Comparación De Métodos (1) 4c2m40

COMPARACIÓN DE MÉTODOS

MÉTODO DE JACOBI

MÉTODO DE GAUSS- SEIDEL

se utiliza el valor de las incógnitas para determinar una nueva aproximación.

se va utilizando los valores de las incógnitas recién calculados en la misma iteración, y no en la siguiente.

La base del método consiste en construir una sucesión convergente definida iterativamente

Método iterativo o sea que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera.

PASOS: - Primero se determina la ecuación. Se ordenan las ecuaciones e incógnitas. Segundo se toma una aproximación para las soluciones y a ésta se le designa con xo. - Tercero se itera el ciclo que cambia la aproximación.

PASOS:

- Primero se despeja la incógnita sobre la diagonal para cada una de las ecuaciones dadas. (x1 , x2 y x3) - Suponiendo que x2 y x3 son cero, se utiliza la ecuación (E.1) para calcular x1. - Luego este valor, junto con x 3 que sería igual a cero, se sustituyen en la (E.2) para encontrar x2. - La primera iteración termina al sustituir los valores calculados, x 1 y x2, en la ecuación (E.3) para tener el valor verdadero de x3. - Para la segunda iteración, se repite el mismo proceso para calcular x1, x2 y x3. - Para calcular el error porcentual de cada iteración se utiliza la ecuación E.4. que sería el valor de iteración

menos el valor calculado entre el valor de iteración. Se utiliza el valor de las incógnitas para determinar una nueva aproximación

Se va utilizando los valores de las incógnitas recién calculados en la misma iteración, y no en la siguiente.

Primer método ambos).

(entre

Es una modificación del método de Jacobi que hace que la convergencia sea más rápida.

Siempre converge siempre cuando sea estrictamente diagonal dominante.

Desventaja de que no siempre converge a una solución o a veces converge muy lentamente.

"creado"

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

Los métodos iterativos constituyen una alternativa a los métodos de eliminación descritos hasta ahora, para aproximar la solución. Aquellos métodos consistían en suponer un valor y luego usar un método sistemático para obtener una aproximación mejorada de la raíz. El método de Gauss-Seidel es el método iterativo más comúnmente usado. Suponga que se da un sistema de n ecuaciones: [ A ] { X }={ B }

El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel. Es muy semejante al método de Jacobi. Mientras que en el de Jacobi se utiliza el valor de las incógnitas para determinar una nueva aproximación, en el de Gauss-Seidel se va utilizando los valores de las incógnitas recién calculados en la misma iteración, y no en la siguiente. Existen varias técnicas que se pueden utilizar, para resolver grandes números de ecuaciones simultáneas, pero una de las técnicas más útiles es este método. Ninguno de los procedimientos alternos es totalmente satisfactorio y este método tiene la desventaja de que no siempre converge a una solución o que a veces converge pero muy lentamente. Sin embargo, este método convergirá siempre a una solución cuando la magnitud del coeficiente de una incógnita diferente en cada ecuación del conjunto, sea suficientemente dominante con respecto a las magnitudes de los otros coeficientes de esa ecuación. Es difícil definir el margen mínimo por el que ese coeficiente debe dominar a los otros para asegurar la convergencia y es aún más difícil predecir la velocidad de la convergencia existe. No obstante, cuando el valor absoluto del coeficiente dominante para una incógnita diferente para cada ecuación es mayor que la suma de los valores absolutos de los otros coeficientes de esa ecuación, la convergencia

está asegurada. Ese conjunto de ecuaciones simultáneas lineales se conoce como sistema diagonal. Un sistema diagonal es condición suficiente para asegurar la convergencia pero no es condición necesaria. La secuencia de pasos que constituyen este método es la siguiente: Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si es posible hacer una hipótesis razonable de éstos valores, hacerla. Si no, se pueden asignar valores seleccionados arbitrariamente. Los valores iniciales utilizados: 1. No afectarán la convergencia como tal, pero afectarán el número de iteraciones requeridas para dicha convergencia. 2. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para las otras incógnitas los valores supuestos. 3. Pasar a la segunda ecuación y determinar en ella el valor de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando el valor calculado para la incógnita del paso 2 y los valores supuestos para las incógnitas restantes. 4. Continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en cada ecuación particular, y utilizando siempre los últimos valores calculados para las otras incógnitas de la ecuación. Cuando la ecuación final ha ido resuelta, proporcionando un valor para la única incógnita, se dice que se ha completado una iteración. 5. Continuar iterando hasta que el valor de cada incógnita, determinado en una iteración particular, difiera del valor obtenido en la iteración previa, en una cantidad menor que cierto Ɛ seleccionado arbitrariamente. El procedimiento queda entonces completo. Refiriéndonos al paso 5, mientras menos sea la magnitud de Ɛ seleccionado, mayor será la precisión de la solución. Sin embargo, la

magnitud del Ɛ no especifica el error que puede existir obtenidos para las incógnitas, ya que ésta es una velocidad de convergencia. Mientras mayor sea la convergencia, mayor será la precisión obtenida en los incógnitas para un Ɛ dado.

en los valores función de la velocidad de valores de las

 Ecuaciones "necesarias" para la realización de este método: Despejando las ecuaciones suministradas por el problema:

(E.1) x 1=

Z +bx 2+ cx 3 a

(E.2) x 2=

Z +ax 1+ cx 3 b

(E.3)

x 3=

Z +ax 1+ bx 2 c

Para sacar el error porcentual en cada iteración: (E.4)

| |

ε=

xi− x x 100 xi

MÉTODO DE JACOBI

El método Jacobi es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales más simple y se aplica sólo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como ecuaciones. Es un método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo Ax=b . El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. La base del método consiste en construir una sucesión convergente definida iterativamente. El límite de esta sucesión es precisamente la solución del sistema. A efectos prácticos si el algoritmo se detiene después de un número finito de pasos se llega a una aproximación al valor de x de la solución del sistema. La sucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema A en la forma siguiente: A=D+ R

donde D, es una matriz diagonal y R, es la suma de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U, luego R = L + U. Partiendo de Ax = b, podemos reescribir dicha ecuación como: Dx + Rx = b Luego, x = D-1 (b - Rx (k))

Si aii ≠ 0 para cada i. Por la regla iterativa, la definición del Método de Jacobi puede ser expresado de la forma:

x(k+1) = D-1 (b - Rx (k))

donde k es el contador de iteración, finalmente tenemos:

xi

(k+1)

=

1 b − aij x (k) , i=1 ,2 , 3 , … j aii i ∑ j ≠i

(

)

Cabe destacar que al calcular xi(k+1) se necesitan todos los elementos en x(k), excepto el que tenga el mismo i. Por eso, al contrario que en el método Gauss-Seidel, no se puede sobreescribir xi(k) con xi(k+1), ya que su valor será necesario para el resto de los cálculos. Esta es la diferencia más significativa entre los métodos de Jacobi y GaussSeidel. La cantidad mínima de almacenamiento es de dos vectores de dimensión n, y será necesario realizar un copiado explícito.

La secuencia de pasos para resolver este método es:



Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para ello se ordenan las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se despeja la incógnita i. En notación matricial se escribirse como:

x = c + Bx donde x es el vector de incógnitas.



Se toma una aproximación para las soluciones y a ésta se le designa por xo.

 Se itera en el ciclo que cambia la aproximación: x + 1 = c + Bx . i

i

 PARA LA CONVERGENCIA: Uno de los principales problemas de los métodos iterativos es la garantía de que el método va a converger, es decir, va a producir una sucesión de aproximaciones cada vez efectivamente más próximas a la solución. En el caso del método de Jacobi no existe una condición exacta para la convergencia. El método de Jacobi siempre converge si la matriz A es estrictamente diagonal dominante y puede converger incluso si esta condición no se satisface. Para verificar la convergencia del método se calcula el radio espectral (ρ):

ρ (D-1 R) < 1 Es la condición necesaria y suficiente para la convergencia, siendo R = L + U . No es necesario que los elementos de la diagonal en la matriz sean mayores (en magnitud) que los otros elementos (la matriz es diagonalmente dominante), pero en el caso de serlo, la matriz converge.  MATRIZ DIAGONALMENTE DOMINANTE: Una matriz se dice matriz diagonalmente dominante, si en cada uno de los renglones, el valor absoluto del elemento de la diagonal principal es mayor que la suma de los valores absolutos de los elementos restantes del mismo renglón. A veces la matriz de un sistema de ecuaciones no es diagonalmente dominante pero cuando se cambian el orden de las ecuaciones y las incógnitas el nuevo sistema puede tener matriz de coeficientes diagonalmente dominante.

BIBLIOGRAFÍA

 http://datateca.unad.edu.co/contenidos/201002/AVA/Referencias %20Adicionales/Chapra.pdf  https://evflores.files.wordpress.com/2014/02/metodos-numericosaplicados-con-software-by-sholchlro-nakamura1.pdf  http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/a843-13.pdf  https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Jacobi  http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100401/MODULO_20132/leccin_18_mtodo_de_gaussseidel_y_ejercicios_del_capitulo.ht ml  http://es.slideshare.net/osorio1106/metodos-jacobi-y-gaussseidel

Universidad Tecnológica de Panamá

Facultad de Ingeniería Industrial

Licenciatura en Ingeniería Industrial

Métodos numéricos Laboratorio grupal "Investigación del Método de Gauss Seidel y Jacobi"

Elaborado por: Rodríguez, Isabella 8-928-63 Urieta, Chantal 8-929-732

Grupo: 1II121

Profesora: Giankaris G. Moreno R.

Fecha de entrega: 30 de septiembre de 2016 II SEMESTRE de 2016

INTRODUCCIÓN

Hasta estos tiempos los métodos indirectos y directos han tenido problemas con las aproximaciones y redondeos a una solución real. Existen los métodos iterativos, estos representan una alternativa potente para solucionar este problema de los redondeos ya que con esto se puede acercar más a la realidad o a una solución real esperada a medida que se itera, de manera que mientras más iteraciones haya, menor será el error. Para esto existen diferentes métodos que ayudan a minimizar estos errores a la hora de calcular. En este informe trataremos específicamente de los métodos Gauss-Seidel y de Jacobi donde podremos observar la utilidad de los métodos con ejemplos específicos de cada tema y la evaluación de efectividad de estos. Mientras que en un método se utiliza el valor de las incógnitas para determinar una nueva aproximación, en el otro método se va utilizando los valores de las incógnitas recién calculados en la misma iteración, y no en la siguiente.

.

CONCLUSIÓN

Luego de haber terminado con la investigación, podemos concluir que a diferencia de los métodos directos, en los cuales se debe terminar el proceso para tener la respuesta, en los métodos iterativos se puede suspender el proceso al término de una iteración y se obtiene una aproximación a la solución. Las técnicas iterativas se emplean rara vez para resolver problemas de dimensiones pequeñas ya que el tiempo requerido para lograr una precisión suficiente excede a las técnicas directas. Sin embargo, para sistemas grandes con un gran porcentaje de ceros, ésta técnica es eficiente. Para el caso de los 2 métodos que vimos en esta investigación, el método de Gauss-Seidel proporciona una solución más rápida que Jacobi ya que usa valores recién calculados en la solución de las incógnitas a calcular. La diferencia entre Gauss-Seidel y Jacobi es que, en este último, las mejoras a las aproximaciones no se utilizan hasta completar las iteraciones.