Problema Sobre Orificio 6a3j4c

UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

PROBLEMA SOBRE ORIFICIO Se tiene una piscina como se muestra en la figura, la cual tiene un orificio de 8” de diámetro situado en el fondo. Se quiere efectuar la limpieza de la piscina por lo cual se le ´pide calcular el tiempo que se necesita para vaciar la misma. Considere que el coeficiente de descarga es 0.62.

SOLUCION: Tenemos como dato: 𝐶𝑑 = 0.62 𝐷0 = 8" Calculamos el área del orificio 𝐴0 : 𝐴0 = 𝐴0 =

𝜋 ∗ 𝐷02 4

𝜋 ∗ (8 ∗ 0.0254)2 4

𝐴0 = 0.0324 𝑚2

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SABEMOS:  Orificio con carga constante:

𝑄 = 𝐶𝑑 𝐴0 √2𝑔ℎ (Ecuación general de un orificio) Siendo: 𝑄 = 𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 (𝑚3 /𝑠) 𝐶𝑑 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝐴0 = 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 (𝑚2 ) ℎ = 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑜 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 (𝑚)  Orificio con carga variable:

En la figura, el volumen descargado por el orificio en un tiempo 𝑑𝑡, es: 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑜 = 𝑄 ∗ 𝑑𝑡 … … . . (𝑎) De otro lado, la disminución del volumen en el recipiente en el tiempo 𝑑𝑡, es: 𝐷𝑖𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝐴𝑟 ∗ 𝑑𝑦 … … (𝑏) Las ecuaciones (a) y (b) deben ser iguales pero de signo contrario, dado que mientras el tiempo aumenta el volumen descargado (caudal) disminuye, por tener mayor carga.

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Es decir: 𝑄 ∗ 𝑑𝑡 = −𝐴𝑟 ∗ 𝑑𝑦 𝐴𝑟 ∗ 𝑑𝑦 𝑄

𝑑𝑡 = − 𝑑𝑡 = −

𝑑𝑡 = −

𝐴𝑟 𝐶𝑑 𝐴𝑟 √2𝑔ℎ 𝐴𝑟 𝐶𝑑 𝐴𝑟 √2𝑔𝑦 𝐴𝑟

𝑑𝑡 = −

𝐶𝑑 𝐴𝑟 √2𝑔

𝑡

𝑦2

∫ 𝑑𝑡 = − ∫ 0

𝑦1

∗ 𝑑𝑦

∗ 𝑑𝑦

𝑦 −1/2 ∗ 𝑑𝑦

𝐴𝑟 𝐶𝑑 𝐴𝑟 √2𝑔

𝑦 −1/2 ∗ 𝑑𝑦

Límites de integración: Para: 𝑡 = 0 → 𝑦 = 𝑦1 𝑡 = 𝑡 → 𝑦 = 𝑦2

𝑡 = −𝐶

𝐴𝑟

𝑑 𝐴𝑟 √2𝑔



𝑦2

∫𝑦1 𝐴𝑟 𝑦 −1/2 ∗ 𝑑𝑦

Si el área transversal del recipiente 𝐴𝑟 , es constante, se tiene :

𝐴𝑟

𝑦2

∫ 𝐴𝑟 𝑦 −1/2 ∗ 𝑑𝑦 𝐶𝑑 𝐴𝑟 √2𝑔 𝑦1 𝐴𝑟 𝑦1/2 𝑦2 𝑡=− \ 𝐶𝑑 𝐴𝑟 √2𝑔 1/2 𝑦1 2𝐴𝑟 𝑡=− (𝑦21/2 − 𝑦11/2 ) 𝐶𝑑 𝐴𝑟 √2𝑔 2𝐴𝑟 𝑡= (𝑦11/2 − 𝑦21/2 ) 𝐶𝑑 𝐴𝑟 √2𝑔

𝑡=−

Donde: 𝑡 = 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑦1 𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑦2

𝐴𝑟 = 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑖𝑝𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴𝑂 = 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝐶𝑑 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎

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Empezamos a trabajar la ecuación para los dos tipos de áreas de la piscina, en una que el área es constante y en otra que varía según la altura. a) Calculo del tiempo para un área constante (SECCIÓN A).

𝐴 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖: ℎ ∈ [2.70, 7.20] 𝐴 = 25 ∗ 22.2 = 555𝑚2 Entonces: 𝑡

∫ 𝑑𝑡 = − 0

555 0.62 ∗ 0.0324 ∗ √19.62

𝑡=−

2.70

∫

ℎ−1/2 ∗ 𝑑ℎ

7.20

555 ∗ 2 (2.701/2 − 7.201/2 ) 0.0890

𝑡 = 12972.2071 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 b) Calculo del tiempo para un área que varía. 1. Interpolamos la ecuación variante del área de la forma (SECCION B) 𝐴 = 𝛼 + 𝑏ℎ … … (1)

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Si: ℎ = 1.20 → 𝐴 = 235; 𝐸𝑛 (1): 235 = 𝑎 + 1.20𝑏 … . . (𝑖) ℎ = 2.70 → 𝐴 = 305; 𝐸𝑛 (1): 305 = 𝑎 + 2.70𝑏 … . . (𝑖𝑖) De (ii)-(i): 𝑏 = 46.6667 → 𝑎 = 215 Luego: 𝐴 = 215 + 46.6667ℎ Entonces:

𝑑𝑡 = − 𝑡

∫ 12972.2071

𝑑𝑡 = −

(215 + 46.6667ℎ)

0.62 ∗ 0.0324 ∗ √19.62

1.20

∫

ℎ−1/2 ∗ 𝑑ℎ

2.70

1.20 215 46.6667 1.20 1/2 ∫ ℎ−1/2 ∗ 𝑑ℎ − ∫ ℎ ∗ 𝑑ℎ 0.0890 2.70 0.0890 2.70

𝑡 − 12972.2071 = − −

1 1 215 ∗ 2 (1.202 − 2.702 ) 0.0890

46.6667 ∗ 2 (1.201/2 − 2.701/2 ) 0.0890 ∗ 3

𝑡 − 12972.2071 = 2646.2910 + 95.7319 𝑡 = 15714.23 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠.

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2. Interpolamos la ecuación variante del área de la forma (SECCIÓN C): 𝐴 = 𝛼 + 𝑏ℎ … … (1)

Si: ℎ = 0 → 𝐴 = 95; 𝐸𝑛 (1): 95 = 𝑎 … . . (𝑖) ℎ = 1.20 → 𝐴 = 145; 𝐸𝑛 (1): 145 = 𝑎 + 1.20𝑏 … . . (𝑖𝑖) De (ii)-(i): 𝑏 = 41.6667 → 𝑎 = 95 Luego: 𝐴 = 95 + 41.6667ℎ Entonces:

𝑑𝑡 = − 𝑡

∫ 15714.23

𝑑𝑡 = −

0

(95 + 41.6667ℎ)

0.62 ∗ 0.0324 ∗ √19.62

∫

ℎ−1/2 ∗ 𝑑ℎ

1.20

0 95 41.6667 0 1/2 ∫ ℎ−1/2 ∗ 𝑑ℎ − ∫ ℎ ∗ 𝑑ℎ 0.0890 1.20 0.0890 1.20

𝑡 − 15714.23 = − −

1 95 ∗ 2 (−1.202 ) 0.0890

41.6667 ∗ 2 (−1.201/2 ) 0.0890 ∗ 3

𝑡 − 15714.23 = 2338.5907 + 341.8995 𝑡 = 18394.7202 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠. 𝑅𝐸𝑆𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝐴: 𝑡 = 5ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 6 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 34.72 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠.