9 Métodos Numéricos Matrices 2p3jq

MÉTODOS NUMÉRICOS DESARROLLO DEL TEMA Ejercicios del Libro: Ejercicio 9.1 a) Escriba en forma matricial el conjunto siguiente de ecuaciones: Solución: 50 = 5x3 + 2x2 10 – x1 = x3 3x2 + 8x1 = 20 Al ordenar quedaría: 2x2 + 5x3

= 50

+

= 10

X1 8X1 + 3X3

X3

= 20

Forma matricial:

b) Escriba la transpuesta de la matriz de coeficientes. Solución 0 -1 8 = 50 2

0 3 = 10

5 -1 0 = 20

Facultad de Ciencias Informáticas

Métodos Numéricos, Septiembre del 2016

Ejercicio 9.2 Ciertas matrices están definidas como sigue

En relación con estas matrices responda las preguntas siguientes: a) ¿Cuáles son las dimensiones de las matrices? A= 3 X 2

B= 3 X 3

C= 3 X 1

D= 2 X 4

E= 3 X 3

F= 2 X 3

G= 1 X 3 b) Identifique las matrices cuadradas, columna y renglón. B y E son cuadradas C es columna G es fila c) ¿Cuáles son los valores de los elementos a12, b23, d32, e22, f12 y g12? A12 = 7

B23 = 7

D32 = Solo tiene 2 filas

E22 = 2

F12 = 0

G12 = 6

d) Ejecute las operaciones siguientes: 1) [E] + [B]

2) [A] + [F]

3) [B] – [E]

4) 7 × [B]

5) [E] × [B]

6) {C}T

7) [B] × [A]

8) [D]T

9) [A] × {C}

10) [I] × [B]

11) [E]T [E]

12) {C}T {C}

1) [E] + [B]

2

Facultad de Ciencias Informáticas

1 5 8 4 3 7 E= 7 2 3 + B= 1 2 7 =¿ 4 0 6 1 0 4

1+4 5+3 8+7 7+1 2+ 2 3+7 =¿ 4 +1 0+ 0 6+ 4

Métodos Numéricos, Septiembre del 2016

5 8 15 8 4 10 5 0 10

2) [A] + [F] Las dimensiones de las matrices no coinciden, por lo tanto no se puede efectuar la operación.

3) [B] – [E] 4 3 7 1 5 8 B= 1 2 7 −E= 7 2 3=¿ 1 0 4 4 0 6

4−1 3−5 7−8 1−7 2−2 7−3 =¿ 1−4 0−0 4−6

3 −2 −1 −6 0 4 −3 0 −2

4) 7 × [B] 4 3 7 28 21 49 7∗B=1 2 7 = 7 14 49 1 0 4 7 0 28

5) E * B 1 5 8 4 3 7 E= 7 2 3∗B=1 2 7 =¿ 4 0 6 1 0 4

1∗4 5∗3 8∗7 7∗1 2∗2 3∗7 =¿ 4∗1 0∗0 6∗4

6) {C}T CT =¿ 3 6 1∨¿

7) B * A 4 3 7 4 7 54 76 B= 1 2 7∗1 2 = 41 53 1 0 4 5 6 24 31

3

17 13 74 33 25 75 22 12 52

Facultad de Ciencias Informáticas

Métodos Numéricos, Septiembre del 2016

8) [D]T 9 −1 4 7 DT = 3 7 −6 5 9) A * C Las dimensiones de las matrices no coinciden, por lo cual no se puede efectuar la operación.

10) I * B No existe matriz I.

11) [E]T [E] 1 7 4 T E =5 2 0 8 3 6

*

1 5 8 E= 7 2 3 4 0 6

=

66 19 53 19 29 46 53 46 109

=

9 18 3 18 36 6 3 6 1

12) {C}T {C} ¿ C =|3 6 1|∗¿ 3∨¿∨6∨¿∨1∨¿ T

4

Facultad de Ciencias Informáticas

Métodos Numéricos, Septiembre del 2016

9.7 Dadas las ecuaciones

0.5 x1 −x2 =−9.5 1.02 x 1−2 x 2=−18.8 a) Resuelva en forma gráfica.

x 2=0.5 x1 +9.5 x 2=

1.02 18.8 x + =0.51 x 1 +9.4 2 1 2

b) Calcule el determinante:

|

|

D= 0.5 −1 =( 0.5 ) (−2 )−(−1 )( 1.02 )=−1+1.02 1.02 −2 D=0.02

c) Con base en los incisos a) y b), ¿Qué es de esperarse con respecto de la condición del sistema? Debido a que las líneas tienen pendientes muy similares y el determinante es tan pequeño, que se puede esperar que el sistema estaría mal condicionado

d) Resuelva por medio de la eliminación de incógnitas.

(−2)[0.5 x 1−x 2=−9.5] 5

Facultad de Ciencias Informáticas

Métodos Numéricos, Septiembre del 2016

1.02 x 1−2 x 2=−18.8 x 2=0.5 x1 +9.5

−x 1 +2 x2=19

x 2=0.5 ( 10 ) +9.5

1.02 x 1−2 x 2=−18.8

x 2=5+9.5

0.02 x 1=0.2 x 1=

x 2=14.5

0.2 =10 0.02

Comprobación:

0.5 x1 −x2 =−9.5

1.02 x 1−2 x 2=−18.8

0.5 ( 10 )−( 14.5 ) =−9.5

1.02 ( 10 )−2 (14.5 )=−18.8

5−14.5=−9.5

10.2−29=−18.8

−9.5=−9.5

−18.8=−18.8

e) Resuelva otra vez, pero modifique ligeramente el elemento a11 a 0.52. Interprete resultados.

(−2)[0.52 x1 −x2 =−9.5 ] 1.02 x 1−2 x 2=−18.8 −1.04 x 1 +2 x2 =19

x 2=0.5 x1 +9.5

1.02 x 1−2 x 2=−18.8

x 2=0.5 (−10 )+ 9.5

−0.02 x 1=0.2

x 2=−5+ 9.5

x 1=

x 2=4.5

−0.2 =−10 0.02

Comprobación:

0.5 x1 −x2 =−9.5

1.02 x 1−2 x 2=−18.8

0.5 (−10 )−( 4.5 )=−9.5

1.02 (−10 )−2 ( 4.5 )=−18.8

6

Facultad de Ciencias Informáticas

−5−4.5=−9.5

−10.2−9=−18.8

−9.5=−9.5

−19.2=−18.8

Métodos Numéricos, Septiembre del 2016

Interpretación: el hecho de que un ligero cambio en uno de los coeficientes de los resultados en una solución radicalmente diferente ilustra que este sistema es muy mal condicionado.

7

Facultad de Ciencias Informáticas

Métodos Numéricos, Septiembre del 2016

9.8 Dadas las ecuaciones siguientes

10 x1 +2 x 2−x3 =27

(1 )

−3 x 1−6 x 2 +2 x 3=−61.5(2 )

x 1+ x 2 +5 x3 =−21.5

(3 )

a) Resuelva por eliminación de Gauss simple. Efectúe todos los pasos del cálculo. Primero trabajamos con la ecuación (1) y (2), a la (1) la multiplicamos por 2

(2)[10 x 1+ 2 x 2−x 3=27 ] −3 x 1−6 x 2 +2 x 3=−61.5 20 x1 + 4 x 2−2 x 3=54 (4)

−3 x 1−6 x 2 +2 x 3=−61.5 17 x1 −2 x 2=7.5

luego multiplicamos la ecuación (1) por 5 y restamos con la ecuación (3)

(5)[10 x 1 +2 x 2−x 3=27 ] x 1+ x 2 +5 x3 =−21.5 50 x1 +10 x 2−5 x3 =135 (5)

x 1+ x 2 +5 x3 =−21.5 51 x 1 +11 x 2=113.5

Trabajamos con las nuevas ecuaciones (4) y (5) y multiplicamos a la ecuación (4) por -3

(−3 ) [17 x 1−2 x 2=7.5] 51 x 1 +11 x 2=113.5 8

(6 )

Facultad de Ciencias Informáticas

Métodos Numéricos, Septiembre del 2016

−51 x 1+ 6 x 2=22.5 51 x 1 +11 x 2=113.5 17 x 2=136 Ahora empezamos a despejar en las ecuaciones (6), (4), (1)

10 x1 +2 x 2−x3 =27 17 x1 −2 x 2=7.5 17 x 2=136

9

Facultad de Ciencias Informáticas

Métodos Numéricos, Septiembre del 2016

17 x 2=136 x 2=

136 17

x 2=8 17 x1 −2 x 2=7.5 17 x1 =2 ( 8 )+ 7.5 x 1=

8.5 17

x 1=0.5 10 x1 +2 x 2−x3 =27 x 3=10 ( 0.5 ) +2 ( 8 )−27 x 3=−6

b) Sustituya los resultados en las ecuaciones originales a fin de comprobar sus respuestas.

10 x1 +2 x 2−x3 =27

−3 x 1−6 x 2 +2 x 3=−61.5

10 ( 0.5 ) +2 ( 8 )−(−6 ) =27

−3 ( 0.5 )−6 ( 8 ) +2 (−6 )=−61.5

5+16+6=27

−1.5−48−12=−61.5

27=27

−61.5=−61.5

x 1+ x 2 +5 x3 =−21.5

( 0.5 ) + ( 8 ) +5 (−6 )=−21.5 0.5+8−30=−21.5 −21.5=−21.5

10

Facultad de Ciencias Informáticas

Métodos Numéricos, Septiembre del 2016

9.12 Emplee la eliminación de Gauss-Jordan para resolver el sistema siguiente:

2 x 1 + x 2−x 3=1 5 x1 +2 x 2+2 x 3=−4 3 x1 + x 2 + x3 =5

(−5 )( 1 )=−5+5=0

No utilice pivoteo. Compruebe sus respuestas con la sustitución en las (1/2 ecuaciones originales. )

(

( 12 )= −52 +2= −12 −1 5 9 (−5 ) ( )= +2= 2 2 2 1 −5 −13 (−5 ) ( )= −4= 2 2 2 (−5 )

|)

2 1 −1 1 5 2 2 −4 3 1 1 5 (-5) (-3)

( |) 1 5 3

1 2 2 1

−1 2 2 1

1 2 −4 5

(−3 )( 1 )=−3+3=0

( 12 )= −32 +1= −12 −1 3 5 (−3 ) ( )= +1= 2 2 2 1 −3 7 (−3 ) ( )= +5= 2 2 2

(-2)

(−3 )

( |) 1 2 −1 0 2 −1 0 2 1

−1 1 (2 2 1/2) 9 −13 (1/2) 2 2 5 7 2 2

( −12 ) ( 0) =0+1=1 ( −12 ) ( 1)= −12 + 12 =0 ( −12 ) (−9)= 92 − 12 =4 ( −12 ) ( 13)= −132 + 12 =−6

(1/2) (-4)

( |) 1 2 0 1 −1 0 2 1

−1 2 −9 5 2

1 (9) 2 base

13 base 7 2

|) |)

(

1 0 4 −6 0 1 −9 13 0 0 −2 10

(

1 0 4 −6 0 1 −9 13 0 0 1 −5

( 12 )( 0)=0+ 0=0

11

Facultad de Ciencias Informáticas

Métodos Numéricos, Septiembre del 2016

( | ) 1 0 0 14 0 1 0 −32 0 0 1 −5

x 1=14 x 2=−32 x 3=−5

Comprobación:

2 x 1 + x 2−x 3=1

5 x1 +2 x 2+2 x 3=−4

2 (14 ) + (−32 )−(−5 )=1

5 ( 14 ) +2 (−32 ) +2 (−5 )=−4

28−32+5=1

70−64−10=−4

1=1

−4=−4

3 x1 + x 2 + x3 =5 3 ( 14 ) + (−32 )+ (−5 )=5 42−32−5=5

5=5

12