Plan Muestreo Doble Iiparte 483d2m

HERRAMIENTAS DE CALIDAD Plan de Muestreo doble de Atributos II Parte

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Relación entre consumidor y productor Cuando se usa muestreo de aceptación, los intereses del consumidor y el productor entran en conflicto. El productor quiere que todos los lotes conformes se acepten, y el consumidor quiere que todos los lotes no conformes no se acepten. Sólo un plan de muestreo cuya curva de operación sea una recta vertical puede satisfacer tanto al productor como al consumidor. Una curva de operación “ideal,” como la que se ve en la figura 1., puede obtenerse sólo con el 100% de inspección. Por consiguiente, el muestreo pasa los riesgos de no aceptar lotes que son aceptables, y de aceptar lotes que no son aceptables.

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Relación entre consumidor y productor

Figura 1

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Relación entre Consumidor y Productor El riesgo del productor, que se representa con el símbolo , es la probabilidad de no aceptar un lote conforme. Con frecuencia, este riesgo se establece en 0.05, pero puede ir de 0.001 a 0.10 o más. Como  se expresa en función de la probabilidad de no aceptación, no puede ubicarse en una curva OC a menos que se especifique en términos de probabilidad de aceptación. Esta conversión se obtiene restando de 1.

Así, Pa =1 - ; para = 0.05, Pa =1 - 0.05 = 0.95.

=riesgo de rechazo de un producto que debería ser satisfactorio probabilidad de error tipo I La figura 2 muestra el riesgo del productor, , o 0.05, en un eje imaginario titulado “Porcentaje de lotes no aceptados”. 4

Relación entre Consumidor y Productor AQL (acceptance quality limit) o NCA . El límite de calidad de aceptación, AQL, es el nivel de calidad que es el peor promedio tolerable de proceso cuando se presenta una serie continua de lotes para muestreo de aceptación. Es un punto de referencia en la curva OC, y no pretende decir al productor que algún porcentaje de no conformes es aceptable. Es un término estadístico, y no pretende ser empleado por el público en general. La única forma en que se puede garantizar al productor que se acepte un lote es tener 0% de no conformes, o tener la cantidad de no conformes en el lote menor o igual al número de aceptación. En otras palabras, la meta de calidad para el productor es cumplir o exceder las especificaciones, para que en el lote no haya unidades no conformes. 5

Relación entre Consumidor y Productor Ejemplo : Para el plan de muestreo con N =4000, n =300 y c =4, AQL = 0.7% para 100= 5%, como muestra la figura 2. En otras palabras, las unidades que son 0.7% no conformes tendrán 0.05, o 5% de probabilidad de no aceptación. Dicho de otro modo, 1 de 20 lotes que son 0.7% no conformes no serán aceptados por el plan de muestreo.

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Relación entre Consumidor y Productor El riesgo del consumidor, se representa con el símbolo , y es la probabilidad de aceptar un lote no conforme. Con frecuencia, este riesgo se establece en 0.10. Como  se expresa en términos de probabilidad de aceptación, no es necesaria conversión alguna. β = riesgo de aceptar un producto que es definitivamente insatisfactorio = probabilidad de error tipo II

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Relación entre Consumidor y Productor Nivel de Calidad límite (LQL, de Limiting quality ) o NCL . Es el porcentaje de no conformes en un lote o carga para los cuales, para fines de muestreo de aceptación, el consumidor desea que la probabilidad de aceptación sea baja. Para el plan de muestreo de la figura 2, LQ = 2.6% para 100 = 10%. En otras palabras, los lotes que contienen 2.6% de no conformes tendrán una probabilidad de 10% de ser aceptados. (figura2). Dicho de otra manera, 1 de cada 10 lotes que son 2.6% no conformes será aceptado por este plan de muestreo. 8

Relación entre Consumidor y Productor

Figura 2

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Relación entre Consumidor y Productor Calidad promedio de salida (AOQ, de average outgoing quality) o S, es otra técnica para evaluar un plan de muestreo. Es el nivel promedio de calidad que se alcanza al aplicar un programa de inspección para determinada calidad de entrada. La figura 9-14 muestra una curva AOQ para el plan de muestreo N = 3000, n =89 y c = 2. Es el mismo plan que el de la curva de operación de la figura 9-3.

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Relación entre Consumidor y Productor La información para trazar una curva de calidad promedio de salida se obtiene agregando una columna (columna AOQ) a la tabla que se usó para trazar la curva característica de operación (OC). La tabla 9-3 muestra la información para la curva OC, y la columna adicional para la curva AOC. La calidad promedio de salida, en porcentaje de no conformes, se calcula con la fórmula: AOQ= (100p0)(Pa). Esta fórmula no toma en cuenta las unidades no conformes desechadas; sin embargo, es una aproximación suficiente para fines prácticos, y su uso es más sencillo. 12

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Observe que para presentar una gráfica más legible, la escala AOQ es mucho mayor que la escala de calidad de entrada del proceso. La curva se traza graficando el porcentaje de no conformes (100 p0) con su valor correspondiente de AOQ. La calidad promedio de salida es la calidad que sale de la inspección de operación. Se supone que los lotes no aceptados ya se rectificaron o clasificaron y se regresaron como producto 100% bueno. Cuando no hay rectificación, la AOQ es igual a la calidad en la entrada, y esa condición se representa con la línea recta de la figura 9-14.

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El análisis de la curva indica que cuando la calidad de entrada es 2.0% de no conformes, la calidad promedio de salida es 1.46% de no conformes, y cuando la calidad de entrada es 6.0% de no conformes, la calidad promedio de salida es 0.64% de no conformes. Por consiguiente, como los lotes no aceptados se rectificaron, la calidad promedio de salida siempre es mejor que la calidad de entrada. De hecho, hay un límite, que se indica como límite de calidad promedio de salida (AOQL, de average outgoing quality limit). Así, para este plan de muestreo, a medida que cambia el porcentaje de no conformes en la calidad de entrada, la calidad promedio de salida nunca es mayor que el límite de aproximadamente 1.6% de no conformes. 16

EJEMPLO Suponga que, durante cierto tiempo, se envían 15 lotes de 3000 cada uno, del productor al consumidor. Los lotes son 2% no conformes, y se usa un plan de muestreo de n =89 y c =2 para determinar la aceptación. La figura 9-15 muestra esta información con una línea continua. La curva OC para este plan de muestreo (figura 9-3) muestra que el porcentaje de lotes aceptados con una no conformidad de lotes de 2% es 73.1%. Así, se aceptan 11 lotes (15x 0.731 =10.97) por el consumidor, como indica la línea ondulada. Cuatro lotes no son aceptados por el plan de muestreo, y se regresan al productor para su rectificación, como indica la línea interrumpida. Estos 4 lotes reciben 100% de inspección, y regresan al consumidor con 0% de no conformes, lo que se indica con una línea interrumpida. 17

FUNCION DEL MUESTREO DE ACEPTACIO

Productor

N = 3000

15 lotes: 2% de no conformidad

n = 89

11 lotes: 2% de no conformidad

Consumidor

c=2

4 lotes: 2% de no conformidad

4 lotes: 0% de no conformidad

Número Total 11 lotes: 2% de no conformidad

Cantidad de no conformidad 11(3000) = 33,000

4 lotes: 0% de no conformidad 4(3000)(0.98) = 11,760 44,760

33,000(0.02) = 660 0 660

Porcentaje de no conformes = (AOQ) = 660 X 100 = 1.47% 44,760

En la parte inferior de la figura está un resumen de lo que recibe realmente el consumidor. Dos por ciento, o 240, de los cuatro lotes rectificados los desecha el productor, con lo que resultan 11,760, y no 12,000. Los cálculos indican que el consumidor recibe en realidad 1.47% de no conformes, mientras que la calidad del productor es 2% de no conformes.

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Se debe subrayar que el sistema de muestreo de aceptación sólo funciona cuando los lotes no aceptados regresan al productor y se rectifican. El nivel promedio de calidad (AQL) para este plan de muestreo en particular, con = 0.05, es 0.9%; por consiguiente, el productor, a 2% de no conformes, no está llegando al nivel deseado de calidad. La curva AOQ, junto con la curva OC, son dos métodos poderosos para describir y analizar los planes de muestreo de aceptación. 20

Número promedio de muestra (ASN) El número promedio de muestra (ASN, de average sample number) es una comparación de la cantidad inspeccionada por lote, por parte del consumidor, para muestreo sencillo, doble, múltiple y secuencial. La figura 9-16 muestra la comparación para las cuatro clases diferentes, pero igualmente eficaces, de planes de muestreo. En el plan de muestreo sencillo, el ASN es constante e igual a n, el tamaño de la muestra. Para el muestreo doble, el proceso es algo más complicado, porque una segunda muestra se puede tomar o no. 21

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Número promedio de muestra (ASN) La fórmula para el doble muestreo es: ASN = n1+ n2(1 - PI) Donde: PI es la probabilidad de una decisión con la primera muestra.

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Ejemplo Para el plan de muestreo n =80 y c =2, y el plan de muestreo doble igualmente efectivo con n1=50, c1=0, r1= 3, n2= 50, c2= 3 y r2=4, comparar el número promedio de muestra (ASN) de los dos, trazando sus curvas. Para el muestreo sencillo, el ASN es la línea recta en n= 80. Para el doble muestreo, la solución es: PI = P0 + P3 o más Suponiendo que p0 = 0.01, entonces np0= 50(0.01) = 0.5. De la tabla de Poison: P0 =0.607

P3

o más

= 1- P2

o menos

= 1 - 0.986 = 0.014

ASN= n1 + n2 (1 - [P0 +

])

P3 o más

= 50 + 50(1 - [0.607 + 0.014]) = 69

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Número promedio de muestra (ASN) En la fórmula se supone que la inspección continúa, aun después de llegar al número de no aceptación. Es práctica frecuente interrumpir la inspección cuando se alcanza el número de no aceptación en la primera o en la segunda muestra. A esta práctica se le llama inspección abreviada, y la fórmula es mucho más complicada. Así, la curva ASN para el doble muestreo es algo más baja que lo que realmente sucede.

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Número promedio de muestra (ASN) Un análisis de la curva ASN para doble muestreo, de la figura 9-16, indica que a una fracción de no conformes igual a 0.03, los planes de muestreo sencillo y doble tienen más o menos la misma cantidad de inspección. Para fracciones de no conformes menores que 0.03, el muestreo doble tiene menos inspección, porque es más probable que haya una decisión de aceptar con la primera muestra.

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Número promedio de muestra (ASN) De igual modo, para fracciones de no conformes mayores que 0.03, el plan de doble muestreo tiene menos inspección, porque es más probable una decisión de no aceptar con la primera muestra, y no se requiere una segunda muestra. Se debe observar que en la mayor parte de las curvas ASN, la de doble muestra no se acerca a la de una muestra

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Número promedio de muestra (ASN)

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Número promedio de muestra (ASN) Se supone que los lotes rectificados pasarán por una inspección al 100%. Si se presentan lotes con 0% de no conformes, la cantidad inspeccionada es igual a n, y si se presentan lotes que son 100% no conformes, la cantidad inspeccionada es igual a N. Como es probable que ninguna de estas posibilidades suceda, la cantidad inspeccionada es una función de la probabilidad de no aceptación, (1 -Pa).

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DISEÑO DEL PLAN DE MUESTREO 

Planes de muestreo para riesgo estipulado del productor. Cuando se especifican el riesgo del productor, , y su

límite correspondiente de calidad de aceptación (AQL), se puede determinar un plan de muestreo, o con más propiedad, una familia de planes de muestreo. Por ejemplo: Para un riesgo de productor a igual = 0.05 y un AQL de 1.2%, se obtienen las curvas características de operación. Para una familia de planes de muestreo como las de la figura 9-19. Cada uno de los planes pasa por el punto definido por 100 Pa = 95% (100 = 5%), y p 0.95 = 0.012. Por consiguiente, cada uno de los planes asegurará que no se acepte producto con 1.2% de no conformidades, 5% de las veces, o al revés, se acepte 95% de las veces. 30

DISEÑO DEL PLAN DE MUESTREO Los planes de muestreo se obtienen suponiendo un valor de c, y determinando su valor np0 correspondiente en la tabla de poison. Cuando se conocen np0 y p0, se obtiene el tamaño n de la muestra. Para determinar los valores de np0 usando la tabla de poison se requiere interpolar. Para eliminar la operación de interpolación, en la tabla 9-4 se presentan valores de np0 para diversos valores de  y . En esta tabla 9-4, c es acumulativo, lo que quiere decir que un valor de c igual a 2 representa 2 o menos.

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DISEÑO DEL PLAN DE MUESTREO

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DISEÑO DEL PLAN DE MUESTREO Si bien todos los planes dan la misma protección al productor, el riesgo del consumidor, por ejemplo con = 0.10, es muy diferente. En la figura 9-19, para el plan c = 1, n= 30, se aceptará el producto que tenga 13% de no conformidades 10% (= 0.10) de las veces; para el plan con c =2, n= 68, un producto con 7.8% de no conformidades será aceptado 10% (=0.10) de las veces, y para el plan con c = 6, n =274, el producto con 3.8% de no conformidades será aceptado 10% (= 0.10) de las veces. Desde el punto de vista del consumidor, el último plan es el que da mejor protección; sin embargo, el tamaño de la muestra es mayor, lo cual aumenta el costo de la inspección. La selección del plan adecuado que se vaya a usar es materia de juicio, que normalmente implica al tamaño del lote. Esta selección también comprendería planes para c =0, 3, 4, 5, 7, etcétera. 35

DISEÑO DEL PLAN DE MUESTREO 

Planes de muestreo para riesgo de consumidor estipulado. Cuando se especifica el riesgo del consumidor , y su

calidad límite (LQ) correspondiente, se puede determinar una familia de planes de muestreo. Para, por ejemplo, un riesgo de consumidor =0.10 y una calidad límite LQ de 6.0%, se obtienen las curvas OC de una familia de planes de muestreo que muestra la figura 9-20. Cada uno de los planes pasa por el punto definido por Pa = 0.10 ( =0.10) y p0.10 = 0.060. Por consiguiente, cada uno de los planes asegura que el producto con 6.0% de no conformes será aceptado 10% de las veces.

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DISEÑO DEL PLAN DE MUESTREO Los planes de muestreo se determinan en la misma forma que para un riesgo estipulado del productor. Los cálculos son los siguientes:

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DISEÑO DEL PLAN DE MUESTREO Los planes de muestreo con c =1, c =3 y c =7 se seleccionaron en forma arbitraria. Aunque todos los planes dan la misma producción al consumidor, el riesgo del productor con, por ejemplo  =0.05, es muy diferente. En la figura 9-20 se ve que para el plan con c =1, n = 65, un producto que sea 0.5% no conforme no será aceptado 5% (100a 5%) de las veces; para el plan con c =3, n = 111, el producto que tenga 1.2% de no conformidades no será aceptado 5% (100= 5%) de las veces, y para el plan con c =7, n= 196, el producto que tenga 2.0% de no conformidades no será aceptado 5% (100a 5%) de las veces.

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DISEÑO DEL PLAN DE MUESTREO Desde el punto de vista del productor, el último plan le da mayor protección; sin embargo, el tamaño de la muestra es mayor, lo cual aumenta los costos de inspección. La selección del plan adecuado es materia de juicio, que en caso normal implicará el tamaño del lote. En esta selección se incluirían también planes para c = 0, 2, 4, 5, 6, 8, y así sucesivamente.

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DISEÑO DEL PLAN DE MUESTREO Planes de muestreo para riesgos estipulados de consumidor y productor. Es más que probable que haya cuatro planes de muestreo que se acerquen al cumplimiento de las estipulaciones del productor y del consumidor. La figura 9-21 muestra cuatro planes que se acercan a cumplir con las estipulaciones de = 0.05, AQL = 0.9, y =0.10, LQ= 7.8. Las curvas características de operación de dos planes cumplen con la estipulación del consumidor, que se acepte el producto con 7.8% de no conformidades (LQ) 10% de las veces (=0.10), y se acercan a la estipulación del productor.

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DISEÑO DEL PLAN DE MUESTREO Esos dos planes se indican con líneas interrumpidas en la figura 9-21, y son c =1, n = 50, y c =2, n= 68. Los otros dos planes cumplen exactamente con la estipulación que el producto que sea 0.9% no conforme (AQL) no se acepte 5% de las veces (a 0.05). Esos dos planes se indican con líneas continuas, y son c =1, n = 39, y c= 2, n = 91

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DISEÑO DEL PLAN DE MUESTREO El plan seleccionado entre los cuatro depende de uno de cuatro criterios adicionales. El primer criterio adicional es la estipulación de seleccionar el plan con el menor tamaño de muestra. Ese plan, en este caso, es uno de los dos que tienen el menor número de aceptación. Así, en este problema de ejemplo sólo se calcularon los dos planes para c =1 y el plan de muestreo seleccionado es c= 1, n =39. Un segundo criterio adicional es la estipulación de seleccionar el plan con el tamaño máximo de muestra. El plan con tamaño máximo de muestra es uno de los dos con el mayor número de aceptación. Así, para el problema de ejemplo, sólo se calcularon los dos planes para c =2, y el plan de muestreo seleccionado es c = 2, n =91.

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DISEÑO DEL PLAN DE MUESTREO El plan seleccionado entre los cuatro depende de uno de cuatro criterios adicionales. El primer criterio adicional es la estipulación de seleccionar el plan con el menor tamaño de muestra. Ese plan, en este caso, es uno de los dos que tienen el menor número de aceptación. Así, en este problema de ejemplo sólo se calcularon los dos planes para c =1 y el plan de muestreo seleccionado es c = 1, n =39. Un segundo criterio adicional es la estipulación de seleccionar el plan con el tamaño máximo de muestra. El plan con tamaño máximo de muestra es uno de los dos con el mayor número de aceptación. Así, para el problema de ejemplo, sólo se calcularon los dos planes para c = 2, y el plan de muestreo seleccionado es c = 2, n = 91. 48

DISEÑO DEL PLAN DE MUESTREO Un tercer criterio adicional es la estipulación que el plan cumpla exactamente con la estipulación del consumidor, y que se acerque lo más posible a la estipulación del productor. Los dos planes que cumplen exactamente con la estipulación del consumidor son c= 1, n = 50, y c= 2, n= 68. Los cálculos para determinar cuál plan se acerca más a la estipulación del productor, de AQL= 0.9%, son:

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DISEÑO DEL PLAN DE MUESTREO También se pueden especificar planes de muestreo con el límite promedio de calidad de salida (AOQL). Si se estipula, por ejemplo, un AOQL de 1.5% para una calidad de entrada de 2.0%, la probabilidad de aceptación es: Pa =0.75 o 100Pa =75% La figura 9-22 muestra una familia de curvas de característica de operación para varios planes de muestreo que satisfacen estos criterios de AOQL.

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