( 1 ) = _ 2 .

P u esto que í / ( 1 - ) ^
lím x 2 \nx = 0 ,

lím g (x ) =

x -* l"

x -* l+

lím ( - x 2 + 1 ) = 0 . x -» l*

E j e r c i c i o 4 .3 3 . D eterm ínese el valor de a p ara que la función f a definida com o

t f \_ /

22 +

+

a

—2

- x 2 + wr. + 2

1 si a; > 1

si £ <

sea derivable en R . P a r a ese valor de a , ¿Cuál es la re c ta tangente a la gráfica de la función en el punto x = 1 ? S o lu c ió n . L a función f a e s tá definida a trozos por las funciones

-= z 2

2x + a - 2 y f 2lQ(x) = - x 2 + a x + 2 que son derivables en R por ser polinóm icas, y

200


sus derivadas son / í , a ( s ) = 2x + 2 v / 2,a (x ) = - 2 x + a . P o r tan to , f a es derivable en K menos ta l vez en el punto 3 = 1 . P o r o tra p a rte , f a os continua en x = 1 p ara cualquier valor do a (com pruébese com o ejercicio). Así pues, tiene sentido a n a liz a rla derivabilidad en este punto (si

f a no fuese continua en x = 1 . tam p oco sería derivable). P a r a que f a sea derivable en x = 1 deben coincidir y to m ar un valor finito las derivadas laterales f'a ( 1“ ) y / ¿ ( 1 + ). Se tiene que

/'(i-)=

li'm +0 ~

/* (! + * ) - / * ( ! )

lím

=/u n

h->Q-

= / í , « ( l ) = 4. Eli la derivada por la derecha, com o / a ( l ) = / 2 ^ ( 1 ) se obtiene que

; , (1+

lím

M i + k ) - m h .

) =

iím

U A I + h ) - U A I ) h

= f U

n

’

= /2,0 ( l ) = - 2 + a .

P o r tan to, igualando las derivadas laterales, —2 + a = 4 , se concluye que p ara que f a sea derivable tam bién en z = 1 se debe cum plir que a = 6 , en cuyo caso O T = 4. Finalm ente, la re c ta tangente a la gráfica de f e en x = 1 viene d ad a por la ecuación (véase 4 .4 6 ) y = / a ( l ) + / ¿ ( l ) ( z - 1) = 7 + 4 ( 3 - 1). En la F ig u ra 4 .1 8 se representa la función fa y la roela tangen! o a la gráfica de fa en 3 = 1. P o r o tra p arle, en la F ig u ra 4 .1 9 se m uestra com o ejemplo la gráfica de /o , y se aprecia que se pliega formando un pico en x = 1 , con lo que /o no es derivable en cl punto.

Figura 4.18. Gráfica de fa y recta tangente en x = 1 .

Figura 4.19. Gráfica de /o.

2 0 1

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


E j e r c i c i o 4 . 3 4 . Determ ínense las rectas tangentes a las gráficas de las funciones siguientes en los puntos que se indican. ( а ) f ( x ) = - x 2 + \n(x2 + 1 ), en x = - 1 , ( б ) p (x ) =

en x = 1 .

P a r a la re cta tan gen te del ap artad o ( o ) , ¿cuál es el ángulo que form a dicha re cta con el semieje X positivo? S o lu c ió n , (a ) L a función / es derivable er. R por ser sum a y com posición de funciones dorivahíos on R y so tiene que*

f'(x )= -2 x +

2X

r2 + 1

L a pendiente de la re c ta tangente a la gráfica de / en x = —1 es f ' ( —1) = 1 y la ecuación de dicha re c ta es (véase 4 .4 6 )

y = / ( - l ) + / ' ( - l ) ( z - ( - 1))

y = - 1 + ln 2 + l { x + 1 )

y = x + ln 2 .

(¿>) C laram en te, la función g es derivable a i R por ser com posición de funciones derivables en R . L a derivada de g es /, v

g (x) = e

-

„1

2x

(z 2 + l ) 2'

Asf pues, la ecuación de la re cta tangente a la gráfica de g en x = 1 viene dada por (véase 4 .40)

y = ^ ( l) + ^ ( l) ( x -

1)

<=» y = e

2

+ I e z (x -

1)

y = \ e * (x + l).

El ángulo cí que form a una re c ta de ecuación general y = m x + n con el semieje X positivo se obtiene de la igualdad t a ñ o = m. L a pendiente de la reeta tangente a / on x = - 1 es / ' ( - l ) = 1 = m . P o r tan to , el ángulo que form a dicha re cta tangente con el semieje X positivo cum ple que ta n a = 1. Se tiene que a rcta n l =

luego el ángulo buscado es cv = |.

E n las Figu ras 4 .2 0 y 4.21 se representan las gráficas de / y g, respectivam ente, y las rectas tangentes a c a d a u n a de ellas en los puntos que se indican.

202

F U N C I O N E S D E U N A V A 1U A I Ü . K

•

i i*'

^

1

>>

•M t

l,^*^ ■

*

»

»

«

H

Figura 4.20. Gráfica de f (x) ~ - i 2 4- b ( i 2 4- 1 ) y recta tangente e n i = - 1 . 3 .7 .

Figura 4.21. Gráfica de p (i) * e“ ^+» y recta tangente en i = 1 .

C r e c i m i e n t o , e x t r e m o s , c o n v e x id a d

E j e r c i c i o 4 .3 5 . O bténganse los intervalos de crecim iento y do decrecim iento y los extrem os relativos de la función f ( x ) = x 3 4- 3 z 2 - 24x. S o lu c ió n . Los intervalos de crecim iento y de decrecim iento de la función se de term inan analizando el signo cié la derivada de / . L a función / es dcrivable en R por ser polinómiea y se tiene que

f ' ( x ) = 1 c 2 + 6j - 24. P o r tan to, f ' ( x ) — 0 si y sólo si x = —4 y x = 2, y éstos son los puntos críticos y posibles extrem os relativos de / (véase 4 .6 3 ). P o r o tra p arte, f f (x) > 0 si x e

( —o o , - 4 ) U (2 ,+ o o ) y f ' ( x ) < 0 p ara

x € (—4 ,2 ) . Así pues, por el Teorem a 4.61 se tier.e que / es estrictam en te creciente en ( - o o , - 4 ) U ( 2 ,+ o o ) y es estrictam en te decreciente en ( - 4 , 2 ) , deduciéndose que en a: = —4 hay un m áxim o relativo cuyo valor es / ( —4 ) = 80 y en x = 2 hay un mínimo relativo con valor / ( 2 ) = - 2 8 . E n la F ig u ra 4 .2 2 se m uestra la gráfica de / y en la F ig u ra 4 .2 3 la de f ' . Com parando am bas gráficas, se observa la relación entre la m onotonía de / y el signo de E j e r c i c i o 4 .3 6 . O bténganse los intervalos de crecim iento y de decrecim iento y los extrem os relativos de g (x ) = a rcta n (;r 3 + £ ) . S o lu c ió n . L a función g es derivable en R por ser com posición del arcotangente con una polinómiea, am bas derivables en R . L a derivada de g es

E jR fic ic io *



F ig u ra 4 .2 2 . G r á i i c a d e

F ig u r a 4 .2 3 G r á f i c a de

f ( x ) = s 3 4- 3 ¿ 2 — 2 4 x .

f ' ( x ) * Zx2 + 6 x - 2 4 .

y g'(x) = 0 si y sólo si Zx2 + 1 = 0, pero esta ecuación no tiene soluciones. Por lan ío , g no licn c punios críticos, lo que im plica que g no tiene m áxim os ni mínimos relativos (véase T eorem a 4 .0 4 ). P o r o Ira parle, es claro que 0 p ara lodo

x € R , por lan ío, g es es l riel ám enle creciente cii R. E j e r c i c i o 4 . 3 7 . Calcúlense, en el intervalo [—^ 3 ] , !<>*» extrem os absolutos de la función f ( x ) = ^

^

+ 4x.

S o lu c ió n . L a función / es continua en R por ser polinóm iea, luego en particular es continua en el intervalo cerrado y acolado

—1 , 3 ] . Así pues, por el Teorem a

de B olzano-W cicrslrass (véase 4. 41) / alcanza os extrem os absolutos cn [ - 5 , 3 ] . Dichos extrem os absolutos se encuentran entre los extrem os relativos de / conte nidos cn ( —§, 3 ) o cn los extrem os del intervalo [—

3] (vóasc 4 .6 8 ).

A continuación, se calculan los extrem os relativos de / . L a función / es derivablc cn M por sor polinóm iea y su derivada os

f \ x ) = x A- 5x2 + 4 . P o r tan to, los puntos críticos de /

son aquéllos que satisfacen la ecuación

x 4 - 5 x 2 + 4 = 0. E s la ecuación es bicuadrada y se resuelvo haciendo el cam bio de variable t = x 2. De este m odo, se obtiene la ecuación t 2 — 5¿ + 4 = 0, que tiene por soluciones t\ = 1 y t i = 4 . P a r a t\ se tiene x 2 = 1. resultando las soluciones X\ = —1 y x 2 = 1, y p ara ¿2 hay que resolver la ecuación x 2 = 4, cuyas soluciones son X 3 = —2 y X4 = 2. Luego los puntos críticos de / son X\ = —1,

X2 = 1, X 3 = —2 y X 4 = 2. E l punto X3 no perlonece a [—§>3], por lo que se descarta. L a derivada segunda de / es / " ( x ) = 4 x 3 - lOx, y se tiene que f " ( x 1 ) = 6 > 0, / " ( X 2) = —6 < 0 y / " ( X 4 ) = 12 > 0 . P o r tanto, por el resultado 4 .6 6 , en X\ y X 4 la función alcanza un mínimo relativo y en X 2 un

201

F U N C I O N E S D E U N A VAIMAÍi T. H

m áxim o relativo. Se com p ara el valor de / en estos tres puntos y en los extrem os del intervalo:

f O

= - l i “ - 1’89' /(*>> = - 1 5 “ - 2’53’ /( i 4 ) = ^ 1 .0 7 , /(3)= ™

= S “ 2’54’

= 1B,6.

Así pues, el mínimo absoluto de / en [— 3 se alcan za en x j , con valor - f j f , y el m áxim o absoluto en x = 3, cuyo valor es En la F ig u ra 4 .2 4 se representa la función / .

Figura 4.24. Extremos absolutos de f (x) =

^

4- 4x en [—$,3].

E j e r c i c i o 4 . 3 8 . De todos los pares de mi meros x , y € M que satisfacen la ecuación x 2 + y2 = 1 , determ ínese el p a r de números m ayores o iguales que cero cuyo producto es m áxim o y el p ar cuyo producto es mínimo. S o lu c ió n . D ados x e y dos números no negativos tales ie x 2 + y 2 = 1, se puede expresar uno en función del otro: y = V I —x 2. Se quiere encon trar el par que m axim iza el producto P = x • y = x V l — x 2. Obsérvese que debe ser x > 0 y 1 — x 2 > 0 (pues esta ú ltim a expresión está dentro de una raíz cu ad rad a), o equivalentemente, 0 < x < 1 , por tan to , hay que encon trar el m áxim o y el mínimo absolutos en [0 , 1 ] do la función

P (x) = x V 1 - x 2. Se tiene que P / (z) = V I — * 2 ~ 7 T ? = 7 T 3 * - P o r ta ü t0 ’ P ' W = 0 si y sólo si 1 - 2 x 2 = 0, que tiene por soluciones x = ± ^ . Luego el único punto crítico

205

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s

que pertenece a [0 , 1] es

x

q

= ^


y se deja como ejercicio com probar que es un

m áxim o relativo. A dem ás, se tiene que P ( 0 ) = 0, P ( z o ) = ¿ , P ( 1 ) = 0. Luego por el teorem a de Bolzano-W eierstrass, en xo se a lcan za el m áxim o absoluto, con valor P ( x o) = 5 y e i i 3 = 0 y : c = l e l m ínim o absoluto, con valor P (Ü ) = P ( l ) = 0. Así pues, el p ar d e núm eros mayores o iguales que cero cuyo producto es

E j e r c i c i o 4 .3 9 . Se desea fabricar con cartón un envase de 1 dm 3 de volumen con form a de prism a recto de base un triángulo equilátero. Calcúlense las di mensiones del envase p ara que el m aterial utilizado sea mínimo. S o lu c ió n . Se quiere fabricar un envase de 1 dm 3 de volumen com o el de la Fi gura 4 .2 5 . L a cantidad de cartón que se necesita p a ra ello se corresponde con la superficie del prism a, que es igual a la sum a del área de las tres ca ra s laterales m ás cl á re a do las bases. Sean 6 y h r la base y la altu ra, respectivam ente, del triángulo base del prism a. P o r ser la base del prism a un triángulo equilátero, es fácil expresar h r en función de 6 , y a que aplicando el T eorem a de P itá g o ra s se tiene que (véase la F ig u ra 4.25)

P o r tan to, el área de la baso del prism a os

A su vez, las caras laterales del prism a sen rectángulos de base b y a ltu ra h p luego el área do ca d a tina do las ca ra s es igual a A i = b •h p . Por o tr a p arto, ol volumen dol prism a es igual a

Así pues, de la ecuación anterior se puede despejar h p en función de 6 , obteniendo

206

F U N C I O N ros m o

u n a

v a u ia íilr

Figura 4.25. Modelo de envase.

P o r consiguiente, la superficie S del prism a queda expresad a en función de 6 :

S = S ( 6 ) = 2 . . 4 s + 3 . . 4 í = 2 ~ 6 2 + 36

4

\/362

_ \ /3 , 2 , 4 v f

2

+

6

De esle modo, el problem a se reduce a encontrar el valor de 6 que m inimiza la función S{b), es decir, el mínimo absoluto de S en el intervalo (0, + 0 0 ) (y a que b es un valor positivo). Conociendo este valor de b se deducen los valores de h x y

h p por las igualdades anteriores. Así pues, se determ inan los puntos críticos do S en ( 0 ,+ o c ) :

S'(b) = V Z b - ^ - = í)

v/3 &:1 - 4 ^ 3

b2

= ()

y/3b3 - 4 ^ 3 = 0

Luego ol (iniro punto eríticn es bo = \f&. Además,

b= H.

b) < 0 si b £ (0, Hq) y

S f (b) > 0 si b € ( 60 , + 0 0 ) , lo cual im plica que S es estrictam en te decreciente en (0, 60) y estrictam ente creciente en (&o, + o o ), por lo que en &o función S tiene un mínimo absoluto. P o r tan to , las dimensiones del envase de 1 din 3 de volumen que minimizan la can tid ad de cartó n necesaria p ara fabricarlo son

b = v 4 ^ 1,59 dm , h x =

~ 1,37 din, h p =

~ 0 , 9 2 din.

207

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


E j e r c i c i o 4 .4 0 . D ad a la función f ( x ) = 2x 5 + 5 x 4 + 1, obténganse (o ) los extrem os relativos de / , y

(b) los puntos de inflexión de / . S o lu c ió n , (a ) Los extrem os relativos de / son> en p articu lar, puntos críticos. P ara determ inarlos se calcula la derivada de / y se iguala a 0 :

f ' ( x ) = 10 x 4 + 20 a;3 = 10 x 3 (x + 2 ) = 0 < = > x = - 2 , x = 0 . Así pues, los puntos críticos de / son x = - 2 y x = 0. U n m étodo m uy utilizado p ara clasificar los puntos críticos es a través del signo de la derivada segunda evaluada en ca d a uno do estos puntos. Siguiendo este procedimiento» se tiene que

f " { x ) = 4 0 x 3 + 6 0 x 2 = 2 0 x 2 (2 x + 3), luego / " ( - 2 ) = - 8 0 < 0 y p o r el T eorem a 4 .6 6 la función tiene un m áxim o relativo en x — —2. P o r o tro lado, / " ( 0 ) — 0 y el resultado 1 .6 6 no perm ite concluir n ad a acerca de la clase de punto que es x = 0. P o d ría ser un m áxim o relativo, un mínimo relativo o un punto de inflexión (véanse 4 .7 2 y 4 .7 3 ). Sin em bargo, si se analiza el signo do f alrededor de x = 0 , se tiene que f ' { x ) < 0 en ( —2, 0) y f ' { x ) > 0 en ( 0 ,+ o o ) , lo que im plica por el resultado 4 .6 1 que / es estrictam en te decreciente en ( —2 , 0 ) y estrictam en te creciente en ( 0 , H-oo), por lo que x = 0 es un m ínim o relativo de / . Como se puede apreciar, p a ra resolver este ejercicio b astab a con estudiar úni cam ente el signo de / ' . De hecho, este es el procedim iento m ás recom endable p ara clasificar los extrem os relativos de una función. Lo que se ha pretendido al utilizar el resultado 4 .66 es que el lecto r sepa in terpretar todos las situaciones posibles cuandc se analizan los extrem os relativos de una función. (6 )

Los posibles puntos de inflexión se encuentran entre los que anulan la

derivada segunda (véase 4 .7 3 ). E sto s puntos son x = 0 y x = —|. E n el ap artad o anterior se dem ostró que x = 0 no es un punto de inflexión, sino un mínimo relativo. P o r o tra p arte, es fácil com probar que f " { x ) < 0 en ( - o o , - 3 ) y f " ( x ) > 0 en ( —5 , + 0 0 ) . Así pues, por el resultado 4.71 se deduce que / es cóncava cn ( - 0 0 , - f ) y os convexa cn ( - 5 , + 0 0 ) , por lo q u e el punto x = - § es de inflexión, ya que en este punto la función pasa de ser cóncava a ser convexa (véase 4 .7 2 ). E n la F ig u ra 4 .2 6 se m u estra la gráfica de / . De este ejercicio debe quedar claro tam bién que el hecho de que p a ra un punto xq g M se verifique que f M{xo) = 0 no

208

F U N C IO N E S D E UNA VAIMAÍiUt

im plica que 2 0 sea un punto de inflexión, es decir, el recíproco del teorem a 4 .7 3 no se cum ple (si es punto de inflexión, entonces = 0 , pero puede haber puntos eti los que se anule la segunda derivada y no sean de inflexión). x

f

q

Figura 4.26. Gráfica do f(x) = 2x5 + 5x 4 +

1

"

(

x

q

)

e intervalos de concavidad y convexidad.

E j e r c i c i o 4 . 4 1 . D ada la función g (x ) = x + ln (x 2 4 - 1 ) , cstúdicnse ( a ) los extrem os relativos de 5 , y ( b ) los puntos de inflexión de g. S o lu c ió n , (ü ) L a función g es derivable en R por ser sum a de funciones derivables en R y los extrem os relativos de <7, si existen, son en particu lar puntos críticos. So tiene que „ » w

,

, ,

2x

x 2 + 2x + l

= 1 + p + i = —

. '+ i

’

y g'(x) = 0 si y sólo si x 2 + 2x + 1 = 0 . E s ta ecuación tiene una única solución

x = - 1 , <jue es el único punto crítico. Com o g'(x) = > 0 p ara todo x € R , se deduce que g es creciente en R y por tan to g no tiono m áxim os ni mínimos relativos. A dem ás, com o p ' ( - l ) = 0, en x = - 1 la re c ta tangente es horizontal. (6 )

En cl ap artad o (o) se calculó g\ la cual es derivable en R por ser cociente

de funciones polinóm icas y no anularse el denom inador. Así pues, por 4 .7 3 los puntos de inflexión se encuentran dentro del conjunto de puntos que anulan la

209

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


segunda derivada /// > _

i2x + 2)(x2 + 1 ) - ( z 2 + 2 x + 1 ) 2 * _

9 [X’

(* 2 + 1)2

2 -2 x 2

(*2 + 1 ) 2 '

P o r tan to, g"{x) = () si y sólo si 2 - 2 x 2 = 0 y e s ta últim a ecuación tiene por soluciones x = ± 1 , que son los posibles puntos de inflexión. Analizando el signo de 0 " se tiene que g"{x) < ü si x € ( —0 0 , - 1 ) j ( l , + o o ) y g"(x) > ü si x € (—1 , 1 ). P o r consiguiente, g es cóncava en (—0 0 , - 1 ) u (1, + 0 0 ) y es convexa en (—1 , 1) , concluyéndose que x = — 1 es un punto de inflexión en el que la función p asa de ser cóncava a ser convexa, y x = 1 es o tro punto do inflexión en el (juc g pasa de ser convexa a ser cóncava. E n la F ig u ra 4 .2 7 se m u estra la gráfica de g y sus intervnlos de concavidad y convexidad.

Figura 4.27, Gráfica do
f ' ( x ) = 3 a x 2 + 2 bx + c. P o r tan to, se debe satisfacer la ecuación 3 a + 26 + c = 0.

210

F U N C I O N E S D E U N A VA P I A NT. E

P o r o tra parte, si z = - 1 es un punto de inflexión, entonces / " ( - 1 ) = ü. L a derivada segunda de / es f " ( x ) = § a x + 26, luego se debe verificar la ecuación —6 a + 2b = 0 , de donde se obtiene que 6 = 3a y f " { x ) =

6 a (z + 1). Se dan los tres casos

siguientes: ( а ) Si a > 0, entonces f " ( 1) = 12 a > 0, luego en x = 1 la función alcanza un mínimo relativo (véase 4 .6 6 ). Además, se tiene que f " ( x ) < 0 si x € ( —oo, — l ) y f ,l{x) > 0 si x € ( —l ,+ o o ) , por lo que x = - 1 es un punto de inflexión en el que la función pasa de ser cóncava a ser convexa, ( б ) Si a < <), entonces / " ( 1 ) < 0 y en x = 1 la función tiene un m áxim o relativo. P o r o tra p arte, f " ( x ) > 0 si x € ( - o o , - 1 ) y f " ( x ) < 0 si x € ( - l , + o o ) , deduciéndose que x = - 1 es un punto de inflexión en el que la función pasa de convexa a cóncava. (c ) Si a = 0, entonces ó = 0 y de la prim era ecuación c = 0, luego f ( x ) = 1, una función constante.

3 .8 .

A s ín to ta s

E j e r c i c i o 4 . 4 3 . O bténganse las asíntotas de la función g (x ) =

xe* e *+ l *

S o lu c ió n . L a función g os continua en R por ser cociente de funciones continuas en R y no anularse el denom inador. Así pues, g carece de asíntotas verticales (véase 4 .3 4 (a )). A continuación, se com prueba la existencia de asíntotas horizontales. Se tiene que hm x->-oo v ' q

í

x

)

xex

=

hm x—+—oo e1 + 1 ----------------------

-o o =

—

-—

1

0 .

P a r a calcular la indeterm inación - o o 0 en el límite anterior, se exp resa la función

g com o

= í + f r r y do este m odo se obtiene una indeterm inación del tipo

que se resuelve fácilm ente aplicando la regla de L ’Hópital: lím _ ^ _ = lím _ ^ = x—*—oo e? + 1 x —*—oo 1 + e x

lí m _ J _ = x—*—oo —e x

0 .

211

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


P o r tan to, la re cta y = 0 es una asín to ta horizontal de g por la izquierda (véase 4 .3 4 (b )), es decir, la gráfica de g se aproxim a cad a vez m ás a la re c ta y = 0 a m edida que x tiende a —oo. P o r o tra p a rte , resulta que lím g ( x ) = lím -*+ 0© ^ ' *-►+©© e* + l

lím £ ! + £ £ ! = i¡m (I + i ) = + 0 0 , x^+oe *-►+©© e* * — ^ !

((1) se ha aplicado la regla de L ’H ópital). Así pues, g no tiene asín to ta horizontal cuando x —► + o o . Sólo fa lta analizar la existencia de asín totas oblicuas. P o r la izqtiierda, hay asín tota horizontal por lo que no hay asín to ta oblicua y = m x + n con m

0. Veam os por la derecha. P o r la regla de L ’H ópital, se tiene que

lí„ , £ & x -*+ o e X

=

ií„ , _ J l_ = x - * + o e ex + 1

ií„ , í ! = x - * + o e ex

i.

E s te límite indica que si existe una a sín to ta oblicua, dicha asín to ta tiene pendiente m = 1. P a r a g aran tizar la existencia de la m ism a hay que com p rob ar si el límite lím (
x —M -oo

n =

lím (p íx ) - 1 •x ) = l í m x-H-o©' ' x-»+o©

eT + 1

=

lím - — = 0 . x-»+o© ex

P o r consiguiente, la re c ta y = m x + n = x es una asín tota oblicua de g y la gráfica de g se ap roxim a a dicha re c ta cuando x tiende a + o o . E n la F ig u ra 4 .2 8 se m uestra ia gráfica de g y sus asíntotas.

Figura 4.28. Gráfica de g(x) =

212

y asíntotas.


E j e r c i c i o 4 . 4 4 . D eterm ínense las asín totas de la función ,, „ sena: — c o s x 1 /M = J + I5* - i . S o lu c ió n . E s fácil vor que clom / = R \ { 0 } y adem ás, f ( x ) = fx {x ) + f 2 {x)> siendo

f i { x ) = 8gna?~cq8a?, que es continua en su dominio por ser cociente de funciones continuas y 110 anularse el denom inador, y / 2 (2 ) =

— 1, que es continua en R.

P o r tan to, / es continua en su dominio porque es sum a de funciones continuas. P u esto que el punto

x

= 0 110 pertenece al dominio de / , es posible que

x

= 0 sea

una asín tota vertical. Se tiene que /senx-cosx

1 10

A

l i l i ! --------------------------- h 77? X -

*-►0 - V

a ;

e n x —c o s x 1ÍIU / s---------------------+ r _»o+ \

x

1

)

-1 0“

= —

+

0

-

=

1

+00,

1 x _ 1A = —1 + o _ 1 = _ o o . 10 / 0+

C om o los límites anteriores son infinitos, se deduce que, efectivam ente, x = 0 es una asín tota vertical. L a gráfica de / crece hacia + 0 0 cuando x se aproxim a h acia 0 por la izquierda, y docrcco h acia —00 cuando x so aproxim a hacia 0 por la derecha. A continuación, se estudia la existencia de asíntotas oblicuas: f(x ) / s e n x —cosx 1 l m ------------ = I 1111 ( ------------------r ---------------- \- — x-H-oo X x-*+oo \ x 2 10

1\ ) -

1

„

—

—

s e n x - cosx| < |senx| + |cosx| < 1 + 1 _

2

10

-

1

0 =

X /

0 +

10

.

E n el cálculo del lím ite anterior, obsérvese que senx - cosx

x2 y límx_*+0o t

X2

”

X2

-

X2

X2

= 0. Así pues, por la propiedad del em paredado (véase T eorem a

4 .3 1 (a )) se deduce que hm

x —* + 0 0

sen x — cosx ----------- 5-------- = 0 . x ¿

Lo que se h a probado h a sta ah o ra es que en cano de existir una asín to ta oblicua, ésta tiene pendiente m =

P a r a garan tizar la existencia de la m ism a hay que

com probar que el lím ite cuando x tiende a + 0 0 de f ( x ) — m x es finito. E n efecto, razonando do form a sim ilar a com o se hizo en el límite anterior

E jR fic ic io *



De m odo análogo, se tiene que lím

* _ > - o o

x

lím ! / (ix )) — m x )) = - 1 .

= A y ! ( ) s

P o r lan ío, la gráfica de / liene una asín to ta oblicua de ecuación y = -fox - 1. E n la Figu ra 4 .2 9 se representan la gráfica de / y las asíntotas. Obsérvese que la gráfica de / c o rla sucesivam ente a la asíntota oblicua y se aproxim a a ella cada vez m ás cuando x tiende a ± o o .

Figura 4.20. Gráfica de f ( x ) = 8ena:J coaa: + ¿ i - 1 y asíntotas.

E j e r c i c i o 4 . 4 5 . O bténganse las asíntotas de g (x ) = x ^ — 4*.

S o lu c ió n . L a función g se puede expresar com o una función definida a trozos: S(*)=

*"1 J - , X4

si x < 0 si x > 0

Se tiene que 0 ^ d o m p y es claro que g es derivable y. por consiguiente, continua cn Sean g\{x) = ^

y <72 (2 ) =

Puesto que g no está definida cn x = 0,

este punto os candidato p ara (pío en él haya una asín tota vertical. Se liene que lím g {x ) x —*0 “ lím q(x ) x-»o+ ;

214

x - 1 lím ^ ( x ) = lím — 5- = x —*0“ X—»0 x¿ J = lím q^Íx )= lím — r— = x ^ o + y K } x—*0+ x2

=

-1

7r r = - 0 0 , 0+

J —

0+

=

—0 0 .


P o r tan to , x = 0 es una asín to ta vertical de g por am bos lados, y de los límites anteriores se deduce tam bién que g decrece hacia —oo cuando x se aproxim a hacia 0 por la izquierda y por la derecha. Con respecto a las asín totas horizontales, obsérvese que

£ 1 lím g ( x ) = lím O jíx) = lím — — = 0 , x-*-oc ' x -*-oc ' x-*-oc x ¿

por lo que y = 0 es una asín tota horizontal de g (p o r la izquierda). Si se considera el lím ite de g (mando x tiende a + o o , resu lta que

J lím g (x ) = lím g 2 (x) = lím — r— = + o o . X—>+OC X—>+oc x —>+ oo x ¿

P o r consiguiente, la función g no se aproxim a h acia ninguna re cta horizontal cuando x tiende a + o o (por la derecha). F a lta analizar la existencia de asín totas oblicuas a la derecha. Se tiene que

x -> + oo

X

x -> + oo

X

x -H -o e

X^

Y adem ás, el siguiente lím ite tam bién es finito:

lím ( p ( x ) - l ' x ) =

- H - o © '* '

'

1

lím

(X * * - x\=

x -»+ o e ^

X2

)

lím

—¿ = 0 .

x —* + o c X 2

P o r tan to , la re c ta y = x es una asín tota oblicua de g cuando x tiende a + c o . En la F ig u ra 4 .3 0 se representa la función g y sus asíntotas.

215

E je r c ic io s



Figura 4.30. Ftanción a tronos y asíntotas,

3,9.

R e p r e s e n t a c i ó n g r á f ic a d e u n a fu n c ió n

E jo rc ic io 4.46. Dada la función x2- 2 /(* ) =

* * - 3 ’

( а ) determ ínense el dominio do / y los punios do corle do la gráfica de / con los ejes, ( б ) obténganse las asíntotas de / ,

{c ) determ ínense los intervalos de crecim iento y de decrecim iento y los e x tre mos relativos de / , (d ) determ ínense los intervalos de concavidad y de convexidad de / , y

(e) represéntese gráficamente la. función / . S o lu c ió n , (a ) L a fundón / es un cociente de polinomios y está definida en R salvo en los puntos donde se anula ol denom inador. P o r tan to , dom / = R \ { - \ / 3 , \/3}. Los punios de co rle de la gráfica de / con el eje X son los que tienen coorde nada y nula, por lo que la coordenada x de cada uno de estos puntos se determ ina resolviendo la ecuación z2- 2 x2 - 3

216

=

0.


que es equivalente a x 2 - 2 = ü y tiene por soluciones x\ = >/3 y 1 2 = - > / 2 Luego los puntos de corte de la gráfica de / cor. el eje X son ( \ / 2 , 0) y ( —\ / 2 , 0). P o r últim o, puesto que /(O ) = |, la gráfica de / c o rta al eje Y en el punto (

0, 1). (b)

Como ± \ / 3 4 d o m / * las re cta s x = \ /3y x = - \/3 son posibles asíntotas

verticales. E 11 efecto (véase 4 .3 4 (a )),

1

x2- 2

„

J_"S r F F T

,

F

=

= F

1

x > -2

- 5— r = p— = - 0 0 , *2 - 3 0

hm

1

x 2 —2

„

=

1

x2- 2

- 5— r = t - = + 0 0 . " 3 0

hm

P o r tan to, la función tiene dos asíntotas verticales en x = —y/5 y x = >/3, De los límites calculados anteriorm ente, se deduce que la gráfica crece h acia + 0 0 cuando x se aproxim a h acia —\/3 por la izquierda y decrece h acia —00 cuando x se aproxim a h acia - \/3 por la derecha. De form a análoga, la gráfica decrece hacia

- 0 0 cuando x so aproxim a hacia \/3 por la izquierda y crccc h a d a + 0 0 cuando x se aproxim a h acia \/3 por la derecha. P o r o tra parte, es fácil ver que r 2 r

lím

— » - c ©

X

¿

—

2 3

r 2 - 2

=

lím

x - » + o ©

X

¿

—

ó

= L

Así pues, / tiene com o asín to ta horizontal la re cta y = 1. (c )

P a ra determ inar los intervalos de crecim iento y de decrecim iento de / hay

que analizar el signo de / ' . L a función es derivable en to d o su dominio por ser cociente de polinomios y se tiene que

2 x (x 2 — 3) — 2 x (x 2 — 2)

tn ^ f

W

=

(a :* _ 3 ) 2

2x =

~ ( z 2 _ 3 ) 2 ’

Luego f' ( x ) = 0 si y sólo si x = 0, por lo que el punto x = 0 es un punto crítico de f . A dem ás, f ' ( x ) > 0 si x € ( - o o , - \ / 3 ) U ( - v ^ , 0) y f ' ( x ) < 0 si

x € (0, \/3) U (\/3,H-oo) (hay que quitar los puntos x = —\/3 y x = \/3 y a que no pertenecen al dominio de f ' ) . P o r tan to , por el T eorem a 4 .6 1 se tiene que / es estrictam en te creciente en (—oo, —\/3) u ( —\ /3 , 0 ) y estrictam en te decreciente

217

H j R i t c i c io n

R esu elto s d k

F undam en to s

M a t r m ít io u n

en (0, >/3) U (\/3, + 0 0 ), deduciéndose que en x = 0 hay un m áxim o relativo cuyo valor es /(O ) = (d ) P a r a obtener los intervalos de concavidad y convexidad do / so analiza el signo de la derivada segunda. D icha derivada es igual a

2 ( x 2 - 3 ) 2 - 8 x 2 ( x 2 - 3) ;

W

{x2 - 3 ) 4

6 ( x 2 + 1) (X2 - 3) 3 '

P u esto que 6 ( x 2 + 1) > 0, p ara lodo x € R , so verifica que f " { x )

> 0 si

( x 2 - 3) 3 > 0, o equivalentem ente, si x 2 - 3 > 0 y e s ta desigualdad se cum ple p ara x € ( - o o , - \ / 3 ) U (\/3, + 0 0 ). P o r ol.ro lado, f " ( x ) < 0 si x 2 - 3 < 0 , y osla desigualdad se satisface p a ra los puntos x € (—v/3, \/3). P o r c o n s i g u i e n t e , p o r e l r e s u l t a d o 4 .7 1 ln. f u n c i ó n / e s c o n v e x a e n ( — 00 , - y / * ) U

(y/3, + 0 0 ) y cóncava en ( - \ / 3 , v ^ ). Nótese que los puntos j = - \ / 3 y i = h-%/3 no pertenecen al dominio de / , por lo que no son pimíos do inflexión, aunque la función tenga diferente cu rvatu ra a la izquierda y a la derecha de estos puntos. (e ) Teniendo 011 cu cn la los apartad os ( a ¡ - ( d ) es posible esbozar la gráfica de / . E 11 la F ig u ra 4 .3 1 se representa la m ism a con las asíntotas.

F ig u r a 4 .3 1 . G r á f i c a d e f ( x ) = f r z f y a s ín t o t a s .

218


E j e r c i c i o 4 . 4 7 . D ad a la función

2 x 2 + 7x + 9 9 (x ) =

X -

1

(o ) determ ínense el dominio de g y los puntos de co rte de la gráfica de g con los ejes, ( 6 ) obténganse las asíntotas de g , (c ) determ ínense los intervalos de crecim iento y de decrecim iento y los extre mo* relativos de g,

(d) determ ínense los intervalos de concavidad y de convexidad de
2 x 2 + 7x + 9

P u esto que 4 9 — 4 * 2 * 9 < ü, la ecuación 2x2 + 7x + 9 = ü no tiene soluciones reales, luego la gráfica de g no c o rta al eje X . Los puntos de corte de la gráfica de g con el eje Y se obtienen evaluando la función en 0,

2 - ° 2 n+ - Y

«C » -

+ 9 -

y resu lta ol punto de corte ( 0 , - 9 ) . ( 6 ) P a ra x = 1 se tiene que „ 2 x 2 + 7x + 9 18 lim -----------= ñ“ = - o o . x —*1— X- 1 0“

„ 2 x 2 + 7x + 9 18 lirn ------------- ------- = — = + o o . X-»1 + x - 1 0+

P o r tan to, x = 1 es una asín to ta vertical por am bos lados» y de los límites ante riores de deduce que g decrece h acia —oo cuando x se aproxim a h acia 1 por la izquierda y crece h acia +oo ruando x se a ce rca a 1 por la derecha. P o r o tra p arte, resu lta que hm x-»+oo

2z 2 + 7x + 9 X—1

+oo,

„ 2z 2 + 7 x + 9 hm x -» -co x —1

—oo.

219

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


Com o los límites anteriores no son finitos, la función g carece de asín totas hori zontales. Sólo falta com probar la existencia de asíntotas oblicuas. P a r a ello, hay que calcular los siguientes límites: i¡m

£W

llm

x -»+ o ©

x

x -»-o ©

sW

X

R esulta que

lím x - » +

o

«<í> = o

X

lím x - » +

o

o

2 12 + 11 + 9 = x

(

x

—

lím r — * +

1 )

+ 9 = 2.

^

c o

X

¿

—

X

Com o resultado de este últim o lím ite calculado, se deduce que si g tiene una asíntota oblicua, entonces dicha asín to ta tiene pendiente m = 2 , pero todavía

110 se puede garan tizar la existen cia de la misma. L a función g ten d rá asín tota oblicua con pendiente m — 2 si línia:-»+o©(<7 ( x ) —rnx) = límx-t+oo ( 21 es finito. E n efecto, lím

( 2 ^ 2 + 7^ + 9 _

x-> + o o \

X -

1

2x2 + 7x + 9 - 2x2 + 2x

\ /

x -» + o ©

=

X -

1

lím = 9, x-»+oc x - 1

por lo que la re c ta t/ = 2x + 9 es u n a asín tota oblicua. Cuando x tiende a —co, g se aproxim a tam bién a la m ism a asín tota oblicua. (c ) Hay que analizar el signo de la derivada de g. Se tiene que #/ N

( 4 / + 7 )(x - 1) - (2x2 + 7x - 9 ) • 1

9 w _

( i - 1 )2

2 x 2 - ir, - 16 _

( i - 1 )2

■

P o r tanto,

g*(x) = O « = > 2 x 2 - Ax - 16 = O < = > x = 4 , —2, y los puntos críticos son : z = 4 y ; r = - 2 . R esulta que g'(x) > 0 s i 2 € ( - o o , - 2 ) u (4, + o o ) y g'(x) < O si x € ( - 2 , 1 ) U ( 1 , 4 ) (hay que q u itar el punto x = 1 y a que la función g lio e s tá definida en este p u nto). Así pues, g es estrictam en te creciente en ( —co, —2 ) U (4, + o o ) y estrictam en te decreciente en ( —2 , 1 ) U ( 1 , 4 ) , con lo que el punto x = —2 es un m áxim o relativo con valor g ( —2 ) = —1 y x = 4 es un mínimo relativo, cuyo valor es g(A) = 23.

220


(d ) P a ra determ inar los intervalos de concavidad y de convexidad de g se analiza el signo de g

U/ N 9 (X)

Se liene que

(4x - 4 ) ( z - l ) 2 - 2 (2 x 2 - 4 x - 16)(x - 1) (F ^ í)4

36 (re - 1)3 '

r o r lan ío, es claro que g"{x) < 0 en ( - 0 0 , 1 ) y g"{x) > O en ( l , + o o ) , por lo que g es cóncava cn ( —oo, 1) y es convexa cn ( l , + o o ) . (O bsérvese que g no está definida cn x = 1 , por lo que no es un punto de inflexión). (e ) Los d atos obtenidos cn los ap artad os (o )-(d ) perm iten d a r una represen tación aproxim ada do g. E n la F ig u ra 4 .3 2 se m uestran la gráfica do g y sus asíntotas.

Figura 4.32. Gráfica de p (r) = 2x*+7x+9 y

351 ^ 0 ^

t

E j e r c i c i o 4 . 4 8 . D ada la función f ( x ) = x * e x, obténganse (o ) los intervalos de crecim iento y decrecim iento de / y calcúlense los extrem os relativos de / , (¿ ) los extrem os absolutos de / cn el intervalo [—3 ,0 ], y (c ) si existen, los extrem os absolutos de / en ( —0 0 , 0 ]. S o lu c ió n , ( a ) L a función / es producto de una polinómiea por la función e x ponencial, am bas dcrívablcs cn R . P o r tan to , / es derivable cn M y su derivada es

f' ( x ) = exx 2(3 + x).

221

E jR fic ic io *



Así pues, f ' ( x ) = 0 si y sólo si x 2( 3 + x ) = 0 y a que ex > 0 p a ra todo x € M, por lo que los puntos críticos de / son x = 0 y x = —3 . P o r o tra p a rte , es claro que f' ( x ) < 0 si 3 + x < 0, o equivalentemente, si x € ( —o o ,—3 ), y f ' ( x ) > 0 si x € (—3 ,0 ) u (0, + o o ). P o r el T eorem a 4. 61, / es estrictam en te decreciente en ( —oo, - 3 ) y creciente en ( —3, + o o ), con lo que en x = —3 hay un mínimo relativo con valor / ( —3 ) = —2

7

ya que en oso punió la función pasa de sor decreciente

a ser creciente, y en x = 0 hay un punto de inflexión, puesto que la función no cam bia su m onotonía en las proxim idades de este punto (aunque sí su cu rvatu ra). Además, obsérvese que del estudio del crecim iento y decrecim iento de / y puesto que la función es continua en R , se deduce que / ( —3 ) < / ( x ) , p ara lodo x € R, por lo que en el punto x = —3 se alcanza, de hecho, el mínimo absoluto de / . En la Figu ra 4 .3 3 se m u estra la gráfica de / .

Figura 4.33. Gráfica de f( x ) = xzex. (6 )

Com o / es continua en R , y on particular lo es on el intervalo [ - 3 , 0 ] ,

que es cerrad o y acotad o, por el T eorem a d< Bolzano-W eiorslrass (véase 4 .4 1 ) / alcanza el m áxim o y el mínimo absolutos on el intervalo [—3 , 0 ] . C ad a uno de estos extrem os absolutos se alcan za o bien en Los extrem as relativos de / contenidos en ( —3 , 0 ) , o bien en los extrem os del intervalo. E n el ap artad o (o ) se probó que la función no tiene ex Irem os relativos en ( —3 , 0 ) , luego los extrem os absolutos se alcanzan en los extrem os del intervalo. E n x = —3 la función alcan za el mínimo absoluto en R , luego en particu lar lo alcanza en [ - 3 , 0 ] y, por tan to , se deduce que en x = 0 la función tiene el m áxim o absoluto, cuyo valor es / ( O) = 0. (c)

L a función es continua en ( —o o ,0 ], pero este intervalo no es acotad o,

por lo que no se puede aplicar el T eorem a de B olzan o-W cicrstrass, que garantiza la existencia de extrem os absolutos de una función continua sobro un intervalo

222

F U N C I O N E S D E U N A VAlUAÍiT.H

cerrado y acotad o. No obstante» en el ap artad o (a ) se dem ostró que en

z=

—3 la

función tiene un mínimo absoluto luego, en particu lar, el mínimo absoluto de / en (—o o , 0] se alcan za en este punto. F a lta estudiar la existen cia del m áxim o absoluto de la función en ( - 0 0 ,0]. E s claro que /(O ) = 0 y que f ( x ) = x * e x < 0, p ara todo x < 0. Así pues»

f ( x ) < 0 = / ( O) , p a ra todo x € ( —0 0 ,0], por lo / alcan za el m áxim o absoluto en x = 0. E j e r c i c i o 4 .4 9 . D eterm ínense el suprem o y el ínfimo del conjunto .4 C R defi nido como

A=la

: a= X. , x >1 1 .

______________________ l_________ s + 1 S o lu c ió n . Sea } { x ) =

J___________________

Se tiene que f' (x ) =

Por tan to , f' ( x ) > ü

p ara to d o x € R \ { - 1 } y en particu lar p ara todo x > 1» luego / es estrictam en te creciente en el intervalo [ l , + o o ) , deduciéndose que / ( 1 ) < / ( z ) , p a ra todo x > 1 , es decir, í s Í T I ' v* a l ' y puesto que / ( l ) = ~ € A ) se tiene que in ín.4 = ínf .4 = obsérvese que lÍmx_t.t.0o f ( x ) = Unix-t+oo

=

1,

P o r o tra parte,

decir, si x to m a valores

cad a vez m ás grandes, el valor de la función / se aproxim a c a d a vez m ás a 1 (la re c ta y = 1 es u n a asín tota horizontal de / ) , por lo que, teniendo en cu en ta que la función es estrictam en te creciente, resu lta que f ( x ) = ^ luego su p .4 = 1. E n este caso, no existe x € R ta l que

< 1 , p a ra todo x > 1 , = 1> P ° r 1° que *1

suprem o de .4 no es m áxim o. E j e r c i c i o 4 .5 0 . Dem uéstrese que la función f ( x ) = x s + 2 x 4 - 3 x 3 + 2 x + 1 tiene 1111 punto crítico en el intervalo [—1 , 1 ]. S o lu c ió n . E s claro que / es continua en [—1,1] y dcrivable en ( —1 , 1 ) , por tratarse de una función polinóm iea. A dem ás, / ( —1) = / ( 1 ) = 3. Luego por el T eorem a de Pollo (véase 4 .5 3 ) existe un punto c € ( - 1 , 1 ) tal que f ' ( c ) = 0, y este c es un punto crítico. E j e r c i c i o 4 . 5 1 . Dem uéstrese que

< arctanrc < x , p a ra todo x > 0.

S o lu c ió n . L a función f ( x ) = a r c t a n z es continua y derivable en R , por lo que

223

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


fijado x > 0 , se tiene en p articu lar que / es continua en el intervalo cerrado [0 ,x] y derivable en el intervalo abierto ( 0 , 5 ) . Luego se satisfacen las condiciones del teorem a del valor m edio (véase 4 .5 2 ), por el que existe un punto c € (0, x ) ta l que

f { x ) - /(O ) _

,

_

a rcta n 2 - 0 2

2-0

1 i + c a-

Com o 0 < c < 2 , se tiene que 1 + c 2 < 1 + 2 2 y, por tan to ,

< 1, por

lo que teniendo en cu en ta la igualdad anterior

1

a rcta n x

P u esto que x > 0, m ultiplicando por x cada térm ino de las desigualdades ante riores resulta que

x z— r r < a r c t a n x < x .

1+ x2

Com o x es cualquier valor m ayor que cero, se tiene que todo x > 0 . E j e r c i c i o 4 . 5 2 . (a ) Dem uéstrese que

< a rcta n x < x ) p ara

< ln (x + 1) - ln x <

p ara todo

x > 0. ( 6 ) Calcúlese

lím (ln (x + 1) - l u x ) .

x —» + o o

S o lu c ió n , (o ) L a función / ( x ) = l n x es continua y derivable en (0, H-oo). Por tan to , ñjado x > 0 , la fundón / es, en particu lar, continua en [ x , x + 1 ] y derivable en ( x , 5 + l ) . Así pues, por el teorem a del valor m edio existe c € ( x , x + 1 ) tal que g i l z M

Com o 0 < x < c < x

= /(c )«

ln(i + 1 ) _ l l li= í .

+ l , se tiene que

| y,p o r consiguiente, de la

igualdad anterior se deduce que

— ^—r < ln (x + x + 1

1 ) - ln x < - . '

x

P u esto que x es cualquier valor m ayor que ü, se tiene que

< ln (x + 1 ) —l n x <

j , para to d o x > 0, concluyendo la dem ostración. E n la F ig u ra 4 .3 4 se m uestran las funciones g (x ) = ln (x + 1 ) - l n x , fi i ( x) = ^ y 6 2 ( 2 ) = \ p a ra x > 0 .

224


Figura 4.34 ( 6 ) Teniendo en cu en ta el resultado anterior, p a ra x € (0, + o o ) se tiene que

h i( x )

=

—

- —

x + 1

<

\t í ( x

+

1 )

—

I

r

x

<

—

=

h

^

í x

) .

x

lím h\(x) = lím Ii2 (x) = 0 , por la propiedad del em paredado se conX ^ + O© x^+oe cluye que lím (ln(cc + 1 ) - \nx) = ü. x^+o©

C om o

E j e r c i c i o 4 . 5 3 . D em uéstrese que \/x + 1 < s j 2 , p ara todo x > 0 y n € N.

S o lu c ió n . D ado n € N, el dominio de la función f ( x ) =

tyx + 1 es [ - 1 , + o o ), si

n os par y R si n es im par, / os conlinua en lodo su dominio de definición y / es derivable en ( - l , + o o ) , si n es par y en R \ { - 1 } si n es im par, por lo que, en particu lar, fijado 5 > 0, la función / es continua en [0 ,5 ] y derivable en ( 0 , 5 ) . Por lan ío, se satisfacen las hipótesis del teorem a del valor m edio, por el cual existe c € ( 0 , 5 ) tal que /(*)-/(«) _

2 -0

_

n/

JU

¿ T T - i _

x

P u esto que c > 0, se deduce que ^

á/

n

x

i V (c + l)n_1’

ûc 8 °

+ ,) * - ! <

F + T - 1

l

_1

n

225

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


O perando y teniendo en cu en ta que x > 0 resulta

y/x + 1 — 1

-i—

r

x

-------- 3w x r x + n 1 < - < = > V z T i - 1 < - < = > y/% + 1 < — —

n

n

n

.

Com o x es cualquier valor m ayor que 0 y n cualquier nú m ero n atural, la desigual dad \/x + 1 <

3.10.

se cum ple p a ra todo x > 0 y todo n € N.

P u n t o s fijos

E j e r c i c i o 4 . 5 4 . Estúdioso cuáles de las siguientes funciones tienen al m enos un punto fijo. ( a ) g ( x ) = x 2. ( b ) g(x) = x 2 + í. ( c ) g(x) = = = ± ¿ .

jd ) g{x) = x 3 + 1 ._______________________________________________________________ S o lu c ió n . Se dice que una función g tiene un punto fijo xq si se verifica que

g(x o) — xo (véase 4 .5 6 ). Obsérvese que, gráficam ente, en el plano, los puntos fijos de g son los puntos de corte de g con la bisectriz del prim er y te rce r cuadrante y = z , de ta l form a que se pueden obtener los puntos fijos de g resolviendo el sistem a siguiente:

í V = 9{x) y = x

l

o, lo que es equivalente, resolviendo la ecuación x = g{x ). ( « ) g ( x ) = x 2 t i e n e d o s p u n t o s f i jo s e n x = 0 y e n x = 1 . P a r a , d e m o s t r a r l o s e

resuelve la ecuación x = g (x ), que en este caso es x = x 2. O perando resulta:

x 2 - x = 0 ; x{x - 1) = 0; x = 0 , x = 1 . (b)

g {x ) = x 2 + 1 no tiene ningún punto fijo ya que la ecuación x = x 2 + 1 no

tiene raíces reales. E n efecto:

2 , n 1 ±V=3 x - x + 1 = 0; x = ------- -------.

226


(c ) Se com prueba si la ecuación z = g {x ) tiene solución.

ztx + 1 1 1 x = ------------ : x = x -\— ; U = — . ex e3 ex C om o no existe ningún número real x que cum pla la condición anterior, resulta que g no tiene puntos fijos. (d ) A hora hay que estudiar si la ecuación x = x 3 + 1, o la equivalente x 3 x + 1 = 0, tiene alguna raíz real. Si se aplica la regla de Ruffini y se prueba con los divisores del térm ino independiente, 1 y —1 , se com prueba que no son raíces de la ecuación polinómica. Sin em bargo si se considera la función f ( x ) = x 3 - x + 1, observando que / ( - 2 ) = - 5 y / ( - 1 ) = 1, el teorem a de Bolzano g aran tiza la existencia de al m enos una solución de la ecuación f ( x ) = 0 o lo que es lo m ismo de x = g {x ) en el intervalo ( - 2 , - 1 ), con lo que g tiene al menos un punto fijo en ese intervalo. E n las Figu ras 4 .3 5 -4 .3 8 se representa la función g y la bisectriz del prim er cuad ran te (en rojo) p a ra caria tino de los cu atro casos. Obsérvese que en el caso (c) la bisectriz es asín to ta oblicua de g. E j e r c i c i o 4 .5 5 . Aplicando el m étodo del punto fijo, trá te se de encon trar al m enos una solución de la ecuación x 2 - 3 x + 2 = 0. S o lu c ió n . Con este caso sencillo se pretende ilustrar el m étodo del punto fijo p ara la búsqueda ap roxim ad a de soluciones de una ecuación. E n este caso b asta resolver la ecuación de segundo grado p a ra com probar que las soluciones ex a cta s son x\ = 1 y X2 = 2 . So recuerda que el m étodo del punto fijo se basa en construir una sucesión de la form a ^n+l = g(%n) de m anera que si existe lím n- toox n = a entonces a es un punto fijo de g, es decir

a = g ( a ) (véase 4 .5 6 y 4 .5 7 ). P o r otro lado, es claro que resolver la ecuación f ( x ) = 0 es equivalente a encon trar los puntos fijos de g siempre que sea f ( x ) = g ( x ) - x. E n consecuencia, si se encuentra una función g que cum pla la condición ante rior, sus puntos fijos serán soluciones de la ecuación / ( x ) = 0 y viceversa. Com o x 2 — 3 x + 2 = 0 es equivalente a x ( x — 3 ) + 2 = 0 y esto a x = hallando los puntos fijos de g (x ) =

se tienen las soluciones de la ecuación.

227

E

j r

fic ic io s

R e s u e lto s

d e F u n d a m e n to s


Aplicando el m étodo del punto fijo, partiendo del valor inicial xq = 0 y haciendo

x n+\ = g (x n), se tiene la sucesión: X

q

=

0

2 ari = í?(ô) = í?(0 ) = q- ^ 3 = 3 _9

x* = 9 M

= 9 ( l) = i^ - 3

x 3 = 9 (x2) = g ^

=

= J

m ^ - = H

, , /1 4 \ -2 30 X 4 = p (x 3 ) = ^ i i J = W Í 5 T 3 = 3Í

que va dando valores aproxim ados a una de las soluciones, la x\ = 1. E n la Figura 4 .3 9 se representa la fundón g y los punios de corto con la bisectriz del prim er

228


cuad ran te ( 1 , 1 ) y ( 2 , 2 ) , asociados a los puntos fijos x\ = 1 y X2 = 2 . En la F ig u ra 4.40 se m u estra la gráfica de g am pliada en la que se han señalado los puntos £ (£ « )), i = 1 , . . . , 4 que se aproxim an al punto ( 1 , 1 ) , uno de los dos puntos de co rte de g con la bisectriz.

Figura. 4.39. Puntos fijos de s(z) = —

Figura 4.40. Aproximaciones

i = 1 ,... ,4.

E j e r c i c i o 4 .5 6 . Sabiendo que la ecuación se n z = z 2 — 1 tiene una solución en el intervalo [ 1 , 2 ], determ ínese una función que p erm ita obtener dicha solución por el m étodo iterativo del punto Jijo. S o lu c ió n . Sea f ( x ) = x 2 - s e n z - 1. Resolver la ecuación d ad a por f ( x ) = 0 es equivalente a resolver la ecuación inicial. Si se hace f ( x ) = g (x ) — x resolver

229

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


la ecuación f ( x ) = 0 es equivalente a resolver g (x ) = x , p o r lo que el problem a consiste en construir u n a función g que cum pla las condiciones del teorem a del punto fijo (véase 4. 58) , es decir ta l que: g : [1, 2] —» [1,2] y p ara algún k € [0, 1) se tenga |S'(z )| < A :, V * € ( l , 2 ) . E n esas condiciones se tiene que g tiene un único punto fijo en el intervalo y adem ás que dado cualquier punto inicial xo a i el intervalo, la sucesión construida por el m étodo del punto fijo com o z rt+i = g(x n) converge a la solución. A p artir de la ecuación d ad a s e n x = x 2 — 1 se tr a ta de despejar x p ara conseguir una expresión del tipo x = g(x ). Es claro que la form a de hacerlo no es única, algunas opciones fáciles de obtener son las siguientes. (i) x = x 2 + x - sen x - 1 (ii) x = v T T s e ñ x (iiij x = are sen y jx 2 — 1

L a ecuación (i) se ha obtenido sum ando y restando x en los dos m iembros de la ecuación y las o tras tres despejando x de formas distintas. Se com prueba que la función g (x ) = V I 4- s e n x d ad a en (ii) cum ple las con diciones del teorem a. E n efecto, p a ra probar que í?([1,2]) C [1,2] hay que obtener el m áxim o y el m ínim o absolutos de g en el intervalo. Com o g es continua, por el teorem a de B olzano-W eierstrass alcan za su m áxim o y su mínimo absolutos en los extrem os del intervalo o en un punto crítico. s

// % COSX _ _ 5Í = o t\ I = 0 «*cosx = 0 < * x = x € 2 \/l-bsenx ¿

1 ,2 .

L a imagen de este único punto crítico de g en el intervalo [1,2] y de los extrem os del intervalo son: ^ ( 1 ) = y¡\ + sen 1 , g { f

)

= -J2 y g { 2 ) = \ZT+ s e n 2 . E l menor

de estos valores es el prim ero y el m ayor es el segundo, con lo que se tiene que

g {x ) € [ v /r + a c ñ T ,

C [1,2], p a ra to d o x € [1 , 2 ] y se cum ple que g : [ 1 , 2 ] —►

[ 1 . 2]. Por o tr a p arte, p a ra todo x € ( 1 , 2 ) resulta cosx I s 'M I =

230

2 y /l + s e n x

1

^ 1 ^ 1 — 2V I + s e n x — 2


y se verifican las condiciones del teorem a del punto fijo que garan tiza la existencia de un único punto fijo y la convergencia a la solución. Partiendo de cualquier punto del intervalo, por ejemplo xq = 1 y construyendo la sucesión 2 n+ i = g (x n) se obtienen aproxim aciones a la solución, el prim ero seria

£ 1 = 9 {z o) = x /T + i é ñ T , y así sucesivam ente. Se deja com o ejercicio com probar si las funciones g propuestas en (iii) y en (iv) cumplen el teorem a del punto fijo. E j e r c i c i o 4 . 5 7 . Se considera la ecuación

x

+ sena: = 3.

( a ) Pruébese que tiene solución en el intervalo [1,3]. ( b ) Estúdiesc si p (x ) = 3 - sen a: cum plo cl teorem a del punto fijo en esc intervalo. (c ) E li caso afirm ativo, obténganse los cuatro prim eros valores de aproxim a ción de la solución de la ecuación inicial por el m étodo del punto fijo a p artir del valor inicial xq = 2, S o lu c ió n , ( a ) L a función f ( x ) = x + sen x - 3 verifica el teorem a d e Bolzano en el intervalo dado, y a que es continua en todo R y se tiene que / ( 1 ) = 1 + s c n 1 - 3 = —1 , 1585 < 0 y / ( 3 ) = 3 + sen 3 — 3 = 0, 1411 > 0, con lo que tiene alm enos una solución en el intervalo. (6 ) P a ra probar que $ ( [ 1 , 3 ] ) c [1,3] hay que obtener el m áxim o y el mínimo absolutos de g en el intervalo. Com o g es continua, alcanza su m áxim o y su mínimo absoluto en los extrem os del intervalo o en un punto crítico.

g '(x ) =

- COS X — ü

COS 2 =

0 ^ 2

=

^

€

[1)3].

¿

L a imagen de este único punto crítico y de los extrem os del intervalo son:
2 31

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


de aproxim aciones a la solución p o r el m étodo del punto fijo son:

x\ = g{ 2 ) = 3 — s e n 2 = 3 — 0,9092 = 2 ,0 9 0 8 x 2 = fl(2,0908) = 5(2,1322) x 4 = 5(2,1535)

3.11.

= 3 - sen 2 ,0 9 0 8 = 3 - 0 ,8 6 7 8 = 2, 1322 = 3 - sen 2 , 1 3 2 2 = 3

- 0 ,8 4 6 5 = 2, 1535

= 3 - son 2 , 1 5 3 5 = 3 - 0 ,8 3 4 9 = 2, 1650.

P o lin o m io d e T a y lo r

E j e r c i c i o 4 .5 8 . Calcúlese la expresión del polinomio p de orden 3 ta l que p ( l ) = l . p ' ( l ) = - ! , / ( ! ) = 2 y / ' ( ! ) = - 1 2 ._________________________________________ S o lu c ió n . P o r ser p un polinomio, el polinomio de T aylor de orden 3 de p en

x =

1coincide con el polinomio p porque el resto de Lagrange es idénticam ente cero (véase 4 .7 6 ). P o r tanto p (x ) = p ( l ) + í / ( l ) ( z - 1 ) + ^ ( x = 1 - ( x - 1) + | ( x - l ) 2-

- l)2 +

- l )3

- l)3

= 1 - (a: — 1 ) + (a: — l ) 2 —2 (a: — l )3 = - 2 x 3 + 7 x 2 - 9x + 5. Así pues, el polinomio es p (x ) = - 2 x 3 + 7 x 2 - 9 x + 5. E j e r c i c i o 4 . 5 9 . Exprésese el polinomio p\x) = x 4 + 3X3 - 2 x 2 + 2 x + 4 en potencias de x — 2 . S o lu c ió n . E l polinomio de T aylor de orden 4 de p de cen tro cualquier punto a € R coincide con el polinomio p , por tan to , hay que calcular el polinomio de Taylor de orden 4 de p en x = 2. Se tiene que p (x ) = x 4 + 3 x 3 - 2 x 2 + 2 x + 4 = * * p (2) = 40 p '(x ) = 4 x 3 + 9 x 2 - 4 x + 2 = > j ¡ { 2) = 62

232

p " (x ) = 1 2 x 2 + 18 x - 4

= *

p " (2 ) = 80

p'"(x) = 2 4 x + 18 p ,v{x) = 2 4

=>

p " '(2 ) = 66

=>

p*»(2) = 24.


Así pues,

P(x ) = 4n + ^ ( x - 2 ) + ^ ( x - 2 r + ^ ( x - 2 f + ^ ( x - 2 y = 4 0 + 62(¿r - 2 ) + 4 0 ( z - 2 ) 2 + l l ( x - 2 ) 3 + (z - 2) 4 .

E j e r c i c i o 4 . 6 0 . Hállese el polinomio de Taylor de orden 2 de la fundón f ( x ) = v 'x en el punto x = 8 , obténgase un valor aproxim ado de v^9 y una c o ta del error com etido con dicha aproxim ación. S o lu c ió n . E l polinomio de Taylor de orden 2 de / en x = 8 viene dado por a ( I ) = /(8) + Se tiene que f ' { x ) =

f "{%)=

y a

^

- 8) + ™

( í - 8)2.

Luego / ( 8 ) = 2 , / ' ( 8 ) =

y f H[x) =

i ,

es íM z ) = 2 + ¿ ( z - 8 ) - ¿ ( z - 8 )2.

E l polinomio de Thylor de una fundón en un punto aproxim a a la función en las proximidades de ese punto. P o r tan to , un valor aproxim ado de / ( 9 ) = v^9 es

p^

=

24

-

¿

=

1

I

-

2 ’0 7 9 8 6 -

Según el T eorem a de T aylor (véase 4 .7 5 y 4 .7 6 ) el erro r com etido al aproxim ar / ( 9 ) por P ¿ (9 ), es decir, / ( 9 ) -

(9)> viene dado por el resto do Lagrange de

orden 2 en x = 8 : r ( c ) m ñ J (9) = L # ' ( 9 - 8 )3 = ^ # 3! ' 6 donde c € ( 8 , 9). Com o c > 8 , se tiene que

1 a ( 9 ) |= 2Í2 (9) <

=

5 81^ ?’

= ^ = ^ . Así pues, - 2,41 ■ 10- 4 ,

por lo que el erro r com etido es m enor que 0 ,0 0 0 2 4 1 . E n la F ig u ra 4 .4 1 se repre sentan / y Pi* Obsérvese que en las proximidades del punto x = 8 el polinomio

P'i se aju sta con m ucha precisión a / .

233

E jR fic ic io *



Figura 4.41. Gráfica do f( x ) = tyx y polinomio do Taylor do orden 2 do

/

o i i í

» 8 ,

E j e r c i c i o 4 . 6 1 . D oler mínese el polinomio de M ac Laurin do orden 5 do la fun ción f ( x ) = ex eos x . Calcúlese una estim ación del error com etido al aproxim ar el valor de / por el valor de dicho polinomio de M ac Laurin en el punto x = \. S o lu c ió n .

E l polinomio de M ac Laurin do la función / so correspondo con ol

polinomio de Taylor de / cn x = 0. P o r lan ío, se calculan las cinco prim eras derivadas de / y se evalúan cn x = 0 :

f ( x ) = ex c o s x , f'(x ) = e n c a s a —sen x ). f " { x ) = - 2 e x senx, f M(x) = - 2 ex (sen;r + c o s z ) , f*v (x ) = —4 c 1 eos x , f v{x) = 4 c 1 (son x - e o s * ),

/ ( O ) = 1, /'(O ) = 1, / " ( 0) = 0, /" '(O ) = - 2 ,

f ív{Q) = - 4 , f v(0 ) = - 4 .

Luego el polinomio de M ac Laurin de orden 5 de la función / es

=m

+m

= 1 +a;- r

. +^

+

+

3 - r 4 - 3 5 I “’

P o r último, el error com etido al ap roxim ar el valor de / por el valor de P* viene dado por el resto de Lagran ge de orden 5 evaluado en x = \ (véanse 4 .7 5 y 4 .7 6 );

* Ü 234

) = T O

‘.


con c € (0, i ) . Se tiene que / w(a:) = 4e,r(sena: — co sa:) + 4e‘r (c o s x + sena:) = 8 ex sena:, por tan to,

/1 \

M

Se^scnc/lX6

i ) " -

6Í“

U

J

e^scnc/lX^

\ 4)

90

■

Com o 0 < c < i y la función ex es creciente, se tiene que ec1 = 1 < ec < e * . Adem ás, 0 < s e n e < 1, deduciéndose que

» <

- ©

^

( j ) 6< á G

) - ’-

io -° ,

por lo que el error com etido es m enor que 0 ,00000348.

235

T em a 5 F U N C IO N E S D E V A R IA S V A R IA B L E S

1. R E S U M E N D E R E S U L T A D O S T E Ó R IC O S E l c o n ju n to R n 5 . 1 . El conjunto R ” . D ado n € N, se defino R n com o el producto R x R x . . . x R , es decir, Rn es el conjunto do elem entos de la form a (x\, x ¡

x n), donde x¡ € R ,

p ara ¿ = 1 ,2 .......... n . E n R n se definen las operaciones sum a “-b” y prod u cto por un escalar

como

sigue. Dados { x i , x 2 , . . . ,a:n) , ( 1/1 , y2, ■■ ■, yn) e B " y A 6 B ,

{xu x 2

x n) + {yu y2

-A•{xi,x2

y„) = (x¡ + y%,x2 + y2

zn) = (A3-j,Ax2

x n + y n),

Axn).

Con estas operaciones, R n tiene e s tru ctu ra de espacio vectorial. Si se h ace refe rencia a R n com o espacio vectorial, sus elementos reciben el nom bre de vectores. 5 . 2 . Producto escalar en R n . El producto escalar de dos vectores x = S =

, z rt),

lfe> •••>Vn) € R n es el numero

* - 9 = X l - y¡ +X 2 - V2 + ---+2n-Vn5 . 3 . P ropiedades del producto escalar. Sean x , y , z vectores de R n y A € R . El p roducto escalar satisface las siguientes propiedades:

1 . ( x + y) •z = x •z + y •z, 2. ( As; - tí = A(* - p), 3. x - y = y - x , 4. x - x > 0 5. x •x = 0 < = > x = 0.

237

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


5 . 4 . N orma de un vector de K n . L a n o rm a o m ódulo es la fundón ||•|| : Mn que asigna a ca d a vector x = ( x j , X 2 , . . . , x n) € R rt el valor

\x\\ = = \\í¡xAí + x \

+

. .

. + x£,

G oom étricam ento, la norm a de x es la longitud del vecto r x. 5 . 5 . Vector unitario. Se dice que un vecto r x es un itario si su m ódulo es 1, es decir si ||x|| = 1. Se verifica que si x ^ 0, entonces es un vector unitario de la m ism a dirección que x . 5 . 6 . Propiedades de la n o rm a . Sean x , y dos vectores de R n y A e K . L a norm a satisface las siguientes propiedades:

1 . \\x\\ > 0 , 2 . 11x 11 = 0 4 = ^ x = 0 , 3. ||Ai|| = |A|||i||, 4 . ||x + 5|| < \\x\\ + ||y|| (desigualdad triangular). 5 . 7 . D istancia entre, dos puntos de R n . Se defino la distan cia entre dos puntos x , y € R n com o la longitud del vecto r y — x , es decir,

d ( x ,y ) := ||5 - x|| = y/(y\ - x i ) 2 + (y2 - x 2)2 + . . . + (yn - Xn)25 . 8 . Ángulo entre dos vectores de R n . E l coseno del ángulo a entre dos vectores x , 5 € R n no nulos viene definido por

cosa

=

-

x -y i.* M

5 . 9 . Coordenadas polares. D ado un punto en coordenadas cartesian as (x , y) € K 2, óste tam bién queda unívocam ente determ inado si se conoce la distan cia p del punto [xyy) al origen de coordenadas, es decir, si es conocido cl valor ||(x,i/)||, y el ángulo 0 € [ 0 , 27t) que form a el vecto r (x¡y) con el semieje X positivo. E l par (p, 0 ) son las coordenadas polares de (x , y). Se verifica que: (a ) Si (x , y) son las coordenadas cartesianas de un punto en R 2, sus coordenadas polares se determ inan según las ecuaciones siguientes: = \ jx 2 + y2 = ||(x , y)||,

238

ta n 0 =

F U N C I O N E S Í>K V A I I I A S V A R I A B L E S

Ahí pues, dependiendo del cuad ran te en el que se encuentre el punto ( 2 , y ), el ángulo 6 es si (x , y) pertenece al prim er cuadrante

arctan arctan (| ) + n

Q= I

si (x , y) pertenece al segundo o tercer cuadrante

a rcta n ( £ ) + 2 tt ff

2 3tt 2

si (x , y) pertenece al cu a rto cuadrante si x = 0 , y > 0 si x = 0 , y < 0 .

(b) Si {p, 6) son las coordenadas polares de un punto en R 2, entonces sus coor denadas cartesian as vienen dadas por

x = pcosÜ ,

y = pseii&.

(c) Semirrecta. L a sem irrecta s de punto inicial (a, 6), que form a un ángulo 6 € [0, 2n) con el semieje X positivo tiene ecuaciones param é tricas

( x = a + peosd I y = i + psen Q

n ' ^ “

’

E s decir, por c a d a valor de p m ayor o igual que cero se obtiene un punto (2 , y) € s. P o r ejemplo, si p = 0 resulta el punto (a , 6 ), que es el punto inicial de s. 5 . 1 0 . B ola abierta y bola cerrada. L a bola ab ierta y la bola cerrad a de centro

x € R n y radio r > 0 son, respectivam ente, los conjuntos S (£ , r ) = {¿7 € R " : d ( i , j?) < r} , B ( x , r ) = {j7 € R n : d { i , y ) < r } . E n particu lar, en R 2,

x

la bola ab ierta de centro x y radio r es el círculo de centro

y radio r sin su circunferencia, y la bola cerrad a os cl círculo

incluyendo la

circunferencia. 5 . 1 1 . In terior y fron tera de un conjunto. Sea

S e l ” un

conjunto 110 vacío.

(a ) Se dice que un punto xo € S es un punte in terior de S si existe una bola abierta de centro 2 0 contenida en S . E l conjunto de los puntos interiores de

S se denom ina in terior de S y se denota por int S. Se cum ple que in tS c S.

239

I a' j k r o c í o s

R u s i j k i .t o s

d io

F u n d a m en to s


(b) Se dice que xo € R n es un punto frontera de S si cualquier bola a b ierta de centro x q contiene a la vez puntos de S y puntos que no pertenecen a S . El conjunto de los puntos frontera de S recibe el nom bre de fron tera de S y se denota por f r S. (c) Un punto xo € R n os un punto adh m .n te de S si os un punto interior o un punto frontera de S . E l conjunto de puntos adherentcs de S se llam a

adherencia de S y se d en ota por a d h S . Se tiene que a d h S = in tS U f r S. (d) Un punto x q € R n es de acum ulación de S si existen puntos x € S distintos de x q ta n próxim os a x q com o se quiera. E l conjunto de puntos de acum u lación de S se d en ota por S '. Se cumple que a d h S = S u S'. Los puntos do S que no son de acum ulación so llam an aislados. P o r ejemplo, el interior de la bola cerrad a de centro x € R 2 y radio

r > 0 es el

círculo de centro x y radio r sin su circunferencia, y la frontera es la circunferencia de centro x y radio r . P o r o tra p arte, todos los puntos de la bola c errad a son puntos de acum ulación. 5 . 1 2 . Conjunto abic.rto, cerrado y acotado. (a ) Se dice que un conjunto S C R * es abierto si todos sus puntos son interiores, es decir, ni in tS = S . (b) Se dice que un conjunto S C K n es cerrado si coincide con su adherencia, es decir, si S = adh S. (c) Un conjunto S c R n es acotado si exis:e una bola que lo contiene. L as bolas ab iertas non conjuntos abiertos y las bolas cerrad as son conjuntos ce rrados.

Fu nciones reales d e dos o m ás variables. L ím ites 5 . 1 3 . Función real de n variables. Dea D un subconjunto no vacío de K n. U na función / : D c R n —» R es u n a aplicación que asigna a c a d a elem ento x € R n un número real } { x ) . E n p articu lar, una función real de dos variables es la que asigna a ca d a ele m ento (x , y) € R 2 un núm ero real z = f ( x , y ) . L a representación gráfica de / , en este caso, es una superficie en el espacio tridimensional, que viene d ad a por S = { ( i ,t | ,2) e R ! : 2 = / ( i , ! ( ) } .

240


5 . 1 4 . Dominio. Se llam a dominio de la función /

: Kn

M, y se d en ota por

d o m / , al conjunto de todos los puntos x € K n que tienen im agen m ediante / , es decir, que existe f ( x ) . 5 . 1 5 . Lím ite de una función. Sea / ; l ) c R n R , l € R y xo € R n un punto do acum ulación de D , decir Xq € Se dice que / tiene lím ite l en ol punto Xo € D/ ) y se d en ota por lím f ( x ) = l, si p a ra cad a € > 0 existe S > Ü ta l que si x € Í > y C < | | x - xo|| < S] entonces |/ ( x) — l\ < e. 5 . 1 6 . Unicidad del límite. Si existe el lím ite de una función en un punto, es único. 5 . 1 7 . Propiedades del limite. Sean / , g : D c R n -> R> xo € D* y A € R . Si existen y son finitos lím / ( x ) y lím o ( x ) , entonces

(a ) J im A / ( x ) = A líni / ( x ) , x —»xo i —+xo (b)

(c)

lím { f { x ) ± g { x ) ) = lím f { x ) ± lím g(x), x —»xo x—»¿ro x—»xo lím ( f ( x ) - g ( x ) ) = ( lím / ( 2 )') • ( lím
(d) Si g[ x) ^ 0, p a ra todo x € D y lím p í x ) ^ 0, entonces í— //-x lím / ( x ) lím / w = w i i . x—»xo g (x ) lím g(x) x-tro Los tres puntos siguientes se enuncian para R 2 con el fin de simplificar la notación. 5 . 1 8 . L ím ites reiterados. Sean / reiterados de / en (xo, yo) son

: D C K2

lím ( lím f ( x , y ) \ \V -> V Q

y )

R y (xo,i/o) €

Los límites

lím ( lím f ( x , y ) \ . y -> V Q

\X -> X Q

)

5 . 1 9 . Lím ites a través de, curvas. Sea / : D C R 2 —►R y (xo, JA)) € D'. E l límite en (xo, yo) a través de una curva y = g (x ) ta l que yo = g (x o) es Km / ( x , y) = J i m / ( x , $ ( x ) ) . y=e(*)

2 41

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


De form a análoga, el límite en (xo.jA)) a través de una cu rva x =

/i(y ), con

xo = % o ) , viene dado por lím f ( x , y ) = lím / ( f t ( y ) , y ) . isft(y) * *° 5 . 2 0 . C ondición necesaria para ia existencia da limite. Sea / y (xo>¿A)) € D '. Si

lím ( x ,^ ) - * ( x o ,í f l )

: D C R 2 —► R

/ ( x , j/) = l € R , entonces los limites reiterados

existen y son am bos iguales a l. Igualm ente, el lím ite a través de cualquier curva que pase p o r ( 2 0 , yo) existe y es igual a L De este resultado se deduce que si alguno de los límites reiterados no existo, o existen am bos y son distintos, entonces no existe el lím ite de / en ( xq * JAi). Del m ismo m odo, si los límites en (iCo? J/o) a través de dos curvas que pasan por (xo, JA)) son diferentes, tam p o co existe el límite de / en (xo, JA))* 5 . 2 1 . P ropiedad del emparedado. Sean f yg yh : D c K n —» R , xo € D f tales que 9 (2 ) £• f ( x ) £! M ^)i para todo x € D.

Si lím g (x ) =

'

lím h (x ) = l € R» entonces t->t0 v J lím f ( x ) = l. i-»ÍQ

E l siguiente resultado es consecuencia de la propiedad del em paredado. 5 . 2 2 . Teorema. Sean f , g : D c R n - » R y ¿o € D'. (a ) Si lím g (x ) = 0 y |/(x)| < g{x)> p ara todo x € D , entonces lím f ( x ) = 0. í ^ íjj í ^ íjj (b) Si líin f ( x ) = ü y existe una bola B de centro xo tal que g e s tá a co tad a í —+xo

sobre DC\B, es decir, existe M > 0 tal que |p(x)l < M , p a ra to d o x € DC\B, entonces lím ( f ( x ) g ( x ) ) = 0 . x —»xo

E l teorem a siguiente es m uy utilizado para dem ostrar la existen cia de límite do una función real definida en R 2 haciendo un cam bio a coordenadas polares. 5 . 2 3 . Teorema. Sean / : D C R 2 -> R y (xo,j/o) € D

Considérese el cam bio a

coordenadas polares

x =

242

xq + p eo s

0,

y = yo + p sen 0 ,


con p > 0 y 0 € [0 , 2n), y sea F ( p , 0 ) = f ( x o + p c o s 0 ,t/.;> + p s e n 0 ). (a ) Si lím F í p , 0 ) depende de 0, entonces no existe el lím ite de / en (xo ^ o )* p -*o (b) Si existen Í € l y una función h íp ) tales que lím h íp ) = 0 y

o

p —>

|F(p, 0 ) - l\ < /i(p), p ara todo 0 del dominio, entonces

lím

/ ( x , t / ) = í.

< x ,y )-> (x O ,y o )

Fu nciones con tin u as 5 . 2 4 . Continuidad en un punto . U na función / : D C K n —» M es continua en un punto xo € F si lím f { x ) = f ( x o).

x —*xo

E n caso contrario se dice que / es discontinua en xo. Siem pre que se hable de continuidad, se supondrá que 5o es un punto interior de D. 5 . 2 5 . Se dice que una función /

: D C R n -4 1 es continua en un conjunto

A C D , si / es continua cn ca d a punto xo € A. E n los dos resultados siguientes se describen propiedades de las funciones continuas en un punto. 5 . 2 6 . Propiedades de las fu n cion es continuas . Sean f sg : D c R n -► R . Si / y g son continuas en xo € F , entonces f ± g y f -g son continuas en xy. Si g (x ) ^ 0 p ara to d o x € F , entonces £ tam bién es continua en ¿o. 5 . 2 7 . Sean / : í ) c R n - > l y p : / c R - > K t a l que f ( D ) c / . Si / es continua cn xo € F y p es continua cn / ( x o ) , entonces p o / es continua cn xo. 5 . 2 8 . Si p ara ca d a i = 1 , 2 , . . . , rc, h* : R

R es continua en /* c R , entonces las

funciones f { x u x 2, . . . , x « ) = / i , ( x i ) + * 2 ( ^ 2) + •" + y /ti ( x j ) •h i f a ) • ••• * hn (xn) son continuas cn ¡ i x I¿ x ••• x In c R n.

•• >*«) =

E 11 particu lar, las funciones polinóm icas son continuas cn R n . U na función es polinóm iea si es sum a de expresiones de la form a a x ^ x íf . . . x^n, con a € M, ¿li ¿2 i •••1¿n € N.

243



d io

F u n d a m en to s


D erivad a según un v e c to r. Fu n cion es diferenciables E n lo que sigue se supone que D c R n es un conjunto abierto, m ientras no se especifique lo eoutrario. 5 . 2 9 . Derivada según un vector. Sea / : D

R , xq € D y

vun vector no nulo

de R " . L a derivada de / en iro según el vector v es el límite

/ ( f 0 - ha) - /(x o ) ,

n , /t(iI- 0 \ D ) ; = i1„ siempre que éste exista.

Si el vecto r E es unitario, es decir, \\v\\ = 1 , entonces el lím ite anterior recibe el nombre de derivada direecional de / en Xo siguiendo la dirección de v y se interpreta com o la razón de ram bio instantánea de la función / al producirse un desplazamiento desde xo en la dirección de t . E n p articu lar, las derivadas direccionales de / en xo con respecto a los vectores de la base canónica de R rt se conocen con el nom bre do derivadas parciales do / ¿ = 1 , 2 , . . . ,n , es decir,

en xq, y se denotan por

J “ (* o ) : = D ?í/ ( x o ) , ¿ = 1 , 2 .............n, siendo { é , } i < #
D . L a función ^

: D —> R , que asigna a c a d a punto x € D

J j £ ( x ) , se denom ina función derivada parcial con respecto a

el valor

¿ = 1 , 2 , . . . , n.

5 . 3 1 . Gradiente. Sea / : D —> R y xo € D tal que existen las derivadas pard ales de / en xo. E l vector

1 ^ » ) ) ,

recibo el nom bre do gradiente de / en xo. 5 . 3 2 . Función difercnciable. Diferencial. Una función / : D —> R es difereneiable en xo € D si l í m

f

h-> 0

244

(

S

o

+

h

)

-

f

{

x

o

||h||

)

-

V

f

{

x

0

)

-

h

=

Q


E n caso de que / sea diferenciable en xo, se denom ina diferencial de / en xo a la aplicación lineal D f ( x o) : R n —» R definida como

D f ( x o ) ( s i , x 2, .. . , x » ) = V / ( x 0 ) • ( x , , x 2, . . . , x n), es decir, D f ( x o) es la aplicación lineal que tiene com o m atriz asociad a a V / ( x o ) . 5 . 3 3 . Se dice que la función / : D —►R es diferenciable en 1111 conjunto A C D, si es diferenciable en ca d a punto ¿ o € A. 5 . 3 4 . P ivpiedades de las fu n cio n es diferenciables. Si / , g : D —> R son diferen c i a l e s en xq € D y entonces / ± g y f •g son diferenciables en xq. Si adem ás

g ( x 0 ) ^ 0 entonces £ es diferenciable en

xq.

Si / y g son las funciones definidas en el punto 5 .2 8 y las funciones hj son diferenciables (derivables) en 7¿, entonces las funciones / y g son diferenciables en ¡1 x l¿ x •••x ¡n c R n . E n p articu lar, las funciones polinóm icas son diferenciables

en R n. 5 . 3 5 . Interpretación geométrica de la diferencial. P la no tangente. Sea D c R 2 abierto y / : D - » R una función diferenciable en (xo,£ío) € D. Intuitivam ente, / es diferenciable en (xo, yo) si varía de form a suave en las proxim idades de este punto, lo que significa que la superficie determ inada por / se puede aproxim ar linealmente por el plano tan gen te a / en (xo, yo) en un entorno de este punto. E l plano tan gen te a / en (xo, yo) tiene ecuación

2 = f{xo>Vo) + V / ( x 0 ,t/o) •(x - x 0 ) y - yo) = f ( x o , y o ) + D f ( x o , y o ) ( x - x < h y - yo). 5 . 3 6 . Teorema. Si / : D -► R es diferenciable en Xo € D , entonces es continua en x 0* 5 . 3 7 . Teorema . Si / : D -> R es diferenciable en xo € D , entonces existen las derivadas parciales de / en xo. 5 . 3 8 . Condición suficiente de diferenciabilidad. Sean / : D —» R y xo € D . Si existen y son continuas to d as las derivadas parciales de / en una bola a b ierta de centro xq> entonces / es diferenciable en xo5 . 3 9 . Teorema. Sean / : D -> R y xo € D. Si / es diferenciable en xo, entonces existe D v f { x 0 ) p ara todo vecto r no nulo v € R n y

D v f { x 0 ) = D f { x o ) { v ) = V / ( x 0 ) •v.

245

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


5 .4 U . Direcciones de m áxim a y m ín im a variación. Sean / : D —►M y 5o € D. Si / es diferenciable en ¿ o , y el gradiente de / en x q 110 es el vecto r cero, entonces la función / tiene variación m áxim a desde el punto xq en la dirección del vector V / ( 5 o ) y varía de form a m ínim a en la dirección del vecto r —V / ( 5 o ) . E s decir, la derivada d ircm o n a l de / en 5o

v =

m áxim a en la dirección del vecto r unitario

y vale ||V/(5o)||» y la derivada d ire m o n a l d o f en 5o ps m ínim a en

la dirección del vecto r unitario v = -

y to m a el valor -||V/(5o)||.

Regla de la cadena. Sean / : D C R n -> R , E C R p un abierto, g = (5iip 2i •••, Qn) • E —> R ni con
5 .4 1 .

p ara ¿ = l , 2 , . . . , r t y / es diferenciable en el punto
/ V pi (5 0) > V ( / o í ? ) ( x 0) = V f ( g ( x 0))

V 0 2 (*o)

V V fl»(5o) / 5 . 4 2 . Derivadas segundas. Sea / : D —> R . Supóngase que existen las derivadas parciales de / en ca d a ¡m ato de D y sea ^ j(5 ) = $ £ ( 5 ) , ¿ = 1 , 2 , . . . , n. Se defino la derivada parcial segunda de / con respecto a la variable x i

= 1 , 2 , . . . , n,

como

W

( i ) .= ^ i ( ¿ ) =

(s )

Do modo análogo, la derivada parcial segunda de / prim ero con respecto a la variable Xi y después con respecto a la variable Xj> i j € { 1 , 2 , . . . , n } viene dada por

d 2f dxjdx¡K 5 .4 3 .

lV t / - x

d fd f dxj \dxi

Matriz Hessiana.. Sea / : D —v IR y 5o <= ^ Supóngase qnp existen todas

las derivadas parciales segundas de / en 5o. Se define la m atriz H cssiana de / en 5o como

MÍL dx2dxn (2o)

H / ( x 0) :=

^

2 4 6

r ( ÍQ)

& (*)

/


5 . 4 4 . Teorema de Schwarz. Sea / : D —» M y zo € D. Si existen las derivadas parciales

d¿ df_ d xi1 d x j1

d 2f d x id x j

en una bola ab ierta de centro 5o y la últim a es continua en 5 o , entonces tambión

¡iit

existe fo $Xi y se tiene (pie d 2f dxjdxt

_

d 2f dxidxj

Así pues, si se cum plen las condiciones del T eorem a de Schwarz, la m atriz Hessiana es sim étrica. 5 . 4 5 . Extremos relativos. Sea / : D - * R y Xq € D. (a ) Se dice que / tiene un m áx im o relativo (o m áxim o local) en 5o si existe una bola ab ierta B de cen tro 5o contenida en i ) ta l que / ( 5 o ) > / ( 5 ) , p a ra todo 5 6 B. (b) Se dice que / tiene un m ín im o relativo (o iiiíniino local) en 5o si existe una bola ab ierta B de cen tro 5o contenida en D tal que / ( 5 o ) < / ( 5 ) , p a ra todo 5 € B. Si las desigualdades en (a ) y (b) son estrictas para 5 ^ 5o, se dice que / tiene un m áxim o (respectivam ente, un mínimo) relativo e stricto en 5q. Se dice que la función / tiene un extrem o relativo en 5o si tiene un m áxim o o un mínimo relativo en oso punto, 5 . 4 6 . Punto crítico. Sea 5o € .D y / \D —> R una función diferenciable en 5 o . Se dice que 5o es un punto crítico de / si V / ( 5 o ) = 0. 5 . 4 7 . Condición necesaria de extremo relativo. Sean / : D —» M y 5o € D. Si / es diferenciable en 5o y tiene un extrem o relativo en este punto, entonces V / ( 5 o ) = 0 (es decir, 5o es un punto crítico de / ) . 5 . 4 8 . Sean / : D - * R y 5o € D. Se dice que 5o es un punto de silla si es un punto crítico pero no es un extrem o relativo. 5 . 4 9 . Condición suficiente de extremo relativo. Sea / : D —> R una función que tiene todas las derivadas parciales prim eras y segundas de / y son continuas

247

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


en D y xo € D un punto crítico de / . Denótese H /( x o ) = denota el elem ento perteneciente a la fila i y colum na j de H / ( x o ) ) , y p a ra cad a k e { 1 , 2 , . . . , n } sea

(Afc es ol determ inante de la subrnatriz k x fc form ada por las k prim eras filan y columnas de H /( x o ) ) . (a ) Si A * > 0 p ara ca d a k = 1 , 2 , . . . , n, entonces / tiene un mínimo relativo estricto en

x q .

(b) Si ( —l ) feA^ > 0 p ara cad a k = 1 , 2 , . . . , n (os decir, si A i < 0, A 2 > 0, A 3 < 0 , . . . ) , entonces / tiene un m áxim o relativo e stricto en xq. 5 . 5 0 . Condición suficiente d t tx tre.mo relativo en R 2. Sea D

e l 2 un conjunto

abierto, / : D —►R una función (¿ue tiene todas las derivadas parciales prim eras y segundas y son continuas en D y (xo, yo) € D un punto crítico de / .

(a ) Si |^ £(xo,yo) > 0 y |H/(xo,yo)| ^ estricto en (xo, yo). (b) Si

entonces / tiene un m ínim o relativo

(xo, yo) < 0 y |H/(xo,yo)| > 0 , entonces / tiene un m áxim o relativo

estricto en (xo, yo). (c) Si |H /(xo, yo)| < 0, entonces / tiene un punto de silla en (xo, yo).

Si ^ í ( x o ,y o ) = 0 o |H/(xo,yo)| = 0, el criterio no perm ite decidir, esto es, el punto ¡xo, yo) puede ser de cualquier tipo, 5 . 5 1 . Extremos absoluto#. Sea D c R "

un conjunto 110 necesariam ente abierto.

Sea / : D c R n -► R y x 0 € D. (a ) Se dice que / alcanza un m áxim o absoluto en xo si / ( x 0 ) > / ( x ) , p ara todo

x e D.

248


(b) Se dice que / alcan za un mínimo absoluto en 2 0 si f{% o) < f { x )> P *ra todo x € D, Se dice que la función / tiene un extrem o absoluto en xo si tiene un m áxim o o un mínimo absoluto en ese punto. 5 . 5 2 . Teorema de Weierstrass . Sea D e l "

un conjunto cerrado y acotad o. Si

/ : Rn R es u n a función continua en £ ), entonces / alcan za el mínimo y el m áxim o absolutos en D . Dichos extrem os absolutos se alcanzan o bien en los extrem os relativos de / pertenecientes a i n tD (si existen ), o bien en frD . 5 . 5 3 . Extremos con restricciones de igualdad. Función Lagmngiana. Sean D c K n

Sc

un conjunto abierto, / ; D «4 R y

D el conjunto definido como

S = { x € D : g i { x ) = 0 , g 2{£) = 0

gm {x) = 0 } ,

donde 0 i, 02 0m • D —►M. Los extrem os relativos de / restringida al conjunto S , es decir, los extrem os relativos de f\s, reciben el nom bre de extrem os sujetos a las restricciones de igualdad o condiciones de ligadura

5 i ( ¿ ) = 0 ,p 2( ¿ ) = 0 D ado Á = (Ai, A2

gm (x) = 0 .

Am) € R m, la función L : D

R definida com o

L s ( ¿ ) = / ( £ ) + Ai 5 i ( ¿ ) + A2
V 0 i ( * o) \

V02 ( x0) V V 0 m (x o) / es m , entonces existe A = (Ai, A2 , . . . , Am) € R m ta l que V L *(xo ) =

0.

A los valores Ai, A2 , . . . , Am, se les denom ina m ultiplicadores de Lagrange.

249



d io

F u n d a m en to s


5 . 5 5 . Condición suficiente de extremo con restricciones de igualdad . Con las mis m as hipótesis del teorem a anterior, si

(xo)!iihj < 0

> 0)

p ara cad a ( / i j , / 12 . . . . , hn) € R n\ { 0 } que satisface el sistem a V 0 i ( z ) • (Ai, /12, . . . , h n) = 0

V g 2 (x) •(fci, A2j •• •>A») = 0 Vpm ( í ) • (Ai ,A2 j .. . , M

= 0.

entonces / tiene un m áxim o (respectivam ente, un mínimo) relativo 011

sujeto

a las condiciones de ligadura dadas por 0 1 ,0 2 ......... 0 m«


E l c o n j u n t o R íl

E j e r c i c i o 5 . 1 . Calcúlense las coordenadas polares de los puntos expresados en coordenadas cartesian as com o P\ = ( 2 , 2 ) , P 2 = (0, |) , P 3 = ( —1, —\/3) y P 4 = ( 2 y / 3 , - 2 ) . ___________________________________________________________________ S o lu c ió n . Las coordenadas polares (/?, 0 ) de P\ se obtienen del siguiente modo (véase 5 .9 (a )): E l módulo p\ del vector (2, 2) es p i =

y el ángulo

\/2 2 + 2 2 = 2 > /2

se determ in a a través de la igualdad * 9, = ? = i .

Se tiene que arctan 1 = | , y puesto que P i se encuentra en el prim er cuadrante, se deduce que Q\ = j , por lo que P i se expresa en coordenadas polares como

250


Con respecto a P 2 , el m ódulo del vecto r (0 , |) es P 2 = \ y es claro que form a un ángulo de 62 = f con el semieje X positivo. Así pues, las coordenadas polares de P 2 son ( f , | ). E l módulo del vecto r ( - 1 , - \ / 3 ) vale

Ps = \ A - 1 ) 2 + C- v ^ ) 2 = 2P a r a calcular 0 3 , obsérvese que t g 03 = ^ y a rc ta n \ /3 =

03 = | +

k =

= v/3

Com o P j se encu en tra en el tercer cu ad ran te, se deduce que . P o r tan to , P 3 = (2, í p ) cn coordenadas polares.

P o r último, el m ódulo del vecto r (2\/3, - 2 ) es ¿>4 = ^ V 5 ) 2 + ( —2)2 = 4 y ta n 04 =

Se tiene que a rcta n ( —^ r ) = —§> luego 04 = —§ + 27t =

por lo que el punto P 4 tiene coordenadas polares (4, ^ p ) . E 11 la F ig u ra 5.1 se representan los cu a tro puntos indicando sus coordenadas polares.

Figura 5.1. Coordenadas cartesianas y polares. E j e r c i c i o 5 .2 . D eterm ínense las coordenadas cartesian as de los puntos expre sados en coordenadas polares com o P\ = (2, || y P 2 = (4, ^ ) .

2 51

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


S o lu c ió n . Teniendo en cu en ta 5.9 (b ), tas coordenadas cartesian as de P\ son:

x = 2 •eos — = 2 •

y = 2 •sen — = 2 •

= y/2,

= \/2 .

Luego P\ = (v^S, v^2) en coordenadas cartesianas. Las coordenadas cartesian as de P¿ vienen dadas por:

^ 4 - c o s ^

=4-

y = 4 - Se n ^ = 4 - ^ = 2 v ^ 2 .

= - 2 %/ 2 ,

Así pues, P 2 = ( - 2 \ / 2 , 2 \ / 2 ) en coordenadas cartesianas. E j e r c i c i o 5 .3 . Considérense los puntos P y vectores v de R 2 siguientes: P , = (l,2),

P2 = ( 3 , 1 ) ,

ft = (0,-l),

*

«2 = ( 3 , 1 ) ,

«3 = ( - 4 , 2 ) .

= (1,2),

Indiquen se la o tas afirm aciones correctas: ( a ) El ángulo que form an los vectores *

y v2 es rv = J .

(b) La distan cia (euclídea) entre los puntos P\ y P¿ es \/3. (c ) Los vectores q y Ü 3 son ortogonales o perpendiculares. (d ) El punto P 3 tiene coordenadas polares (p, 0 ) = ( —1, f )• S o lu c ió n .

• El ángulo o que form an los vectores *

de la fórmula d ad a en 5.8:

y v2 se determ ina a través

Vi >v2

eos cv =

Se tiene que v\ v2 = 1 •3 + 2 •1 = 5, ||* || = \ / l 2 + 2 2 = y/Z y \\v2\\ = \/3 2 + l 2 = VTO. Por consiguiente, c o s o =

=

luego o = á rce o s

= f , siendo

la opción ( 0 ) incorrecta. • La distan cia cuclfdca entre los puntos P\ y P¿ viene d ad a por (véase 5.7) d(( 1 , 2 ) , ( 3 , 1 ) ) = V ( 3 - l ) * + ( 1 - 2 ) 2 = ^ por lo que la opción (5 ) tam bién es incorrecta.

252


• Se tiene que vi ■

= 1 •( —4 ) + 2 - 2 = 0 , por ta n to , vi y

son ortogonales

(es decir, form an un ángulo de f ) y la afirm ación (c ) es correcta. • P o r últim o, la opción (d ) es in co rrecta, pues el m ódulo p siem pre es m ayor o igual que 0. L as coordenadas polares (/?, 0) de P$ son (véase 5 .9 (a ))

P = V 0 a + ( - l ) a = ^ I = l,

0 = y .

Véase la Figu ra 5.2.

F ig u r a 5 .2

E j e r c i c i o 5 . 4 . Hállense las ecuaciones im plícitas de la sem irrecta de R 2 que co m ienza en el punto (a , ó) y form a un ángulo do 9 radianes con la re c ta horizontal

y = b. S o lu c ió n . Sea 5 la sem irrecta en cuestión. L a s ecuaciones parainétricas de s son (véase 5 .9 (c ))

x = a + p eo s 6 y = 6 + p sen 0

{

con p > 0. De las ecuaciones paraniétricas de s se deduce lo siguiente: • Si 0 =

entonces s es la sem irrecta vertical x = a con y > ó, y a que

y = b + p s e n ^ = b + p y p to m a valores mayores o iguales que 0 .

253

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


entonces s es la sem irrecta vertical x = a con y < b, ya que

• Si ? =

í/ = b + p sen ^2 = b - p y p to m a valores m ayores o iguales que 0 . Si ?

| e n t o n c e s se deduce que

y- 6 x - a

=

p scn ? sen ? r = — r = ta n B, p cos? eos?

o equivalentem ente, y = t a n ? ( x - a) 4- 6. P o r o tra p arte, si ? € [0, | ) U ( 3 f , 2 tt] , entonces e o s ? > 0 y

x = a + p e os ? > g + 0 y fli ? € ( 5 ?

x > a;

)» se tiene que eos ? < () y

x = a + p eo s ? < a + 0

x < a.

Por consiguiente, Y>27 T s = { ( i , ¡ / ) € M2 : y = tan S (a; - a ) + 6 ,1 < a } , si 9 e ( ^ , y ) Por ejem plo, si (a , 6 ) = ( 1 , 2 ) y ? =

.

entonces la sem irrecta viene dada

por s = { ( z , l O € R 2 : s/ = t a n ( 0

(a: - 1 ) + 2 , a; > l j

= { { x , y ) € R 2 : y = x + l , x > 1 }. D idia sem irrecta se representa en la Figu ra 5.3. E j e r c i c i o 5 . 5 . Determ ínense el interior, la frontera y la adherencia del conjunto S e l 2 definido com o S = { ( x , y) € K 2 : x 2 + y2 < 4 , x 2 + y2 > 1}. S o lu c ió n . E l conjunto S es la coron a circular delim itada por la circunferencia de centro ( 0 , 0 ) y radio 1 y la de centro (0 , 0 ) y radio 2 , pero sin estar incluidas estas a i S . E n la F ig u ra 5 .4 se representa el conjunto. Considérese un punto perteneciente a cualquiera de las dos circunferencias. E s fácil ver que cualquier bola de cen tro ese punto contiene puntos (pie pertenecen a S y puntos que no

254

F U N C IO N ES D E VARIAS V A R IA D LES

Figura 5.3. Semirrecta. pertenecen a S {véase la F ig u ra 5 .4 ). P o r tan to, la frontera de S son las dos circunferencias citad as (véase 5.1 l ( b ) ) , es decir,

t S = { ( x , y ) € K 2 : x 2 + y 2 = 4 } u { ( x , y) € K 2 : x 2 + y 2 = 1 } . P o r o tra p arte, obsérvese que Lodo punto (xo, yo) de S es un punto interior de S, ya que existe una bola de centro (xo* jto) com pletam ente contenida cn S (véase la F ig u ra 5 .4 ). Aunque es fácil visualizarlo, a continuación se determ in a una bola de centro (xo, yo) que está con !cu id a en S . Sea p := \Jx%+ y$, luego p 2 = Xq + yfi. Com o (xo,i/o) € S , se tiene que 1 < p 2 < 4 , o equivalentem ente 1 < p < 2. Sea r\ : =

y r 2 :=

y sea r := m í n { r i , r 2) , es decir, r es el mínimo valor o

entre n y T2 . En ton ces. B ((xo, ító),r) c S (véase la F ig u ra 5 .4 ). Así pues, todos los puntos de S son interiores, o equivalentemente S = int S , y por la definición 5 .1 2 (a ), S es un conjunto abierto. P o r últim o, de la definición 5. 11{ c) so concluye que a d h S = in tS U f r S = { ( x , y) € R 2 : x 2 + y2 < 4 , x 2 + y2 > 1}.

E j e r c i c i o 5 .6 . Determ ínense el interior, la frontera y la adherencia del conjunto

T C l 2 definido com o T = { ( í . í O € R 2 : y = s 2, x > O.y < 2 } U { ( ^ 2 , 3 ) } . S o lu c ió n . E l conjunto T se representa cn la Figu ra 5 .5 . E s claro que dado cual quier punto ( x o , yo) € T , no existe ninguna bola ab ierta de centro ( xo, yo) conte nida en T P o r consiguiente, no existen puntos interiores de

es decir, int T = 0.

255

[<'j R i t c i c

io n

R

e x iir l t o s

F

d k

iin o a m e n t o s

M

a t r m ít io u n

Figura 5.4. Conjunto S.

P o r ol.ra p arto , cualquier bola ab ierta do conlro un punió do T contieno punios do T y puntos que 110 están en T. Luego todos los puntos de T son puntos frontera, es decir, fr T = T . P o r todo lo anterior, se deduce que a ílh r = i n t r u f r r = f r r = r , Po r lanío, T es un conjunto cerrado (v ía se 5 .1 2 (b )). P o r últim o, obsérvese que ol punto '\/ 2 , 3) es aislado, y a que existe una bola ab ierta de centro este punto que no condene m ás puntos de T que él misino. P o r ejem plo, B ( ( > / 2 , 3), * ) satisface esta condición. E l resto de puntos de T son de acum ulación, es decir,

T 1 = { { x , i 1) € R 2 : y = x 2, x > 0 , y < 2 } .

2 .2 . Fu nciones reales d e d os o m ás variab les. L ím ites E j e r c i c i o 5 . 7 . Calcúlense, si existen, los siguientes límites: / \

(o )

m

256

.•

(X +

i ftn

( ^ - ^ ( y - t ) ( x - 2 ) ( y 2 - 1) '

1

) C 0 S ( 7 TJ/)

hm -------- ------- L- y í*,*)-KO,o) e*~v J

F U N C IO N ES D E VARIAS V A R IA D LES

Figura 5.5. Conjunto T.

S o lu c ió n , (a ) Se tiene que

u (x + l)co s(?r y) ( * ,* > % >

(5 )

_ (0 + l)cos(7r •0 ) _ ,

*= i

Al calcu lar («Le lim ite, se obtiene una indeterm inación. Expresando el

num erador y eldenom inador com o producto de factores simples se tiene que

(x2 — 4 ) ( y - 1) (JP — 2)(jc + 2 )(y — 1) , * , ^ 2,1 ) ( * - 2 ) { y 2 - 1 ) (*,„) ™2 ,i> (x - 2)(y - 1 )(¡, + 1) =

ihm

x + 72 = o -----2. y+1

E j e r c i c i o 5 . 8 . Calcúlense, si existen, los siguientes límites:

¡ \ (а ) / 1, (б )

x¿ - y ¿

hm -T -— r, y (*,SÍ)-^(0J0 ) x 2 + y 2

x + y

hm - 5 -----(**>-►(-i,i) x 2 - y2

S o lu c ió n , (a ) Al sustituir x c y por cero, se obtiene una indeterm inación. Además, 2

2

en este caso, es fácil ver que no se puede simplificar la fracción * 2+^2 p a ra intentar elim inar dicha indeterm inación. Así pues, parece lógico pensar en calcu lar los

257

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


límites reiterados en ( 0 , 0 ) (véase 5. 18). Se tiene que lím f lím 5 ^ 4 ) = lím f 1 ^ s ->0 \x->0 x 2 + y 2 / y - > o \ 0 2 + y 2 / lím f Hm £ 4 x -> 0

4

)

\y-¥Q x 2 + y 2 J

¿ ) = lím ( - 4 y- > 0 {

= lím f ^ l » ! ) = x -> 0 \ X 2 + 0 2 )

y2)

= - 1,

llm í ! = L x-*0

x2

Com o los límites reiterados en (0, 0) 110 coinciden, no existe el límite en ( 0 , 0 ) de Ivéase 5 .2 0 ). Se aprovecha este ejercicio p a ra m o strar otras vías alternativas p a ra probar la

110 existencia del lím ite de u n a función en un punto. E n efecto, tam bién se puede dem ostrar que el lím ite 110 existe estudiando el límite en ( 0 , 0 ) a través de cad a re c ta do ecuación y = m r , con m € R . Se tiene que

lím í x = ,ím x-.o x 2 + y2

y=m x

x-*o x 2 + m 2x 2

= lím^

*-*o x 2( l + m 2)

_ i-

1 + m2

Com o el lím ite anterior depende del parám etro m , de nuevo por el teorem a 5 .2 0 se deduce que

110

existe el lím ite en ( 0 , 0 ) de

2

2

Finalm ente, tam bién se llega a la m isma conclusión haciendo un cam bio a coordenadas polares. Sea

x = 0 + pcosQ, y = 0 + p s e n 9 y F ( p , 9) = / ( 0 + p c o s 9 , 0 + p s e n 9 ) . Si p > 0, W

)

=

= p

(p eos 9 ) 2 + { p s en 9 ) 2

w

» - « - ■ » ) = ca¡, „ _ m , e

p2

(recuérdese que eos 2 9 + sen 2 9 = 1). P o r tan to, p ara cad a 9 € [0 , 2n) fijo se tiene que lím F ( p y9 ) = eos 2 9 - sen 2 9,

p —»o

2

2

y dado que este lím ite depende de 9 se concluye que no existe l í m ^ ^ ^ o ) f íjjj r (véase 5 .2 3 ).

*

*

(b) Se obtiene u n a indeterm inación. E n este caso, b a sta observar que x 2 - y2 = ( x + y)(x - y) y el lím ite resu lta ser ,, x + y ,, x+y ,, 1 lim x= hm ---------- -------- - = hm ----------= (x ,v )^ (-i,i) x ¿ - y ¿ (x¡y)->(-i,i) (x-\-y)(x - y) (* ¡y)->(- i,i) x - y

258

1 2

F U N C I O N E S Í>K V A R I A S V A R I A B L E S

E j e r c i c i o 5 . 9 . Calcúlense, si existen, los siguientes límites: z 2 - 2 xy

/ «,

(*,*¿ 2 (0 ,0 ) y* + 2x2 ’ y

m

1

lím

S o lu c ió n , ( a ) De nuevo, resulta una indeterm inación. Obsérvese que los límites reiterados en ( 0 , 0 ) son llm C it o = li,,, ° \xô j/3 + 2 x ¿ ) y->o j/3

o,

lím C it o S ^ f ' ) = lím £ = i x->o \»-*o j/3 + 2 x ¿ ) x-»o 2x2 2

C om o los lím ites reiterados no coinciden, no existe el lím ite en ( 0 , 0 ) . ( 6 ) L a función f ( x ¡ y ) = las funciones g ( x ¡ y ) =

se puede descom poner com o producto de y h(x¡y) =

. Com o la función g depende sólo

de la variable x resu lta que lím g l x , y) = lím X = ( x ^ K i ,!) ^ x^ u + 1 2’ y dado que h depende únicam ente de la variable y se tiene que i/ ,, x v sen(iry) hm a [ x ,y ) = lím . <xtJ,)-H U ) v->* y - 1 E n el cálculo de este últim o lím ite se obtiene una indeterm inación del tipo § . Se satisfacen las condiciones de la regla de L ’H ópital, por lo que

se n(ny) n cos(n y) 1 = lím ^ 1 = —7r. y-*\ y - 1 y-*\ 1 hm

C om o existen lím (XjV)_>( u ) 3 ( s , y ) y lím (XiJ/)^ (1(1) h ( x , y ) , entonces existe lím (*

(g{x,y)-h{x,y)) = (

lím í(*,«o ) •( VUmO -K U ) /

lím

i,i)

/

•

P o r tanto lím

f(x ,y ) =

lím

( g { x , y ) ■h { x , y ) ) = i • (—w) =

.

259

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


E j e r c i c i o 5 .1 0 . Calcúlense, si existen, los siguientes límites: ( „)

, 1» :*,»)-»(3,4) {x - 3 ) 2 + ( 2/ - 4 ) 2

( 6)

,,

lím

S o lu c ió n . ( a ) Considérese el cam bio a coordenadas polares z = 3 + p c o s 0 , y = 4 + psen 0 (véase 5 .2 3 ) y sea

p , a, fín , ü . . ^ (3 + p c o s 0 - 3 ) ( 4 + p s e n 0 - 4 ) F ( „ , « ) = / < 3 + / > « » M + / > « n 9 ) = (3 \ p e n a d - 3 )* + (4 + p sen 9 - 4 )* p 2 eos 0 sen 0

= eos 0 sen 0 .

P o r tan to , l í m ^ o F f p , 0 ) = c o s 0 s e n 0 , y como este lím ite depende de 0, por 5 .2 3 (a ) se deduce (pie el límite de / en ( 3 , 4 ) no existe. E s te hecho, tam bién se puede com probar con el límite a través de las re cta s y — 4 = m ( x — 3). (ó) Considerando el cam bio a coordenadas polares x = 0 4- p c o s 0 , y = 2 + p sen 0 , se tiene que

0 ) = /(O + />cos 0 , 2 + p sen 0 )

0 p4 eos 4 0 + p 2 eos 2 0 + p 2 son 2 0 p W

eos 2 0 p2 eos 4 0 + 1

Así pues,

lím F ( p , 0 ) = lím ? / — r = eos 2 0 , v^ ’ ' pô p 2 eos 4 0 + 1

y como el lím ite anterior depende de 0 , se concluye por 5 .2 3 (a ) que el lím ite de / en ( 0 , 2 ) no existe.

260


E j e r c i c i o 5 . 1 1 . Considérese la fundón / : D C K 2

donde D = R 2 \ { ( x , y) € R 2 : x 2 + y =

K definida por

0 } . Imlíquosc cuál o cuáles de las

siguientes afirm aciones son d e rta s : ( а ) Los límites reiterados de / en (0, 0) existen y son iguales a 0. ( б ) E l límite de / en ( 0 , 0 ) a través de rectas de ecuación y = m x , con m ^ 0, es 0 . (c ) E l lím ite de / en ( 0 , 0 ) a través de curvas de ecuación y = m x 2, con m * - 1 ' es i + h ( d ) E l limite de / en (0, 0) es 0. S o lu ció n » Los límites reiterados de / en (0, 0) son lím ( lím— rr\ = lím (

— rz') = lím

\*->o (x2 + y)2) *->o V (O2+ y)2)

lím ( lím —7 ——

= lím 0 = 0 ,

*->oy2

*->o

= lím ( , 2X nX2^ = lím ^ 7 = 1 . + y)2 ) x —»o \ ( x 2 + 0 ) 2 / x —»o x 4

x -*0 \y->o ( x 2

P o r tan to , la opción ( a ) es in co rrecta y puesto que los límites reiterados en (0, 0) son distintos, no existe l í m ^ ^ o

/ ( z , i / ) y la opción (d ) es in co rrecta tam bién,

P o r o tra p arte, el límite de / en ( 0 , 0 ) a través de la re c ta y = m x con m ^ 0 es lím , ,

(^ 2

X4

+

X4

^ )2

= lím r - ^ - 1

{x 2+

X4

r r = lím 7 - 7- =

m x )2

x _>0

X4

r rr = lím —t t — ------ rr

(x(x + m ) ) 2 x->0 X2(x + m ) 2

X2

= lím r-----------TT = 0 , x-»o ( x + m ) 2 por lo que la opción ( 6 ) es co rrecta . Finalm ente, el límite de / en (0, 0) a través m ^ - 1 es

de la curva y = m x 2, con H XÍ i 2 j a ( x 2 + y)2

K x-io

xi K X4 ( x 2 + m x 2) 2 i 2 o ( x 2( l + m ) ) 2

K xi i “ o x 4(l + m )2

1 (1 + m ) 2 ’

261

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


por lo que la opción ( c ) es incorrecta. Obsérvese que, puesto que este últim o límite depende del p arám etro m , tam bién se puede deducir a p a rtir de él que no existe lím (*,»)-»(0 ,0 ) / ( z > 2/)-

2.3.

F u n c io n e s c o n tin u a s

E j e r c i c i o 5 . 1 2 . Estudíese la continuidad de la función /

: K 2 —» R definida

como

0

si { x ty) = ( 1 , 0 ).

S o lu c ió n . L a función / es continua en R 2\ { ( 1 , 0 ) } por ser cociente de funciones polinómicas, que son continuas en K 2, y no anularse el denom inador. L a función / será continua en ( 1 , 0 ) si y sólo si (véase 5 24) lím

f(x ,y ) = /(1,0) = 0,

(5.1)

por tan to, hay que estudiar lím(XiJ/)_>(lio ) / ( ; r , y). P a r a em pozar, se analizan los límites reiterados: lím ( lím = lím f (1 " ) = lím íf~*o \x->i ( x - l )4 + y2 ) y-*o V (1 - 1 ) + y ) y

) = lta ( = \y->o {x - l )4 + y 2 / x-m \ (x - l )4 + O2 }

, t o ( ,[m ,

= lím 0 = 0 ,

lím = I). x -» i (x - l )4

Lo* lím ites reiterados coinciden y son iguales a 0. E s to quiere decir que en caso de que e xista l í m ^ ^ ^ o ) / ( x , y), este lím ite vale tam bién 0 , pero falta dem ostrar la existencia riel mismo, por lo que rie m om ento no se puede concluir n ad a acerca, de la continuidad de / en ( 1 , 0 ) y hay que considerar o tra v ía altern ativa. L a vía m ás lógica p ara continuar es considerar el límite de / en ( 1 , 0 ) a través de rectas de ecuación £/ = m ( ; z - l ) , m € R , que pasar, por el punto ( 1 , 0 ) . R esu lta que lím

f r - 1) 3*

» = S L d (x ~ *)4 + y2

= lím

1 (x ~ +m 2(x - ^ 2 = m (x — l )3 _ m (x — 1) _ 0 x1-^! (x — l ) 2 ( ( z — l ) 2 + m 2) x1-^! (x — l )2 + m 2 02 + m 2

262

*


De nuevo, se obtiene que el lím ite a través de estas re cta s es 0 , lo que vuelve a indicar que en caso de que ex ista l í m ^ (i ,o) / ¡ 2 , y ) , dicho lim ite vale 0 , pero no se garantiza la existencia del m ism o. Si se calcula el lím ite de / en (0, 0) a través de curvas de ecuación y = m ( x — l ) 2, m € R , que pasan por ( 1 , 0 ) , se tiene que

= lím

x - 1 ) 2m ( x - l ) 2

x ^ i (x - l )4 + m 2(x - 1 )'

= lím

m ( x — 1 )'

m

x —>1 ( a — 1)4 (1 + m 2)

1 + m -1

P u esto que esto últim o límite depende de m , es decir, to m a diferente valor a través do c a d a curva y = m ( x - l ) 2, variando m , no existe l

í

m

2/) y> por

tan to , / no es continua en ( 1 , 0 ). E j e r c i c i o 5 .1 3 . Estiidiese la continuidad de la función /

: R 2 —►R definida

como

0 S o lu c ió n .

si ( x , y ) = ( 0 , 0 ).

L a función es continua en M2 \ { ( 0 , 0 ) } p o r ser cociente de funciones

continuas en R 2 y no anularse el denom inador. P a ra estudiar la continuidad de / en el punto ( 0 , 0 ) hay que ver si existe lím ^ y)_>((|,0 ) f { x ) y) y si este lím ite coincide con / ( 0 , 0 ) = 0. Obsérvese que

y V

- !)

x2+ y 2

= y V ^ < | e* _ n x 2 + y2 - I ‘

E n la segunda desigualdad se ha utilizado que x 2 + y 2 > y 2, por lo que

< 1-

De este modo, resu lta \ex — 1| que claram en te tiende h acia 0 cuando (z , y) tiende a ( 0 , 0 ) . E s te “truco” es útil en m uchas ocasiones p a ra calcular límites m ediante la propiedad del em paredado y conviene ser tenido en cu en ta cuando procedimientos com o el cam bio a coordenadas polares no facilite llegar a una conclusión sobre la existencia de un determ inado limite. Com o \ím(x y )_>(o,0 ) \zx —1| = 0, por 5 .2 2 (a ), se deduce que lím(a.^ _ q o , 0 ) f { x )V) = 0, luego / es continua en R 2.

263

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


E j e r c i c i o 5 . 1 4 . Est.lidíese la continuidad de la función / : K 2 —» M definida del siguiente m odo:

0

si ( s , y ) = ( 0 , 0 ).

S o lu c ió n . L a función / es continua cn R 2 \{ ( 0, 0 ) } por ser cociente de funciones polinómicas y no anularse el denom inador (obsérvese que x 2 + y2 + (x — y ) 2 > 0 , p ara todo (x , y) € M2 \ { ( 0 , 0 ) } ) . P o r o tra p arte, / es continua en ( 0 , 0 ) si y sólo si , Km / ( * . » ) = / ( ° . 0) = 0 (x^-KO.O) Se tiene que !/(*.»)! =

x 2y x 2 + y2 + ( x - y ) 2

X 4

x'+ y -

X 4

> -y)

donde la prim era desigualdad se debe a que x 2 que

y2

x-

y

2 < \y\>

(x — y)2 > x 2 + t/2, por lo

1 x 2 + y2 + (x - y)2

x 2 + y2

y la viltim a desigualdad se deduce de que x 2 < x 2 + y2, con lo cual

< 1,

p ara todo (x ,y ) € M2\ { ( 0 , 0 ) } . Como lím (Xi?/)^ (o,o) \y\ = 0, por 5 .2 2 (a) se tiene l í m ^ ^ o ) / ( x , y) = 0. Dado que ol límite de / cuando (x , y) tiende h acia (0, 0) coincide con /(O, 0 ), se concluye que / es continua tam bién en ( 0 , 0 ). O tra form a de dem ostrar que / ( x , y) = 0 es haciendo un cam bio a coordenadas polares. Sea x = 0 + p c o s 0 , y = 0 + p sen 0 y F ( p , 0 ) = / ( 0 4- p eos 0 ,0 + p s e n 0 ) . Si p = 0, F ( 0 , 0) = / ( 0 , 0) = 0 y si p > 0, f (p

, e) =

(p eos 0 ) 2psen 0 (p c o s 0 ) 2 + ( p s c n 0 )2 + (p c o s 0 - p s c n 0 ) 2 p3 cos 2 0 s e n 0 p 2 (cos 2 0 + sen 2 0 + eos 2 0 + sen 2 0 — 2 eos 0 sen 0 )

264

p e o s 2 0 sen 0

p e o s 2 0 sen 0

2 — 2 eos 0 sen 0

2 — sen( 20 )


E n las igualdades anteriores se h a utilizado que eos 2 0 + sen 2 0 = 1 y sen (20) 2 eos 0 sen 0 . P o r tan to, teniendo en cu en ta que 2 - sen (20) > 2 - 1 = 1, resu lta que

y puesto que h (p) : = p tiende h a d a 0 cuando p —> 0, se concluye p o r 5 .2 3 (b ) que lím (Xl!/)_*(0,o) f { x ) y ) = o.

Nota: Recuérdese en lo sucesivo que la funció n h sólo puede depende r de p y tiene que tender hacia 0 cuando p se aproxima a 0 para garantizar la existencia del límite de la fun ció n en el punto a través del cambio a coordenadas polares. E j e r c i c i o 5 . 1 5 . Sea / : R 2 —►R la función definida como

Indiques? cuál o cuáles de las siguientes afirm ariones son correctas: ( а ) Haciendo el cam bio a coordenadas polares: x = p e o s 9, y = p s o n 0 , el limite de F ( p , 0) = / ( p c o s 0 , p s e n 0 ) cuando p tiende hacia 0 y 0 ^ § , ^ se m antiene fijo, es 1 . ( б ) E l límite de / en ( 0 , 0 ) a través de curvas de ecuación x = m y3 , m € R \ { 0 } , es 1 . (c) L a función / es continua en ( 0 , 0 ) . S o lu c ió n . Con el fin de estudiar la continuidad en cl punto (0, 0 ), considérese cl cam bio a coordenadas polares: x = 0 4- p c o s 0 . y = 0 4- p s e n 0 y sea F ( p , 0 ) = / ( 0 + peos 0 ,0 + p sen 0 ). Se tiene que

p c o s 0 (p 2 sen 2 0 + 1 )

c o s 0 (p 2 sen 2 0 + 1 ) ’

De e s ta últim a expresión, se deduce que F no está definida cuando 0 = ^ 6 0 = ^ » ya que el denom inador se anularía, luego el dominio de F es dom F =

£ [0 , + o o ) x [0 , 2 ?r) :

y |

.

265

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


Entonces, p a ra 6 € [0,2tt) fijado, con 6 ^ f ,

,, UmF^^)

se tiene que

eos 0 + 2 •O2 •sen 3 6 « * 0 (0 2 . « * 2 0 + 1 )

cosd ^ 6

,

1

( 5 '2)

y la opción ( a ) es correcta. E s im portante señalar que el hecho de que p a ra ca d a valor de 0 € [0, 2 tt) fijado, con 0

| ^ se cum pla que lím F ( p , 0 ) = 1 , no im plica que l í m ^ ^ ^ O ) f ( x >y) = p—*o * ' 1. Obsérvese que el lím ite anterior se h a calculado p ara un valor de 0 fijado y dis

tinto de ^ y y , por lo que se corresponde con el lím ite de / a través de la sem irrecta do ecuaciones pararnótricas (véase 5 .9 (e ))

x = pcosO y = psen 0.

{

P o r tan to, lo único que se ha dem ostrado al calcu lar el lím ite anterior es que el límite de / a través de las sem irrectas que pasan por ( 0 , 0 ) con ángulo de incli nación 0 ^ * , ^ es 1 , y com o es sabido, el hecho de que los límites dirección ales a través de sem irrectas existan y tom en el mismo valor no garan tiza que exista el límite de / en ( 0 , 0 ) . Lo único que se puede asegurar es que, en caso de existir l*m (*,»)-»(0 ,0 ) f ( x í y), su valor sería 1 . Obsérvese que lo anterior no contradice el resultado 5-23 (b ), que requiere la búsqueda do una función h(p) que cum pla las condiciones que allí se indican. Por últim o, calculando el lím ite de / en ( 0 , 0 ) a través de curvas de ecuación x = mt/3, m € K \ { 0 } , que pasan por ( 0 , 0 ) , resulta que

x + 2y*

my'

m

= lím hm — — 77 = lím <^)- o m y * { y 2 + 1) y- »om(j / 2 + l )

m

tsm y *

m

y la opción ( 6 ) es in correcta- P u esto que el lím ite anterior depende de m , se deduce que no existe el lím ite de / en ( 0 , 0 ) y, por consiguiente, la función / no es continua en ( 0 , 0 ), resultando tam bién in correcta la opción (c).

266


2.4.

D e r iv a d a s e g ú n u n v e c t o r . F u n c io n e s d ife r e n c ia b le s

E je rc ic io

Sea / : R 2 - » R la función definida como

5.16.

t u

„ ) =

/

008

(

^

)

^

1

\

(0 ,

0

)

si (s , y) = (0 , 0 ).

(o ) Estudíese la continuidad de / en R 2.

(b) Estudíese la existencia de las derivadas parciales de / en ( 0 , 0 ) . S o lu c ió n , (a ) L a función / es continua en R 2\ { ( 0 , 0 ) } ya que es la com posición de la función coseno, que es continua en R , con la función g ( x , y) =

que es

continua en R 2 \ { ( 0 , 0 ) } por ser cociente de funciones polinóm ieas y no anularse el denom inador. P a r a estudiar si / es continua en ¡ 0 , 0 ) hay que com probar si existe el lím ite en ( 0 , 0 ) de f ( x , y ) y coincide con / ( 0 , 0 ), es decir, hay que ver si w n V (, x .jO-HO.O)

)

= / ( C>0) = 1 -

Obsérvese que el lím ite a travOs do c a d a re c ta do ecuación y = m x , con m € R , es ,, ( hm eos —

t

\

= h in co s

\x2 + V 4 /

nmx2 \ / m \ . —r----- -—= h in c o s ---------- —r - = eos n m ) , \ * 2 + rn4* 4 ) x~>° \1 + m x )

/

Com o el límite anterior depende del parám etro m , se deduce que no existe el lím ite en ¡ 0 , 0 ) de / y, por consiguiente, la función / no es continua en ( 0 , 0 ). ( 6 ) Las derivadas parciales de / en ( 0 , 0 ) son (véase 5.2D): = l i m h-* o

{ # $ ) ~ 1 = llmÍ E Ü r l h h-*o h

W ( M ) = llm / ( 0 . 0 + ft) - / ( 0 . 0 ) = llm ^ oy h-*0 h h ->0

( < ¡ f ) - 1 = llm s s n t i k h-*0 k

? ím dx

=

/ ( ° + M ) - / ( M )

h-*o

h

= lím — = 0 . h- * o h

= lím y = 0 . h->Q h E s te e 3 un claro ejemplo en el que se dem uestra que la existen cia de las deri vadas parciales de una función en un punto no im plica la continuidad de / en ese

267

[< 'j R l t C I C I O N

JÍK S T 1 R I.T O S

O R

F llN IJA M

K N T O S

M

a

T R M Á T IO U N

puní o. E n la F ig u ra 5.G se m uestra la gráfica de / . Obsérvese el com portam iento irregular de / en las proxim idades del pim ío ( 0 , 0 ) , en el que no es continua.

Figura 5.6. Gráfica de f{x,y ) = cos(7rx y / ( x 2 -fy4)).

E j e r c i c i o 5 . 1 7 . Sea / : R 2 —» R la función definida como

/(*■»)

=

Calcúlese ( а ) 0 (i)4) / ( 1 , 2 ) siguiendo la definición. ( б ) 0 ( 1,4 ) / ( 1 , 2 ) utilizando el T eorem a 5.39.

S o lu c ió n , (o ) Teniendo en cu en ta la Definición 5.29,

C ft 1 - 1 D (m )/ ( 1 , 2 ) -

lm / ( 1 + A .2 + 4 A ) - / ( 1 , 2 ) h m ------------------- h - ---------------------2+6h+4h*

=

1 ^

i

4h+Zh2

=

h

- 1 h m --------- ¡r-----------

lim

h-KJ

2

^

±

h

5

A

=

1(m

4

+ J/t

k->o h¿ + 2h +

= 2

2

( 6 ) A continuación, se calcula de nuevo 0 ( i j4) / ( l , 2) aplicando el T eorem a 5.39. L a función / es diferenciable en M2 p o r sor cociente de funciones polinóm icas y

268


110 anularle el denom inador (véase 5 .3 4 ). Luego, en efecto, se puede aplicar el T eorem a 5.39. L as derivadas parciales de / en un punto ( x , y ) € R 2 genérico son d£

_ y ( x 2 + 1 ) - x y •2 r _

- x 2y + y

(z 2 + i ) 2

(z 2 + i ) 2 '

d x [ x 'y> \ d y ^ ’^

x x2+ V

P o r tanto,

g ( l , 2 ) = °,

| d ,2 ) = i,

V/(l,2)=(o,‘

Así pues,

A i . 4) / ( 1 , 2) = V / ( l , 2 ) • ( 1 , 4 ) = ( o , i ) • ( 1 , 4 ) = 2 . c) De nuevo, aplicando el T eorem a 5 .3 9 resulta que Df l

, - , / ( ! , 2) = V / ( 1 , 2 ) ^ 1 7 Vv/s’ v/sy

(°

ÍX

4

v ’2 y v ^ 5 ’ ^ y

a

Obsérvese que

L a igualdad anterior se debe a la siguiente propiedad:

A ™ /(a , 6 ) = a D vfía ,b ), p ara to d o vecto r no nulo v € R 2 y todo a > 0. E j e r c i c i o 5 . 1 8 . Sea f { x < y ) = ex+*. ( а ) Determ ínese el vecto r un itario en cad a punto (x , y) € R 2 que hace que la derivada direccional de / en ( x , y ) sea m áxim a. ( б ) Partiendo del punto ( 0 , 0 ) , determ ínese la cu rva en la que la función varía de form a m áxim a. S o lu c ió n .

(« ) L a función / es diferencial>le er. R 2, por ser com posición de fun

ciones difercnciablcs cn R 2 (véase 5 .4 1 ). Así puo¿, existe el gradiente de / cn cad a punto ( x , y ) € R 2. P u esto que

269

E jR fic ic io *



resulta que V / ( x , y ) = (ea?+í', e*4^ ) = ex + v ( l , 1). E s decir, la dirección cn la que la ta s a de variación in slan lán ea de / es m áxim a en cualquier punto ( x , y ) € K 2 es la dada por el vecto r ( 1 , 1 ) (véase 5 .4 0 ), o de form a equivalente, la derivada dircccional de / cn (x , y) es m áxim a cn la dirección del vector unitario

Vf&v)

-

l|V/(a\y)|| ( 6)

1 (1 1) v T

’

P o r el ap artad o anterior se tiene que / cam bia m ás rápidam ente cn la

dirección del vecto r ( 1 , 1 ) partiendo de cualquier punto (x , y) € K 2. E n particu lar, partiendo del punto ( 0 , 0 ) , la función tiene variación m áxim a a lo largo de los puntos de la form a ( 0 , 0 ) + nr(l, 1 ) = (rv,rv), a > 0 . que da lugar a la siguiente curva C de la superficie d ad a por / :

C = { ( a , a , f ( a , a ) ) € R 3 : cv > 0 } .

E li la Figu ra 5 .7 se m u estra la gráfica de / y La cu rva C cn la que la función varía de form a m áxim a partiendo desde el punto ( 0 , 0 ) . L a función tiene variación m áxim a en la dirección ( 1 , 1 ) porque en e s ta dirección croco m uy rápido, al tra ta rse de la función exponencial / ( x , y ) = ex+*.

Figura. f>.7. C u rv a, efe m á x im a v a ria c ió n p a r t ie n d o d el p u n t o ( 0 , 0 ) .

E j e r c i c i o 5 . 1 9 . D eterm ínese la diferencial de eada una do las siguientes fun ciones cn los puntos que se indican: (o )

/ ( x , y) =

5, cn el punto (x 0 , jaj) = ( 0 , 0) ,

(ó)

g(x,y) =

3 x - 2 y. cn el punto

(x 0 ,t/o) = ( 1 , - 1 ), y

{ c)

h ( x yy) =

sen (xy). cn el punto

( 0 , 1 ).

270

F U N C I O N E S T>K V A I I I A S V A R I A B L E S

S o lu c ió n , (o ) L a función / es difereneiable en R 2 por ser una función constante. Así pues, por 5 .3 2 se tiene que

D f( Q M x > y ) = V / ( 0 , 0 ) •(*,*). P u esto que / es con stan te, V f ( x , y ) = ( 0 , 0 ) , para todo

€ R 2. P o r tan to ,

D f { 0 , 0 ) = 0 * 3 ; + 0 * y = 0. R ecuérdese que la d if e r e n c ia l d e u n a fu n c ió n c o n s t a n t e e n c u a lq u ie r p u n to e s s ie m p r e la fu n c ió n i d é n ti c a m e n te n u la .

(b) L a función g es lineal, por ta n to , es difereneiable en todo ( z , y ) € K 2. Se tiene que V
D g ( l , - l ) ( x , y) = ( 3 , - 2 ) •(x ,y ) = 3 x - 2 y. Obsérvese que l a d if e r e n c ia l d e u n a fu n c ió n lin e a l e n c u a lq u ie r p u n to c o in c id e c o n d ic h a f u n c ió n lin e a l. E s te resultado es lógico, ya q\ie la diferencial de una función cualquiera F en un punto ( 2 0 , yo) es la aplicación lineal que mejor

&\)roxhubn F ( x o + x , y i ) Jr y ) - F ( x o , y o ) en las proximidades de (xo, jai). P o r tan to, puesto que g es lineal, la aplicación lineal que m ás se parece a g es ella m ism a. (c ) L a función h es com posición de la función polinóm ica h\ ( x , y ) = xy , diferenciable en K 2 (véase 5 .3 4 ), con la función 6 2 ( 2 ) = s e n (z ), difereneiable en K. P o r consiguiente, h es difereneiable en R 2 por la regla de la cadena (véase 5 .4 1 ). R esu lta que V / t ( r , y) = ( y c o s { x y ) , x c o s { x y ) ) , V(x, y) € R 2. Así pues,

D h { 0 , l ) ( z , t / ) = V / i ( 0 , 1) •( x , y ) = ( 1 , 0 ) • ( x , y ) = x.

E j e r c i c i o 5 . 2 0 . Estudíese la diferenriabiiidad de las siguieutes funciones en el punto ( 0 , 0 ) y, si es posible, determ ínese el piar:o tan gen te a la gráfica do dichas funciones en ese punto. (o ) f { x , y ) = x 2 + y2.

{b) g(x, y) = \x + i/|.

2 71

[•'jK lfc C K ílO * I Í R S I 1 R I . T U S l ) K F U N O A M U N T O S M A T R M ¿ T I CUS

S o lu c ió n , (o ) L a fundón / es difcrcnciablc en M2 por ser polinóm iea (vóasc 5 .3 4 ), luego on particu lar es difcrcnciablc en (0, 0 ). Se tiene que V / ( z , y) = (2®, 2 y) = * V / ( 0 , 0) = ( 0 , 0 ) , y D / ( 0 , 0 ) ( x , y ) = V / ( 0 , 0 ) •(x ,y ) = 0 ■x + ti - y = 0. Así pues, el plano tangente a la superficie definida por / en ( 0 , 0 ) tiene la siguiente ecuación (vóasc 5.35)

z = / ( 0 , 0) + V / ( 0 , 0) • (x, y) < = > z = 0. E n la Figu ra 5 .8 se m u estra la superficie dada por / y su plano tangente en ( 0 , 0 ) .

»

<0 t

30

20

10 0

Figura 5.8. Gráfica de f ( x 9y) = x 2 + y 2 y plano tangente on (0 , 0 ). ( 6 ) L a derivada p a rd a l de g con respecto a i c n ( 0 , 0 ) es

| 9 ( 0 , 0) = u „ ' h-* o

+

h

= llm M h-* o h

y, como y a se sabe del capítulo anterior, este lím ite no exisLe. De form a análoga, tam p oco existe ^ ( 0 , 0 ) . Así pues, por el resultado 5 .3 7 . g no es difcrcnciablc en ( 0 , 0 ) y, por consiguiente, no existe el plano tangente a la gráfica de g en ( 0 , 0 ). E n la F ig u ra 5 .9 so representa la superficie dada por g. En ella se puede

ver

que la su pérfido se pliega on la roela y = - x , que en particu lar contiene al punto (0, 0 ), formando una arista. E s te com portam iento indica que g no es difcrcnciablc en el conjunto

$ = {f o l í ) € K2 : z + y = 0 }.

272

F U N C I O N K S DIO V A R I A S V A I D A I J L K S

Figura 5.9. Gráfica de g(x,y) = \x 4- y\.

Coloquialm enle, el hecho de que una función h : D C R 2 —►R sea diferenciable en un punto (zo,t/o) € i n t D , significa que en las proxim idades de este punto se puede aproxim ar h a Iravós del plano tangente en (zo, yo) y, adem ás, que los planos tangentes a dicha superficie en puntos m uy próximos a (zo,¡/o) son similares al plano tangente de h en (zo,ô). Dicho de otro m odo, teniendo en cu en ta que el plano tangente se define por medio del gradiente, se debe cum plir que los gradientes de h on punios próxim os a (zuil/o) deben sur parecidos a V/i(zo,ô)* E s te hecho se refleja claram en te en la función del ap artad o {ti). Considerando en particu lar el punto ( 0 , 0 ), p ara puntos (z , y) muy próxim os a ( 0 , 0 ), pero distintos de ( 0 , 0 ) (por ejem plo. ( z , y ) = (0, 001, 0, 001) ) , se tiene que el gradiente V / ( z , y ) = (2z, 2 y), es casi igual a V / ( 0 , 0) = ( 0 , 0 ) . Sin em bargo, g no cum ple la propiedad anterior. Haciendo un análisis m ás com pleto, la función g so define a trozos del siguiente modo:

a tr \ = ¡

*

x + y

\ -x - y

s i x+j / >o

si z + y < 0

Obsérvese que p a ra los puntos ( z , y ) € K 2 tales que x + y > 0, se tiene que <1 U(' lineal y verifica que el gradiente de g en esos puntos es ( 1 . 1 ) . Sin em bargo, en los puntos e n l o s q u e z + y < 0 . resulta que g(x, y) = —z —y,

9 Í X' y) = x +

y el gradiente de g en cad a uno de estos puntes es ( - 1 , - 1 ) . Así pues, al pasar de un lado a o tro del conjunto S , el gradiente de / p asa in stantáneam ente de ser ( 1 . 1 ) a ser ( - 1 , - 1 ) . E s te cam bio repentino indica que no existe el gradiente de

g en ningún punto de S y, com o consecuencia, g no es diferenciable en S.

273

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


E j e r c i c i o 5 . 2 1 . Sea / : K 2 —» M la función definida rom o

f { x , y ) = v / ^ 2 (!/2 + 1 ) y sea a € R . ( а ) Estúdiesc la continuidad de / cn el punto (0, a). ( б ) Calcúlense, si existen , las derivadas parciales de / en ( 0 , a ) . ( c) Estudíese la diferenciabilidad de / en (0, a). S o lu c ió n , (o ) Se tiene que /(O, a ) = 0 y

V x 2{y2 + 1) = V 0 2 (a 2 + 1 ) = ().

lím

Com o si límite anterior coincide con / ( O, a ) , / es continua en (0, a). ( 6 ) L a derivada parcial de / con respecto a x en (0, a) es a ( 0 , « ) = lím / ( ° + M ) - / ( M &r n

= llm # h-*u

¡ w n

l

= llm f f l V m

h-*\

h

Se tiene que 1(m

w

h—*0 lím

v ^ n

=

h—*0

/l

M E E

1(m

=

=

/l

lím

= '/a i T T .

Com o los límites laterales no coinciden, 110 existe l í m ^ o

P o r consiguien

te, no existe | £ ( 0 , a). P 01 últim o, la derivada p arcial do / con respecto a y es y

dy (c )

( 0 , „ ) = lím / ( Q . ° + f t ) - / ( 0 . ° ) = 1(n V ° a « ° + '‘ ) a + 1> = 0 .

h->(i

P u esto que

h

h->o

h

(0, a ) 110 existe, se deduce que / no es difcrcnciablc en (0, a)

(véase 5 .3 8 ). E n la F ig u ra 5. 10 se representa la gráfica de la función / . Obsérvese que el m odo en el que se pliega la gráfica a lo largo de los puntos ( 0 , a ), con a e M, no

274


Figura 5.10. Gráfica de f ( x , y ) ■ y /x 2(y2 + 1).

es “suave” (se form a u n a a rista ), lo que indica que / no es diferenciable en esos puntos. E j e r c i c i o 5 . 2 2 . Sea / : R 2 —> R la función definida como

/ ( I ,„ ) = ( 7 3 7 P {

ü

“ ( ^ . 11) # ( 0 . 0 ) si (x , y) = ( 0 , 0 ).

( а ) Estudíese la continuidad de / en R 2. ( б ) Calcúlense, si existen , las derivadas parciales de / en ( 0 , 0) , (c) Estúdiose la diferenoiabilidad de / en ( 0 , 0) . S o lu c ió n , (a ) L a función es continua en R 2\ { ( 0 , 0 ) } por ser cociente de funciones continuas y no anularse el denom inador. P a r a estudiar la continuidad en el punto ( 0 , 0 ) se hace un cam bio a coordenadas polares. Sea x = p eostf, y = p sen Q y

F ( p y6) = / ( p c o s 0 , p s e n 0 ) . Si p > 0 se tiene que

|F(/>,0 ) - O | =

p 2 COS2 0

= p|cO8 0 | < p.

C om o la función h (p ) = p tiende h acia 0 cuando p tiende h acia 0, se deduce que l í m ^ ^ ^ o o ) f ( x i y) = 0 (véase 5 .2 3 (b )). Puesto que el límite anterior coincide con / ( 0 , 0 ), resu lta que / es continua tam bién en ( 0 , 0 ).

275

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


( 6 ) Se tiene que

U {0, 0) = , ím / (0 + f c , Q ) - / ( 0 , 0 ) = lím cte v h—+o h n-fO

= lím | = lím A . n->o h h->
h

Y este límite no existe, luego no existe § £ ( 0 , Ü). L a derivada par<‘ial de / con resp ecto a y es o ( 0 , 0 ) = i t a / ( 0 . 0 + f t ) - / ( 0 . ° ) = 1(m

y

Qy '

ih—+0

/i

ih—+0

= 1(m o =

/i

„

ih—+0 /l

L a fundón / os diferondable on M2 \ { ( 0 , 0 ) } por sor co d o n tc do fundones

(c )

diferenciables en R 2 \ { ( 0 , 0 ) } (véase 5 .3 4 ). Por o tra p arte, com o § £ (0 , 0 ) no existe, / no es diferenciable en ( 0 , 0 ) (véase 5. 37). E j e r d c i o 5 .2 3 . Sea / : R 2 —» R la función definida como /(*,„>=/ á í $

\

*(*■*) *(o.o)

0

si ( x , y ) = ( 0 , 0 ).

( а ) Calcúlese, recurriendo a la definición, $ £ ( 0 , 0 ) y § £ ( 0 , 0 ) . ( б ) Estudíese la diferenciabilidad de / en R 2. S o lu c ió n ,

(a ) Se tiene que

g £ ( D , 0 ) = lím W yl h—*0

+

° 'M oy'

0 + hh> - M

(6 )

= lín, W ih—+o

= u,n M h —*C

/l

° ) = lín, h->o

= ,lm h = h —*0

z í /l

=

h

= 1» ¥ = 1» ‘ = »■ ih—+o h h->o

h —*0 /l

L a función / es diferenciable en R 2 \ { ( 0 , 0 ) } por ser cociente do funciones

polinómieas y no anularse el denom inador (véase 5 .3 4 ). P a r a com probar ai / es diferenciable en ( 0 , 0 ) hay que ver si lím

(h,fc)^(0,0)

276

/ ( o + fti o + fc) - /(Q, Q) - v / ( 0 iQ) •(ft>fc) = 0


(véase 5 .3 2 ). Com o V / ( 0 , 0 ) = ( f | ( 0 , 0 ) , § ¿ ( 0 , 0 ) ) = ( 0 , 0 ) , se tiene que

/(O + h, 0 + k) - / ( 0 , 0) - V / ( 0 . 0) •(ft, k )

lím

(h,k)M0 ,0) f ( h , k ) — 0 — 0 /i — 0 Ar _ (M)-Ho,o) =

v

„ (m)-ho,o> s / h 2 + k 2

l| (M )ll

h4 + k*

hm (h,fc)-*(0,0 ) (fi2 + fc2 )V h 2 + fe2

P a r a calcular este últim o lím ite, se procede haciendo un cam bio a coordenadas polares. Sea g(h, k) =

nt

a\

i

a

h = p e o s 0, k = p sv n 6 y

(¿>cos 0 )4 + (p sen 0 )4

a\

G( p, 0 ) = g ( p c o s 0, p sen 0) =

( ( p c o s 0 ) 2 + (psen 0 ) 2 )>/(/? eos 0 ) 2 + (p sen 0 )2

/^ (co s 4 0 + sen 4 0 )

p4 (cos 4 0 + sen 4 0 )

p 2 (cos 2 0 + sen 2 0 ) \/p 2 (cos 2 0 + sen 2 0 )

P2P

= p feos 1 0 + scn 4 0 ).

Se deduce que

\G(ps0) - 0| = |p(cos4 0 + sen 4 0)| = p(cos4 0 + sen 4 0) < p( 1 + 1) = 2p. P u esto que la función h(p ) = 2p tiende h acia 0 cuando p tiende h acia 0 resulta que /j4 i i-4 lím g(h ,k) = lím ----------------= n (h,fc)^(0,0 ) (W -> ( 0,0 ) (h2 + fc2 )V h 2 + fe2 por tan to, la función / es diferenciable también en ( 0 , 0 ) y su diferencial en este punto es

D f ( 0 , 0 ) ( x , y) = V / ( 0 , 0) • (x, y) = ( 0 , 0 ) . (x, y) = 0.

E n la Figu ra 5.11 se m u estra la superficie dada p o r / .

277

K jK ItC IC IO N

IÍR S I1 R I.T U S

l)K

F tlN O A M U N TOS

M A T R M ¿ T I CU*

Figura 5.11. Gráfica de J{x.y) =

E j e r c i c i o 5 . 2 4 . Sea / : K 2

A

y!

\

K la función definida como

0

si ( í , y) — ( 0 , 0 ).

( а ) Eslúdiese la ronlinnidad de / on R 2. ( б ) Calcúlense, si existen . $ £ ( 0 , 0 ) y ^ ( 0 , 0 ) . { c ) Estúdicsc la difcrcnciabilidad de / en R 2. S o lu c ió n ,

(a ) L a función / es continua en R 2\ { ( 0 , 0 ) } por ser cociente do fun

ciones continuas y no anularse cl denom inador. P a ra com probar si / es conti nua en (0 , 0 ) hay c[uc ver si existe l í m ^ j - ^ o ) / ( x , y) y este límite coincide con / ( 0 , 0 ) = 0. Obsérvese que p ara (x , y) ^ ( 0 , 0 ) se tiene que

2x2y + 5x3 x 2 + y4

x 2\2y + 5x|

< \2y + 5x|

E n la prim era desigualdad se ha tenido en cuenta que x 2 + y4 > x 2, por lo que

x7+yk < 1. De este m odo, resu lta |2y + 5x| que tiende h acia 0 cuando (x , y) tiende a (0, 0). Así pues, por 5 .2 2 (a ) se deduce que lím ^ ■w)—(0.0 )/ ( * . » ) = 0 = / ( 0 , 0 ), concluyendo cjue / es continua tam bién en ( 0 , 0 ).

278


( b ) Se tiene que 3

0) = l í m / (0 + M ) - / ( 0 , 0 ) =

d U

¿íj

^

h

h—vi

|

_ 4

h

= lim / ( 0 , 0 + f t ) - / ( Q , 0 ) = 1¡m

OJ d'S

h->0

= ^

h

5k = 5

h—*o /i = lím 0 = 0

h-> O h

h->Qh

L a fundón / es diferendable en R 2 \ { ( 0 , 0 ) } por ser co d e n te de fundones

(c )

polinómicas y no anularse el denom inador (véase 5 .3 4 ). P a r a com probar si / es diferendable en (O, 0 ) hay que ver si se cum ple la siguiente igualdad:

/ ( 0 + ft,0 + f c ) - / ( 0 , 0 ) - v / ( 0 , 0 ) - ( ft , fc) _ n ■h,fc)-K0 ,0 )

\\{h,k)\\

E l lím ite anterior es

2h2k - 5 h k 4

^ - 0 _ - 5 / , = <M)-K 0 ,0 )

j h 2+ k2

(Ml-KO.O) ( h 2 + fe4 ) # T

F ’

Si se calcula el lím ite a través do rectas do ecuación k = m/i, con m € R , se obtiene que

2 h 2k - b h k 4 „ 2m /i 3 - 5 m 4 /i 5 h m -----------------, = h m ---------------------— ( h 2 + k 4) V h 2 + k 2 (fc2 + m 4 /i4 )V h 2 4- h 2m 2 /i 3 (2m - 5m 4 h2)

_ ^

/i(2 m - 5 m 4 h2)

_

h2( l + m4 A2 ) |A |\ / r + m

5

|h |(i + m4h2) \ / l + m 2

j,

/i( 2 m — 5m 4 /i2)

Obsérvese que /i( 2 m — 5m 4 /i2)

j,

h-»o- |ft|(l + m 4 /i2) V 1 + m 2 _

a->o- - h ( l + m 4 /i 2 ) V T + m 2

K^

2m - 5m 4 /i 2

h ilo -

(1 + m 4h 2) y /l + m 2

_

2m

VI + m2

R azonando de m odo análogo, /i( 2 m - 5 m 4 /i2) 2m lim — —i ' = — h-»o+ |ft|(l + m 4 h2) V l + m 2 V T + lñ 2

279

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


Com o los límites laterales no coinciden, se tiene que lím(h,fc)-»(o,o)

h

no existe (obsérvese que incluso los límites laterales dependen del p arám etro m ) y, por tan to , se concluye que / no es difcrcnciablc en ( 0 , 0 ). E j e r c i c i o 5 .2 5 . Sea la función / : R 2 —►R definida como

/ ( x , y) = < V x2+v2 \ 0

si ( x , y ) = ( 0 , 0 ).

( а ) Estudíese la continuidad de / en R 2. ( б ) Calcúlense, si existen , las derivadas parciales de / en ( 0 , 0 ) .

(c) Estúdicsc la difereneiabilidad do / en ( 0 , 0) , S o lu c ió n , (a ) L a función / es continua en R 2 \ { ( 0 , 0 ) } por ser cociente de funcio nes continuas en R 2 y no anularse el denom inador. P a r a estudiar la continuidad de / en (0 , 0 ), se procede haciendo un cam bio a coordenadas polares: sea x = p eo s 0 ,

y = p s e n 0 y F ( p , 0) = / ( p c o s 0 , p s e n 0 ) . Es claro que F ( O , 0 ) = / ( 0 , 0 ) = 0, si p =

0, y si p > 0

vt

m —

p c o s 0p s e n 0

\J (p eos 0 ) 2 + (p sen 0 ) 2

^

p2 c o s 0 s e n 0

_

_ p^cosflsenfl

\J p 2 (eos 2 0 + sen 2 0)

P

= p eo s 0 sen 0 , con lo que IF{P) 0 ) ” U| = |pcos 0 s o n 0 | = p|
y

( 0 , 0 ) = 11, , , / ( O + f t . 0 ) - / ( ° . 0 ) =

dx

h^>0

a

W ( 0 , 0 )= , í » m ° + ' Q - w ° > =

ay '

280

ih—+o

h

llm r t h ’ - 0 = ll m o = 0i

h->Q

ih—+o

a 1(m ^

/i

f - °

h-*Q h = 1(m» = 0.

h-»o /i


c ) P a ra com probar si / es diferenciable en ( 0 , 0 ) hay que ver si se cum ple que /(O + h ,0 + k ) - / ( O , 0 ) - Y / ( Q , 0 ) • (/i, k) =

lím

R esu lta que

f ( 0 + h , 0 + k ) - /(O, 0) - 7 / ( 0 , 0 ) ■ (fr, k)

lím (h,fc)-»(o,o)

lím

ll(M)ll =

(h,fc)-»(o,o)

V S7+F

hk

hm

(h,fc)^(0,0) /i2+ A:2’

Calculando el límite anterior a través de re cta s de ecuación k = m h , con m € R> que pasan por ( 0 , 0 ) , se tiene que

hk

h 2m

h 2m

m

hm m — rrr = lím —-------- í—? = hm fc-o h 2 + k 2 h-* o h 2 + m 2h 2 h-*o h 2( l + m 2) Com o tan to ,

1 + m2‘

este lím ite depende del p arám etro m , no existe lím (/i(fc)-»(o,0 ) h¿+k'¿ ^ or / no es diferenciable en ( 0 , 0 ).

E j e r c i c i o 5 . 2 6 . Da
Ú I * y

/(*,») = í

1 " y0

calcúlese D(vi v2-i f ( 0 , 0 ) p a ra

si x = y, € R 2y demuéstrese que / no es diferencia-

ble en ( 0 , 0 ). ’ S o lu c ió n . Sea (vi, V2) € R 2 un vecto r genérico. Si V\ = V2 , se tiene que

r (vuV2)mm D

m 0)

-

ir.,, ñ 0 + hv*<° +jj---------------------------l hv2 ) - f M lím h m --------------------m i -------- j -------

= lím ^ = lím 0 = 0 , h—*0 ¡I h—*0 y si i),

u2,

u

/ ( 0 + /id1 , 0 + /id2 ) - / ( 0 , 0 )

„ A « i , « * ) / ( o . ° ) - f e ----------------------- 1 -------------------- --f e = iím h 2 v 1 + ft2t)a = iím h -» 0

— / it ^ )

^

^

h - » 0 f t 2 ( t? i — V2 )

f ( h v x, k v 2 — h ~

_ «i + v2 V\ — V 2 '

2 81

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


por consiguiente,

0

= v 2.

81 ü j

E n particu lar, las derivadas parciales en ( 0 , 0 ) son

df

l 2 + 02

d f

02

g ( O 10) = ÍJ(1,o)/(O10 ) = T ± F = l 1 +

l2

g ( 0 , 0 ) = í>(0,1)/ ( 0 , 0 ) = T ± r

= -l.

Luego, el gradiente de / en (0, 0 ) es V / ( 0 , 0} = (1, - 1 ) . Por o tr a parto, si / fuese diferencial rio en ( 0 , 0 ) , su diferencial sería la aplica ción lineal D / ( 0 , 0 ) ( x , t / ) = V / ( 0 , 0 ) • ( x , y ) = ( 1 , - 1 ) • ( x , y ) = x - y,

y se tendría que cum plir p a ra todo (^ 1 ,^ 2) € R 2 que D(v\,V2)f(^ 0) = D f ( 0 , 0)(v-j, V2 ) = V\ - U2 , (véase 5. 39) . Sin em bargo, esta igualdad no se satisface y a que p ara t>i ^ t>2 , A i ' i , t 2»/(®>

= vi - *2 ^ adem ás 110 es una aplicación lineal).

E j e r c i c i o 5 . 2 7 . Calcúlese el gradiente de la función / : R 3 —» R d ad a por

} { x , y , z) = z 1 a rcta n (z t/) -f z s e n ( n (x + y)) en el punto ( 1 , 1 , 0 ). S o lu c ió n . L a función / es diferenciadle en R 3 por ser sum a, producto y com posi ción de funciones diferenciadles en R 3 (véanse 5 .3 4 y 5. 41). Luego, en particu lar, existen las derivadas parciales de / en cualquier punto de R 3 (véase 5 .3 7 ) y éstas son: d f

^ ( s , y,z) = z 2 - t +

1

a •y + s e n (j t(* + y)) + i c o s ( n (x + y)) ■jt,

x ,y ,z) = z2 - 1 + ^ df ^ { x )y )z) = 2 z a r c ta n (;n /).

282

- i + i c o h i > ( s + ;/))■ ;r,


Así pues, las derivadas parciales de / en el punto ( 1 , 1 , 0 ) son g ( M , 0 ) = „,

| ( M , 0 ) = „,

g ( M , 0) = 0,

y 8 e tiene que V / ( 1 , 1 , 0 ) = (7T, 7 T , 0 ) .

E j e r c i c i o 5 . 2 8 . Sea / : R 2

R una función diferenciable en R 2 y g : R 2 —» I

la función definida como = ln ( [ / ( ^ , | / ) ] 2 -h 3). ( а ) Determ ínese V y ( x , y). ( б ) Calcúlese Ví?(1, 1) sabiendo que / ( 1 , 1 ) = 1 y V / ( l , 1) = ( 8 , 4 ) . S o lu c ió n , (a ) E l dominio de g es to d o M2, y a que [ f ( x , y ) } 2 + 3 es m ayor que 0, p ara todo (x>y) € R 2. Así pues, g(x> y) = l n ( [ / ( r , t/)] 2 + 3 ) está definida p ara todo punto de R 2. A dem ás, la función g es diferenciable en R 2 por ser com posición de funciones difcrenciables en su dominio. Luego, en p articu lar, existen las derivadas parciales de g en to d o punto (x, y) € R 2 y éstas son:

f x { x 'v ) = [f { x , l w + Z - 2 f { x 'y ) - T x { x 'V)'

i l {x'y) = lf{x,y)?+z ' 2 f { x ' y ) ' i {x'y)’ P o r tanto,

^

( 9{X,V)

2 f ( x , y)

0}{

,

2f(x ,y )

0},

^

( l f ( x , y ) } 2 + 3 ' d x { x , y ) ' [f(x , y p + 3' d y [ x 'v ) ) '

( 6 ) En el punto

( 1 , 1 ) se tiene que

i n

2 ,1

12 + 3

fi n •88 --i 4 ’ ^fyCU )_ 122 , +1 3 ' 14 --2 2-

Luego V fl(l, 1) = ( 4 , 2 ) . E j e r c i c i o 5 . 2 9 . Sea / : R 2 —> R una función diferenciable en R 2, vi = ( 1 , - 3 ) y v2 = ( 2 , 1 ) . Hállese V / ( l , 2 ) , sabiendo que A u / ( 1 , 2 ) = - 1 y D C2 / ( 1 , 2) = 2.

283

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


S o lu c ió n . A plicando el T eorem a 5.39 A > i / ( 1 , 2 ) = V / ( l , 2) ■Ü,

<=>

-l = l.g(l,2)-3-^(l,2),

^ 2 / ( 1 >2) = V / ( l , 2) •«a

«=>

2 = 2.^(1,2) + 1.^(1,2),

Denotando cv := $ £ ( 1 , 2 ) y $ : = $ £ ( 1 , 2 ) , se tr a ta do resolver ('1 sistem a í cv-3£=

-1

{ 2a 4 p =

2.

De la prim era ecuación resulta cv = —1 + 3 ,5 y sustituyendo en la segunda ecuación se obtiene 2 ( - l + 3 £ ) + £ = 2, do donde 7 £ = 4 y £ =

Luego íy = - 1 4 3 ' | = I.

P o r tanto,

v « i -2> = ( | i i -2' - i ' i -2' ) = ( f í ) ' E j e r c i c i o 5 .3 0 . Sea / : R 3 —> R la función d ad a por / ( z , 2/, z) = s e *- *2 + sen (a^ 2^), donde a € R . D ctcriníncse el valor de a para que D { 1
T

¿

x

' y ' z )

=

e

’

df 2 — ( x , y l z) = x e y~:i + 2ayz c o s ( a y 2z), df — ( x , y , z ) = - 2 x z e y~i 4 a y 2 c o s ( a y 2z). P o r tanto 2

2

^

2

V / ( x , y , , x e y “ 5 •\-2ayzcos{ay2z ) ) - 2 x z t y“ :i 4 a y 2 c o s ( a y 2z))

7

284

V / ( l , 1, 0) = (e, e, a).


Así pues, -0(1,1,! ) / (

por lo que

\

! , 1 , 0 ) = ( e , e , a ) •( 1 , 1 , 1 ) = e + e + a = 2e + a

1 , 1 , 0 ) = t si y sólo si 2 e + a = c, es decir, si y sólo si a = —t.

E j e r c i c i o 5 . 3 1 . D eterm ínese el plano tangente a la gráfica de la función / : R 2 -► R definida como

f { x , y) = - 5 x 2 + sen(t/) + cos(a :y), en el punto ( 1 , 0 ). S o lu c ió n . L a fundón / es difereneiable en R 2 por ser sum a de funciones difereneiables en R 2 (véase 5 .3 4 ). L as derivadas parciales de / son:

Así pues, V / ( 1 , 0 ) = ( § £ ( 1 * 0 ) , § £ ( 1 , 0 ) ^ = ( - 1 0 , 1 ) y la ecuación del plano tan gente a la gráfica de / en el punto ( 1 , 0 ) es (véase 5 .3 5 ) z = / ( l , 0) + V / ( l , O H * - 1, y - 0) z = - 4 + (-10, l ) . ( x - l , y ) ^

z = —4 — 1 0 (x — 1) + y « = > z = -lO x + y + 6. E n la Figu ra 5. 12 se m uestra la gráfica de la función / y el plano tangente a la m ism a en el punto ( 1 , 0 ). E j e r c i c i o 5 .3 2 . D eterm ínese el valor de los parám etros a , b € R p a ra que el plano tangente a la gráfica de la función

f ( x , y) = y ln (x 2 + ó2 + 1 ) + a ( x - y) en el punto ( 0 , 0 ) sea z = - x + y. S o lu c ió n . L as derivadas parciales de / en un punto ( x , y ) € R 2 genérico son

285

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


30 10

0 y

«10

•30 30 40

**:

Figura 5.12, Gráfica de f { x , y ) = - 5 r 2 + sen(y) + cos(xt/) y plano tangente en (1,0).

Luego V / ( 0 , 0 ) = ( § £ ( 0 , 0), § £ ( 0 , 0 ) ) = (a, ln(62 + 1) — a ). P o r consiguiente, el planu tangente a / en el puntu ( 0 , 0 ) es

z = / ( 0 , 0) + V / ( 0 , 0) •{x - 0, y - 0) = 0 + (a, ln(62 + 1) - a ) • (x , y) = a x + (ln(62 + 1) - a)y.

P o r tan to, p a ra que el plano tan gen te a / en ( 0 , 0 ) ten ga ecuac ión z = - x + y> se debo cumplir que a = - 1 y ln(62+ l ) - a = 1. De la últim a ecuación, ln(62+ l ) = 0, por lo que 62 + 1 = 1, o equivalentem ente, 6 = 0 . Así pues, a = - l y i > = 0 . E j e r c i c i o 5 .3 3 . Sean las funciones

f{x< y) = x 2 — 3xy,

g ( u , t;) = (tí + v, 3u — ü).

Calcúlese V ( / o p ) ( l , 4 )

( а ) determ inando la expresión exp lícita de / o g , y (б ) por la regla de la cadena. S o lu c ió n ,

286

( a ) Sean 5 1 ,5 2 :

-> R las funciones com ponentes de p, es decir,


5 i ( t í , v ) = w + v y í?2 (w,v) = 3 u - v . Se tiene que { f o g ) ( u , v ) = f ( g i ( u , v ) , g 2(u,v)) = (gr [ u , v ) ) 2 - 3g1{ u ,v )g 2{u,v) = (u + u ) 2 - 3(u + v) ( 3u - v)

= u2 + v2 + 2 uv - 3 (3 u 2 - uv + 3 uv - v2) = - Su2 + Av2 - 4 uv, es decir, ( / o í?)(iq v ) = —8*¿2 + 4u 2 — 4 uv. Teniendo en cu en ta dicha expresión, las derivadas parciales de / o g son: ^

W

)

= -16.-4»,

BÍÍ°s)'u.v) = Sv-iu. dv Así pues, 2 i g a i ( l , 4 ) = - 1 6 - 1 - 4 - 4 = - 3 2 , ^ 2 1 ( 1 , 4 ) = 8 - 4 - 4 - l = 2 8 y V (/°s)(l,4)= (-32,28). (b)

Aplicando la regla de la cad en a (véase 5. 41), puesto que g\ y g 2 son fun

ciones difcrcnciablos
(v ^ (M )) '

Se tiene que

V / M M J ^ Í M ) ) = V /(5, - 1 ) = ( g ( 5 , -1 ), ^ ( 5 , - 1 ) ) ,

V » .(M > = (fr< M > ,fr< M > ),

v aa( l , 4 ) =

P u esto que

$t(x,y) = 2 x - 3 y % {x,y) = - 3*

=> =*»

g ( 5 , - 1 ) = 2 ■5 - 3 ■( - 1 ) = 13, | (5 ,-l) = - 3 .5 = -1 5 ,

^ («,w ) = l

=*•

^ (1 ,4 ) = 1,

= l

=**

§ £ (M ) = 1,

fg(«,t>) = 3

= *

| f ( l , 4 ) = 3,

f g( i i , t >) = - l

= *

fg(l,4) = - l ,

287

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


se concluye que V ( / ° fl) ( l , 4 ) = ( 1 3 , - 1 5 ) - ( 3

) = (-32,28).

E j e r c i c i o 5 . 3 4 . Sean las funciones

f ( x ) y) = ln (x 2 + y2 + 1) 4- s e n (x 2 — y) 4- li

( а ) Calcúlese V ( / o
( a ) Sean 0 1 ,0 2 • R 2 R las funciones com ponentes de g y es decir, 0 i ( u , n) = u2 - v2 y 0 2 (u, v) = uv - 1. Según la regla de la cad en a (véase 5. 41), com o $\ y §2 son funciones diferenciables en R 2 (y en p articu lar en ( 1 , 1 )) y / es S o lu c ió n ,

difereneiable en R 2 (y en p articu lar en (01 ( 1 , 1 ), 0 2 ( 1 * 1 )) = ( l 2 — l 2 , 1 • 1 — 1 ) = ( 0 , 0 ) ) , resu lta que / o g es difereneiable en ( 1 , 1 ) y

V ( / ° g ) ( l , l ) = V / f g í f l , 1),S2
= ( w (1,1)’ I r O - » ) -

» = ( I f »- t ' -1' »

L as derivadas parciales son

^ ( x , y ) ^ ^ ^ + 2xcos(x2 - y )

=>

g ( 0 , 0) = 0,

% {x,y) =

= *

g ( 0 . 0) = - i .

= *

$ £ ( 1 , 1) = 2 ,

& ( u , v ) = - 2v

= *

$ £ ( 1 , 1) = - 2 ,

% *(u,v)=v

= *

f g ( l , l ) = l,

% (u ,v ) = u

= *

$ £ ( 1 , 1) = 1 ,

& ( M

288

= 2«

-««(** -v )


y resu lta que V ( / o fl) ( l , l ) = ( 0 , - l ) - ( 5

“ 2 ) = (-1,-1).

( 6 ) Com o ( / o g ) ( l , 1) = / ( 0 , 0 ) = 1, la ecuación del plano tangente a la gráfica do / o g en el punto ( 1 , 1 ) os 2 = ( / ° 0 ) ( M ) + V ( / o 0 ) ( l , l ) . ( « - 1) V - 1) ^ z = 1 + ( - 1 , - 1 ) •{u - M - 1 ) <=►

z = 3 — u —v. E n la Figu ra 5 . 1 3 so representa la gráfica de / o g y el plano tan gen te a la m ism a eti el punto ( 1 , 1 ).

3.5 3 3.5

,

* 1.5 1 0.5

0

Figura 5 . 13 . Gráfica de { / o g)(u, u) y plano tangente en el punto (1,1).

2.5.

E x t r e m o s d e u n a fu n c ió n

E j e r c i c i o 5 . 3 5 . Sean / : M3 -¥ R y g : R 2

f{x>V>z) = c**- 6 » * * ,

R 3 las funciones dadas por

g { u , v ) = (u + v ,u 2 * , s e n( uv ) ) ,

con a, b € R . Determ ínense los valores de a y b p ara que ( 0 , 2 ) sea un punto crítico de f o g . S o lu c ió n . Obsérvese que / o g : R 2 —►R . L a s funciones com ponentes de g son P i(tí, t;) = u + u , g 2 (u, v) = u T y <73 (1*, v) = sen(u u). Com o é stas son diferenciables

289

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


en K 2 (y en p articu lar en ( 0 , 2 )) y / es diferenciable en K 3 (y en particu lar en (¿7i ( 0 , 2) , ¿72 ( 0 , 2 ), ¿73 ( 0 , 2 ) ) = ( 2 , 0 , 0 ) ) , p o r la regla de la cadena se tiene que / o g es diferenciable en ( 0 , 2 ) y

/ V S l (0 , 2 ) \ V(/oj)(0,2)-V/(2,0,fl) V ¿72(0,2)

.

\ V ^ ( 0 ,2) }

So tiene que

% { x , y , z ) = a e?* -> »*

1 1 (2,0,0) =

| ( x , y , z) = - f e " " 6* - 1

§£(2,0,0) = —be20,

g £ (a ,y , 2) =

§£(2,0,0) = ^ ,

e—

= 1

f & ( 0 , 2 ) = l,

& («.«

= 1

%n-( o , 2 ) = l,

& («.«

= 2V

$?(0,2)= 4,

= « ¡M i^

^ ( 0 , 2) = 0 ,

= vcos(uu)

§ £ ( 0 , 2) = 2 ,

= ucos(tw )

7 § r ( 0 , 2) = 0 .

P o r tanto,

V ( f o g ) ( 0 , 2 ) = ( a e 2‘- , - b e ^ , e ^ ) -

í

4

V 2

0

)

0 )

= e ^ ( a , - b , 1) ■ f 4

0

)

V 2 0 y

= e 2a(a - 46 + 2 , a).

Entonces, p ara que el punto (0, 2) sea un punto crítico de / o ¿7, se debe cumplir que V i / o¿ 7) ( 0 , 2) = ( 0 , 0 ) , es decir que e 2a[a - 46 + 2, a ) = (0, 0) (véase 5 .4 6 ). Com o e2a > 0, p a ra todo a, 6 € M, se debe satisfacer que a - 4 6 + 2 = 0 y a = 0 . P o r consiguiente, a = 0 y 6 =

200


E j e r c i c i o 5 . 3 6 . Sea / : M2 —» M la función definida como

f { x , y ) = a j ? + bxy2 —cxy + 2 , donde a , 6 , c € R . (o ) Determ ínense los valores de a, b y c p a ra que / ( 1 , 1 ) = 3 y el punto ( 1, 1) sea un extrem o relativo. ( 6 ) d asifíq u ese el punto ( 1 , 1 ) p a ra los valores de a , 6 y c obtenidos en el ap artad o anterior. S o lu c ió n , (a ) Com o se debe satisfacer que / ( l , 1) = 3, se obtiene i a ecuación a + 6 —c + 2 = 3

a + 6 — c = 1.

P o r o tra p arte, la función / es diferenciable en K 2, por lo que los extrem os relativos de / son en p articu lar puntos críticos (véase 5 .4 7 ). Los puntos críticos de / son solución del sistem a V / ( z , y) =

y), ^ ( x ^ y ) ^ = ( 0 , 0 ) (véase 5. 46) , es decir

( i a x 2 + by2 - c y = Q \ 2bxy - e x = 0 P o r tan to, p a ra que el punto ( 1 , 1 ) sea crítico se deben cum plir las ecuaciones

( 3a + 6 —c = 0 { 26 - c = 0 , y se obtiene ol siguiente sistem a de tres ecuaciones con tres incógnitas

a + 6 —c = 1

(1)

3a + 6 - c = 0 26 - e = 0

(2) (3)

De la torcera ecuación resu lta c = 26 y sustituyendo e s ta expresión en las ecua ciones ( 1 ) y ( 2 ) se obtiene el sistem a f

a - 6= 1

{ 3a - 6 = 0 que tiene por solución a = - i y 6 = —

Por tan to , c = 2 • ( —| ) = —3 y la

función f \ x ,y ) = - \xz — %xy2 + 3 x y + 2 satisface las condiciones requeridas.

2 01

E je r c ic io s

R esu elto s

( 6)

d e

F u n d a m en to s


P a r a los valores de a, b y c obtenidos en el ap artad o anterior, la m atriz

Hessiana en un punto (x , y ) € R 2 genérico es H f-

m

_

/

0(z>2/)

'V ) ~ \ g k i * ' V )

\ & (*■»)

j

/ “

-3a

—3y + 3 \

k -3» + 3

-3 ,

;■

P o r consiguiente, la m atriz Hessiana en el punto ( 1 , 1 ) es H f(M ) =

Com o $ j { ( l , l ) = - 3

( - 3

_°3 ) .

< 0 y |H/(1,1)| = 9 > 0, p ara los valores de a , 6 y c

calculados en el ap artad o anterior, el punto ( 1 , 1 ) es un m áxim o relativo estricto por el criterio 5 .5 0 . El valor de este m áxim o es / ( 1 , 1 ) = 3. E j e r c i c i o 5 . 3 7 . Estudíense los extrem os relativos de la función _______________________/ ( s , y) = x * + y3 - 3 a - 6 p + 2 .__________________________ S o lu c ió n . L a función / es diferenciable en R 2 por ser polinóm ira, luego los ex trem os relativos do / , si existen , son en particular puntos críticos, los cuales son solución del sistem a S í f x ^y) =

3a;2 - 3 = 0 dx SI S l ( Xjy) = 3 y2 - 6 = 0 . Oy

De la prim era ecuación se deduce que x 2 = 1, por lo que x = ± 1 y de la segunda ecuación se tiene que y2 =

2, resultando y = ± \ /2 .P u esto que la p rim era ecuación

sólo depende de x y la segunda ecuación sólo depende de y, los puntos críticos son: i = l .

y=±V 2 =*

* = - 1. y = ±V2 = >

( l , v / 2 ), ( l , - v / 2 ),

( - l , v / 2 ), ( - 1 , - ^ 2 ),

P a r a clasificar cad a uno do estos cu a tro puntos so aplica 5 .5 0 y p a ra olio so analiza la m atriz Hessiana.

H f f v

, A

\

- (

& < *,»>

202

0

( « )

H

_

( 6a: 0

°

6»


Sustituyendo en c a d a punto crítico , se tiene lo siguiente. 1. Punto (1, y/2).

6^)' y com o g ( l , V2) = 6 > 0 y |H/ (1, \/2)| = 3 6 V ? > 0 , por el criterio 5 .5 0 se sigue que ( 1 , n/5) es un mínimo relativo estricto de / , cuyo valor es / ( l , \/ 2 ) = - 4 \ / 2 . 2. Punto (1, —\/2).

. 8% y com o |H/(1, -> /2)| = - 3 6 un punto de silla.

) .

< 0 , por el criterio 5 .5 0 se sigue que ( 1 , - \ / 2 ) es

3. Punto ( —1, >/2).

H /(-l,^ ) = (

y com o |H/(1, -\ /2)| = - 3 6

- 6 6^ ) ,

< 0 , por el criterio 5 .5 0 se sigue que ( - 1 , \/S) es

un punto de silla. 4. Punto ( —1, —\/2).

y com o ! j £ ( - 1 , - \ / 2 ) = - 6 < 0 y |H/(1,\/2)| = 36\/ 2 > 0, por el criterio 5.50 se sigue que ( —1 , —\/2 ) es un m áxim o relativo de / , cuyo valor es / ( —1 , —\/2 ) = 4 + A>/2. E n la F ig u ra 5 . 1 4 se m u estra la superficie c a d a por / , en la que se aprecian los extrem os relativos de / y los dos puntos de silla. E n p articu lar, obsérvese que si se produce un desplazam iento desde el punte ( —1 ,

en la dirección del eje

Y . la función crece, y si se realiza un desplazam iento on la dirección del eje X , la función decrece. E s decir, en las proxim idades del punto ( —1, \/3), se encuentran puntos en Los que / to m a un valor m ayor que / ( —1, \/2) y puntos en los que to m a un valor menor. P o r este m otivo, (—1, \/2) es un punto de silla. De form a análoga se in terp reta gráficam ente que el punto ( 1 , - y / 2 ) es tam bién de silla.

203



d io

F u n d a m en to s


Figura 5.14. GráJira de f ( x , y ) = x 2 + y2 - 2x - Gy + 2.

E j e r c i c i o 5 .3 8 . Estudíense los extrem os relativos de la función

f ( x , y ) = ( x 2 + y2)2 - 2 ( x 2 - y 2). L a función / es diferendable en M2 por ser polinóm ica, así pues, los

S o lu c ió n .

extrem os relativos de / , si existen, son en particular puntos críticos. Dichos puntos son solución del sistem a

U & v) = c>

(5 .3 )

§£(*.!/) = c Se tiene que

^ f ( x
y) = 2(x2 + y2)2y + i y =

4 y(x2 +

y2 +

1),

luego d sistem a (5 .3 ) es equivalente a f 4 x { x 2 + y 2 - 1) = 0

{ i y { x 2 + y2 + l ) = 0

^

x(x2 + y2 - 1) = 0 \ y { x 2 + y2 + l ) = 0.

Do la prim era ecuación, o bien x = 0 o bien x 2 + y2 - 1 = 0. Estudiem os los dos casos: (A ) x = que

0. Sustituyendo cn la segunda ecuación resu lta y (y2 + 1) = 0 . Puesto

y2

punto ( 0 , 0 ).

204

+ 1 > 0 p ara to d o y € K , la única solución es

y = 0 ,obteniéndose el


(B ) z 2 -f y2 - 1 = 0, es decir, x 2 + y2 = 1. En este caso, sustituyendo z 2 4 - t/ 2 por el valor 1 en la segunda ecuación se tiene 2 y = 0 . P o r tan to , y = 0 y como z 2 + y2 = 1, resu lta z 2 = 1, que tiene por soluciones z = ± 1 . Luego se obtienen los puntos ( 1 , 0 ) y ( —1 , 0 ). P a r a clasificar los tres puntos críticos obtenidos, so estudia la m atriz H essiana de / en caria uno de ellos. Se tiene que g

0 2f

(x ,y ) = i ( x 2 + y 2 - 1) + 8 x 2 = 12x2 + Ay2 - 4,

y) = 4 ( x 2 + y2 + 1) + 8 y2 = 4 x 2 + \2y2 + 4,

por lo que la m atriz H essiana de / en un punto genérico ( z , y ) viene dada por

Hf t x y ) - (

^

{ X' y)

& (*.» >

^

{X' y)

& e . d

(

1 2 x 2 + 4j/2 - 4

l

Sxy

Sxy \ 4 x 2 + 12y¿ + 4 ) '

P o r consiguiente, h/(o,o) = (

04

l ) ,

y com o |H/(0,0)| = - 1 6 < 0, por el criterio 5 .5 0 so sigue que ( 0 , 0 ) es un punto de silla de / . P o r últim o, resu lta que H / ( 1 , 0) = H / ( —1, 0) = ( H

y rom o g f ( 1 , 0 ) = g j ( 0 , 1) = 8 > 0 y |H/(1,C)| =

) ,

0)| = 64 > 0, por el

criterio 5 .5 0 se sigue que los puntos ( 1 , 0 ) y ( —1, 0) son mínimos locales estrictos, con valor / ( 1 , 0 ) = / ( —1, 0) = - 1 . E n la Figu ra 5 . 1 5 se m uestra la gráfica de / , en la que se aprecian los mínimos relativos y el punto de silla. Obsérvese que si se produce un desplazam iento pequeño desde el punto ( 0 , 0 ) en la dirección del eje

X , la función decrece, y si se realiza un desplazamiento pequeño desde ( 0 , 0 ) en la dirección del eje Y la función crece.

205



d io

F u n d a m en to s


E j e r c i c i o 5 .3 9 . O bténganse los extrem os relativos de la función

f ( x , y ) = x4 + 2y2 - 2 x y - 3. S o lu c ió n . P u esto que / es difereneiable en R 2 por ser polinóm iea, los puntos críticos son las soluciones del sistem a í ^ ( * > ¡ / ) = l) = ü

. .

( 4 x 3 - 2 j/ = 0

r 2x3 - ¡/ = Ü

\4j/-2x = C

[ 2 y - x = 0

De la segunda ecuación resu lta que x = 2y y sustituyendo en la prim era ecuación se tiene que

2 ( 2 j/ ) 3 - y = 0 < = > 1 6 y3 - y = 0 < = > y(l&y2 - 1 ) = 0 . Do esta últim a ecuación, so deduce que o bien y = 0 o bien l&y2 - 1 = 0, que tiene por soluciones y = ± \ . Si y = 0, entonces x = 2 •0 = 0, y se tiene cl punto crítico ( 0 , 0 ) . Si y =

resulta x = 2 |

= ^ y s e tiene el punto crítico ( 3 , 3 )*

Si y = —¿ , se tiene que x = - 2 - \ =

resultando el punto crítico ( —5 , —3 ).

A continuación, se analiza la m atriz Hossiana p ara clasificar c a d a uno de los tres puntos críticos. , _ (

& *.» )

x ,y )~ [ & t * . v )

296

á & M

\

-2

\

- 2 4

y

_ / i 2x 2


P o r consiguiente, 0

-2

-2

4

y com o |H/(0,0)| = - 4 < U, por el criterio 5 .5 0 se sigue que ( 0 , 0 ) es un punto de silla do / . 3 h

/

(

-

H

=

y c o mo 0 ( l , l ) = g ( - l , - l )

h

/

(

M

j - v

-2 \ 4 J ’

-2

= 3 > O y |H/ ( l , i ) | = | H / ( l , i ) | = 8 >O,

por ol criterio 5 .5 0 se sigue que los puntos ( 3 , 3 ! y ( —5 , —3 ) son mínimos locales estrictos de / . E j e r c i c i o 5 . 4 0 . Obténganse* y clasifique mso los extrem os relativos de la función / ( x , y, z) = x 2 + 2 y 2 + 4 z 2 + x y + x z + ¿y. S o lu c ió n , fie calculan los puntos críticos He / para, buscar los posibles extrem os relativos. Luego hay que resolver el sistem a

%L(x,y,z) = 2x + y + z = fíl § ¿ ( x , y , z ) = 4 y + x + z = 0, ^ { x , y , z ) = Sz + x + y = 0. E s fácil ver que la única solución del sistem a anterior es la trivial, p o r lo que se obtiene el único punto crítico P = ( 0 , 0 , 0 ) , P a ra com probar qué d a s e de punto es P se calcula la m atriz Hcssiana

H / ( x , y, z) = H / ( 0 , 0 , 0 ) = j

2

1

1

1

4

1

1

1

8

Se tiene que

A , = 2 > 0,

A2 =

2

1

1

4

= 7 > ü,

A3 =

2

1

1

1

4

1

1

1

8

= 5 2 > 0.

Así pues, por 5 .4 0 el punto P es un mínimo relativo estricto, con valor / ( 0 , 0, 0) = 0.

207

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


E j e r c i c i o 5 . 4 1 . Hállense los extrem os relativos de

f a { x , y ) = y3 - a y 2 - x 2 + 3, en función
Ofc(x,y) = - 2 x = 0 2 f o ( x , y ) = ‘í y 2 - 2 a y = 0. Do la prim era ecuación se deduce que x = 0. P o r o tra parto, la segunda ecuación tiene por soluciones y = 0 e y = y , luego se obtienen los puntos críticos (0 , 0 ) y (0 , y ) (obsérvese que si a — 0 se obtiene como único punto crítico el ( 0 , 0 ) ) . P a r a clasificar los puntos críticos obtenidos, se analiza la m atriz Hessiana en ca d a uno do ellos. En un punto genérico ( x , y ) G R 2, la m atriz Hossiana. de f a os _

(

)

\ § $ ( x >y)

= /

-2

i $ ( x >y)

E n el punto ( 0 , 0 ) se tiene H /a ( 0 , 0 ) =

luego

0(0,0) = -2

<

0y

|H/„(0,0)| =

4a.

E n el punto (0, y ) resulta

y por tanto 0 (0, = - 2 < 0 y |H/a ( 0 , 3 f ) | = - 1 4 a . Se analizan los siguientes casos según el signo de a: (i4) a > 0. E n este caso, com o 7 g r ( 0 , 0 ) = - 2

< 0 y |H/a (0,0)| = 4 a > 0,

por el criterio 5 .5 0 se sigue que (0, 0) es un m áxim o relativo estricto. Por o tra p a rte , com o |H/a (0 , y ) |= —14 a < 0, por el criterio 5 .5 0 se sigue que ( 0 , y ) es un punto de silla.

2 9 8


(¿?) a < 0. Com o |H/a (0,0)| = 4 a < 0 , se deduce por 5 .5 0 que ( 0 , 0 ) es un punto de silla, y com o (Oí = —2 < 0 y |H/a (0, | = —1 4 a > 0, por el criterio 5 .5 0 se sigue que (Ó, es un m áxim o relativo estricto.

( C ) a = 0. Se tr a ta de un caso dudoso, pues |H/o(0,0)| = 0. Obsérvese que dado € > 0 tan pequeño com o se quiera, los puntos (0 , f ) y ( 0 , - f ) están tan próximos al punto ( 0 , 0 ) com o se quiera y p ara estos puntos se tiene que /o ( 0 , e) = e 3 + 3 > 3 = / o ( 0 , 0), /o ( 0 , - £ ) = —£3 + 3 < 3 = / o ( 0 , 0) . Si ( 0 , 0 ) fuese un extrem o relativo, entonces existiría un entorno de ( 0 , 0 ) , es decir, una bola ab ierta cen trad a en (0, C), en el que p ara todos los puntos

{x, y) de la bola se tendría que f o { x , y ) < / o ( 0 , 0 ), si ( 0 , 0 ) fuese un m áxim o relativo o f o ( x , y ) > / o ( 0 , 0 ) , si ( 0 , 0 ) fuese un m ínim o relativo. Eligiendo e > 0 tan pequeño com o se quiera, los puntos ( 0 , £ ) y (0 , —s ) pertenecen a esa bola, pero en el prim ero de ellos /o tom a un valor m ayor que en el ( 0 , 0 ) y en el segundo de ellos un valor m enor, por lo que se concluye que ( 0 , 0 ) es un punto de silla. E j e r c i c i o 5 . 4 2 . Esttidiense los extrem os absolutos de la función

f ( x , y ) = x 2 + y2 - 3¡/ en el dominio D = {(x^y) € K 2 ■y > x 2, y < 2 }. S o lu c ió n . L a función / es continua por ser polinómiea y el dominio D es un conjunto cerrado y acotad o (véase la F ig u ra 5.1C). Así pues, por el T eorem a do W oicrstrass (5 .5 2 ) la función / alcan za los extrem os absolutos cn D . Dichos extrem os absolutos se alcanzan o bien en los extrem os relativos de / pertenecientes a i n t D o bien en la frontera de D (véanse 5.51 y 5 .5 2 ). E s fácil ver que int D = { (a: , ¡ / ) e R 2 : y > x 2, y < 2 } . P o r o tra parto, los pinitos de corte de la parábola y = x 2 con la re cta y = 2 son ( - \ / 2 , 2) y ( \ / 2 , 2) y la frontera de D es fr D = D i U

Di

= {(z .t/) € l 2

donde

: y = x 2, x € [-y/2, s/2}},

D 2 = { { x , y) € R 2 : y = 2, x € [ - > / 2 , \ / 2 ] } . E l procedim iento a seguir es el siguiente:

209

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


Figura 5.16. Dominio D, 1 . So calculan los extrem os relativos de / pertenecientes a i n t D. 2 . Se determ inan los extrem os absoluto» de /

en f r £ ) {el conjunto fr D es

cerrado y acotad o, luego el m áxim o y el m ínim o absolutos de / en f r D se alcanzan). 3 . El mínimo absoluto de / en D se alcanza en el punto en el que / to m a menor valor entre los extrem os relativos de / en int D y el mínimo absoluto de / en fr D. A nálogam ente, el m áxim o absoluto de / en D se alcan za en el punto en cl que / to m a m ayor valor entre los extrem os relativos de / en int D y el m áxim o absoluto de / en fr D . A continuación, se realiza el estudio. 1 . P a ra calcu lar los extrem os relativos de / hay que determ inar los puntos críticos:

cl único punto crítico es P = (0, | ), que pertenece a int D . P a r a clasificar este punto, se determ ina la m atriz Hessiana de / en P . Se tiene que

300


y se verifica que 0

(0, 2 ) = 2 > 0 y |H/ (0 , § ) | = 4 > 0.

Así pues, p o r 5 .5 0 el punto P es un mínimo relativo de / , cuyo valor es

f ( P ) = - f > y es un posible extrem o absoluto en D . 2 . A hora hay que calcular el m áxim o y el mínimo absolutos de / en fr D. P a ra ello, hay que determ inar los extrem os absolutos de / en D\, y los extrem os absolutos de / en D¿. 2 . 1 . E n la p arte de la frontera d ad a por D\, se tiene que y = z 2, luego la función / en e s ta p a rte to m a la expresión

F\ {x ) = f ( x , x 2) = x 2 + ( x 2)2 - 3x2 = x 4 - 2x2. Así pues, los extrem os absolutos de / en D\, se corresponden con los e x tre m os absolutos de F\ en ol intervalo [ - \ / 2 , \ / 2 ] . Derivando,

F [ ( x ) = 4 x 3 - 4x = 4 x ( x 2 - 1), por lo que F j ( x ) = 0 si y sólo s i x = 0 , x = l y x = —1 , que son los puntos críticos de F j , los tres pertenecientes al intervalo [—V2, y/2]. Se deja como ejercicio com probar que cn los puntos x = - l y x = 1 la función F j tiene dos mínimos relativos y en x = 0 tiene un m áxim o relativo. Se calcu la el valor de F\ cn los extrem os del intervalo y en los extrem os relativos obtenidos: F , ( - s / 2 ) = 0, i q ( - l ) = - 1 , F i ( 0) = 0, F , ( l ) = - 1 , F , ( V 2 ) = ü. Entonces, el m áxim o absoluto de F\ en [—\/2, y/2] se alcanza e n r = —\/2,

x = 0 y x = ■J2 con valor 0 , y el mínimo absoluto de F\ se alcanza en x — — 1 y x = 1 , con valor - 1 . P o r consiguiente, en D\ la función / alcanza el m áxim o absoluto en los puntos Q i = ( —\ / 2 , 2) , Q¿ = ( 0 , 0 ) y

= ( \ / 2 , 2) con valor 0 , y el mínimo

absoluto en los puntos ( ¿ 4 = ( —1 , 1 ) y Q$ = ( 1 , 1 ), con valor —1 . 2 . 2 . E n D 2 , se tiene que y = 2 , y la función / to m a la form a

F 2(x) = f ( x , 2 ) = x 2 + 22 - Z - 2 = x 2 - 2 . Los extrem os absolutos de / en D¿ se corresponden con los extrem os ab solutos de F¿ en [ - \ / 2 , \/ 2] . Se tiene que Fîx) = 2 x , por lo que el único punto crítico es x = 0, que pertenece a [ - \ / 2 , \/ 2] , E s fácil ver que x = ü es un m ínim o relativo de F 2 . P u esto que

F 2( - V 2 ) = o, F 2(0 ) = - 2 , F 2( V 2 ) = 0,

3 01

K jK ItC IC IO N

I Í R S I1 R I.T U S l)K

F tlN O A M U N TO S

M A T R M ¿ T I C(JN

resulta que cl m áxim o absoluto de F 2 en [—n/2 , \/2 ] se alcan za en x = ± > / 2 i con valor 0 y cl mínimo absoluto en x = 0, con valor - 2 . P o r lan ío , en D 2 la función / alcan za cl m áxim o absoluto en los puntos Q\ y Q 3 (y a obtenidos en cl ap artad o 2 . 1 .) y cl m ínim o absoluto en cl punto Qa = ( 0 , 2 ). Do los apartad os 2 . 1 , y 2 . 2 . so concluyo que cl m áxim o absolulo do / en fr D se alcan za en los punios Q\.Q¿ y <^3 , con valor 0 , y el mínimo absoluto en cl punto Q y, con valor —2 . 3 . Por todo lo anterior, com parando cl valor de / en los puntos Q i. $ 2 *

Qg

(extrem os absolutos do / en fr.D) y P (extrem o relativo de / en i n t D ) se concluye que el m áxim o absoluto de / en D se llene en los punios Q\, Q 2 y

Q:u con valor 0 y cl mínimo absoluto en cl punió P , con valor

= -2,25.

E 11 la Figu ra 5 . 1 7 se representa la superficie d ad a por / sobre cl dominio D.

10 1

5 o

•5 9

Figura 5.17. Gráfica de f ( x , y ) = j 2 + y3 - 3*/ y dominio de estudio.

E j e r c i c i o 5 . 4 3 . D eterm ínense los (a ire m o s absolutos de la ñinción g ( z
en el dominio E = { ( x , y) € R 2 : x 2 + y2 < 4 } . S o lu c ió n . L a función g es continua por ser polinóm ica, y cl dominio E es cl círculo de centro (0, 0) y radio 2, que es un conjunto cerrad o y acotad o. P o r tanto, por cl teorem a de W cicrstrass la función g alcan za los extrem os absolutos en E . Dichos extrem os absolulos se alcanzan o bien en los extrem os relativos de g pertenecientes

302


a i n t £ o bien en la frontera de E . E s claro que i n t £ = { ( x, y) € R 2 : x 2 + y 2 < 4 } , fr ¿? = { (z, t/) € R 2 : z 2 -b y 2 = 4 } . E s fácil ver que el único punto critico do g es ol ( 0 , 0 ) , que pertenece al interior de y ademá-s se tiene que g(x, y) < g ( 0 , 0 ) = 0, p a ra to d o (x , y) € E (de hecho» p ara todo ( x , y ) € R 2). P o r consiguiente, en E (de hecho, en R 2) la función g alcan za el m áxim o absoluto en el punto ( 0 , 0 ), con valor 0 . F a lta determ inar el mínimo absoluto de g y que se alcan zará en la frontera de

E . Obsérvese que los puntos (x> y) € fr E verifican la ecuación x 2 + y2 = 4 , por lo que la función g en la fron tera de E es igual a es decir, en todos los puntos de la circunferencia de cen tro ( 0 , 0 ) y radio 2 , y el valor de ese mínimo es —4. E n la F ig u ra 5 . 1 8 se representa la superficie dada por / sobre el dominio £ , en la que se indica tam bién el m áxim o absoluto y el conjunto de mínimos absolutos de g en E (en rojo).

0 «2 •4

•6 2

-B

•ID

-1 2

•14 •I B •I B

Figura 5.18. Gráfic a de g(x, y) ■ - x 2 - y2 y dominio de estudio. E j e r c i c i o 5 .4 4 . Sea / ( x , y) = 2 x + 4 y - 2. Determ ínense los extrem os absolutos de / restringida al conjunto de puntos ( x , y ) € R 2 que satisfacen la ecuación

x 2 + y2 = 25.

303

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


S o lu c ió n . Sea í?(x, y) = x 2 + y2 - 25. Hay que obtener los extrem os absolutos de / restringida al dominio S = \{x,y) € M 2 : ^ , í / ) = 0 } . E s decir, hay que do term inar los extrem os absolutos do / sujetos a la restricción de igualdad g ( z , y ) = 0. Obsérvese que S es la circunferencia de centro ( 0 ,0 ) y radio 5, que es un conjunto cerrado y acotad o. P o r tan to , com o la función / es continua en R 2 por ser polinóm ica, por el Teorem a de W eierstrass (véase 5 .5 2 ) / alcanza los extrem os absolutos en S. Dichos extrem os absolutos son en particular extrem os relativos de / restringida a S , luego p a ra determ inarlos se aplica el Teorem a de los m ultiplicado rea de Lagrange (véase 5 .5 4 ). Prim ero se com prueba que se satisfacen las hipótesis del T eorem a 5 .5 4 . Es claro que f y g son funciones diferenciables en R 2, p o r ser polinóm icas. P o r o tra p arte, para c a d a (x , y) € K 2 se tiene que V g ( z ) y) = ( 2 x , 2 y), y ( 2 x , 2 y) = ( 0 , 0 ), si y sólo si x = 0 e y = 0. Así pues, V í?(x , y) ^ ( 0 ,0 ) p a ra to d o (x , y) € S (y a que el punto (0, 0) no pertenece a S) y se cumplen las condiciones del Teorem a de los multiplicadores de Lagrange. L a función Lagratigiaua es

L x { x , y ) = f { x , y ) + Xg(x,y) = 2 x + 4 y - 2 + \{x¿ + y2 - 25), con A € K . Así pues, los extrem os relativos de / sujetos a la restricción g ( x yy) = 0 son solución del sistem a /

V L x { x , y ) = (0 , 0 )

l

s ( * .i O = o.

que es equivalente a

Í De la prim era

2 + 2xA = 0 4 + 2yX = 0

x 2 + y2 = 16.

ecuación se deduce que A ^ 0, pues

dicción 2 = 0. Deeste m odo,

si A = 0 se obtiene la contra»

se puede dividir por A y es posible despejar x e y en

la prim era y segunda ecuación, respectivam ente, obteniéndose x — —j c y = —j . Sustituyendo en la te rce ra ecuación resu lta ( - j ) que tiene por soluciones Ai = + 7 s y A2 -

304

2

+ (—| )

2

= 2 5 , esto es ^ = 25,

“ 7 5 - P o r consiguiente, p ara Ai se


obtiene x = -

= ->/$ e y =

= - 2 > / 5 , y p a ra A2 se tiene x = —^ = y/b e

y = - £ = 2A P o r tan to, se obtiene el punto crítico ( —\/5 —2\ /5) con m ultiplicador de Lagrange Aj, y el punto (\ /5 ,2 \ /5 ), con m ultiplicador de Lagrange A2 . Com o sólo se h an obtenido dos puntos críticos, éstos son los extrem os absolutos de / en S (pues se sabe que se alcanzan, por el Teorem a de W eierstrass). Se evalúa / en c a d a uno de estos puntos p ara saber cuál es el m áxim o y cuál es el mínimo absoluto. / ( - ^ 5 , - 2 > / 5 ) = - 1 0 ^ 5 - 2,

f ( V 5 , 2 v ^ ) = 1 0 ^ 5 - 2.

Luego ( —\/Z> —2 ^ 3 ) es el mínimo absoluto de / en S y

2 ^ 3 ) es el m áxim o

absoluto de / 011 S . E n la F ig u ra 5 .1 9 se representa la superficie d ad a por / , que en este caso es un plano, y los puntos de esa superficie que satisfacen la condición de ligadura (en negro^. Los puntos señalados en ro jo son el m áxim o y el minimo absolutos de / en 5 .

Figura 5.19. Extremos absolutos de f ( x , y ) « 2x + Ay - 2 sujetos a la restricción g(x, y) - x 2 + y2 - 25. E j e r c i c i o 5 .4 5 . D ad a la función f ( x , y ) = y ( x 2 + 1), estúdiense los extrem os relativos de / sujetos a la restricción x + y = 2 .

305

E je r c ic io s

R h s i j k i .t o s

d e

F u n d a m en to s


S o lu c ió n . Sea í?(x, y) = x + y - 2 . E l problem a consiste en determ inar los extrem os relativos de / restringida al conjunto

$ = { { x , y ) € K 2 : $ ( x , 2/) = 0 } . L a función L agran gian a asociad a os

L x { x ) y) = f ( x , y ) + Xg(x,y) = y ( x 2 + 1) + A(x + y - 2 ), A € R . L as funciones / y g son diferenciables en M2 por ser polinómieasAdemás, V
A€ R ta l que

(x , y)

es solución del sistem a f V L x ( x , y ) = (0 ,0 )

\

g(x,y) = 0,

que es equivalente a a:2 + 1 + A = 0

(1 ) (2)

x + j/-2 = 0

(3)

2xy + X = 0

De la ecuación (3 ), y =

—x + 2. Sustituyendo e s ta expresión en (1 ) resulta

- 2 x 2 + 4 x + A = 0 y restando esta ecuación a (2 ) se obtiene 3 x 2 - 4 x + 1 = 0, que tiene por soluciones x = 1 y x = 5 . Sustituyendo los valores obtenidos de x en la segunda y te rce ra ecuación se determ inan los valores de A y de y respectivam ente, y se obtiene elpunto ( 1 ,1 ) con A = - 2 , y el punto ( 5 , 3 )

p ara A = - 7 ^.

E l conjunto S 110 es acotad o, ya que se t r a t a de una re c ta en

el plano. Por

tan to , para clasificar los puntos obtenidos, hay que aplicar el T eorem a 5 .5 5 . P a ra ello, se determ ina la form a cu ad rá tica . Las derivadas parciales segundas de ¿ a con respecto a x e y son

P o r tan to, p ara el punto ( 1 ,1 ) y A = - 2 se tiene que *2r

a2r {hu h2) = ° - ^ { \ A ) h \ + 2 ^ (

3 0 6

a2r

1 , 1) M 2 +

= 2 /12 + 4 M 2 .


A continuación, hay que estudiar el signo de 0(A i, h 2) p a ra los puntos ( / i i , /12) € M2 \ { ( 0 , 0 ) } que satisfacen la ecuación V í?(1, 1)

(A i, ^ 2) =

É s ta es equivalente

a ( 1 , 1 ) * (Ai, A2) = 0, es decir, Ai + h 2 = 0* de donde h 2 = —Ai. Así pues, p ara los puntos (A i, A j) € R 2 tales que A2 = —Ai, con (A i, A2) ^ (0, 0) se tiene que 0(A i, Aí) = * (A i, - A i ) = 2 k ¡ + 4 / i , ( - A i ) = 2h\ - 4A? = -2 A ? < 0. P o r consiguiente, el punto ( 1 ,1 ) es un m áxim o relativo de / sujeto a la condición de ligadura g(x> y) = 0 . P a r a el punto ( 5 1 5 ) y A = —^ se tiene que

d 2 L_ 10 *V“ M

/1

d 2 L_

ec \

10

/1

Q , jj) M + 2 ^

=

d 2 L_ 10

s \

(!,5 ) M

l .+

/1

* \

( i ,¡ )

,

1 0 l2 1

4, 3 1 2>

— "3 ”

y los puntos ( A i , A2 ) € R 2\ {(0 , 0 ) } que satisfacen la ecuación V p ( 5 , § ) •( A i , A2) = 0, son de nuevo los puntos ( A i , A2) tales que A2 = —A i , con ( f c j . A a ) ? ( 0 , 0 ) , ya que g es lineal. P o r tan to , p a ra estos puntos resulta que 0 (f c , M ) = ¿ (A l, - M

- \h\ = 2 h\ > 0,

=

por lo que ( 3 , 5 ) es un mínimo relativo. E j e r c i c i o 5 .4 6 . Estudíense los extrem os relativos de la función / ( x , y , z) =

x 2 + y2 + z 2 restringida al conj\into

S

=

{ ( * , ¡ 0

€

R

2

:

y =

1

-

2, 2

=

1

+

a - } .

S o lu c ió n . Sean í ? i ( x , y , i ) = x + y — 1 y
0.

L as fundones f , g\ y g 2 son diferennables en R 3 por ser polinómiea». Adem ás, p ara c a d a ( 2 , y, z) € R 3 se tiene que

( V gi{x,y,z) \ l, V
( \ 1 0 \ \ 1 0 -1 ) '

y e s ta m atriz tiene rango 2, igual al número de condiciones de ligadura. P o r tan to , se satisfacen las hipótesis del T eorem a de los m ultiplicadores de Lagran ge, por el

307

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


cual los extrem os relativos de / en S , si existen, son soluciones del sistem a

V i (Al,A2)C;r>2/>2 ) = (0 >0 >0) 9 \{.x,y,z) = Q 9 2 { x , y , z ) = fí

donde

¿ ( a , M ) ( x ’ y ’ z ) = f ( x ’V’ z ) + ^\9\{x,y, z) + X2g { x , y , z ) =

X2 + y 2 + z 2 + Alia; + y - 1) + A2( z - 2 + 1),

con Ai ,A2 € R . E l sistem a anterior es equivalente a

{

2a: + Ai + A2 = 0 2y + =0

Xi

(1) (2)

2 2 - A2 = 0

(3)

x + y = 1 x - z = - \

(4)

(5)

Se tr a ta de un sistem a lineal de cinco ecuaciones con cinco incógnitas. P o r (4 ) y (5 ) se tiene y = 1 —x y z = 1 + 2 , y sustituyendo estas expresiones en (2 ) y (3 ) se obtienen dos nuevas ecuaciones, que junto con (1 ) dan lugar al siguiente sistem a lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas:

Í

2x + Ai + A2 = 0 - 2 x + Ai = -2 2x - A2 = —2,

que se resuelve fácilm ente y tiene com o solución x = 0 , Ai = - 2 y A2 = 2 . Así pues, jj = l - 0 = l y z = l + 0 = l , por lo que se obtiene el único punto critico (

0

,

1 , 1;. E l conjunto S 110 es acotad o, pues S es intersección de los planos de ecuaciones

im plícitas g i ( x , y , z) = 0 y g 2 ( x , y , z ) = 0 , que es igual a una re cta . P o r tan to, 3 0ara 8 p clasificar el punto obtenido, hay que utilizar el Teorem a 5.55.


L as derivadas segundas de £(Ai,A2) en ca^ a punto (x , y , z) € K 3 son

= 2^ ¿ (Ai,A})

,

.

0Í0V

g 2 ¿ (Ai,A2) ,

-

,

..

ty fo :

^ ¿ (Ai,A2) , v z \ - ®¿ L ^ M ) f ftc a z 1 , y ’' C>ZC>Z

y_ Q

d¿L( ^ 2 ) , ) = d 2L (XlM) ) = dydz [X’ y ’ Z) d z d y [ 'V' ’

U' q

P o r consiguiente, p ara el punto ( 0 , 1 , 1 ) la form a c u a d rá tica 0 definida en el Teo rem a 5 .5 5 es igual a 0 ( /i i , /i2, /13) = 2/ij + 2/12 4- 2 /13 , que es m ayor que cero p a ra to d o (h i, 6 2 1 ^ 3 ) € R 3 \ { ( 0 , 0 , 0 ) } , luego en particu lar, p ara to d o (ftj, /121 t a ) € M3 \ { ( 0 , 0 , 0 ) } que satisface las ecuaciones V < ji(0 ,1 ,1 ) • { h \ M > f o ) = 0, V
S es la

re c ta de ecuaciones param étrioas x =

mínimo de / restringido a

t, y =

1 - ¿, z = 1 + 1. El

S es la distancia al cuadrado de O a S y se alcan za en el

punto P cue es la proyección ortogonal de O sobre S . E s te punto P se halla como el corte de S y el plano n ortogonal a S por O que está dado por x - y + z = 0. Sustituyendo las ecuaciones p aram étrica de S en la ecuación del plano n resulta t - (1 - 1) + (1 + í ) = 0, luego t = 0 y el punto P = ( 0 ,1 ,1 ) . P o r consiguiente, el mínimo absoluto do / sobre S es / ( 0 , 1 , 1 ) = 2. El m áxim o absoluto de / sobre S es claro que no se alcan za (es + 0 0 ).

309

T e m a

6

IN T E G R A C IÓ N . A P L IC A C IO N E S

1. R E S U M E N D E R E S U L T A D O S T E Ó R IC O S 0 . 1 . Primitivas e integral indefinida . D ada una función / real de variable real, se dice que F es una prim itiva de / si se verifica qu v F ' ( x ) = f ( x ) . Com o la derivada de cualquier con stan te es cero, resu lta que si F es una prim itiva de / , tambión lo es F + C para cualquier con stan te C . E s decir, si una función tiene una prim itiva, entonces tiene infinitas. E l conjunto de todas las prim itivas de una función / cuando existan se llam a integral indefinida de / y se denota por:

/

f ( x ) d x = F ( i ) + C.

0 . 2 . Prvpitdades de la integral indefinida. Teniendo en cu en ta las propiedades de las derivadas, resu lta que la integral de la sum a (diferencia) de dos funciones es la sum a (diferencia) de las integrales y ie la integral de una con stan te k € K por una función es la con stan te por la integral de la función, es decir:

j ( f [ x ) ± g ( x ) ) d x = J f ( x ) d x ± J g{x)dx\ J k f ( x ) d x = k J f ( x ) d x . P o r definición de prim itiva, la integral de la derivada de una función os la función, es decir

/ 6 .3 .

F ' ( x ) d x = F ( x ) + C.

Integración p o r sustitución. E n ocasiones se puede utilizar un cam bio de

variable p ara tr a ta r de llegar a una integral inm ediata. Si se realiza el cambio

x = ^(¿)> resu lta que dx =

j

f(x)dx =

j

6 . 4 . Integración p o r partes. Si u y v son funciones derivables, por la regla de derivación del prod u cto se verifica q\ie d(u v) = udv + vdu, con lo que integrando

3 11

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


y despejando la integral de udv se tiene la siguiente fórm ula de integración por partes:

I

udv = uv — j vdu.

6 . 5 . Integración de funciones racionales. Si P ( x ) es un polinomio de grado n y

Q (x ) es un polinomio de grado m , f ( x ) =

es una función racional.

Si n > m se dividen los polinomios y se tiene que:

l m

' b l = l C V ) i I + l w ) ' bl

donde C { x ) es el cociente y i? (ir) es el resto de la división, de tal form a que la prim era integral es in m ediata y la segunda es racional con grado en el num era dor menor que el grado del denom inador, con lo que la integración se reduce al siguiente caso. Si ti < m se descom pone el cociente en sum a de fracciones simples y se opera com o sigue. Se obtienen las raíces de Q (x ) = 0 que pueden ser reales o com plejas y simples o múltiples. P a r a describir el m étod o, supongamos (pie hay una de cad a tipo, es decir, supongam os que Q(x) tiene las raíces a real simple, 6 real m últiple de multiplicidad k , p ± q i com plejas conjugadas simples y múltiples de m ultiplicidad h. Se descompone

com plejas conjugadas

en sum a de fracciones simples

com o sigue:

P(x) Q(x)

_

A

B\

B2

Bk

x - a

x - b

(x - 6)2

(x - b)k

R\X + S] (.x - r ) 2 + &2

R¿x + S j [ ( x - r ) 2 + s 2] 2

Mx + N (x - p ) 2 + q2

Rh'x + Sh [(x - r ) 2 + s 2]h

donde quitando denom inadores y resolviendo el sistem a que resu lta de identificar los coeficientes de los térm inos de igual grado, se pueden determ inar los valo res do .4 , 5 j , S 2, . . . i?*, A/, AT, J?i, J? 2 , . . . , J?h ,S j, S 2 , . . . ,S * que sustituidos en la expresión anterior resuelven (‘1 problema. 6 . 6 . Método de H e m ii t e . L as integrales anteriores dan lugar a una p a rte racional cuando hay raíces múltiples. E s ta p arte racional se puede obtener sin integrar y con menos operaciones utilizando el m étodo de H erm ite. Si se supone que las raíces de Q (x ) son com o en el caso anterior, la descom posición por el m étodo de

312

IN TEG R A C IÓ N . A PLIC A C IO N ES

Herinite es com o sigue:

/

P (X) d r

=

Q(x)

________ HM ________ (a :-6 )fc -» [(a :-r )2 +

+

+

« *]» -»

dx+ f — dx x - a J x -b f Mx + N . f / Í i z + Si

/ —

J

1 (z -

pY

+ , ^

1

x - r ) 2 + S‘

dx

donde derivando, quitando denom inadores y resolviendo el sistem a que resu lta de identificar los coeficientes de los térm inos de igual grado, se pueden determ inar los valores de A , B , M , N , R , S y el polinomio N ( x ) que h a do ser de grado menor que su denominador. 0 . 7 . Funciones trigonométricas racionales. Si se d en ota por R una función racio nal, resulta que cualquier integral del tipo f í ? ( s e n x ,c o s x ) dx se convierte en la integral de u n a función racional con el cam bio t = t a n ( f ) de donde se obtiene fácilm ente que se n i =

, cosx =

y dx =

di.

L a integral racional que resu lta con ose cam bio de variable general, se puede simplificar en algunos casos que se enumeran a continuación. (a ) Si R e s par e n sen a: y c o s í , es decir si ñ ( - sen x , - c o s í ) = i ? ( s e n x ,c o s x ) , entonces se hace t = t a n x y se tiene que s e n x = ^ ^ 5 , c o s x =

y dx =

j^ d t. (b) Si R os im par cn c o s x , es decir si i? (s e n x , —c o s x ) = —i ? ( s e n x ,c o s x ) , entonces se hace t = s e n x y se tiene que c o s x = v^l — t 2 y dx = 7 h s dt(c) Si i? es im par en s e n x , os decir si 7 ? ( - s e n x , c o s x ) = - i ? ( s e n x , c o s x ) , entonces se hace t = c o s x y se tiene que s e n x = \/l - 12 y dx =

dt .

6 . 8 . Integral definida. Sea una partición P del intervalo [a, 6] definida por los puntos a = xo < x\ < X 2 < . . . < x n = b que definen a su vez n subintervalos de longitudes A x* = x* — x * _ i, i = 1, 2 , . . . , n y p a ra cad a i = 1 , 2 , . . . , n sea

Ci € [x « -i — Xi] un punto cualquiera del subintervalo correspondiente. Se denota por ||P|| -► 0 cuando todos los A x* tienden a cero. E n estas condiciones, si / es continua en el intervalo [a, 6], se llam a integral definida de / en el intervalo [a a

fb " I / ( x ) d x = lím /(c t)A x t . Ja IIÎH0 ^

313

E je r c ic io s


d e

F u n d a m en to s


6 . 9 . Teorema fun dam en tal del Cálculo. Si / es una función real continua en el intervalo cerrado [a, 6], entonces la función definida por la siguiente integral:

f (x] -

j* m

«a,

es derivable en (a, 6) y se verifica que

F ' ( x ) = / ( x ) , Va; € (a , 6). 6 . 1 0 . Regla de Barrow. E s te resultado se cita a menudo com o segundo teorem a fundamental del C álculo. Si / es u n a función continua en el intervalo cerrado [a, 6] y F es una prim itiva de / , entonces:

* f(x )d x = F (b)~ F (a). Se recuerda la notación usual siguiente

= [F (x )]* = F ( b ) — F ( a ) .

6 . 1 1 . Algunas propiedades de la integral definida. (a ) L a integral definida es lineal, es decir, verifica que

+

=

f * f ( x ) d x + j * g ( x ) d x y j * k f { x ) d x = k f * f ( x ) d x , donde k € R es una constante. (b) Si se intercam bian los límites de integración, la integral definida cam bia de signo, es decir, f * f ( x ) dx = — f * f ( x ) dx. (c) Si c € [a, 6], entonces f * f ( x ) dx =

f ( x ) dx +

f ( x ) dx.

6 . 1 2 . Intcgmción definida y cambio da variable. Si en la integral f * f { x ) d x se realiza la sustitución x =

con tp m onótona en el intervalo de extrem os to y

h y ^ (to ) = a y ^ (¿ i) = b, entonces se verifica (véase 6.3) f f{x )d x = / V ( * w y w * . Ja Jt(j 6 . 1 3 . Integrales impropias. En general, se dice que la integral f £ f { x ) d x es im propia si el intervalo de integración no está acotad o o si no lo e s tá la función en el intervalo de integración. Se clasifican com o sigue. (a )

Integrales im propias de prim era especie. Son las integrales de los tipas

^ o o } { x ) d x , ^ f { x ) d x ^ p oo} { x ) d x .

314


Sea / aco tad a e integrable en todo intervalo de la form a [í, 6] (respectivam en [a, ¿]) para cualquier t < b (resp. t > a) fijo. Se

te

define la integral im propia

f ^ o o f { x ) d x (resp. £ ° f { x ) d x ) como:

J

f ( x ) dx = ^ Hm

f ( x ) d i , ^resp. J

f ( x ) d i = \im J

/(i)d ij

.

Si el límite es finito se dice que la integral es convergente, si es infinito divergente y si no existe lím ite la integral no existe. E n las m ism as condiciones se define p ara la integral del tercer tipo

f(x )d x = / f{x)dx + I ■OO J-QQ Je

/

f(x)dx=

lím I f( x )d x-\ - lím I f ( x ) d x . *->-OoJt

(l>) Integrales im propias de segunda especie. Corresponde al caso en que / no e stá aco tad a en el intervalo de integración [a, b]. Sea / integrable en to d o intervalo cerrado contenido en [a, b) (respectivam ente (a , 6]). Se define la integral im propia en [a, 6] como:

f f(x )d x = Je

lím

í

f ( x ) dx, (re s p . í f ( x ) d x = \ Ja

lím í f(x)dx\ . c->0+ Ja+c /

C om o en el caso anterior* si el lím ite es finito la integral es convergente, si es infinito divergente y si no existe lím ite la integral no existe. Si el punto c en que / no es aco tad a e s tá en el interior de [a, 6] se opera de igual form a descomponiendo la integral en sum a de dos integrales im propias de los tipos anteriores. (c) Integrales im propias de te rce ra especie. Si la función no es aco tad a y el intervalo tam poco* se dice que la integral es im propia de te rce ra especie,

Volumen de un sólido de revolución. Si / es una función continua en el intervalo cerrado [a, 6] y se hace girar la cu rva que define / en [a, 6] sobre el eje X . se tiene un cuerpo de revolución cuyo volumen es: 0 .1 4 .

V = n

f [ f ( x ) ] 2dx.

Ja

6 . 1 5 . Teorema de Fhibini. Sea D = [ f l , í ] x [ c , ( í ] c R 2 un rectángulo en el plano de lados paralelos a los ejes (dominio rectan gu lar). Si / : D -► R es una función con tinua en D , entonces la integral doble de / en D se puede obtener por integración reiterada, es decir:

J jj{x ,y )d x d y = J If

f{x ,y )d y

áx =

j^ \j f ( x >v) dx

dy.

315

E je r c ic io s

R esu elto s

F u n d a m en to s

d e


6 . 1 6 . Cambio a polares en integrales dobles. Si /

: D —► K es continua en la

región del plano D que, en coordenadas polares (véase 5 .9 ), queda definida por las condiciones o ¡ < 6 < 0 y a < p < b y entonces

Jj

f{x ,y )d x d y =

J

f{pcos6,p$cn0) pdp de.

Debe observarse que al pasar a polares, la expresión d x d y pasa a ser pdpdO.

Fórmulas de los rectángulos. L a s fórmulas siguientes perm iten aproxim ar

6 .1 7 .

la integral definida entre a y ó, y por ta n to el área correspondiente, a p a rtir de un conjunto de rectángulos. Se supone dividido el intervalo [a, 6] en n subintervalos do la m isma longitud igual a *=* y de extrem os en los puntos a = xq < x \ . . . <

x n = b. Con base en estos subintervalos se construyen rectángulos de a ltu ra igual a la imagen de un extrem o de ca d a subintervalo o del punto medio. E s decir:

La f

f{x)dx~ - — fl

f{xk-\)í t= l

f { x ) d x ^ ^ ^ j r f { x k),

Ja

k*=l

f b ct ^ 7 L

m

b —a

'd x ^ —

s p ( X k - i 4- Xk\

£■ 1

) ■

6 . 1 8 . Fórmula de los trapecios. Com o en el caso anterior, la fórm ula siguiente p orín ite aproxim ar la integral definida entro a y b a p artir de un conjunto do trapecios. Se divide el intervalo [a, 6] en n subintervalos de la m ism a longitud

h =

y se consideran los trapecios de baso en cad a subintervalo y alturas

iguales a las im ágenes en los extrem os de cada subintervalo.

J

f(x) dx ~

| (/(z o ) +

2f{xl ) + 2 f ( x 2) + . . . +

2 / (*„_,) +

f { x n)).

6 . 1 9 . Regla da Sirnpson. Com o <m los casos anteriores, se divide ol intervalo [a, 6] en n subintervalos de la m ism a longitud h =

y se consideran los polinomios

de segundo grado (p arábolas) que pasan por los extrem os y por los puntos medios de cad a subintervalo, p o r lo que p a ra aplicar este m étodo de aproxim ación de la integral, hay que calcular las im ágenes de los 2n + 1 puntos x^ = a +

316

p ara


2 n y resulta:

fc = 0 , l

J

f(x)dx - ^ ( / ( ^ o ) + i f { x i ) + 2 f { x 2) + i f { x s ) + 2 f { x 4) + . . . + i f ( x 2n- i ) + f ( x 2n)) = | ( £ + 4 / + 2 P ),

donde E = / ( z o ) + / ( z 2n) (extrem o s), I = f { x 1) + f ( x ¿ ) + . . . + / ( z 2n - i ) (im pares) y P = f ( x 2) + f ( x 4) + . . . + f ( x 2n - 2 ) (p ares).

2. T A B LA D E IN T E G R A L E S A continuación se p resen ta u n a relación de integrales inm ediatas. 0 .2 0 . /*

j

r n +í

x" d x = —

t

f(r }n +í

i + c '

0 .2 1 .

J

J

^ d x = \n\x\+C,

^ d x

= \n\f(x)\ + C

6 .2 2 .

J ex dx = ex + C, J e ¡íx) ■f ( x ) dx = e fl-x) + C 6 .2 3 . J

[ a x d x = ? - + C, ma

J

[ a ^ x) ■f ‘í x ) d x = ^ - + C ma

6 .2 4 .

J sonxdx =

-co& x + C,

J f'(x)& ?n{f(x))dx =

-co& {f(x)) + C

6 .2 5 .

J c o s x dx = SQTIX + C, J f ( x ) c O s ( f ( x ) ) d x = SQTl(f(x)) + C 317



d io

F u n d a m en to s


6 .2 6 .

J

f — \ - d x = f (1 + t g 2x ) d x = t g x + C, c o s 2x J

J J i m dx=¡^+ t

g

2

(

/

(

*

;

)

)

/

»

*

*

=

t

e

(/(*))+c

6 .2 7 . — 2— dx = / ( I + c o t2 x ) dx = —c o t x + C, sen x /

/ se n ^ (/(x )) ^ = y í 1 + c o t2(/(a :)))//(a:)í¿r = -c o t (/(a :)) + C 6 .2 6 .

J

secx ta n x d x = s e cx + C,

J

/ ' ( x ) s e c ( / ( x ) ) t a n ( / ( x ) ) dx = s e c ( / ( x ) ) + C

6 .2 9 .

J c s c x c o t x dx = —c s c x + C ,

J f ,(x )csc(f(x))cot(f(x))dx = - c s c ( f ( x ) ) + 0

6 .3 0 .

J

^ = = § d * = are sen x + C ,

ix = ^ ^ ( / ( z ) ) +

J

6 .3 1 . /*

1

J l + x 2 ^ = hTCthnX + ^

/*

f{z)

J l + /(a)]2 ^ = M‘cta®(/(;r)) + C

3. E JE R C IC IO S R E S U E L T O S 3 .1 . I n t e g r a l in d e fin id a E j e r c i c i o 6 . 1 . O bténgase la integral indefinida de las siguientes funciones: ( a ) f ( x ) = 5x2 + e 2x, ( b ) g(x) = 3 eos4 x s e n x , y ( c ) h{x) =

318


S o lu c ió n , (a ) Teniendo en cu en ta las propiedades recogidas en 0 .2 y la tab la de integrales, puntos 0 .2 0 y 6 .2 2 , resulta

J ( S x 2 + e ^ d x —J 5x 2dx + J e^dx = 5

(6 )

j x 2dx + ^ j 2 e 2xdx

= ^

+ \ e2x + c -

Teniendo en cu en ta la segunda propiedad recogida en 6 .2 y el punto 6.20

de la tabla de integrales, resulta

j

3 c o s 4 ^ s e n z c iz = 3

J

- eos4 ^ ( - s e n x )dx

/ (c )

u eos4 x( —sen x ) d x = —^ eos5 x + C.

Dividiendo num erador y denom inador por 9 y operando com o sigue se

tiene una integral in m ediata (véase G.31).

j

í

^

9 + x2

=

f —% —r d x = ^ f ------ 2— r dx = ~ a rcta n ( + J I T ? 3 J i + (*y 3

C.

E j e r c i c i o 6 . 2 . O bténgase la integral indefinida de las siguientes funciones: (

a)

w

f ( x ) = (x + l) \ / x 2 + 2x, s (a) = 73P ffc= ?> y

S o lu c ió n , (o ) L a derivada de x 2 + 2x es 2 x + 2 con lo que la integral es inm ediata multiplicando y dividiendo por 2 y aplicando 6.2 y ( j + l ) ^ / ^ + 2 x d x = 1 j ( 2 x + 2 ) ( x 2 + 2x ) ^ d x = i ■ \ { x 2 + 2 x f 2 + C = i V ( x 2 + 2 x )3 + C. (6 ) C om pletando c u r r a d o s resu lta que 20 + Sx - x 2 = 3 6 - (x — 4 ) 2 y operando

319

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


com o sigue se tiene una integral in m ediata (véase 6 .3 0 ).

x J/ y/20+d&r -

=

x Jí y/36 - d (x - i)2 = i( L

1/6

( X - 4\ = are sen I — - — I + C .

(c ) Como la derivada del denom inador es el num erador la integral es inm ediata (véase 6 .2 1 ),

/

sen x + eos x . . ^ --------------------- = in s e n a - c o s í + G. sen x - eos x

E j e r c i c i o 6 .3 . O bténgase la integral indefinida de las siguientes funciones: ( а ) f ( x ) - e\+^ X, y (б ) g(x) = are sen x. S o lu c ió n . (« ) P a r a obtener una form a m ás sencilla, parece conveniente h acer el cambio de variable e1 = t. Tom ando logaritm os neperianos resu lta x = ln¿ y

dx = \dt,

J

con lo que se tiene

f e* - 3 e 2* é X = [ Í Z & . U - í ^ d t = j ( —‘i -\— — ) dt 1 + e1 J l+ t t J l+t J V t+ 1) = - 3 í + 4 lu \t + 1| + C = - 3 e x + 41n(eI + 1 ) + C,

donde se h a aplicado 6 .5 dividiendo los polinomios 1 — 3¿ y 1 + t. (¿ ) E s ta integral se resuelve por el m étodo de integración p o r p artes. Sea u — are sen x y dv = dx. O perando resu lta du = ^ ^ ^ dx y v = f dx = x . Aplicando la fórmula de integración por p artes (véase 6.4) se tiene que

/

are sen x dx = x are sena: -

/ —^ ^ = d x .

P a r a el cálculo de la ú ltim a integral, obsérvese que la derivada de 1 —x 2 es —2x, por lo que m ultiplicando y dividiendo dicha integral por —2 y haciendo el cam bio

320


t = 1 — x 2, dt = —2 x dx, se tiene

I , x

J V T ^

dr = - i í

2x dr = - i í - 4 * = - i í h *

2J V T ^

2 J Vi

2J

= - l t *. + C = - V Í + C = - , / r V ¿ i + C. ¿

2

P o r tanto,

/ arcsenzífa^zarcaniz + Vi - x2 + C. E j e r c i c i o 6 . 4 . O bténgase la integral indefinida de las siguientes funciones:

f(x) = x e x, y

(a )

W 9 ( * ) = >5f • S o lu c ió n , (a ) Sea u — x y dv — e Tdx. Operando resu lta du — dx

y

v — f cTdx —

t x . Aplicando la fórm ula de integración por partes 6 .4 , se tiene que

J xexdx

(6 )

=

xex - J exdx

=

xtx -

e* + C.

Por el m étodo de integración por p artes, sea u = l n x y dv = - j ¿ d x .

O perando, resu lta du = j d x y v = J ^ d x = J x ~ 1^2 dx = 2y/x y aplicando la fórm ula de integración por p artes 6 .4 se tiene que

J ^=? dx = 2\/xln x

-

j 2\/x-dx = 2\/xhix- 2 J "^r^x

= 2\fx\wx — 4 \ /x + C.

E j e r c i c i o 6 . 5 . O bténgase la integral indefinida f x are eos x d x .

S o lu c ió n . Sea u = are c o s x y dv = xcfx. Operando se tiene que du = ^ - J - j d x y 2

v =

Aplicando la fórm ula de integración por p artes 6 .4 , resulta

.2

/

,

2

x are c o s x dx = -r - are c o s x 4- / ,______ dx. 2 J 2V T ^

3 21

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


P a ra obtener la ú ltim a integral utilizam os el m étodo de sustitución haciendo el cambio de variable /

—

x^

x

= sen i , con lo que

f

dx = I —

2 j]T x ¿

J

sen2 i

dx

= eos i di, luego

f sen2 i

eos t dt =

2\/l — sen 2 1

1 f

/ -r-— ■eos t d t = -

J

2 cosí

I sen t dt.

2 J

E s ta últim a integral tod avía no es inm ediata y se puede resolver integrando por p artes considerando u = sen i y dv = sen t dt y realizando una segunda integración por partes. Veamos este m étodo com o ejercicio. Se tiene que du = co s t d t y v = —c o s í. A plicando la fórm ula de integración p o r p artes 6 .4 y teniendo en cu en ta que sen 2 í + eos 2 i = 1 , resulta

j

sen 2 tdt

j

sen2 í di = —s e n í c o s í 4-

J (1 —sen21) dt,

J

sen 2 tdt = —sen i c o s í +

J dt — j

=

- s e n ¿co sí +

j eos2 tdt,

sen 2 i

dt,

2 J sen 2 tdt = - sen i eos i + 1^

J

sen 2 1dt = - ( i - sen i eos i).

E s ta integral resulta in m ediata utilizando la siguiente fórm ula trigonom étrica sen 2 i = *~c” 2 t, que se deduce fácilm ente restando las conocidas fórmulas tri gonom étricas eos 2 i + scn 2 í = 1 y eos 2 i - sen 2 i = e o s 2 í. C on ello, operando, teniendo en cu en ta que sen 2 í = 2 sen i eos i y deshaciendo ol cam bio de variable, teniendo en cu en ta que eos t = \ /l — sen 2 i = \ /l — x 2 y t = are sen x resulta

I sen 2 t d t

- J (1 t

y sustituyendo

- eos 2í ) di = - í - - sen 2 i

are sen

x

-

h x y / T —x-

- i — - 2 sen í cosí


E j e r c i c i o 6 . 6 . Sabiendo que n es un número n atu ral, obténgase una fórmula que p erm ita calcular las integrales siguientes para c a d a n. (а ) I n = J x n ln x d x , y (б) l n = f x n e o s x d i . S o lu c ió n , (o ) Sea u = lu x y dv = x n dx. Se tiene que du = | dx y v =

y

aplicando la fórm ula de integración por p artes 6.4 resulta /

x n ln x dx =

* n+1 n+ 1

j.n +1 í* t ln x — I

j,n

Xrt"*~*

r dx =

r ln x — n + 1

lnx -

1

n+1

ttt +

J

C

n + 1

n + 1

+ C.

(6 ) Sea u = x n y dv = c o s x d x . Se tiene que du = n x n 1 dx y v = s e n x . Aplicando la fórm ula de integración por p artes 6.4

¡ n = x n s e n x — n J x n~* s e n x dx. Integrando por p artes de nuevo con u = x n 1 y dv = s e n x d x , se tiene que

du = (n - l ) x n - 2 dx y u = —c o s x , con lo que

J x rt_1 s e n x dx =

—x rt_1 c o s x + (n — 1)

J xn~2 c o s x dx

y sustituyendo es

I n = x n s e n x + n x n -1 c o s x - n ( n - 1) J x n“ 2 c o s x d x . O b se rv a n d o q u e la ú ltim a in te g ra l e s

2,

o b tie n e la sig u ien te fó rm u la de

re d u c c ió n d e n

¡ n = x n s e n x + n x n_1 c o s x - n (n - l ) / n- 2 ' P o r reiteración de la fórmula, se puede resolver cualquier integral del tipo dado ya que se tienen las dos situaciones posibles siguientes. Si n es p a r, la única integral que habría que calcu lar al aplicar la fórm ula es J c o s x d x que es inm ediata.

323

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


Si n es im par, sólo h ab ría que calcu lar f z c o s x d x , que se resuelve por partes con u = x y dv = eos x dx. E j e r c i c i o 6 . 7 . O bténgase la integral indefinida de f { x ) = a r c t a n f i /J ) .

S o lu c ió n . E n prim or lugar se hace ol cam bio de variable x =

t2 con lo que

dx = 2t dt y se tiene que

Integrando por p artes con

u=

a rcta n

t y dv = 2tdt,

resu lta

du = ¿7^ dt y v = t2.

Aplicando la fórm ula de integración por partes 6.4

= i 2 a rcta n t — j

dt + j

\ ^ = ^ a rcân f — f + a rcta n t + C,

donde se han dividido los polinomios (véase 6 .5 ). Deshaciendo el cam bio de variable se tiene el resultado I = £ arc tan(vÊ ) - \/x + a r c t a n ( y ^ ) + C =

(1 +

1) a r c t a n ( y ^ ) - y/x + C .

S o lu c ió n . E l polinomio x 2 + 4 r + 5 tiene raíces com plejas por lo que no se puede descom poner en producto de factores simples, sin em bargo, com pletando cuadrados se tiene la siguiente igualdad x 2 + 4 x + 5 = (x + 2 ) 2 + 1, con lo que

Si el num erador coincidiese con la derivada del denom inador, obtendríam os una integral del tipo logaritm o neperiano (véase 6 .2 1 ). Realizando operaciones ele mentales y teniendo en cu en ta las propiedades do la integral indefinida dadas en 6 .2 , se op era com o sigue p ara que aparezca en el num erador el térm ino 2x + 4. Se m ultiplica y se divide por 2 y resulta


ah o ra se sum a y se re sta 2 en el num erador y se tiene 1 /

2J

2x + 2

.

{x + 2)2 + l1~^~

1 f/ 2 2x x + + 22 ++ 22 - 2 .

1 /f 2 * + 4 - 2

2 Jj

2 Jj

( * + 2)2 2) 2 + l1 ^ {x

{x + 2)2 + l d x ’

y por último» se descom pone la integral com o sum a de dos integrales que y a son inm ediatas (véase 6 .‘2 1 y 6.31) 1 f

2x + 4 - 2

,

1 f

2x + 4

1f

,

2

2J (, +2)2+1 ^ 2j (x+2)2+ldX 2j (a;+2)2+1 = ^ ln |(;r + 2 ) 2 + 1 | - a r c ta n (x + 2 ) + C, por tanto. x + l

/

. 1 dx = - ln |(x + 2 ) + 1| - a r c ta n (x + 2 ) + C. x + 4x + 5 2

z2- x S o lu c ió n . Com o el grado del num erador es m ayor que el grado del denom inador, prim ero se dividen los polinomios y luego se aplica el m étodo de descomposición en sum a de fracciones simples (véase 6 .5 ). /* X 4 - X 3 - 2 - 1 , f / --------- 5---------------dx = / i x2 - x J

7 , ( -x - 1 , dx + / —í ax, J x2 - x

ya que al dividir resu lta el cociente C { x ) = x 2 y el resto R ( x ) = —x — 1. Las raíces de Q (x ) = 0 , es decir, de x 2 — x = 0 son U y 1 reales simples, con lo que la segunda integral se descom pone en fracciones simples com o sigue:

- x - l = X

2

-

X

B X

X

-

1

de donde quitando denom inadores resulta —x — 1 = A x — A + B x e identificando los coeficientes de los térm inos de igual grado se tiene el sistem a

A+ B I -A

/

= =

-1 -1

325

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


con lo que A = 1 y B = - 2 . Sustituyendo,

;r*

/

¿r

x

dx

x2 - x

=¡ xHx+i\ dx- ¡ é i X3

= ± - + ln \x\ - 2 ln|x - 1| + C = ü

r3

«5

+ ln

X

+ c.

> - i ) ;

x 2 ^ 3 í —5

/

"3

X

—

í -----ox ^ ¿

S o lu c ió n . Se t r a t a de la integral de una función ra cio n a l Com o el grado del nu m erador es m enor que el grado del denom inador, no hay que dividir los polinomios y se empieza buscando las raíces del polinomio x 3 — 3 x + 2. A plicando la regla do Ruffini se com prueba que tiene las raíces x = 1 múltiple de m ultiplicidad 2 y

x = —2 simple, es decir, se obtiene la descomposición x 3 —3 x + 2 = (x — l ) 2( x + 2 ) . P o r el m étodo do descom posición en sum a do fracciones simple* (véase 6 .5 ), so tiene:

x2+

3x — 5A

x 3 -

3x

+ 2

B x

C

- 1 + (x - l ) 2 +

x

+ 2

A { x - 1 ) (x + 2 ) + B ( x + 2 ) + C ( x - l ) 2 (x - l ) 2( x + 2) _ ( A + C ) x 2 + {A + B - 2 C ) x - 2 . 4 + 2 B + C (x - l ) 2( x + 2)

de donde quitando denominadores e igualando los coeficientes de los térm inos de igual grado, resu lta el sistem a lineal

A +C = 1 A+ B -2C =3 -2A + 2B + C = -5

326


que tiene por solución .4 = ^ , 5 = - | y C , = - g . P o r tan to ,

x 2 + 3a: — 5

/

dx

r 3 - 3x + 2

dx - - ln |x + 2| + C - l ln \x + 2| + C.

1

f x 3 + 2 z 2 + 5o* + 3

E j e r c i c i o 6 . 1 1 . Determ inóse la integral / =

/

+ 2x2 + 1

do*,

S o lu c ió n . Com o x4 + 2 x 2 + 1 = (x2 + 1) 2 el denom inador tiene raíces com plejas m últiples y se puede utilizar el m étodo de H erm ite (véase 6 .6 ).

I =

Ax + B

r2 +

f Mx + N

T +j

r 2 -bl

dx.

derivando so tiene x 3 + 2 x 2 + 5 x + 3 _ A {x * + 1) - 2x{Ax + B ) (*2

+ 1 )2

te2 + 1)2

Mx + N x-

1

quitando denominadores

x 3 + 2 z 2 + 5a: + 3 = A r 2 + .4 - 2 A r 2 - 2fía* + M x 3 + Ate2 + A te + N, e identificando coeficientes de térm inos de igual grado resu lta ol sistem a

M -A + N -2B + M %A + N

=1

=2 =5 =3

que tiene por solución .4 = í , B = - 2 , M = 1 y Ar = S. P o r tan to, / =

x¡2 - 2 a* + l + j r — 4 2 ^ 2

1 i 2

* + 5/ 2 . x2 + l ^ /

+ j ln( *

\

_

1 f 2x , 5 / 1 * - 4 2x2 + 2 + 2 y x z + i + 2 y x2+ i

+ *) + 2 axctan a; +

~

327

E je r c ic io s


d e

F u n d a m en to s


Nótese que l n |x2 + 1| = l n ( x 2 + 1 ) porque x 2 + 1 > ü p a ra todo x € R . E j e r c i c i o 6 . 1 2 . Hállese I = j x 3 ln (l + x 2 ) d x .

S o lu c ió n . P o r la fórm ula do integración por partos 6 .4 con u = ln (l + x 2) y

dv = x 3 dx, y por ta n to dt¿ =

dx y v =

se tiene que x^

dx. X'

E n la integral racional que resu lta, el grado del num erador es m ayor que el grado del denom inador con lo que dividiendo los polinomios (véase 6 .5 ) resulta

/ = ^ l n ( l + x2) - l X4 . , 4

= ~^

2\

(

y { 3 *-x)dr + j ^ d x x¿

1 fx

2" "I" 2

) — 2 ["4

= ^ ln (l + x *) — ^

1 .

2s

(

)

c

— * ln (l + x 2) + C.

^

S o lu c ió n . Teniendo en cu en ta el cam bio general dado en 6 .7 , es decir t = ta n (| ), 2 d t y c o s x = { ¿ 7 7 , y resulta:

se tiene que dx =

+ «2

dt

obteniéndose una integral racional sencilla de calcular. E l denom inador se des compone com o 1 — t 2 = (1 — ¿ ) ( 1 + t), por lo que 2 i_¿2

.4 i_ ¿

B 1 x+ t

A ( l + t) + B ( l - t ) i_¿2

(.4 -£ )¿+ .4 + £ i_¿2

P o r tan to, .4 - B = 0 y .4 + B = 2, de donde .4 = 1 y B = 1 y, por consiguiente,

- /

2 ^-rfí=

r W

I

i W

dt.A- I -

r i+

= _ l n |i _f| + l n |l+¿| + C = ln

328

t

d¿

1-t 1-i

C = ln

1 + ta n (| ) 1 - ta n (f)

C.


Corno

R(se n x , —c o s x ) =

—c o s x

cosx

= —i ? (s e n x ,c o s x ),

R os im par on cosa: y tam bién so puede utilizar oí caso (b) do (j.7 p a ra calcular / , ron lo que so puedo h acer el cam bio do variable t = seno?, luego c o s x = V I - t2 y dx = dty y resulta: I = ¡ J - d x = í ‘ jJ V v iI -— f 2 J C O S xX

1

V T ^ t2

dt =

JS i é- t 2

dt,

que coincide con la anterior dividiendo por 2, por consiguiente,

I

1+ t

- S é

¥ dt =

é

E j e r c i c i o 6 . 1 4 . Obténgase

1-t

COSX

/

sen3 x

1 + senx

+ C = \ ln

1 - senx

+ C.

dx.

S o lu c ió n . L a integral propxiesta es in m ediata del tipo 6 .2 0 . E n efecto,

f cosx , [, ;s cn x 1-2 / — 7.— a x = / (senax ) 3 c o s x c f x = + C = J sen3 x J -2

i

+ C.

2sen 2 x

Com o ilustración p a ra otros casos similares que no sean de integración in m ediata, obsérvese que se puede utilizar cualquiera de los cam bios de variable propuestos en 6 .7 , es decir el cam bio general t = ta n (| ), pero tam bién cualquiera de los otros tres, y a que i ? ( s e n x ,c o s x ) =

es p a r en s e n x y c o s x , im par en

c o s x , e im par en s e n x . Com o cualquiera de los cam bios de variable anteriores va a conducir a la in tegral de u n a función racional y la m ayor o menor com plejidad de los cálculos depende del denom inador, se selecciona el cam bio que hace m ás simple cl deno m inador, en este caso t = s e n x , con lo que c o s x = V I — t 2 y dx =

dt.

Sustituyendo, resulta

/

S

‘, I = / p ‘, í = / r 3 ‘a = S

E j e r c i c i o 6 . 1 5 . O bténgase

I =J

+ c =

senx

e o s x + cos° x

-

¿

+ c = - ü

é í + a

dx.

329

E je r c ic io s

R esu elto s

F u n d a m en to s

d e


S o lu c ió n . Se t r a t a de la integral de u n a función trigonom étrica de)tipo 6.7 . L a función /¿ (s e n x , c o s x ) = x es p a r en sena: y cosa:, y a que \ / ¿ ( —s e n x. —c o s í ) —

-s e n a :

.

- cosa: - eos 3 x

=

sena:

.

e o s x + eos 3 x

, — / ¿ ( s e n x. c o sa :).

Según la clasificación d ad a en 6 .7 , se considera el cam bio de variable t = tana: con lo que s e n x =

, 1 \i, c o s x = , \ ¡i y dx = 7 7 7 7 . Sustituyendo resu lta una T i + P ’ c o s x = 7 i+ í* y ^

integral racional. .

f

- J

dt

77+7? T

T

r

T

y

T

T

f

^

- /

t —

+ 2 dí

v\+t¿ r V v i + f v 2*

..

1 . ...

~

~

1

dt = 1 l n ( r + 2) + C = ¿ ln (ta n x + 2 ) + C.

- 1 1

L a función propuesta p a ra integrar es im par en s e n x y tam bién es im par en c o s x . Se propone al lecto r que calcule la integral con el cam bio t = c o s x .

J

E j e r c i c i o 6 . 1 6 . Determ inóse / =

dx t f x + y/x'

S o lu c ió n . L a función del integrando se racionaliza utilizando un cam bio de va riable que elimine a la vez las raíces cúbica y cu ad rad a, lo que se consigue consi derando el m ínim o com ún m últiplo de 3 y 2 , es decir m .c.m .(2 , 3 ) = 6 , y haciendo el cambio x = tQ, de donde dx = 6¿r>dt y se tiene la integral racional

Dividiendo los polinomios resulta

dt = 2>/x - Ztfx + 6

-

¿3

f

t2

3 - 2 + < - l n | í+ l

6 ln( \/ x + 1) + C.

E j e r c i c i o 6 . 1 7 . O bténgase I =

330

= 6

dx

1 VI + 4x —x2

C

INTJ0C5RACIÓN. A P L I C A C I O N E S

S o lu c ió n . Com o (x - 2 ) 2 = x 2 - Ax + 4 , se tiene que - x 2 + Ax + 1 = 5 - (x - 2 ) 2 y por tanto

/= /

J y/l

ÉL

-J

+ 4#

= are sen

f lx

>/ 5 - (x - 2) 2

Tí

-J

dx

C.

— =• V V5

Eli la tercera igualdad se ha dividido num erador y denom inador por y/S y la últim a integral es inm ediata (véase 6 .3 0 ).

3 2.

I n te g r a l d e f in id a . Á r e a s

E j e r c i c i o 6 .1 8 . O bténgase la siguiente integral definida a p a rtir d e la definición.

f (x + 2) dx. ______________________________________ Ai____________________________________________________

S o lu c ió n . Se realiza una partición del intervalo de integración en n subintervalos de longitud ^ y se considera la im agen de un punto de c a d a uno de estos subinter-

a

valos. P o r ejemplo si se selecciona el extrem o superior de ca d a uno de ellos serían los puntos con abscisa x = ¿ i p ara i = 1 , 2 , . . . , n y a p a rtir de la definición 6.8 do integral definida se tiono que

Veamos cuál es el valor del sum atorio. n

¿

3- / ( - ¿ ) = ¿ 3- ( - + 2) = n \n f ^ n \ n /

^ t

s

l

'

'

t

s

l

(i) 9

n■ (1 ) L a sum a

'

£

" '

9 ‘ + ¿

-

n¿ ^

t s

l

t s

l

n

=

9 A . 6n 2 + — n¿ ^ n t s

l

(1 + n ) n ^ g _ 9n + 9 ^ ^

2n

* = 1 + 2 + •••+ n se calcula por la fórm ula de la sum a de n

térm inos de u n a progresión a ritm ética dada por Sn =

3 31

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


Su&t itu yendo, resulta

/*3

/

(z + 2 ) ¿ r =

Jq

9??+ 9 9 21 lím q ± Í + 6 = ^ + 6 = ^ .

n -» c ©

¿

¿n

¿

E j e r c i c i o C .1 9 . O bténgase la derivada de la siguiente función sin calcular la integral. g (x )

=

r v + i ) ( # .

Jo

S o lu c ió n . Si consideram os las funciones 9 ( 2 ) = s e n z y F ( x ) = J q {í 2 + 1) dt, so observa que G os la com posición de estas funciones, es decir G (x ) = ( F o 9 ) ( z ) y por tan to b a sta aplicar la regla de la cadena y tener en cu en ta el teorem a fundamental del C álculo (véase 6 .9 ). Con ello, se tiene que

G'(x) = F'\g{x)] •g'{x) = (sen2 x + l ) c o s z . NOTA. Com o ejercicio sencillo, se propone al lecto r que haga la integral y derive la función resultante com probando que se obtiene el m ismo resultado. E j e r c i c i o 6 .2 0 . Estudíense los extrem os relativos de la función siguiente sin calcular la integral.

G {x ) =

J

i * r 2 —3aH -2

2 i di.

S o lu c ió n . Com o en el ejercicio anterior, G es la com posición de dos funciones, en este caso ,9 (2 ) = x 2 - 3 / + 2 y F ( x ) = / 0* 2 1 cf¿, con lo que G (x ) = ( F o g)(x) y se tiene la derivada siguiente C '( x ) = F , [g(x)] •< /(* ) = 2(x2 - 3 x + 2 )( 2 x - 3). E s ta derivada se anula si x 2 —3a:+ 2 = 0 o si 2x —3 = 0 , es decir, p ara x = 1, x = 2 y x =

Analizando los valores de la derivada se com prueba que G es decreciente

en los intervalos ( - 0 0 , 1 ) y ( § , 2 ), y es creciente en los intervalos ( 1 , § ) y ( 2 , + 0 0 ), en consecuencia G tiene dos mínimos relativos en x = 1 y x = 2 y un m áxim o relativo en x = \ . E j e r c i c i o 6 . 2 1 . D eterm ínese, m ediante integrales, el área del triángulo de lados

y = l l y = x e y = —2x + 6 .

332

IN TEC U A C IÓ N . A PLIC A C IO N ES

S o lu c ió n . Resolviendo los tres sistem as formados por las ecuaciones de cad a re cta con las o tra s dos, se obtienen fácilm ente los vértices del triángulo que son los puntos ( 1 , 1 ) , (|, l ) y ( 2 , 2 ) (véase la Figu ra 6 .1 ). P o r tan to , el á re a .4 del

Figura 6.1. triángulo es:

A= j ' x d x - j =

dx + J

( - 2 x + 6)c

Ix -

xdx + J \ - 2 x + ü)dx - J * dx =

J

dx +

|yj

[ - x 2 + 6 x ]* /2

- [x}\/2 =

E j e r c i c i o 6 .2 2 . O bténgase el área del recinto lim itado por el eje X , la roelas z = 0 y x = 3, y la gráfica de la función / (x ) = x 2 - 3 x + 2. S o lu c ió n . Resolviendo la ecuación x 2 — 3 x + 2 = O se obtienen los punios de corte de / con el eje X . que resultan ser x = 1 y x = 2. Com o / ( x ) > 0 en los intervalos [0,1] y [2,3], pero / ( x ) < 0 en el intervalo [1,2]. se tiene que el área es (véase la Figu ra 6 .2 ):

A=

f(x )d x -

V

3x 2

j

f(x)dx +

. l1

j

f(x)dx

x3

3x2

.3 "

2

2 + 2 *. 1

+

fx3

3x2

3

2

4- 2x ^

I

U 6

Obsérvese que. teniendo en cu en ta la sim etría de / respecto del eje X , por 6.2

333

[<' j R i t c i c

io n

R

e x iir l t o s

d k

F

M

u n o a m e n t o s

a t e m á t ic o

*

se tiene que / 2 [ - / ( z ) ] dx = - J ,2 f ( x ) dx y

x 2 —3x + 2 - x 2 + 3x - 2

\x2 - 3 x + 2| =

x < 1o x > 2 si 1 < x < 2.

si

L a función valor absoluto nos perm ite csciibir el área anterior con una única integral definida (véase la Figu ra 0 .3 ) > esto es: «•3

.4 = j

|x2 — 3 x + 2| dx.

Figura 6.2. Gráfica de f { x ) v x 2 - 3x 4- 2

Figura 6.3 Gráfica de f ( x ) = \x2 - 3 x + 2|

E j e r c i c i o 6 .2 3 . O bténgase el área del recinto com ún a los círculos de centros ( 0 ,0 ) y ( 1 , 0 ) y am bos de radio 1. S o lu c ió n . L as ecuaciones de los círculos que se han representado en la Figura 6 .4 son respectivam ente x 2 + y2 = 1 y (x - l ) 2 + y2 = 1. De la ecuación del prim er círculo se tiene, despejando, la función y = + v ^ l - x 2 que corresponde a la sem icircunferencia que e s tá por encim a del eje X y que es suficiente para resolver el problem a debido a las sim etrías, resultando

A =

a

J^ > / l - x ¿ dx.

L a raíz que aparece en el integrando se elim ina con el cam bio de variable

x = SC110, con lo que dx = eos 6 d6. P a r a los límites de integración se tiene que 0 = J s i x = 5 y 0 = £ p ara x = 1, con lo que se tiene (véase 6.12) 7T/2

c o s H d e 1' S i r ' 2 l ± ^ d í = 4 J 7T/« Jn /6

.4 = 4 f

334

1,

sen 26 * /2 = 2 tL _

26 + —

7T/«

3

2 '


Figura 6.4. Circuios do radio 1 y contros (0 ,0 ) y (1,0)

E li (1) se lia utilizado la igualdad eos2 6 = 1+c^s2* que se obtiene sum ando m iem bro a miembro las igualdades sen2 6 + eos2 6 = 1 y eos2 6 — sen2 6 = eos 20. E j e r c i c i o 6 .2 4 . Calcúlese cl área lim itada en el intervalo [a, 6], que se indica en ca d a caso, por las funciones definidas a continuación y cl eje X . ( a ) [a, 6 ] = [0,2] y

f(x) =

f x2

[ 2- x

si si

0 < x < 1 1 < a: < 2.

(íi) [a, 6] = [1,4] y r x2 S (z ) = < 3 (*-4 )2

si

1< x < 2

si

2 < x < 3

si

3 < z < 4.

S o lu c ió n , ( a ) Se com prueba fácilm ente que la función f , definida a trozos, es continua en cl intervalo [0,2] y c o rta al eje X en los puntos x = 0 y x = 2 (véase la F ig u ra 6 .5 ). P o r tan to , teniendo en cu en ta 6 .1 1 (c ) con c = 1, cl área A es:

.4 =

J

f(x)dx =

j

x 2 dx +

(2 - x ) dx =

IV

i

3 m0

r

+

2* " T

2

5

i

6

(ó) L a función g tam bién está definida a trozos pero ahora no es continua en los puntos c = 2 y d = 3 (com pruébese com o ejercicio calculando los límites laterales y véase la F ig u ra 6 .6 ). Sin em bargo se puede obtener cl área dividiendo cl intervalo de integración en tros trozos y aplicando de nuevo la propiedad 6 .1 t ( c ) .

335

E

j r

ftc ic io s

R e s u e lto s

d e F u n d a m e n to s


Figura 6.5. Con ello ko Liene el área A siguiente: *4

A =

J

/* 2

g(x)dx = J

i*3

x 2 dx + J

i*4

3

dx + J

(x —Í ) 2dx

Figura 6.6. E j e r c i c i o 6 . 2 5 . Hállese el valor del número real a > ü ta l que el área com pren dida entro las gráficas de las funciones f ( x ) = a x 2 — 1 y g ( x ) = —a x 2 + 1 es igual a 4.

336


S o lu c ió n . E l área del recinto que hay que calcular está representada gráficam ente en la Figu ra 6 .7 . P a r a obtener los puntos de corte de las dos paráb olas se resuelve

F i g u r a 6 .7 .

el sistem a form ado por sus ecuaciones y se tiene que

ax2 - 1 = - a x 2 + 1, 2ax2 = 2, x2 =

x = ± -^ ,

a

y/a

luego las parábolas se co rtan en los puntos cuya prim era coordenada e s i = ^

y

x=—

?=. P o r la sim etría de la figura, es claro que el área com prendida entre

am bas es igual a cu atro veces el área com prendida entre la gráfica de

y = 0, x = 0 y x =

g y las rectas

por ta n to , dicha á re a viene d ad a por 1

4

Jo

g(x) dx =

4

= 4

P o r consiguiente, b a sta h acer

(-ax2 +

Jo -a 6

1

3ay/d

1)

dx =

1

y/u)

x*

4

79

~aT 8

3^ /a

_

= 4 p a ra obtener el valor de a. O perando,

resu lta yfa = 3 y a = íj. E j e r c i c i o 6 . 2 6 . O bt 6 nga.se cl área del círculo de centro ( 0 , 0) y radio r.

S o lu c ió n . L a ecuación de la correspondiente circunferencia es

x2 + y2 = r2 y es

claro cjue el área del círculo es cu atro veces el área de la p arte del círculo que está

337

E jR fic ic io *



en el prim er cu ad ran te (véase la F ig u ra G.8). E n consecuencia el área es:

A = 4

r 2 - x 2 dx.

Figura 6.8. Circulo do ceutro (0,0) y nuiio r L a función irracional del integrando se racionaliza m ediante el cam bio do va» riable x = rso n 9. E n efecto, (Le = r e o s 9 <19 y, respecto a los límites de integración, p ara 2 = O c s 0 = O y p a ra x = r es 9 =

con lo que se tiene

»7T/ 2

A = 4. I

/*^/2

r c o s O •rcosOdO = 4 r 2 j

L

cos2 0 d 0

7T/2 A 2 r / 2 l + cos2e a 2 \1 . sen 20 = ;r r 2. = 4r 2 I g d$ = 4r 2 ^ + — — ./(I

0

3 .3 . I n t e g r a l e s im p r o p ia s E j e r c i c i o 6 . 2 7 . Estudioso si es finita el área lim itada por la función f ( x ) = e x y su asíntota horizontal y = 0 entre 0 e infinito. S o lu c ió n . L a función / es positiva y por tanto el área pedida, si existe (véase la F ig u ra 6 .9 ), será el resultado de la siguiente integral definida •+

A=

338

I

L

OC

e~x dx.


Figura 6.9. L a forma de op erar con e s ta integral, que es una integral im propia de prim era especie (véase 6 .1 3 ), es decir, que tiene un límite de integración no finito, consiste cn resolverla p a ra un lím ite superior t fijo, que luego p asará a ser una variable y calcular el límite cuando esa variable L tiende a infinito.

E j e r c i c i o 6 . 2 8 . Eslúdiese si es finita la integral definida

( а ) en el intervalo [0,1] de la función f ( x ) =

y

(б) cn el intervalo [0, 3] de la función f ( x ) =

S o lu c ió n , ( a ) L a función / es positiva en el intervalo dado y tiene por asín tota vertical a la re c ta x = 0 (véase la F ig u ra 6 .1 0 ). L a integral definida es / =

/ * >

J o Vx

.

L a form a de op erar con e s ta integral im propia de segunda espedo (véase 6 .1 3 ), consiste c a integrar p ara cad a € > 0 y luego calcular el lím ite cuando € tiende a cero, es decir.

339

E jR fic ic io *



Figura G.10.

x

(6 ) L a función / os positiva y continua en el intervalo dado salvo en el punto = 1 en donde presenta una asín tota vertical y si existe la integral será la suma

de dos integrales im propias de segunda especie (véase 6 . 1 3 y F ig u ra 6. 11), es decir, i

- l

^

r p

dx

i

= í l w ^ v “ +L

dx —I\ + ¡ 2-

Figura 6.11. Estudiem os las dos integrales por separado.

í\ = lím ím / " _____ * = dx = lím 3 ( z - l ) 1/3 = lím ( 3 < / a ^ T + 3 ) = 3 , c— JO a— *1“ a-*l+*l~ 1- Jo \/{x Z/ÜT-- l ) 2

3 1 0


h = lím ím /

3

b-*l+ Jb

.

1

= dx =

ty {x - l)2

lím 3 ( x - l ) 1/3] 6-H +

=

líin ( 3 < / 2 - 3 ^ 6 ^ T )

= 3^2,

::on lo que 8(; licuó que; 7 = 3 + 3v^2. E j e r c i c i o 6 .2 9 . Calcúlese, si es finita, el área limiUula por la función f ( x ) y su única asíntota. S o lu c ió n . L a función / es positiva y continua en R y tiene una asín to ta horizontal que es el eje X , es decir, la re c ta y = 0 (obténgase esta asín tota com o ejercicio). E n consecuencia (véase la F ig u ra 6 .1 2 ), el área, si es finita, será el resultado de la siguiente integral impropia.

/ +co

i

/ - oo 1 + * 2

7 +cc

dx = 2 /

Jq

1 7f 1 — i - _ dx = 2 lím / — i - _ dx 1 + Xt - > + o o j0 1 + X~

2 ¿ lím [ajotan s Jq = 2^ lím [ajotan £ - a jo ta n 0] = 2 ■ — = 7r.

Figura 6.12. E n la prim era igualdad se tiene en cu en ta la sim etría de la gráfica de / respecto del eje Y y cn la tercera que la integral es inm ediata (véase 6 .3 1 cn la lab ia de integrales).

3 41

[<'j R i t c i c

3 .4 .

io n

R

e x iir l t u s

d k

F

u n o a m e n t o s

M

a t e m á t ic o

*

I n te g r a le s d o b le s

E j e r c i c i o 6 .3 0 . Calcúlese f f D x y 2 dx dy en el dominio rectangu lar de lados paralelos a los ojos D = [2,3] x [0,1]. S o lu c ió n . Com o f ( x , y) = x y 2 es continua en R 2 y en particu lar en cl rectángulo de lados paralelos a los ejes [2,3] x [0, 1], se puede aplicar cl Teorem a de Fubini 6 .1 5 y resulta

E j e r c i c i o 6 .3 1 . P o r medio de una integral doble, calcúlese cl área del recinto D del plano definido como

S o lu c ió n . E l recinto D se h a representado gráficam ente en la Figu ra 6 .1 3 . El punto do co rle do la roela y = x + 6 con la paráb ola y = \x2 + 2. p a ra x > 0 se obtiene resolviendo cl sistem a formado por las dos ecuaciones anteriores, resultando x = 4.

>10

•t

•

F i g u r a 6.13.

342

I

10

11


E s claro que

y por tanto

r\ d

yo

Jo

v 1

fX+U

[J\ x 2+2

v

X*

+

2 ' 3 +

X*

J +

2

i*4 J

yo

/ /

v

Í X

E j e r c i c i o 6 .3 2 . P o r medio de una integral doble, calcúlese el área del recinto del plano lim itado p o r las funciones y = 2x. y = x 2 e y = 2 y del que un punto interior es ( 5 , 5 ). S o lu c ió n . E n la F ig u ra 6. 14 se representa el recinto. E s ta región o recinto del plano se puede expresar com binando las variaciones de las variables x e y de dos formas. Si analizam os prim ero la variación de la variable y, es claro que un punto

( x , y ) € D si 0 < y < 2 y p a ra cad a y fijo, la variable x v aría en horizontal de la re c ta a la p arábola, de ta l form a que

y

y = 2 z => z = - , e t / = z 2, z > 0 = > z = +y/y. Así pues,

( x , y ) € D & ti < y < 2 y ^ < x < +^/y y el á re a de D es la integral doble de / ( z , y) = 1 en D , que coincide con el volumen de un cuerpo de base D y a ltu ra con stan te uno. P o r lo tan to: A rea D =

2

2

343

E jR fic ic io *



Si, por cl con trario, se em pieza analizando la c r i a c i ó n de z , entonces hay que desconiponer cl recinto en dos, y a que los límites que corresponden a la variable y p ara cada valor de x no vienen dados p a ra todos los x por las m ism as funciones. E s decir, una prim era p arte del recinto e s tá lim itada superiorm ente por la gráfica do la fundón y = 2x c inferior m onte por la gráfica do la función y = x 2, m ientras que hay una segunda p arte del recinto 1indiada superiorm ente por la re c ia y = 2 e inferiorinenle por la gráfica de y = x 2, como se puede observar en la Figura 6.15.

Figura 6.14.

Figura G.15.

E stas dos partes nos obligan a calcu lar dos integrales dobles sobre los dos recintos que so dolorm inan a continuación. L a r e d a y = 2x y la re cta y = 2 se cortan en cl punto ( 1 , 2 ) y cl punto de corte de y = x 2 con la re c ta y = 2 os el punto ( > / 2 , 2). L a región D se descompone en las partos D i y D 2 , donde D i es cl conjunto de puntos ( z , y ) € R 2 tales que 0 < x < 1, x 2 < y < 2x y D 2 es cl conjunto de puntos ( x , y ) € R 2 tales que 1 < x < \/2, x 2 < y < 2- P o r tan to,

Obsérvese que esta segunda descom posición da lugar a un cálculo m ás tedioso.

344


E j e r c i c i o 6 .3 3 . L a función y = \nx c o rta a la re cta y =

cn l ° s puntos

( 1 , 0 ) y (e, 1). P o r m edio de una integral doble, calcúlese el área del recinto D del plano lim itado por dichas fundónos. S o lu c ió n . En la F ig u ra 6. 16 se han representado las funciones p ara las que se prueba fútilm ente que se cortan en lo punios indicados en el enunciado y sólo en ellos, p o r tan to los puntos del recinto D que lim itan están definidos com o sigue.

(x,y) e D o

£ 2. 1 < x < ey < y < lnx, 6 “ X

por tanto

A rca D =

Jj

dxdy —

J J

^ dy dx =

l_Ti dx

= J \ x d * - £ x - í dx. e - 1

Figura 6.16. L a segunda integral es inm ediata, veam os la prim era. Integrando por parles se tiene que p ara i¿ = l n x y d u = d x , c s d i ¿ = j c ¿ x y u = x y aplicando 6 .4 resulta:

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


en consecuencia.

A rea D = x In x - x]P i - ■* r J1 e- 1

T ~ x

= e ln e — e — ln 1 4 -1 —

1

(t2 T

e2 — 2e + 1

(e— l)2

2(e-l)

2(e-l)

1 " e “ 2 + 1

e—1

3 —e

NOTA. Tam bién se puede hallar la o tra integral iterad a, cam biando el orden. P a r a ello, y = lu x si y sólo si x = ey, e y = j z j si y sólo si x = (e - 1) y + 1, con lo que

Á rea D

=/ JO

/ Je*

Se deja al lecto r que term ine los cálculos por esta vía. E j e r c i c i o 6 . 3 4 . Calcúlese f j D / ( z , y) dx dy, donde / ( z , y) = y y D es la región del plano determ inada por el triángulo do vértices ( 0 , 0 ) , ( 2 , 0 ) y ( 3 , 3 ) . S o lu c ió n . P a r a poder delim itar el dominio de integración hay que obtener las ecuaciones de las rectas que pasan por los puntos (0, 0) y (3, 3) y por los puntos ( 2 , 0 ) y ( 3 , 3 ) , respectivam ente. L a re c ta que p asa por los puntos ( 0 , 0 ) y ( 3 , 3 ) es la bisectriz del prim er cuad ran te y tiene por ecuación y = x , y la que pasa por los puntos ( 2 , 0 ) y ( 3 , 3 ) tiene por ecuación y = - 6. E n la F ig u ra 0 . 1 7 so representa el dominio do integración D y al observarlo so deduce que os m ás conveniente tra ta rlo despejando la variable x en función do y. O perando de esa form a resu lta de la ecuación de la prim era re c ta x = y y de la ecuación de la segunda x = 2 ^ . E s decir que el dominio D se obtiene variando la y entre 0 y 3 y p ara cad a

3 4 6


valor de

y fijo

j í

variando la

x

entre

y

dxdy = r i

c

t*? [ i

= /

P o r lo lanío,

dy = vdx

f3

Jo

M±6

v[x]y3 dy

jf + 6

Jo

y

~ y ) d y = l j 0 (6 y ~ 2 y 2 } d y

6j/2

= 1 ( 2 7 - 1 8 ) = 3.

F i g u r a 6 .1 7 .

y

Si se (rab aja despojando

en función do s , hay que dividir cl dominio en dos

partes, una de ellas es la p a rte del dominio que está a co ta d a superiorm ente por la gráfica de la función

y

=

x

e infcriornicntc por la re cta

y

y la o tra p a rle del dominio e s tá a co la d a superiorm ente por la re c ia inforiorinonlc por la re cta y — 3x — 6 , con 2 < x < 3. Con ello so tiene,

J J Df{x,y)dxdy = j

^

ydy dx +

x < 2, y = x c

= 0 . con 0 <

dx

[< 'j R i t c i c i o n

R

e x iir l t o s

d k

F

u n o a m e n t o s

M

a t e m á t ic o

*

2

E j e r c i c i o 6 . 3 5 . Si D es la región del plano lim itada por las curvas y = ^

c

y = + > / § , calcúlese (a ) E l área de D por m edio de una integral doble. ( 4 ) f f D x sy d x d y . 2

S o lu c ió n , ( a ) Resolviendo el sistem a formado por las ecuaciones y =

e y =

se com prueba fácilm ente que se cortan en los puntos de abscisas x = 0 y

x = 2, de form a que el recinto D (véase la Figu ra 6 .1 8 ) e s tá definido por

Figura 6.18.

con lo que resulta

Á re a £ > =

JJ

dxdy =

j J^

dy

dx =

J [y]

_L

v/2 ' 3 / 2

-L 1

4v/2

7 1 ’ ~3

3 1 8

8

4

2 _ 2

12

3 _ 3

3

12


(6 )

E j e r c i c i o 6 .3 6 . Calcúlese / / D z s e n (;r 2)se n y t¿:r plano lim itada por las funciones y = x 2 c y =

donde D e s la región del

con x > 0.

S o lu c ió n . E l dominio de integración D se m uestra en la F ig u ra 6.19.

F i g u r a 6 .1 9 .

L a prim era coordenada del punto de co rle do las funciones y = x 2 y y = con x > 0, os x = Jr\f\> P o r lan ío, es claro que

D={ ( * , ! / ) £ « 2 : 0 <x < ¡j^,x2 < |

|

,

349

E je r c ic io s

R esu elto s

d e

F u n d a m en to s


con lo que resulta

J J 2 s e n (z 2)s e n y dx dy = J =J

x sen(x2) sen y dy

icscn(a;2) •[-eosj/]Jj dx = J

xscn(x2) ^-cos

+cos(x2)^ dx

fy /J = I x s e n ( x 2) c o s ( x 2) dx.

Jo

L a integral anterior se calcu la fácilm ente haciendo el cam bio de variable t = s e n ( x 2), con ello se tiene que dt = 2 z c o s (a 2) ¿ r , y £ c o s ( z 2) ¿ r = j . E l nue vo límite inferior de integración es sen (O2) = 0 y el nuevo límite superior es sen ( ( v T ) 2) = 1- *>or consiguiente, resulta que

f

Jo

x s e n ( x 2) c o s ( x 2) dx = f

i'

Jo

E j e r c i c i o 6 . 3 7 . Calcúlese /

/

— r d x d y , donde D es la región del plano

J Jdx + V

determ inada por la intersección dei círculo de cen tro (0, 0) y radio \/2 con cl conjunto { ( z , y) € R 2 : y > 1}. S o lu c ió n . E l dominio de integración es el conjunto

D = { ( x , y ) € R 2 : x 2 + jr2 < 2 , j r > l } que se representa en la F ig u ra 6-20. L a definición del dominio de integración y de la función / sugieren hacer un cam bio a coordenadas polares. Sea x = p e o s d e y = p s e n 6, p > 0, 0 € [0, 2tt], P u esto que los puntos de D pertenecen al círculo de centro ( 0 , 0 ) y radio y/2, se tiene p o r un lado que p2 co s2 0 + p2 sen2 0 < 2 ^ = ^ p 2 < 2

p
(recuérdese que eos2 0 + sen2 0 = 1) y com o los puntos de D tienen la coordenada

y > 1, resulta, por otro lado, que p s e n 0 > 1 « = > p > — r. sen 6

350


P a r a determ inar el intervalo cn el que varía 0, hay que calcu lar las coordenadas polares de los punios de intersección de la circunferencia do centro ( 0 , 0 ) v radio y/2 con la re c ta y = 1. P a r a estos puntos se tiene que p = \/2, y a que pertenecen a la circunferencia, y com o pertenecen tam bién a la re c ta y =

p&enQ = 1, es decir,

1 resulta que

= 1, o equivalentemente, 0 = are sen

lo que se

verifica p ara 0 = J y 0 = 2jt. P o r tan to , observando la figura, es claro que el dominio D en coordenadas polares viene dado por

D = { ( a 0) e R + x [0, 2tt] : J < 6 <

< p < v /2 }

Figura 6.20. P o r o tra parte.

ñ x
p sen 0

p sen 0

sen0

p 2 eos2 B + p2s cn2 B

y se tiene que (véase 6.16) 3*

! L,[z-

y) dx dy =

=

f ' ñ sen 0

/ ------- P¿P . senv P

í * s e n 0 [ p ] ^ _ dB = [ JJ San? JJ

= ^

-

Í

+ ^

3*

dB =

f- T

h

rsTl 1 sen B dp dB f i

/Sñ?

( \ / 2 s e n 0 - 1) rf0 = í - v ^ c o s 8 - 0 L

3*

T

+ í = 2 - f

3 51

[<'j R i t c i c

io n

R

e x iir l t o s

d k

J ' iin

d a m en t o n

M

a t e m á t ic o

*

3 .5 . V o lú m e n e s E j e r c i c i o 6 .3 8 . Calcúlese el volumen de la esfera de radio r .

S o lu c ió n . Si se considera la circunferencia de cen tro ( 0 , 0 ) y radio r (véase la F ig u ra 6/21) y se g ira sobre el eje X se tiene una esfera, que se m u estra en la F ig u ra 6 .2 2 . Com o la ecuación de esa circunferencia es x 2 + y2 = r 2, la gráfica que corresponde a valores positivos de y viene d ad a p o r y = -f\/V2 — x 2 y resulta (véase 6 .14)

V = nJ

(y /7 ^ )

dx = 2tt

r 2 - x 2) dx = 2?r

2

x *' r x ~ T

Eli la segunda igualdad se tiene en cuenta la sim etría de la figura respecto del eje

Y.

Figura 0.22. E j e r c i c i o 6 .3 9 . D eterm ínese el volumen del cono de a ltu ra h y base en un círculo de radio r. S o lu c ió n . Obsérvese
352

y se obtiene p ara 0 < x < h. E n consecuencia, el


Figura 6.24.

Figura 6.23. volumen del cono es (véase 6 .14)

V = 7T f Jo

( t 3^) dx = n-r^r f x 2dx = tt7i ! ¥ > n2 J o >

X *'

7vr2h

E j e r c i c i o 6 . 4 0 . O bténgase el volumen del cuerpo de revolución que se genera al girar sobre el eje X el trozo de la paráb ola f\x) = 3 x 2 - 6a; + 4 en el intervalo [0,2]._______________________________________________________________________________ S o lu c ió n . E n La F ig u ra 6 .2 5 se h a representado La paráb ola y en la F ig u ra 6.26 el cuerpo generado en el giro. P o r G.14, el volumen es:

V = 7TJ

(3 x 2 - 6 x + 4 ) 2 dx = n j

r q t^ =

n

— ---------9 a ;4 + 2 0 a ;

(9 x 4 - 3 6 x 3 + 6 0 x 2 - 4 8 x + 16) dx

. -

2 4 a ;2 +

16a;

4 8 7T

E j e r c i c i o 6 . 4 1 . Calcúlese el volumen dol sólido de revolución generado al girar la gráfica de la función f ( x ) = sena; + 2 con 0 < x < 2tt sobre el eje X . S o lu c ió n . L a gráfica de la función / en el intervalo [0 ,2 tt] se representa en la F ig u ra C.27 y el sólido de revolución que genera es el representado en la figura 6.28.

353

[<'j R i t c i c

io n

R

e x iir l t o s

d k

F

u n d a m en t o n

M

a t e m á t ic o

*

Figura 6.26. E l volumen del sólido (véase 6.14) viene dado por V = ?r / 7(1

(s e n x + 2 ) 2dx = ?r / 7o

f2n

sen2 x d x + 4 j

=

(sen2 x + 4 sen x + 4 ) i r

r¿n

sen xd x + 4 j

\ dx\ .

Si se utiliza la fórm ula trigonom étrica sen2 x = 1 °?s 2t p a ra la prim era inte gral, se tiene una integral inm ediata

f 2n

/ 7o

7

, sen x a x =

f 2n l - c o s 2 x ,

/ 7o

ar =

*

x

sen 2 x

2

4

2?r = 7T.

L as otras dos integrales tam bién son inm ediatas: ■27T

Jf'00 -

/•2’T

= 0 ; /

7o

dx = [ x ]q* = 2?r.

P o r tan to, V = 7r(7r + 4 •2?r) = 9tt2. E j e r c i c i o 6 . 4 2 . A l girar el círculo de centro ( 2 , 2 ) y radio 1 sobre el eje X se genera un sólido de revolución llam ado toro. Calcúlese su volumen.

354


Figura 6.27.

Figura 6.28.

S o lu c ió n . L a ecuación de la circunferencia dada es ( 3 — 2 ) 2 + (y — 2 ) 2 = 1 (véase la F ig u ra 6 .2 9 ). O perando y despejando la y resulta

f ¿ - 4 / + 4 + y¿ - 4y + 4 = 1, y2 - 4y + x 2 - 4 * + 7 = 0,

4 ± V 1 6 — Ax2 + 16z — 2 8 4 ± 2\J—x 2 -f 4 x — 3---------------,— -— ■------ y = --------------------^-------------------- = ---------------- 2 ---------------- = 2 ± v - x 2 + 4 r - 3, de form a (pie las dos funciones que delim itan cl círculo son

/ ( * ) = 2 + V - * 2 + 4s - 3

que corresponde a la sem icircunferencia que está por encim a del diám etro hori zontal y

g(x ) = 2 - > / - z 2 +43* - 3 (|uc corresponde a la sem icircunferencia que está por debajo de dicho diám etro. L a diferencia entre los volúmenes de los sólidos de revolución generados p o r la p rim era función y por la segunda en cl intervalo [1, 3] es cl volumen del toro (véase la Figu ra G.30).

355

[< 'j R l t C I C I O N

JÍK S T 1 R I.T O S

O R

F tlN IJA M

K N T O S

M

a

T R M ÍT IO U N

-1

Figura G.30.

Figura G-29. Teniendo en cu en ta 6. 14, resulta •3 "

V = * i

= ^h

k ( * ) ] 2) d x

^ ~ x2 J r ^X ~ ^

( ^

^ - V - x 2 + 4x - 3

dx

/*3

= 87r /

v —x 2 4- 4a: — 3 dx.

i ' j

Si se observa que —x 2 + 4x —3 = 1 — (x — 2 ) 2, el cam bio x — 2 = sen# nos perm ite eliminar la raíz cu ad rad a de la integral, y a que

y / l - (x - 2 ) 2 = \ / l - sen2 9 = eos 0. Con ese cam bio los límites do integración pasan a sor - f y f y dz = c o s 0 d 0 y se tiene que

*3 V = 87t

j

y/1 - (x - 2 ) 2 ¿¿r = 8tt J

2 eos*

Aplicando la fórmula trigonom étrica co s2 0 = Üsas-22, ^ tiene una integral i11ñus d iata y el resultado es

v

1,

7

356

sen 26

= Sn I 1 1 + m s 2 e i e = Sn 2 26 + — L

= 47T2 .


E j e r c i c i o 6 . 4 3 . D eterm ínese el volumen de un cilindro de a ltu ra h y ta l que el radio do 3U base es r . ( а ) Com o volumen de revolución. (б) P o r medio de una integral doble. S o lu c ió n , (a ) E l cilindro, com o cuerpo de revolución, mí genera al girar sobre el eje X el segm ento de la re cia y = r entre 0 y h (véanse las Figu ras 6.31 y 6 .3 2 ). con lo que aplicando 6 . 1 4 resulta

fh V = 77j

r 2d r = 7rr2^]2 = n r 2h.

Figura 6.31. (b)

Figura G.32.

L a integral doble que perm ite calcu lar el volumen es la siguiente (véanse

las Figuras 6 .3 3 y 6 .3 4 ):

V r^ P V

= 4/ Jo 1 / Jo

h dy

dx = 4 f Jo

dx = Ah f y / r 2 - x 2 dx. Jo

Haciendo el cam bio x = rs e n fl, resu lta y jr2 - x 2 = r e o s 6, dx = r c o s f l, p ara

357

E je r c ic io s



z = ü c s 0 = Oy p ara x = r es 6 = %, con lo que se tiene:

2l l ' 2

V = 4 r h*•

L '

eos

2* j*

A 2l

0d0 = 4r

A

f'2 1 + e o s 2 0

L

de

= 4 T*h \^9 + J sen 20 1 = 4 r 2h ■l ■í = n r 2h. o 2 2

F ig u r a 6 .3 4 .

NOTA. También se puede calcu lar la integral V = J J ^ h d x d y , donde D es el círculo de centro (0, 0) y radio r , pasando a polares (vóaso 6. 16) . E n efecto, se tiene la siguiente expresión p ara el círculo en eoordenadas polares:

D= { ( z , y ) € R 2 : y/x2 +y2< r j

= {(p ,

6) € R 2 : 0 < p <

r , 0 < 0 < 27t}.

P o r tanto

V «

/ / /idxdy =

= 2nh

358

J

= 7rr2ft.

j

hpdddp = h J

p[B]ord p = h

j

2npdp


3 .6 .

C á lc u lo d e lím ite s m e d ia n te in te g r a le s

E j e r c i c i o 6 . 4 4 . Calcúlense los siguientes límites. 1 + 23 + 33 n3( а ) ¿ i = lím -

nx 22 32

n -» o c n

(б) L ¿ = lím n->o© n

*1

2

n4

ü

.H

2n

hn

n

S o lu c ió n , (a ) E s claro que

L\ = lím — n - » o c rc

n - 1 -

+

n

n

+

-

+

+

+GDS

n—+oc pero entonces, observando el sum atorio, se puede considerar una partición del intervalo [0,1] en n subintervalos, todos de igual longitud £ y / ( c * ) =

(£ ) ,

es decir que según la definición 6 .8 , la su m a anterior es la integral definida de

f ( x ) = x 3 on el intervalo [0,1] y, on consecuencia,

L\ =

(6 )

x dx =

/

x 4*

1 4*

Si se descom pone la últim a n com o sum a de n unos se tienen cuadrados

do binomios com o sigue

¿2 =

lím —

n - » o o 71

22 n¿

n

‘ + i n

n*

32 T + n

6 , - + 1 n

2

2n

1

2

= lím — n-ôo n

=

lím y

n-*oc

im 1

-

M

-

+

1

h

2

= + i n

i ( ‘ + i

n \n

y, com o en el caso anterior, observando el sum atorio, se puede considerar una p artición del intervalo [0,1] en n subintervalos de longitud £ con / (ct ) = ( ^ + l ) , lo que según la definición 6 .8 es la integral definida de f ( x ) = (x + l ) 2 en el

359



F u n d a m en to s

d io


intervalo [0,1], es decir,

L2 =

f

(x + l ) 2 dx =

( z + 1)'

8 3*

7o E j e r c i c i o 0 .4 5 . Calcúlese cl siguiente límite.

L =

y/n

\fñ , \¡ñ

lím — n-*oo n

y/2

y/%

y/ñ_

’"

S o lu c ió n . E s (daro que 1

L = lím -

1

—p

n ^ d © Tí

H—

1 p

1

H—

p

+

. . . H--------

lím E

=

t» l V

í

y

i

V

?

i

i

TI

[i

V 5 .

.

Pero entonces, observando el suniatorio, se puede considerar una partición del intervalo [0,1] en n subintervalos de longitud £ y f ( c t ) = - 7 7 ’ ea decir que según la definición 6 .8 , la sum a anterior es la integral de f ( x ) =

en el intervalo [0,1].

Poro osa integral os una integral im propia de segunda especio y a que / no está aco tad a en el intervalo [0,1] (véase 6. 13) y, en consecuencia,

L = f

7o

—=. dx =

yjx

lím

1 1 / —^ dx =

£_»o+7€

Vx

e->lím 0+

lím (2 — 2\ fe) = 2.

[2 \ /5 1 1 =

€

€-*0+

E j e r c i c i o 6 .4 6 . Dem uéstrese que lím n—*o© n 2

+

i

1 n 2 + 22

1 n 2 + 32

n

7T

n2+ n2

4

S o lu c ió n .

n n n + n 2 + i 1 ri2 + 22 1 n 2 + 3 2

lím fwoe =

lím n-»o© n n

=

lím y n —» c o

3 6 0

i= l

n rc2 + rc2

n2

n2 n2 H— o + t í 2 H- 1 1 n 2 + 22 1 n 2 + 3 2 n 1 TV 1 = lím y rt-»OC n n2 + i2 n t= l

n* n2 + n2 1 i + íi


Observando el últim o sum atorio, de nuevo se puede considerar una partición del intervalo [0,1] en n subintervalos de longitud £ y con f ( c t ) = la definición 6 .8 es la integral definida de f ( x ) = decir,

y¿, lo que por

en el intervalo [0,1], es

^ - i —j dx = [a r c ta m ]¿ = ^ .

3 .7 .

In tegració n n u m érica

1 2 E j e r c i c i o 6 . 4 7 . Determínese* cl valor aproxim ado de J 0 t x dx considerando 5 divisiones del intervalo de integración. (a ) P o r la fórm ula de los rectángulos con rectángulos de a ltu ra igual a la imagen de los puntos medios de cad a subintervalo. ( b ) P o r la f ó r m u la d e lo s t r a p e c io s . S o lu c ió n . L a función f { x ) = ex

no tiene prim itiva elem ental, sin em bargo,

por ser continua en [0,1] existe la integral definida y el área correspondiente se puede aproxim ar por m étodos numéricos. P a r a ello se divide cl intervalo [0,1] en 5 subintervalos de la m ism a longitud 0,2. ( a)

P o r el m étodo de los rectángulos (véase 6. 17), considerando rectángulos

de a ltu ra igual a la im agen de los puntos medios (véase la F ig u ra 6 .3 5 ) resulta que:

= 0 ,2 • [ / ( 0 , 1 ) + / ( 0 , 3 ) + / ( 0 , 5 ) + / ( 0 , 7 ) + /( 0 ,9 ) ] = 0 ,2 • [e0-01 + e0'00 + e0-25 + e0'49 + e0-*1]

c* 0 ,2 • [1,0100 + 1 , 0 9 4 2 + 1 , 2 8 4 0 + 1 , 6 3 2 3 + 2,2479]

( b ) Por el m étodo de los trapecios se ap lica la fórm ula d ad a en

= 1,4537.

6 .1 8 . Com o se

puede com probar observando la figura 6 .3 6 , el m étodo de los trapecios proporcio-

361

[<'j R i t c i c

io n

R

e s u e l t o s

d k

F

u n o a m e n t o s

M

a t e m á t ic o

*

na, en este caso* una aproxim ación a la integral por exceso,

j| V

M

. [/(O) + 2 / ( 0 , 2 ) + 2 / ( 0 , 4 ) + 2 / ( 0 , 6 ) + 2 / ( 0 , 8 ) + / ( 1 ) ]

= 0,1 ■[e° + 2e0'04 + 2e°'w + 2c0’3® + 2e°’m + e1] ss 0.1 •[1 + 2 ,0 8 1 6 + 2 ,3 4 7 0 + 2,8667 + 3 ,7 9 3 0 + 2,7183] = 1,4807.

Figura 6.35,

Figura G.3G.

E j e r c i c i o 6 . 4 8 . O bténgase un valor aproxim ado de ln 6 a p artir de la integral definida f i ^ d x utilizando la regla de Simpson y dividiendo el intervalo de integración en 5 subintcrvalos. S o lu c ió n . Com o la integral es in m ediata (véase 6. 21) y ln 1 = 0, se tiene que

f ° - d x = [ln | * | ] ? = ln G - ln 1 = ln 6, J 1 X

de form a que se puede obtener un valor aproxim ado de ln 6 aproxim ando esta integral definida por alguno de los m étodos numéricos. A continuación se aproxim a ese valor p o r la regla de Simpson (véase 6.19).

362


Si se divide el intervalo [1,6] en 5 subintervalos de longitud 1, los extrem os de estos subintervalos y sus puntos medios y a ordenados todos ellos son xq = 1 , x\ = 1,5, X2 = 2, £ 3 = 2,5, . . xq = 5,5, x\o = 6 . A plicando la regla de Simpson, resu lta que:

ln 6 =

£

dx *

1

1 ■[ / ( I ) + 4 / ( 1 , 5 ) + 2 / ( 2 ) + 4 / ( 2 , 5 ) + 2 / ( 3 ) + 4 / ( 3 , 5 ) + 2 / ( 4 ) + 4 / ( 4 , 5 ) + 2 / ( 5 ) + 4 / ( 5 , 5 ) + / ( 6 )]

~ i •[1 + 2 ,6 6 7 + 1,000 + 1,6 0 0 + 0,6 6 7 + 1,143 + 0 ,5 0 0 + 0 ,8 8 9 + 0 ,4 0 0 + 0 ,7 2 7 + 0,167] = i • 10, 76 = 1,793,

E j e r c i c i o 6 . 4 9 . (a ) O bténgase J q

dx.

( 6 ) A p artir del resultado obtenido calcúlese un valor aproxim ado del núm ero n por la fórmula de los trap ecios con 1 U divisiones del intervalo. (c ) Lo mismo por el m étodo de Simpson con 5 divisiones, S o lu c ió n , (o ) L a función que aparece cn el integrando es in m ediata (véase C.31)

_ L _ dx = [aretanafó =

( b ) Si se divido el intervalo [0,1] en 10 subintervalos de longitud 0, 1, por la fórm ula do los trapecios 6. 18 se tiene que:

\=Si

T

T

^

dx-

"

¥

'

t / ( 0

)

+

2

/

( 0

, 1

)

+

2

/

(

0

’ 2 )

+

"

'

+

2

/

( ü

, 9

)

+

/ ( 1 ) ]

- 0,05 • [1 + 1,9802 + 1, 9231 + 1 , 8 3 4 9 + 1,7241 + 1,6000 + 1,4706 + 1 ,3 4 2 3 + 1, 2195 + 1, 1050 + 0,5] = 0,05 • 1 5 ,6997 = 0 ,7 8 4 9 8 , con lo que resu lta tt c* 4 •0 ,7 8 4 9 8 = 3, 1399. ( c) Si se divide el intervalo [0,1] en 5 subintervalos de longitud 0, 2, se pueden aprovechar los cálculos anteriores y a que los puntos m edios de estos subintervalos son los extrem os de la partición d ad a en el caso anterior. E n consecuencia, p o r la

363

E

je r c ic io s

R

e s u e l t o s

d e

F

u n d a m e n t o s

M

a t k m

At

ic o s

regla de Simpson (véase 6 .ID) con 5 subdivisiones, se tiene que:

4

Jo

1 + a-2

* ^

■[/(O) + 4 / ( 0 , 1 ) + 2 / ( 0 , 2 ) + 4 / ( 0 , 3 ) + . . . + 4 / ( 0 , 9 ) + / ( l ) ]

a ^

•[1 + 3 ,9 6 0 4 + 1, 9231 + 3 , 6 6 9 8 + 1, 7241 + 3 ,2 0 0 0 + 1,4706 + 2 ,6 8 4 6 + 1, 2195 + 2 ,2 0 9 9 + 0,5] = ^

con lo que resu lta n

•2 3 ,5 6 2 0 = 0,7 8 5 4 ,

4 •0, 7 8 5 4 = 3 , 1 4 1 6 .

E j e r c i c i o 6 .5 0 . O bténgase un valor aproxim ado do / =

eos (a:2 + 1) dx con

siderando 5 divisiones del intervalo de integración. (a ) Por la fórm ula de los trapecios.

(b) Por el m étodo de Simpson. S o lu c ió n , ( a ) P o r la fórm ula de los trapecios 6 .1 8 , dividiendo el intervalo [0,1] en cinco subintcrvalos do longitud k = ^

= 0 , 2 , so tiene que

[/(0) + 2/(0,2) + 2 /(0 ,4 ) + 2/(0,6) + 2 /(0 ,8 ) + /(1)] =

(6)

0 , 1 . [0,5403 + 1, 0124 + 0 ,7 9 8 7 + 0,4185 - 0 , 1 3 8 3 - 0,4161] = 0, 22155.

Dividiendo

el intervalo [0,1] en 5 subintcrvalos de longitud h = 0 ,2 y

utilizando la regla de Simpson 6 . ID se requieren adem ás los puntos m edios de lossubintcrvalos considerados en el caso anterior, es decir, los puntos X\

=

xq =

0,1, X 2 = 0,2, . . s o = 0,9, £10 = 1. Así pues, aplicando e s ta regla se tiene

que

[/(O) + 4 / ( 0 , 1 ) + 2 / ( 0 , 2 ) + 4 / ( 0 , 3 ) + 2 / ( 0 , 4 ) + 4 / ( 0 , 5 ) + 2 /(0,6) + 4 /(0 ,7 ) + 2/(0,8) + 4 / (0 ,9 ) + /(1)] & 0 ,0 3 3 3 3 • [0,5403 + 2, 1274 + 1, 0124 + 1,8499 + 0 ,7 9 8 7 + 1,2613 + 0 ,4 1 8 5 + 0 ,3 2 2 8 - 0 , 1383 - 0 ,9 4 7 7 - 0,4161] = 0 ,0 3 3 3 3 •6 ,8 2 9 2 = 0, 2276.

364

0,

El to d o contiene un a colección d e ejercicios y p ro b le m as resueltos en d e talle y s e a ju sta a l p ro g ram a d e la asign atu ra Fundamentos Matemáticos d e fas Teaioíogfasdeía información d e l G rado e n Ingeniería d e las Tecnologías d e la Inform ación y s e ha incluido un te m a ¡nidal d e p u e sta a l d ía y rep aso q u e s e c on sid era im portante p a ia p o d er se g u ir el curco. El conten ido s e estru d u ra en s e is tem as. En e l T em a i s e revisan a Igu n o s co nten ¡d o s d e cu rso s a nterio res re la tiw s a m atrices, d eterm in an tes y siste m a s d e e c u a d o n e s lineales. El T e m a 2 s e centra en e l estu d io d e la estructura d e e sp a c io vectorial, fu n d am en tal e n Á lg e b ra Lineal. El T em a 3 tra ta la s a p lic a a o n e s lin eales entre e s p e a o s v e d o ría le s l o s T e m a s ^ 5 y 6 s e d e d i o n a l Cálculo Infinitesim al e l T em a 4 a las funciones d e una v ariab le y e l T em a 3 a la s fu n d o n e s d e v a ria s \rariables Finalm ente, en e l T e m a ó s e desarrollan las técn icas b á sic as d e l cálculo integral.

B ie n v e n id o J i m é n e z y V ic e n te N o v o so n p ro feso res d e l D epartam ento d e M atem ática A p licad a I d e la UNED con u n a am p lísim a e x p e rie n a a d o cen te en la s m aterias d e á re a d e M atem ática A plicada. Su trab ajo d e i nvest igació n s e centra e n lo s pro b le m a s d e 0 ptim ización y d i rigen e l gru po d e inv e stig aaó n d e O ptim izaaón V e d o nal d e la UNED. L id ia H u e r g a e s investigadora e n e l m ism o D epartam ento y s e ha incorporado a l m ism o grupo.

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