Teoria De Conjuntos 11 q162e

TEÓRIA DE CONJUNTOS 5º Profesor: LUIS GONZALO PULGARÍN R lugopul.wordpress.com

INDICE INTRODUCCIÓN RELACION DE PERTENENCIA DETERMINACION DE CONJUNTOS DIAGRAMAS DE VENN CONJUNTOS ESPECIALES RELACIONES ENTRE CONJUNTOS CONJUNTOS NUMÉRICOS UNION DE CONJUNTOS INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS DIFERENCIA DE CONJUNTOS DIFERENCIA SIMÉTRICA COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO PROBLEMAS

DEFINICIÓN DE CONJUNTOS

Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados o elementos del conjunto. Ejemplo: En la figura adjunta tienes un Conjunto de Personas.

NOTACIÓN Todo conjunto se escribe entre llaves {

}

y se le denota mediante letras MAYÚSCULAS A, B, C, ...,sus elementos se separan mediante comas. Ejemplo: El conjunto de las letras del alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. se puede escribir así: L={ a, b, c, ..., x, y, z} En teoría de conjuntos no se acostumbra repetir elementos por ejemplo: El conjunto {x, x, x, y, y, z } simplemente será { x, y, z }.

RELACION DE PERTENENCIA

Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo:  Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el símbolo:  Ejemplo:

Sea M = {2,4,6,8,10}

2  M ...se lee 2 pertenece al conjunto M 5  M ...se lee 5 no pertenece al conjunto M

INDICE

DETERMINACION DE CONJUNTOS Hay dos formas de determinar un conjunto, por Extensión y por Comprensión

I) POR EXTENSIÓN

Es aquella forma mediante la cual se nombran cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplos: A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20.

A = { 6,8,10,12,14,16,18 } INDICE

B) El conjunto de las consonantes. B = {b, c, d, f, g, h, j,…x, y, z }

II) POR COMPRENSIÓN

Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto. Ejemplo: P = { los números dígitos } se puede entender que el conjunto P esta formado por los números P= { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.} Veamos otro ejemplo por comprensión y extensión A = {x|x es un número primo menor que 50} A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}

Otra forma de escribir es: P = { x / x = dígito } se lee “ P es el conjunto formado por los elementos x tal que x es un dígito “

Ejemplo:

Expresar por extensión y por comprensión el conjunto de días de la semana.

Por Extensión : D = { lunes; martes; miércoles; jueves; viernes; sábado; domingo } Por Comprensión : D = { x / x = día de la semana } Actividad 1. Determina los siguientes conjuntos, listando sus elementos. (Por Extensión) A = { las cinco primeras letras el alfabeto } A = { ……………………………………………….. } B = { los nombres de los meses del año que comienza con M } B = {…………………………………………… }

C = { el nombre de la ciudad y el país donde vives } C = { …………………………………………………………} INDICE

D = { nombre de tus profesores } D = { ……………………………………………………… } E = { nombre de los de la sagrada familia } E = { ……………………………………………………………. } F = {Números naturales mayores que 12 pero menores que 20} F={ } 2. Determinar los siguientes conjuntos, escribiendo una propiedad característica para todos los elementos. (Por comprensión) Q = { enero, febrero, marzo} Q = { …………………………………………………………………. } R = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } R = { ……………………………………………………………. } S={1;3;5;7;9} S = {…………………………………………………………………. } T = { perro, gato, vaca, ballena } T = { …………………………………………………………… } P = { La Niña, la Pinta, La Santa María } P={ }

Dado el diagrama completa con el símbolo de pertenece o no pertenece: ∈ ∉ 1....C

7.....B

3.....B 5.. C

2.....C 6......C 6....B

1......B 7......C

2......B

4....B

2. Según el diagrama completa con el símbolo pertenece o no pertenece : ∈ ∉ A= {....................................................} B= {....................................................} C= {....................................................} 3…B 2…A 7 …C

2…C 4…B 1…B

2…B 1…C 5…B

4…A 8…B 1…A

4....C

Ejercicios 1. Si A = {números pares mayores que 4 y menores que 12}, listando sus elementos es: a) A = { 4, 6, 8, 10, 12 } b) A = { 6, 8, 10 } c) No. aplica. 2. Si F es el conjunto de letras de la palabra corazón, listando sus elementos es: a) A = { c, o, r, a, z, ó, n } b) A = { c, o, r, a, z, n } c) No. aplica . 3. Si P = {1, 3, 5, 7} ; nombrando una propiedad común es: a) P = {números menores que 8} b) P = {números impares menores que 9} c) No. Aplica. 4. Si Q = {núcleo del predicado}, por extensión será: a) Sustantivo b) verbo c) adjetivo 5. Si M = { luna } por comprensión es: a) M = {satélite natural de Marte} b) {satélite natural de la Tierra} c) No. Aplica.

TAREA 1.Determinar los siguientes conjuntos, (Por extensión) listando todos sus elementos. H = {letras de la palabra amistad} H = {…………………………………………………………………. } J = {nombre de las niñas de tu aula} J= {…………………………………………………………………. } K = {nombre del presidente del Colombia y Venezuela} K = {…………………………………………………………………. } L = {animales domésticos } L= {…………………………………………………………………. } A = {números naturales mayores que 9 pero menores que 18} A= 2. Determinar los siguientes conjuntos, (por comprensión) escribiendo una propiedad común para todos los elementos. M = {manzana, plátano, naranja} M= {…………………………………………………………………. } N = {índice, pulgar, cordial, anular, meñique} N = {…………………………………………………………………. } Ñ = {do, re, mi, fa, sol, la, si} Ñ= {…………………………………………………………………. } P = {norte, sur, este, oeste} P= {…………………………………………………………………. } Q = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j,…} Q = {…………………………………………………………………. }

DIAGRAMAS DE VENN Los diagramas de Venn que se deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada. A

7 1 9

4 8 3

6 5 2

T

M

e

o i

a u

2 4

5 8

1 3

7 6 9 INDICE

CONJUNTOS ESPECIALES CONJUNTO VACÍO Es un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos:  o { } A =  o A = { } se lee: “A es el conjunto vacío” o “A es el conjunto nulo “ Ejemplos: M = { números mayores que 9 y menores que 5 }  P={ }

CONJUNTO UNITARIO

Es el conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplos: F = {número que es primo y par a la vez} F= { 2 }

G = {primera letra del alfabeto} CONJUNTO FINITO

G={a }

Es el conjunto con limitado número de elementos .

Ejemplos:

E = { x / x es un número impar menor que 10 } E= {1, 3, 5, 7,9 }

N = { x / x es un número par menor que 20 N= { 2,4,6, 8,10,12,14,16,18}

CONJUNTO INFINITO Es el conjunto con ilimitado número de elementos. Ejemplos: R = { x / x < 6 } R= { 7, 8, 9,10, 11, 12, 13,… } S = { x / x es un número par } S = { 2,4,6, 8,10, 12,14,… } CONJUNTO UNIVERSAL Es un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, generalmente se le representa por la letra U Ejemplo: U ={ letras del alfabeto } U= { Números naturales }

INDICE

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS INCLUSIÓN o subconjunto

Un conjunto A esta incluido en otro conjunto B ,sí y sólo sí, todo elemento de A es también elemento de B NOTACIÓN : A  B Se lee : A está incluido en B, A es subconjunto de B, A está contenido en B , A es parte de B. REPRESENTACIÓN GRÁFICA : 2

B

4 10 16 15 14

6

A

12 1

3

5

7

9

11 13

8

A B

Ejemplo: A={ 2, 4} y B={1, 2, 3, 4, 5, 6 } A 2

B 1

4

3 5 6

Observa que A está incluido en B, por lo tanto

A B P = { m,u,r,c,i,e,l,a,g,o } M = { p, e, r, a, s } M⊆P M no está incluido en P

CONJUNTOS COMPARABLES Un conjunto A es COMPARABLE con otro conjunto B si entre dichos conjuntos existe una relación de inclusión o contencia(subconjunto) Ejemplo:

A

A={1,2,3,4,5} y B={2,4} 5

1 4 2

3 B

Observa que B está incluido en A ,por lo tanto Ay B son COMPARABLES

CONJUNTOS DISJUNTOS Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. REPRESENTACIÓN GRÁFICA : A

7 5

B

9 1

3



4 2



6 8



Como puedes observar los conjuntos A y B no tienen elementos comunes, por lo tanto son CONJUNTOS DISJUNTOS

CONJUNTOS NUMÉRICOS

C R Z N

Q

I

UNION DE CONJUNTOS

El conjunto “A unión B” que se representa asi A  B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos conjuntos.

Ejemplo: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } B = { 5, 6, 7, 8, 9 }

A

1 3

2 4

7 5

6

A  B   1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 A  B   x / x  A  x  B

7 5

6

8 9

B

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS Si A y B son no comparables

U

Si A y B son comparables

U

B

A B

A AUB

AUB

U Si A y B son conjuntos disjuntos AUB

A

B

INTERSECCION DE CONJUNTOS

El conjunto “A intersección B” que se representa A  B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B. Ejemplo: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } B = { 5, 6, 7, 8, 9 }

A

1 3

2 4

7 5

6 A  B   5; 6; 7

A  B   x / x  A  x  B

7 5

6

8 9

B

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS Si A y B son no comparables

U

Si A y B son comparables

U

B

A B

A A

B

U

U Si A y B son conjuntos disjuntos U

A

B=Φ

A

U

A

B= B

B

DIFERENCIA DE CONJUNTOS El conjunto “A menos B” que se representa A  B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

Ejemplo: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } B = { 5, 6, 7, 8, 9 }

A

1 3

2 4

7 5

6

A  B   1; 2; 3; 4

A  B   x / x  A  x  B

7 5

6

8 9

B

¿A-B=B-A?

El conjunto “B menos A” que se representa B  A es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A.

Ejemplo: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } B = { 5, 6, 7, 8, 9 }

A

1 3

2 4

7 5

6 B  A   8; 9

B  A   x / x  B  x  A

7 5

6

8 9

B

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS Si A y B son no comparables

U

Si A y B son comparables

U

B

A B

A A-B

A-B

U Si A y B son conjuntos disjuntos

A

B

A - B=A INDICE

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

Dado un conjunto universal U y un conjunto A, se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto A. Notación: A’ o AC Simbólicamente:A '   x / x  U  x  A Ejemplo: U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9} U

A’ = U - A

2

1 3

8 5

7

9

A ={1,3, 5, 7, 9} 6

4

A’={2;4;6,8}

1 Dados los conjuntos: A = { 1, 4 ,7 ,10 , ... ,34} B = { 2 ,4,6,...,26} C = { 3, 7,11,15,...,31} a) Expresar A, B y C por comprensión

SOLUCIÓN

U

U

b) Hallar: A B , C A, BUC A = {1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34} B = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26} C = {3,7,11,15,19,23,27,31} U

Sabemos que A B esta formado por los elementos comunes de A y B, entonces:

A B={ U

C A={ U

BUC={

} }

Expresar la región sombreada en 2 términos de operaciones entre los conjuntos A,B y C. A

B

B A C

SOLUCIÓN

C

A

B A

U

A

B

B

A B

B A

C B C

C U

C

A

C 

U

C



B A

Observa como se obtiene la región sombreada

C

A

C

Toda la zona de amarillo es AUB La zona de verde es A B U

Finalmente le agregamos C y se obtiene: B

U

U

A

C= C

B

3

Según las preferencias de 420 personas que ven los canales A,B o C se observa que 180 ven el canal A(RCN) ,240 ven el canal B(CARACOL) y 150 no ven el canal C(CANAL UNO),los que ven por lo menos 2 canales son 230¿cuántos ven los tres canales?

SOLUCIÓN

El universo es: 420 Ven el canal A: 180 Ven el canal B: 240 No ven el canal C: 150 Entonces si ven el canal C: 420 – 150 = 270 B (I)

A e

a d

x c

C

b f

(II) (III)

a + e + d + x =180 b + e + f + x = 240 d + c + f + x = 270

Dato: Ven por lo menos dos canales 230 ,entonces: (IV)

d + e + f + x = 230

Sabemos que : a+b+c+d+e+f+x =420

 230

entonces : a+b+c =190 Sumamos las ecuaciones (I),(II) y (III) (I) (II) (III)

a + e + d + x =180 b + e + f + x = 240 d + c + f + x = 270

a + b + c + 2(d + e + f + x) + x = 690

 190

 230 

190 + 560 + x =690  x = 40 Esto significa que 40 personas ven los tres canales

FIN Profesor:LUIS GONZALO PULGARÍN R [email protected] lugopul.wordpress.com