Il Calcolo Combinatorio 104yw

GILBERTO PERI

IL CALCOLO COMBINATORIO

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Indice dei contenuti

GLI INSIEMI E IL PRODOTTO CARTESIANO I RAGGRUPPAMENTI LE PERMUTAZIONI SEMPLICI LE PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE LE DISPOSIZIONI SEMPLICI LE DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE N FATTORIALE LE COMBINAZIONI I COEFFICIENTI BINOMIALI

GLI INSIEMI E IL PRODOTTO CARTESIANO

Il calcolo combinatorio è quella branca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordinare secondo date regole gli elementi di un insieme finito di oggetti [fonte Wikipedia]. L'insiemistica è quindi il punto di partenza per studiare il calcolo combinatorio.

Col termine INSIEME possiamo indicare un gruppo di oggetti o elementi eterogeneo se, e solo se, esiste una regola oggettiva che permette di decidere se l'oggetto è parte dell'insieme. Possiamo considerare esempi di INSIEME "i numeri naturali maggiori di 10" o "il totale dei giocatori di serie A" mentre NON sono insieme "le ragazze più carine della scuola" o "le materie più difficili del liceo classico". Gli oggetti che formano l'insieme vengono detti ELEMENTI. Un insieme può avere un numero finito di elementi ma anche infinito come ad esempio "l'insieme dei numeri dispari". Generalmente si tende a rappresentare graficamente gli insiemi con parti di piano delimitate da una linea chiusa. Questi grafici prendono il nome di diagrammi di Eulero-Venn (dal nome dei due matematici inventori di questa rappresentazione insiemistica). Gli insiemi vengono indicati con lettere maiuscole dell'alfabeto. In particolari gli insiemi numerici vengono così indicati: N = insieme dei numeri NATURALI Z = insieme dei numeri INTERI Q = insieme dei numeri RAZIONALI R = insieme dei numeri REALI C = insieme dei numeri COMPLESSI Gli elementi di un insieme vengono rappresentati graficamente con dei puntini all'interno dei diagrammi di Eulero-Venn e indicati con lettere minuscole dell'alfabeto.

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEGLI INSIEMI

Esiste anche l'insieme VUOTO ovvero privo di elementi. Si indica con uno zero spaccato.( ) Un esempio è "l'insieme formato dai triangoli con quattro lati". Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme si utilizza il simbolo a A (l'elemento a appartiene all'insieme A) Per indicare che un elemento NON appartiene a un insieme si utilizza il simbolo a A (l'elemento A non appartiene all'insieme A). Un metodo alternativo alla rappresentazione grafica per indicare gli insiemi e i suoi elementi è quello di scrivere tra parentesi graffe tutti gli elementi, separandoli con virgole, senza l'obbligo di seguire un ordine preciso. A = {a,e,i,o,u} (L'insieme A è composto dalle cinque vocali). Se gli elementi sono infiniti, bisogna scrivere un sufficiente numero di elementi tali da poter identificare anche i successivi: A = {2,4,6,8...} (L'insieme A è composto da tutti numeri pari) Un terzo metodo per rappresentare gli insiemi è quello mediante la proprietà tipica dell'insieme che ne identifica in maniera univoca tutti gli elementi. Per riprendere l'esempio precedente possiamo affermare che l'insieme di tutti i numeri pari si può anche scrivere come: A = {x tale che x è pari } (L'insieme A è composto da tutti i valori di x che sono caratterizzati dal fatto di essere pari.) Il simbolo per indicare "tale che" è una barretta verticale │ A = {x│x N e x è pari}

1 - QUALE DI QUESTI RAPPRESENTA UN INSIEME MATEMATICO? MOTIVA LA RISPOSTA - Gli alunni della 3C - I numeri maggiori di 10 - I multipli di 3 - I professori più bravi 2 - DATI 2 INSIEMI A = {a,e,i,o,u,} e B = {x,y,z} decidere se le seguenti affermazioni sono VERE o FALSE o A x B z A y A a A a B

3 - INDICA QUALI SCRITTURE SONO ERRATE [NB. Il simbolo e la sua negazione richiedono sempre un elemento a sinistra e un insieme a destra] a B b a b B

2 N A B 0 A 4 - RAPPRESENTA GRAFICAMENTE GLI INSIEMI A,B,C FORMATI DALLE LETTERE DELLE PAROLE "pallone", "cane", "aiuola". 5 - SCRIVERE LA RAPPRESENTAZIONE PER ELENCO DEI SEGUENTI INSIEMI a) I numeri naturali maggiori di 10 b) i numeri dispari maggiori di 30 c) I multipli di 7 d) I numeri primi compresi e uguali tra 0 e 13 6 - DATA LA PROPRIETA' CARATTERISTICA, SCRIVERE GLI INSIEMI IN FORMA TABULARE (PER ELENCAZIONE) A = {x│x è una lettera della parola "imperatore"} A = {x│x è un paese confinante con l'Italia} A = {x│x è una delle prime 5 lettere dell'alfabeto}

Analizziamo ora i SOTTOINSIEMI. Con questo termine indichiamo che un insieme B ha tutti gli elementi appartenenti anche ad A. Si scrive in questo modo: B ⊑ A e si legge B è sottoinsieme di A. Questa è la rappresentazione grafica:

B SOTTOINSIEME DI A

Nella rappresentazione grafica vediamo che: A = {1,2,3,4,5,6,7,8} B = { 2,3 } Quando due insiemi hanno gli stessi elementi sono UGUALI A = B Due insiemi con elementi diversi sono detti DISUGUALI A ≠ B Se notiamo con attenzione possiamo vedere che se A = B allo stesso tempo B è sottoinsieme di A ed A è sottoinsieme di B. Se A ha degli elementi che non fanno parte di B (come nella figura precedente) allora diremo che B è un sottoinsieme PROPRIO di A ed è STRETTAMENTE INCLUSO in A. ( B A ) I sottoinsiemi IMPROPRI sono l'insieme stesso e l'insieme vuoto, ovvero: A ⊑ A e ⊑ A

1 - DATI GLI INSIEMI A = { 1,2,3,4 } B = { 2,3,5 } C = { 2,3,4,7,9 } STABILIRE SE LE AFFERMAZIONI SONO VERE O FALSE {1,3 } ⊑ A {9,2,7 } ⊑ C B ⊑ A B ⊑ C A ⊑ C

2 - DATO L'INSIEME A = {2,4,6,8} AFFERMARE SE LE SEGUENTI AFFERMAZIONI SONO VERE 8 ⊑ A [NB. alla sinistra del simbolo deve esserci un insieme o la sua rappresentazione e non un elemento] 2 A { 2,3 } ⊑ A { 8 } ⊑ A { 24:3 } ⊑ A { x tale che x N, x<10 e x è pari} ⊑ A

Continuiamo il viaggio verso il prodotto cartesiano introducendo le operazioni tra gli insiemi. La prima operazione è L'INTERSEZIONE. Si dice intersezione tra due elementi A e B l'insieme formato dagli elementi che appartengono ad A e B contemporaneamente. Si scrive in questo modo: A ∩ B e si legge A intersezione B A ∩ B = {x│x A e x B }

INTERSEZIONE TRA INSIEMI

Nella figura l'intersezione tra gli insiemi A = {1,2,3,4,5,6} e B = {1,7,8,9} ci dà come risultato l'insieme C formato da un solo elemento in comune ad entrambi. C = {1} Se i due insiemi NON hanno alcun elemento in comune, la loro intersezione sarà uguale all'insieme vuoto e si diranno INSIEMI DISGIUNTI. A ∩ B =

A INTERSEZIONE B uguale INSIEME VUOTO

Esiste anche il caso limite in cui B sia sottoinsieme proprio di A. Il risultato dell'intersezione tra A e B sarà proprio uguale all'insieme B.

1 - SIANO DATI TRE INSIEMI: A = {x R│x ≥ -√2} B = {x R│x < 7/2} C = {x R│3,4 ≤ x < √20} Vorrei calcolare l'intersezione tra i tre insiemi: A ∩ B ∩ C [NB - IN QUESTO CASO NON CONVIENE RAPPRESENTARE GLI INSIEMI CON I DIAGRAMMI DI VENN MA ESSENDO INSIEMI DI NUMERI REALI E' MEGLIO RAPPRESENTARLI ATTRAVERSO LA CORRISPONDENZA CON I PUNTI DI UNA RETTA, COME SI E' SOLITI FARE PER DISCUTERE AD ESEMPIO IL SEGNO IN UNA DISEQUAZIONE FRATTA] [R. A ∩ B ∩ C = {x R│3,4 ≤ x < 7/2 }

Una nuova operazione tra gli insiemi è L'UNIONE. L'insieme tra A e B ci dà come risultato un insieme formato da tutti gli elementi appartenenti ad A o a B. Gli elementi comuni a tutti e due gli insiemi vengono presi una volta sola. Nella teoria degli insiemi A unito B si scrive in questo modo: A B

A unito B

La terza operazione è la differenza, indicata con A - B. Si dice differenza tra due insiemi A e B l'insieme formato dagli elementi di A che non sono anche elementi di B. Graficamente possiamo rappresentare così la differenza:

Differenza A - B

Siamo finalmente giunti al PRODOTTO CARTESIANO. Per definizione, il prodotto cartesiano tra due insiemi ordinati A e B è dato da tutte le coppie ORDINATE in cui il primo elemento appartiene ad A e il secondo elemento appartiene a B Il prodotto cartesiano si indica con A x B A x B = {x ; y │ x A e y B } E' importante capire che l'ordine è fondamentale nel prodotto cartesiano. Se abbiamo l'insieme A = {1,2,3} e B = {a,b} il prodotto cartesiano A x B sarà: A x B = {(1;a),(1;b),(2;a),(2;b),(3;a),(3;b)} che è totalmente diverso da B x A (il prodotto cartesiano non è un'operazione commutativa. Quando in geometria analitica assegniamo delle coordinate per localizzare un punto sul piano cartesiano, non stiamo facendo altro che un prodotto cartesiano tra i valori della x e quelli della y. In questo caso specifico il prodotto cartesiano è dato dall'insieme R dei numeri reali come possibili valori della x per l'insieme R dei numeri reali come possibili valori della y. (R x R) Tutto questo discorso sugli insiemi ci ha condotto al prodotto cartesiano, punto di partenza del calcolo combinatorio. Vedremo che le prime applicazioni saranno risolte proprio grazie all'uso di questo metodo matematico. E' stato quindi un dovere per il lettore riare queste nozioni di insiemistica per evitare incomprensioni nel prosieguo del corso.

I RAGGRUPPAMENTI

Ci troviamo seduti in un ristorante e vogliamo scegliere cosa mangiare. Osserviamo il menù e notiamo che la scelta può avvenire tra 3 primi, 2 secondi e 2 dessert. In quanti modi possiamo scegliere un pranzo completo, avendo deciso di mangiare un primo, un secondo e un contorno? Rappresentiamo primi, secondi e contorni con tre insiemi P,S e C e chiamiamo i suoi elementi p1,p2,p3, s1,s2, c1,c2. P = {p1,p2,p3} S = {s1,s2} C = {c1,c2} Determiniamo il numero possibile delle scelte svolgendo il prodotto cartesiano dei tre insiemi, creando così tutte le terne ordinate possibili: P x S x C = {(p1;s1;c1), (p1;s1;c2), (p1;s2;c1), (p1;s2;c2), (p2;s1;c1), (p2;s1;c2), (p2;s2;c1), (p2;s2;c2), (p3;s1;c1), (p3;s1;c2), (p3;s2;c1), (p1;s2;c2)} In totale sono 12 possibili scelte. Un metodo molto interessante per visualizzare i possibili raggruppamenti è attraverso un grafico detto DIAGRAMMA AD ALBERO, utile sopratutto quando gli elementi non sono troppo numerosi. Percorrendo ogni singolo ramo possiamo determinare un raggruppamento. Questo è il diagramma ad albero dell'esempio precedente.

diagramma ad albero

Come si vede facilmente, in totale vi sono 12 possibili rami da percorrere. Possiamo generalizzare dicendo che il numero di raggruppamenti possibili altro non è che il prodotto della cardinalità dei vari insiemi. Se A è composto da x elementi, B da y elementi, C da z elementi e così via, il totale dei raggruppamenti possibili è dato da x * y * z ... Nell'esempio precedente essendo la cardinalità di P pari a 3, di S pari a 2 e di C pari a 2 otteniamo il valore totale pari a 3 *2 * 2 = 12 e ogni raggruppamento è formato da 3 elementi ordinati presi da P,S e C.

Divertiamoci con qualche esercizio. I primi li faremo insieme e gli altri riuscirete a svolgerli in autonomia. 1 - Oggi piove e fa freddo. Dobbiamo quindi indossare cappello, guanti e cappotto. Aprendo l'armadio ci accorgiamo di avere a disposizione 3 cappelli diversi, 3 paia di guanti e 2 cappotti. In quanti modi possiamo vestirci? R. Possiamo realizzare un diagramma ad albero oppure lavorare sulla sola matematica. Creiamo tre insiemi e moltiplichiamo le loro cardinalità (numero di elementi di ogni insieme). 3 * 3 * 2 = 18 (raggruppamenti totali possibili) 2 - Disponiamo di 5 carte di cuori e 3 carte di quadri. Quante coppie possiamo ottenere con una carta di cuori e una di quadri? R. Il prodotto cartesiano tra i 2 insiemi, formati da 5 e da 3 elementi, ci restituisce 15 coppie ordinate. 5 * 3 = 15 3 - Per il ballo di fine anno ci sono 25 donne e 5 uomini. Quante sono le possibili coppie? R. 25 * 5 = 125 4 - Se le targhe auto fossero formate da 5 cifre, da 0 a 9, quanto macchine si potrebbero immatricolare? R.10⁵

LE PERMUTAZIONI SEMPLICI

Le permutazioni semplici di n elementi distinti sono tutti i gruppi formati dagli n elementi, che differiscono per il loro ordine. Un esempio servirà a schiarire le idee: Abbiamo tre lettere dell'alfabeto: A, B, e C. In quanti modi possiamo metterle in fila?? Rappresentiamo le possibili opzioni con un diagramma ad albero

DIAGRAMMA AD ALBERO

Si vengono così a formare 6 terne, dove compaiono tutti e tre gli elementi ma con ordine diverso. Nel calcolo combinatorio possiamo dire di avere realizzato una PERMUTAZIONE SEMPLICE di tre elementi. P 3 = 6 infatti: come prima scelta abbiamo tre possibilità. Come seconda scelta ne abbiamo due, qualunque sia stata la prima. Per la terza scelta ne abbiamo una sola. In termini matematici possiamo scrivere ciò come 3 * 2 * 1 = 6. Analizziamo un altro esempio: Sia dato l'insieme A = {1,2,3,4}. Quanti numeri con quattro cifre distinte possiamo realizzare? Seguiamo esattamente lo stesso ragionamento fatto nell'esercizio precedente. La prima cifra si può scegliere tra le 4 disponibili. La seconda tra le tre rimaste. La terza tra due e la quarta con l'ultima disponibile. In termini matematici 4 * 3 * 2 * 1 = 24 Un altro esempio: A teatro ci sono 5 persone e 5 posti disponibili. In quanti modi possono sedersi? La risposta è ormai semplice: 5 *4 * 3 * 2 * 1 = 120 Come avrete notato le permutazioni semplici di n elementi si calcolano moltiplicando il numero degli elementi per il numero precedente, fino ad arrivare ad 1. Questo si può scrivere genericamente come P n = n ( n-1) (n-2) (n-3)....(n-n+1)

Questa particolare funzione in matematica si indica con n! e si chiama n fattoriale (la analizzeremo meglio più avanti). La funzione fattoriale cresce vertiginosamente all'aumentare di n: 2! = 2 * 1 = 2 3! = 3 * 2 *1 = 6 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040 8! = 8 * 7 *6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362880 10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3628800 P n = n! con n ≥ 2

1 - Calcolare le possibili permutazioni semplici di 6 elementi, P 6 R. [720] 2 - Calcolare la seguenti espressioni P 7 - P 5; (P 6 - P 5) / P 3; R.[4920; 100] 3 - Dobbiamo disporre in fila 7 bambini. In quanti modi possiamo disporli? R.[5040] 4 - Nella gara dei 100 metri partecipano 8 corridori. In quanti modi possono arrivare al traguardo? R. [40320] 5 - Quanti anagrammi, anche senza significato, si possono fare con la parola CANE. R. [24] 6 - Abbiamo 5 bambini, 3 ragazzi e 2 ragazze. In quanti modi possiamo metterli in fila sapendo che le ragazze devono stare sempre prima dei ragazzi? R.[2! * 3! = 12] 7 - Abbiamo 5 bambini e 4 bambine da disporre in fila. In quanti modi potremmo disporli sapendo che i bambini vogliono stare vicini tra loro e lo stesso vale per le bambine? R.[5760]

LE PERMUTAZIONI CON RIPETIZIONE

Le permutazioni con ripetizione di n elementi di cui h,k... ripetuti sono date da tutti i gruppi formati dagli n elementi distinti diviso le permutazioni possibili degli elementi ripetuti. P n(h,k...) = n! / (h! *k! *...) Un esempio renderà tutto più semplice: Prendiamo la parola MAMMA e analizziamo quanti anagrammi, anche senza significato, possiamo realizzare: la risposta è 5! Questo è vero, ma solo nel caso in cui considerassimo le 3 M come tre lettere differenti. Quindi l'anagramma AAMMM sarà diverso da AAMMM. Se invece riteniamo indistinguibili gli anagrammi ripetuti, dobbiamo applicare la formula per cui n! va diviso per il fattoriale degli oggetti ripetuti ( in questo caso 3 oggetti). P 5 (3) = 5! / 3! = 120 / 6 = 20 La formula si legge: "permutazioni di 5 elementi di cui 3 ripetuti". Un altro esempio: Al teatro vi sono 4 sedie vuote e 2 persone che si devono sedere. In quanti modi si possono sedere? Consideriamo le due sedie vuote come 2 elementi ripetuti. Avremo quindi che n=4 e h=2. Sostituiamo i valori nella formula e otteniamo P 4 (2) = 4! / 2! = 12

1 - Quanti anagrammi si possono fare con la parola SASSO in totale e quanti senza considerare le ripetizioni delle S. R.[5! 20] 2 - Quante permutazioni semplici e con ripetizione si possono ottenere con le parole CARRO e RAMARRO R. [120;60] [5040;420] 3 - Abbiamo 4 palline rosse e 10 gialle. Quante sono le permutazioni con ripetizione possibili? R.[210] 4 - Ci sono 4 uomini 3 donne e 1 bambino. In quanti modi possono mettersi in fila sapendo che il bambino deve essere sempre il primo e le permutazioni sono con ripetizione ( ovvero si considera distinta solo la posizione tra uomo e donna). R. [35] 5 - Quanti anagrammi, anche senza senso, si possono fare con la parola ATTREZZO? Quanti di essi iniziano con la A? Quanti iniziano con la A e finiscono con ZO? R. [10080; 1260; 60]

LE DISPOSIZIONI SEMPLICI

Nei Raggruppamenti ci siamo occupati di più insiemi. Vediamo ora cosa succede considerando un solo insieme e introduciamo le disposizioni semplici. Ci sono tre macchine ma solo due parcheggi disponibili. In quanto modi possiamo occupare i due posti auto? Rappresentiamo il tutto con un diagramma ad albero: A = {1, 2, 3}

diagramma ad albero

In tutto abbiamo 6 possibili combinazioni: (1;2)(1;3)(2;1)(2;3)(3;1)(3;2) Chiameremo questi raggruppamenti come DISPOSIZIONI SEMPLICI. In questo caso particolare diremo DISPOSIZIONI SEMPLICI DI 3 OGGETTI di CLASSE 2. La classe indica di quanti elementi è formato ogni gruppo.j D n,k Nell'esempio precedente : D 3,2 Generalizziamo la formula per trovare il numero totale di disposizioni semplici di n oggetti e classe k: D n,k = n (n-1)(n-2)...(n-k+1)

1 - In una gara motociclistica partecipano 10 moto. In quanti modi possono classificarsi i primi 3? Abbiamo un insieme di 10 elementi di classe 3. D 10,3 = 10 * (10-1)(10-2) = 720 2 - Quante targhe di auto possiamo realizzare se ogni targa è composto di 4 cifre, 2 numeri da 0 a 9 e due lettere dell'alfabeto italiano, In questo caso dobbiamo MOLTIPLICARE due diverse disposizioni: D 10,2 * D 21,2 = 10 * 9 * 21 * 20 = 37800 3- In quanti modi 8 persone possono sedersi in 6 posti? R. [20160] 4 - Quante parole anche prive di significato formate da 3 lettere possiamo scrivere con le 5 vocali a,e,i,o,u? R. [60]

LE DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE

Le disposizioni con ripetizione sono un concetto semplice del calcolo combinatorio. La formula grezza per determinare il loro numero è D' n,k = nk

Le disposizioni con ripetizione di n elementi di classe k, sono tutti i gruppi di k elementi, anche ripetuti, scelti tra gli n, che differiscono per almeno un elemento o per il loro ordine. Vediamo qualche esempio: Se prendiamo due lettere dell'alfabeto italiano, quante coppie di lettere,anche ripetute, possiamo formare? Avremo 21 oggetti totali di classe 2. Il totale delle coppie è 21². Le targhe delle auto italiane sono formate da 2 lettere dell'alfabeto inglese (26 lettere), tre cifre composte di numeri da 0 a 9 e altre 2 lettere dell'alfabeto inglese. Quante macchine possiamo immatricolare in tutto? Per le prime due lettere abbiamo 26 oggetti di classe 2. Per le tre cifre abbiamo 10 oggetti di classe 3. Per le ultime due cifre abbiamo ancora 26 oggetti di classe 2. D' = 26² * 10³ * 26² = 456976000 Semplice vero? Adesso prova tu!

1 - Lanciando 3 volte lo stesso dado quante disposizioni con ripetizioni otteniamo? R. [6³] 2 - sia dato l'insieme P = {1,2,3,4,5}. Quanti numeri di 2 cifre, anche ripetute, possiamo formare? R. [5²] 3 - Dobbiamo decidere un nuovo codice PIN per il telefono. Il codice è composto da 5 cifre anche ripetute. Quanti sono i possibili codici? R. [10⁵] 4 - Quanti numeri pari di 2 cifre si possono scrivere utilizzando le seguenti cifre A = {1,2,3,5} R. come prima cifra possiamo scegliere un elemento qualsiasi dell'insieme A. Abbiamo quindi 4 possibilità. Come seconda cifra siamo costretti a scegliere un elemento pari. In questo caso solo il 2, ovvero una possibilità. Il loro prodotto dà 4 cifre pari in tutto.

N FATTORIALE

Abbiamo già incontrato la funzione n! (n fattoriale) n!= n (n-1) (n-2)...*3 *2 * 1, con n>1 Inoltre: 1! = 1 0! = 1 Ad esempio: 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 Il fattoriale ha la precedenza rispetto alla moltiplicazione. Ad esempio 5 * 3! = 5 * (3!) = 5 * (3 * 2 * 1) = 30 Valgono inoltre due importanti proprietà: n! = n * (n-1)! (n+1)! - n! = n * n!

...

1 - Risolvere le seguenti funzioni 6! 4! 7 * 6 * 5! 4! / 2! 7! / 7 310! / 309! 9! - 8! [R. 8 * 8!] 6! - 5! 4! - 4!

Abbiamo visto che le PERMUTAZIONI SEMPLICI sono date dalla formula P = n! Allo stesso tempo abbiamo studiato le disposizioni semplici di n oggetti di classe k come

D n,k = n * (n-1) (n-2)...(n-k +1) Utilizzando la funzione n fattoriale possiamo calcolare le disposizioni semplici D n,k = n! / (n - k)! Questa formula giustifica la convenzione per cui 0! = 1 La permutazione semplice è equivalente ad una disposizione in cui il numero degli oggetti è lo stesso della classe. Quindi n = k D n,n = n! / (n-n)! = n! / 0! Essendo D n,n = Pn = n! dovrà essere anche n! / 0! = n! e quindi 0! = 1

LE COMBINAZIONI

Le combinazioni di n elementi di classe K sono tutti i gruppi di k elementi scelti tra gli n, che differiscono per almeno un elemento ma non per l'ordine:

Numero Combinatorio

Avendo un insieme di partenza con n elementi, in quanti modi diversi posso scegliere un sottoinsieme che abbia k elementi? Questa è la domanda punto di partenza per le combinazioni semplici di n elementi di classe k. Il simbolo tra parentesi tonde viene detto Coefficiente binomiale (fate attenzione! tra la n e k NON vi è il segno di frazione!). E' importante capire la differenza tra DISPOSIZIONI e COMBINAZIONI. Nelle Disposizioni conta anche l'ordine in cui sono scelti i k elementi, mentre nelle combinazioni NON CI INTERESSA ASSOLUTAMENTE DELL'ORDINE.

1 - In una classe ci sono 10 ragazzi e 7 ragazze. Bisogna formare una rappresentanza scolastica composta da 6 ragazzi e 3 ragazze. In quanti modi su può fare? R. [ I ragazzi sono 10 e ne dobbiamo scegliere 6. Quindi il coefficiente binomiale sarà formato da n=10 e k=6. Per quanto riguarda le ragazze n=7 e k=3 La formula risolutiva è data da C 10,6 * C 7,3 = 10! / [6! (10-6)!] * 7! / [3! (73)!] = 7350 ] 2 - Calcolare le seguenti combinazioni semplici C 10,4 = C 9,7 = C 8,5 = 3 - Quante quaterne si possono fare con i 90 numeri del lotto?? R. [2555190] 4 - Quanti ambi si possono fare con i 90 numeri del lotto?? R.[4005 ] 5- Quanti sono i sottoinsiemi di 3 elementi presi da un insieme di 6? R.[20]

I COEFFICIENTI BINOMIALI

I coefficienti binomiali concludono la trattazione del calcolo combinatorio. Innanzitutto ricordiamo la formula:

Il coefficiente binomiale

Il coefficiente binomiale ci fornisce il numero dei sottoinsiemi di classe K (ovvero composti da k elementi) che possiamo formare partendo da un insieme iniziale di n elementi. Ricordiamo poi che:

Il nome COEFFICIENTE BINOMIALE deriva dal fatto che i suoi valori, con k variabile tra 0 ed n, sono i coefficienti dello sviluppo della potenza ennesima di un binomio:

Se n = 0 allora (A+B) = 1 Se n=1 allora (A+B) ¹ = A+B Se n=2 allora (A+B) ² = A² + 2AB + B² Se n=3 allora (A+B) ³ = A³ + 3AB² + 3A²B + B³ Possiamo notare che sviluppando le potenze di binomio otteniamo un polinomio di grado n con n+1 termini. La somma degli esponenti di ogni termine è sempre pari ad n. Un metodo veloce per calcolare i coefficienti è tramite il triangolo di TARTAGLIA:

Facciamo l'esempio di voler sviluppare (x+2) ⁴ = I coefficienti per n=4 sono 1 – 4 – 6 – 4 – 1: dobbiamo moltiplicarli per le potenze decrescenti di x, partendo da x⁴ fino a x , e per potenze crescenti di 2, partendo da 2 fino a 2⁴. I coefficienti del triangolo di Tartaglia altro non sono che coefficienti binomiali:

In questo modo con rapidi calcoli si possono determinare i coefficienti del binomio elevato alla potenza ennesima.